利用频率估计概率

一、基础知识： 用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率会稳定在某一个常数p 的附近，那么事件A 发生的概率P (A )=p .其中0≤p ≤1条件是：在同等条件下，需要做大量的重复试验。

关键是：通过大量重复试验找出频率的稳定值。

二、重难点分析本课教学重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。

本课教学难点：合理设计模拟试验，分析频率稳定值从而得到该事件的概率。

通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法。

培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值。

典型例题分析例1、绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率=nm 0.9600.9400.9550.9500.9480.956 0.950则绿豆发芽的概率估计值是 （ ）A ．0.96 B ．0.95 C ．0.94D ．0.90率=频数与总情况数之比．例2、一个不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大1，求：（1）取出白球的概率是多少？量的实验，得到取出红球的频率是4（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？三、感悟中考1、（2014•河北）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4（2014•贵阳）“六•一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是个．四、专项训练（一）基础练习1、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外，形状、大小、质地完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在20%和40%，则布袋中白色球的个数很可能是个．姚明在某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表：投篮次数10 100 10000投中次数9 89 9012试估计姚明在这段时间内定点投篮投中的概率是（精确到0.1）【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．3、在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，搞清频率与概率的关系是解题关键．（二）提升练习1、（2014•东海县模拟）一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（）A．袋子一定有三个白球B．袋子中白球占小球总数的十分之三C．再摸三次球，一定有一次是白球D．再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次【答案】D2、某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：奖券种类紫气东来花开富贵吉星高照谢谢惠顾出现张数（张）500 1000 2000 6500（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．。

一、课题：利用频率估计概率二、班级情况及学生特点分析3班共61人，4班共58人，两班共119人。

这两班学生分析解决实际问题的能力较差，鉴于这种因素我举了几个较简单的例子。

三、教学内容分析如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫作事件A的概率，记为四、教学课时第1课时五、教学. 重点、难点：1.教学重点：利用频率估计概率2.教学难点：理解频率与概率的区别与联系六、教学过程【主要知识点】1. 当试验所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般还要通过统计频率来估计概率。

2. 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。

一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫作事件A的概率，记为。

3. 为了使估计的结果尽可能精确，我们要做尽可能多的重复试验，在按照实际情况试验费时费力的前提下，可以用简便的方法代替试验，例如用卡片代替学生，这样的试验称为模拟试验。

4. 当大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定的数值左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，我们可以用频率的集中趋势估计概率。

用频率的集中趋势来估计概率劳动量是比较大的，为了简化计算过程，在要求精度不是很高的情况下，不妨用两表中最后一行数据中的频率近似地代替概率。

5. 在做大量重复实验时，可事先根据频率要达到的精度来确定数据表中频率保留的数位，通常我们用频率估计出来的概率要比数据表中的频率保留的数位要少。

【典型例题】[例1] 在一次统计中，调查英文文献中字母E的使用率，在几段文献，统计字母E的使用（2）通过计算表中数据可以发现，字母E的使用频率在左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计字母E在文献中使用概率是。

解：（1）0.080，0.098，0.101，0.99，0.100（2）0.100，0.100反思：字母E在文献中的使用率就是字母E在文献出现的频率，字母E的使用频率要由其出现频率来估计。

利用频率估计概率介绍频率估计是一种用于估计概率的方法，它基于观察到的事件发生的频率来推断各个事件发生的概率。

这种方法在实际应用中非常常见，特别是在统计学、机器学习和数据挖掘等领域中。

频率估计的基本思想是根据事件发生的频率来推测该事件发生的概率。

在频率估计中，我们通过观察到的事件发生的次数来估计事件发生的概率。

具体来说，我们首先统计事件在一定样本空间内的发生次数，然后将事件的发生次数除以总的样本次数，就可以得到事件发生的概率。

频率估计的一个简单示例是投掷硬币的问题。

假设我们有一个硬币，我们想要估计这个硬币正面朝上的概率。

为了进行频率估计，我们可以连续地进行多次投掷，并记录正面朝上的次数。

最后，我们可以通过正面朝上的次数除以总的投掷次数来估计硬币正面朝上的概率。

频率估计是一种较为直观和直接的方法，因为它只依赖于观察到的事件发生的频率。

然而，频率估计也有其局限性。

首先，频率估计的结果通常是不准确的，特别是在样本容量较小的情况下。

其次，频率估计假设事件的概率是固定的，但实际上事件的概率可能会随着时间、环境等因素的变化而变化。

此外，频率估计还有可能受到样本选择偏差的影响，这会导致估计结果的偏差。

为了减小估计误差，提高频率估计的准确性，我们可以增加样本容量。

当样本容量足够大时，频率估计可以更加接近真实的概率。

此外，为了减小样本选择偏差的影响，我们可以采用随机抽样的方法，确保样本的代表性。

频率估计在实际应用中具有广泛的应用。

在统计学中，频率估计是参数估计的一种常用方法。

在机器学习和数据挖掘中，频率估计被用于构建概率模型，例如朴素贝叶斯分类器和隐马尔可夫模型等。

此外，频率估计还被用于统计推断、风险评估以及决策分析等领域。

总结起来，频率估计是一种利用事件发生的频率来推断概率的方法。

它是一种直观和直接的方法，但也存在精度不准确、假设固定概率等局限性。

为了提高估计准确性，我们可以增加样本容量和采用随机抽样等方法。

频率估计在统计学、机器学习和数据挖掘等领域中具有广泛的应用。

频率估计概率的公式
用频率估计概率的公式是f=p，在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数m称为事件A发生的频数。

比值m/n称为事件A发生的频率，用文字表示定义为：每个对象出现的次数与总次数的比值是频率。

某个组的频数与样本容量的比值也叫做这个组的频率。

有了频数（或频率）就可以知道数的分布情况。

在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。

利⽤频率估算概率
◎利⽤频率估算概率的定义
在同样条件下，做⼤量的重复试验，利⽤⼀个随机事件发⽣的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发⽣的概率。

注：
（1）当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发⽣的可能性不相等时，⼀般⽤统计频率的⽅法来估计概率；
（2）利⽤频率估计概率的数学依据是⼤数定律：当试验次数很⼤时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P。

（3）利⽤频率估计出的概率是近似值。

◎利⽤频率估算概率的知识扩展
在同样条件下，做⼤量的重复试验，利⽤⼀个随机事件发⽣的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发⽣的概率。

注：（1）当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发⽣的可能性不相等时，⼀般⽤统计频率的⽅法来估计概率；
（2）利⽤频率估计概率的数学依据是⼤数定律：当试验次数很⼤时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P。

（3）利⽤频率估计出的概率是近似值。

◎利⽤频率估算概率的教学⽬标
1、理解概率的统计定义。

2、通过全班合作完成的“摸球”试验，学习处理数据的⽅法，体验频率的稳定性规律，体会频率与概率的区别与联系，感受⽤频率估计概率的可靠性，掌握⽤频率估计概率的⼀般步骤。

3、通过点滴了解⼀些数学史知识、亲⾝参与数学实践活动，逐步培养探索和实践的精神，体验偶然性与必然性的关系，逐步建⽴唯物辩证的观点。

◎利⽤频率估算概率的考试要求
能⼒要求：掌握
课时要求：60
考试频率：必考
分值⽐重：4。

利用频率估计概率以下是为您推荐的利用频率估计概率，希望本篇文章对您学习有所帮助。

利用频率估计概率疑难分析：1.当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.2.利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A 出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P.3.利用频率估计出的概率是近似值.例题选讲例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n 8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率;(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少?解答：(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7;(2)0.75.评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值.例2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1) 计算并完成表格：转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000落在铅笔的次数m 68 111 136 345 546 701落在铅笔的频率(2) 请估计，当很大时，频率将会接近多少?(3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少?(4) 在该转盘中，标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少?(精确到1)解答：(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701;(2)0.69;(3)0.69;(4)0.69360248.评注：(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小;(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率.基础训练一、选一选(请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内)1.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )A. 90个B.24个C.70个D.32个2.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为( ).A. B. C. D.3.下列说法正确的是( ).A.抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大;B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行;C.彩票中奖的机会是1%，买100张一定会中奖;D.中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100%，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100%的结论.4.小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1.从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是( ).A. 、B. 、C. 、D. 、5.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有( ).A.10粒B.160粒C.450粒D.500粒6.某校男生中，若随机抽取若干名同学做是否喜欢足球的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是( ).A.只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷;B.在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8;C.在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的 ;D.在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球.7.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是( ).A.口袋中装入10个小球，其中只有两个红球;B.装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球;C.装入红球5个，白球13个，黑球2个;D.装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个.8.某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来(单位：元)：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是( ).A. 2元B.5元C.6元D.0元二、填一填9. 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为2个正面、1个正面和没有正面这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：结果第一组第二组第三组第四组第五组第六组两个正面 3 3 5 1 4 2一个正面 6 5 5 5 5 7没有正面 1 2 0 4 1 1由上表结果，计算得出现2个正面、1个正面和没有正面这3种结果的频率分别是___________________.当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________.10.红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上组别频数频率46 _ 50 4051 _ 55 8056 _ 60 16061 _ 65 8066 _ 70 3071_ 75 10从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率是_____________.11.为配和新课程的实施，某市举行了应用与创新知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛(满分100分，得分全为整数)。