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第 1 页25.3用频率估计概率◇教学目标◇【知识与技能】理解每次试验可能的结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时,利用统计频率的方法估计概率.【过程与方法】经历利用频率估计概率的学习,使学生明白在同样条件下,大量重复试验时,根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数,可以估计这个事件发生的概率.【情感、态度与价值观】通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习数学的兴趣,体验数学的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.【教学难点】理解并应用频率估计概率.◇教学过程◇一、情境导入小明进行投币试验,他连掷三次,结果都是正面朝上,也就是说他的频率是1,那么我们是否可以说他投掷硬币正面朝上的概率是1呢? 二、合作探究第 2 页探究点利用频率估计概率典例1将一枚硬币的一面贴上号码1,另一面贴上号码2,掷硬币两次,观察掷出的两个号码的积,下表是对200次实验数据整理的结果.实次12468101214161820积是2出现的次数38252737536372788899积是2出现的频率(1)用计算器计算频率,并填表.(2)根据表中的数据绘制频率折线统计图.(3)当实验次数较少时,频率有什么特征?当实验次数逐渐增加时,频率有什么样的变化趋势? (4)根据频率估计出现“积是2”的概率的大小.[解析](1)依次填:0.3,0.4,0.63,0.45,0.46,0.53,0.53,0.51,0.49,0.49,0.5.(2)频率折线统计图如图所示.(3)当实验次数较少时,频率不稳定,波动较大;当实验次数逐渐增加时,频率波动较小,逐渐稳定在0.5附近.(4)根据实验频率可以估计出“积是2”的概率为0.5.用频率估计概率大小的一般步骤:先计算不同试验次数下的频率,再绘制频率折线统计图,通过观察、分析频率的稳定值,最后用稳定的频率值来估计概率的大小.典例2在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个,某学习小组做摸球实验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据.第 3 页摸到白球的次数5896116295484601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.601(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近.(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是,摸到黑球的概率是.(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个?(4)解决了上面的问题,小明同学猛然顿悟,过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品．．．．．．．．．．．．．解决这个问．．．．．．．．．．．)?请你应用统计与概率的思想和方法题,写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.[解析]利用摸球次数最多1000次的频率去估计接近值,再用这个值代替概率值.(1)由表格知,当n≥500时,频率值稳定在0.6左右,由此,当n很大时摸到白球的频率将会接近0.6.(2)摸到白球的概率是0.6,摸到黑球的概率是1-0.6=0.4.(3)白球有20×0.6=12(个), 黑球有20×0.4=8(个).(4)方案一:①添加:向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀;②实验:进行大次数的摸球实验(有放回),记录摸到黑球和白球的次数,分别计算频率,由频率估计概率;③估算:黑球的个数摸到黑球的概率=球的总个数.方案二:①标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋并充分搅匀;②实验:进行大数次的摸球实验(有放回),记录摸到标记球的次数,计算频率,由频率估计概率;第 4 页③估算:有标记球的个数摸到标记球的概率=白球的个数.变式训练如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为2 cm的正方形,使不规则区域落在正方形内,现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近,试估计不规则区域的面积是多少.[解析]设不规则部分的面积为s,则??4=0.25,解得s=1.则不规则部分的面积为1 cm2.三、板书设计用频率估计概率1.用频率估计概率在相同条件下,当大量重复试验时,随机事件A发生的频率????(这里n是总试验次数,m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定在某个常数p附近,于是,我们用p这个常数表示事件A发生的概率,即P(A)=p.2.方法用频率估计概率大小的一般步骤:先计算不同试验次数下的频率的大小,再绘制频率折线统计图,通过观察、分析频率的稳定值,最后用稳定的频率值来估计概率的大小.◇教学反思◇本节课是主要学习用频率去估计概率,侧重于从统计试验结果的角度来研究概率.通过本节课的学习,学生能从统计试验结果的角度来研究概率,即通过频率研究概率,理解频率与概率的区别与联系,同时对比前一节从理论的角度(即列举法)来计算概率,体会随机观念和概率思想.。
25.3 用频率估计概率1、频率：在试验中，某事件发生的次数与总次数的比值2、用频率估计概率（1）在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。
（2）一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率m稳定于某一个常数P，那么事件 An发生的频率P(A)=p.注：①用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大；②当试验次数很多时，一个事件发生的频率稳定在相应的概率附近；③频率是通过试验得到的一个数据结果，因试验次数的不同而有所改变，是一个实际的具体值；概率是一个事件发生的可能性大小的理论值，它不因试验次数的改变而变化，是一个常数。
题型一频率与概率的关系【例1】校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（）A．小亮每投10个球，一定有8个球进B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进C．小亮比赛中的投球命中率一定为80%D．小亮比赛中投球命中率可能为100%【变式11】抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（）A．可能有50次反面朝上B．每两次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上D．不可能有100次反面朝上【变式12】小红把一枚硬币抛掷10次，结果有4次正面朝上，那么（）A．正面朝上的频数是0.4B．反面朝上的频数是6C．正面朝上的频率是4D．反面朝上的频率是6【变式13】下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有．①频率就是概率②频率是客观存在的，与试验次数无关③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率④概率是随机的，在实验前不能确定【变式14】下列说法正确的是（填序号）．①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%．②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%．③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51．④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件．题型二求某事件的频率【例2】“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有19个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______．【变式21】在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1，2，3，5小组的频数分别是2，8，15，5，则第4小组的频率是（）A．0.15B．0.2C．0.3D．0.4【变式22】期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（）A．0和4B．0和3C．2和4D．0和2、π、√5、√83、−2中，无理数出现的频率为．【变式23】数据13【变式24】我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为．题型三由频率估计概率【例3】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（）A．5B．6C．7D．8【变式31】某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果（部分数据）如表所示：则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为（精确到0.01）；【变式32】对某批KN95口罩的质量进行随机抽查，结果如下表所示：（2）根据上表，在这批口罩中任取一个，它是合格的概率大约是__________．（精确到0.01）【变式33】一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近．（1）估计摸到红球的概率是；（2）若袋中有12个红球，求袋中一共有多少个球？【变式34】某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同．某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验．每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次．（1）估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率．（2）请你估计这个盒子中白色卡片接近多少张．题型四概率的实际应用【例4】如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是．【变式41】在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，（1）指针指到1的可能性是多少？（2）若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？【变式42】某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．（1）该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？（2）在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．【变式43】有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？【变式44】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（）A．两次求助都用在第1题B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助D．两次求助都用在第1题或都用在第2题。
自我小测复习巩固
1．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为1
2
，则下列说法中，错误的是()
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
2．在一盒子里有红、黄、蓝球共100个，小明总结多次摸球的规律：红球、黄球、蓝球的概率依次是35%,25%,40%，则估计红、黄、蓝球的个数分别是() A．35,25,40 B．40,25,35
C．35,40,25 D．40,35,25
3．在一次质检抽测中，随机抽取某摊位20袋食盐，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492496494495498497501502
504496497503506508507492
496500501499
根据以上抽测结果，任买1袋该摊位的食盐，质量在497.5 g～501.5 g之间的概率为()
A．1
5
B．
1
4
C．
3
10
D．
7
20
4．某射手在同一条件下，射击200次，击中靶心100次，射击400次，击中靶心121次，射击800次，击中靶心240次，则该射手射击一次击中靶心的概率约为__________．5．在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5和6，随着试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是__________．6．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做了抛掷骰子(质地均匀的正方体)试验，她们共做了60次，试验的结果如下：
朝上的点数12345 6
出现的次数79682010
(1)计算“3
(2)小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果抛掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
(3)小颖和小红各抛掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两个骰子朝上的点数之
和为3的倍数的概率．
能力提升
7．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球
试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是()
A．6 B．10 C．18 D．20
8．生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林，一段时间后，再从中随机捕获500只，其中有标记的雀鸟有5
只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量，约有______只．
9．在一次统计中，调查了英文文献中字母E的使用率，在几段英文文献中字母E的使用数据如下表所示．
(1)请你将下表补充完整.
文献中字
982 11 237 534 406 33 569 792 108 274 953 2 195 680 075 母的个数
文献中字
121 903 52 381 3 411 079 10 719 220 220 665 847 母E的个数
文献中字母
0.123
E的使用率
计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计字母E在英文文献中的使用概率是__________．
10．小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2 m和3 m的同心
圆(如图)，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷
入圈内不算，你来当裁判．
(1)你认为游戏公平吗？为什么？
(2)游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题．(要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式)
参考答案
复习巩固
1．A
2．A
3．B在随机抽取的20袋食盐中，质量在497.5 g～501.5 g之间的有5袋，由此可以估计任买1袋该摊位的食盐，质量在497.5g～501.5 g之间的概率为51
204
=.
4．30%
5．接近1 6
6．解：(1)“3点朝上”出现的频率是61 6010
=；
“5点朝上”出现的频率是201 603
=.
(2)小颖的说法是错误的．这是因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．
小红的判断也是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次．
(3)列表如下：
P (点数之和为3的倍数)121363
=
=. 能力提升
7．D 由题意可得6
n
×100%＝30%，解得n ＝20.故估计n 大约是20. 8．10 000
9．(1)0.080 0.098 0.102 0.099 0.100 (2)0.100 0.100 10．解：(1)不公平． 因为P 阴影＝
9π4π5
9π9
-=， 即小红胜的概率为
59，小明胜的概率为4
9
， 所以游戏对双方不公平．
(2)能利用频率估计概率的试验方法估算非规则图形的面积．
设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来(如正方形，其面积为S )，如图所示；
②往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不做记录)；
③当掷点数充分大(如1万次)时，记录并统计结果，设掷入正方形内n次，其中m次掷入图形内；
④设非规则图形的面积为S1，用频率估计概率，即掷入非规则图形内的频率为m
n
≈P(掷
入非规则图形内)＝1S
S ，故m
n
≈1
S
S
⇒S1≈
Sm
n
.。
