第四章 不定积分

第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

第四章不定积分'、不定积分的概念和性质1 •原函数：若F (x) = f (x)，则称F (x)为f (x)的一个原函数. 2.不定积分：若 F (x)二 f (x)，则 f (x)dx = F (x) • C • 3 .不定积分的基本性质：(1) [ f(x)dx]" = f(x)或 d f (x)dx = f (x)dx ；(2) F (x)dx=F(x) C 或 dF(x) =F(x) C . 例1 (1 )若xln x 是f (x)的一个原函数，求 f (x)；(2) 若F(x)是 叱 的一个原函数，求dF(x 2)；x(3)若e »是f (x)的一个原函数，求e xf (x)dx ；1 1(4)若 f (x) e xdx =e xC ，求 f (x);(5) 求■ f (x 3)dJ ；(6) 若 f(x)二 e*，求f (lnx)dx . x解(1)因为 f (x) =(xln x)" = ln x 1，所以f (x)J .xsin x(2)因为F (x)-——，所以x (3)因为 f(x) =(e»)〔则 f (x)= ，所以e xf (x)dx 二 e x e»dx 二 dx 二 x C .f (x)g x. 2 dF(x 2) =[F (x 2) 2x]d^Sin ^x - x 22xdx 二 2sin x 2dx . (4) 1因为 f(x)e x= 1e11 —e x，所以■ f(x 3)dJ = f (x 3).f (ln x) dx 二 f (In x)d(ln x)二 f (In x) C = e " xc =丄 C . x x(5) (6)、直接积分法被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法.例2 (1) (3) (5) (7) (9) 解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) 计算下列不定积分：(x 1)2 .rr dx；2-^pdx;1 x24也pdx;1 x2cos2x ,dx ;sin x cosxsin4 x cos4 x 门2 2dx.sin xcos x2 3j—LdxW vxx x xa e dx = (ae) dx(2)(4)(6)a x e x dx ;2(12x2)dx；x (1 x )sin2 -dx ；2cos2x ,dx ；xsin212x21x"2)dx52 2 4x25-2 2-x2 2x2 C .3—- dx = 11 x2 1 x21 2x2.—厂dx 二x2(1 x2)4x2dx1 x2cIn (ae)1 px = x - arctanx +C .1 1 12 2 dx 二arctan x -x x1 3dx x x arcta nx C .3_1亠1x1 —cosx ’1 .dx(x - sin x) C .2 22. 2.cos x - sin x .dx dx = (cos x - sinx)dx' sin x + cosx二sin x cosx C .,「1 —2sin2 x , rdx 2 dx =si n2 x--cot x -2x C ..4 亠 4sin x cos xcos2xsin x cosxcos2x・2sin x-2 dxsin2 xcos2 x 血二・4sin x・2 2~sin xcos x4cos x2+・2 2 ' sinxcos x ydx=(ta n 2x cot 2x)dx= (sec x csc x -2)dx=tan x - cot x - 2x C .三、换元积分法1 •第一换元积分法(凑微分法)设 f (u)du = F(u) • C ，则u (x)f[ (x)] ： (x)dx 二 f [ ：(x)]d ：(x) f(u)du^F(u) C u一(x)F[「(x)] C .常用的凑微分公式:f (ax b)dx =1 f (ax b)d(ax b)；a • f(ax n b)x nJL dx 二丄 f(ax n b)d(ax nb); na Lf (lnx)2dx= f (ln x)d(ln x)； xr J 1十J f — pdx=-J f (7) f(e ")e "d ^-： f (e")d(e")；(8) f (sin x)cosxdx= f (sin x)d(sin x)；(9) f (cosx)sin xdx - - f (cosx)d (cos x)；2(10) f (tanx)sec xdx 二 f (tanx)d(tanx)； (11)f (cot x) csc 2xdx = - f (cot x) d (cot x)；(12) f (secx)secx tanxdx 二 f (secx)d(secx)； (13) f (cscx)cscxcotxdx 二-f (cscx)d(cscx)；(14)『f= f f (arcsin x)d (arcsinx)；W —x 2(1)(2)(3) (4) (5) (6) dx =2 f (. x)d(.. x)f (e x)e xdx 二 f(e x )d(e x);iL 2 (15) -1 -x dx - - f (arccosx)d (arccosx)； (16) f (arctanix)d^ f (arctanx)d(arctanx)； b1 +x2 ' (17) f (arcc(ot x)d^ _ f (arccot x)d (arccot x). 1 +x 注 ①结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现 的较复杂凑微分公式； ② 熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式； ③ 分部积分法中也会用到凑微分公式.例3(1) (3) 计算下列不定积分:sin xdx ; sin 4 xdx ; (2) (4) (5)(6) (7)tan 5 xsec 3xdx(8)sin 3 xdx ; sin 5 xdx ; arcta n 、、x ,ExT ；. cos2x (9)(x -1)e x2^xdx (10) dx ；1 sin xcosx ” dx(11) sin x cosx ..44 dx； sin x cos x(12) (13) sin 4x cos2xdx ;(14)sin 2 x 2 cos 2 x ' sin x , dx ;1 si nx. dxI 2~x 2x 5(15)dx解(1)x2x \e (1 e )r■ 2 . J —cos2x .sin xdxdx 1sin2x C . 4(2)1x -2 2sin 3 xdx - - sin 2 xd(cosx)二(cos 2x —1)d(cosx)」cos 3x - cosx C .3(3) (4)2 [ 2 dx (1 -2cos2x cos 2x)dx / 4 L1 1 cos4x(1-2cos2x )dx 4 2 3 1 c 1 ，小x sin 2x sin4x C . 8 4 32 sin 5 xdx - - sin 4 xd(cosx) - - (1 - cos 2 x)2d(cosx)sin 4xdx=匚吨 I 2=_(1 _2cos 2 x cos 4x)d(cosx) 注注意区分以上积分中cosx ，解法相同. In In x , dx =xln x J —arctan . x . J肩丙取切sin x 换为 (5) (6) (7)(8)(9) (10)(11) (12) 2 3 1 5 - --cosx — cos x - - cos X 亠 C . 3 5 sinx 的幕指数为奇数或偶数时的解法•若将 tan 5 xseC 3cos2x x 1 2 d(ln x) = In In xd(ln In x) In ln x C .In x 2 严呦匕x dgG) =2 [arctan 仮d(arctan^'G) 1 (x)2=(arctan . x) C .xdx = tan 4 xsec xd(secx)2 2 2二(sec x -1) sec xd (secx)二(sec 6 x 「2sec 4 x sec x) d (secx)In In 1 sin xcosx 1 7 sec 7 1 dx 二2 1 5 13x sec x sec x C . 5 3 1 d(sin 2x) sin 2x 1d(2 sin 2x)二 ln(2 sin 2x)C . 2 sin 2x 1 2 dx 二一 e x /x d(x 2-2x) 2 • 被积函数的分子、分母同除以 cos 2x 2f sec xdxdx'2 +tan 2x1 丄 tan x arctan C . sin 2x 6 -cos2x f *2宀(x -1)e x “ sin 2x 2cos 2sin xcosxs^x cos 4x dx1 2 x e 2d (ta n x) 2 tan 2x dx1 cos2xsin 2x 」12 dx 21 cos 2x2 1 cos 2x--arctancos2x C .2 d(cos2x)sin x(1 - sin x) 1^d_(rx)(1g 2, 心n x —sin x , dx 2 dx cos x2 2=secx tanxdx - tan xdx =secx - (sec x -1)dx =secx - tan x x C .「1「(13) sin 4xcos2xdx (si n6x si n2x)dx‘ 2 '1 1cos6x cos2x C . 12 4注 与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幕指数，简称降幕法.是常用的积分方法., . 1 , 1 X+1dx 2 dx arctan C .'(X +1)2+4 2 2 .2xJ 2x、d(e x)二e (1 e ).x+ C . xln x1，所以 x(x 1)dx 二一 [ln(1 x) - ln x] —dxx x 1二-[ln(1 x) —In x]d[ln(1 x) — In x]1 2[ln(1 x) - Inx]2 C .11X\評一R d(e)*例4 计算下列不定积分：(1) 1 I n x * 2 dx ； (xl nx)2(2) (3)2x3x2 3 -dx ； 9x -4x(4)(5) f cos2x . dx ;1 sin xcosx (6)(7)In(x 、1 x 2) 5dx .dx；因为(xln x) =1 In x ，所以1y d(xln x)二丄卫4dx =(xlnx) (xlnx) 因为[In(1 x) -In x] 1 + x x(2) ln(1 x) -Inx(14)(15) e x (1 e 2x ) dX=—e J x解(1) 4X In tan x , dx ; sinxcosx x 21 -arctane x C .ln(1x)T nxdx ； x(x 1)2dx =—lnIn(x 、1 x 2) 5‘ 岚 dx=In(x .1 x 2) 5d [In(x .1 x 2) 5]2-------- 3[In(x J x 2) 5]2 C .32 •第二换元积分法设.f[ (t)p ：(t)dt = F(t) C ，则.f(x)dx x _ (t) f[ :(t)]「(t)dt =F(t) (t_(x)F( :*(x)) C .(3) dxIn 2 -In 312x31- 2x3In 3x - 2x x2(1 n2—I n3) 3x —2(4)1因为(In tan x) ，所以sin xcosx (5)(6) ln tan x dx = In tan xd (In tan x) =1In 2 tan xC . sin xcosx 2 因为(1 • sin xcosx) = cos2x ，所以 1dx d(1 sin xcosx) 1 sin xcosx二In(1 sinxcosx) C .x 2，得cos2x 1 sin xcosx 被积函数的分子、分母同除以1+2xdx 二 丄 x 2x 2tdx 1x 4x 2「1辛d x_x(7) 因为 1x -— ___ x + C 石C _ 1【2 [ln(x .1 x 2) 5]"二^1一，所以arctan〜1 arctan x _1 C . 2 2x 1 x 2C1 ln 2注(1 )当被积函数中含有根式时， 一般要通过适当换元， 去掉根号后再积分，这是第二换元积分法的主要作用•常见的代换有：① 含有形如nax b 的根式时，作代换nax b = t ；② 含有形如.a 2-x 2、- a 2x 2、. x 2-a 2( a 0 )的根式时，分 别作三角代换： x=asi nt , x =ata nt , x=ased ；(2)当被积函数中分母关于 x 的次数比分子关于 x 的次数至少大1时,=2ln( 1 -1) -x C •(3)设、1 ln x =t ，则 ln x 二 t 2-1, x lnx_ dx =2 (t 2 -1)dt =?t 3 -2t C x .1 In x 3(1 ln x)仪 1 In x - 2 1 In x C 3(In x -2) 1 In x C . 3(4)设 x =atant ，贝U dx =asec 2tdt ，于是(21 2、2dx V .coftdt 二 1 (x a ) a1可考虑倒代换：x =-；当被积函数为a x 所构成的代数式时，可考虑指数代换: 计算下列不定积分：arctan 、x . dx ;.x(1 x) (3) 例5 (1) (2) (3)(5)dx;x . 1 ln x ：~2 2.a ■ ■ xdx (a 0)(4) f ———dx; e x1 r 1 」 J l2 , _2、2 dx ( aA 0)； (x a )「Jx 2_9 ddx • x(1) 曰疋设 ardan x = t ,贝 V x =tan t , 2 2x 二 ta n t , dx 二 2ta nt(2)arctan x 2dx 二 2tdt =t C x(1 x)________ QX设、e x 1 二 t ，则 x =1 n(t 2「1), dx2——2二(arctan 、x) C •dt ，于是.e x1dx =2 J dt =ln't 2 —12 2=e , dx 二 2te t 'dt ，于 3t -sin2t C • 2a 3C =C由 x =atant 得x 2ta nt 2axt 二 arctan — , sin 2t 2 22，a 1 ta n t x a 所以 2 12 2 dx 厶 arctan 「2" 2 C - '(x 2+a 22 2a‘I a x 2+a 2 丿 (5)设 x =asint ，贝U dx 二 acostdt ，于是(6)设 x =3sect ，则 dx =3secttantdt ，于是=In I sect tant I -sint C 1 .由 x =3sect 得x 叫X -9 Jx 2-9 sect tan t = -- ——，sin t = -----3 3 x十… —9 x Jx 2 -9 < x 2 —9 所以］ ------ 2—dx =ln + ------- +C 1x 3 3 x=lnx + Jx 2 - 9— Jx 2、.x例6计算下列不定积分:由于 2 2 -X~4 x cott=cost sin t dx a 2 j a 2. cos t ~47 sin t cot 21 csc 2tdtcot 2td(cott)二 3acot 31 C .「si n 2t sint所以x 4dx(a 2 x 2)、. a 23a 2x(1)dxx 2 ” x 2 a 2(2) 『 dxx(x 7 2) (3)x 1 dx ； x 2 .. x 2 -1(5) 2x dx 1 2x 4x解(1)令x 彳， 则dx(4)p dx」 x 〃丄 2x\e (1 e )-gdt于是x 2 -9 dx tan 21sectdt = (sect -cost)dtdx x 2 . x 2 a 2dt1 a 2t 2(2) dx x(x 72)(3)(4) 2a 2…1 a 2t 2d(1 a 2t 2)1 a 2t 2C2 ax =1 t t 6 1 2t 7 dt1 1一汕1M C r ln|令e xdxx2x.e (1 e )(5)令 2x2xdx dx —a 2x17d(1 2t 7)14 1 2t 71 x7 21 2ln___ dt 1 -t 21j-t 2dt 2 j_t.X 2-1 1 "-arcs in — x xd(1 -t 2) --arcsint ,1 -t 2C1t ，则 dx dtt 2(1 t 2) t 2 亠dt1 t 21arcta nt C = t-xx—e -arctane则dx — ln2 1dtt 1 2x 4x ln21 t t2 dtIn 2 1 arcta n例7计算下列不定积分:1(1) -------- dx ；x(1 +J x)(3)dx；In 2t4——dt 3 4 (2)(4)arcta n2x1 1C .x 1 2 dx； x — X,x(x 1) dx . • x x 1二x -x 2- arcsin(2x -1) C .2[ dx = ((x 2+x 唧x 2—1)dx = [x 2dx 十[x 寸x 2—1dxx —、x 2—11= gx3 1(X 2 -1)2d(x 2-1)32Jx 3」(x 2 —1)。

第四章：不定积分一、本章的教学目标及基本要求1、理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；已知曲线在一点的切线斜率，会求该曲线的方程。

2、熟记基本积分公式；能熟练地利用基本积分公式及积分的性质，第一换元积分法和分部积分法计算不定积分；掌握第二换元积分法。

对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法（凑微分法），记住常见的凑微分形式。

3、掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。

二、本章教学内容的重点和难点1、重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法；2、难点：不定积分和定积分的概念及性质，凑微分法，有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。

三、本章内容的深化和拓广1、了解不定积分在现代数学发展史上的重要意义；2、初步了解不定积分的实际意义，为后面定积分的学习及定积分的应用做好一定的铺垫；3、简介不定积分在建立数学模型中的重要意义。

四、本章教学方式及教学过程中应注意的问题1、以讲课方式为主，留一个课时的时间讲解习题中的难点和容易犯错误的地方；2、教学中应注意教材前后内容之间的联系，突出重点和难点；3、本章主要以计算题为主，要强调本章内容本今后学习的重要性，鼓励学生细致、耐心地完成作业，防止学生只抄教材后的答案。

§4.1不定积分的概念与性质一、内容要点1、原函数与不定积分的概念2、不定积分的性质二、教学要求和注意点教学要求：理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算。

注意点：1、原函数与不定积分的概念：由导数及导数的意义引入原函数的概念；解释不定积分的几何意义；强调原函数和不定积分的特性，并举例说明；由基本积分表说明基本积分方法；2、不定积分的性质：说明不定积分的性质对不定积分计算的重要性；列出不定积分的性质并给与证明，证明过程中有意识地加深学生对不定积分概念更深入的理解；一、 原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。

第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。

例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。

2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。

定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。

例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。

例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。

第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。

1。

1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。

关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）． 若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。