第4章不定积分(自测题答案)

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分★⑴dx x2 . x思路: 被积函数由积分表中的公式（2）可解。

解:dxx2-x5x 2dx★⑵1 ^=)思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

(x3x 2)dx1x3dx1x 2dx3 - 13x32x2C4★(3)(2x x2) dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。

解：(2x x2)dx 2x dx x2dx 2In 21x3 C 3★(4). x(x 3)dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项, 分别积分。

解: ' x(x 3)dx3x2dx1x2dx5 32 2x2 C3x42x Jx1思路：观察到3x43x2 1x2 1 3x2 -后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积1分。

解：（注：容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分 解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

思路：分项积分。

思路：分项积分。

…、1 ★★(10) - ------- -dxx (1 x )思路：裂项分项积分。

解:4 2 ,3x 3x 12 ,dx 3x dx. 3—dx x arctan x Cx★★ (6)dx思路：注意到2x 1 x 2,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

25 x .斛：-------- 2dx1 xdx ----- 2dx1 xarctan x C.,/ x ★⑺( --- 21 + 1- 4、4)dx x…/x斛：（一 ——i - 3 x x 4、 —)dx 1 2 -x 4 In |x| x3 x 2 24 x 3 xdx-dx x 3 x 3dx 4 x 4dx C. 3 ★(8) (rv2-解:2、，-dx1 , c c . c ---- dx 3arctan x 2arcsin x C. x 2★★(9)x x xdx1 1x 2 47x 8,直接积分。

自测题（1-7章附参考答案）-高等数学上册第一章函数与极限一、选择题：8、设a0,b00,则当（）时有某11．函数y1某arcco的定义域是（）2(A)某1；(B)3某1；(C)(3,1)；(D)某某1某3某1.a0某ma1某m1........ama0lim.某b某nb某n1.........bb001n(A)mn；(B)mn；(C)mn；(D)m,n任意取.9、设某3,4某02.函数2的定义域是（）某1,0某3(A)4某0；(B)3;(C)(4,3);(D)某4某0某0某3.3、函数y某co某in某是（）(A)偶函数；(B)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数.4、函数f(某)1co某1,1某0,则limf(某)()某0某,0某1某（）某(A)-1；(B)1；(C)0；(D)不存在.10、lim某0(A)1；(B)-1；(C)0；(D)不存在.二、求下列函数的定义域：1、yin(2某1)arctan某;29某某2)2、(某)lg(1.2三、设g(某1)2某3某1（1）试确定a,b,c的值使g(某1)a(某1)b(某1)c；22某的最小正周期是（）1.2(A)2；(B)；(C)4；(D)5、函数某在定义域为（）1某2（2）求g(某1)的表达式.四、求f(某)(1某)gn某的反函数f五、求极限：21(A)有上界无下界；(B)有下界无上界；(C)有界，且12f(某)12(某).；某2.(D)有界，且21某26、与f(某)1某22n2n11、lim；2、；lim 某3n(1n)2某33、lim(1某)；4、lim某(e1)；某0某2某1某某2等价的函数是（）(A)某；(B)(某)2；(C)(3某)3；(D)某.7、当某0时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）某；（B）1co某；（C）某tan某；（D）ln(1某).25、当某0时，limcon某某某co........con；242某2in6、lim某1某.2某21第1页共11页ina某,某1六、设有函数f(某)试确定aa(某1)1,某1的值使f(某)在某1连续.(D)arctan某arccot某.ea某,某05、如果f(某)处处可导，那末（）2b(1某),某0（A）ab1；（B）a2,b1；（C）a1,b0；（D）a0,b1.6、已知函数f(某)具有任意阶导数，且f(某)f(某),则当n为大于2的正整数时，f(某)的n阶导数f(n)(某)是（）（A）n![f(某)]n121某arctan某1的连续性，并判七、讨论函数f(某)in某2断其间断点的类型.八、证明奇次多项式：P(某)a0某2n1a1某2na2n1(a00)至少存在一个实根.第二章导数与微分一、选择题：1、函数f(某)在点某0的导数f(某0)定义为（）；（B）n[f(某)]2nn1；（C）[f(某)]；（D）n![f(某)].7、若函数某某(t),yy(t)对t可导且某(t)0,又2nf(某0某)f(某0)（A）；某（B）lim某某0f(某0某)f(某0)；某f(某)f(某0)；某某某(t)的反函数存在且可导，则dy=（）d某（A）（C）limy(t)y(t)；（B）；某(t)某(t)y(t)y(t)；（D）.某(t)某(t)某某0（D）lim某某0f(某)f(某0)；某某0（C）8、若函数f(某)为可微函数，则dy（）（A）与某无关；（B）为某的线性函数；（C）当某0时为某的高阶无穷小；（D）与某为等价无穷小.9、设函数yf(某)在点某0处可导，当自变量某由某0增加到某0某时，记y为f(某)的增量，dy为f(某)的微分，lim2、若函数yf(某)在点某0处的导数f(某0)0，则曲线yf(某)在点(某0,f(某0))处的法线（）（A）与某轴相平行；（B）与某轴垂直；（C）与y轴相垂直；（D）与某轴即不平行也不垂直：3、若函数f(某)在点某0不连续，则f(某)在某0()（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果f(某)=（），那么f(某)0.(A)arcin2某arcco某；(B)ec某tan某；(C)in某co(1某)；2222ydy等于（）某0某（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数yf(某)在点某0处可导，且f(某0)0，第2页共11页ydy则lim等于（）.某0某（A）0；（B）-1；（C）1；（D）.二、求下列函数的导数：1、yin某ln某2；2、yacoh某（a0）；3、y(1某2)ec某；4、yln[co(103某2)]；5、设y为某的函数是由方程ln确定的；（C）它们都先肯定了点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值.（D）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法.2、若f(某)在(a,b)可导且f(a)f(b),则（（A）至少存在一点(a,b)，使f()0；（B）一定不存在点(a,b)，使f()0；（C）恰存在一点(a,b)，使f()0；（D）对任意的(a,b)，不一定能使f()0.3．已知f(某)在[a,b]可导，且方程f(某)=0在(a,b)有）某2y2arctany某dy6、设某yy，u(某某)，求.du2232t三、证明某eint，yecot满足方程t两个不同的根与，那么在(a,b)（）d2ydy2(某y).(某y)2d某d某2f(某)0.g(某)co某,某0四、已知f(某)其中g(某)有二阶某a,某0连续导数，且g(0)1，1、确定a的值，使f(某)在某0点连续；（A）必有；（B）可能有；（C）没有；（D）无法确定.4、如果f(某)在[a,b]连续，在(a,b)可导，c为介于a,b之间的任一点，那么在(a,b)（）找到两点2、求f(某)某2,某1，使f(某2)f(某1)(某2某1)f(c)成立.(n)五、设y某ln某,求f(1).六、计算39.02的近似值.七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？（A）必能；（B）可能；（C）不能；（D）无法确定能.5、若f(某)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且某(a,b)时，f(某)0，又f(a)0,则（）.（A）f(某)在[a,b]上单调增加，且f(b)0；（B）f(某)在[a,b]上单调增加，且f(b)0；（C）f(某)在[a,b]上单调减少，且f(b)0；（D）f(某)在[a,b]上单调增加，但f(b)的第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法.（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

第四单元 不定积分一、填空题1、⎰dx x x =___________。

2、⎰x xdx 2=_____________。

3、⎰+-dx x x )23(2=_____________。

4、⎰-dx x x x sin cos 2cos =___________。

5、⎰+x dx 2cos 1=____________。

6、dt t t ⎰sin =___________。

7、⎰xdx x sin =___________。

8、⎰xdx arctan =__________。

9、=+⎰dx x x 2sin 12sin ____________。

10、⎰=''dx x f x )(____________。

11、⎰=++dx x x 1)3(1________________。

12、⎰=++__________522x x dx 。

二、单项选择1、对于不定积分()dx x f ⎰，下列等式中（ ）是正确的.（A ）()()x f dx x f d =⎰； （B ） ()()x f dx x f ='⎰； （C ） ()()x f x df =⎰； （D ） ()()x f dx x f dx d =⎰。

2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d ⎰等于（ ）（A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。

3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ）（A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ；（C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。

4、若⎰+='c x dx x f 33)(，则=)(x f （ ）（A ）c x +3556；（B ）c x +3559；（C ）c x +3；（D ）c x +。

第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

4第四章不定积分答案不定积分第一节不定积分的概念与性质一、填空题1.一阶导数«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）2.不定积分«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）3．«Skip Record If...»的原函数是«Skip Record If...»则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）4．设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）5．设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）6．过点«Skip Record If...»且在横坐标为«Skip Record If...»的点处的切线斜率为«Skip Record If...»的曲线方程为（«Skip Record If...»）7．设«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）8．设«Skip Record If...»的一个原函数为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）9．«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）二、计算题：求下列不定积分：1．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»2．«Skip Record If...» =«Skip Record If...»3．«Skip Record If...» =«Skip Record If...»4．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»5. «Skip Record If...»«Skip Record If...»6. «Skip Record If...»«Skip Record If...»7. «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» 8. «Skip Record If...»«Skip Record If...»9．«Skip Record If...»«Skip Record If...»10. «Skip Record If...»«Skip Record If...»11. «Skip Record If...»«Skip Record If...» 12. «Skip Record If...»«Skip Record If...»三、求«Skip Record If...»«Skip Record If...»的一个适合«Skip Record If...»的原函数。

第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路:52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

第四章 不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx ２）⎰x x dx 2３）dx x ⎰-2)2( ４）dx x x ⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dx xxx 32532 ６）dx x x x ⎰22sin cos 2cos ７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰x x dx sin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx xx ⎰-4313 ９）dx x x ⎰3cos sin 10）dx x x⎰--249111）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos 13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 31 17)dx x x ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin３）⎰xdx x ln 2４）dx x e x ⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ） １、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法;思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分★1⎰思路: 被积函数52x -=,由积分表中的公式2可解; 解：532223x dx x C --==-+⎰★2dx-⎰ 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★322x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★43)x dx -思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分;解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★54223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分; 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★6221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分;解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出56两题的解题思路是一致的;一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分;★7x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分;解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★823(1dx x -+⎰思路:分项积分;解：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰ ★★9思路=11172488xx ++==,直接积分; 解：715888.15x dx x C ==+⎰ ★★10221(1)dx x x +⎰思路:裂项分项积分;解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x=-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★11211x x e dx e --⎰ 解：21(1)(1)(1).11x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰★★123x x e dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变,底数相乘;显然33x x x e e =（）;解：333.ln(3)x x x xe e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★132cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”;解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰★★1423523x xx dx ⋅-⋅⎰思路:被积函数 235222533x x x x ⋅-⋅=-（）,积分没困难; 解：2()2352232525.33ln 2ln 3x x xx x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★152cos 2x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分;解：21cos 11cos sin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰★★1611cos 2dx x +⎰ 思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分;解：221111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x===++⎰⎰⎰ ★17cos 2cos sin x dx x x -⎰ 思路:不难,关键知道“22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”;解：cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x dx x x dx x x C x x=+=-+-⎰⎰ ★1822cos 2cos sin x dx x x ⋅⎰ 思路:同上题方法,应用“22cos 2cos sin x x x =-”,分项积分;解：22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x-==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰★★19dx ⎰思路:注意到被积函数==,应用公式5即可;解：22arcsin .dx x C ==+⎰ ★★2021cos 1cos 2x dx x ++⎰思路:注意到被积函数 22221cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x++==++,则积分易得; 解：221cos 11tan sec .1cos 2222x x x dx xdx dx C x ++=+=++⎰⎰⎰ ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰,求()f x ;知识点：考查不定积分原函数与被积函数的关系;思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()d f x dx f x dx =⎰即可; 解：等式两边对x 求导数得：★3、设()f x 的导函数为sin x ,求()f x 的原函数全体;知识点：仍为考查不定积分原函数与被积函数的关系;思路分析：连续两次求不定积分即可;解：由题意可知,1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰（）;★4、证明函数21,2x x e e shx 和x e chx 都是s x e chx hx -的原函数 知识点：考查原函数不定积分与被积函数的关系;思路分析：只需验证即可;解：2x x e e chx shx =-,而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx ===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程; 知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数不定积分与被积函数的关系; 思路分析：求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可;解：设曲线方程为()y f x =,由题意可知：1[()]d f x dx x =,()ln ||f x x C ∴=+； 又点2(,3)e 在曲线上,适合方程,有23ln(),1e C C =+∴=,所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+★★6、一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是23(/)t m s ,问：（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少（2） 物体走完360米需要多少时间知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数不定积分与被积函数的关系; 思路分析：求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可;解：设物体的位移方程为：()y f t =,则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+d dt, 又因为物体是由静止开始运动的,3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=;1 3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米；2令3360t t =⇒=秒;习题4-2★1、填空是下列等式成立;知识点：练习简单的凑微分; 思路分析：根据微分运算凑齐系数即可;解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dx d x xdx d x x dx d x =-=--=-2、求下列不定积分;知识点：凑微分第一换元积分法的练习;思路分析：审题看看是否需要凑微分;直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握;此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍★13t e dt ⎰思路:凑微分;解：33311(3)33t t t e dt e d t e C ==+⎰⎰ ★23(35)x dx -⎰思路:凑微分; 解：33411(35)(35)(35)(35)520x dx x x x C -=---=--+⎰⎰d ★3132dx x -⎰思路:凑微分;解：1111(32)ln |32|.322322dx d x x C x x =--=--+--⎰⎰ ★4⎰ 思路:凑微分;解：1233111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+⎰ ★5(sin )xb ax e dx -⎰思路:凑微分;解：11(sin )sin ()()cos x x x b b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a-=-=--+⎰⎰⎰★★6思路:如果你能看到td =,凑出d 易解;解：2C ==+⎰ ★7102tan sec x xdx ⎰思路:凑微分;解：10210111tan sec tan (tan )tan .11x xdx xd x x C ==+⎰⎰ ★★8ln ln ln dx x x x ⎰思路:连续三次应用公式3凑微分即可;解：(ln ||)(ln |ln |)ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+⎰⎰⎰★★9tan ⎰思路:是什么,是什么呢就是这有一定难度解：ln ||C ==-+⎰⎰ ★★10sin cos dx x x ⎰思路:凑微分;解：方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =;方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数;方法三： 三角公式22sin cos 1x x +=,然后凑微分;★★11x x dx e e -+⎰思路:凑微分：222111()x x x x x x x x dx e dx de de e e e e e -===++++;解：22arctan 11()x x x x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++⎰⎰⎰ ★122cos()x x dx ⎰思路:凑微分;解：222211cos()cos sin 22x x dx x dx x C ==+⎰⎰ ★★13思路:22==凑微分易解; 解：1222211(23)(23)66x d x C -=-=---=⎰ ★★142cos ()sin()t t dt ωω⎰思路:凑微分;解：22211cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωωω==-⎰⎰⎰★★153431x dx x -⎰ 思路:凑微分;解：33444444433431313(1)ln |1|.44441111x x dx dx dx d x x C x x x x===--=--+----⎰⎰⎰⎰ ★163sin cos x dx x ⎰思路:凑微分;解：332sin 111cos .2cos cos cos x dx d x C x x x =-=+⎰⎰ ★★179思路:经过两步凑微分即可;解：9101010111010C ===+⎰ ★★18思路:分项后分别凑微分即可;解：=-⎰ ★★19 221dx x -⎰ 思路:裂项分项后分别凑微分即可;解：21212dx dx x ==-⎰⎰⎰ ★202(45)xdx x -⎰思路:分项后分别凑微分即可;解：22214541114(45)(45)5(45)2545(45)xdx x dx d x x x x x --=-=------⎰⎰⎰（）（） ★212100(1)x dx x -⎰思路:分项后分别凑微分即可;解：222100100100100100(11)(1)(1)1(2)(1)(1)(1)(1)(1)x dx x dx x x dx x x x x x -+--==++-----⎰⎰⎰ ★★2281xdx x -⎰思路:裂项分项后分别凑微分即可;解：28444444111111()()241(1)(1)1111xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+⎰⎰⎰⎰ ★233cos xdx ⎰思路:凑微分;cos sin xdx d x =;解：3222cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰★★242cos ()t dt ωϕ+⎰思路:降幂后分项凑微分; 解：21cos 2()11cos ()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ωϕωϕωϕωϕω+++==+++⎰⎰⎰⎰★★★25sin 2cos3x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分;解：111sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102x xdx x x dx xd x xdx =-=-⎰⎰⎰⎰ ★★★26sin5sin 7x xdx ⎰思路:积化和差后分项凑微分;解：111sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424x xdx x x dx xd x xd x =-=-⎰⎰⎰⎰ ★★★273tansec x xdx ⎰思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =;解：3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =⋅==-⎰⎰⎰⎰★★28arccos x思路:(arccos )d x =-;解：arccos arccos arccos 1010arccos .ln10x xxd x C =-=-+⎰★★29思路:(arcsin )d x =;解：2arcsin 1arcsin (arcsin )d x C x x ==-+⎰★★★★30思路:==;解：==⎰★★★★31ln tan cos sin xdx x x ⎰思路:被积函数中间变量为tan x ,故须在微分中凑出tan x ,即被积函数中凑出2sec x , 解：2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x xdx dx d x xd x x x x x x===⎰⎰⎰⎰ ★★★★3221ln (ln )xdx x x +⎰思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+ 解：221ln 11(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x x x x x +==-+⎰⎰ ★★★★331x dxe -⎰解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以 x e ,则凑微分易得; 方法二： 思路:分项后凑微分 方法三：思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x e ,裂项后凑微分;★★★★346(4)dx x x +⎰解：方法一:思路：分项后凑积分;方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换; 令1x t =,则21dx dt t=-; ★★★★3582(1)dxx x -⎰解：方法一: 思路：分项后凑积分;方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换; 令1x t=,则21dx dt t =-; 6426422753751111(1)()(1)()211111111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++⎰⎰⎰⎰3、求下列不定积分;知识点：真正的换元,主要是三角换元第二种换元积分法的练习;思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式三角函数中,下列二恒等式起到了重要的作用;为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调;不妨将角的范围统统限制在锐角范围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可;★★★1⎰ 思路:令sin ,2x t t π=<,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式;解：令sin ,2x t t π=<,则cos dx tdt =;tan arcsin .2t t C x C =-+=+或arcsin x C =+ 万能公式sin 1cos tan 21cos sin tt tt t-==+,又sin t x =时,cos t★★★2⎰思路:令3sec ,(0,)2x t t π=∈,三角换元;解：令3sec ,(0,)2x t t π=∈,则3sec tan dx t tdt =;3sec x x =时,3cos ,sin tan x x x x===★★★3思路:令tan ,2x t t π=<,三角换元;解：令tan ,2x t t π=<,则2sec dx tdt =;★★★4思路:令a tan ,2x t t π=<,三角换元;解：令tan ,2x a t t π=<,则2a sec dx tdt =;★★★★52思路:先令2u x =,进行第一次换元；然后令tan ,2u t t π=<,进行第二次换元;解：2224112x x x +=+⎰,令2u x =得：212=,令tan ,2u t t π=<,则2sec du tdt =, 与课本后答案不同★★★6思路:三角换元,关键配方要正确;解：22549(2)x x x --=-+,令23sin ,2x t t π+=<,则3cos dx tdt =;★★4、求一个函数()f x ,满足'()f x =,且(0)1f =;思路:,由条件(0)1f =确定出常数C 的值即可;解：1(1).1x C x=+=+⎰⎰令()f x C =+,又(0)1f =,可知1C =-,★★★5、设tan ,n n I xdx =⎰,求证：1-21tan 1n n n I x I n -=--,并求5tan xdx ⎰; 思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n x 分开成22tan tan n x x -,进而写成：22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-,分项积分即可;证明：222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-⎰⎰⎰⎰ 习题4-3 1、求下列不定积分：知识点：基本的分部积分法的练习;思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分;”的原则进行分部积分的练习;★1arcsin xdx ⎰思路:被积函数的形式看作0arcsin x x ,按照“反、对、幂、三、指”顺序,幂函数0x 优先纳入到微分号下,凑微分后仍为dx ;解：21arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+-⎰⎰ ★★22ln(1)x dx +⎰思路：同上题;解：22222222ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x+=+-=+-++⎰⎰⎰ ★3arctan xdx ⎰思路：同上题;解：222(1)arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x+=-=-++⎰⎰⎰1★★42sin 2xx e dx -⎰ 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：22221111sin sin ()sin cos 22222222xx x x x x x x e dx d e e e dx ----=-=-+⎰⎰⎰ ★★52arctan x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：32332111arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x dx x ==-+⎰⎰⎰ ★6cos 2xx dx ⎰ 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：cos 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin 2222222xx x x x x xx dx xd x dx x d==-=-⎰⎰⎰⎰ ★★72tan x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰d★★82ln xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222211ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x x=-⋅⋅=-=-+⋅⎰⎰⎰⎰★★9ln(1)x x dx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：22211ln(1)ln(1)ln(1)2221x x x x dx x d x x dx x -=-=---⎰⎰⎰★★1022ln xdx x ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x x=-=-+⋅=-+⎰⎰⎰⎰★★11cosln xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：1cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x =+⋅=+⎰⎰⎰ ★★122ln x dx x ⎰思路：详见第10 小题解答中间,解答略;★★13ln (1)nx xdxn ≠-⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：111111ln ln ln 111n nn n x x xdx xdx x x dx n n n x+++==-⋅+++⎰⎰⎰ ★★142xx e dx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222222x x x x x x x e dx x e e xdx x e xe e dx ------=-+=--+⎰⎰⎰★★1532(ln )x x dx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：32244241111(ln )(ln )()(ln )2ln 444x x dx x d x x x x x dx x==-⋅⋅⎰⎰⎰ ★★16ln ln xdx x ⎰思路： 将积分表达式ln ln xdx x写成ln ln (ln )xd x ,将ln x 看作一个整体变量积分即可; 解：ln ln 111ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x x x x==-⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰ ★★★ 17sin cos x x xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：11111sin cos sin 2(cos 2)cos 2cos 222244x x xdx x xdx xd x x x xdx ==-=-+⎰⎰⎰⎰★★1822cos 2x x dx ⎰思路：先将2cos 2x 降幂得1cos 2x+,然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：2222221111cos (cos )cos 22222xx dx x x x dx x dx x xdx =+=+⎰⎰⎰⎰ ★★192(1)sin 2xxdx -⎰思路：分项后对第一个积分分部积分;解：22211(1)sin 2sin 2sin 2(cos 2)cos 222x xdx x xdx xdx x d x x -=-=-+⎰⎰⎰⎰★★★20⎰思路：首先换元,后分部积分;解：令t =,则32,3,x t dx t dt ==★★★212(arcsin )x dx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：22(arcsin )(arcsin )x dx x x x =-⎰⎰222(arcsin )2(arcsin )2(arcsin )2.x x x x x x dx x x x x C =+-=+-=+-+⎰★★★222sin x e xdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：方法一： 方法二：★★★23思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：ln(1))1x d x x =++-+⎰⎰令t=则2,dx tdt =所以原积分)4arctan x C=+-++;★★★24ln(1)x x e dx e +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：ln(1)ln(1)()ln(1)1x x x x x x xx xe e dx e d e e e e dx e e---+=+-=-+++⎰⎰⎰ 注：该题中11x dx e +⎰的其他计算方法可参照习题4-2,233; ★★★251ln 1xx dx x +-⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：2222111111111lnln ()ln 1122121(1)x x x x x xx dx d x x x dx x x x x x +++--++==-⋅---+-⎰⎰⎰ 注： 该题也可以化为 1ln[ln(1)ln(1)]1xx dx x x x dx x+=+---⎰⎰再利用分部积分法计算; ★★★26sin 2cos dxx x ⎰思路：将被积表达式sin 2cos dxx x 写成22sec tan 2sin 2sin 2sin cos dx xdx d x x x x x ==,然后分部积分即可; 解：22sec tan sin 2cos 2sin 2sin 2sin cos dx dx xdx d xx x xx x x ===⎰⎰⎰⎰2、 用列表法求下列不定积分;知识点：仍是分部积分法的练习;思路分析：审题看看是否需要分项,是否需要分部积分,是否需要凑微分;按照各种方法完成;我们仍然用一般方法解出,不用列表法;★13xxedx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：33333331111111()3().3333933x x x x x x xxe dx xd e xe e dx xe e d x x e C ==-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★2(1)xx e dx +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：(1)(1)(1)x x x x x x e dx x de x e e dx xe C +=+=+-=+⎰⎰⎰;★32cos xxdx ⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：2222cos sin sin 2sin sin 2cos x xdx x d x x x x xdx x x xd x ==-=+⎰⎰⎰⎰★42(1)x xe dx -+⎰思路：分项后分部积分即可;解：222(1)()x x x x x x e dx x e dx e dx x d e e dx -----+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰★5ln(1)x x dx +⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可;解：222111ln(1)ln(1)()ln(1)-2221x x x dx x d x x x dx x +=+=++⎰⎰⎰★6cos xe xdx -⎰思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可; 解：cos cos ()cos sin xx x x exdx xd e e x e xdx ----=-=--⎰⎰⎰★3、已知sin xx是()f x 的原函数,求()xf x dx '⎰; 知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习;思路分析：积分 ()xf x dx '⎰中出现了()f x ',应马上知道积分应使用分部积分, 条件告诉你sin xx是()f x 的原函数,应该知道sin ().xf x dx C x=+⎰解：()()()()xf x dx x f x xf x f x dx '=-⎰⎰⎰d()=又2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x xf x dx C f x xf x x x x --=+∴=∴=⎰★★4、已知()xe f x x=,求()xf x dx ''⎰;知识点：仍然是分部积分法的练习;思路分析：积分()xf x dx ''⎰中出现了(f x '',应马上知道积分应使用分部积分; 解：()(())()()()().xf x dx xd f x xf x f x dx xf x f x C ''''''==-=-+⎰⎰⎰又22(1)(1)(,(),();x x x x x e xe e e x e x f x f x xf x x x x x---''∴=∴)=== ★★★★5、设n I =sin n dx x ⎰,(2)n ≥；证明：211cos 21sin 1n n n x n I I n x n ---=-⋅+--; 知识点：仍然是分部积分法的练习; 思路分析：要证明的目标表达式中出现了n I ,1cos sin n x x -和2n I - 提示我们如何在被积函数的表达式1sin n x中变出1cos sin n xx- 和21sinn x- 呢这里涉及到三角函数中1的变形应用,初等数学中有过专门的介绍,这里1可变为22sin cos x x +;证明：22sin cos x x +1=2222222221222-1sin cos cos sin cos 1sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin n n n n n n n n n n n n n n n n n n dx x x x x x I dx dx dx dx dx x xx x x x x x dx I d x I x x x x x n x x x x dx I x x x I x -----+∴===+=+=+=+-⋅-=-⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222212222112.1cos cos 1sin sin sin sin cos cos (2)sin sin 1cos 21sin 1n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x n dx I I n dx I x x x x x I nI nI I nI n I x xx n I I n x n --------------++=+++=++-+=+---∴=-⋅+--⎰⎰★★★★6、设f x ()为单调连续函数,f x -1()为其反函数,且()()f x dx F x C =+⎰ ,求：1fx x -⎰()d ;知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系,还有就是分部积分法的练习; 思路分析：要明白1(())x f f x -=这一恒等式,在分部积分过程中适时替换;解：f x x x f x x f x ⎰⎰-1-1-1()d =()-d(())又1(())x f f x -=又()()f x dx F x C =+⎰习题4-41、 求下列不定积分知识点：有理函数积分法的练习;思路分析：被积函数为有理函数的形式时,要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式,若是假分式,通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析;★133x dx x +⎰思路：被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分; 解：3327272739333x x x x x x x +-==-+-+++2 ★★★2 5438x x dx x x +--⎰思路：被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分; 解：545342323338()()()881,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+-+-++-+-==+++---22而3(1)(1),xx x x x -=+-令23811x x A B C x x x x x +-=++-+-,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：118A B C C B A ++=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解此方程组得：843A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩★★★3331dx x +⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：321(1)(1)x x x x +=+-+,令323111A Bx Cx x x x +=+++-+等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：⎧⎪⎨⎪⎩A+B=0B+C-A=0A+C=3解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩★★★431(1)x dx x +-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：令32311(1)(1)(1)x A B Cx x x x +=++----,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0,21,1A B A A B C =-=-+=,解此方程组得：0,1,2A B C ===;★★★5332(1)x dx x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：3333232(1)(1)(1)x x x x x x +=++++,令32321(1)(1)(1)A B C Dx x x x x x =+++++++等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0320302A B A B C A B C D A +=⎧⎪++=⎪⎨+++=⎪⎪=⎩解此方程组得：2222A B C D =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩;★★★62(2)(3)xdxx x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：22222222(2)(3)(2)(3)(2)(3)(2)(3)x x x x x x x x x x x +-+==-++++++++ 2212(3)(2)(3)x x x =-+++；令22223(2)(3)(3)A B Cx x x x x =+++++++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：06509622A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解此方程组得：2222222223(2)(3)(3)2A B x x x x x C =⎧⎪=-∴=--⎨+++++⎪=-⎩★★★7331xdx x -⎰思路：将被积函数裂项后分项积分;解：332333(1)3331111x x x x x x x -+==+--++- 令323111A Bx C x x x x +=+--++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 003AB A BC A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 解此方程组得：112A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩而222222131313(21)(21)(21)2222222111111x x x x x x x x x x x x x x x x +++++==+=+++++++++++++ ★★★82221(1)x x dx x --+⎰思路：将被积函数裂项后分项积分;解：22222222112(1)1(1)(1)x x x x x x x --=--+++++又由分部积分法可知：222212(1)11dx x dx x x x =++++⎰⎰★★★9(1)(2)(3)xdxx x x +++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：3313(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x x +-==-+++++++++++令3(1)(2)(3)123A B Cx x x x x x =++++++++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：054306323A B C A B C A B C ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：333233223(1)(2)(3)12332A B x x x x x x C ⎧=⎪⎪=-∴=-+⎨++++++⎪⎪=⎩而111(1)(2)12x x x x =-++++★★★10221(1)(1)x dx x x ++-⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：22222112121(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x +-+==+++-+-+- 令22211(1)(1)(1)A B Cx x x x x =++-++-+,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0,20,2A B A C A B C +=+=--=；解之得：11,,122A B C ==-=-;★★★1121(1)dx x x +⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：令221(1)1A Bx Cx x x x +=+++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 001A B C A +=⎧⎪=⎨⎪=⎩解之得：221111(1)10A xB x x x xC =⎧⎪=-∴=-⎨++⎪=⎩★★★1222()(1)dxx x x ++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：22211()(1)(1)(1)x x x x x x =++++令22211()(1)1A B Cx Dx x x x x x +=++++++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得： 0,0,0,1A B C A C D A B D A ++=++=++==,解之得：★★★★★1341dx x +⎰思路：将被积函数裂项后分项积分;解：4221(1)(1)x x x +=+-++令411x =++,等式右边通分后比较两边分子x 的同次项的系数得：0001A C B D A C B D +=⎧+-+=++-=⎪⎪+=⎩解之得：412412A B C D ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎩注：由导数的性质可证21)1)arctan1x ++-=-本题的另一种解法：注：由导数的性质可证22arctan21xπ=+-; ★★★★★142222(1)x dx x x --++⎰思路：将被积函数裂项后分项积分; 解：222222211(1)(1)x x x x x x x x --++-+=-++++ 又22223112122(1)11x dxdx x x x x x x +=+++++++⎰⎰ 注：本题再推到过程中用到如下性质：本性质可由分部积分法导出;若记22()n ndxI x a =+⎰,其中n 为正整数,0a ≠,则必有：122211[(23)]2(1)()n n n xI n I a n x a --=+--+; 2、 求下列不定积分知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习;思路分析：求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成;★★123sin dxx+⎰思路：分子分母同除以x 2sin 变为2csc x 后凑微分;解：2222()csc cot 63sin 3csc 13cot 4d x dx xdx d x x x x ==-=-+++⎰⎰⎰⎰★★23cos dxx+⎰思路：万能代换解：令tan 2xt =,则22212cos ,;11t dt x dx t t -==++ 注：另一种解法是：★★32sin dxx+⎰思路：万能代换 解：令tan2x t =,则2222sin ,;11t dt x dx t t ==++ ★★41tan dx x+⎰思路：利用变换tan t x =万能代换也可,但较繁 解：令tan t x =,则2arctan ,;1dtx t dx t ==+ ★★51sin cos dxx x++⎰思路：万能代换解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++ ★★652sin cos dxx x+-⎰思路：万能代换解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++而22133221(33dt C t t ===++++⎰ ★★★★7(54sin )cos dxx x+⎰思路一：万能代换解：令tan 2xt =,则2222212sin ,cos ,;111t t dt x x dx t t t -===+++ 而22244(585)(1)(585)(1)(1)t t t t t t t =++-++-+,令22411(585)(1)(1)585At B C Dt t t t t t t t +=++-+++-+++,等式右边通分后比较两边分子t 的同次项的系数得：55013301330554A C DBCD A C D B C D ++=⎧⎪++=⎪⎨-+-=⎪⎪+-=⎩解之得：116,;916C D ⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩5A=27B=8 2222221191110891161161458585851191110871()(54sin )cos 161161458585851191110871(54sin )cos 161161458585851ln 16t t t t t t t dx t dt x x t t t t t t dx t dt dt dt dt x x t t t t t t t +=⋅-⋅+⋅-⋅-++++++∴=-⋅+⋅-⋅-⋅+-++++++∴=-+--+-+++++=--⎰⎰⎰⎰⎰22917541ln 1ln(585)arctan()1642435tan 419172ln tan 1ln tan 1ln(5tan 8tan 5)arctan()162162422243t t t t C x x x x x C +++-++-++=--++-++-+思路二：利用代换sin t x = 解：令sin t x x π=，<2,则dxx ==令21(54)(1)5411A B Ct t t t t =+++-+-+,等式右边通分后比较两边分子t 的同次项的系数得：44090551A B C B C A B C ++=⎧⎪+=⎨⎪-+-=⎩解之得:216911161111118(54)(1)9541812112A B t t t t t C ⎧=⎪⎪⎪=∴=⋅+⋅-⋅⎨+-+-+⎪⎪=-⎪⎩注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单★★★★81sin (1cos )sin xdx x x++⎰思路：将被积函数分项得,对两个不定积分分别利用代换cos t x =和万能代换 解：1sin 11(1cos )sin (1cos )sin 1cos x x x x x x+=++++对积分1(1cos)sin dx x x+⎰,令cos ,(0,)t x x π=∈,则dx x == 令22111(1)(1)(1)A B Ct t t t t =++-++-+,等式右边通分后比较两边分子t 的同次项的系数得：0201A B A C A B C +=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解之得：221411111111441412(1)(1)(1)12A B t t t t t C ⎧=⎪⎪⎪=-∴=⋅-⋅-⋅⎨-++-+⎪⎪=-⎪⎩对积分11cos dx x+⎰,令22212tan ,os ,211x t dt t c x dx t t -===++★★9思路：变无理式为有理式,变量替换t =解：令t =则 321,3;x t dx t dt +==★★103思路：变无理式为有理式,变量替换t =;解：令2,2;t x t dx tdt ===★★11思路：变无理式为有理式,变量替换t =解：令21,2;t x t dx tdt =+==222122222(2)1111124444ln 11)1t t t t t tdt dt dt t dtt t t t tdt dt dt t t t C x Ct---∴====-+++++=-+=-+++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰★★★12思路：变无理式为有理式,变量替换t =; 解：令87,8;t x t dx t dt ===★★★133思路：变无理式为有理式,三角换元; 解：令2tan ,,sec .2x t t dx tdt π=<=则★★★14 思路,三角换元;解：令sin ,;2x a t t π=<则cos dx a tdt =；注： 另一种解法,分项后凑微分;★★★15思路：换元;解：令11x t x +=-,则22.(1)dx dt x -=- 总习题四★1、设()f x 的一个原函数是2x e -,则()().f x =A 2x e -B -22x e -C -42x e -D 42x e - 知识点：原函数的定义考察; 思路分析：略; 解：B;★2、设()arcsin xf x dx x C =+⎰,则()dxf x =⎰; 知识点：原函数的定义性质考察;思路分析：对条件两边求导数后解出()f x 后代入到要求的表达式中,积分即可; 解：对式子()arcsin xf x dx x C =+⎰两边求导数得：★★3、设222(1)ln 2x f x x -=-,且(())ln f x x ϕ=,求()x dx ϕ⎰;知识点：函数的定义考察;思路分析：求出()f x 后解得()x ϕ,积分即可; 解：22222111()1(1)ln ln ,()ln ,(())ln ,1()1211x x t x f x f t f x t x x x ϕϕϕ-+++-==∴=∴=-----又()11(())ln ,,()()11x x f x x x x x x ϕϕϕϕ++=∴∴=--=;★★★4、设F()x 为()f x 的原函数,当>0x 时,有2()F()sin 2f x x x =,且(0)1F =, ()0F x ≥试求()f x ;知识点：原函数的定义性质考察;思路分析：注意到()()dF x f x dx =,先求出()F x ,再求()f x 即可; 解：22()()sin 2()()sin 2f x F x x f x F x dx xdx =∴=⎰⎰；即2221()()sin 2,(())sin 2,2F x dF x xdx F x xdx =∴=⎰⎰⎰ 又21(0)1,1;(())sin 41;(0.)4F C F x x x x =∴=∴=-+>又()0,()F x F x >∴=又22()()sin 2,()f x F x x f x =∴=5、求下列不定积分; 知识点：求不定积分的综合考察; 思路分析：具体问题具体分析;★★1⎰思路：变无理式为有理式,变量替换t =解：令t =则222,,55t tx dx dt -==- ★21)x >⎰思路：变无理式为有理式,变量替换sec x t =; 解：令sec ,02x t t π=<<,则sec tan dx t tdt =;★★★32394x xx x dx -⎰思路：将被积函数2394x x x x - 变为2222()33221[()]1()33x xx xx x --=后换元或凑微分;解：令2()3x t =,则22()ln 33x dt dx =;★★4266(0)x dx a a x >-⎰思路：凑微分;解：23336666632111133()x dx dx dx t x a xa x a x ===---⎰⎰⎰,令, ★★5思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元; 解：方法一：(1dx x =+⎰令11sec ,0,222x tt π+=<<,则1sec tan ;2dx ttdt = 方法二：22(1dxx ==+⎰⎰令2t=∴=再令tan ,2t z z π=<,则2sec ,dtzdz =★★★610(2)dxx x +⎰思路：倒代换解：令1x t =，,则21,dx dt t =-★★★★77cos 3sin 5cos 2sin x xdx x x -+⎰思路：大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分,一般思路是将被积函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式,然后分项分别积分即可;解：7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )x x x x x x '-=+++★★★★8 (1sin )1cos x e x dx x ++⎰思路：分项积分后对前一积分采用分部积分,后一积分不动;解：2(1sin )sin ()(tan )1cos 1cos 1cos 22cos 2x x x xx e x e e xe xdx dx e dx x x x x +=+=++++⎰⎰⎰ ★★★★6、求不定积分：23()()()[]()()f x f x f x dx f x f x ''-''⎰知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性;思路分析：分项后,第二个积分显然可凑现成的微分,分部积分第二个积分,第一个积分不动,合并同种积分,出现循环后解出加一个任意常数即可;解：2233()()()()()()[]()()()()f x f x f x f x f x f x dx dx dx f x f x f x f x ''''-=-''''⎰⎰⎰ 而22223333()()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x f x dx df x f x f x d f x f x f x f x '''''==-''''⎰⎰⎰ ★★★★7、设tan (1)n n I xdx n =>⎰，,求证：121tan 1n n n I x I n --=--，,并求5tan xdx ⎰; 知识点：分部积分法考察,三角恒等式的应用,凑微分等;思路分析：由要证明的目标式子可知,应将tan n x 分解成22tan tan n x x -,进而写成22tan (sec 1)n x x --,分部积分后即可得到2n I -;证明：2222tan tan tan tan (sec 1)n n n n I xdx x xdx x x dx --===-⎰⎰⎰22121tan tan tan tan 1n n n n xd x xdx x I n ----=-=--⎰⎰; ★★★8、().B = 思路：化无理式为有理式,三交换元; 解：11x x +=-令sin ,2x t t π=<,则cos dx tdt =;★★★9、设不定积分1(1)xxdx x xe +=+⎰1I ,若x u xe =,则有()D ; 思路：x u xe =,提示我们将被积函数的分子分母同乘以x e 后再积分;解：1(1)(1)(1)x x x xx e x dx dx x xe e x xe ++==++⎰⎰1I 又()(1);x x x du e xe dx e x dx =+=+2,(1)duI u u ∴==+⎰1I 选()D ;10、求下列不定积分:知识点：求无理函数的不定积分的综合考察; 思路分析：基本思路——将被积函数化为有理式;★★★★1、思路：先进行倒代换,在进行三角换元 ; 解：令1x t =,则21dx dt t=-; 令2tan ,02tu u π=<<,则22sec dtudu =;★★★2、.思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令sec ,02x t t π=<<,则sec tan ,dx t tdt =注： 11(arccos )(arcsin )xx''=-★★★3、.思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令sin ,02x t t π=<<,则cos dx tdt =；★★★★★4、思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令sin ,02x t t π=<<,则cos dxtdt =；★★★5、思路：进行三角换元,化无理式为有理式; 解：令2sin ,02x t t π=<<,则2cos dx tdt =；11、求下列不定积分:知识点：较复杂的分部积分法的考察;思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分;★★★1、ln(x dx +⎰思路：分部积分;解：ln(ln(x dx x x dx +=+-+⎰★★2、2ln(1)x dx +⎰思路：分部积分;解：222222222(1)2ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x dx x x dx x x +-+=+-=+-++⎰⎰⎰ 2221ln(1)22ln(1)22arctan 1x x dx dx x x x x C x=+-+=+-+++⎰⎰; ★★★★3、4tan sec x x xdx ⎰思路：分部积分; 解：4343tan sec sec sec sec sec (sec x x xdx x xd x x x x x ==-⎰⎰⎰★★★4、22arctan 1x xdx x +⎰思路：分项后分部积分;解：22222111arctan arctan arctan arctan 111x x xdx xdx xdx xdx x x x +-==-+++⎰⎰⎰⎰ ★★★★5、23ln(1)x dx x +⎰思路：分部积分后 倒代换;解：22222232ln(1)111ln(1)()ln(1)22221x x dx x d x x x xdx xx ---+=+-=-+++⎰⎰⎰ 对于积分2(1)dx x x +⎰应用倒代换,令1x t =,则21dx dt t =-, ★★★6、1cos xdx x +⎰思路：将被积函数变形后分部积分; 解：2221sec sec tan 1cos 222222cos 2xx x x x x dx dx x dx x d xd x x====+⎰⎰⎰⎰⎰ 11cos tanln tan ln 1cos 222x x xx C x x C +=++=+++; ★★★12、求不定积分:,n x n I x e dx n =⎰为自然数;知识点：较复杂的分部积分法的考察;思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分,推一个递推关系式; 解：1x I xe x C =-+★★★13、求不定积分:2(23)cos 2.x x xdx -+⎰知识点：较复杂的分部积分法的考察;思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分,分项后分别积分; 解：22(23)cos2cos22cos23cos2x x xdx x xdx x xdx xdx -+=-+⎰⎰⎰⎰14、求下列不定积分:知识点：求解较复杂的有理函数和无理函数的不定积分; 思路分析：基本思路——有理式分项、无理式化为有理式;★★★★1、118432x dxx x ++⎰思路：将被积函数化为一个整式加上一个真分式的形式,然后积分;。

第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!
★(１）
思路: 被积函数5
2
x -=,由积分表中的公式（2)可解。

解:53
22
23x dx x C --==-+⎰
★（2）dx
⎰
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。

解:1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★（3)22x x dx +⎰（）
思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

解:22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）
★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。

解：3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★（5)4223311x x dx x +++⎰
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6）2
21x dx x +⎰
思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。

不定积分例题及参考答案87427763不定积分例题及参考答案第4章不定积分内容概要课后习题全解 习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx+⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx-思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C-=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰★★(6)221x dxx +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

不定积分第一节 不定积分的概念与性质一、 填空题1.一阶导数='⎰)sin 5(xdx x （x x sin 5）2.不定积分=⎰)(arctan x d （.arctan C x +）3．)(x f 的原函数是,ln 2x 则=⎰dx x f x )('3（C x +-2 ） 4．设,cos 1)(2xx f =则⎰=dx x f )('（C x +2cos 1），⎰=dx x f dx d )(（x 2cos 1 ） ⎰=dx x f )(（C x +tan ）5．设⎰+-=,)(`c e xe dx x f x x 则⎰=dx x f )(' （C xe x +）6．过点），（10且在横坐标为x 的点处的切线斜率为3x 的曲线方程为（1414+=x y ） 7．设x x f 22sin )(cos '=，且,0)0(=f 则=)(x f （x x +-221 ） 8．设)(x f 的一个原函数为x1，则=')(x f （32x ）9．⎰=-x d xcos )1cos 1(2（C x x +--cos cos 1）二、计算题：求下列不定积分：1．⎰+-dx xx x 4312=C x x x ++-4312134534132454 2．⎰-dx x x x )11(2 =C x x ++-41474473．dx e e xx ⎰+-112 =C x e x +- 4．⎰dx xx 22cos sin 1=C x x +-cot tan 5. dx x x ⎰--3273C x x x dx x x x x +++=-++-=⎰923313)93)(3(232 6. ⎰-+dx xx x 324)1(C x x x dx x xx+-+=-+=⎰-3431333131032431333)(7. dx x x ⎰+)1(122dx x x x x ⎰+-+=)1()1(2222dx x ⎰=21dx x ⎰+-211C x x+--=arctan 18. ⎰dx x 2sin 2C x x dx x +-=-=⎰)sin (212cos 1 9．⎰xdx 2cot C x x dx x +--=-=⎰cot )1(csc 2 10. ⎰-x dx 2cos 1C x xdx dx x+-===⎰⎰cot 21csc 21sin 212211.dxx x ⎰+221⎰⎰⎰+-=+-=+-+=C x x dx x dx dx x x arctan 11111222 12. dx e xx⎰2C ee dx e xx+==⎰2ln )2()2(三、 求},1max{)(2x x f =的一个适合1)0(=F 的原函数。

《微积分》第四章不定积分 复习题四Ex1(1)若不定积分21()()d (1)d .2f x f x x x x x x C '==+=++⎰⎰则函数2222211(1)d (1)d(1)(1).22x f x x f x x x C -=---=--+⎰⎰Ex1(2)设()1,f x x '=+sin Ex1(3)设()f x 的一个原函数为xx，求()xf x dx'⎰解：由于sin xx为()f x 的原函数，故2sin cos sin ()x x x x f x x x '-⎛⎫== ⎪⎝⎭从而()(())()()xf x dx xd f x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰2cos sin sin x x x x x C x x-=⋅-+sin cos 2x x C x =-+2()d ,则f x x x C =+⎰Ex1.填空题:若令t =ln x ,()d (),则f x x F x C =+⎰Ex1(4)不定积分()()d e 1.x f x f x x '==-⎰.2tan 2d 2sec d 1cos 12d cos 1cos 12C x x x x x x x x x x +-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-⎰⎰⎰()()d e .x f x f x x C '==+⎰则函数Ex1(5)已知(ln ),1<<+,(0)=0,其中且f x x x f '=∞有f ’(t )=e t ,令x=0, 得C =－1,Ex1(6)设a,b 为常数, b ≠0, 不定积分11()d ()d()().f a bx x f a bx a bx F a bx C b b-=---=--+⎰⎰Ex2. 用下列变量替换求不定积分:1(1);(2)(1)sec;(1).t t x t tx====xxxI d112⎰-=.||1arcsin||arcsind11d1122CxCtttxxx+-=+-=--=-⎰⎰2111(1),,d d令则，故t x x tx t t===-解:.||1arcsin||1d)/1(11d)/1(11d112222Cxxxxxxxxx+-=--=-=-⎰⎰⎰注: 用凑微分法解题如下:Ex2. 用下列变量替换求不定积分:xxxI d112⎰-=.1arctanarctand11d11222CxCtttxxx+-=+=+=-⎰⎰解:.1arccosdd112CxCttxxx+=+==-⎰⎰于是则令,d1d,1,1)2(222tttxtxxt+=+=-=解:于是则令,dtansecd,1arccos,sec)3(tttxxttx===于是则令,d)1(4d,11,11)4(2222tttxttxxxt--=-+=-+=.11arctan2arctan2d112d1122CxxCtttxxx+-+-=+-=+-=-⎰⎰解:Ex3(1)⎰-=x x x x d 2tan 2tan x x x x d cos 1sin ⎰++x x xx x d 2cos22cos2sin 22⎰+=⎰=2tan d x x x x d 2tan ⎰+.2tan C x x +=分部积分x x d 2tan ⎰+Ex3(2)xx x x x x x d sin 2cos sin 21d sin 22sin 1⎰⎰+=+Ex3 求下列不定积分:⎰⎰+--=+=)cos 1)(cos 1(cos d 21d )cos 1(sin sin 2122x x x x x x x 1⎛(17).cos 1cos 1ln 81)cos 1(4111ln 81)1(41d 1141d )1(141d 11)1(142222C xxx C t t t t t t t t t t ++-++=+-+-+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝-++-⎰⎰⎰令t =cos xP112公式.1e arctan 41e 41e 21e d e C x x x x x x x x +-+---=-⎰xx x x x x x x x x x x x d 1e 21e 21e d 21e de 1e d e ⎰⎰⎰⎰---=-=-=-,arctan 221d 2d 2d 12d 1e 222C t t tt t t t t x x+-=+-=+=-⎰⎰⎰⎰Ex3(3)Ex3(4)于是则令,d 12d ),1ln(,1e 22t ttx t x t x+=+=-=最后得).11107P ()e 1ln(e1e 1d e 1e 11d )e 1()e d(1)e 1(d e 22例参见书C x x x x x x x x xxxx x x x x x ++-++-=+++-=+-=++=+⎰⎰⎰⎰.)11ln(414)1ln(44d 1222d 122d 211d 11112C x x x C t t t xt t x t t t x t t t x x x +++++-=+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+-=++-+⎰⎰⎰⎰Ex3(5)于是则令,d 2d ,1,122t t x t x x t =-=+=2arcsin 1arcsin 1d arcsin d darcsin (1)111，x x x x x x x x x ==-----⎰⎰⎰Ex3(6)2d 1d cot ,1cos 22sin 2t t tC C C t t --===+=+=+-⎰⎰1-darcsin 1因x x =-⎰⎰sin d (1cos )sin t t t t-⎰x =cost2arcsin arcsin d .(1)1故x x x C x x =-+--⎰222arctan d arctan darctan 111arctan ).22t x t t t tt C C ==+=+=+⎰⎰⎰Ex3(7)于是则令,d 1d ,1,1222tt t x t x x t+=+=-=23/223/2223/2arctan d arctan d (1)d (1)1d(1+)2(1)1.tx t t t t t t t t C tC x==+=-=-+=-=++++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰i)ii)223/2211d ()x a x a =±注: ii) 中第二个等号用到凑微分解法1：令t =2,x t =2d ,dx t t =所以2arcsin I tdt ==⎰⎰2[arcsin]t t dt =⋅-⎰⎰22arcsin t t =⋅+⎰2arcsin t t C =⋅+C=++2arcsin tdt=⎰Ex3 (9)求不定积分I =⎰2=d 11Ex3(8)22111111ln d ln dln ln .11111x x x x x Cx x x x x++++⎛⎫⋅=+⎪-----⎝⎭⎰⎰.ln 2d 22xa xa a x x a -+=-注: 参看书P106例4, 该例可表示为凑微分解法2：因为arcsindx==所以应用分部积分法I=⎰2=⎰2dx =-⎰dx=-⎰C=++⎰x 然后利用凑微分法。

《高等数学》章节自测题答案第1部分函数、极限与连续（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ A ）（ B ）（ D ）（ D ）（ B ）时有（ D ）二．填空题（共15分）的连续区间是三．判断下列各组极限运算的正误（8分）1．２．；；３．；；；四．求下列极限（20分）答案：2答案：答案：答案：1五．求函数的间断点，并判断类型（10分）答案：为第一类（可去）间断点；为第二类（无穷）间断点六．已知是连续函数，求的值（9分）答案：七．用零点定理证明方程在内有两个实根（20分）答案：两次利用零点定理即可．第2部分导数与微分（单元自测题）一．单项选择题（共10分）（ D ）表示（ B ）（ C ）（ D ）,函数的导数是（ C ）二．填空题（共22分）将适当的函数填入括号内(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)三．求下列函数的导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：四．求下列函数的二阶导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：五．设，求（16分）答案：六．已知曲线的方程是，求曲线在点处的切线方程（10分）答案：七．已知曲线的参数方程是，求曲线在处的切线方程和法线方程．答案：切线方程；法线方程．第3部分导数的应用（单元自测题）一．单项选择题（共10分）在区间（ B ）上满足罗尔定理条件（ D ）（ D ）（ A ）极限（ C ）二．填空题（共15分）,最小值是的单调减少区间是三．求下列极限（20分）答案：答案：答案：答案：答案：四．求函数的极值和单调区间（10分）答案：五．证明曲线总是凹的（10分）答案：六．曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半径．（10分）答案：七．求函数的四阶麦克劳林公式（10分）答案：．八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？答案：第4部分不定积分（单元自测题）一．单项选择题（共15分）（ B ）（ B ）（ B ）（ C ）；；不定积分（ D ）二．填空题（共15分），称为的不定积分三．求下列不定积分（55分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．试用三种方法求不定积分（15分）答案：方法一：令；方法二：分子；方法三：令第5部分定积分（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ C ）（ A ）（ C ）（ B ）；；；（ D ）（ B ）二．填空题（共15分）原函数三．计算下列定积分（24分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．下列积分中，使用的变换是否正确?如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）答案：不正确，直接法，答案：正确，答案：不正确，几何意义或者令，五．已知有连续的二阶导数，求（10分）答案：六．判断下列广义积分的收敛性（12分）答案：答案：发散答案：答案：发散七．研究函数的单调性，并求其极值（9分）答案：第6部分定积分的应用（单元自测题）一．单项选择题（共20分）（ A ）而成的立体体积为（ B ）（ A ）4 （ C ）（ D ）二．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：三．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：四．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：五．求曲线所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积（10分）答案：六．半径为10m的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）答案：七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m，深6m，求当水面在闸门顶上8m的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线分圆盘为两部分，求这两部分面积的比（10分）答案：第7部分常微分方程（单元自测题）一．解下列可分离变量方程（共12分）答案：答案：答案：二．解下列齐次方程（8分）答案：答案：三．解下列一阶线性方程（25分）答案：答案：答案：答案：答案：四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）答案：答案：答案：五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）答案：答案：答案：答案：．答案：六．已知某厂的纯利润对广告费的变化率为,与常数和纯利润之差成正比，当时，,试求纯利润与广告费之间的函数关系.（1０分）答案：第8部分空间解析几何与向量代数（单元自测题）一．各类计算题（共30分）在坐标面上求与三已知点等距离的点答案：已知向量的方向角且，求答案：求过点且与平面垂直的直线方程答案：求同时垂直于向量和向量的单位向量答案：5．求过直线的平面方程答案：已知垂直，求答案：二．求以为顶点的四边形面积(10分)答案：三．求两平面，的夹角（10分）答案：四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）答案：互相垂直答案：重合答案：平行答案：直线在平面上五．求点到直线的距离（10分）答案：六．求平面曲线绕轴旋转所得曲面的方程（10分）答案：七．求曲线在面上的投影（10分）答案：第9部分多元函数微积分（单元自测题）一．关于一阶偏导数（共16分）若，求答案：若，求答案：若，求答案：若，求答案：二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）若，求答案：若，求答案：三．关于复合函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：四．关于隐函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：五．关于极值问题（12分）求的极值答案：设，求在条件下的极小值答案：六．交换下列积分次序（16分）答案：答案：答案：答案：七．计算下列二重积分（24分），答案：答案：，答案：，答案：第10部分无穷级数（单元自测题）一．判断下列级数的敛散性（共30分）答案：收敛答案：发散答案：收敛答案：发散5．答案：条件收敛答案：绝对收敛答案：绝对收敛答案：时绝对收敛；时发散答案：收敛答案：收敛二．证明（6分）答案：利用级数收敛的必要条件三．求下列级数的收敛域（12分）答案：答案：答案：答案：四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）答案：答案：五．将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：答案：六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）答案：答案：第11部分概率（单元自测题）一．单项选择题（共24分）（ B ）设为随机事件，,则必有（ A ）设互为对立事件，且,则下列各式中错误的是（ A ）抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是（ C ）设随机变量的分布函数为，下列结论中不一定成立的是（ D ）下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）如果函数是某连续型随机变量的概率密度，则区间可以是（ C ）设随机变量的概率密度为，令,则的概率密度为（ D ）二．填空题（15分）设与互相独立，则某射手命中率为，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为设为连续型随机变量，是一个常数，则= 0设∽，则= 0.5设∽，则的概率密度=三．设（8分）答案：0.4四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分）五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：（10分）(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率．答案：(1)0.9325；(2)0.9984六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分）答案：0 1 2七．设的概率密度为, 求：（10分）(1) 的分布函数；(2) ．答案：(1) ；(2)0.625，0.625八．已知某种类型电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。

学习资料收集于网络，仅供参考1 1)1、求下列不定积分 1) dx 3) (x _2)2dx 5) 7)第四章不定积分xx23-52 ,dx3x (2ex 3)dx x2、求下列不定积分（第一换元法） 1)(3 _2x)3dx 3 5 7)xcos(x 2)dx9)sin x cos xdx11)2x2-113) sin 2xcos3xdx15)—X102arccosx17)—x3、求下列不定积分（第二换元法）dxx d x 2(A)2)4)6)8)dx2「 X2dx1 xcos2xJ 2 i2dx cos xsin x2)dx32 -3x4)dxx In xln(In x)6)8)dx x . x e e10) . ------------ 2dx 丁9 —4x 2 12)cos 3 xdx14) tan 3 xsecxdx16)3cos 2x 4sin218)册喻'dx *x(1+x)■2) sin - xdx-dx x学习资料收集于网络，仅供参考2x4)------------- dx, (a 0)、a - x4、求下列不定积分(分部积分法) 1) xSnxdx 2) arcs in xdx3)x 2 In xdx 4)_2x .x , e sin dx25) x 2 arcta nxdx 6) x 2cosxdx7)In 2xdx8)2 2xx cos dx25、求下列不定积分(有理函数积分)3,dx3)x(x 2 1)(B)1、一曲线通过点(e 2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,线的方程。

132、 已知一个函数F (x)的导函数为 ----------- ，且当X = 1时函数值为，试求此函数。

U1—X 223、证明：若f (x)dx 二 F (x) • c ，贝U1f (ax b)dx F (ax b) c,(a = 0)。

asin x4、 设f (x)的一个原函数为 ，求xf (x)dx 。