连续周期信号的频域分析
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信号与系统连续周期信号的频域分析
信号与系统连续周期信号的频域分析频域分析是信号与系统中一种重要的分析方法，用于研究信号的频谱特性。
连续周期信号是一种在时间域上具有周期性的信号，其频域分析包括傅里叶级数展开和频谱图表示。
傅里叶级数展开是一种将连续周期信号分解为若干个频率成分的方法。
对于周期为T的连续周期信号x(t)，其傅里叶级数展开可以表示为：x(t) = ∑[Cn * exp( j *2πn/T * t )]其中，Cn为信号中频率为n/T的分量的振幅，j为虚数单位。
通过计算信号的傅里叶系数Cn，可以得到信号的频率成分和其对应的振幅。
在频域分析中，经常使用的一个重要工具是频谱图。
频谱图是一种将信号在频域上进行可视化展示的方法，通过绘制信号的频谱，可以直观地观察到信号的频率信息。
频谱图中的横轴表示频率，纵轴表示振幅。
对于连续周期信号，其频谱图是离散的，只有在频率为基频及其倍数的位置上有分量值。
基频是连续周期信号的最低频率成分，其他频率成分都是基频的整数倍。
频谱图中的峰值代表了信号在不同频率上的能量分布情况，而峰值的高度代表了对应频率上的振幅大小。
通过分析频谱图，可以获得信号中各个频率成分的相对强度，从而对信号进行进一步的特征提取和处理。
在实际应用中，频域分析经常用于信号处理、系统建模和通信等领域。
例如，在音频处理中，通过频域分析可以实现音频信号的降噪、音乐特征提取和音频编码等任务。
在通信系统中，频域分析可用于频率选择性衰落信道的估计和均衡、多载波调制技术等。
总结起来，频域分析是信号与系统中对连续周期信号进行分析的重要方法。
通过傅里叶级数展开和频谱图表示，可以揭示信号的频率成分及其振幅特性，为信号处理和系统设计提供依据。
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
连续周期信号的频谱
2
2
x(t)
3 0
t
-3
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
C1
1 2
ej4 ,
C1
1 2
e j4 ,
C3 ej2 ,
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
x(t)
3 0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
C1
1 2
ej4 ,
C1
1 2
e j4 ,
C3 ej2 ,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
| Cn |
幅度谱
1
1
1
1
2
2
30
0 0 0
30
n
4 相位谱
2
30
0
0 0
302Leabharlann 4连续周期信号的频谱
~x(t) A
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
Cn AT0
T0
O
T0
t
2
2
周期矩形信号的时域波形
2π
2π
0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱
~x(t)
解：周期矩形信号在一个周期内的定义为：
A
A,
x(t)
0 ,
|t|
2
|t|>
2
1
Cn T0
T0 2
x(t)e jn0tdt
T0
2
1 T0
T0
2 A e jn0tdt
T0 2
T0
O
T0
t
2
2
连续时间信号的频域分析及Matlab实现
f= 1/2*exp(-t)*heaviside(t)+1/2*exp(t)*heaviside(-t)
function CTF3()
1/2 exp(-2 t) heaviside(t)
syms t v w x;
F = fourier(x);
0.4
x = 1/2*exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)');0.2
fliplr例子
6 4
>> n = 0:4; >> a = [5 4 3 2 1]; >> subplot(2,1,1),stem(n,a);
2
>> b = fliplr(a);
>> k = -4:4; >> c = [b,a(2:end)];
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
4
>> subplot(2,1,2),stem(k,c);
0 0 0.5 1 t 1/2/abs(2+i w) 0.25 0.2 0.15 0.1 -6 -4 -2 0 w 2 4 6 1.5 2
subplot(2,1,1);
ezplot(x); subplot(2,1,2);
ezplot(abs(F));
f(t) = u(t+1) - u(t-1) 1
function [A_sym,B_sym] = CTF2()
syms t n k x T = 5; tao = T/5; a = 0; Nf = 16; Nn = 32; x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h; x = x1 - sym('Heaviside(t-0.5)')*h; A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;%求出三角函数展开系数A0
function CTF3()
1/2 exp(-2 t) heaviside(t)
syms t v w x;
F = fourier(x);
0.4
x = 1/2*exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)');0.2
fliplr例子
6 4
>> n = 0:4; >> a = [5 4 3 2 1]; >> subplot(2,1,1),stem(n,a);
2
>> b = fliplr(a);
>> k = -4:4; >> c = [b,a(2:end)];
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
4
>> subplot(2,1,2),stem(k,c);
0 0 0.5 1 t 1/2/abs(2+i w) 0.25 0.2 0.15 0.1 -6 -4 -2 0 w 2 4 6 1.5 2
subplot(2,1,1);
ezplot(x); subplot(2,1,2);
ezplot(abs(F));
f(t) = u(t+1) - u(t-1) 1
function [A_sym,B_sym] = CTF2()
syms t n k x T = 5; tao = T/5; a = 0; Nf = 16; Nn = 32; x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h; x = x1 - sym('Heaviside(t-0.5)')*h; A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;%求出三角函数展开系数A0
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
周期信号的频域分析
周期信号的频域分析周期信号是指在一定时间间隔内，信号的波形和幅度重复的一种信号。
频域分析是指将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），以便更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
f(t) = a0 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为直流分量，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω0 =2π/T为基础角频率。
要进行频域分析，首先需要计算出信号的傅里叶系数an和bn。
计算步骤如下：1.计算直流分量a0，即信号f(t)在一个周期内的平均值。
2. 计算余弦项的系数an，使用公式：an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nω0t)dt)其中，∫表示对t从0到T的积分。
3. 计算正弦项的系数bn，使用公式：bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nω0t)dt)同样，∫表示对t从0到T的积分。
计算出所有的an和bn之后，可以得到信号f(t)的频谱分布。
频谱是指信号在频率域上的幅度分布，可以用幅度谱和相位谱来表示。
1. 幅度谱表示信号各个频率分量的幅度大小。
幅度谱可以通过计算an和bn的幅度来得到，即幅度谱A(f) = sqrt(an^2 + bn^2)。
2. 相位谱表示信号各个频率分量的相位差。
相位谱可以通过计算an 和bn的相位差来得到，即相位谱ϕ(f) = atan(bn/an)。
通过这些计算，我们可以获得信号在频域上的频谱分布，进一步分析信号的频率特性。
频域分析的应用十分广泛。
在通信系统中，频域分析可以用于分析信号的频率偏移、频率响应等问题，为系统的调试和优化提供依据。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频信号的均衡和滤波，视频信号的去噪和增强等。
此外，频域分析还在图像处理、生物医学信号处理等领域得到广泛应用。
总之，周期信号的频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
通过计算傅里叶系数，可以得到信号的幅度谱和相位谱，从而分析信号在频域上的特性。
连续周期信号的频域分析
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即 2π B
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
n=—4 4
1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T 包含在有效带宽(0 ~ 2 / )内的各谐波平均功率为
2 2 C0
2 | Cn | 2 0.1806
n=1
4
P 0.1806 1 90% P 0.200
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /t)内
频谱的特性频谱的特性信号的有效带宽信号的有效带宽这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度有效频带宽度即信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
三、周期信号的频谱及其特点
三、周期信号的频谱及其特点
4. 相位谱的作用
幅频不变，零相位
幅频为常数，相位不变
四、周期信号的功率谱
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
2 1 T P 2T f (t ) dt Cn T 2 n 2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所 包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
实验二--连续时间信号的频域分析
实验二连续时间信号的频域分析专业班级通信1601 姓名宁硕学号 20 评分：实验日期： 2017 年 12 月 13日指导教师: 张鏖峰一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义；4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质；5、学习掌握利用MATLAB语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。
基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用MATLAB编程完成相关的傅里叶变换的计算。
以看得很清楚。
二、实验原理及方法任何一个周期为T1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。
其中三角傅里叶级数为：2.1或：2.2指数形式的傅里叶级数为：2.3其中，为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：2.4傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：2.52.6连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号ejt的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号ejt称为频率分量（frequency component），其相对幅度为对应频率的|X(j)|之值，其相位为对应频率的X(j)的相位三、实验内容和要求Q2-1 编写程序Q2_1，绘制下面的信号的波形图：其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(0t)、cos(30t)、cos(50t) 和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
连续周期信号的频域分析_第一节连续时间信号的傅里叶级数展开、第二节傅里叶级数的基本性质
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
1
频域
频域（frequency domain）即频率域，是 指在对函数或信号进行分析时，分析其和 频率有关部份，而不是和时间有关的部份。 频域下的信号：信号在时域下的图形可以 显示信号如何随着时间变化，而信号在频 域下的图形（一般称为频谱）可以显示信 号分布在哪些频率及其比例。
2
连续信号的分解
1、连续信号分解为单位冲Hale Waihona Puke 信号的线性组合f (t )
f ( ) (t )d
利用单位冲激响应求解系统的输出信号 2、连续信号分解为一系列不同频率的正弦信号或 复指数信号的线性组合 利用频域特性求解系统的输出信号及系统函数
3
连续周期信号的频域分析
将信号表示为不同频率复指数分量的线性组合 意义：
0, i j i t j t dt K 0, i j t1
*
7
则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集
2.信号分解为正交函数
完备正交函数集
如果在正交函数集 1 t ,2 t ,...,n t 之外不存在函数
t2 * t i t dt 0 t1
2 t2 n
2
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，
2 写为： Ci Ci t2 2 2 2 C f ( t ) ( t ) C i i i (t ) dt 0 i t1
即
2 f (t )i (t )dt 2Ci i2 (t )dt 0
上的完备正交函数集。
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
1
频域
频域（frequency domain）即频率域，是 指在对函数或信号进行分析时，分析其和 频率有关部份，而不是和时间有关的部份。 频域下的信号：信号在时域下的图形可以 显示信号如何随着时间变化，而信号在频 域下的图形（一般称为频谱）可以显示信 号分布在哪些频率及其比例。
2
连续信号的分解
1、连续信号分解为单位冲Hale Waihona Puke 信号的线性组合f (t )
f ( ) (t )d
利用单位冲激响应求解系统的输出信号 2、连续信号分解为一系列不同频率的正弦信号或 复指数信号的线性组合 利用频域特性求解系统的输出信号及系统函数
3
连续周期信号的频域分析
将信号表示为不同频率复指数分量的线性组合 意义：
0, i j i t j t dt K 0, i j t1
*
7
则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集
2.信号分解为正交函数
完备正交函数集
如果在正交函数集 1 t ,2 t ,...,n t 之外不存在函数
t2 * t i t dt 0 t1
2 t2 n
2
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，
2 写为： Ci Ci t2 2 2 2 C f ( t ) ( t ) C i i i (t ) dt 0 i t1
即
2 f (t )i (t )dt 2Ci i2 (t )dt 0
上的完备正交函数集。
周期信号的时域及其频域分析
周期信号的时域及其频域分析一、实验目的1、掌握multisim软件的应用及用虚拟仪器对周期信号的频谱测量2、掌握选频电平表的使用，对信号发生器输出信号（方波、三角波、矩形波等）频谱的测量二、实验原理周期信号的傅里叶级数分析法，可以把周期信号表示为三角傅里叶级数或指数傅里叶级数，其中周期信号应满足.1、周期信号表示为三角傅里叶级数f(t)=式中，为直流分量，和为n次谐波分量系数，T为周期，Ω=为角频率。
当n=1，cos(Ωt)和sin(Ωt)合成角频率为Ω=的正弦分量，称为基波分量，Ω称为基波频率；当n>1(n为整数)，cos(nΩt)和sin(nΩt)合成角频率为nΩ的正弦分量，称为n次谐波分量，nΩ称为谐波频率。
2、周期信号表示为指数傅里叶级数将一周期信号f(t)分解为谐波分量，即f(t)=其中，是第n次谐波分量的复数振幅。
三角傅里叶级数和指数傅里叶级数虽然形式不同，但是实际上它们是属于同一性质的级数，即都是将一周期信号表示为直流分量和谐波分量之和。
三、实验内容1、在multisim实现周期信号的时域频域测量及分析（1）、绘制测量电路（2）、周期信号时域、频域（幅度频谱）的仿真测量虚拟信号发生器分别设置如下参数：周期方波信号：周期T=100μs，脉冲宽度τ=50μs，脉冲幅度Vp=5V；.周期矩形信号：周期T=100μs，脉冲宽度τ=20μs，脉冲幅度Vp=5V；周期三角形信号：周期T=200μs，脉冲幅度Vp=5V。
采用虚拟示波器及虚拟频谱仪分别测量上述信号的时域、频域波形并保存测试波形及数据。
2、周期信号的时域、频域（幅度）频谱的测量信号发生器、示波器、选频电平表的连线如图所示。
信号发生器的输出信号分别为周期方波信号，周期矩形信号，周期三角波信号，参数设置同仿真设置。
采用示波器及选频电平表对信号发生器的输出信号分别测量，并将测量数据记录于表格中（依照V=10db/20，将所测量的幅度值由分贝换算为伏特）表格记录：（1）通过实验学会了用示波器测量信号的FFT变换，从而测出信号的频谱。
4_3 连续周期信号的频谱
0 2 π T0
x(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 x(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~ x (t )
集中信号大多数功率的频率范围
A T0
Cn
A
T0
O
2
2π
2π
2
T0
t
0
0 2 π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围 (0 ~ 2π/ ) 称为周期矩形信号的有效频带宽度 B 2p 信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
Cn
n A Sa( 0 ) T0 2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
(t )e x
jn0t
dt
1 1 1 1 0 jn0 t jn0t jn0t x ( t )e d t ( t )e d t t e dt 0 1 2 1 2
Poisson求和公式
连续周期信号的频谱
~ x (t )
A
n A Cn Sa( 0 ) T0 2
2π
A T0
Cn
2π
T0
O
2
2
T0
t
0
周期矩形信号的时域波形
~ x (t )
周期矩形信号的频谱
Cn
1/ 2
x(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 x(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~ x (t )
集中信号大多数功率的频率范围
A T0
Cn
A
T0
O
2
2π
2π
2
T0
t
0
0 2 π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围 (0 ~ 2π/ ) 称为周期矩形信号的有效频带宽度 B 2p 信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
Cn
n A Sa( 0 ) T0 2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
(t )e x
jn0t
dt
1 1 1 1 0 jn0 t jn0t jn0t x ( t )e d t ( t )e d t t e dt 0 1 2 1 2
Poisson求和公式
连续周期信号的频谱
~ x (t )
A
n A Cn Sa( 0 ) T0 2
2π
A T0
Cn
2π
T0
O
2
2
T0
t
0
周期矩形信号的时域波形
~ x (t )
周期矩形信号的频谱
Cn
1/ 2
周期信号的时域及其频域分析
周期信号的时域及其频域分析周期信号是指具有固定周期的信号，即在其中一时间区间内重复出现的信号。
对于周期信号的时域分析，主要包括以下几个方面：1.周期：周期信号的主要特征是具有固定的周期。
周期可以通过观察信号的周期性重复来确定，也可以通过计算信号的基波频率的倒数得到。
2.幅值：周期信号的幅值是指信号在各个周期中的最大值或最小值。
幅值可以表示信号的强度或振幅大小。
3.相位：周期信号的相位是指信号相对于一些参考点的位置。
相位可以用角度或时间来表示，通常用角度表示。
4. 周期谐波分解：周期信号可以用一组基本波形的线性组合来表示，这组基本波形称为谐波。
周期信号的谐波分解可以用Fourier级数展开来实现。
Fourier级数展开将周期信号分解为基频和各个谐波的叠加，其中基频是周期信号的最低频率分量，谐波是基频的整数倍。
对于周期信号的频域分析，主要包括以下几个方面：1.频谱：频谱是指信号的频率成分及其强度。
周期信号的频谱通常是离散的，只包含基波和谐波成分。
2.频率分量：频率分量是指信号中的各个频率成分。
周期信号中的频率分量由基频和谐波组成。
3.谱线：谱线是频谱图中的一条直线，代表一些频率成分的强度。
周期信号的谱线通常为离散的峰值。
4.谱分辨率：谱分辨率是指频谱分析能够区分不同频率分量的能力。
谱分辨率取决于采样频率和频率分辨率。
频域分析可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换能够将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱。
对于周期信号，可以使用傅里叶级数展开来进行频域分析，得到信号的频率成分及其强度。
综上所述，周期信号的时域分析主要关注周期、幅值和相位等特征，而频域分析则关注频率成分及其强度。
通过时域及频域分析，可以深入理解周期信号的性质和特点，从而更好地理解和处理周期信号。
信号与系统基础-第4章
5
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析
0 21
/4
/2
(b)相位图
图2.1-2例2.1-2的频谱图
二、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数，表示为 复指数形式的傅氏级数
其中
f t F n1 e jn1t
n
F n1
1 T
t0 T t0
f t e jn1tdt
F n1 是复常数，通常简写为 Fn 。
21t
5
4
2
sin
1t
1 2
sin
31t
解：将 f t 整理为标准形式
f
(t)
1
2cos 1t来自4cos 21t
5
4
1 2
cos
31t
2
1
2
cos
1t
4
cos
21t
4
1 2
cos
31t
2
振幅谱与相位谱如图2-1所示。
cn
2
1
1
1/2
0 1 21 31
(a) 振幅图
n
/4
31
第二章 连续时间信号与系统的频域分析 ——Fourier变换
2. 1 周期信号的傅里叶级数分析 2. 2 非周期信号的频谱--傅里叶变换 2. 3 傅里叶变换的性质及定理 2. 4 系统的频域分析方法 2. 5 无失真传输系统与滤波
LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意 激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信 号元。
一、三角形式傅里叶级数
周期信号: f t f t nT
其中
T
是信号的最小重复时间间隔，f1
1 是信号的基波频率。 T
若 f t 满足狄里赫利条件，则 f t 可以展开为三角形
实验3-信号的频域分析
一，实验目的四，心得体会了解信号频谱和信号频域，掌握其特性。
一，实验原理实验主要分为四个部分，分别分析了连续和离散信号的周期、非周期情况下特性。
1.连续周期信号的频谱分析首先手算出信号的傅里叶级数，得出信号波形，然后通过代码画出信号波形图。
2.连续非周期信号的频谱分析先由非周期信号的时域信号得到它的频谱X（w），再通过MATLAB求出其傅里叶变换并绘出图形。
X=fourier(x)x=ifourier(x)①符号运算法syms t②数值积分法quad（fun，a，b）③数值近似法3.离散周期信号的频谱分析X=fft（x）4.离散非周期信号的频谱分析可以化为两个相乘的矩阵，从而由MATLAB实现。
三，实验内容（1）已知x（t）是如图周期矩形脉冲信号。
1）.计算该信号的傅里叶级数。
2）.利用MATLAB绘出由前N次谐波合成的信号波形，观察随着N的变化合成信号波形的变化规律。
3）.利用MATLAB绘出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。
思考下列问题：①什么是吉伯斯现象？产生吉伯斯现象的原因是什么？②以周期矩形脉冲信号为例，说明周期信号的频谱有什么特点。
③周期矩形脉冲信号参数τ/T的变化，其频谱结构（如频谱包络形状、过零点、频谱间隔等）如何变化？（2）已知x（t）是如图所示矩形脉冲信号。
1）.求该信号的傅里叶变幻。
2）. 利用MATLAB绘出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。
3）. 让矩形脉冲宽度始终等于一，改变矩形脉冲宽度，观察矩形脉冲信号时域波形和频谱随矩形脉冲宽度的变化趋势。
①比较矩形脉冲信号和周期矩形脉冲信号的频谱，两者之间有何异同。
②让矩形脉冲的面积始终等于一，改变矩形脉冲的宽度，观察矩形脉冲信号时域波形和频谱波形随矩形脉冲宽度的变化趋势。
（1）已知x（t）是如图所示的周期矩形脉冲信号①，计算该信号的傅里叶级数答：由图中x（t）波形可知信号为通过计算，可以知道所以x（t）的傅里叶级数为。
实验二连续时间信号的频域分析
实验⼆连续时间信号的频域分析实验⼆连续时间信号的频域分析⼀、实验⽬的1、掌握连续时间周期信号的傅⾥叶级数的物理意义和分析⽅法；2、观察截短傅⾥叶级数⽽产⽣的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产⽣的原因；3、掌握连续时间傅⾥叶变换的分析⽅法及其物理意义；4、掌握各种典型的连续时间⾮周期信号的频谱特征以及傅⾥叶变换的主要性质；5、学习掌握利⽤Matlab 语⾔编写计算CTFS 、CTFT 和DTFT 的仿真程序，并能利⽤这些程序对⼀些典型信号进⾏频谱分析，验证CTFT 、DTFT 的若⼲重要性质。
基本要求：掌握并深刻理傅⾥叶变换的物理意义，掌握信号的傅⾥叶变换的计算⽅法，掌握利⽤Matlab 编程完成相关的傅⾥叶变换的计算。
⼆、原理说明1、连续时间周期信号的傅⾥叶级数CTFS 分析任何⼀个周期为T 1的正弦周期信号，只要满⾜狄利克利条件，就可以展开成傅⾥叶级数。
三⾓傅⾥叶级数为：∑∞=++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1或：∑∞=++=100)cos()(k k k t k ca t x ?ω 2.2 其中102T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。
三⾓形式傅⾥叶级数表明，如果⼀个周期信号x(t)，满⾜狄⾥克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每⼀个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量(Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。
第7章周期信号频域分析及MATLAB实现-文档资料
7.2.3 双边频谱
周期信号可以分解成一系列虚指数信号之和，并可以求得 相应的傅里叶系数
f( t) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFe n
n
jn t
a a a t t 0 n jb n jn n jb n jn e e 2 n 2 2 1 1 j 1 F e a j b n A n n n
a 0 A 0 .2 5 0 F 0 2
A5 ≈ 0.09, A10 ≈ 0.063
A4 ≈ 0, A9 ≈ 0.05,
F 0 . 2 2 5 , F 0 . 1 5 9 , F 0 . 0 7 5 , F 0 1 2 3 4 F 0 . 0 4 5 , F 0 . 0 5 3 5 6
6
7.1 周期信号的傅里叶级数与信号的频谱
西华师范大学 物理与电子信息学院
2. 连续时间周期信号的傅里叶级数近似
用有限项的傅里叶级数求和来逼近原函数
f(t)的截断傅里叶级数表示
3. 符号积分函数int()求截断傅里叶级数及傅里叶表示 intf=int(f,v,a,b) 给出符号表达式 f 对指定变量v的定积分。
2 T
7-1a
2
7.1 周期信号的傅里叶级数与信号的频谱
西华师范大学 物理与电子信息学院
傅里叶系数：
2 2 a f() td t f() td t 0 0 T T 1
T 1
T 1 2 T 1 1 2
2 T 1 a f ()c t o sn td t n 0 T 1
N 1
3. Matlab命令
DTFS:
a
1 fft ( x ) N
(7.16) (7.17)
第三章 连续时间周期信号的傅里叶级数分析
如果
a x(t) 2 dt 则
T0
必k 存在。
x在(t一) 个周期内能量有限， 一定ak存在。
2. Dirichlet条件：
① x(t) d，t 在任何周期内信号绝对可积。 T0
ak
1
T0
x(t)e jk0t dt 1
T0
T0
x(t) dt
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
即： x(t) akeskt
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(n)
ak
H
(Z
k
)Z
n k
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
在均方误差最小的准则下，可以证明，此时 ak
应满足：
ak
1 T0
x(t )e jk0t dt
T0
这就是傅氏级数的系数
结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对 周期信号的最佳近似。
二. 傅里叶级数的收敛
傅里叶级数收敛的两层含义：
① a是k 否存在? ② 级数是否收敛于 x(?t)
两组条件：
1.平方可积条件：
1807年提出任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示1822年首次发表热的分析理论1829年狄里赫利第一个给出收敛条件17681830傅里叶的两个最重要的贡献号的加权和傅里叶的第一个主要论点表示傅里叶的第二个主要论点由时域分析方法有32lti系统对复指数信号的响应ltisystemscomplexexponentials考查lti系统对复指数信号可见lti系统对复指数信号的响应是很容易求得的
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2 t0 T0 ~ 其中：a0 x (t )dt T0 t0 2 t0 T0 ~ an x (t ) cos(n0t )dt T0 t0
(n = 1,2) (n = 1,2)
2 bn T0
t 0 T0
t0
~ x (t ) sin(n0t )dt
一、周期信号的傅里叶级数表示
1 (te jn0t 2 jn 0
0 jn0t 0 1 e dt 1
te
jn0t
1 0
1 jn0t e dt ) 0
1 (cos nπ 1) 2 (nπ)
2π 0 π T0
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的频谱， 并写出其傅里叶级数表示式。
所以系数
Ci
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1
i2 (t ) d t
1 Ki
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
代入，得最小均方误差（推导过程见教材P57）
n t2 1 2 [ f 2 (t ) d t C 2 jKj] 0 t t 2 t1 1 j 1
3. 指数形式傅里叶级数
a ~ x (t ) 0 (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1 1 jn0t cos(n0t ) e e jn0t an jbn 2 令 Cn 2
1 jn0t jn0t sin(n0t ) e e 2j
A
~ x (t ) ~ x (t )
二、周期信号的频谱
周期信号可以分解为不同频率虚指数（或正弦）信 号之和 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正 弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较 提供了途径。
从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦 信号同时激励下的总响应,及每个正弦分量通 过系统后的变化。
Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的频谱，并写出其傅里叶级数表示式。
~ x (t )
A
- T0
0
T0
t
解:
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
1 jn0t ~ x (t )e dt T0
x (t ) 可以分解为不同频率虚指数信号之和 周期信号 ~
二、周期信号的频谱
周期信号可以分解为不同频率虚指数（正弦）信号 之和
~ x (t )
n =
C
n
e
jn0t
a ~ x (t ) 0 (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
2π 0 π T0
1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π
二、周期信号的频谱
周期信号可以分解为不同频率虚指数信号之和
~ x (t )
jn0t C e n
n =
例如例1,2信号
~ x (t ) 1 Cn T0
n =
jn0t C e n
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
一、周期信号的傅里叶级数表示
3. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0，写为 t2 2 2 [ 2 C f ( t ) ( t ) C i i i i (t )] d t 0 Ci t1
2 2 f ( t ) ( t ) d t 2 C 即 i i i (t ) d t 0 t1 t1 t2 t2
三、周期信号频谱的特性
3 信号的有效带宽
信号的有效带宽有多种定义方式。 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配” 。
三、周期信号频谱的特性
4. 对称特性
(1) 纵轴对称信号
~ x (t )
A
x (t ) 为实信号且满足偶对称，故其三角形式 解: 由于 ~ 傅里叶级数展开式为 n0 A 2A ~ x (t ) Sa ( ) cosn0t
- T0
0
T0
t
若 =T0/2，则有
T0
n 1
T0
2
2π A 2A 1 1 ~ x (t ) (cos 0t cos 30t cos 50t ) 0 T0 2 π 3 5
~ x (t ) 不连续时，Cn按1/n的速度衰减 ~ x (t ) 一阶导数不连续时， Cn按1/n2的速度衰减
三、周期信号频谱的特性
3 信号的有效带宽 0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即
B
2π
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数表示 周期信号的频谱 傅里叶级数的基本性质
周期信号的功率谱
信号正交与正交函数集
1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足 t t 1 (t )2 (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
2 1
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1，t2)内满足
1 Cn 其中 T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
物理含义：
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的频谱， 并写出其傅里叶级数表示式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
1 Cn T0
1 1 0 jn0t jn0t jn0t ~ x ( t ) e d t ( t e d t t e dt ) T0 / 2 0 2 1 T0 / 2
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
2 /(nπ) 2 , n为奇数 1 Cn (cos nπ 1) 2 n0 (nπ) 1 / 2,
周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为
~ x (t ) Cn e jn0t
n =
1 2 2π j( 2 m 1) 0t e 0 π 2 2 m= [(2m 1) π] T0
(t ) i (t ) d t 0
( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的 在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
t2 t1
i j 0, i (t ) j (t ) d t K i 0, i j
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外， 不存在函数φ(t)(≠0）满足
t2 t1
2
2
Ae
jn0t
n0 A Sa ( ) dt T0 2
x (t ) 的指数形式傅里叶级数展开式为 因此， ~
A jn0t ~ x (t ) Cn e T0 n =
n0 jn0 t Sa ( )e 2 n =
2π 0 T0
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的频谱，并写出其傅里叶级数表示式。
信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t2)内为最小。
n 0
0 2π / T
三、周期信号频谱的特性
1 离散频谱特性 周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成的。 信号周期 T0越大，0就越小，则谱线越密。 反之， T0越小，0越大，谱线则越疏。