(优选)线性代数矩阵的秩习题

《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。

线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

1．对任意n阶方阵A,B总有（）A.AB=BAB.AB=BAC.(AB)T=ATBT答案：B D. (AB)2=A2B2AB==AB2．在下列矩阵中，可逆的是（）⎛000⎫⎪A. 010⎪001⎪⎝⎭⎛110⎫⎪C. 011⎪121⎪⎝⎭答案：D ⎛110⎫⎪B. 220⎪ 001⎪⎝⎭⎛100⎫⎪D. 111⎪ 101⎪⎝⎭-13．设A是3阶方阵，且A=-2,，则A=（）A.-2C. B.-D.2 1 21 2答案：B1⎫⎛11 ⎪1⎪的秩为2，则λ=（） 4．设矩阵A= 1223λ+1⎪⎝⎭A.2B.1C.0D.-1答案:B提示：显然第三行是第一行和第二行的和⎛101⎫⎪25．设A= 020⎪，矩阵X满足方程AX+E=A+X，求矩阵X. 101⎪⎝⎭⎛201⎫⎪答案：X= 030⎪102⎪⎝⎭解： AX+E=A+X⇒(A-E)X=A-E 22⎛101⎫⎛001⎫⎪⎪A= 020⎪⇒A-E= 010⎪101⎪ 100⎪⎝⎭⎝⎭显然A-E可逆，所以：(A-E)-1(A-E)X=X=(A-E)-1(A2-E) =(A-E)-1(A-E)(A+E)=A+E⎛201⎫⎪∴X= 030⎪102⎪⎝⎭6．求下列矩阵的秩⎛01-1-12⎫⎪02-2-20⎪ A= 0-1111⎪⎪1101-1⎝⎭答案：3⎛-1-4⎫⎛-10⎫-157．设矩阵P= ⎪,D= ⎪，矩阵A由矩阵方程PAP=D确定，试求A. ⎝11⎭⎝02⎭答案：⎛-511/3127/3⎫⎪⎝127/3-31/3⎭P-1AP=D⇒A=PDP-1⇒A5=PD5P-1⎛-1-4⎫⎛1/3-1/3⎫5⎛-10⎫-1P= ⇒P=⎪⎪,D= ⎪⎝11⎭⎝4/3-1/3⎭⎝032⎭所以：A5=PD5P-1= ⎛-1-4⎫⎛-10⎫⎛1/3-1/3⎫⎛-511/3127/3⎫⎪. ⎪⎪= ⎪110324/3-1/3127/3-31/3⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭*-1-18．设矩阵A可逆，证明(A)=AA 证明：因为AA=AA=AE，矩阵A可逆，所以A≠0 **⇒AA*=A*A=E AA又因为A-1=1*-1-1，所以：(A)=AA A9若A是( )，则A必为方阵.A. 分块矩阵C. 转置矩阵答案：B B. 可逆矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵10.设n阶方阵A，且A≠0，则(A*)-1= ( ). AA. A A*B. AD. A-1C. A A *A答案：A11若( )，则A B A. A=B B. 秩(A)=秩(B)C. A与B有相同的特征多项式D. n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同答案：B⎛1⎫⎪T12.设A= 2⎪，则AA=______.3⎪⎝⎭⎛123⎫⎪答案： 246⎪369⎪⎝⎭13.设m⨯n矩阵A，且秩(A)=r，D为A的一个r+1阶子式，则D=_____. 答案：0 14已知PAP=B，且B≠0，则答案：115.已知 -1AB______. ⎛20⎫⎛31⎫⎪X= ⎪，求矩阵X。

上海交大线性代数习题答案上海交大线性代数习题答案线性代数作为数学的一个重要分支，是大多数理工科学生必修的一门课程。

而上海交通大学作为中国著名的高等学府，其线性代数课程更是备受关注。

在学习过程中，习题是巩固知识、提高技能的重要途径。

因此，本文将为大家提供上海交大线性代数习题的答案。

1. 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中一个基本概念，它描述了矩阵的行（列）向量组的线性无关程度。

在上海交大线性代数课程中，关于矩阵的秩的习题是必不可少的。

例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其秩。

这时，我们可以使用高斯消元法或者矩阵的行列式等方法来解决。

具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。

2. 线性方程组的解线性方程组是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。

在解线性方程组的过程中，我们需要运用矩阵的运算和求解方法。

例如，题目可能会给出一个线性方程组，要求求解其解集。

我们可以使用高斯消元法、矩阵的逆等方法来解决。

同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。

3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，也是上海交大线性代数课程中的重要内容。

在求解特征值和特征向量的过程中，我们需要使用矩阵的特征方程等方法。

例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其特征值和特征向量。

我们可以通过求解矩阵的特征方程来得到特征值，然后通过代入特征值求解特征向量。

同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。

4. 线性变换线性变换是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。

在解线性变换的问题中，我们需要理解线性变换的定义和性质，并运用矩阵的运算和求解方法。

例如，题目可能会给出一个线性变换的矩阵表示，要求求解其性质或者进行相关计算。

我们可以通过矩阵的运算和性质来解决这类问题。

2021年10月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.已知2阶行列式D的第1行元素及其余子式都为a，则D的值为（）A.0B.a2C.−a2D.2a2【答案】A2.若A,B,C均是n阶矩阵，且满足ABC=E，则B−1=（）A.ACB.CAC.A−1C−1D.C−1A−1【答案】B【解析】ABC=E，B=(AC)−1，B−1=CA.3.设向量组(1,1,1)T，(a,1,0)T，(1,b,0)T线性相关，则数a,b可取值为（）A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1,b=1【答案】D4.设非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n阶矩阵，r(A)=r，则（）A.当r=n时，Ax=b有惟一解B.当r<n时，Ax=b有无穷多解C.当r=m时，Ax=b有解D.当m=n时，Ax=b有惟一解【答案】C5.设矩阵A=(1111)，B=(2000)，则A与B的关系为（）A.相似且合同B.相似但不合同C.不相似但合同D.不相似且不合同【答案】A第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

6.行列式|a11a12a21a22|中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+ a12A22=_________。

【答案】07.设α1,α2,β1,β2是3维列向量，且3阶行列式|α1,α2,β3|=m，|α2,β2,α1|=n，则|α2,α1,β1+β2|=_________。

【答案】−m−n8.若a=(1,2,3,4)T，则a T a=_________。

【答案】309.设A为2阶矩阵，将A的第1行与第2行互换得到矩阵B，再将B的第2行加到第1行得到单位矩阵A，则A=_________。

矩阵的秩练习题一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，若r(A)=2，则A的行向量组（）。

A. 线性相关B. 线性无关C. 可以构成空间D. 不能确定2. 若矩阵A的秩为r，则A的行秩和列秩（）。

A. 相等B. 不相等C. 大于rD. 小于r3. 设矩阵A为m×n矩阵，若r(A)=m，则（）。

A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性相关C. A为满秩矩阵D. A为可逆矩阵4. 设矩阵A为n阶方阵，若r(A)=n，则A（）。

A. 可逆B. 不可逆C. 对角线元素全为0D. 对角线元素全为1二、填空题1. 设矩阵A为4×5矩阵，若r(A)=3，则矩阵A的列向量组中线性无关的向量个数为______。

2. 若矩阵A为3×4矩阵，r(A)=2，则矩阵A的行向量组中线性相关的向量个数为______。

3. 设矩阵A为5阶方阵，若r(A)=4，则矩阵A的秩的补为______。

4. 若矩阵A为2×3矩阵，且r(A)=2，则矩阵A的列空间维数为______。

三、计算题1. 已知矩阵A如下，求矩阵A的秩：A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8& 9 \end{bmatrix}\)2. 设矩阵B如下，求矩阵B的秩：B = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0& 1 \end{bmatrix}\)3. 已知矩阵C如下，求矩阵C的秩：C = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 9 & 12 \end{bmatrix}\)4. 设矩阵D如下，求矩阵D的秩：D = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)四、应用题1. 设矩阵E为3×4矩阵，r(E)=3，证明E的列向量组线性无关。

利用秩的性质解题练习题秩（Rank）是线性代数中的一个重要概念，它可以帮助我们解决各种实际问题。

本文将通过一系列练习题来演示如何利用秩的性质来解题。

1. 练习题1已知矩阵A为一个3×3的方阵，其秩为2。

现有线性方程组Ax=b，其中b为3维向量。

请问是否存在唯一解？若存在解，求出解的表达式。

解题思路：根据秩的定义，我们知道秩等于矩阵中非零行的最大数目。

由于A的秩为2，说明A的两行（或两列）线性无关。

因此，方程组Ax=b必然存在解。

设解为x=(x1, x2, x3)，则Ax=b可以表示为:a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 = b1a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 = b2a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 = b3我们可以将A的两行取出来组成一个新的矩阵B，将b的两个元素取出来组成一个新的向量C，即：B = [a11 a12 a13;a21 a22 a23]C = [b1;b2]由于B的秩为2，所以存在唯一解。

解可以通过求解Bx=C得到：x = inv(B) * C2. 练习题2已知矩阵A为一个4×4的方阵，其秩为3。

现有线性方程组Ax=b，其中b为4维向量。

请问是否存在解？若存在解，求出解的表达式。

解题思路：同样根据秩的定义，我们知道秩等于矩阵中非零行的最大数目。

由于A的秩为3，说明A的三行（或三列）线性无关。

因此，方程组Ax=b必然存在解。

设解为x=(x1, x2, x3, x4)，则Ax=b可以表示为:a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 + a14*x4 = b1a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 + a24*x4 = b2a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 + a34*x4 = b3a41*x1 + a42*x2 + a43*x3 + a44*x4 = b4通过观察我们可以发现，方程组的个数多于未知数的个数，所以我们可以得出结论：该线性方程组有无穷多组解。

线性代数之矩阵秩的相关题型总结
一、考察题型
1、求数字型矩阵的秩
2、求抽象矩阵的秩
3、已知矩阵及其秩的信息，求其待定常数或其所满足的关系
上面的3种考察题型，前2个题型，在考研数学一近几年的真题中考得都是填空题。

但是题型2在2008年考察了一道证明题。

可以把重点放在求抽象矩阵的秩这种题型。

二、求抽象矩阵的秩知识
对于抽象矩阵的秩，常利用有关矩阵的秩的下述结论求即可。

题型一：求数字型矩阵的秩
例1（2007年考研真题）
分析：本题考察了矩阵幂的求法。

解：
总结：
题型二：求抽象矩阵的秩
例2：（2008年考研真题）
证明：
总结：本题主要考察r(A+B)<=r(A)+r(B).
题型三：已知矩阵及其秩的信息，求其待定常数或其所满足的关系例3：
分析：矩阵A是4阶矩阵，且r(A)=3<4,则|A|=0
解：
以上为求矩阵的秩常考题型分析，通过“题型—真题—解题思路——考查知识点”这一过程的学习，使考生详细了解到每一考点中已考过的题型，这种题型以前考过什么样的题目，常与哪些知识点联合，角度等等，从而使考生更好、更快地掌握重点和规律，快速提高解题能力。

求矩阵的秩例题矩阵秩（Rank）是线性代数中常用的概念，在很多应用中都具有重要的意义。

如果你正在学习线性代数，那么一定要好好掌握矩阵秩的相关内容。

本文将介绍如何计算矩阵的秩，以及一些常见的例题。

1. 矩阵秩的定义在线性代数中，矩阵秩的定义是矩阵中线性无关行或列的最大个数。

也就是说，矩阵秩指的是矩阵中可以通过线性组合得到的最大独立行或列的数量。

2. 矩阵秩的计算计算矩阵秩有两种方法：高斯消元法和矩阵的行列式。

2.1 高斯消元法高斯消元法是一种常用的计算矩阵秩的方法。

具体步骤如下：（1）用矩阵的行变换将矩阵化为行最简阶梯矩阵。

（2）计算矩阵中非零行的数量，即为矩阵的秩。

2.2 矩阵的行列式矩阵的行列式也可以用于计算矩阵的秩。

具体步骤如下：（1）将矩阵化为阶梯矩阵。

（2）计算矩阵的行列式，去掉其中的0元素。

（3）非零元素的个数，即为矩阵的秩。

3. 矩阵秩的例题下面是一些常见的矩阵秩的例题。

例题1：已知矩阵A=2 3 41 2 33 5 7求矩阵A的秩。

解：将矩阵A化为行最简阶梯矩阵，可以得到：1 2 30 1 10 0 0矩阵的非零行有两行，因此矩阵A的秩为2。

例题2：已知矩阵B=1 2 34 5 67 8 9求矩阵B的秩。

解：将矩阵B化为行最简阶梯矩阵，可以得到：1 2 30 -3 -60 0 0矩阵的非零行只有一行，因此矩阵B的秩为1。

以上就是关于矩阵秩的介绍和常见例题的解答。

掌握了矩阵秩的相关知识，可以更好地理解线性代数的许多内容，同时也能够更轻松地解决涉及到矩阵秩的问题。

（精选）线性代数矩阵习题习题课一.单项选择题1. 设A 为n 阶可逆矩阵,λ为A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵的特征根之一为( )A.n A ||1-λB. ||1A -λC. ||A λD. n A ||λ2.设λ为非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵12)31(-A 有一特征值为( )A.34B.43C.21D.413.n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( )A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件 4.设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ) A. B E A E -=-λλB. A 与B 有相同的特征值与特征向量C. A 与B 都相似于一对角矩阵D. 对任意常数t ,有A tE -与B tE -相似二.填空题1.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为51,41,31,21,则行列式=--||1E B 2.设n 阶方阵A 伴随矩阵为*A ,且,0||≠A 若A 有特征值λ,则E A +2*)(的特征值为3.矩阵=1111111111111111A 的非零特征值为 4.n 阶矩阵A 的元素全是1,则A 的n 个特征值为三、计算题1.设=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件. 2.设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3;矩阵A 的属于特征值1,2,的特征向量分别为,)1,2,1(,)1,1,1(21T T --=--=αα（1）求A 的属于特征值3的特征向量; （2）求矩阵A .3.设T)1,1,1(-=ξ为---=2135112b a A 的一特征向量. (1)求b a ,及特征值ξ; (2) A 可否对角化?4.设三阶矩阵 A 满足),3,2,1(==i i A i i αα其中,)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(321TT T --=-==ααα 试求矩阵A .5.设矩阵,3241223----=k k A 问k 为何值时,存在可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵？并求出P 和相应的对角矩阵.答案一.单项选择题 1、解: B.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则ξλξ**A A A =,即ξλξ*||A A =, 从而ξλξ|)|(1*A A -=.注:一般地,我们有:若λ为A 的一个特征根,则 (1)T A 的特征根为λ;(2)k A 的特征根为kλ; (3)aA 的特征根为λa ;(4)若A 可逆,则1-A 的特征根为λ1; (5)若0≠λ,则*A 的特征根为||1A -λ; (6)kE A +的特征根为k +λ.2、解: B.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量),则,,2222ξλξξλξa aA A ==(a 为实数), 所以, 12)31(-A 的一个特征值为12)231(-?=43. 3、解: B. 4、解: D. 二.填空题 1、解: 24.设ξλξξ(=A 为A 的属于λ的一个特征向量), A 可逆, 则ξλξ1 1--=A ,ξλξ)1()(11-=---E A ,即 E A--1的特征值为1-λ-1, 从而=--||1E A (2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.另一方面, A 与B 相似,所以,存在可逆矩阵P 使得 B AP P =-1 , 即P A P B111---=,P E A P EP P P A P E B )(111111-=-=-------,所以E B--1与E A --1相似,相似矩阵有相同的行列式,因此, =--||1E B 24.2、解:.1||22+λA若A 的特征值为λ,则*A 的特征值为λ||A ,2*)(A 的特征值为22||λA ,所以, E A +2*)(的特征值为.1||22+λA3、解: 4.计算特征行列式λλλλλλλλλ01010010001)4(1111111111111111||-=----------------=-A E 0)4(3=-=λλ .所以,非零特征值为4.4、解:n,0,其中0为n-1重根.(计算方法如上)。