高一数学余弦定理

高中数学余弦定理的定义公式及证法
这世上有两样东西是抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑里的书。

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本篇文章雨桐为同学们整理了高中数学余弦定理的定义公式及证法，包括：余弦定理的定义、余弦定理平面几何证法、余弦定理数学应用，下面就一起来学习吧。

余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍。

即在三角形ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有：
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理平面几何证法
在任意△ABC中，做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2
b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB*c)2
b2=(sinB^2+cosB^2)*c2-2ac*cosB+a2
b2=c2+a2-2ac*cosB
余弦定理数学应用
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

余弦定理求边
如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识网络1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。

正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

高中数学余弦定理余弦定理是高中数学的一个核心内容，也是三角函数的一个重要应用。

余弦定理描述了三角形中一边的平方与另外两边及其夹角的余弦值之间的关系。

对于任何一个三角形，余弦定理都可以给出以下公式：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b和c分别代表三角形的三边长度，C是a和b之间的夹角。

余弦定理的应用范围非常广泛，无论是解三角形、解决实际问题，还是在数学竞赛中，它都是一个重要的工具。

一、解三角形余弦定理可以用来确定三角形的形状和大小。

例如，如果我们知道三角形的三边长a、b和c，以及角A、B和C的度数，我们可以用余弦定理来计算角C的度数。

公式如下：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)二、解决实际问题余弦定理也被广泛应用于解决实际问题。

例如，在物理学中，余弦定理可以用来解决与力的合成和分解相关的问题；在地理学中，余弦定理可以用来计算地球上两点之间的距离；在经济学中，余弦定理可以用来计算投资组合的风险和回报。

三、数学竞赛在数学竞赛中，余弦定理也是一个重要的考点。

例如，一些几何问题可能需要使用余弦定理来解决；在一些代数问题中，余弦定理也可能是一个关键的工具。

余弦定理是高中数学的一个重要内容，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他领域中有重要的应用价值。

通过学习和理解余弦定理，我们可以更好地理解和解决各种问题。

一、引言在中国的教育体系中，数学一直是核心学科，特别是在高中阶段，数学的学习对学生的学习生涯和未来的学术成就具有重大影响。

因此，如何设计有效且吸引人的数学课程，帮助学生理解和掌握数学知识，是所有教育工作者都应的问题。

在本文中，我们将探讨如何利用APOS 理论来设计高中数学定理的教学，并以余弦定理为例进行具体阐述。

二、APOS理论概述APOS理论是由美国学者杜宾斯基提出的一种学习理论，它强调学习过程中学生的主动性和实践性。

高中正余弦定理数学公式有哪些高中正余弦定理数学公式有哪些高中正余弦定理数学公式正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA诱导公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。

保持清醒。

高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。

2、提高解选择题的速度、填空题的准确度。

高考数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。

因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法。

尽显威力。

12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。

由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。

填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。

《余弦定理》讲义一、什么是余弦定理在三角形中，余弦定理是一个非常重要的定理，它描述了三角形中边与角之间的关系。

具体来说，如果在一个三角形中，三条边的长度分别为 a、b、c，对应的角分别为 A、B、C，那么余弦定理可以表示为：＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\）＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）这三个公式可以帮助我们在已知三角形的两边及其夹角，或者已知三边的情况下，求出三角形的其他元素。

二、余弦定理的推导为了更好地理解余弦定理，我们来推导一下。

以三角形 ABC 为例，假设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。

我们以边 c 所在的直线为 x 轴，点 A 为原点建立直角坐标系。

则点 B 的坐标为\（（b ＼cos A, b ＼sin A)＼），点 C 的坐标为\（（c, 0)＼）根据两点间的距离公式，＼（＼vert BC ＼vert^2 ＝（b ＼cos A c)＾2 ＋（b ＼sin A 0)＾2\）展开并化简可得：＼＼begin{align}＼vert BC ＼vert^2&＝b^2\cos^2 A 2bc\cos A ＋ c^2 ＋ b^2\sin^2 A\＼＆＝b^2(＼cos^2 A ＋＼sin^2 A) 2bc\cos A ＋ c^2\＼＆＝b^2 2bc\cos A ＋ c^2＼end{align}＼因为\（＼vert BC ＼vert ＝ a\），所以\（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）同理可以推导出其他两个式子。

三、余弦定理的应用1、已知两边及其夹角求第三边例如，在三角形 ABC 中，已知 a ＝ 3，b ＝ 4，角 C ＝ 60°，求边 c 的长度。

根据余弦定理\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）＼＼begin{align}c^2&＝3^2 ＋ 4^2 2×3×4×＼cos 60°＼＼＆＝9 ＋ 16 2×3×4×＼frac{1}｛2}＼＼＆＝25 12\＼＆＝13＼end{align}＼所以\（c ＝＼sqrt{13}＼）2、已知三边求角如果已知三角形的三边长度分别为 a ＝ 5，b ＝ 6，c ＝ 7，求角 A 的大小。

正弦定理与余弦定理一、三角形中的各种关系设ABC ∆的三边分别是,,a b c ，与之对应的三个角分别是,,A B C .则有如下关系：1、三内角关系三角形中三内角之和为π（三角形内角和定理），即A B C π++=，；2、边与边的关系三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边,即,,a b c a c b b c a +>+>+>；,,a b c a c b b c a -<-<-<；3、边与角的关系（1）正弦定理三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即2sin sin sin a b c R A B C===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径）. 注1：（I ）正弦定理的证明：在ABC ∆中，设,,BC a AC b AB c ===, 证明：2sin sin sin a b c R A B C===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径）证：法一（平面几何法）：在ABC ∆中 ，作CH AB ⊥，垂足为H则在Rt AHC ∆中，sin CH A AC =；在Rt BHC ∆中，sin CH B BC =sin ,sin CH b A CH a B ∴== sin sin b A a B ⇒= 即sin sin a b A B = 同理可证：sin sin b c B C= 于是有sin sin sin a b c A B C== 作ABC ∆的外接圆⊙O ，设其半径为R连接BO 并延长，则可得到⊙O 的直径BD ，连接DA因为在圆中，直径所对的圆周角是直角所以90o DAB ∠=于是在Rt DAB ∆中，sin 2AB c D BD R== 又因为在同一圆中，同弧所对的圆周角相等所以D C ∠=∠2sin sin 2c c c R c C DR∴=== 故2sin sin sin a b c R A B C ===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径） 法二（平面向量法）（Ⅱ）正弦定理的意义： 正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式，也就是任意三角形的边角关系.（Ⅲ）正弦定理适用的范围：（i ）已知三角形的两角及一边，解三角形；（ii ）已知三角形的两边及其中一边所对应的角，解三角形；（iii ）运用::sin :sin :sin a b c A B C =解决角之间的转换关系. 注2：正弦定理的一些变式：（i ）::sin :sin :sin a b c A B C =；（ii ）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===； （iii ）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===.注3：已知三角形是确定的，则在运用正弦定理解该三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两条边和其中一条边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解是不确定的，此时可结合平面几何作图的方法、“大边对大角，大角对大边”定理及三角形内角和定理解决问题.例1. ABC ∆中，,a b 分别为角,A B 的对边，若60,75,8o o B C a ===，则b =＿.例2. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，,13A a b π===，则c =＿.例3.在ABC ∆中，60,1o b B c ===，求a 和,.A C例4. 在ABC ∆中，已知2,2,2B A BC AB ∠=∠==+则A ∠=＿. 例5.已知ABC ∆中，角,A B 所对的边分别是,a b ，若cos cos a B b A =,则ABC ∆一定是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（2）余弦定理三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角的余弦的乘积的2倍，即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-. 注1：（I ）余弦定理的证明：法一（平面几何法）在ABC ∆中 ，作CH AB ⊥，垂足为H则在Rt AHC ∆中，sin CH CH A AC b ==；cos AH AH A AC b== sin ,cos CH b A AH b A ∴== cos BH AB AH c b A ⇒=-=- 在Rt CHB ∆中，由勾股定理有222BC CH BH =+于是有22222222222222(sin )(cos )sin 2cos cos (sin cos )2cos 2cos a b A c b A b A c bc A b Ab A Ac bc A b c bc A=+-=+-+=++-=+-同理可证：2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.法二（平面向量法）（Ⅱ）余弦定理的意义： 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当结合其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

高中数学余弦定理的定义公式及证法这个世界上有两样东西是带不走的:一个是藏在心里的梦想，一个是在脑子里读的书。

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欢迎大家关注！宇通为学生整理了高中数学中余弦定理的定义公式和证明方法，包括:余弦定理的定义，平面几何中余弦定理的证明方法，余弦定理的数学应用。

让我们一起来学习吧。

余弦定理三角形任何一条边的平方等于其他两条边的平方之和减去这两条边与它们之间夹角的余弦的乘积。

即在三角形ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有：a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC余弦定理平面几何证法在任意△ABC中，做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB*c)2b2=(sinB^2+cosB^2)*c2-2ac*cosB+a2b2=c2+a2-2ac*cosB余弦定理数学应用余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：当三角形的两条边及其夹角已知时，可以用余弦定理求出已知角的对边。

当三角形的三条边已知时，可以用余弦定理求出三角形的三个内角。

余弦定理求边如果已知三角形的两条边及其夹角，就可以用余弦定理求出已知角的对边。

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