高一数学正余弦定理知识点梳理和分层训练修订稿

高一数学正弦和余弦知识点数学中有两个非常重要的三角函数，分别是正弦函数和余弦函数。

它们在解决几何问题和物理问题中扮演着重要的角色。

在高一数学课程中，正弦和余弦函数的知识点是我们必须要掌握的内容之一。

一、正弦函数的定义和性质正弦函数是一个周期性的函数，它的定义域是整个实数集R，值域是[-1, 1]。

我们可以用一个周期为2π的图像来表示正弦函数。

正弦函数的函数图像在原点（0, 0）处有一个最小值，且在x轴上的每个整数倍的π点都有一个最大值。

而且，正弦函数的图像是关于原点对称的。

正弦函数的性质有很多，其中比较重要的是：1. 正弦函数是一个奇函数，即-f(x) = f(-x)。

2. 正弦函数的图像是周期性的，即f(x + 2π) = f(x)，其中π是一个常数。

3. 在[0, 2π]范围内，正弦函数是一个增函数。

二、余弦函数的定义和性质余弦函数也是一个周期性函数，它的定义域是整个实数集R，值域是[-1, 1]。

与正弦函数相似，余弦函数的函数图像也是关于原点对称的，并且也有一个周期为2π的图像。

与正弦函数类似，余弦函数也有一些重要的性质：1. 余弦函数是一个偶函数，即f(x) = f(-x)。

2. 余弦函数的图像是周期性的，即f(x + 2π) = f(x)。

3. 在[0, 2π]范围内，余弦函数是一个减函数。

三、正弦和余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是密切相关的。

它们之间有着重要的三角关系：1. 辅助角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。

2. 正弦函数和余弦函数的和差公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)。

正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。

下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。

2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。

2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

1.1正弦定理和余弦定理基本要求：1. 能证明正弦定理、余弦定理．2. 能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用．3. 能用正弦定理、余弦定理解斜三角形．4. 理解用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形． 重点：正弦定理和余弦定理及其推导．难点：用正弦定理解三角形时解的个数的讨论． 考点结构分析：1. 正弦定理1：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即：CcB b A a sin sin sin ==． 2. 余弦定理2：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍，即：A bc c b a cos 2222-+=．B ca a c b cos 2222-+=．C ab b a c cos 2222-+=．3. 余弦定理推论：bc a c b A 2cos 222-+=．ca c a c B 2cos 222-+=．abc b a C 2cos 222-+=．4. 重要结论：（1） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>>． （2） 在ABC ∆中，给定A 、B 的正弦或余弦值，则C 有解（即存在）的充要条件是0cos cos >+B A ． 5. 解斜三角形的类型：（1） 已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．（2） 已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中，已知a 、b 和角A 时，解的情况如下：上表中为锐角时，时，无解；为钝角或直角时，，均无解． （3） 已知三边，用余弦定理有解时，只有一解． （4） 已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．6. 三角形面积：（1） ah S 21=（h 为BC 边上的高）； （2） C ab S sin 21=；（3） C B A R S sin sin sin 22=（R 为ABC ∆外接圆半径）；（4） RabcS 4=（R 为ABC ∆外接圆半径）； （5） ))()((c p b p a p p S ---=，)(21c b a p ++=．疑难点清单：判断三角形形状基本思想是：利用正弦定理进行角边统一．即将条件化为只含角的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形，如等边三角形，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A 、B 、C 内角的固定范围对三角函数数值的影响． 附：1. 正弦定理的证明： ① 定义法（教科书中给出）如图１，在ABC Rt ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，要考虑边长之间的数量关系，就涉及到了锐角三角函数．根据正弦函数的定义，Ac asin =， B cbsin =．所以c BbA a ==sin sin ． 又1sin =C ，所以CcB b A a sin sin sin ==． 那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？如图２，当ABC ∆是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，B a CD sin =，A b CD sin =，所以A bB a sin sin =， 得到BbA a sin sin =． 同理，在ABC ∆中， CcB b sin sin =． 所以CcB b A a sin sin sin ==． ② 向量法如图３，ABC ∆为锐角三角形时，过A 作三位向量→j 垂直于→AB ，则→j 与→AB 的夹角为︒90，→j 与→BC 的夹角为B -2π，→j 与→CA 的夹角为A +2π，设c AB =，a BC =，b AC =．因为→→→→=++0CA BC AB ，所以00=⋅=⋅+⋅+⋅→→→→→→→→j CA j BC j AB j ． 即0)2cos(||||)2cos(||||2cos||||=++-+→→→→→→A CA jB BC j AB j πππ．所以A b B a sin sin =，即BbA a sin sin =． 同理可得：C cB b sin sin =，即CcB b A a sin sin sin ==．当ABC ∆为钝角三角形或者直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论．（可以请学生来给出证明） ③ 几何法如图４，设O 为ABC ∆的外接圆的圆心，连接BO 并延长交 ⊙O 与点A '，连接C A '，则A A ='或A A -='π，∴=A sinR a B A BC A 2sin ='='，即R A a 2sin =，同理可证R B b2sin =， R C c 2sin =，故有CcB b A a sin sin sin ==． 注：在运用时，有时需要对它进行变形，如C B A c b a sin :sin :sin ::=； A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=．如图５，当ABC ∆为钝角三角形时，设B 为钝角．过C 作AB 的垂线与AB 的延长线交于D 点，由三角函数的定义得A b CD sin =，B a B a CD sin )180sin(=-︒=，B a A b sin sin =∴，即BbA a sin sin =． 同理可得C c A a sin sin =，CcB b A a sin sin sin ==∴．2. 余弦定理证明：如图６，设→→=a CB ，→→=b CA ，→→=c AB ，那么→→→-=b a c ，→→→→→→→→→→→→→⋅-⋅-⋅=+⋅-=⋅=b a b b a a b a b a c c c 2)()(||2C ab b a cos 222-+=所以C ab b a c cos 2222-+=．同理可以证明：A bc c b a cos 2222-+=．B ca a c b cos 2222-+=．。

高一正弦余弦知识点【高一正弦余弦知识点】一、正弦和余弦的定义正弦和余弦是三角函数中最基本的两个函数。

在直角三角形中，对于一个锐角A，定义如下：1. 正弦（sine）：正弦是一个角的对边与斜边的比值，通常用sin(A)表示。

2. 余弦（cosine）：余弦是一个角的邻边与斜边的比值，通常用cos(A)表示。

二、正弦和余弦的性质1. 范围：正弦和余弦的值域都在闭区间[-1, 1]内。

2. 周期性：正弦和余弦的图像都是周期函数，其周期为2π（或360°）。

3. 关系：正弦和余弦是互余关系，即sin(A) = cos(90° - A)。

4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sin(A)；余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cos(A)。

5. 三角恒等式：正弦和余弦满足一系列重要的三角恒等式，如sin^2(A) + cos^2(A) = 1等。

三、正弦和余弦的应用正弦和余弦在数学和物理中有广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用场景：1. 测量角度：利用正弦和余弦函数可以计算角度的大小，例如利用正弦定理和余弦定理来解决三角形中的边长和角度问题。

2. 周期性问题：许多自然现象都具有周期性，正弦和余弦函数可以用来描述周期性变化的规律，如天体运动、电流震荡等。

3. 振动和波动：正弦和余弦函数可以表示物体的振动和波动过程，如机械振动、光和声波的传播等。

4. 信号处理：在电子工程中，正弦和余弦函数常用于信号的分析和处理，如调频调幅信号的解调、滤波等。

四、注意事项1. 角度单位：正弦和余弦函数的输入角度可以使用弧度制或角度制，要根据问题给出的要求进行选择和转换。

2. 反函数：正弦和余弦函数可以通过计算器或查表得到特定角度的值，也可以通过反函数（反正弦和反余弦）来计算特定值所对应的角度。

五、总结正弦和余弦是高中数学中重要的知识点，它们的定义、性质和应用都需要我们深入理解。

掌握正弦和余弦函数可以帮助我们解决各类与角度、周期性和波动相关的问题，并在物理、工程等领域中有广泛的应用。

高一数学正弦与余弦定理知识点正弦定理和余弦定理是三角函数中最基础的定理，运用也最为广泛。

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高一数学正弦与余弦定理知识点总结正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：(1)已知三角形的两角与一边，解三角形(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+si nB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。

灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a正弦、余弦典型例题1.在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为2.已知α为锐角，且，则α 的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°3.在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是( ) A.75°B.90°C.105°D.120°4.若∠A为锐角，且，则A=( ) A.15° B.30° C.45° D.60°5.在△ABC中，AB=AC=2，AD⊥BC，垂足为D，且AD= ，E是AC中点，EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

正、余弦定理一、知识总结 (一)正弦定理1.正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 2.变形公式：（1）化边为角：（2）化角为边：（3）（4）.3、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 1.余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-2222cos c a b ab C =+-2222cos b a c ac B =+-2.变形公式:222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab+-+-+-===.注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角；2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R ===::sin :sin :sin a b c A B C =2sin sin sin sin sin sin a b c a b c RA B C A B C ++====++3.余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：4.由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。

（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）(三) ΔABC的面积公式:（1）1() 2a aS a h h a= 表示边上的高；（2）111sin sin sin() 2224abcS ab C ac B bc A RR====为外接圆半径；（3）1()() 2S r a b c r=++为内切圆半径(四) 实际问题中的常用角1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。

本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。

一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。

1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。

当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。

二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。

设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。

这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。

2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。

当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。

三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。

3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。

3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。

3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。

而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。

高中正余弦知识点总结一、正余弦函数的定义和性质1. 基本关系：在单位圆（半径为1的圆）上，对于任意角度θ，设该角终边与单位圆交于点P(x, y)，则称点P的横坐标x为θ的余弦，记作cosθ；纵坐标y为θ的正弦，记作sinθ。

2.定义域和值域：正余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1,1]。

3.奇偶性：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数。

4. 周期性：正余弦函数在2π的整数倍处取到相同的值。

即sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx。

（其中，k为任意整数）5. 互余角关系：互余角的正弦值互为负数，余弦值相等。

即sin(π/2-θ) = cosθ，cos(π/2-θ) = sinθ。

二、正余弦函数的图像和性质1.正弦函数图像特点：正弦函数的图像是一条连续的、周期为2π的曲线，穿过原点(0,0)，在每个周期内，正弦函数先增后减，且在x=π/2和x=3π/2处取到最大值1和最小值-12.余弦函数图像特点：余弦函数的图像是一条连续的、周期为2π的曲线，曲线最高点是(0,1)和最低点是(0,-1)。

3.正弦函数和余弦函数的图像是通过纵坐标平移得到的。

三、正余弦函数的性质和公式1. 复合角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin(A±B)和cos(A±B)的公式，以及sin2x和cos2x的公式。

2. 和差化积公式：根据三角函数的定义，可以推导出sinA*sinB和cosA*cosB的公式。

3. 半角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin(x/2)和cos(x/2)的公式。

4. 二倍角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin2x和cos2x 的公式。

5. 三倍角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin3x和cos3x 的公式。

6. 相关角公式：根据三角函数的定义，可以推导出sin(x+y)和cos(x+y)的公式。

四、正余弦函数的应用1.几何应用：正余弦函数可以用来求解三角形的边长和角度。

高一下学期知识串讲 第二讲 正、余弦定理【要点梳理】1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C )(214c b a R abc ++==·r （r 是三角形内切圆的半径） 4.解斜三角形的常见类型及解法. 【题型突破】题型一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中,a =3,b =2 ,B =45°. 求角A 、C 和边c ；（2）在△ABC 中，a =8，B =60°，C =75°.求边b 和c ；（3）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边长，已知a ，b ，c成等比数列，且a 2-c 2=ac -bc ，求∠A 及cB b sin 的值.知能迁移1 在△ABC 中，若b =2,c =1,B=45°, 求a 及C 的值.题型二 余弦定理的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且.2cos cos ca b C B +-= （1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.知能迁移2 已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的 对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ，且 2S=（a +b ）2-c 2，求tan C 的值.题型三 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A-B ）=（a 2-b 2）sin （A+B ），判断三角形的形状.知能迁移3 在△ABC 中，已知2sin Acos B=sin C ，那么△ABC 一定是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形题型四 正、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且满足（2a -c ）cos B=bcos C.(1)求角B 的大小； (2)若b =7,a +c =4,求△ABC 的面积.知能迁移4 （2008·辽宁理，17）在△ABC 中， 内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c . 已知c =2, .3π=C （1）若△ABC 的面积等于3，求a 、b 的值；（2）若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积.。

三角函数五——正、余弦定理一、知识点 （一）正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===a b c3sin B C4（（（解可 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型（1）已知两角,A B 与一边a ：由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b cA B B==，可 求出C ∠，再求,b c 。

（2）已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理， 求出角,B C 。

（3）已知三边a b c 、、，由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。

（4讲解 （知∆A ∠,A ．由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A =⋅==,故选A（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ） A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A . 由正弦定理C cA a sin sin =得，C sin 65627=.6sin =C 所以sin =B5.方法二5∴sin 9、（)0C =，求边又1+即12cos 0A -=，2，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD 752sin(4530)=+在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且 b.(1)求角A 的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由及正弦定理sin sin a bA B=,得, 因为(2)b 2+c 26、（3,则c =.4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,abc ，3A π=,1a b ==，则c =（ ）A 、1B 、2 C1 D 、32、在△ABC 中，分别为的对边.如果成等差数列，30°，△ABC 的面 A 、3）75213 C D 4B π=，则___________________.3，＝60°AB 的长度等于13（20132012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =(）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B B C B B ≠∴===-=（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asinB=3b ，则角A 等于（ ） A.3π B.4π C.6π D.12π【解题指南】本题先利用正弦定理B bA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” .【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. （2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π（2013 A . 3 5,=在△B 0=. (1)(2)若a 【解题指南】(1)借助三角形内角和为π，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程，求出B 的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B 与a c 1+=，由余弦定理可得b 2关于a 的函数，注意到a c 1+=可知0a 1<<，进而可求出b 的范围.【解析】（1）由已知得cos(A B)cos A cos B A cos B 0-++-=，即sin Asin B A cos B 0=.因为sin A 0≠，所以sin B B 0=,又cosB 0≠,所以tan B =,又0B <<π，所以B 3π=.（2）由余弦定理，有222b a c 2accos B =+-，因为a c 1+=，1cos B 2=,所以2211b 3(a )24=-+，又因为0a 1<<，所以21b 14≤<，即1b 12≤<.1sin BAM ∠=∠（2013·上海高考文科·T5）已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a +ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】π32设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((（I ）求B ; （II ）若413sin sin -=C A ,求C . 【解题指南】（I ）由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值，列出方程组确定C 的值. 【解析】（I ）因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+222.222（II 221+=故-C A10、（（I c = 所以A （2012（1（2【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3BC B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②, ①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.（I ）求B ； （Ⅱ）若75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=2222cos b a c ac B =+-cos 2B =45B =（II sin30=故6a +=60645c b ==1、∆C 的对边分别为 ）2 A A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A 、14-B 、14C 、23- D 、2310、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．111611、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12 B ．12C ． -1D ．112、已知在△ABC 中，10,a b A ===45°,则B = 。

正弦定理余弦定理知识点正弦定理和余弦定理是三角学中两个重要的定理。

它们在解决三角形问题时起着重要的作用。

在本文中，我们将详细介绍这两个定理的定义、推导过程以及应用场景。

首先，我们来看正弦定理。

正弦定理描述了三角形中各边与其对应角度之间的关系。

设三角形的三个边长为a、b、c，对应的夹角为A、B、C，则正弦定理可以表述为以下公式：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C) = 2R其中R是三角形外接圆的半径。

接下来，我们来推导正弦定理。

设三角形的三个顶点为A、B、C，对应的边长为a、b、c。

以边长a为底边，作角A的高，垂足为D。

则有以下关系：sin(B) = BD / csin(C) = CD / b再设三角形的外接圆半径为R，即OD=R，其中O为三角形外接圆心。

那么，我们可以推导得出以下关系：sin(B) = BD / c = 2R / csin(C) = CD / b = 2R / b。

由于三角形的三个内角之和为180度，所以有角A=180度-B-C。

将以上关系带入得到以下公式：sin(A) = sin(180度 - B - C) = sin(B + C) = sin(B)cos(C) + cos(B)sin(C) =(2R / c)cos(C) + (2R / b)sin(C)。

化简以上公式，得到sin(A) = (2R / c)cos(C) + (2R / b)sin(C) = (2R / bc)(bcos(C) + csin(C))a / sin(A) = 2R / (bc)(bcos(C) + csin(C)) = 2R。

可见，我们得到了正弦定理。

正弦定理可以用来计算三角形中的未知边长或角度，同时也可以用来证明一些三角形的性质。

接下来，我们来看余弦定理。

余弦定理描述了三角形中各边与角度之间的关系。

设三角形的三个边长为a、b、c，对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表述为以下公式：c² = a² + b² - 2abcos(C)。

（一）复习指导1 •掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2 .能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（二）基础知识1.三角形中的有关公式（1）内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角 和与第三个角总互补， 任意两半角和 与第三个角的半角总互余•锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余 弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方 •正弦定理和余弦定理 （2）正弦定理： a b sin A sin B a b c sin A si nB sinC ；）.注意：①正弦定理的一些变式: a b ii sin A ,sinB ,sinC2R 2R c2R ； iii a 2Rsin A,b 2Rsi nB,b 2RsinC ；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解（3）余弦定理：a 2b 2 2 2 2 2bccosA,cosA b ―』等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状 2bc (4)面积公式：S -ah a2 a 2 2 2 2 sin A cos B cos Asin B特别提醒：(1 )求解 labsinC r （a b c ）（其中r 为三角形内切圆半径） 2 sin C ，判断 ABC 的形状（答：直角三角形）。

三角形中的问题时，一定要注意A B C .女口 ABC 中，若这个特殊性： A B CA B C,sin （A B ） sinC,sincos- ；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运 用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

2、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此 三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

（三）解题方法指导例1.在厶ABC 中，a : b : c = 3 : 5 : 7 则其最大角为 _______例2.在厶ABC 中，有acosA=bcosB ，判断△ ABC 的形状. 例3.在厶ABC 中，/ A=60°面积为10J5，周长为20,求三条边的长.例4.在一条河的对岸有两个目标物 A , B ,但不能到达.在岸边选取相距 2.一 3里的C , D 两点，并测得 / ACB=75° / BCD =45° , / ADC =30° , / ADB=45° 且 A , B , C , D 在同一个平面内，求 A , B 之间的距离. C 2R （R 为三角形外接圆的半径 sin C例题解析例1解：因为三条边中c 边最大，则角 C 最大，根据余弦定理， cosC -，所以C2 3例 2 解：由正弦定理，a=2RsinA , b = 2RsinB ,代入有 2RsinAcosA=2RsinBcosB ,即 sin2A=sin2B ,所以 2A=2B 或2A=n- 2B .即A=B 或A B n，所以△ ABC 为等腰三角形或直角三角形. 2 例 3 解：因为 s ABC 1bcsin A 10 3，所以 bc=40，又 a + b + c=20, a 2=b 2+ c 2- 2bccosA ，解得三条边为 25, 7, 8.例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮 我们找到解题的思路.要求AB ,可以把AB 放到一个三角形中， 看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值. 解：中厶 ACD 中，/ ACD=120° , / ADC=30°所以/ DAC =30° ,所以 | AC | = | CD | =2 J3 ,在厶 BCD 中，/ BCD =45° , / CDB = 75°i BC |所以/ CBD=60° ,由正弦定理，——0sin 750在厶 ABC 中，/ BCA=75° ,根据余弦定理，| AB | 2= | AC | 2+l BC | 2-2 | AC |・| BC | • cos75° 求得I AB | 2=20 , | AB | 2,5D所以|BC| 竺空.6 2, o sin 60 |CD| sin 60。

高中正余弦知识点总结正弦、余弦是三角函数中的两个重要概念，是高中数学中的重要内容。

正弦、余弦函数是解决三角形、函数分析等问题时必不可少的工具，具有很高的应用价值。

正确理解和掌握正弦、余弦函数的相关知识，对于学习三角函数、解决实际问题等方面具有重要意义。

本文将对高中正弦、余弦函数的相关知识点进行总结，希望对学生们的学习有所帮助。

一、正弦函数的概念和性质1. 正弦函数的定义正弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集合，值域为[-1, 1]。

正弦函数可以用数学公式y=sin(x)表示，其中x为自变量，y为函数的值。

正弦函数的图像是一条波浪线，具有周期性、奇对称性等特点。

2. 正弦函数的性质（1）周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π)=sin(x)。

（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。

（3）增减性：在区间[0, π/2]上，正弦函数是增函数；在区间[π/2, π]上，正弦函数是减函数。

（4）最值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

3. 正弦函数的图像和变换正弦函数的图像是一条波浪线，具有一定的周期性和对称性。

当正弦函数的自变量发生变化时，图像会出现相应的平移、伸缩等变换，这些变换可以通过函数的公式进行描述。

例如，y=sin(x+a)表示正弦函数在x轴上平移a个单位，y=asin(x)表示正弦函数在y轴上伸缩a倍等。

二、余弦函数的概念和性质1. 余弦函数的定义余弦函数也是一个周期函数，其定义域为实数集合，值域为[-1, 1]。

余弦函数可以用数学公式y=cos(x)表示，其中x为自变量，y为函数的值。

余弦函数的图像是一条曲线，具有周期性、偶对称性等特点。

2. 余弦函数的性质（1）周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π)=cos(x)。

（2）奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

（3）增减性：在区间[0, π]上，余弦函数是减函数。

（4）最值：余弦函数的最大值为1，最小值为-1。

正余弦定理重要知识点本张武林秘籍，乃武林之精髓所在，得此天书者，细细研习，来日方长，必成大器。

下星期一需要全部背住，不然你不知道我要出哪一招。

1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B （R 是三角形外接圆半径）． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B3、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-4、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=． 5、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B 两边夹角的正弦值两边之积⨯⨯=∆21ABC S 高底⨯=∆21ABC S 6、①如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角； ②如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；③如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。

（课本第6页右下角）例如a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若①222a b c +=，则90C =o ； ②若222a b c +<，则．︒︒<<18090C ，C 为钝角③若222a b c +>，则︒︒<<900C ；C 为锐角7、在三角形中一些重要的知识点；1.π=++C B A ,)0(,,π，∈C B A2.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法——王彦文 青铜峡一中1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ．其中R 是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a ＝2R sin A ，b ＝ ，c ＝ ；②sin A ＝，sin B ＝ ，a2Rsin C ＝ ；③a ∶b ∶c ＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝ ，b 2＝ ，c 2＝ .若令C ＝90°，则c 2＝ ，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝ .若C 为锐角，则cos C >0，即a 2＋b 2______c 2；若C 为钝角，则cos C <0，即a 2＋b 2______c 2.故由a 2＋b 2与c 2值的大小比较，可以判断C 为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，类似地，sin 2B ＝____________；sin 2C ＝__________________.注意式中隐含条件A ＋B ＋C ＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC 中，已知a ，b和A 时，解的情况如表：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b解的个数① ② ③ ④ (3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S △＝ ＝ ＝____________＝____________＝____________．其中R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝__________，＝__________，从而sin A ＝A 2____________，cos A ＝____________，tan A ＝____________；sin ＝__________，cos ＝__________，A 2A2tan ＝________.tan A ＋tan B ＋tan C ＝A 2__________.(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝____________⇔2sin B ＝____________⇔2sin ＝cos ⇔2cos ＝cos ⇔tan tan ＝B 2A －C 2A ＋C 2A －C 2A 2C 2.13【自查自纠】1．(1)＝＝＝2R a sin A b sin B c sin C (2)①2R sin B 2R sin C ②　b 2R c 2R ③sin A ∶sin B ∶sin C 2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2) >　b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab <(3)互化　sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C 3．(1)正弦　(2)正弦　一解、两解或无解　①一解②二解　③一解　④一解　(3)余弦　(4)余弦4．(1)ab sin C bc sin A ac sin B 121212abc 4R (a ＋b ＋c )r 12(2)π－(B ＋C )　－　π2B ＋C 2sin(B ＋C )　－cos(B ＋C )－tan(B ＋C )　cos sin B ＋C 2B ＋C21tan B ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C 在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C .　在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解 B ．一解C ．两解 D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝＝，又由c ·sin B b 56c >b >c sin B 知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C .　()设△ABC 的内角A, B, C 所2013·陕西对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，所以A ＝.所以三角形为直角三π2角形．故选B .　()在△ABC 中，角A ，B ，C 2012·陕西所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝，c ＝2π6，则b ＝________．3解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋2－2×2×2×cos ＝4，b ＝2.故填2.(23)3π6　在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝，b ＝2，sin B ＋cos B ＝，22则角A 的大小为________．解：∵sin B ＋cos B ＝，2∴sin ＝，即sin ＝1.2(B ＋π4)2(B ＋π4)又∵B ∈(0，π)，∴B ＋＝，B ＝.π4π2π4根据正弦定理＝，可得sin A ＝a sin A bsin B＝.a sin B b 12∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝.故填.π6π6类型一　正弦定理的应用　△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝b ，求C .2解：由a ＋c ＝b 及正弦定理可得sin A ＋2sin C ＝sin B .2又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝sin2(45°＋C )．22∴sin(45°＋C )＝2sin(45°＋22C )cos(45°＋C )，即cos(45°＋C )＝.12又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．　()在△ABC 中，角A ，B ，2012·江西C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝，b sin π4(π4＋C)－c sin＝a .(π4＋B )(1)求证：B －C ＝；π2(2)若a ＝，求△ABC 的面积．2解：(1)证明：对b sin－c sin (π4＋C )(π4＋B )＝a 应用正弦定理得sin B sin－sin C sin (π4＋C )＝sin A ，(π4＋B )即sin B －sin C(22sin C ＋22cos C )＝，整理得sin B cos C －(22sin B ＋22cos B)22sin C cos B ＝1，即sin ＝1.(B －C )由于B ，C ∈，∴B －C ＝.(0，3π4)π2(2)∵B ＋C ＝π－A ＝，又由(1)知B －C ＝3π4，π2∴B ＝，C ＝.5π8π8∵a ＝，A ＝，∴由正弦定理知b ＝2π4a sin Bsin A＝2sin ，c ＝＝2sin .5π8a sin C sin A π8∴S △ABC ＝bc sin A ＝×2sin ×2sin12125π8π8×22＝sin sin ＝cos sin ＝sin25π8π82π8π822＝.π412类型二　余弦定理的应用　在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，且＝－.cos B cos C b2a ＋c (1)求B 的大小；(2)若b ＝，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．13解：(1)由余弦定理知，cos B ＝，a 2＋c 2－b 22accos C ＝，将上式代入＝－得a 2＋b 2－c 22ab cos B cos C b 2a ＋c ·＝－，a 2＋c 2－b 22ac 2ab a 2＋b 2－c 2b2a ＋c整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝＝＝－.a 2＋c 2－b 22ac －ac 2ac 12∵B 为三角形的内角，∴B ＝π.23(2)将b ＝，a ＋c ＝4，B ＝π代入b 2＝a 21323＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos π，23解得ac ＝3.∴S △ABC ＝ac sin B ＝.12334【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．　若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab的值为( )A. B ．8－4 C ．1 D.43323解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝.故选A .43类型三　正、余弦定理的综合应用　()△ABC 的内2013·全国新课标Ⅱ角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .②由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝.π4(2)△ABC 的面积S ＝ac sin B ＝ac .1224由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos .π4又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤，42－2当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为＋1.2【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．　()设△ABC 的内角A ，B ，2013·山东C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B＝.79(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.79(2)在△ABC 中，sin B ＝＝，1－cos 2B 429由正弦定理得sin A ＝＝.a sin B b 223因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝＝.1－sin 2A 13因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝.10227类型四　判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得＝，a 2b 2sin 2Asin 2B所以＝，tan A tan B sin 2Asin 2B所以＝，即sin2A ＝sin2B .sin A cos B cos A sin B sin 2A sin 2B所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B或A ＋B ＝，从而△ABC 是等腰三角形或直角三π2角形．解法二：由正弦定理，得＝，所以a 2b 2sin 2Asin 2B＝，所以＝，再由正、余弦tan A tan B sin 2A sin 2B cos B cos A sin A sin B定理，得＝，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bca b －b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．　()在△ABC 中，若sin 2A2012·上海＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解：在△ABC 中，∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴由正弦定理知a 2＋b 2<c 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，即∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．故选C .类型五　解三角形应用举例　某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile ，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°）＝＝900t 2－600t ＋400900(t －13)2＋300，故当t ＝时，S min ＝10，此时v ＝＝3013310313.3即小艇以30 n mile/h 的速度航行，相遇3时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－＋.600t 400t 2∵0<v ≤30，∴900－＋≤900，即－600t 400t 22t 2≤0，3t解得t ≥.又t ＝时，v ＝30.故v ＝30时，t2323取得最小值，且最小值等于.23此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt△OAC 中，OC ＝20cos30°＝10，AC ＝320sin30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝＝，v ＝＝1030131031330.3即小艇以30 n mile/h 的速度航行，相遇3时小艇的航行距离最小．(2)假设v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝.23据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图，由(1)得OC ＝10，AC ＝10，3故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC >AC .而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇．设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD 中，CD ＝10tan θ，OD ＝.3103cos θ由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝和t ＝，所以10＋103tan θ30103v cos θ＝.10＋103tan θ30103v cos θ由此可得，v ＝.153sin （θ＋30°）又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥，从而，3230°≤θ<90°.由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为.33于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为.23【评析】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．　()如图，渔船2012·武汉5月模拟甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，在△ABC 中，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，BC ＝28.所以渔船甲的速度为v ＝＝14(海里/小282时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理得＝AB sin αBCsin ∠BAC，即＝，从而sin α＝12sin α28sin120°12sin120°28＝.33141．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sin ＝cos ，sin2A ＝－A 2B ＋C2sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．。

正余弦定理知识点一、知识概述《正余弦定理》①基本定义：- 正弦定理呢，简单说就是在一个三角形里，各边和它所对角的正弦值的比是相等的。

也就是说a/sinA = b/sinB = c/sinC。

就好比是三角形三边和它对角正弦之间有着一种平均分配的关系。

- 余弦定理对于边来说，它是说三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

比如对于边a，a²= b²+ c²- 2bc·cosA。

这就像是三边之间有一种和角度余弦相关的计算关系。

②重要程度：在中学的数学学科，尤其是三角函数和三角形这部分知识里，正余弦定理超级重要。

它是求解三角形各种未知元素的非常厉害的工具，像已知两角一边或者两边一角之类的情况，没有它都没法做。

③前置知识：得先知道三角形的一些基本知识，像三角形内角和是180度啊，三角函数的定义（正弦、余弦是怎么一回事儿）等基础知识。

④应用价值：在实际生活中的测量呀，建筑工程里已知一些距离和角度求其他的数据等方面，还有像地图绘制里通过角度和部分距离求未知距离等情况都很有用，非常具有现实意义。

二、知识体系①知识图谱：在三角学这一大块知识里，正余弦定理处于求解三角形相关问题的核心位置。

就像是一根线把三角形的边和角这些零散的珠子串起来了。

②关联知识：它和三角函数的各种性质、三角形的面积公式等联系很紧密。

有时候求三角形面积用到的1/2ab·sinC，这里就有正弦呢，和正余弦定理就有关系。

③重难点分析：- 掌握难度对于有些同学来说中等，关键有点在于准确地记忆公式，并且能够灵活分析已知条件决定是用正弦定理还是余弦定理或者两者结合。

我感觉不少同学开始分不清啥时候该用哪个定理。

- 像在有些复杂图形中，找出符合正余弦定理条件的三角形是个难点。

④考点分析：在考试中超级重要，那是必考内容。

考查方式很多，比如会直接给条件让求三角形某边或者角；还可能会出在大题里，和其他知识综合起来考查，像在立体几何里求某个三角形元素等。

高一正余弦定理的知识点在高中数学中，正余弦定理是解决三角形问题的重要工具之一。

它可以帮助我们求解三角形的边长和角度，并且在实际应用中具有广泛的应用。

本文将介绍高一正余弦定理的知识点，包括定理的定义、推导及应用。

【正余弦定理的定义】在一个三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。

那么正余弦定理可以分别表示为：余弦定理（Cosine Rule）：c² = a² + b² - 2abcosC正弦定理（Sine Rule）：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，正弦定理可以根据三角形的某两边和对应的夹角之间的关系推导得出，而余弦定理则是通过余弦公式推导得出。

【正余弦定理的推导】1. 余弦定理的推导：根据余弦定理，我们可以通过已知边长和夹角来求解三角形的其他边长或夹角。

下面是余弦定理的推导过程：根据余弦定理可知：c² = a² + b² - 2abcosC将cosC用两个边向量的点乘表示：cosC = (a·b) / (|a||b|)代入原式：c² = a² + b² - 2ab(a·b) / (|a||b|)将a·b用边向量的模和夹角的余弦表示：a·b = |a||b|cosC化简得：c² = a² + b² - 2abcosC推导完毕。

2. 正弦定理的推导：正弦定理可以用来解决三角形的边长和角度之间的关系。

下面是正弦定理的推导过程：根据正弦定理可知：a/sinA = b/sinB = c/sinC设矢量OA = a，矢量OB = b，矢量OC = c则有 |a×b| = |a||b|sinC （其中，a×b为向量的叉乘）又 |a×b| = 0.5|AC × BC|而 AC × BC 的方向与 n 相同所以 0.5|AC × BC| = BC×BA的模再由正弦定理 c/sinC = 2BC / BA而 2BC = a，BA = b得到 a/sinA = b/sinB = c/sinC推导完毕。

解三角形 一．正弦定理：A a sin =B bsin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到 1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC 2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R 3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ） 三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.例四：在△ABC中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是例五.判断三角形的形状（1）正弦定理判断在△ABC中，若a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．（2）余弦定理判断在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断三角形的形状．例六 判断解得个数不解三角形，判断下列三角形的解的个数： （1）a=5,b=4,A=120度（2）a=7,b=14,A=150度（3）a=9,b=10,A=60度（4）c=50,b=72,C=135度考试类型一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1、ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB2、 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 5、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B = A －223 B 223C －63D 636、在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a = 。

正弦定理、余弦定理讲师：王光明【基础知识点】1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝＝ca sin B ；2121212．三角形中的边角不等关系: A>B a>b,a+b>c,a-b<c ；；⇔3．【正弦定理】：＝＝＝2R （外接圆直径）；A a sin B b sin Ccsin 正弦定理的变式：； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 24．正弦定理应用范围： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角AABa=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角当时有一解.a>b 5．【余弦定理】　a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．【习题知识点】知识点1　运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【解析】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bc a c b b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a =即△ABC 为等腰三角形.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理: ①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.例题2　在△ABC 中，已知，，B=45︒ 求A 、C 及c .3=a 2=b 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【解析】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BCb c当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理将已知条件代入，整理：解之：B ac c a b cos 2222-+=0162=+-x x 226±=x 当时 从而A=60︒ ，C=75︒226+=c 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 当时同理可求得：A=120︒ C=15︒.226-=c 知识点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C 的值．　【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C ．【解析】 A B C 、、为锐角∴<++<0270°°A B C 又，，由公式可得tan tan A B ==12tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++=++-+⋅tan()tan tan()tan A B C A B C 1 =-+--⨯33133() =0所以A+B+C=π知识点4 求三角形的面积例题4 △ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o ，∠ADC ＝150o ，求AC 的长及△ABC 的面积．【解析】在△ABC 中，∠BAD ＝150o －60o ＝90o ，∴AD ＝2sin60o ＝3．A在△ACD 中，AD 2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150o ＝7，∴AC ＝7． ∴AB ＝2cos60o ＝1．S △ABC ＝21×1×3×sin60o ＝343．知识点4 解决实际为题例题4 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。