3.2.1奇偶函数图象的对称性

函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。

在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。

本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。

1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。

常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。

1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。

形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。

例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。

我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。

1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。

形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。

举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。

我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。

2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。

奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。

2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。

奇函数的图像关于原点对称。

举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。

我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。

2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。

偶函数的图像关于对称轴对称。

例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。

我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。

函数奇偶性、周期性、对称性（一）函数的奇偶性、周期性、对称性一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足① f (x) f (x) 函数f (x) 为偶函数；② f (x) f (x) f (x) f (x) 0 函数f (x) 为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数.3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x) 0 ，xD ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数 f (x) 在区间[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b,a] 上也是单调递增（减）；③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数 f (x) 在区间[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b,a] 上也是单调递减（增）；④任意定义在R 上的函数f (x) 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) .2 2二、函数的周期性1．函数的周期性定义：对于函数f (x) ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个个x 值，都满足f (x T ) f (x) ，那么函数f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，应注意nT （n Z 且n 0 )也是函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f (x) 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x) 的最小正周期.并非所有的函数都有最小正周期，如 f (x) c （ c 为常数），任意一个实数x 都是该函数的一个周期，却没有最小正周期.三、函数的对称性1．函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.2．中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.【必记结论】1．奇函数f (x) 若在x 0 处有定义，则必有f (0) 0 ，但若不能判断奇函数 f (x) 的定义域中一定有x 0 ，则不能使用f (0) 0 ，求取参数的值.2．函数f (x) 的定义域关于原点对称，则函数F (x) f (x) f (x) 为偶函数，函数F (x) f (x) f (x) 为奇函数.3．几类函数的周期(约定a 0 )问题：① 若函数f (x) 满足：f (x a) f (x a) 或f (x a) f (x) 或f (x a) kf (x)( f (x) 0, k 0) ，或f (x a) kf (x) ( f (x) 0, k 0) ,或f (x a) 1 f (x) 或f (x a) f (x) b 等，则f (x) 的周期T 2a ；1 f (x)②若y f (x) 的图象关于直线x a , x b (a b) 对称，则函数y f (x) 是周期为2 a b 的周期函数；③若y f (x) 的图象关于(a,0) 对称，同时关于点(b,0) 对称，（ b a ），则函数y f (x) 是周期为2 | b a | ；④若y f (x) 的图象关于x a 对称，同时关于点(b,0) 对称，（ b a ），则函数y f (x) 是周期为4 | b a | .4．函数y f (x) 的图像的对称性①函数y f (x) 的图像关于直线x a 对称 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .②函数y f (x) 的图像关于点(a,0) 对称 f (x)f (2ax) f (a x) f (a x) .③函数y f (x) 满足f (a x) f (b x) ，则y f (x) 的图像关于直线x b a2对称.④ 若函数y f (x) 对定义域中任意x 均有f (a x) f (b x)c 0 ，则函数y f (x) 的图像关于点( a b , c ) 成中心对称图形.5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.③二次函数f (x) ax 2 bx c(a 0) ：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x b .2a k ④反比例函数y (k 0) ：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，x y x 与y x 均为它的对称轴.推广：函数a (cx d ) b ad b ady ax b c ca c c 2，由函数图象的平移知识易知：函数cx d cx d c x d c dax 2 的对称中心为(, ) .（思考：如何快速作出函数y c c 2x 5 的图象？找对称中心，化分母变量的系数为正，并将分母为零点时的自变量的值代入分子，看正负，从而快速画出图形.）⑤函数y a | x b | c 的图象关于直线x b 对称.b c ⑥函数y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称轴为xa abc ；2 2a y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称中心为( b c , 0) .⑦函数y x a (a 0) 是奇函数，图象关于原点(0, 0) 对称.x⑧函数y Asin( x ) k 、y A cos( x ) k 的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，它们的对称轴在函数取得最值（最大或最小）时取到，它们的对称中心是“平衡点”.⑨三次函数f (x) ax 3 bx 2 cx d (a 0) 的图象是中心对称图形，对称中心为( b3a, f ( b )) （二阶导数为零时的自变量的取值为对称中心的横坐标，在该点的函3a 数值是对称中心的纵坐标）.⑩绝对值函数：这里主要说的是y f (| x |) 和y | f (x) | 两类.前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称；后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y ln x 就没有对称性，而y | sin x | 却仍然是轴对称.6．两个函数图像的对称性①互为反函数的两个函数的图像关于直线y x 对称.如指数函数ya x 与对数函数y log a x 的图象关于直线y x 对称.②函数y f (a x) 与函数y f (b x) 的图像关于直线x b a对称.③函数y f (a wx) 与函数y f (b wx) 的图像关于直线x b a2w对称.【解题方法】1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2．函数奇偶性的判断方法：①定义法判断，步骤：1）求出函数的定义域；2）判断定义域是否关于原点对称；3）根据定义域化简函数的解析式，并求出f (x) ；4）判断f (x) f (x) 或f (x) f (x) 是否对定义域内的每一个x 恒成立（恒成立要给予证明，否则要举出反例，若在函数f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是偶函数，同样，若在函数 f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是奇函数）；（1）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (x) 与f (x) 的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．（2）对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．②函数的图像法判断（函数的图像是否关于原点对称；函数的图像是否关于y 轴对称）；③函数f (x), g(x) 的公共定义域关于原点对称1）若函数f (x), g(x) 都为奇函数或都为偶函数，则函数F (x) f (x)g(x) 为偶函数；2）若函数f (x), g(x) 其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数F (x) 为奇函数；f (x)g(x)3）若函数f (x), g(x) 都为奇函数，则函数F (x) f (x) g(x) 为奇函数；4）若函数f (x), g(x) 都为偶函数，则函数F (x) f (x) g(x) 为偶函数.复合函数y f [g(x)] 的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇.3．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：常采用待定系数法，利用f (x) f (x) 0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.4．如果函数f (x) 是偶函数，那么f (x) f (| x |) ，通常在求解与偶函数、单调性有关的不等式时，利用此公式进行转化所求解的不等式.5．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．6．对抽象函数的周期性、对称性问题的总结①当括号里面x 前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆.②而当x 前面的符号相同时告诉我们的是周期性.③当x 前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力.7．证明一个函数y f (x) 关于直线x a 对称的步骤：①设函数y f (x) 图像上的任意点(x, y) ；②找到点(x, y) 关于直线x a 的对称点(2a x, y) ；③设法证明点(2a x, y) 也在函数y f (x) 的图像上；④下结论.8．证明一个函数y f (x) 关于点(a, b) 对称的步骤：①设函数y f (x) 图像上的任意点(x, y) ；② 找到点(x, y) 关于点(a, b) 的对称点(2a x, 2b y) ；③ 设法证明点(2a x, 2b y) 也在函数y f (x) 的图像上；④下结论.9．对于证明两个函数的图像关于直线x a 对称或关于点(a, b) 对称的方法参照一个函数的证明方法进行即可.10．已知定义在R 上的周期函数f (x) ，周期为T ，函数f (x) 的一个对称中心为(a, b) 或对T T 称轴为x a ，则点(k a, b) 必是函数f (x) 的对称中心，直线x k a 必是函 2 2 数 f (x) 的对称轴（每相邻两个对称中心之间相差半周期，每相邻两条对称轴之间相差半周期，只要有有一个对称中心，根据周期就可求出所有的对称中心，只要知道一条对称轴，就可以根据周期找出所有的对称轴，但是由对称中心及周期，却不能找出对称轴，同样由对称轴及周期，也不能找到对称中心）.11．若函数y f (x) 有对称中心，则函数y f (x) 的对称中心求解类型有：①若函数y 的横坐标；②若函数y 坐标；f (x) 的定义域有对称中心，则对称中心的横坐标就是定义域的对称中心f (x) 的值域有对称中心，则对称中心的纵坐标就是值域的对称中心的纵③ 若函数y f (x) 的定义域与值域都是R ，则设对称中心为(a, b) ，由f (a x) f (a x) 2b 确定参数a, b 的值即可.④上些具体函数的对称中心问题：三次函数的对称中心，可通过二阶导数为零求出，对于一些明显可以来奇函数平移得来的函数，可以借用奇函数的性质与平移方法得到函数的对称中心.注：函数y 111 的对称中心为 n , 0 .x x 1 x n 2 【易错提醒】1．判断函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.如函数f (x) x 2 (x 1) ，该函数是没有奇偶性，但如果没有判断函数的定义域，而直接f (x) (x) 2 x 2 f (x) ，容易得出错误的结论：f (x) x 2 (x 1) 是偶函数.2．奇函数f (x) 在x 0 处可以没有定义，如f (x) 定义，则f (0) 0 .1 ；但如果奇函数f (x) 在x 0 处有x3．周期函数f (x) 的定义域至少有一边是无界的.如：命题“ 函数f (x) sin x 在[1000 ,1000 ] 是周期函数”是错误的；命题“函数f (x) sin x 在[0, ) 是最小正周期为2 的周期函数”是正确的，该函数没有负周期；命题“函数f (x) sin x 在(, 0] 是周期为 2 的周期函数”是正确的，但该函数却没有最小正周期.4．有对称性（对称轴x a ，对称中心(a, b) ）的一个或两个函数的定义域必须关于x a对称.5．在具体练习中，务必注意一个函数的对称性还是两个函数对称性，这两者是有区别的.如函数y f (x) 满足 f (2 x) f (4x) ，则函数y f (x) 的图象关于直线x 2 4 3 对称；函数y 2 x 2 4 1 对称.2f (2 x) 的图象与函数y f (x 4) 的图象则关于直线。

函数的对称性与奇偶性的判定函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。

在函数的研究中，对称性和奇偶性是两个常见的性质。

函数的对称性可以告诉我们函数在某个坐标轴或者某个点上是否对称，而奇偶性则指函数在自身点上的性质。

本文将介绍函数对称性和奇偶性的判定方法。

一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个坐标轴或者某个点上保持不变的性质。

常见的对称性有关于x轴、y轴以及原点的对称性。

1. 关于x轴的对称性如果函数f(x)在x轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于x轴对称。

这意味着函数图像关于x轴对称，即将函数图像沿x轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。

2. 关于y轴的对称性如果函数f(x)在y轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于y轴对称。

这意味着函数图像关于y轴对称，即将函数图像沿y轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。

3. 关于原点的对称性如果函数f(x)在原点上对称，即对于任意x，有f(x) = -f(-x)，那么称函数f(x)关于原点对称。

这意味着函数图像关于原点对称，即将函数图像绕原点旋转180度后，图像与原图像完全一致。

二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身点上的性质，即函数在(-x, f(-x))和(x, f(x))两点上的关系。

根据函数的奇偶性，可以将函数分为奇函数和偶函数。

1. 奇函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。

换言之，奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。

2. 偶函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。

换言之，偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。

三、对称性与奇偶性的判定方法1. 对称性的判定方法对于函数的对称性判定，可以通过以下步骤进行：Step 1：将函数f(x)与f(-x)进行比较，判断是否相等。

函数的对称性与奇偶性函数是一种数学工具，用于描述两个变量之间的关系。

函数的对称性与奇偶性是函数的重要性质之一，它们可以帮助我们简化函数的分析和计算。

下面将介绍函数的对称性与奇偶性的概念和特点，并通过实例来说明其应用。

1. 对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变的性质。

常见的对称性包括轴对称（即关于某一条轴的对称性）和中心对称（即关于某一中心点的对称性）。

1.1 轴对称性对于轴对称函数，其图像相对于某一条轴对称，也就是说，图像在镜像之后仍然保持不变。

轴对称函数可以表示为f(x) = f(-x)。

常见的轴对称函数有偶函数和周期为2π的周期函数。

1.2 中心对称性对于中心对称函数，其图像相对于某一中心点对称，也就是说，图像在中心点旋转180°之后仍然保持不变。

中心对称函数可以表示为f(x) = -f(-x)。

常见的中心对称函数有奇函数。

2. 奇偶性的定义和性质函数的奇偶性是指函数在代入负数或正数时的表现特点。

奇函数与轴对称性相关，而偶函数与中心对称性相关。

2.1 奇函数奇函数满足f(-x) = -f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值也取反。

奇函数的图像关于原点对称，具有轴对称性。

奇函数的常见特点是在原点处取值为零，而且在自变量为正负相等的情况下函数值相等。

2.2 偶函数偶函数满足f(-x) = f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值不变。

偶函数的图像关于y轴对称，具有中心对称性。

偶函数的常见特点是在y轴处取值为零，而且在自变量为相反数的情况下函数值相等。

3. 对称性和奇偶性的应用对称性和奇偶性是函数分析中常用的工具之一，它们可以帮助我们简化函数的计算和图像的绘制。

3.1 推导函数的性质通过对函数的奇偶性进行分析，我们可以推导出函数的其他性质。

例如，偶函数的奇次幂项的系数为零，奇函数的偶次幂项的系数为零。

这些推导可以帮助我们更快地分析函数的特点。

3.2 简化函数的计算对于奇函数，当我们需要计算积分、求解方程等操作时，可以从负数到正数的范围内进行计算，然后将结果乘以2即可。

奇偶函数定义判断-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，奇函数和偶函数是常见的函数类型。

奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，其图像关于原点对称；偶函数则是指满足f(-x)=f(x)的函数，其图像关于y轴对称。

了解奇偶函数的定义和特点对于深入理解函数的性质和变化规律具有重要意义。

本文将结合奇函数和偶函数的定义及特点，介绍如何判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法，以及实际应用中奇偶函数的例子，帮助读者更好地理解和应用奇偶函数。

1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分，将对奇偶函数的概念进行简要介绍，并说明文章的结构和目的。

正文部分分为三个小节，分别讨论奇函数和偶函数的定义与特点，以及奇偶函数的判断方法，通过对这些内容的介绍，读者可以深入了解奇偶函数的概念和特点。

在结论部分，将对奇偶函数的特点进行总结，列举一些应用奇偶函数的实例，同时对奇偶函数的意义做出展望。

整体结构清晰，逻辑严谨，旨在帮助读者更好地理解和运用奇偶函数的知识。

1.3 目的本文旨在深入探讨奇偶函数的定义和特点，并介绍判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法。

通过对奇函数和偶函数的特性进行详细讨论，读者可以更加清晰地了解这两种函数的性质和区别。

同时，我们还将通过实例展示如何应用奇偶函数的性质解决问题，帮助读者更好地理解奇偶函数在数学中的实际应用。

最后，文章还将对奇偶函数的特点进行总结，并展望这一概念在数学中的未来发展。

通过本文的阐述，读者将对奇偶函数有更深入的理解，从而能够更好地运用这一概念解决数学问题。

2.正文2.1 奇函数的定义与特点奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，当x的相反数也是该函数的自变量时，函数值取相反数。

换句话说，即f(-x)=-f(x)，其中f(x)为奇函数。

奇函数的特点有以下几点：1. 对称性：奇函数关于原点对称。

也就是说，如果函数图像在x轴上关于原点对称，那么该函数就是奇函数。

函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。

函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。

自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。

命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。

函数的奇偶性与对称性函数在数学中起着非常重要的作用，它通过各种数学运算将一个数对映到另一个数。

在这篇文章中，我们将讨论函数的奇偶性与对称性。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在变量值取正和负时的性质是否一致。

具体而言，若对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数被称为奇函数；若对于任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数被称为偶函数；若对于某些x，有f(-x)≠±f(x)，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

奇函数具有对称中心为原点的特点，也就是说当将函数关于原点对称时，图像不变。

例如，f(x)=x^3就是一个简单的奇函数。

当x取正值和负值时，函数的值相反，而且当将其图像沿y=x对称时，图像仍然保持不变。

偶函数则具有关于y轴的对称性，也就是说当将函数关于y轴对称时，图像不变。

例如，f(x)=x^2就是一个典型的偶函数。

当x取正值和负值时，函数的值相同，而且当将其图像沿y轴对称时，图像仍然保持不变。

二、函数的对称性与函数的奇偶性相关的是函数的对称性。

函数的对称性有三种：关于x轴的对称性、关于y轴的对称性和关于原点的对称性。

关于x轴的对称性是指当将函数关于x轴翻转时，图像不变。

例如，f(x)=sin(x)就是一个具有关于x轴对称性的函数。

当x取正值时，函数值是正的，而当x取负值时，函数值是负的，因此函数在x轴上关于原点具有对称性。

关于y轴的对称性是指当将函数关于y轴翻转时，图像不变。

例如，f(x)=cos(x)就是一个具有关于y轴对称性的函数。

当x取正值时，函数值相同，而当x取负值时，函数值也相同，因此函数在y轴上关于原点具有对称性。

关于原点的对称性是指当将函数关于原点翻转时，图像不变。

例如，f(x)=tan(x)就是一个具有关于原点对称性的函数。

当x取正值和负值时，函数的值相反，因此函数在原点上具有对称性。

三、实际应用函数的奇偶性与对称性在实际问题中有广泛应用。

在物理学中，奇函数常用于描述对称的场景，例如电流的方向或磁场的分布。

函数的奇偶性与对称性在数学中，函数的奇偶性与对称性是一些基本概念。

了解这些概念能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。

本篇文章将详细介绍函数的奇偶性与对称性，并讨论它们在数学中的应用。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。

一个函数如果满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。

偶函数的图像在坐标系中具有关于y轴的对称性，即左右对称。

例如，$f(x) = x^2$是一个典型的偶函数。

我们可以观察到，对于函数图像上的任意一点$(x, y)$，如果存在另一个点$(-x, y)$也在图像上，那么这个函数就是偶函数。

奇函数的图像在坐标系中具有关于原点的对称性，即中心对称。

例如，$f(x) = x^3$是一个典型的奇函数。

我们可以观察到，在函数图像上，原点为中心，任意一点$(x, y)$和$(-x, -y)$对称。

二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他形式的对称性，如轴对称和中心对称。

轴对称是指函数图像具有关于某条垂直或水平直线的对称性。

例如，函数$y = f(x)$具有关于y轴对称性，而函数$x = f(y)$具有关于x轴对称性。

轴对称的性质对于解方程和图形绘制等问题具有重要意义。

中心对称是指函数图像具有关于坐标系原点的对称性。

例如，函数$y = \frac{1}{x}$具有关于原点的中心对称性。

中心对称和轴对称在几何和物理学等领域有广泛应用。

三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和求解函数问题。

1. 偶函数的性质：- 偶函数在定义域内关于y轴对称，因此只需研究正半轴上的取值。

- 偶函数的图像关于y轴对称，即$(x, y)$在图像上，则$(-x, y)$也在图像上。

- 偶函数的奇数次幂为奇函数，偶数次幂为偶函数。

2. 奇函数的性质：- 奇函数在定义域内关于原点对称，因此只需研究第一象限上的取值。

函数图像的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。

1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。

②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。

③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。

定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。

② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。

③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。

定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。

②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。

④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。

2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。

函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用于描述函数的性质和特点。

通过研究函数的对称性和奇偶性，我们可以更深入地了解函数的行为和图像的形状。

本文将详细介绍函数的对称性和奇偶性的定义、性质以及在实际问题中的应用。

一、对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。

常见的对称性包括关于y轴的对称、关于x轴的对称和关于原点的对称。

下面将分别介绍这三种对称性的定义和性质。

1. 关于y轴的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，则称函数关于y 轴对称。

也就是说，函数图像相对于y轴是对称的。

例如，函数y = x^2就是关于y轴对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^2 = x^2。

2. 关于x轴的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(x) = -f(-x)，则称函数关于x轴对称。

也就是说，函数图像相对于x轴是对称的。

例如，函数y = sin(x)就是关于x轴对称的，因为对于任意x值，都有sin(x) = -sin(-x)。

3. 关于原点的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数关于原点对称。

也就是说，函数图像相对于原点是对称的。

例如，函数y = x^3就是关于原点对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^3 = -x^3。

对于一个函数而言，可能同时具有以上三种对称性，也可能只具有其中一种对称性。

在实际应用中，我们可以根据函数的对称性来简化计算和分析。

二、奇偶性的定义和性质函数的奇偶性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。

奇函数和偶函数是最常见的具有奇偶性的函数。

下面将分别介绍奇函数和偶函数的定义和性质。

1. 奇函数如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。

也就是说，奇函数关于原点对称。

例如，函数y = sin(x)就是奇函数，因为对于任意x值，都有sin(-x) = -sin(x)。

函数的奇偶性及对称性函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。

在实际问题的建模和解决中，经常会遇到需要研究函数的性质和特征的情况。

其中，函数的奇偶性及对称性是我们常见且重要的性质之一。

一、函数的奇偶性在研究函数的奇偶性之前，我们先来了解一下奇数和偶数的定义。

奇数指的是不能被2整除的整数，例如1，3，5，7等；而偶数指的是能被2整除的整数，例如2，4，6，8等。

1.1 定义对于定义在实数集上的函数f(x)，若对任意的实数x，函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

同样地，若对任意的实数x，函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。

1.2 性质（1）奇函数的图像关于原点对称，即对于函数y=f(x)，会关于原点O对称。

（2）奇函数在原点处取值为0，即f(0) = 0。

（3）奇函数的奇次幂项系数为0，即f(x)中只包含奇次幂的项。

（4）奇函数的乘积仍为奇函数。

二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他类型的对称性，比如轴对称、中心对称等。

2.1 轴对称当函数的图像关于某一直线对称时，称该函数具有轴对称性。

常见的轴对称有关于y轴和x轴的对称。

2.2 中心对称当函数的图像关于某一点对称时，称该函数具有中心对称性。

该点称为对称中心。

三、应用举例接下来，我们通过一些具体的函数来深入了解函数的奇偶性及对称性的应用。

3.1 奇函数的例子我们以f(x) = x^3作为奇函数的例子来说明。

（1）对于任意的实数x，有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，满足奇函数的定义。

（2）图像关于原点O对称，过原点的直线y=x是该函数的斜渐近线。

（3）该函数在原点处取值为0。

（4）该函数的乘积仍为奇函数，例如f(x)g(x)= (x^3)(x^5) = x^8。

3.2 偶函数的例子我们以f(x) = x^2作为偶函数的例子来说明。

（1）对于任意的实数x，有f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)，满足偶函数的定义。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第6讲 函数的奇偶性通关一、函数奇偶性的定义和性质2. ()f x 是偶函数()f x ⇔的图像关于y 轴对称;()f x 是奇函数()f x ⇔的图像关于原点对称;3. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.4. ()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=.5. 若奇函数()f x 的定义域包含0 ,则(0)0f =.通关二、函数奇偶性的运算通关三、一些重要类型的奇偶函数1. 函数()x xf x a a-=+为偶函数, 函数()x xf x a a-=-为奇函数.2. 函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++且1)a ≠为奇函数 3. 函数1()log (01axf x a x-=>+且1)a ≠为奇函数.4. 函数(()log (0a f x x a =>且1a ≠ )为奇函数.结论一、定义域优先函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.【例1】若函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数,定义域为[1,2]a a -, 则a =__________.b =__________.【答案】1,03【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称,所以12a a -=-, 解得13a =. 又函数 21()13f x x bx b =+++为偶函数,结合偶函数图像的特点,易得0b =.【变式】已知偶函数32()(1)1f x a x mx =-++的定义域为()238,m m m --, 则2m a +=_________.【答案】16【解析】因为()f x 为偶函数, 故其定义域关于原点对称,所以2238038m m m m m m m⎧--+=⇒⎨--<⎩4=, 由函数()f x 为偶函数可得101a a -=⇒=, 故2426m a +=+=.结论二、函数的构造任何一个定义域关于原点对称的函数()F x , 总可以表示为一个奇函数()f x 和一个偶函数()g x 的和, 其中()()()()(),()22F x F x F x F x f x g x --+-==. 【例2】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且22()()1x xf xg x x ++=+, 则()f x =_________.()g x =_________.【答案】222,11x x x x ++ 【解析】因为()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数, 所以()(),()()f x f x g x g x -=--=, 则2222()()1()()1x x f x g x x x x f x g x x ⎧++=⎪⎪+⎨-⎪-+-=⎪+⎩, 即2222()()1()()1x x f x g x x x xf xg x x ⎧++=⎪⎪+⎨-⎪-+=⎪+⎩两式相减, 解得2()1x f x x =+; 两式相加,解得22()1x g x x =+.【变式】已知()f x 是奇函数, ()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x -=+, 则()f x =_________. ()g x =_________.【答案】221,11x x x --【解析】因为()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,所以()(),()(f x f x g x g x -=--=,则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-=+---=⎩-+即1()()11()()1f x g x x f x g x x -⎪+⎧=⎪⎪⎨=--+⎪⎩-. 两式相减,解得2()1x f x x =-;两式相加,解得21()1g x x =-. 结论三、奇函数特性1. ()f x 是奇函数()()()()()()01f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔-+=⇔=-2. 若()f x 是奇函数,且(0)f 有意义,则(0)0f =. 【例3】若函数2()()1x af x x x +=∈+R 是奇函数,则a 的值为（）.A.1B. 0C. 1-D.1±【答案】B【解析】因为()f x 是奇函数,且x ∈R , 所以(0)0f =, 即001a+=, 所以0a =. 故选B. 【变式】若函数2()()21x f x a x =-∈+R 为奇函数,则实数a 的值（）. A .等于 0B. 等于 1C. 等于2D. 不存在【答案】B【解析】解法一：若函数2()()21xf x a x =-∈+R 为奇函数,则()()f x f x -=-, 即 222121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭对任意实数x 恒成立,整理()1122121212x x x xx a --=+=+++1211211221x x x x +=+=+++. 故选 B. 解法二：因为(0)f 有意义, 所以02(0)0121f a a =-=⇒=+. 故选 B.结论四、偶函数特性1. ()f x 是偶函数()()()()()01()f x f x f x f x f x f x -⇔-=⇔--=⇔= 2. 若()f x 是偶函数,则()()(||)f x f x f x -==.3. 如果偶函数()f x 在y 轴左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量1x ,2x ，谁距离y 轴近,谁的函数值小, 即若12x x <, 则()()12f x f x <; 反之,若()1f x <()2f x , 则12x x <;4. 如果偶函数()f x 在y 轴左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量1x ,2x ，谁距离y 轴近, 谁的函数值大, 即若12x x <,则()()12f x f x >; 反之,若()1f x ＜()2f x , 则12x x <. 【例4】设()f x 为定义在[2,2]-上的偶函数, 且()f x 在[2,0]-上是增函数,若(1)()0f m f m --<,则实数m 的取值范围是（）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭В. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为()f x 为定义在[2,2]-上的偶函数,且()f x [2,0]-上是增函数,所以()f x 在[0,2]上是减函数, 由(1)()0f m f m --<得(1)()f m f m -<, 等价为(|1|)(||)f m f m -<, 则21222|1|||m m m m --⎧⎪-⎨⎪->⎩剟剟, 得1322,m m --剟剟得11,2m -<…即实数120m ->取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选 C.【变式】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(0,)+∞上单调递增.若实数a 满足()212log log 2(1)f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…, 则a 的最小值是（）A.32B. 1C.12D. 2【答案】C【解析】由于()f x 为偶函数, 所以()()f x f x -=()()2122log log log f a f a f a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()()()222log 2log 2(1)log (1)f a f a f f a f -⇒⇒剟, 因为()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,所以221log 11log 122a a a ⇒-⇒剟剟?, 即a 的最小值为12. 故选C. 结论五、奇偶性与单调性关系1. 如果奇函数()y f x =在区间(0,)+∞上是递增的,那么函数()y f x =在区间(,0)-∞上也是递增的;2. 如果偶函数()y f x =在区间(0,)+∞上是递增的,那么函数()y f x =在区间(,0)-∞上是递减的.【例5】设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数,且(1)0f =, 则不等式()()0f x f x x--<的解集为_________.【答案】(1,0)(0,1)-⋃【解析】因为函数()f x 是奇函数, 所以()()f x f x -=-, 所以不等式()()0f x f x x--<等价于()0xf x <, 即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0.()0x f x <⎧⎨>⎩根据条件可作出函数()f x 的大致图像,如图所示. 故不等式()()0f x f x x--<的解集为(1,0)(0,1)-⋃.【变式】已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-, 且在区间[2,0]-上单调递减,则满足()2(1)10f m f m-+-<的实数m 的取值范围为_________. 【答案】11m -<…【解析】因为()f x 的定义域为[2,2]-, 所以有2212212m m --⎧⎨--⎩剟剟,解得1m -剟由()2(1)10f m f m -+-<, 得()2(1)1f m f m -<--. 又由()f x 为奇函数,得(1f --)()221m f m =-, 所以()2(1)1f m f m -<-, 又()f x 为奇函数,且在[2,0]-上单调递减,所以()f x 在[2,2]-上单调递减. 所以211m m ->-. 即21m -<<(2). 综合(1)(2)可知,实数m 的取值范围为11m -<….。

奇偶函数图象的对称性1．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2 时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＞x2 时，都有f（x1）＜f （x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0 的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a 或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．2．奇偶函数图象的对称性【知识点的认识】1/ 2奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m 时，f （﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y 轴对称，它的特点是当f（x）＝n 时，f（﹣x）＝n．【解题方法点拨】由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是 7 和 4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4【命题方向】本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x 轴交点的个数，求在更大范围内它与x 轴的交点个数，同学们务必多多留意．2/ 2。