水文频率曲线线型

通过水文年型的划分进行灌区水文年型的中长期预测，可以为节水灌溉提供基础信息(路振广2005)，从而明确研究所得结论适用于的降水年型，针对选定的典型年的气象、水文情况制定出当年的用水计划，在执行过程中再依据当时的气象、水文等情况进行调整(茆智, 李远华, and 李会昌2002)。

皮尔逊Ⅲ型曲线被规定为我国水文频率计算的首选线型，得到了广泛应用(水利电力部水利水电规划设计院1985)。

1. 水文频率曲线水文分析计算中使用的概率分布曲线俗称水文频率曲线，习惯上把由实测资料（样本）绘制的频率曲线称为经验频率曲线，而把由数学方程式所表示的频率曲线称为理论频率曲线。

所谓水文频率分布线型是指所采用的理论频率曲线(频率函数)的型式（水文中常用线型为正态分布型、极值分布型、皮尔逊Ⅲ型分布型等），它的选择主要取决于与大多数水文资料的经验频率点据的配合情况。

(宋孝玉2014)2. 皮尔逊Ⅲ型曲线(Pearson type Ⅲcurve)英国生物学家皮尔逊为随机现象提供了13种概率密度曲线（https:///），其中第Ⅲ型与水文现象较符合，在水文计算中用得较广(中国铁道百科全书总编辑委员会《工程与工务》编辑委员会2004)。

皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线，数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:式中：Γ（α）―α的伽玛函数；α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度和位置未知参数，α﹥0，β﹥0 。

三个参数确定以后，该密度函数随之可以确定。

可以推论，这三个参数与总体三个参数、C v、C S具有如下关系：3.皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:求出等于及大于xp的累积频率P值。

直接由上式计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式:式中被积函数只含有一个待定参数C S，其它两个参数、Cv都包含在中。

案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。

（1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。

②用公式100%1m Pn 计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24.③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n 平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式ilx K x 平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。

⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。

⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i vK C n⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i sv k C n C计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.50 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。

其下游有一参证站，有1939-1971年的年径流系列资料，如表1所示，其中1953-1954年、1957-1978年和1959-1960年，分别被选定为P=50%、P=75%和P=95%的代表年，其年内表1.设计站与参证站年径流系列要求：（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。

案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。

（1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。

②用公式100%1m Pn 计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24.③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式ilx K x 平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。

⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。

⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i vK C n⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i sv k C n C计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.50 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。

其下游有一参证站，有1939-1971年的年径流系列资料，如表1所示，其中1953-1954年、1957-1978年和1959-1960年，分别被选定为P=50%、P=75%和P=95%的代表年，其年内表1.设计站与参证站年径流系列要求：（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。

第四章水文统计基本知识一、概述1.随机现象：是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。

水文现象2.随机现象所遵循的规律称为统计规律，研究统计规律的学科称为概率论而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为数理统计学。

3.水文统计：将概率论和数理统计引入水文学，研究水文现象的统计变化规律的学科，被称为水文统计。

二、概率的基本概念1.事件2.概率：随机事件A在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现可能性的大小的数量标准就是概率。

m出现随机事件的结果数n试验中所有可能出现结果数古典概型P(A)=m/n3.频率：水文事件不属古典概型事件。

设事件A在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称为事件A的频率 P(A)=m/n，当n趋于无穷大时，P(A)稳定并趋于概率。

4.概率定理加法定理：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ，当A、B互斥时P(AB)=0乘法定理：P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) ，当A、B独立时，P(AB)=P(A)P(B)三、随机变量及其概率分布1.随机变量：表示随机试验结果的一个变量，一般用大写变量表示，如 X，Y，Z等。

水文统计研究的是水文随机变量。

离散型随机变量、连续型随机变量总体与样本总体：随机变量所有取值的全体，样本：从总体中随机抽取的一部分，样本容量：样本包括的项数，样本大小。

2.随机变量的概率分布随机变量的取值与其概率之间的对应关系，记为F(X)。

连续型随机变量的概率分布(区间概率)对于水文变量，研究大于等于某一取值x 的概率，即分布函数F(x)—概率分布曲线 即: F(X)=P(X>Xp)=p水文上通常称概率分布曲线为频率曲线 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数3. 随机变量的统计参数：说明随机变量统计规律某些特征的数字，称为随机变量的统计参数。

例如平均降雨量、年平均流量等， （1）均值(数学期望值)均值为分布的中心，表示对象的平均情况，即总体水平的高低（2）均方差表示分布函数的绝对离散程度。

案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个（1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。

②用公式100%1mP n =?+计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24.③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n ===å平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式i l x K x =平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。

⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。

⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,0.26v C ==⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i s v k C n C =-==-å（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =,Cs的经验取值为，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线C v =，C s ==，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二 设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。

其下游有一参证站，有1939-1971年的年径流系列资料，如表1所示，其中1953-1954年、1957-1978年和分配如表2所示。

表1.设计站与参证站年径流系列要求：（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。

（2）根据延长前后的设计站年径流系列，分别绘制年径流频率曲线，并比较有和差异， （3）根据设计代表年的逐月径流分配，计算P=50%、P=75%和P=95%的年径流量逐（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。

案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。

年份 年径流深 年份 年径流深 1952 538.3 1964 769.2 1953 624.9 1965 615.5 1954 663.2 1966 417.1 1955 591.7 1967 789.3 1956 557.2 1968 732.9 1957 998 1969 1064.5 1958 641.5 1970 606.7 1959 341.1 1971 586.7 1960 964.2 1972 567.4 1961 687.3 1973 587.7 1962 546.7 1974 709 1963 509.9 1975 883.5 表1 （1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。

②用公式100%1mP n =?+计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24. ③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n ===å平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式i l x K x =平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。

⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。

⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i v K C n =--==-å⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i s v k C n C =-==-å计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.年份Q (m3/s) 大小排序序号P ( %) Ki Ki-1 (Ki-1)^2(Ki-1)^31952 538.3 1969 1064.5 1 4.00 1.60 0.60 0.36 0.21 1953 624.9 1957 998 2 8.00 1.50 0.50 0.25 0.12 1954 663.2 1960 964.2 3 12.00 1.45 0.45 0.20 0.09 1955 591.7 1975 883.5 4 16.00 1.33 0.33 0.11 0.03 1956 557.2 1967 789.3 5 20.00 1.18 0.18 0.03 0.01 1957 998 1964 769.2 6 24.00 1.15 0.15 0.02 0.00 1958 641.5 1968 732.9 7 28.00 1.10 0.10 0.01 0.00 1959 341.1 1974 709 8 32.00 1.06 0.06 0.00 0.00 1960 964.2 1961 687.3 9 36.00 1.03 0.03 0.00 0.00 1961 687.3 1954 663.2 10 40.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1962 546.7 1958 641.5 11 44.00 0.96 -0.04 0.00 0.00 1963 509.9 1953 624.9 12 48.00 0.94 -0.06 0.00 0.00 1964 769.2 1965 615.5 13 52.00 0.92 -0.08 0.01 0.00 1965 615.5 1970 606.7 14 56.00 0.91 -0.09 0.01 0.00 1966 417.1 1955 591.7 15 60.00 0.89 -0.11 0.01 0.00 1967 789.3 1973 587.7 16 64.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1968 732.9 1971 586.7 17 68.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1969 1064.5 1972 567.4 18 72.00 0.85 -0.15 0.02 0.00 1970 606.7 1956 557.2 19 76.00 0.84 -0.16 0.03 0.00 1971 586.7 1962 546.7 20 80.00 0.82 -0.18 0.03 -0.01 1972 567.4 1952 538.3 21 84.00 0.81 -0.19 0.04 -0.01 1973 587.7 1963 509.9 22 88.00 0.77 -0.23 0.06 -0.01 1974 709 1966 417.1 23 92.00 0.63 -0.37 0.14 -0.05 1975 883.5 1959 341.1 24 96.00 0.51 -0.49 0.24 -0.12 合计15993.5 合计15993.5 24 0 1.595 0.263 均值666.395C V0.28C S0.05 n 24表2（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.频率p% 第一次配线 C v=0.28，C s=2.5C v=0.7 第二次配线C v=0.31，C s=2.5C v=0.8 X轴值Q（m3/s）X轴值Q（m3/s）1 1.393 1230 1.393 1244 5 2.074 1030 2.074 1034 10 2.437 932 2.437 93420 2.877 824 2.877 82250 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二 设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。

案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。

年份 年径流深 年份 年径流深 1952 538.3 1964 769.2 1953 624.9 1965 615.5 1954 663.2 1966 417.1 1955 591.7 1967 789.3 1956 557.2 1968 732.9 1957 998 1969 1064.5 1958 641.5 1970 606.7 1959 341.1 1971 586.7 1960 964.2 1972 567.4 1961 687.3 1973 587.7 1962 546.7 1974 709 1963 509.9 1975 883.5 表1 （1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。

②用公式100%1mP n =?+计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24. ③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n ===å平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式i l x K x =平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。

⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。

⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i v K C n =--==-å⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i s v k C n C =-==-å计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.年份Q (m3/s) 大小排序序号P ( %) Ki Ki-1 (Ki-1)^2(Ki-1)^31952 538.3 1969 1064.5 1 4.00 1.60 0.60 0.36 0.21 1953 624.9 1957 998 2 8.00 1.50 0.50 0.25 0.12 1954 663.2 1960 964.2 3 12.00 1.45 0.45 0.20 0.09 1955 591.7 1975 883.5 4 16.00 1.33 0.33 0.11 0.03 1956 557.2 1967 789.3 5 20.00 1.18 0.18 0.03 0.01 1957 998 1964 769.2 6 24.00 1.15 0.15 0.02 0.00 1958 641.5 1968 732.9 7 28.00 1.10 0.10 0.01 0.00 1959 341.1 1974 709 8 32.00 1.06 0.06 0.00 0.00 1960 964.2 1961 687.3 9 36.00 1.03 0.03 0.00 0.00 1961 687.3 1954 663.2 10 40.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1962 546.7 1958 641.5 11 44.00 0.96 -0.04 0.00 0.00 1963 509.9 1953 624.9 12 48.00 0.94 -0.06 0.00 0.00 1964 769.2 1965 615.5 13 52.00 0.92 -0.08 0.01 0.00 1965 615.5 1970 606.7 14 56.00 0.91 -0.09 0.01 0.00 1966 417.1 1955 591.7 15 60.00 0.89 -0.11 0.01 0.00 1967 789.3 1973 587.7 16 64.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1968 732.9 1971 586.7 17 68.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1969 1064.5 1972 567.4 18 72.00 0.85 -0.15 0.02 0.00 1970 606.7 1956 557.2 19 76.00 0.84 -0.16 0.03 0.00 1971 586.7 1962 546.7 20 80.00 0.82 -0.18 0.03 -0.01 1972 567.4 1952 538.3 21 84.00 0.81 -0.19 0.04 -0.01 1973 587.7 1963 509.9 22 88.00 0.77 -0.23 0.06 -0.01 1974 709 1966 417.1 23 92.00 0.63 -0.37 0.14 -0.05 1975 883.5 1959 341.1 24 96.00 0.51 -0.49 0.24 -0.12 合计15993.5 合计15993.5 24 0 1.595 0.263 均值666.395C V0.28C S0.05 n 24表2（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.频率p% 第一次配线 C v=0.28，C s=2.5C v=0.7 第二次配线C v=0.31，C s=2.5C v=0.8 X轴值Q（m3/s）X轴值Q（m3/s）1 1.393 1230 1.393 1244 5 2.074 1030 2.074 1034 10 2.437 932 2.437 93420 2.877 824 2.877 82250 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二 设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。

案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。

（1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。

②用公式100%1m Pn 计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24.③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式ilx K x 平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。

⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。

⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i vK C n⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i sv k C n C计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.50 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。

其下游有一参证站，有1939-1971年的年径流系列资料，如表1所示，其中1953-1954年、1957-1978年和1959-1960年，分别被选定为P=50%、P=75%和P=95%的代表年，其年的表1.设计站与参证站年径流系列要求：（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。