2019年3月2019届高三第一次全国大联考(新课标Ⅰ卷)-理科数学(考试版)

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）含详细答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. 516B. 1132C. 2132D.11167.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2|b⃗ |，且(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入()A. A=12+AB. A=2+1AC. A=11+2AD. A=1+12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则()A. a n=2n−5B. a n=3n−10C. S n=2n2−8nD. S n=12n2−2n 10.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=111.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(π2,π)单调递增③f(x)在[−π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1=13，a 42=a 6，则S 5=________．15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ． (1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点． (1)证明：MN//平面C 1DE ；(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值．19. 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x轴的交点为P ．(1)若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；(2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|AB|．20.已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：)存在唯一极大值点；(1)f′(x)在区间(−1,π2(2)f(x)有且仅有2个零点．21.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2，…，7)，其中a=P(X=−1)，b=P(X=0)，c= P(X=1).假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2；(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：∵M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，∴M∩N={x|−2<x<2}．故选C．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义，属基础题．由z在复平面内对应的点为(x,y)，可得z=x+yi，然后根据|z−i|=1即可得解．【解答】解：∵z在复平面内对应的点为(x,y)，∴z=x+yi，∴z−i=x+(y−1)i，∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，∴x2+(y−1)2=1，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b，故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．充分运用黄金分割比例，计算可估计身高．【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12可得咽喉至肚脐的长度小于√5−12=√5−1≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12，可得肚脐至足底的长度小于26+52√5−1√5−12≈110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×√5−12≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法及函数的奇偶性，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A，然后计算f(π)，判断正负即可排除B，C，从而可得结果．【解答】解：∵f(x)=sinx+xcosx+x2，x∈[−π,π]，∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x)，∴f(x)为[−π,π]上的奇函数，因此排除A；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C，故选D．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p=mn =2064=516．故选A．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．由(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，可得(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进一步得到|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >−b⃗ 2=0，然后求出夹角即可． 【解答】 解：∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0， ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=12，∵<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3，故选B ． 8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A 的值，观察规律即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： A =12，k =1；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12，k =2；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12+12，k =3；此时，不满足条件k ≤2，退出循环，输出A 的值为12+12+12，观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A =12+A ． 故选A ． 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则有{4a 1+6d =0a 1+4d =5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n 项和即可． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 4=0，a 5=5，得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5，∴{a 1=−3d =2， ∴a n =2n −5，S n =n (−3+2n−5)2=n 2−4n ，故选：A ．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=√3，b=√2，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=a2，∴|AF2|=a，|BF1|=32a，则|AF2|=|AF1|=a，所以A为椭圆短轴端点，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=1a，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2=4−2a22a，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得1a +4−2a22a=0，解得a2=3，∴a=√3，b2=a2−c2=3−1=2．所以椭圆C的方程为：x23+y22=1，故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，且f(x)的定义域为R，则函数f(x)是偶函数，故①正确；当x∈(π2,π)时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx，则f(x)=sinx+sinx=2sinx为减函数，故②错误；当0≤x≤π时，f(x)=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx，由f(x)=0，得2sinx=0，即x=0或x=π，由f(x)是偶函数，得在[−π,0)上还有一个零点x=−π，即函数f(x)在[−π,π]有3个零点，故③错误；当sin|x|=1，|sinx|=1时，f(x)取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，是中档题．设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求外接球O的体积．【解答】解：设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EF=12PB=x，AE=x，在△PAC中，cosθ=4x2+4−4x22×2x×2=12x，在△EAC中，cosθ=x2+4−y22×2x，整理得x2−y2=−2，①因为△ABC是边长为2的正三角形，所以CF=√3，又∠CEF=90°，则x2+y2=3，②，由①②得x=√22，所以PA=PB=PC=√2，所以PA2+PB2=4=AB2，即PA⊥PB，同理可得PA⊥PC，PB⊥PC，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为√2+2+2=√6，所以球O的体积为．故选D．13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，属基础题．对y=3(x2+x)e x求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y=3(x2+x)e x，∴y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1)，∴当x=0时，y′=3，∴y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线斜率k=3，∴切线方程为：y=3x．故答案为y=3x．14.【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，属于基础题．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即q6a12=q5a1，解得q=3，则S5=13(1−35)1−3=1213，故答案为1213．15.【答案】0.18【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，第六场一定是甲胜，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p 1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p 2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p 3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p 4=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，则甲队以4：1获胜的概率为：p =p 1+p 2+p 3+p 4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18． 故答案为：0.18． 16.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得F 1B ⊥OA ，可得一条渐近线方程的倾斜角为，从而可得，进而求出离心率．【解答】 解：如图，∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB ， ∴OA ⊥F 1B ，则△AOF 1≌△AOB ， 则，所以一条渐近线的斜率为，所以e =c a =√1+b 2a 2=2，故答案为：2．17.【答案】解：(1)∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ．则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3．(2)∵√2a +b =2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC ，即√62+√32cosC +12sinC =2sinC ，即√62+√32cosC −32sinC =0， 即sin(C −π6)=√22，，则，∴C −π6=π4，C =π4+π6， ∴sinC =sin(π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理，属于中档题． (1)由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ，再由余弦定理求出A ．(2)由已知及正弦定理可得：sin(C −π6)=√22，可解得C 的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．18.【答案】(1)证明：如图，过N 作NH ⊥AD ，连接BH ，则NH//AA 1，H 是AD 中点，且NH =12AA 1， 又MB//AA 1，MB =12AA 1，∴四边形NMBH 为平行四边形，则NM//BH ，由H 为AD 中点，而E 为BC 中点，∴BE//DH ，BE =DH ，则四边形BEDH 为平行四边形，则BH//DE ， ∴NM//DE ，∵NM ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， ∴MN//平面C 1DE ；(2)解：以D 为坐标原点，以平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则N(√32,−12,2)，M(√3,1，2)，A 1(√3,−1,4)，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2)， 设平面A 1MN 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m⃗⃗⃗ ⋅NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y +2z =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,−1)， 又平面MAA 1的一个法向量为n ⃗ =(1,0,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5=√155． ∴二面角A −MA 1−N 的正弦值为√105．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．(1)过N 作NH ⊥AD ，证明NM//BH ，再证明BH//DE ，可得NM//DE ，再由线面平行的判定可得MN//平面C 1DE ；(2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面A 1MN 与平面MAA 1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −MA 1−N 的正弦值．19.【答案】解：(1)设直线l ：y =32x +t ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由题意可得F (34,0)，故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32， 因为|AF|+|BF|=4， 所以x 1+x 2=52， 联立{y =32x +t y 2=3x，整理得9x 2+12(t −1)x +4t 2=0，由韦达定理可知，x 1+x 2=−12(t−1)9，从而−12(t−1)9=52，解得t =−78，所以直线l 的方程为y =32x −78．(2)设直线l ：y =32x +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=−3y 2， 联立{y =32x +m y 2=3x，整理得y 2−2y +2m =0，由韦达定理可知，y 1+y 2=2，又y 1=−3y 2，解得y 1=3,y 2=−1， 代入抛物线C 方程得，x 1=3,x 2=13， 即A (3,3)，B (13,−1)，故|AB |=√(3−13)2+(3+1)2=4√133．【解析】本题考查了抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)根据韦达定理以及抛物线的定义可得．(2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=−3y 2，由韦达定理可得y 1+y 2=2，从而解出A 、B 两点坐标，使用弦长公式计算即可．20.【答案】证明：(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)， 令f′(x )=ℎ(x)=cosx −11+x ， ℎ′(x )=−sinx +1(1+x)2，令g(x)=−sinx +1(1+x)2，则g′(x)=−cosx −2(1+x)3<0在(−1,π2)恒成立， ∴ℎ′(x )在(−1,π2)上为减函数，又ℎ′(0)=1，ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0，由零点存在定理可知，函数ℎ′(x )在(−1,π2)上存在唯一的零点x 0，结合单调性可得，f′(x )在(−1,x 0)上单调递增，在(x 0,π2)上单调递减， 可得f′(x )在区间(−1,π2)存在唯一极大值点； (2)由(1)知，当x ∈(−1,0)时，f′(x )单调递增， 则f′(x )<f′(0)=0，则f(x)单调递减； 当x ∈(0,x 0)时，f′(x )单调递增， 则f′(x )>f′(0)=0，f(x)单调递增； 由于f′(x )在(x 0,π2)上单调递减， 且f′(x 0)>0，，由零点存在定理可知，函数f′(x )在(x 0,π2)上存在唯一零点x 1，结合单调性可知， 当x ∈(x 0,x 1)时，f′(x )单调递减，则f′(x )>f′(x 1)=0，故f(x)单调递增； 当x ∈(x 1,π2)时，f′(x )单调递减， 则f′(x )<f′(x 1)=0，f(x)单调递减． 当x ∈(π2,π)时，cosx <0，−11+x <0， 于是f′(x )=cosx −11+x <0，f(x)单调递减， 其中f(π2)=1−ln(1+π2)>1−ln(1+3.22)=1−ln2.6>1−lne =0，f(π)=−ln(1+π)<−ln3<0． 于是可得下表：结合单调性可知，函数f(x)在(−1,π2]上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，f(x)在(π2,π)上有且只有一个零点x2，当x∈[π,+∞)时，f(x)=sinx−ln(1+x)<1−ln(1+π)<1−ln3<0，因此函数f(x)在[π,+∞)上无零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．【解析】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力，难度较大．(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)，求出原函数的导函数，令f′(x)=ℎ(x)=cosx−11+x，进一步求导，得到ℎ′(x)在(−1,π2)上为减函数，结合ℎ′(0)=1，ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0，由零点存在定理可知，函数ℎ′(x)在(−1,π2)上存在唯一得零点x0，结合单调性可得，f′(x)在(−1,x0)上单调递增，在(x0,π2)上单调递减，可得f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；(2)由(1)知，当x∈(−1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,x0)时，f′(x)> 0，f(x)单调递增；由于f′(x)在(x0,π2)上单调递减，且f′(x0)>0，，可得函数f′(x)在(x0,π2)上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈(x0,x1)时，f(x)单调递增；当x∈(x1,π2)时，f(x)单调递减．当x∈(π2,π)时，f(x)单调递减，再由f(π2)>0，f(π)<0.然后列x、f′(x)与f(x)的变化情况表得答案．21.【答案】(1)解：X的所有可能取值为−1，0，1．P(X=−1)=(1−α)β，P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)，P(X=1)=α(1−β)，(2)(i)证明：∵α=0.5，β=0.8，∴由(1)得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．因此p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2，…，7)，故0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1)，即p i+1−p i=4(p i−p i−1)，又∵p1−p0=p1≠0，∴{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列；(ii)解：由(i)可得，p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0=p1(1−48)1−4=48−13p1，∵p 8=1，∴p 1=348−1，∴p 4=(p 4−p 3)+(p 3−p 2)+(p 2−p 1)+(p 1−p 0)+p 0=44−13p 1=1257．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【解析】本题主要考查数列的应用，考查离散型随机变量的分布列，属于难题． (1)由题意可得X 的所有可能取值为−1，0，1，再由相互独立试验的概率求P(X =−1)，P(X =0)，P(X =1)的值，则X 的分布列可求；(2)(i)由α=0.5，β=0.8结合(1)求得a ，b ，c 的值，代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1，得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1)，由p 1−p 0=p 1≠0，可得{p i+1−p i }(i =0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p 1的等比数列；(ii)由(i)可得，p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0，利用等比数列的前n 项和与p 8=1，得p 1=348−1，进一步求得p 4=1257，即可求解． 22.【答案】解：(1)由{x =1−t 21+t 2y =4t 1+t 2(t 为参数)，得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t2, 两式平方相加，得x 2+y 24=1(x ≠−1)，∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠−1)，由2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，得2x +√3y +11=0，即直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0．(2)设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0，联立{2x +√3y +m =04x 2+y 2−4=0,得16x 2+4mx +m 2−12=0． 由Δ=16m 2−64(m 2−12)=0， 得m =±4，∴当m =4时，直线2x +√3y +4=0与曲线C 的切点到直线2x +√3y +11=0的距离最小， 即为直线2x +√3y +4=0与直线2x +√3y +11=0之间的距离√22+3=√7．【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．(1)把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，可得直线l 的直角坐标方程．(2)写出与直线l 平行的直线方程为2x +√3y +m =0，与曲线C 联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式等于0求得m ，转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值．23.【答案】证明：(1)分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．要证1a +1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc=1．即证：abca +abcb+abcc≤a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即证：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；即证：2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．∴(a−b)2≥0；(a−c)2≥0；(b−c)2≥0恒成立；当且仅当：a=b=c=1时取等号．即(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0得证．故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证．(2)已知a，b，c为正数，且满足abc=1．(a+b)为正数；(b+c)为正数；(c+a)为正数；(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)；当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．a+b≥2√ab；b+c≥2√bc；c+a≥2√ac；当且仅当a=b，b=c，c=a时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)≥3×8√ab⋅√bc⋅√ac=24abc=24；当且仅当a=b=c=1时取等号；故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证．故得证．【解析】本题考查基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法，属于中档题．(1)利用基本不等式和“1”的运用可证；(2)利用综合法可证．。

2019届高三理科数学全国大联考试卷及解析C.4．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－1x n (n ∈N *)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是(A)T f (2b ＞0，则a ＞－c ，从而f (a )＞f (－c )＝－f (c )，即f (a )＋f (c )＞0，选A.6．设x 为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，3内的概率为(C))数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.①因为ω＝2，则f (x )的最小正周期T ＝π， 2：x >0题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )【解析】若a ＞2且b ＞2，则1a <12且1b <12，得1a＋1b <1，即a ＋b ab<1，从而a ＋b ＜ab ，所以命题p 为真．因为直线y ＝x －1与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x有正数解，即方程(x －1)·2x ＝1有正数解，所以命题q 为真，选A.9．已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为(D)A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作可行域，平移直线l ：b ＝2a －z ，由图知，当直线l 过点(1，0)时，直线l 的纵截距最小，从而z 为最大，且z max ＝2×1－0＝2，选D.10．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，AB ⊥AD ，BD ⊥CD .将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A ―BD ―C ，则四面体ABCD 的外接球的体积为(B)A.23π B.32πC．2πD．3π因为|MO|＝|MF2|，则A为OF2的中点，所以|AF2|＝c2，|AF1|＝3c2.设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m.在Rt△MAF1中，|MA|2＝4m2－9 4c 2.在Rt △MAF 2中，|MA |2＝m 2－c24，则4m 2－94c 2＝m 2－c24，即3m 2＝2c 2. 因为|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则m ＝2a ，所以32X n ，≠记中的最大元素，当X n 的所有非空子I (A )的和记为S (n )，则2 018 2 017 A )S (2 018)＝2 017×22 018＋1，选D.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝__－79__． 【解析】sin ⎛⎪⎫2α－π＝sin ⎢⎡⎥⎤2 ⎛⎪⎫α－π＋π＝⎭ABC 中，mAB →＋＝13DC →，15．已知函数f (x )＝|2x －1|－a ，若存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝－1，则a 的取值范围是__(1，2)__．【解析】令f (x )＝－1，则|2x －1|＝a －1.据题意，直线y ＝a －1与函数y ＝|2x －1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且S n ＝4－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通⎝ ⎛a ＝2，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°.(1)若BC ＝22，求∠CBD 的大小；(2)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】(1)在△ABD中，因为AB＝4，AD ＝2，∠BAD＝60°，则BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以BD＝2 3.(3分)＝3sin 2θ－23sin2θ＝3sin 2θ－3(1－cos 2θ)＝3sin 2θ＋3cos 2θ－3＝23sin(2θ＋30°)－ 3.(11分)因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，12<sin(2θ＋30°)≤1，所以0<S ≤ 3. 故S 的取值范围是(0，3]．(12分)18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PB ；－PB －C 的大小为的体积．△ABC 中，由余弦定理得×2×4×cos 的中点，则＋AC →)，则AD →2＝14(4＋16＋2×2×4×cos 120°)＝3，所以AD ＝ 3.(4分)因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .(5分)因为PA ⊥底面ABC ，则PA ⊥AD ，所以AD ⊥平面PAB ，从而AD ⊥PB .(6分)(2)解法一：因为AD ⊥平面PAB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连结DE . 解法二：分别以直线AB ，AD y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设PA ＝a ，则点B (2，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2，0，a )．(8分)设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0. 元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：工资为X元，则当n＝38时，X＝38×6＝228；当n＝39时，X＝39×6＝234；当n＝40时，X＝40×6＝240；当n＝41时，X＝40×6＋7＝247；当n＝42时，X＝40×6＋14＝254.所以X的分布列为4x2＋y2－10x＋20＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C 相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2＋|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为抛物线y2＝43x的焦点为(3，0)，则c＝3，所以a2－b2＝3.(2分)2即km(x1＋x2)＋m2＝0，所以－8k2m24k2＋1＋m2＝0，即(1－4k2)m2＝0.因为m≠0，则k2＝14，即k＝±12，从而x1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝2m 2－2.(10分)所以|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝x 21＋(kx 1＋m )2＋x 22＋(kx 2＋m )2 ＝(k 2＋1)(x 21＋x 22)＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2.1))上单调递减，所以f (x )min ＝f (ln a )＝e ln a －a (ln a －1)＝a (2－ln a )．(4分)据题意，⎩⎨⎧ln a >1，a （2－ln a ）<0，则ln a ＞2，即a >e 2，所以a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)解法二：当x ∈(1，＋∞)时，由f (x )＜0，得e x <a (x －1)，即a >e x x －1.(1分) 设g (x )＝e x (x >1)，据题意，当x ∈(1，＋(1⎩⎪⎨⎪⎧x 不妨设x 1＜x 2，由(1)可知，a >e 2，且x 1＜ln a＜x 2，从而2ln a －x 2＜ln a .因为f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，所以只要证f (x 1)>f (2ln a －x 2)，即证f (x 2)>f (2ln a －x 2)．(9分)设h (x )＝f (x )－f (2ln a －x )，则h ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2ln a －x )＝e x －2a ＋e 2ln a －x ＝e x ＋a 2e x －2a ≥2e x ·a 2ex －2a ＝0， 所以h (x )在R 上单调递增．因为x 2＞ln a ，x 方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，点P 在曲线C 1上，其极角为π4，点Q为曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入，得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(3l所以点M到直线l的距离的最大值为10 5.(10分)23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，其中a为实常数．(1)若函数f(x)的最小值为3，求a的值；(2)若当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤|x－4|恒成立，求a的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，(3分)当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.(5分)(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x －4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x ＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x ＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.(8分)因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，(－x－2)max＝－3；当x＝2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．(10分)。

绝密★启用前2019年第一次全国大联考【新课标Ⅰ卷】理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U =Z ，集合{|(3)0,}P x x x x =-≥∈Z ，{|0}Q x x =>，则()U P Q ð等于A ．(0,3)B ．{12},C ．(0,2)D ．{2}2．若复数z 满足(1i)1i z -=+，i 为虚数单位，则2019z = A ．2i - B ．i C ．i - D ．2i3．已知命题p ：“对任意的1x ≥，ln 0x ≥”的否定是“存在01x ≥，0ln 0x <”，命题q ：“01k <<”是“方程2220x y ky k ++++=表示圆”的充要条件，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∨D ．p q ⌝∧ 4．已知单位向量,a b 满足20||+-⋅=a b a b ，则+2||a b = A ．3 B ．2C ．9D ．45．已知π20sin d a x x =⎰，若执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8 6．函数()||sin 2f x x x x =-的大致图象是A BC D7．已知二项式12()2nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为 A ．20B ．20-C ．40D ．40-8．如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为83，则图中x 的值为A ．3B ．72C ．4D ．929．如图，边长为a 的正三角形内有三个半径相同的圆，这三个圆分别与正三角形的其中两边相切，且相邻的两个圆互相外切，则在正三角形内任取一点，该点恰好落在阴影部分的概率为AB10．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若2sin 2sin sin 0A B C -=，则sin sin sin B CA+的取值范围为A ．B ．（1C ．）D ．（111．若函数12()(0)()2ln (0)x x f x xx x a x ⎧+<⎪=⎨⎪->⎩恰有三个零点，则a 的取值范围为 A ．1[,0]e-B ．（10e,）C ．1[0,]eD ．（10e,-） 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点1F 的直线l 的倾斜角θ满足1tan 3θ=，若直线l 分别与双曲线的两条渐近线相交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点2F ，则该双曲线的离心率为 ABCD第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数,x y 满足约束条件322128y x y x y x ≥-+⎧⎪≤--⎨⎪≤+⎩，则目标函数22z x y =+的最大值为______．14．若3()log )2f x x x =-，则满足不等式2(23)0f m m --<的m 的取值范围为______． 15．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移1个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数()g x的图象，若()()2cos 4xh x g x =+在0x 处取得最大值，则0sin 2x =______．16．已知直线:10l kx y -+=与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，O 为坐标原点，抛物线C 的准线与x 轴的交点为P ，若0OA OB ⋅<，则PA PB ⋅取最小值时的直线l 的方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为2的等差数列，且12312a a a ++=，{}n b 是公比为3的等比数列，且1312b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令n n nc a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1=CA ，2=CB ，︒=∠90BCA ，侧棱21=AA ，M 为AB 的中点．（1）求异面直线11,AB CA 所成角的余弦值；（2）若N 为A A 1上一动点，求N 在何位置时1CB ⊥BN ； （3）求二面角B CM B --1的余弦值．19．（本小题满分12分）2018年11月26日，南方科技大学的贺建奎团队宣布一对名为露露和娜娜的基因编辑婴儿于11月在中国健康诞生，这对双胞胎的一个基因经过修改，使她们出生后即能天然抵抗艾滋病病毒，这是世界首例免疫艾滋病的基因编辑婴儿.当即122位生物医学领域科学家联名谴责，称“此项技术早就可以做”，不做的原因是巨大的风险和伦理问题，直指这项所谓研究的生物医学伦理审查形同虚设，直接进行人体实验，只能用“疯狂”来形容.针对这件事某部门就“基因编辑婴儿”的看法随机抽取40人进行了问卷调查，其中男、女各20人，将问卷得分情况制作茎叶图如下：（1）将得分不低于80分的称为“A类”调查对象，某部门想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，将调查所得的频率视为概率.①若从“A类”调查对象中抽取2人，求抽取的2人是同性的概率；②若从“A类”调查对象中抽取3人，设被抽到的3人中女性人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.（2）通过问卷调查，得到如下22⨯列联表.完成列联表，并说明能否有99％的把握认为是否是“A 类”调查对象与性别有关？附参考公式与数据：22()()()()()n ad bcKa b a c b d c d-=++++，其中n a b c d=+++.20．（本小题满分12分）(，离心率是22，直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交于N M ,两点(N M ，两点均位于y 轴的右侧)，与y 轴交于Q 点． （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在直线l ，使得1140||||||QM QN QF +-=成立？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()1ln af x x x=--(0a >). （1）讨论函数()f x 在区间(0,2)上的单调性； （2）当2=a 时，求函数1()()g x f x x=+的最值； （3）已知*n ∈N ，且2≥n ，求证：11111ln.2234n n+<++++ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ． （1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线π(0)2θαα=<<与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N （N 与原点不重合），求||||ON OM 的最大值.23．（本小题满分10分）选修4−5：不等式选讲已知函数()|3|||f x x m x =--.（1）若2m =-，求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D.22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.300.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则26261105x x y +==+，得42.07, 5.15x cmy cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以c o s θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D.A =112A+【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2s i n fx x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()s i n s i n 2s i nfx xx x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R == 3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D .【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

参考答案一、选择题1. C2. C3. B4. B5. D6. A7. B8. A9. A10. B11. C 12. D二、填空题13. y=3x14. 12115.0.1816.2三、解答题17.解：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=由正弦定理可得：222b c a bc +-= 2221cos 22b c a A bc +-∴== ()0,πA ∈3A π\= （2）22a b c +=sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3Aπ=1sin 2sin 2C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=(()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin 4C=或4因为sin 2sin 2sin 0B C A C =-=>所以sin 4C >，故sin 4C =.18.解：（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//ME ND ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE Ì平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O =，11111AC B D O =由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)A ，()0,1,2M，)1A ，D （0，-1,0）1,22N ⎫-⎪⎪⎝⎭ 取AB 中点F ，连接DF，则01,2F ⎫⎪⎪⎝⎭ 四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=BAD ∴∆为等边三角形 DF AB ∴⊥ 又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DF AA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,,022MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 132033022nMA x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令x =1y =，1z =-()3,1,1n ∴=- cos ,515DF nDF n DF n ⋅∴<>===⋅10sin ,5DF n ∴<>=∴二面角1A MA N --的正弦值为：19.解：（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++=1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=-->12m ∴< 121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =- ∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+ 联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+>13t ∴>- 122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB =123y y ∴=-21y ∴=-，13y =123y y ∴=-则33AB === 20.解： （1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= ∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< 即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 则0x x =为()g x 唯一的极大值点 即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x . （2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤=()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点 ②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 又()00f '=()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点 又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭ 10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '= ()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点 ③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点 ④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点21.解：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==- 则X 的分布列如下：（2）0.5α=，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅ （ii ）此方案合理.22.解:（1）由2211t x t -=+得：211x t x -=+，又()2222161t y t =+()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ 整理可得C 的直角坐标方程为：2214y x += 又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d == 当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =23.解:（1）1abc =111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥，b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc =()()()33324a b b c c a ∴+++++≥。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，所以，故，故选C................2. 若（是虚数单位），则等于（）A. 3B. 2C. 0D. -1【答案】A【解析】，因，故，所以，选A. 3. 若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：（1）对，都有；（2）对，且，都有．①；②；③；④以上四个函数中，“优美函数”的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】若，则为上的奇函数，但在上不单调，故不是优美函数；若，则为上的奇函数，且在上为减函数，所以，它是优美函数；若，因，故它不是上的奇函数，故它不是优美函数；若，考虑函数在上的单调性，因在为增函数，在为增函数，所以在上为增函数且恒正，故在上为增函数，所以当时，总有，所以也不是优美函数，综上，选B.4. 已知向量，，若，则实数的值是（）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】D【解析】因为，故，展开得到，故，，选D.5. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 设满足约束条件，则的最小值与最大值的和为（）A. 7B. 8C. 13D. 14【答案】D【解析】可行域如图所示，当动直线过时，；当动直线过时，，故的最大值与最小值的和为14，选D.7. 已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8. 一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】几何体如图所示，它为正方体中挖去两个对顶的圆锥，其体积为.9. 若，则二项式的展开式中的常数项为（）A. -15B. 15C. -240D. 240【答案】D【解析】，而展开式的通项公式为令，所以，常数项的系数为，选D.10. 在中，角的对边分别为，若成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，故，而，因，故.根据正弦定理有，，故，选B.11. 已知是抛物线的焦点，曲线是以为圆心，以为半径的圆，直线与曲线从上到下依次相交于点，则（）A. 16B. 4C.D.【答案】A【解析】由可以得到，解得，所以，，故，，选A.点睛：对于抛物线，若且为焦点弦或焦半径，那么，，其中为焦点.12. 已知函数满足，且当时，，则方程在上的所有根之和为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【解析】由可得总成立，所以是偶函数，由可以得到是周期为的函数.在同一坐标系中，我们画出及的图像，故方程共有11个根，，其中在内有6个解，其和为零，在内有5个解，得和为11.选D.点睛：对于不可解方程的解的个数，通常转化为两个熟悉函数的图像的交点去考虑.题设中关于的关系式蕴含为偶函数且为周期函数，而且图像的对称轴为，又的对称轴为，故根据两个函数的图像得到11个解，它们的和为8+3=11.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．【答案】【解析】由题设有，所以，所以．14. 某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．【答案】36【解析】先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有．15. 在半径为4的球面上有不同的四点，若，则平面被球所截得图形的面积为__________．【答案】【解析】设球心为，则，所以在平面上射影是的外心，同理在平面上射影也是的外心．因且，故在平面的异侧，如图所示，等边三角形中，，故，又为平面截所球得圆的半径，故圆的面积为．点睛：题设中，结合球的半径为，故我们可以确定出在平面的两侧，从而求出的外接圆的半径．16. 已知为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，其中，为等腰三角形．则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】连接并延长交右支于点，设，则，因为双曲线是中心对称，且，所以四边形是平行四边形．因是等腰三角形，，所以，故，且，根据双曲线的定义，有，所以，解得，所以，所以，．点睛：圆锥曲线的离心率的计算，常常需要寻找一个关于的关系式．如果题设条件与焦点或准线有关，那么我们需要从几何性质的角度去构建的关系式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知各项均不为零的数列的前项和为，且对任意，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：由，可以得到的大小和的递推关系为，因此为等比数列，从而求得，再根据求出的通项，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法求它的前项和.（1）当时，，∵，∴.∵，∴当时，，两式相减得，因，，故，∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，∴.（2）∵，∴，∴，，两式相减得：.所以.18. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．【答案】（1）.（2）见解析【解析】试题分析：（1）为古典概型，利用组合数公式计算基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数即可.（2）为计算离散型随机变量的分布列和数学期望，利用公式计算即可．（1）记抽取的天送餐单数都不小于40为事件，则.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为：所以②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为所以甲公司送餐员日平均工资为元.由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为，故推荐小王去乙公司应聘. 19. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面因平面，只要证平面，也就是证明和，后者可以由为等边三角形得到，前者由平面得到（因为平面平面）.（2）要求锐二面角，因几何体比较规则，可以建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.（1）由题，为的中点，可得，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面.又∵平面，∴.，∴平面.∴平面平面.（2）取的中点，的中点，连接，∵，∴.∵平面平面平面，∴平面.分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则.即.可取.同理，可得平面的法向量..所以平面与平面所成锐二面角余弦值为.20. 已知短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，若椭圆上存在一点满足，求直线的方程．【答案】（1）.（2）或.【解析】试题分析：直线的方程有参数，利用原点到其距离为可以得到的大小，从而得到椭圆的方程．（2）中的三点满足向量关系式，将各点坐标代入，可以得到三个点的坐标之间的关系，而在椭圆上，所以两点的坐标满足关系式，再利用两点在直线上，得到关于的一个关系式，利用韦达定理转化为的方程可以解出的值．（1）因为椭圆的短轴长为2，故.依题意设直线的方程为：，由.解得，故椭圆的方程为.（2）设当直线的斜率为0时，显示不符合题意.当直线的斜率不为0时，，设其方程为，由，得，所以①.因为，所以.又点在椭圆上，∴.又∵，∴②，将，及①代入②得，即或.故直线的方程为或.点睛：一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，可以转化点的坐标讨论.解决直线与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有（或）的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.21. 已知函数，（），且曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值及函数的最大值；（2）当时，记函数的最小值为，求的取值范围．【答案】（1），最大值．（2）【解析】试题分析：（1）题设给出了在处的切线，也是，从中解出即可．（2）中要求的最小值，因此要考虑的单调性，也就是考虑的符号的变化，但的零点不易求得，所以利用（1）的结论先确定在给定的范围上有唯一的零点，通过零点满足的关系式化简在零点处的函数值表达式（也是的最小值），最终求出最小值得范围．（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以也即是，解得，所以，故．令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，取得最大值．（2）∵，∴，令，由（1）知道在是增函数，故在上为增函数，又，，因此存在唯一的，使得，也就是即．当时，，所以，单调递减；当时，，单调递增，所以的最小值为．令，因为，所以在单调递减，从而，即的取值范围是．点睛：在导数问题的讨论中，如果函数的极值点不易求得，那么我们可以利用这个关系式去化简，从而讨论与相关的问题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．【答案】（1），（2）或．【解析】试题分析：（1）消去参数得到的普通方程为．利用可以把的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为，利用得到．因为直线与椭圆是相离的，所以或，分类讨论就可以得到相应的值．（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．由曲线的极坐标方程得，∴曲线的直角坐标方程为．（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．∵，∴，，当时，，即；当时，，即．∴或．点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解．（2）利用化简得到在区间上是恒成立的，也就是是不等式的子集，据此得到关于的不等式组，求出它的解即可．（1）当时，原不等式可化为．①当时，原不等式可化为，解得，所以；②当时，原不等式可化为，解得，所以；③当时，原不等式可化为，解得，所以．综上所述，当时，不等式的解集为．（2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以．解得，故所求实数的取值范围是．。

一、选择题1．已知集合3{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B 的元素个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集，表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合，其次需要熟悉常见幂函数的图像，最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道，它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--，所以集合A B有三个元素．2．已知在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -，则复数12z z 对应的点在（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D.第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算，突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系，其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i 1i 22z z ----===+，对应的点的坐标是13(,)22-，在第四象限． 3．已知{}n a 是等差数列，且12343,6a a a a +=-+=-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式，考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列，则212{}nn a a 也是等差数列，建立等差数列模型，其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a ,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}nn a a 的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d的方程，从而求出1,a d,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-．4.已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ，则cos θ2等于（）A. 725-B.725 C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯，所以27cos 22cos 125θθ=-=-． 5．已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点，点F 的坐标为(1,0)，则“0[1,3]x ∈”是“||[3,4]AF ∈”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x的关系，从而发现||[3,4]AF 的等价条件，其次要正确理解条件与结论的关系，准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈，因为[2,3][1,3]⊂≠，所以选B ．6．下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A.1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图，其次需要理解相关系数与正负相关的关系，最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关性.负相关，所以12,0r r <，因为剔除点(10,21)后，剩下点数据更具有线性相关性，||r 更接近1，所以2110r r -<<<．7.设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A.a b c << B. a c b << C. b c a << D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查函数与方程思想，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简，然后建立指数函数、对数函数模型，根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系，最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=，3log 92b >=，4log 162c >=，所以a 最小，341log 5,1log 5b c =+=+，因为11lg 5lg 50lg 3lg 4lg 3lg 4lg 3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>． 8.执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A.5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n项和公式，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n 的前1n 项和，而不是数列{2}n 的前n 项和. 如图所示i n =时，B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和，即21122221n n B +=++++=-，由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥，所以输出的是6．9．过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ，当m 变化时，交点C 的轨迹方程是（）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x => D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件，从而判断出动点C 的轨迹，再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ，设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ，则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=，所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支，所以选A ．10.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---，其中1()2p a b c =++．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆，这个公式中的∆应该是（） A.2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案： C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，弘扬中国古代数学文化，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2Sca B ,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=1sin 2ac B S ==．11．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，QH BC //，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是（）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O，则O 是底面QRH 的中心.设OR HQ G =，则EAB PGO ∠=∠，又因为23RG RO OG ===，3PO ==，所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=．12．已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（） A.(0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D.(2e,)+∞答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)上的零点个数，再转化成方程1e ()2x x m x =-解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2x mf x mx -=-+，所以方程可以化为： e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )tt t ，则切线方程为e e (1)()tty t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >． 二、填空题13．5(2)(1)a b c --的展开式中，32a b c 的系数是. 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理，突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---，并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ，最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，从而得解.依题意，只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，是225(2)40C -⋅-=-．14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形，||||1AC BC ==，()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>，4AP BP ⋅=，则λ等于.2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法，考查方程思想，突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象，根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，其次需要根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ，所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-， 所以2(1)4λλ-=，解得2λ=或1-（舍去）.15. 如图，已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形，侧面PBC 是一个等腰直角三角形，PB PC =，平面PBC ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -外接球的表面积是.答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.DCBAP过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线，该垂线过正方形的中心O ，所以点O 为该四棱锥外接球的球心，其半径R OA ==2432S R ππ==．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是. 答案：16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式，然后要利用函数思想，为了求m 的最值，需要把m 表示成n 的函数，最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以(2)nn a =-，12(2)3n n S +---=，等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=， OE DCB AP因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+，因为m 为整数，所以|(2)4|161,2,3nn -+≤⇒=，当1n =时，2482m m -=--+⇒=-， 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-， 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 三、解答题17．如图，点,A B 分别是圆心在原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始，按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动，同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始，按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动．记t 时刻，点B A ,的纵坐标分别为12,y y ．（Ⅰ）求4t π=时刻，,A B 两点间的距离；（Ⅱ）求12yy y =+关于时间(0)t t >的函数关系式，并求当(0,]2t π∈时，这个函数的值域．答案：（Ⅰ）7；（Ⅱ）[2．解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t=时刻,A B两点的坐标及,OA OB的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问，需要根据三角函数的定义先确定12,y y与t的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k（或cos()y A x k）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.（Ⅰ）4tπ=时，,232xOA xOBπππ∠=+∠=，所以23AOBπ∠=，…… 2分又||1,||2OA OB==，所以2222||12212cos73ABπ=+-⨯⨯=，即,A B两点间的距离为7. ………………6分（Ⅱ）依题意，1sin(2)3y tπ=+，ty2sin22-=，………………8分所以3sin(2)2sin22sin2)323y t t t t tππ=+-=-=+，即函数关系为)(0)3y t tπ=+>，………………10分当(0,]2tπ∈时，2(,]333tπππ4+∈，所以1cos(2)[1,)32tπ+∈-，[2y∈．…12分18．已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形，CD AB //，ACBD O =，AC PB ⊥，222====CD AB PB PA ，3=AC .（Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；（Ⅱ）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角A OB E --的余弦值． 答案： （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2-． 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标，然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标，简化了求法向量的运算，本题要特别注意的是所求二面角是钝角，其余弦值为负.（Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中，OAB ∆∽OCD ∆，所以2OA ABOC CD==，又3AC =，所以2OA =，所以2=OB . 所以222OA OB AB +=，所以OB OA ⊥，即BD AC ⊥，………………3分 又因为AC PB ⊥，且BDPB 于点B ，所以⊥AC 平面PBD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 （Ⅱ）连接PO ，由（Ⅰ）知，⊥AC 平面PBD ，所以PO AC ⊥，所以222=-=OA PA PO ，所以222PO OB PB +=，即OB PO ⊥，………………7分 如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ，平面AOB 的法向量(0,0,1)m =， 因为//OE 平面PAD ，⊂OE 平面PAC ， 平面PAC平面PA PAD =，所以PA OE //，………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =，则n OB ⊥，即0=y ，(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1x =，则(1,0,1)n =，……11分所以cos ,2m n <>==，所以所求二面角的余弦值是2-．……………12分19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100 元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： （Ⅰ）80.2； （Ⅱ）30万元； （Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等，然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望，最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. （Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…3分 （Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=，(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=，(7882)0.3P x <≤=，………………4分设生产一件产品的利润为X 元，则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=， (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 （Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=，………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元， 综上，应该引入该设备.………………12分20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点，当直线OP的斜率等于2时，2PF x ⊥轴. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 答案：（Ⅰ）2212x y +=； （Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查数形结合思想、特殊与一般思想，突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置，建立关于,,a b c 的等式，再通过解方程求出,,a b c ，从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程，并能利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点Q 的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.（Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=，………………2分又因为221a b -=，所以2a =2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++，………………6分依题意，有220012x y +=，即220022x y +=，所以1l 的方程为0022x x y y +=，所以点01(2,)x Q y -，………………8分 设定点(,0)M m ，由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=，………………10分 即20(1)(1)0m x m -+-=，所以1m =，综上，存在定点(1,0)M 符合条件.………………12分 21．已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=（e 为自然对数的底，a 为常数，a R ∈）有两个极值点21,x x ，且210x x <<．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(2e,)+∞；（Ⅱ）]21,(--∞.解答： 【评析】本题考查导数运算、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想，突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元，将不等式转化为关于12x x 的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数m 的取值范围.（Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-='，由0)(='x f 得xa xe 2=，………………2分依题意，该方程有两个不同正实数根，记x x h x e 2)(=，则2)1(e 2)(x x x h x -='，当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>，所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =，所以a 的取值范围是(2e,)+∞.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞，且112e xax =，所以112ln ln ln x x a +=+，222ln ln ln x x a +=+，所以1212ln ln x x x x -=-，………………6分因此0)(2121<++x x m x x 恒成立，即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立，即22221112ln 0x x x m x x x -+<，设21x t x =，即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立，从而0m <，记1()ln ()g t t m t t =+-，(1)0g =，211()(1)g t m t t'=++22(1)m t tt ++=，…8分 ① 当12m ≤-时，t t 212>+，所以t t m -<+)1(2，从而()0g t '<， 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减，所以当1t >时，()(1)0g t g <=恒成立；……………10分② 102m -<<时，()0g t '>等价于2110t t m ++<，2140m∆=->， 所以2110t t m ++=有两根21,t t ，且121211,0t t t t m=+=->，可以不妨设2110t t <<<， ()0g t '>在),1(2t t ∈时成立，所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增，当),1(2t t ∈时，()(1)0g t g >=，即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立，综上，m 的取值范围是]21,(--∞．………………12分四、选做题（2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=． （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．答案： （Ⅰ）5x =； （Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.（Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ，M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===．所以20cos 4=θρ，………………2分即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =．………………5分（Ⅱ）交点)0,5(D ，所以直线l的参数方程为5,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ， 代入得：05332=+-t t ，70∆=>，………………8分设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以5||||||21==⋅t t DB DA ．………………10分 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式4)(+≥x x f 的解集；（Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； （Ⅱ）[1,2]-． 解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.（Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ，可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩，………………2分 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 （Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ，所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩，………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-．………………10分。

理科数学 第 1页（共 10页）2019 年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析1．A 【解析】易得 A = {x | x 2≤ 4} = {x | -2 ≤ x ≤ 2}， B = {x |A B = [0,2) ，故选 A ．x - 2≤ 0} = {x | 0 ≤ x < 2}，所以12320192 ⨯(22019 -1) 20205．D 【解析】由图知输出的结果 S = 2 + 2 + 2 + + 2 = 6．D 【2 -1 = 2 - 2 ．故选 D. 4x - ，π π 此时函数 f (x ) 取不到最大值或者最小值，故 x = 不是函数 f (x ) 图象的对称轴；若 x = ，则2 3π π4x - = π ，此时函数 f (x )=0 ，故 f (x ) 的图象关于点( , 0) 对称.逐一观察各选项可知，答案为 D.3 31 n - 3 r 3 7．A 【解析】由题意， (x n 的通项为T = (-1)r C r x 2，当n = r 即 2n = 3r 时，所得项为常数r +1 n 2项，其中 r = m -1，所以 m ， n 应满足2n = 3(m -1) ，故选 A.2π 解析】由已知T = = π ，解得ω= 2 ，故 f (x ) = sin( 4x - π ) ，若 x ∈( π , π) ，则 2ω π ∈( 2π , 5π) ，由正弦 2 函数的图象可知函数 f (x ) 在( π , π 3 ) 上有增有减；若 x 4 2 = π ，则4x - π = 5π 3 3 3 4 2 2 3 3理科数学 第 2页（共 10页）1n⎩ 8．C 【解析】易得圆锥的母线长为13cm ，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过5 cm 时，蚂蚁应爬行在底面半径为25cm ，母线长为 5 cm 的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过 5 cm 的概率为 13π⨯ 25 ⨯ 51- 13 = 144，故选 C ．π⨯ 5⨯13 1699．B 【解析】由 a + a + a = 42 ， a + a = 28 ，可得 S = 70 ，由已知得tS = 52 - 12 ⨯ 5 ，得t = - 1，1 3 52 4 5 52故- S n 2= n 2 - 12n ，即S = -2n 2 + 24n = -2(n - 6)2 + 72 ，所以当n = 6 时, S 取得最大值．故选B.11．B 【解析】设抛物线C 的焦点为 F ，则 F ( a,0) ，可得直线l : y = 4x - a 过焦点 F ，设直线l 交抛物4线C 于点 A (x , y ), B (x , y ) ，由抛物线定义可知| AB |= x + x + a，联立直线l 与抛物线C 的方程，1122122消去 y 得16x 2 - 9ax + a 2= 0 ，所以 x + x = 9 a ，则| AB |= 9a + a = 17 ，解得 a = 16 ，则抛物线1 216 16 2C 的方程为 y 2 = 16x . 设与抛物线 C 相切且平行于直线 l 的直线方程为 y = 4x + b ， 联立方程⎧ y 2 = 16x ⎨y = 4x + b，消去 y 得16x 2 + (8b -16)x + b 2 = 0 ，则∆= (8b -16)2 - 4⨯16b 2= 0 ，解得b = 1，故所求直线方程为 4x - y +1 = 0 .故选 B.' 1- m 1 mx 2+ x +1- m (mx - m +1)(x +1)12．C 【解析】由题意，得 f (x ) = m + + = = （ x > 0 ），令 x 2 m -1x x 2x 2 m -1 mx - m +1 = 0 ，由 m > 0 ，得 x = .当0 < m ≤ 1时， m m 1- m≤ 0 ，此时函数 f (x ) 在(0,+∞) 上单调递增，且 x → 0 时， mx → 0 ， - x→ -∞ ， ln x → -∞ ，故 f (x ) → -∞ ，不合题意，舍去；当 m > 1时， m -1 m > 0 ，此时函数 f (x ) 在(0, m -1 m ) 上单调递减，在( m -1m,+∞) 上单调递增，所以n理科数学 第 3页（共 10页）2 3 5f (x )min = f ( m -1 m ) = m -1 + m + ln m -1 m = 2m -1 + ln m -1 m，要使函数 f (x ) > 0 恒成立，只需2m -1 + ln m -1 > 0 ，即 m -1 e 2m -1> 1 .故选 C.m m13． 25π 【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，42 - 1 易知tan ∠MON = 2 =3 ，故sin ∠MON = 3 ，又 MN = 3，设△OMN 的外接圆的半径为 R ，1+ 2 ⨯1 4 52 MN 5 25则由正弦定理得 = 2R ，即 R = ，故所求外接圆的面积为π⨯ ( )2 = π .sin ∠MON 2 2 42 15．(1,3 ) 【解析】由题意设双曲线C 的半焦距为c ，则右焦点 F (c ,0) 到渐近线 y = ± b x 的距离均为 3 2a| bc | c b ，圆 F 2 的半径为 2 c ，要使圆 F 2 与双曲线 C 的两渐近线有公共点，需满足 2 > b ，即 c 2> 4(c 2- a2) ，解得 c a 2 < 4，又双曲线的离心率e > 1 ，故双曲线C 的离心率的取值范围为(1, ) . 3 316．19π3【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知在四面体 A - CDM 中， MA ⊥ AD ， MA ⊥ AC ， AC AD = A ，故 MA ⊥ 平面 ACD ，将图形旋转得到如图（2）所示的三棱锥 M - ACD ，其中△ACD2理科数学 第 4页（共 10页）2a + c 为等边三角形，过△ACD 的中心O 1 作平面 ACD 的垂线l 1 ，过线段 MC 的中点O 2 作平面 MAC 的垂线l 2 ，易得直线l 1 与l 2 相交，记l 1 l 2 = O ，则O 即为三棱锥 M - ACD 外接球的球心.设外接球的半径为 R ，连接OC 、O C ，可得O C = 2 ,OO = 1,在Rt △OO C 中，OC 2 = OO 2 + O C 2=19= R 2 ， 113 12 1 1 112故外接球的表面积 S = 4πR 2=19π，故答案为19π .33图（1）图（2）17．（本小题满分 12 分）（2）由（1）可知， b =， 22 2 2a 2 + c 2 - (2a + c )22 2在△ABC 中，由余弦定理，知cos B = a+ c - b =2 = 2a + 3c - 2 2ac ≥2ac2ac 8ac理科数学 第 5页（共 10页）1 - cos 2B 6 + 2 6 2 6 2 6ac - 2 2ac =8ac6 - 2 （当且仅当 2a 2 = 3c 2时，等号成立），（8 分）4∴ sin B =≤ = ，（10 分） 4则 BC 边上的高 h = c ⋅ sin B ≤ 4 ⨯4= + ，∴ BC 边上的高的取值范围为(0, + 2] ．（12 分）18．（本小题满分 12 分）∴ PA ⊥ PB ，（4 分）∵ AD ⊥ 平面 PAB ，∴ AD ⊥ PB ，又 PA AD = A ， ∴ PB ⊥ 平面 PAD ， 又 PB ⊂ 平面 PBC ，∴平面 PAD ⊥ 平面 PBC .（6 分）（2）由 PA = PB ，可得 PE ⊥ AB ，故以 E 为原点， EP , EB , EC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，AD = 1=同（1），设，则 P (1,0,0) ，A (0,-1,0) ，D (0,-1,1) ，C (0,0,1) ，则 PD (-1, -1,1) ，AD = (0, 0,1) ，1 - (6 - 2 )2 4 6 + 2理科数学 第 6页（共 10页）= - 1C 5CD (0, 1, 0) ，（8 分）∴平面 PCD 的一个法向量为 n 2 = (1, 0,1) ，（10 分）∴ cosn , n = n 1 ⋅ n 2 =1 = 1 ，| n 1 || n 2 | ⨯ 2 2π 故平面 PAD 与平面 PCD 所成锐二面角的大小为19．（本小题满分 12 分）．（12 分） 3【解析】（1）由统计表可得 x 1 = 5⨯ (74.31+ 41.08 + 38.37 + 30.55 + 26.46) = 42.154 ，x = 1⨯ (41.82 + 39.08 + 23.43 +18.99 +18.36) = 28.336 . 25可知 x 1 > x 2 .（4 分）（2）由定义，知男性中只有肺癌属于高发率癌种，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，（6 分）设 X 、Y 分别为男、女性前 5 类癌种中抽到的高发病率癌种的类数， 则 X 的可能取值有 0，1，C 2 3 C 1C 1 2 P ( X = 0) = 4 = , P ( X = 1) = 1 4 = . 2 2 5 5故 X 的分布列为2 C 1 25理科数学 第 7页（共 10页）C C 3 3 1 4 5 10 2 ⎩故 E ( X ) = 0 ⨯ 35+ 1⨯ 2 = 2.5 5（8 分）Y 的可能取值有 0，1，2C 2 3 C 1 C 1 3 C 2 1 P (Y = 0) = 3 = , P (Y = 1) = 2 3 = , P (Y = 2) = 2 = . 2 2 2 5 5故Y 的分布列为（10 分）故 E (Y ) = 0 ⨯ +1⨯ + 2 ⨯ = . 10 5 10 5可得 E ( X ) < E (Y ) ，故男性前 5 类癌种中含有高发病率癌种的类数的均值较小.（12 分）20．（本小题满分 12 分）（2）显然过点 F 2 的直线l 不与 x 轴重合，可设直线l 的方程为 x = ty + 1，且 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，⎧ x 2⎪ 联立方程⎨ 2y = 1 ，消去 x 得(t 2 + 2) y 2+ 2ty -1 = 0 ， ⎪⎩x = ty +1- 2t -1根据根与系数的关系，得 y 1 + y 2 = t 2 + 2 ， y 1 y 2 = t 2 + 2 ，（6 分）⎧ y = y 1 ⎪ 联立直线 m 与直线 PB 的方程 y，消去 y ，整理得 y = y 2(x - x ) ， ⎨ y = 2 (x - x )1 ty + 1 - x 0⎪ x 2 2 0解得 x = ty 1 y 2 + y 1 - x 0 y1 + x ，将 y y = -1 ， y = - y - 2t 代入， 0 12 2t 2+ 2 12 t 2 + 2 0 C + 5 10 - x y理科数学 第 8页（共 10页）-3t得 x = t 2+ 2 - y 2 + x 0 ( y 2 y 2+ 2t ) t 2 + 2+ x 0-3t + 2t ⋅ x - y + x y t(2x - 3)- y + x y = t 2 + 2 t 2 + 2 0 2 0 2 + x = t 2 + 2 0 2 0 2 + x 10y 0y0 ，（ 分） 2 2若存在点 P (x 0 ,0) 满足直线 PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上，t(2x - 3) - y + x y可令 x 0 = 3，则 x =t 2+ 2220 2+ x 0 y 2= 2 ，与t 无关，3故在 x 轴上存在点 P ，使直线 PB 与直线 m 的交点恒在一条定直线上，此时点 P 的坐标为( 2直线的方程为 x = 2 .（12 分）,0) ，定令 2x 2+ (b + 4)x + (2b -1) = 0 （*），则∆= (b + 4)2- 8(2b -1) = (b - 4)2+ 8 > 0 ，∴方程（*）有两个不相等的实根，且 x 1 = - (b + 4) - (b - 4)2 + 8 4 ， x 2 =- (b + 4) + (b - 4)2+ 8, 4若 x 1 > -1，整理得b< 0 ，又b ≥ 1，∴ b< 0 不成立，故 x 1 ≤ -1；理科数学 第 9页（共 10页）3 若 x 2 > -1 ，解不等式> -1，得b < 3，当1 ≤ b < 3 时，函数 g (x ) 在[-1, x 2 ] 上单调递减，在(x 2 ,+∞) 上单调递增，（9 分） ∵ g (-1) = 1 - b ≤ 0 ， g (1) = 1+ b - ln 3 ≥ 2 - ln 3 > 0 ，∴当b = 1时，函数 g (x ) 有 2 个零点，当1 < b < 3 时，函数 g (x ) 有 1 个零点，（10 分）若 x 2 ≤ -1 ，解不等式≤ -1，得b ≥ 3，此时 g'(x ) ≥ 0 ，故函数 g (x ) 在[-1,+∞)上单调递增，∴ g (x ) ≥ g (-1) = 1- b ，∵1- b < 0 ，∴函数 g (x ) 有 1 个零点. 综上，若b ≥ 1，函数 g (x ) 至少有 1 个零点．（12 分）（2）（法一）由（1）知曲线C 是以( 3,1) 为圆心，2 为半径的圆，当曲线C 上至少有 3 个点到直线l 的距离为 1 时， 此时圆心到直线l 的距离不大于 1，（5 分）设直线l 的直角坐标方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 ，其中 k = tan α，∴圆心( 3,1) 到直线l 的距离为 d≤ 1，解得0 ≤ k ≤ 3 ，即0 ≤ tan α≤ ，（8 分）π∵α∈[0, π) ，∴α∈[0, ] ．（10 分）3理科数学 第 10页（共 10页）3 3 3 （法二）由题意及（1）知曲线C 是以( 3,1) 为圆心，2 为半径的圆，直线l 与圆C 相交于原点，当曲线C 上至少有 3 个点到直线l 的距离为 1 时，直线l 与圆C 相交的弦长不小于 2 ，将θ=α代入曲线C 的极坐标方程ρ= 4 sin(θ+π) ，得 4 sin(α+ 3 π) ≥ 2 ， 3即sin(α+π) ≥ ，（8 分）3 2π π 4π又α∈[0, π) ，∴α+ ∈[ , ，3 3 3π π 2π π 故α+ ∈[ , ，即α的取值范围是[0, ] ．（10 分）3 3 3 3∴| 3x + 2a | +ax + | x -1|≤ 0 ，即为3x + 2a + ax - x +1 ≤ 0 ， 化简得(2 + a )x + 2a + 1 ≤ 0 ，（8 分）2a ∵ x ∈ (-⎧ ,1) 时， f (x )+ | x -1 |≤ 0 恒成立，3 2a⎪(2 + a )(- ⎪ ) + 2a +1 ≤ 03 3 ∴ ⎨(2 + a ) ⨯1+ 2a +1 ≤ 0 ，解得- < a ≤ -1 ． 2 ⎪ 2a⎪- < 1 ⎩ 33故实数a 的取值范围为(- , -1] .（10 分）2。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

理科数学试题 第1页（共6页） 理科数学试题 第2页（共6页）……○………………内……………………○………………外………………… 学校：_______绝密★启用前2019年第一次全国大联考【新课标Ⅰ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U =Z ，集合{|(3)0,}P x x x x =-≥∈Z ，{|0}Q x x =>，则()U P Q 等于A ．(0,3)B ．{12},C ．(0,2)D ．{2}2．若复数z 满足(1i)1i z -=+，i 为虚数单位，则2019z =A ．2i -B ．iC ．i -D ．2i3．已知命题p ：“对任意的1x ≥，ln 0x ≥”的否定是“存在01x ≥，0ln 0x <”，命题q ：“01k <<”是“方程2220x y ky k ++++=表示圆”的充要条件，则下列命题为真命题的是A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∨D ．p q ⌝∧ 4．已知单位向量,a b 满足20||+-⋅=a b a b ，则+2||a b = A ．3 B ．2C ．9D ．45．已知π20sin d a x x =⎰，若执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8 6．函数()||sin 2f x x x x =-的大致图象是ABC D7．已知二项式12()2nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为 A ．20B ．20-C ．40D ．40-8．如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为83，则图中x 的值为A ．3B ．72C ．4D ．92……○………………内………………○…………………○………………线…………此卷封……○………………外………………○…………………○………………线…………9．如图，边长为a的正三角形内有三个半径相同的圆，这三个圆分别与正三角形的其中两边相切，且相邻的两个圆互相外切，则在正三角形内任取一点，该点恰好落在阴影部分的概率为A．π12B C D10．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，若2sin2sin sin0A B C-=，则sin sinsinB CA+的取值范围为A．B．（1C．）D．（111．若函数12()(0)()2ln(0)x xf x xx x a x⎧+<⎪=⎨⎪->⎩恰有三个零点，则a的取值范围为A．1[,0]e-B．（1e,）C．1[0,eD．（1e,-）12．已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>，过左焦点1F的直线l的倾斜角θ满足1tan3θ=，若直线l分别与双曲线的两条渐近线相交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点2F，则该双曲线的离心率为A B C．2D．2第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数,x y满足约束条件322128y xy xy x≥-+⎧⎪≤--⎨⎪≤+⎩，则目标函数22z x y=+的最大值为______．14．若3()log)2f x x x=-，则满足不等式2(23)0f m m--<的m的取值范围为______．15．已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x Aωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x的图象先向右平移1个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数()g x的图象，若()()2cos4xh x g x=+在x处取得最大值，则0sin2x=______．16．已知直线:10l kx y-+=与抛物线2:4C y x=交于A，B两点，O为坐标原点，抛物线C的准线与x轴的交点为P，若0OA OB⋅<，则PA PB⋅取最小值时的直线l的方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知{}n a是公差为2的等差数列，且12312a a a++=，{}nb是公比为3的等比数列，且1312b a=．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令n n nc a b=⋅，求{}nc的前n项和nS．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，1=CA，2=CB，︒=∠90BCA，侧棱21=AA，M为AB的中点．（1）求异面直线11,AB CA所成角的余弦值；（2）若N为AA1上一动点，求N在何位置时1CB⊥BN；（3）求二面角BCMB--1的余弦值．理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）……………订………………○………………………订………………○…………_______________考号：_____________19．（本小题满分12分）2018年11月26日，南方科技大学的贺建奎团队宣布一对名为露露和娜娜的基因编辑婴儿于11月在中国健康诞生，这对双胞胎的一个基因经过修改，使她们出生后即能天然抵抗艾滋病病毒，这是世界首例免疫艾滋病的基因编辑婴儿.当即122位生物医学领域科学家联名谴责，称“此项技术早就可以做”，不做的原因是巨大的风险和伦理问题，直指这项所谓研究的生物医学伦理审查形同虚设，直接进行人体实验，只能用“疯狂”来形容.针对这件事某部门就“基因编辑婴儿”的看法随机抽取40人进行了问卷调查，其中男、女各20人，将问卷得分情况制作茎叶图如下：（1）将得分不低于80分的称为“A类”调查对象，某部门想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，将调查所得的频率视为概率.①若从“A类”调查对象中抽取2人，求抽取的2人是同性的概率；②若从“A类”调查对象中抽取3人，设被抽到的3人中女性人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.（2）通过问卷调查，得到如下22⨯列联表.完成列联表，并说明能否有99％的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关？附参考公式与数据：22()()()()()n ad bcKa b a c b d c d-=++++，其中n a b c d=+++.20．（本小题满分12分）(，离心率是22，直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于NM,两点(NM，两点均位于y轴的右侧)，与y轴交于Q点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线l，使得114||||||QM QN QF+-=成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()1lnaf x xx=--(0a>).（1）讨论函数()f x在区间(0,2)上的单调性；（2）当2=a时，求函数1()()g x f xx=+的最值；（3）已知*n∈N，且2≥n，求证：11111ln.2234nn+<++++请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为13x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为2cosρϕ=，点P是曲线1C上的动点，点Q在OP的延长线上，且||3||PQ OP=，点Q的轨迹为2C．（1）求直线l及曲线2C的极坐标方程；（2）若射线π(0)2θαα=<<与直线l交于点M，与曲线2C交于点N（N与原点不重合），求||||ONOM的最大值.23．（本小题满分10分）选修4−5：不等式选讲已知函数()|3|||f x x m x=--.（1）若2m=-，求不等式()5f x<的解集；（2）若关于x的不等式()1f x≥在R上恒成立，求实数m的取值范围.理科数学试题第5页（共6页）理科数学试题第6页（共6页）。

理科综合 第1页（共22页） 理科综合 第2页（共22页）绝密★启用前|试题命制中心2019年第一次全国大联考【新课标Ⅰ卷】理科综合（考试时间：150分钟 试卷满分：300分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 P 31 Cl 35.5 Fe 56 Co 59 I 127第Ⅰ卷一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．细胞的结构与功能存在密切的联系，下列有关叙述，正确的是A ．线粒体上附着有与细胞呼吸有关的酶，与其分解葡萄糖产生丙酮酸的功能相适应B ．选择透过性的基础是细胞膜上的载体蛋白和磷脂分子具有特异性C ．突触前膜、突触后膜都属于生物膜系统，在内环境稳态调节中发挥着重要作用D ．细胞在癌变过程中，细胞膜成分发生改变，表面的糖蛋白增加2．ATP 分子高能磷酸键中能量的主要来源是细胞呼吸，下列有关叙述，正确的是 A ．细胞呼吸过程中每个阶段都有ATP 的合成B ．某同学体育锻炼时，细胞呼吸产生的H 2O 中的氢均来自葡萄糖C ．若污染物X 抑制浮游植物有氧呼吸的各个阶段，则对无氧呼吸也有影响D ．绿色植物叶肉细胞可以通过光合作用合成A TP ，不需要呼吸作用提供能量 3．下列对相关实验的叙述，正确的是A ．甘蔗茎的薄壁组织、甜菜的块根都含有较多的糖且近于白色，可用于还原糖的鉴定B ．用质量分数为8%的盐酸处理染色质能促进DNA 与染色剂中的吡罗红结合C ．探究温度对酶活性的影响时，将酶与底物溶液在室温下混合后于不同温度下保温D ．在鉴定脂肪的实验中，苏丹Ⅳ将脂肪染成红色，苏丹Ⅲ将脂肪染成橘黄色4．医学研究发现，神经退行性疾病与神经元中形成的R-loop 结构有关。

绝密★启用前|试题命制中心2019年第一次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合{|ln(21)}A x y x ==+，2{|20}B x x x =∈+-≤Z ，则AB =________．2．设复数z 满足(1i)(54i)(1i)z -=-+，其中i 是虚数单位，若z 是z 的共轭复数，则2z z +=________． 3．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD MNPQ -的体积为1V ，以,,,B D M P 为顶点的三棱锥P BDM -的体积为2V ，则21V V =________．4．如图，半径为r 的圆O 内有一内接正六边形ABCDEF ，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆心O 成中心对称．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为________．5．如图是某算法的流程图，若输出的y 的值是10，则输入的x 的值为________．6．已知学生甲在上学期的五次化学测试中考出的分数的茎叶图如图所示，那么学生甲在这五次测试中考出的分数的方差是________．77980137．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点(,0)F c -到一条渐近线的距离为3，且3a b +=+，则双曲线的离心率e =________．8．若函数y =A ，则函数142()x x y x A +=-∈的值域为________．9．已知点(,)M x y 满足不等式||||1x y +≤，设22(1)(1)z x y =-+-，则z 的最小值与最大值之和等于________． 10．已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,)a c b =+m ，(,)a c c b =+-n，且b =若⊥m n ，则ABC △面积的最大值为________．11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，若(3)0f -=，实数a 满足(25)0f a -≤，则a 的最小值为________．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量1(3,3)S =-x ，1(12,2)a =+y ，若xy ，且{}n a 从第8项开始为正数，则其公差d 的取值范围为________．13．若函数533()(24)x x f x k x x-=--有3个零点，则实数k 取值的集合是________．14．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤的最小值为3-，若点(,0)6π-是函数()y f x =图象的对称中心，直线3x π=是函数()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间25(,)3333ππ上单调，则实数ω取最大值时，函数()f x =________．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足2AD BC =，且90BAD ABC ∠=∠=︒，AB PD ⊥，点E 和F 分别为棱PD 和AD 的中点．（1）求证：EC平面PAB ；（2）求证：平面EFC ⊥平面PAD ． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且12cos 13B =，sin C =（1）求cos A 的值；（2）若13c =，求ABC △的面积S ． 17．（本小题满分14分）某企业要设计制造一批大小、规格相同的长方体封闭水箱，已知每个水箱的表面积为432（每个水箱的进出口所占面积与制作材料的厚度均忽略不计）．每个长方体水箱的底面长是宽的2倍．现设每个长方体水箱的底面宽是x ，用()V x 表示每个长方体水箱的容积． （1）试求函数()V x 的解析式及其定义域；（2）当x 为何值时，()V x 有最大值，并求出最大值． 18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 对任意n *∈N 满足112335(21)(1)32n n a a a n a n +++++-=-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得2019n S >成立的正整数n 的最小值． 19．（本小题满分16分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>，过其左焦点1(,0)F c -的直线交M 于,A C 两点，且弦AC 的中点为(2,1)E -．（1）求椭圆M 的方程；（2）设BD 是椭圆M 的另一条弦，且BD 与AC 垂直，求以,,,A B C D 为顶点的四边形ABCD 的面积的最大值，并求出此时直线BD 的方程． 20．（本小题满分16分）已知函数2()242ln |1|f x x x a x =-+-（其中a ∈R ）． （1）当0a ≥时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0a <时，求函数()f x 的极值点； （3）讨论函数()f x 零点的个数．数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。