2019届高三全国大联考月考试卷(数学理科)

理科数学 第 1页（共 10页）22019 年第三次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析1. 【答案】D【解析】由 A = {x | x 2 < 2} = {x | - < x < 2} ，B = {x | y = x + 1} = {x | x ≥ -1} ，得 A B = {x | -1 ≤ x < 2} ，故选 D ．2. 【答案】A【解析】因为 z = 3 - i= (3 - i)(1 + 2i)=3 + 2 - i + 6i= 1 + i ，所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1) ，故选 A ． 3．【答案】B1 - 2i (1 - 2i)(1 + 2i) 5【解析】由三视图得，该几何体是棱长为 3 的正方体截去一个棱长为 1 的正方体，如图所示，所以该几何体的表面积与棱长为 3 的正方体的表面积相等，即所求表面积为 S = 6 ⨯ 32 = 54 ．故选 B ．4．【答案】C【解析】2016 年，2017 年，2018 年容易题分值分别为 40，55，96，逐年增加，①正确；近三年中档题分值所占比例最高的年份是 2016 年，②错误；2018 年的容易题与中档题的分值之和为 96+42=138， 138 = 0.92 > 90% ，③正确，故选 C ．1505. 【答案】B【解析】(x - 2)( 2 + 1)5 的展开式中的常数项为 x ⨯ C 4 ⨯ 2⨯14 - 2 ⨯15 = 10 - 2 = 8 ，故选 B ．x 6. 【答案】Dn 2 - 1n 2 + 1 5xn 2 - 1n 2 + 1n 2 n 2 【解析】A ，当 n 为偶数时， , 2 2 不是整数，所以 n , , 2 2 不是勾股数；B ，n 2+ ( )2 ≠ ( 2 2+ 1)2 ，12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D ABCBDBDBCAC理科数学 第 2页（共 10页）3 3 2n 2 n 2 n 2 - 2 n 2 + 2 n 2 - 2 n 2+ 2 所以 n , , + 1不是勾股数；C ， n 2 + ( )2 ≠ ( )2 ，所以 n , , 不是勾股数；D ，当 n 2 2 n 2 n 2 4 4 n 2 n 2 4 4n 2 n 2 为偶数时， n ,7. 【答案】B- 1, 4 4 + 1 都是整数，且 n 2 + ( -1)2 = ( 4 4 + 1)2，所以 n , - 1, 4 4+ 1 是勾股数，故选 D ．【解析】模拟运行该程序：x =1，y =1，z =11，满足循环条件；x =1，y =11，z =21，满足循环条件；x =11， y =21，z =131，满足循环条件；x =21，y =131，z =341，不满足循环条件，终止循环，输出 z 的值为 341， 观察 A 、B 、C 、D 四个选项，可知只有 B 选项符合题意，故选 B ．8. 【答案】D【解析】由题意得 a 2 = 1⨯ a = a + 6 ，所以 a = 3 （负值舍去），所以 a = 3 + 2 = 5 ，因为数列141121, a , a , b , b , b , , b , 成等比数列，设其公比为 q ，则 q = a 1 = 3 ，所以b = 35 = 243 ，所以 b 3 = 243，1 4 123 n故选 D ．1 3 a 5 9. 【答案】B【解析】设双曲线C 的焦距为2c (c > 0) ，则由△OPF 为等边三角形，得 c P ( ,3c ) ，代入双曲线 C 的方c 2 3c 2 2 23e 2程得 - = 4 ，即e 2 - = 4 ，解得e = + 1 （或 e = - 1 ，舍去），故选 B ． a 2 b 2 e 2 - 110. 【答案】C【解析】解法一：如图，连接 D 1 A ， AC ， D 1C ，易证平面 ACD 1 平面 EFG ，因为 D 1 P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D 1 P 平面 EFG ，所以点 P 在直线 AC 上，所以当 P 为 AC 中点时，线段 D 1 P 的长度最小，最小值为 ，故选 C ．解法二：如图，连接 D 1C ， AC ，因为直线 D 1 P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D 1 P 平面 EFG ．延长 EF ，与 DC 的延长线交于点 H ，连接GH ，则 D 1C GH ，AC EF ，所以点 P 在直线 AC 上，易得6理科数学 第 3页（共 10页）当 P 为 AC 中点时，线段 D 1 P 的长度最小，最小值为 ，故选 C ．11. 【答案】A【解析】由 f (a ) = 1, f (a + 2) = 0 得函数 f (x ) 的图象关于直线 x = a 对称，且关于点(a + 2, 0) 对称，由存在不相等的实数 x 1 , x 2 ∈(a , a + 2) 使得 f (x 1 ) = f (x 2 ) 成立，可得 f (x ) 在(a , a + 2) 上不单调，所以区间 (a , a + 2)的长度不小于 3T （其中T 为函数 f (x ) 的最小正周期），即 2 ≥ 3 ⨯ 2π ，即ω≥ 3π，故选 A ．4 12. 【答案】C4 ω 4【解析】由(a + 1)x - ln x + b - 2 ≤ 0 ，得ln x ≥ (a + 1)x + b - 2 ，若存在唯一实数 x 0 ，使得 f (x 0 ) ≤ 0 ，则 直线 y = (a +1)x + b - 2 与曲线 y = ln x 相切，设切点为 P (t , ln t ) ，则切线方程为 y - ln t = 1(x - t ) ，即ty = 1 x + ln t - 1 ，所以 a + 1 = 1 ，b - 2 = ln t - 1 ，所以 a + b = 1 + ln t ，设 g (t ) = 1 + ln t (t > 0) ，则 g'(t ) =t - 1， t t t t t 2所以 g (t ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，所以 g (t ) ≥ g (1) = 1，所以 a + b 的取值范围是[1, +∞) ，故选 C ． 13．【答案】[-1,5]【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由 z = 2x - y +1得 y = 2x - z + 1，平移直线 y = 2x ，可知直线 y = 2x - z + 1过点 A (2, 0) 时 z 取到最大值， z max = 2 ⨯ 2 - 0 + 1 = 5 ，过点 B (0, 2) 时 z 取到最小值， z min = 0 - 2 + 1 = -1 ，所以 z = 2x - y + 1的取值范围是[-1,5] ．6理科数学 第 4页（共 10页）( , 14．【答案】 - 12【解析】由| a ⋅ b |=| a | ⋅ | b | 可知向量 a , b 共线，所以cos α+ 2 sin α= 0 ，所以tan α= - 1．215．【答案】( 1, +∞) 21 1 1⎧ 1 , n 为奇数 【解析】由 a = 1 且 a - = ，得 a = ， a = , a = 1 ， ，∴ a = ⎪ 2 ，因为数2 n +12 1 23 2 4n ⎨ ⎪⎩ 1, n 为偶数列{b } 是递增数列，当 n 为奇数时，b - b = 1 + λ> 0 ，∴ λ> - 1 ，当 n 为偶数时，b - b = - 1+ λ> 0 ，n n +1 n 2 2 n +1 n2∴ λ> 1 ，综上，实数λ的取值范围是 1+∞) ．2 2 16．【答案】(4, 4)【解析】由题意知直线 OA 的斜率为正，设直线 OA 的斜率为 k (k > 0) ，则直线 OA 的方程为 y = kx ， ⎧ y 2 = 4x 4 4 16 16 ⎧ y 2 = 4x 直线 MN 的方程为 y = k (x -1) ，联立⎨ ，得 A ( , ) ，所以| OA |2= + ；联立⎨ ，⎩ y = kx k 2k k 4 k 2 ⎩ y = k (x - 1)2 2 2 22k 2 + 4 4 消去 y ，整理得 k x - (2k + 4)x + k = 0 ，设 M (x 1 , y 1 ), N (x 2 , y 2 ) ，则 x 1 +x 2 =k 2 =2+ k2 ， x 1 x 2 = 1 ， | MF | ⋅ | NF |= (1 + k 2 ) | x -1| ⋅ | x -1| = (1 + k 2 ) | x x - (x + x ) + 1| = 4(1 + 1 ) ．因为1成 1 2 1 2 1 2| MF |, | OA |,| NF | k 2 2等比数列，所以| MF | ⋅ | NF |= 1 | OA |2 ，即 4(1 + 4 1 ) = 4 k 2 k 4 + 4 ，所以 k 4= 1 ，解得 k = 1 ，故点 A 的坐标k 2 为(4, 4) ．17．（本小题满分 12 分）【解析】解法一：（1）由 AB = AC 可得∠BAC = π - 2C ， ∴ cos ∠BAC = -cos 2C = 2 sin 2 C - 1 = 2 ⨯ ( 2 5 )2 - 1 = 3．（2 分）5 5 ∵ AB = AC = AE + EC = 5 + 2 = 7 ，∴ BE 2 = AB 2 + AE 2 - 2AB ⋅ AE cos ∠BAE = 49 + 25 - 42 = 32 ，∴ BE = 4 ．（6 分）（2）由（1）知， cos ∠BAE = 3 ，∴ sin ∠BAE = 4，5 5∴ S △ABE= 1 AB ⋅ AE ⋅ sin ∠BAE = 1 ⨯ 7 ⨯ 5⨯ 4 = 14 ．（12 分） 2 2 5 解法二：（1）如图，取 BC 的中点 D ，连接 AD ，交 BE 于点 F ．a - a 2 n n 2理科数学 第 5页（共 10页）22 ⨯ 7 ⨯ 4 2由题意得 AD ⊥ BC ，∵ AC = AE + EC = 5 + 2 = 7 ， sin C = 2 5 ，∴ cos C =5 ，55∴ CD = AC ⋅ cos C = 7 ⨯5 = 7 5 ，∴ BC = 2CD = 14 5，（3 分 ） 5 5 5∴ BE 2 = BC 2 + EC 2 - 2BC ⋅ EC ⋅ cos C = 196 + 22 - 2 ⨯ 14 5 ⨯ 2 ⨯ 5= 32 ，∴ BE = 4．（6 分） 5 5 5（2）由（1）知 BE = 4 ，AB 2 + BE 2 - AE 249 + 32 - 25 ∴ cos ∠ABE = = = 2 AB ⋅ BE ，（9 分） 2 ∴ sin ∠ABE = 2 ，2 ∴ S= 1 AB ⋅ BE ⋅ sin ∠ABE = 1 ⨯ 7 ⨯ 4 2 ⨯ 2= 14 ．（12 分） △ABE2 2 218．（本小题满分 12 分）【解析】（1）如图，作 PO ⊥ AC 于 O ，连接 BO ，由 PA = BA ， ∠PAC = ∠BAC ， AO = AO ，可得△PAO ≌△BAO ， 所以∠AOB = ∠AOP = 90︒ ，所以OB ⊥ AC ，（3 分） 又 PO BO = O ，所以 AC ⊥ 平面 PBO ， 因为 PB ⊂ 平面 PBO ，所以 PB ⊥ AC ．（6 分）2 2理科数学 第 6页（共 10页）3 6 3 2 72 7 144 ⎧⎪n ⋅ （2）由 PA = AB = 2 ， ∠PAC = ∠BAC = 60︒ ，可得OP = OB = 2sin 60︒ = ， OA = 2 cos 60︒ = 1 ， 又 PB = ，所以OP 2 + OB 2 = PB 2 ，所以OP ⊥ OB ，所以OA ,OB ,OP 两两垂直，分别以OA ,OB ,OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O - xyz （如图），则 O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0，3, 0), C (-3, 0, 0) ， P (0, 0, 3) ，AB = (-1, 3, 0) ， BC = (-3, - 3, 0) ，BP = (0, - 3, 3) ，BC = 0⎪⎧ -3x -3y = 0 设平面 BCP 的法向量为 n = (x , y , z ) ，则⎨，即⎨ ， ⎪⎩n ⋅ BP = 0 ⎪⎩- 3y + 3z = 0取 x = -1 ，则 y = 3, z = ，所以n = (-1, 3, 3) 是平面 BCP 的一个法向量，（10 分）设直线 AB 与平面 PBC 所成角为θ，则sin θ=| cos AB , n | AB ⋅ n | |= =| AB | ⋅ | n | =4= ， 7所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为19．（本小题满分 12 分）．（12 分） 【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128 + 135= 131.5 ，乙校学生数学成绩的中2位数为128 + 129= 128.5 ，所以这 40 份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的2 中位数高．（2 分）（2）由题意，作出 2 ⨯ 2 列联表如下：甲校乙校 合计 数学成绩优秀 10 7 17 数学成绩不优秀10 13 23 合计20204040 ⨯ (10 ⨯13 -10 ⨯ 7)2计算得 K 2的观测值 k = ≈ 0.9207 < 2.706 ，20 ⨯ 20 ⨯17 ⨯ 23所以没有 90 0 0 的把握认为数学成绩在 100 分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（8 分）（3）因为 X ~ N (110,144) ，所以μ= 110 ，σ== 12 ，| -1⨯ (-1) + 3 ⨯ 3 + 0 ⨯ 3 |(-1)2 + ( 3)2 + 02 ⨯ (-1)2 + ( 3)2 + ( 3)2 2 77理科数学 第 7页（共 10页）(1, ) (1, ) ⎨ x PM PN ⎩所以 P (86 < X ≤ 134) = 0.9544 ，所以 P ( X > 134) =1 - 0.9544= 0.0228 ， 2由题意可知ξ~ B (3, 0.0228) ，所以 E ξ= 3⨯ 0.0228 = 0.0684 ．（12 分）20．（本小题满分 12 分）【解析】（1）由 e = 1（其中 e 为椭圆C2圆 x 2 + y 2 - 2x - 3y = 0 的圆心为 3 ，由 3 在椭圆 C 上，得 1 + 9= 1 ，即3a 2 = 1 ，2 = 4b 2 ，⎧3a 2 = 4b 2 联立⎪ 2 2⎧⎪a 2= 4 ，解得⎨， a 24b 2 ⎨ 1 ⎪⎩a 2 + 9 = 1 4b 2⎪⎩b 2= 3 x 2 + y 2 =故椭圆 C 的标准方程为 4 3⎧ y = mx + n 1 ．（4 分）（2）联立⎪ 2 + y 2 ，消去 y ，整理得(3 + 4m 2 )x 2 + 8mnx + 4n 2 -12 = 0 ， = 1 ⎪⎩ 4 3因为直线 y = mx + n 与椭圆 C 只有一个公共点 M ，所以∆= 64m 2 n 2 - 4(3 + 4m 2 )(4n 2 -12) = 0 ，即 n 2 = 3 + 4m 2 ，（6 分）设点 M 的坐标为(x , y ) ，则 x = - 4mn = - 4m , y = mx + n = 3 ，即 M (-4m 3，（8 分） M M M3 + 4m 2 n M Mn n , n )假设 x 轴上存在点 P (t , 0) ，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P ，4m 3因为 N (4, 4m + n ) ，所以 PM = (- - t , ) ， PN = (4 - t , 4m + n ) ，n n则 ⋅ = (- 4m - t )(4 - t ) + 3 (4m + n ) = t 2 - 4t + 3 + 4m (t - 1) = 0 恒成立，n n n⎧t = 1所以⎨t 2 - 4t + 3 = 0 ，所以t = 1 ，即在 x 轴上存在点 P (1, 0) ，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P ．（12 分）21．（本小题满分 12 分）【解析】（1）若 a = 2 ，则 g (x ) = x 2 - 2x ln x + 2 + x ln x = x 2 - x ln x + 2 ， 所以 g' (x ) = 2x - ln x - 1 ，（2 分）因为函数 g (x ) 的图象在 x = t 处的切线的斜率 k = g' (t ) = 2t - ln t - 1 = 1 ，即 2t - ln t - 2 = 0 ， 设ϕ(t ) = 2t - ln t - 2(t > 1 ) ，则ϕ' (t ) = 2 - 1> 0 ，2 t理科数学 第 8页（共 10页）⎩ 所以ϕ(t ) 在( 1 ，+∞) 上是增函数，又ϕ(1) = 0 ，2所以 2t - ln t - 2 = 0 有唯一实数解t = 1 ，（2 分）因为 g (1) = 3 ，把(1, 3) 代入 y = x + b 得b = 2 ．（4 分） （2） ∀x ∈[1, e] ， f (x ) > -1 ，即 x - a ln x + a + 1> 0 ． x设 h (x ) = x - a ln x + a + 1，则 h (x ) 在[1, e]上的最小值 h (x ) x因为 h' (x ) = 1 - a - a + 1 = (x + 1)(x - a - 1)，（5 分）min> 0 ，x x 2 x 2①当 a + 1 ≤ 1即a ≤ 0 时，在区间[1, e] 上， h'(x ) ≥ 0 ，所以 h (x ) 单调递增， 所以 h (x )min = h (1) = 2 + a > 0 ，所以-2 < a ≤ 0 ．（7 分）②当1 < a + 1 < e ，即0 < a < e - 1 时， x ∈[1, a + 1] 时 h'(x ) ≤ 0 ， h (x ) 单调递减， x ∈[a + 1, e] 时 h'(x ) ≥ 0 ， h (x ) 单调递增，所以 h (x )min = h (a + 1) = 2 + a - a ln(a + 1) ，由1 < a + 1 < e 可得0 < a ln(a + 1) < a ， 所以 h (a + 1) > 2 > 0 ，满足题意．（9 分）③当 a + 1 ≥ e 即 a ≥ e - 1 时，在区间[1, e] 上， h'(x ) ≤ 0 ，所以 h (x ) 单调递减， a + 1e 2 + 1 e 2 + 1 所以 h (x )min = h (e) = e +e 2+ 1- a > 0 ，解得 a < e ，因为 > e -1， e -1 e -1所以e -1 ≤ a < e -1．（11 分） e 2 +1综上可得实数 a 的取值范围是(-2, ) ．（12 分）e -1 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）将ρcos θ= x ， ρ2 = x 2 + y 2 代入ρ2 - 2 | ρcos θ|= 3 ，得曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 | x |= 3 ，即(| x | -1)2 + y 2 = 4 ，（3 分）所以曲线 C 表示圆弧(x -1)2 + y 2 = 4(x ≥ 0) 及圆弧(x + 1)2 + y 2 = 4(x < 0) ．（5 分）⎧x = a - 2t （2）由⎨ y = 2t消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 x + y - a = 0 ，当直线 l 与圆弧(x -1)2 + y 2 = 4(x ≥ 0) 相切时（如图），得|1 + 0 - a |= 2 ， 2解得 a = 2 + 1 或 a = -2 + 1 （舍去）；（8 分）2 2理科数学 第 9页（共 10页）2f (x ) ⎨x > 1 ⎩当直线 l 与圆弧(x + 1)2 + y 2 = 4(x < 0) 相切时，得| -1 + 0 - a |= 2 ， 2解得 a = 2 - 1 （舍去）或 a = -2 - 1，所以当-2 - 1 < a < 2 + 1 时直线l 与曲线C 有 2 个公共点，故 a 的取值范围为(-2 -1, 2 2 + 1) ．（10 分）23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲【解析】（1）当 a = 0 时， f (x ) =| 2x - 2 | + | x + 1| ，由题意， x ≠ 0 ， ①当 x < 0 时， f (x ) ≥ 3 | x | ⇔ f (x ) ≥ -3 ⇔| 2x - 2 | + | x + 1|> -3 ，该不等式恒成立；（3 分） x②当 x > 0 时， f (x ) ≥3 | x | ⇔| 2x - 2 | + | x + 1|≥ 3 ，x⇔ ⎧2x - 2 + x + 1 ≥ 3 ⎩ ⇔ x ≥ 4 ．3⎧-2x + 2 + x + 1 ≥ 3或⎨0 < x ≤ 1 综上可得 x < 0 或 x ≥ 4 ，故不等式 f (x ) ≥ 3 | x |的解集为(-∞, 0) [ 4 , +∞) ．（5 分）3 x 3（2）因为| 2x - 2 | + | x + 1| = 2 | x -1| + | x + 1| ≥| x - 1| + | x + 1| ≥| (x - 1) - (x + 1) | =2，当且仅当 x = 1 时等号成立，所以| 2x - 2 | + | x + 1| -a ≥ 2 - a ．（8 分）所以要使函数 y = 的值域为[0, +∞) ，应满足 2 - a ≤ 0 ，即 a ≥ 2 ， 所以实数 a 的取值范围是[2, +∞) ．（10 分）2 2 2 2理科数学第10页（共10页）。

2019届高三理科数学全国大联考试卷及解析C.4．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－1x n (n ∈N *)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是(A)T f (2b ＞0，则a ＞－c ，从而f (a )＞f (－c )＝－f (c )，即f (a )＋f (c )＞0，选A.6．设x 为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，3内的概率为(C))数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.①因为ω＝2，则f (x )的最小正周期T ＝π， 2：x >0题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )【解析】若a ＞2且b ＞2，则1a <12且1b <12，得1a＋1b <1，即a ＋b ab<1，从而a ＋b ＜ab ，所以命题p 为真．因为直线y ＝x －1与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x有正数解，即方程(x －1)·2x ＝1有正数解，所以命题q 为真，选A.9．已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为(D)A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作可行域，平移直线l ：b ＝2a －z ，由图知，当直线l 过点(1，0)时，直线l 的纵截距最小，从而z 为最大，且z max ＝2×1－0＝2，选D.10．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，AB ⊥AD ，BD ⊥CD .将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A ―BD ―C ，则四面体ABCD 的外接球的体积为(B)A.23π B.32πC．2πD．3π因为|MO|＝|MF2|，则A为OF2的中点，所以|AF2|＝c2，|AF1|＝3c2.设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m.在Rt△MAF1中，|MA|2＝4m2－9 4c 2.在Rt △MAF 2中，|MA |2＝m 2－c24，则4m 2－94c 2＝m 2－c24，即3m 2＝2c 2. 因为|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则m ＝2a ，所以32X n ，≠记中的最大元素，当X n 的所有非空子I (A )的和记为S (n )，则2 018 2 017 A )S (2 018)＝2 017×22 018＋1，选D.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝__－79__． 【解析】sin ⎛⎪⎫2α－π＝sin ⎢⎡⎥⎤2 ⎛⎪⎫α－π＋π＝⎭ABC 中，mAB →＋＝13DC →，15．已知函数f (x )＝|2x －1|－a ，若存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝－1，则a 的取值范围是__(1，2)__．【解析】令f (x )＝－1，则|2x －1|＝a －1.据题意，直线y ＝a －1与函数y ＝|2x －1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且S n ＝4－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通⎝ ⎛a ＝2，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°.(1)若BC ＝22，求∠CBD 的大小；(2)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】(1)在△ABD中，因为AB＝4，AD ＝2，∠BAD＝60°，则BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以BD＝2 3.(3分)＝3sin 2θ－23sin2θ＝3sin 2θ－3(1－cos 2θ)＝3sin 2θ＋3cos 2θ－3＝23sin(2θ＋30°)－ 3.(11分)因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，12<sin(2θ＋30°)≤1，所以0<S ≤ 3. 故S 的取值范围是(0，3]．(12分)18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PB ；－PB －C 的大小为的体积．△ABC 中，由余弦定理得×2×4×cos 的中点，则＋AC →)，则AD →2＝14(4＋16＋2×2×4×cos 120°)＝3，所以AD ＝ 3.(4分)因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .(5分)因为PA ⊥底面ABC ，则PA ⊥AD ，所以AD ⊥平面PAB ，从而AD ⊥PB .(6分)(2)解法一：因为AD ⊥平面PAB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连结DE . 解法二：分别以直线AB ，AD y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设PA ＝a ，则点B (2，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2，0，a )．(8分)设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0. 元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：工资为X元，则当n＝38时，X＝38×6＝228；当n＝39时，X＝39×6＝234；当n＝40时，X＝40×6＝240；当n＝41时，X＝40×6＋7＝247；当n＝42时，X＝40×6＋14＝254.所以X的分布列为4x2＋y2－10x＋20＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C 相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2＋|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为抛物线y2＝43x的焦点为(3，0)，则c＝3，所以a2－b2＝3.(2分)2即km(x1＋x2)＋m2＝0，所以－8k2m24k2＋1＋m2＝0，即(1－4k2)m2＝0.因为m≠0，则k2＝14，即k＝±12，从而x1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝2m 2－2.(10分)所以|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝x 21＋(kx 1＋m )2＋x 22＋(kx 2＋m )2 ＝(k 2＋1)(x 21＋x 22)＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2.1))上单调递减，所以f (x )min ＝f (ln a )＝e ln a －a (ln a －1)＝a (2－ln a )．(4分)据题意，⎩⎨⎧ln a >1，a （2－ln a ）<0，则ln a ＞2，即a >e 2，所以a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)解法二：当x ∈(1，＋∞)时，由f (x )＜0，得e x <a (x －1)，即a >e x x －1.(1分) 设g (x )＝e x (x >1)，据题意，当x ∈(1，＋(1⎩⎪⎨⎪⎧x 不妨设x 1＜x 2，由(1)可知，a >e 2，且x 1＜ln a＜x 2，从而2ln a －x 2＜ln a .因为f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，所以只要证f (x 1)>f (2ln a －x 2)，即证f (x 2)>f (2ln a －x 2)．(9分)设h (x )＝f (x )－f (2ln a －x )，则h ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2ln a －x )＝e x －2a ＋e 2ln a －x ＝e x ＋a 2e x －2a ≥2e x ·a 2ex －2a ＝0， 所以h (x )在R 上单调递增．因为x 2＞ln a ，x 方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，点P 在曲线C 1上，其极角为π4，点Q为曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入，得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(3l所以点M到直线l的距离的最大值为10 5.(10分)23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，其中a为实常数．(1)若函数f(x)的最小值为3，求a的值；(2)若当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤|x－4|恒成立，求a的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，(3分)当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.(5分)(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x －4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x ＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x ＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.(8分)因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，(－x－2)max＝－3；当x＝2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．(10分)。

姓名，年级：时间：高三年级五月份联考数学（理科)考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟. 2。

请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。

3。

本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

设集合A={x|x 2〈5}，B=｛x|1<x<4}，则A ∪B=A 。

{x|1<x<5｝B .｛x|-√5<x<4}C .｛x|1<x<√5}D 。

｛x|—5〈x<4｝2。

若复数z=5-i1-i，则z = A .3+2i B 。

-3+2iC 。

-3—2iD .3—2i3.设双曲线C ：x 2a 2—y 2b2=1(a 〉0，b>0）的实轴长与焦距分别为2，4,则双曲线C 的渐近线方程为A .y=±√33x B .y=±13x C .y=±√3x D .y=±3x4。

函数f (x )={6x -2,x >0,x +log 612,x ≤0的零点之和为A .-1B 。

1C .—2D .25.函数f （x )=cos （3x+π2）的单调递增区间为 A .［π6+2kπ3,π2+2kπ3］(k ∈Z)B 。

[π6+kπ3,π2+kπ3]（k ∈Z)C .[—π6+kπ3,π6+kπ3］（k ∈Z)D 。

[—π6+2kπ3,π6+2kπ3］(k ∈Z）6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .24π-6B 。

8π-6C 。

24π+6D 。

8π+67.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为60°,向量m=te 1+2e 2(t 〈0）,则A .|m|t 的最大值为-√32B .|m|t 的最小值为—2 C .|m|t 的最小值为-√32 D .|m|t的最大值为—28。

2019届2019年5月高三第三次全国大联考（新课标Ⅱ卷）数学（理）学试题一、单选题1．已知集合{|20}A x x =-≤，2{|log 2}B x x =<，则A B ⋂= A ．]2,0( B ．(,2]-∞C ．)2,0(D ．)4,(-∞【答案】A【解析】解一元一次不等式以及对数不等式得到集合A 和B ，结合交集的定义计算即可. 【详解】由题可得集合(,2]A =-∞，(0,4)B =，所以]2,0(=B A ，故选A ． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法以及交集的运算，需注意对数函数的定义域，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，若复数z 在复平面内对应的点的坐标为)1,2(-，则复数(13i)z -的虚部为 A ．7 B ．7i -C ．1-D ．7-【答案】D【解析】根据复数的几何意义得到2z i =-，计算出(13i)z -结合虚部的概念即可得结果. 【详解】由题可得复数2z i =-，所以(13i)(2i)(13i)17i z -=--=--， 所以复数(13i)z -的虚部为7-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，复数乘法的运算以及复数的分类，属于基础题. 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12B ．3C ．π5D ．3【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是底面半径为2的圆锥的14，由椎体体积公式即可得结果. 【详解】由三视图可知该几何体是底面半径为214，故该几何体的体积14V =⨯21233π⨯=，故选B ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键，属于中档题.4．已知324ππα<<，若sin()4πα+=，则sin(2)4πα-=A ．B ．C ．102 D 【答案】C【解析】将sin()45πα+=展开，两边同时平方可得sin2α，根据α的范围cos2α，最后利用两角差的正弦公式即可得结果. 【详解】因为sin()4πα+=，所以sin cos αα+=，两边同时平方可得212sin cos 5αα+=，所以3sin 25α=-，因为324ππα<<，所以322αππ<<，所以4cos 25α=-，所以sin 24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭2cos 2)210αα-=，故选C ． 【点睛】本题主要考查了两角和与差公式、三角恒等式在求值中的应用，首先得到sin2α的值是解题的关键，属于中档题.5．已知x ，y 满足约束条件1010240x y x y x y ++≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，若使z ax y =-取得最小值的最优解有无穷多个，则实数=a A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，z ax y =-可化为y ax z =-，由z ax y =-取得最小值的最优解有无穷多个可得y ax z =-的斜率与直线AB 的斜率相等，即可得a 的值. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，z ax y =-可化为y ax z =-，要使z ax y =-取得最小值，只需直线y ax z =-在y 轴上的截距最大，又z ax y =-取得最小值的最优解有无穷多个，所以直线y ax z =-的斜率与直线AB 的斜率相等，因为直线AB 的斜率为12，所以21=a ，故选B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z 的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.6．在边长为2的正方形OABC 中，点D 为线段BC 的中点，点M 在线段OD 上，则MA MB ⋅的最大值为A1 BC ．4D ．5【答案】C【解析】设线段AB 的中点为N ，连接MN ，根据221[()()]4MA MB MA MB MA MB ⋅=+--=2221[(2)]14MN BA MN -=-即可得结果. 【详解】设线段AB 的中点为N ， 连接MN ，则221[()()]4MA MB MA MB MA MB ⋅=+--=2221[(2)]14MN BA MN -=-，易得22max ()5MN ON ==，所以MA MB ⋅的最大值为4，故选C ． 【点睛】本题主要考查了向量数量积最值的求法，得到21MA MB MN ⋅=-是解题的关键，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，则输出的T 的值为A ．12020B ．12019C ．20182019D ．20192020【答案】B【解析】模拟程序的运行过程，寻找其规律第2018次循环：20182019N =，12019T =，2019i =，此时2019i <不成立，结束循环，可得结果.【详解】初始值：1T =，1i =，第1次循环：12N =，12T =，i 2=； 第2次循环：23N =，13T =，3i =；…； 第2017次循环：20172018N =，12018T =，2018i =；第2018次循环：20182019N =，12019T =，2019i =，此时2019i <不成立，结束循环，输出12019T =，故选B ．【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属于基础题.8．已知点P 位于第一象限，双曲线22:14x C y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，记直线1PA ，2PA 的斜率分别为1k ，2k ，若点P 在双曲线C 上，则1211k k +的取值范围为 A ．[1,)+∞ B ．[1,4]C ．[4,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】设),(00y x P 且2214x y =-，根据两点间斜率计算公式得1214k k =，结合基本不等式得121k k +>，根据12121211k k k k k k ++=即可得结果.【详解】由题可得1(2,0)A -，2(2,0)A ，设),(00y x P ，因为点P 在双曲线C 上，所以22014x y =-，且02x >，00y >，则01002y k x =>+，2k =0002y x >-， 所以01202y k k x =⋅+2002001244y y x x ==--，所以1221k k +≥==，当且仅当1212k k ==时取等号，因为12k k ≠，所以121k k +>，所以12121212114()4k k k k k k k k ++==+>， 故1211k k +的取值范围为(4,)+∞，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线上点的特征，整体代换思想的应用，基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++--=，(2)(2)0f x f x +--=．当(0,2]x ∈时，()3x f x =，则(2018)(2019)f f -+=A ．6-B ．3-C ．3D ．12【答案】A【解析】由(1)(1)0f x f x ++--=得()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，由(2)(2)0f x f x +--=得函数()f x 的周期为8，结合(0,2]x ∈时，()3x f x =即可得结果. 【详解】令1t x =+，由(1)(1)0f x f x ++--=可得()()f t f t =--， 所以函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =． 由(2)(2)0f x f x +--=可得)2()2(x f x f -=+， 所以(4)f x +=()()f x f x -=-，所以(8)()f x f x +=，故函数()f x 的周期为8，所以(2018)(25282)f f -=-⨯-=(2)(2)9f f -=-=-，(2019)(25283)(3)(1)3f f f f =⨯+===，所以(2018)(2019)6f f -+=-，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性在求值中的应用，得到周期性与奇偶性是解题的关键，属于中档题.10．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<满足下列两个条件：①函数()12y f x π=-是奇函数；②12max |()()|2f x f x -=，且12min (||)3x x π-=．若函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，则实数t 的最小值为 A ．4π B ．3πC ．512πD ．712π【答案】C【解析】由②可得1A =，周期23T π=，从而3ω=，根据函数()12y f x π=-是奇函数结合ϕ的范围可得4πϕ=，进而()sin(3)4f x x π=+，由x 的范围求出34x π+的范围，根据()f x 存在最小值列出不等式3342t ππ+≥，解出即可.【详解】由12max |()()|2f x f x -=可得1A =， 由12min (||)3x x π-=可得23T π=（其中T 为函数()f x 的最小正周期）， 所以223T ππω==，解得3ω=，所以()sin(3)f x x ϕ=+，所以()12y f x π=-=sin(3)4x ϕπ+-，因为函数()12y f x π=-是奇函数，所以()4k k ϕπ-=π∈Z ，即()4k k ϕπ=π+∈Z ， 因为02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()sin(3)4f x x π=+，当4x t π-<≤时，33244x t πππ-<+≤+，因为函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，所以3342t ππ+≥，即512t π≥，故实数t 的最小值为512π．故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求法，通过三角函数的图象研究其性质，熟练掌握图象是解题的关键，属于中档题.11．如图，在矩形ABCD 中，22AD AB ==，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE ，CE 折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABC DE 的外接球的表面积为A ．332πB ．8πC ．4πD ．π34【答案】C【解析】设BE ，EC ，BC 的中点分别为M ，N ，O ，通过平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，易得⊥OM 平面ABE ，⊥ON 平面DEC ，从而1OA OB OC OD OE =====，即外接球的球心为O ，可得半径，进而可得表面积.【详解】由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图，设BE ，EC ，BC 的中点分别为M ，N ，O ，连接AM ，OM ，AO ，DN ，NO ，DO ，OE ，则OM BE ⊥，ON CE ⊥． 因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，所以⊥OM 平面ABE ，⊥ON 平面DEC ，易得1OA OB OC OD OE =====， 则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径1=R ，所以几何体ABCDE 的外接球的表面积为ππ442==R S ．故选C ．【点睛】本题主要考查了求几何体外接球的表面积，找到球心的位置是解题的关键，属于中档题.12．已知函数2(2),1()(1),1x x f x f x x ⎧+<-=⎨-≥-⎩，若函数()()log ||(0a g x f x x a =->且1)a ≠有6个零点，则a 的取值范围为 A ．(3,4] B ．[3,4)C ．(4,5]D ．[4,5)【答案】A【解析】令||log )(x x h a =，由题意可得函数()f x 的图象与函数()h x 的图象有6个交点，作出函数图象，易知1a >，当0x <时，由3个交点，当0x >时，根据临界位置列出不等式组(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解出即可.【详解】令||log )(x x h a =，因为函数()()log ||(0a g x f x x a =->且1)a ≠有6个零点， 所以函数()f x 的图象与函数()h x 的图象有6个交点，作出函数()f x 与函数()h x 的大致图象，如下图所示:易知1a >，显然当0x <时，函数()f x 与函数()h x 的图象有3个交点，所以当0x >时，函数()f x 与函数()h x 的图象有3个交点，所以(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，即log 31log 41a a<⎧⎨≥⎩，解得43≤<a ，故a 的取值范围为(3,4]，故选A ．【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数，转化为函数图象交点的个数，作出函数的图象是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．已知91(2)x ax -的展开式中x 项的系数为634，则实数a =________________． 【答案】4.【解析】根据二项式定理写出通项99291C 2(1)r r r rr rT x a--+⨯⨯-=，令921r -=,列方程求解即可. 【详解】91(2)x ax -的展开式的通项为9992919C 2(1)1C (2)()rr r r rr r r rT x x ax a ---+⨯⨯-=-=，921r -=，解出r ，结合常数项的值即可得a 的值.令921r -=，可得4r =，所以494494C 2(1)634a -⨯⨯-=，解得4a =，故答案为4. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，写出通项是解题的关键，属于中档题.14．在V ABC 中，已知3AB =，2=BC ，若1cos()2C A -=，则sin B =________________．【答案】1435. 【解析】在线段AB 上取点D ，使得AD CD =，设AD x =，则3BD x =-，易得1cos 2BCD ∠=，由余弦定理可得54x =，在BCD △中，由正弦定理即可得结果.【详解】在线段AB 上取点D ，使得AD CD =，设AD x =，则3BD x =-， 因为cos()C A -=12，即1cos 2BCD ∠=，所以在BCD △中，由余弦定理可得221(3)442x x x -=+-⨯，解得54x =，在BCD △中，由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠，因为54CD =，734BD x =-=，sin BCD ∠=，所以sin B =故答案为1435 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，通过辅助线将1cos()2C A -=转化是解题的关键，属于中档题.15．已知曲线ln(23)()3x f x x-=+在点(2,(2))f 处的切线为l ，抛物线2:)0(C ax a y ≠=的焦点为F ，若切线l 经过点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，则||MN =________________． 【答案】8.【解析】对函数进行求导求出曲线的切线方程为1y x =+，进而可得焦点坐标，所以抛物线C 的方程为24x y =，将抛物线与直线方程联立结合韦达定理可得12||2MN y y =++的值.【详解】 由题可得22(23)ln(23)()(23)x x x f x x x ---'=-，所以(2)1f '=，又(2)3f =，所以切线l 的方程为32y x -=-，即1y x =+，则(0,1)F ．将2(0)y ax a =≠化为标准方程即21x y a =，所以114a =，解得14a =， 所以抛物线C 的方程为24x y =．由214y x x y =+⎧⎨=⎩，消去x 可得2610y y -+=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则126y y +=， 所以12||2628MN y y =++=+=，故答案为8. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，直线与抛物线相交时弦长问题，属于中档题.16．已知P 在圆22:()(4)1C x a y a -+-+=上，点P 关于y 轴的对称点为A ，点P 关于y x =的对称点为B ，则||AB 的最小值为________________． 【答案】33-=-.【解析】设出P 的坐标为(,)x y ，根据对称性得,A B 坐标，根据两点间距离公式可得||AB OP =，判断点O 在圆C 外，由||||1OP OC r ≥-≥即可得结果.【详解】因为圆C 的方程为22()(4)1x a y a -+-+=，所以(,4)C a a -，半径1=r ． 设点P 的坐标为(,)x y ，则由题可得(,)A x y -，(,)B y x ，所以||AB===|OP（O为坐标原点），又||OC==≥2a=时取等号），所以点O在圆C外，所以||||1OP OC r≥-≥（当且仅当2a=，O，P，C三点共线时取等号），所以||4AB≥-||AB的最小值为33-=-，故答案为33-=-.【点睛】本题主要考查了对称关系以及两点间的距离，圆上一动点到圆外一点距离的最值问题，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a的前n项和为n S，11a=，11(2)n na S n-=+≥．（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）设221logn nb a+=，求数列11{}nn nab b++的前n项和nT．【答案】（Ⅰ）12nna-=；（Ⅱ）34244nnnTn+=-+.【解析】（Ⅰ）由已知等式可得11n na S+=+，两式相减可得12(2)n na a n+=≥，再验证1n=时的情形即可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得2nb n=，利用裂项相消法即可得结果.【详解】（Ⅰ）由11(2)n na S n-=+≥可得11n na S+=+，上述两式相减可得1n n na a a+-=，即12(2)n na a n+=≥，因为11a=，所以2112a S=+=，所以21221aa==，所以*12()nna a n N+=∈，所以数列{}n a是首项为1，公比为2的等比数列，所以12nna-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得12nna-=，221log2n nb a n+==，所以111111()2(22)41n nb b n n n n+==-++，所以12111111134()21241223144n n n n T n n n -+=+⨯-+-++-=--++． 【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.18．某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加．根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示：（Ⅰ）从这5年中随机抽取2年，求至少有1年维修费用高于2万元的概率； （Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅲ）由于成本因素，若年维修费用高于6万元，则该种工程车需强制报废，根据（Ⅱ）中求得的线性回归方程，预测该种工程车最多可以使用多少年？参考公式：1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，x b y aˆˆ-=． 【答案】（Ⅰ）CF BC ⊥；（Ⅱ）ˆ0.430.71y x =+；（Ⅲ）12年.【解析】（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式可得11232225C C C C P +=；（Ⅱ）将表中数据与公式相结合可得ˆ0.430.71y x =+；（Ⅲ）令0.430.716x +≤，可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可得第4年与第5年的维修费用高于2万元，则至少有1年维修费用高于2万元的概率11232225C C C 7C 10P +==． （Ⅱ）由题可得1(12345)35x =⨯++++=，1(1.1 1.62 2.5 2.8)25y =⨯++++=，511 1.12 1.6324 2.55 2.834.3i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii x==++++=∑，所以5152221534.3532ˆ0.4355535i ii ii x y x ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ20.4330.71a b y x =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.430.71yx =+． （Ⅲ）令0.430.716x +≤，可得131243x ≤，又*N x ∈，所以12≤x ， 故该种工程车最多可以使用12年． 【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算公式的应用以及线性回归方程的求法及应用，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AD AB ⊥， 2PA AD CD AB ===，F 为CD 的中点，点E 在线段PC 上，且(01)PEk k PC=<<．（Ⅰ）若12k =，求证：平面BEF ⊥平面CDP ； （Ⅱ）若二面角E BD P --的余弦值为}{n a ，求k 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）31=k . 【解析】（Ⅰ）通过证明四边形ABFD 是平行四边形可得BF CD ⊥，通过CD ⊥平面PAD 可得PD CD ⊥即CD EF ⊥，再得线面垂直最后得面面垂直；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AB =，分别求出面PBD 的法向量(2,1,1)m =，平面BDE 的一个法向量为31(2,1,)1k n k -=-，根据余弦值为}{n a 即可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为AD AB ⊥，AB CD ∥，所以AD CD ⊥． 因为2CD AB =，F 为CD 的中点，所以AB DF =， 又AB CD ∥，所以四边形ABFD 是平行四边形，所以BFAD ，所以BF CD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为A PA AD = ，所以CD ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以PD CD ⊥， 因为12PE PC =，所以E 为PC 的中点， 又F 为CD 的中点，所以EF PD ∥，所以CD EF ⊥， 又BF EF F =I ，所以CD ⊥平面BEF ， 因为CD ⊂平面CDP ，所以平面BEF⊥平面CDP ．（Ⅱ）由题可知AB ，AD ，AP 互相垂直，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AB =，则2PA AD CD ===，则(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，所以(2,2,2)PC =-， 因为(01)PEk k PC=<<，所以(2,2,2)PE k PC k k k ==-，所以(2,2,22)E k k k -， 设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =，因为(1,0,2)PB =-，(0,2,2)PD =-，所以20220m PB x z m PD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令2x =，可得1y z ==，所以平面PBD 的一个法向量为(2,1,1)m =． 设平面BDE 的法向量为(,,)n a b c =，因为(1,2,0)BD =-，(21,2,22)BE k k k =--，所以20(21)2(22)0n BD a b n BE k a kb k c ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++-=⎩， 令2a =，可得1b =，311k c k -=-，所以平面BDE 的一个法向量为31(2,1,)1k n k -=-．因为二面角E BD P --的余弦值为}{n a，所以31|41||cos ,|6k m n -++〈〉== 化简可得23830k k +-=，解得3k =-或31=k ， 又01k <<，所以31=k ． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，已知二面角的余弦值求参数的值，解题的关键是求出面的法向量，属于中档题.20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，离心率为12，过点2F 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，当直线l x ⊥轴时，1F MN △的面积为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线'l 的方程为4x =，直线AM 交直线'l 于点P ，直线AN 交直线'l 于点Q ，线段PQ 的中点为H ，试判定2F H MN ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（Ⅰ）13422=+y x ；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据离心率可得12c a =，求出点M 纵坐标，得1F MN △的面积为212232b c a⨯⨯⨯=，解出,,a b c 即可得椭圆方程；（Ⅱ）当直线l x ⊥轴时，易知20F H MN ⋅=，当斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(4,)P P y ，(4,)Q Q y ，利用三点共线可得1122P y y x =-，2222Q y y x =-，联立直线与椭圆方程结合韦达定理可得32P Qy y k+=-，得H 点坐标，代入即可得结论.【详解】（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(,0)F c ， 因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，又222a b c =+，所以b =，当直线l x ⊥轴时，假设点0(,)M c y位于第一象限，则20y ba==，因为1F MN △的面积为3，所以212232b c a ⨯⨯⨯=，即23232c c c ⨯=，解得1c =，所以2a =，b =C 的标准方程为13422=+y x ．（Ⅱ）当直线l x ⊥轴时，根据对称性易知20F H MN ⋅=． 由（Ⅰ）可得(2,0)A ，)0,1(2F ，当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(4,)P P y ，(4,)Q Q y ，则11=(2,)AM x y -，(2,)P AP y =， 因为M ，A ，P 三点共线，所以AM AP ，所以112(2)0P y y x --=，即1122P y y x =-．同理可得2222Q y y x =-，因为线段PQ 的中点为H ，所以(4,)2P Qy y H +． 将(1)=-y k x 代入13422=+yx ，消去y 可得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以121221122112121212(2)(2)(1)(2)(1)(2)222(2)(2)2()4P Qy y y y y x y x k x x k x x x x x x x x x x +-+---+--=+===-----++2222121222121222824244[23()4]33434412162()443434k k k x x x x k k k k k x x x x kk k --+-++++=⋅=---++-+++，所以3(4,)H k-，故23(3,)F H k =-， 又21212121(,)(,)MN x x y y x x kx kx =--=--， 所以2212133()()0F H MN x x kx kx k⋅=---=．综上所述，20F H MN ⋅=，故2F H MN ⋅是定值，该定值为0． 【点睛】本题主要考查了通过,,a b c 求椭圆的方程，直线与椭圆相交时交点的坐标，计算量较大，属于难题.21．已知函数()(32)e 2x f x x ax =---，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若函数()f x 在]1,2[-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若对于任意的[0,)x ∈+∞，不等式()1f x ax ≤+恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）(,e][,)e-∞-+∞； （Ⅱ）),21[+∞.【解析】（Ⅰ）函数单调等价于()0f x '≤恒成立或()0f x '≥恒成立，利用分离参数的思想，令()(12)e xg x x =-，对()g x 进行求导，求出其最值即可；（Ⅱ）原题等价于(32)e 230x x ax ---≤，令()(32)e 23x t x x ax =---，对其二次求导求出最值即可.【详解】（Ⅰ）由题可得()2e (32)e (12)e x x xf x x a x a '=-+--=--，因为函数()f x 在]1,2[-上是单调函数，所以当[2,1]x ∈-时，()0f x '≤恒成立或()0f x '≥恒成立，即当[2,1]x ∈-时，(12)e 0x x a --≤恒成立或(12)e 0xx a --≥恒成立，所以当[2,1]x ∈-时，max [(12)e ]x a x ≥-或min [(12)e ]xa x ≤-．令()(12)e xg x x =-，21x -≤≤，则()(12)e x g x x '=--，令()0g x '>，可得122x -≤<-；令()0g x '<，可得112x -<≤， 所以函数()g x 在1[2,)2--上单调递增，在1[,1]2-上单调递减，所以max 1()()2g x g =-=． 又25(2)eg -=，(1)e g =-，所以(2)(1)g g ->，所以min ()(1)e g x g ==-，所以a ≥a e ≤-，故实数a 的取值范围为(,e][,)e-∞-+∞． （Ⅱ）()1f x ax ≤+可化为(32)e 230x x ax ---≤，令()(32)e 23xt x x ax =---，0≥x ，因为对于任意的[0,)x ∈+∞，不等式()1f x ax ≤+恒成立，所以max ()0t x ≤， 易得()(12)e 2xt x x a '=--，令()(12)e 2xh x x a =--，0≥x ，则()(12)e 0xh x x '=--<， 所以函数()t x '在[0,)+∞上单调递减，(0)12t a '=-， ①当21≥a 时，021≤-a ，所以()(0)0t'x t'≤≤，所以函数)(x t 在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)330t x t ≤=-=，即max ()0t x ≤，符合题意； ②当12a <时，120a ->，所以存在00x >，使得0()0t'x =， 当),0[0x x ∈时，()0t x '>，所以函数)(x t 在0[0,)x 上单调递增， 因为(0)0t =，所以当),0(0x x ∈时，()0t x >，不符合题意． 综上所述，21≥a ，故实数a 的取值范围为),21[+∞． 【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，已知单调性求参数，利用导数证明不等式，综合性较强，有一定难度. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin4cos 0ρθθ-=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【答案】（Ⅰ）4340x y --=，24y x =.（Ⅱ）254. 【解析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入极坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入抛物线方程，根据参数的几何意义将12|||t t |AB =-和韦达定理相结合即可得结果. 【详解】（Ⅰ）将315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)消去参数t 可得4(1)3x y -=，即4340x y --=， 故直线l 的普通方程为4340x y --=． 由2sin4cos 0ρθθ-=可得0cos 4sin 22=-θρθρ，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得042=-x y ，即24y x =， 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（Ⅱ）将31545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =，可得2415250t t --=，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12154t t +=，12254t t =-，所以1225||||4AB t t =-===， 故线段AB 的长为254． 【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =+．（Ⅰ）求不等式()2|1|f x x ≤+-的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()|2|1f x x a ++≤有解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]2-∞； （Ⅱ）13[,]22.【解析】（Ⅰ）分2x -≤，21x -<<，1x ≥三段去绝对值解不等式，再取并集即可；（Ⅱ）不等式()|2|1f x x a ++≤有解⇔min (|2||2|)1x x a +++≤，再根据绝对值三角不等式求得最小值代入可解得． 【详解】（Ⅰ）()2|1|f x x ≤+-可化为|2||1|2x x +--≤，当2x -≤时，|2||1|2x x +--≤可化为212x x --+-≤，解得2x -≤； 当21x -<<时，|2||1|2x x +--≤可化为212x x ++-≤，解得122x -<≤； 当1x ≥时，|2||1|2x x +--≤可化为212x x +-+≤，无解． 综上，12x ≤，故不等式()2|1|f x x ≤+-的解集为1(,]2-∞．（Ⅱ）()|2|1f x x a ++≤即|2||2|1x x a +++≤，因为关于x 的不等式()|2|1f x x a ++≤有解，所以min (|2||2|)1x x a +++≤． 因为|2||2||(2)(2)||22|x x a x x a a +++≥+-+=-， 所以|22|1a -≤，即1221a -≤-≤，解得1322a ≤≤． 故实数a 的取值范围为13[,]22． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

高三年级第一次月考理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1．已知集合{}2230A x x x =--≥，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1212x x x B ，则A B = ( )A ．(]1,2--B ．[)1,2-C ．()1,2--D ．(]1,-∞- 2．已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()+∞,1B ．()3,1-C ．()1,3-D ．()3,-∞- 3．“()012=-x x ”是“0=x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知，31523425,4,2===c b a 则（ ）A ． b a c <<B ．c b a <<C ． a c b <<D ． c a b << 5．命题022,:0200≤++∈∃x x R x p ，则p ⌝为( )A ．022,2>++∈∀x x R xB ．022,2≥++∈∀x x R xC ．022,2>++∈∃x x R xD ．022,2≥++∈∃x x R x6．函数()b a bx ax x f -++=22是定义在[]a a 2,1-上的偶函数，则=+b a ( )A ．31-B ．31C ．0D ．1 7．设函数()32+=x x f ，()()x f x g =+2，则()x g 的解析式是( )A ．12+xB ．32-xC ． 12-xD ．72+x8．设函数()()⎩⎨⎧≥<-+=-,1,2,1,2log 112x x x x f x 则()()=+-12log 22f f ( )A ．1B ．9C ．1-D ．7 9．函数()1,01≠>-=a a aa y x 的图象可能是 ()10．已知()()⎩⎨⎧≥<+-=1,log ,1,413x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,71B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,71C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,71D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,7111．已知定义域为(,0)(0,)-∞+∞的函数()f x 是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，若(2)0f =，则0)(<x xf 的解集是 （ ）A ．()()2,00,2 - B ．()()2,02, -∞- C ．()()∞+-，20,2D ．()()∞+-∞-，22, 12．已知函数()x kx x f ln 2+=，若()0<x f 在()x f 定义域内恒成立，则k 的取值范围是（）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-e 21，B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e 1,21C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 21， D.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，共20分。

2019年11月份高三联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解对数不等式可得：，求解一元二次不等式可得：，则：，，.本题选择D选项.2. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，结合向量平行的充要条件有：,求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.3. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4. 已知，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有：，则：，结合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.本题选择B选项.5. 已知函数，给出下列两个命题：命题若，则；命题.则下列叙述错误的是（）A. 是假命题B. 的否命题是：若，则C.D. 是真命题【答案】D【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且导函数：，则函数单调递增，据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.结合特称命题与全称命题的关系可得：的否命题是：若，则，：.本题选择D选项.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合诱导公式可得：，据此可得：，结合同角三角函数基本关系可得：，，利用二倍角公式可得：.本题选择B选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.据此可得：.本题选择D选项.8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指数函数和一次函数都是定义在上的单调递减函数，则函数是定义在上的单调递减函数，且：，结合函数零点存在定理可得：，据此可得：，则：.本题选择C选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9. 函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然函数是偶函数，故A、D错误，当时，，所以，，又，所以，故选 C.10. 已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数有意义，则：恒成立，即：.结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；当时，函数在定义域内单调递增，即若在上是单调函数，则或，“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．11. 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的定义知，且若为奇数则则选D12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选 A. 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.【答案】【解析】很明显数列的公比为正数，由题意可得：，则：，整理可得：，结合可得：.14. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.【答案】【解析】函数的解析式：据此可得：，则：，结合三角函数的性质可得：，令可得：，故：，.........................16. 在中，，边的中点为，则__________.【答案】【解析】如图所示，作于点，则：，则：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)即，.(2).【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，当时，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，又，所以.（2）因为，※精品试卷※所以，①，②由①-②得，所以.18. 设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题解析：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.19. 在中，内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.试题解析：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为，由（1）知，所以.由余弦定理可得，整理得，解得，因为，所以，所以的面积.20. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.21. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记.（1）求的大小；（2）当取最大值时，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．22. 已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；※精品试卷※（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由题意结合导函数与原函数切线的关系可得.(1)由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.(2)由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.试题解析：，又，曲线在处的切线过点，，得.（1），令，得，解得或的极值点为或.（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，※精品试卷※令，则，设，则，函数在上单调递减，，.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

绝密★启用前|2019年第二次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|28}M x x x =∈-<Z ，{1,3}P =，{0,7}Q =，则()MQ P =A ．{0,1,7}B ．{1,0,7}-C ．{0,1,3,7}D ．{1,0,2,7}-2．已知复数z 满足i 2i z z +=-，则在复平面内与复数z 对应的点Z 在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“ln ln a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后经过点(，则sin α=A．6BCD5．已知抛物线28y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A 、B 两点，O 为点坐标原点，若OAB △的面积等于A ．3BC．D ．46．函数3()3xf x x =-的图象是A ．B ．C ．D ．7．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，如图是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板拼成的大正方形ABCD ，若在正方形ABCD 中任取一点，则此点取自两个四边形（即阴影部分）的概率为A ．13B ．14C．4D．68．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由直三棱柱切掉一部分得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为○………………装………………卷只装○………………装………………A．53B．32C．3 D．29．将函数2()cos2cos1f x x x x=+-的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后，其函数图象关于y轴对称，则ϕ的最小值为A．π6B．5π6C．π3D．2π310．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，若点D在直线AB上，且DF x⊥轴，O为坐标原点，且AB ODk kλ=，若离心率11(,)32e∈，则λ的取值范围为A．11(,)43B．11(,32C．(3,4)D．(2,3)11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD=，1ED=，若鳖臑P ADE-P ABCD-的外接球的表面积等于A．15πB．16πC．17πD．18π12．已知定义在R上的可导函数()y f x=的导函数为()y f x'=，若当0x≠时，3()()0f xf xx'+>，则函数31()()g x f xx=+的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．为了解某种新型材料的功能，产品研究所测试了2000件产品在高强度下试用一段时间后的某项指标在[20,90]内，按指标在[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]进行分组，得到指标取值的频率分布直方图如图所示．则在试用后指标值在[40,70)内的产品件数为____________．14．已知向量(2sin19,2sin109)=︒︒a，||1-=a b，,60-=︒a a b，则||=b____________．15．若二项式29()axx+的展开式中9x的系数为672-，则展开式中除常数项外其余各项系数之和为____________．16．在ABC△中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知sin6sina Cc B=，且(0,)3Cπ∈，则sin sinsinA BC+的取值范围为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知正项数列{}na中，13a=，当2n≥时，22112()n n n na a a a---=+．（1）求数列{}na的通项公式及其前n项和nS；（2）数列1{}nS的前n项和为nT，数列{}nb满足4(1)(2)n nb n n T=++，求数列{}nb的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，1AD=，2DC=，3ABCπ∠=．理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）（1）求证：CA ⊥平面PAD ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成的角为π4，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．19．（本小题满分12分）电动化是汽车工业未来发展的大趋势，在国家的节能减排、排放法规等硬性要求之下，新能源汽车乘势而起，来自中国汽车工业协会的统计数据显示，2018年新能源汽车累计销量已经超过100万辆，意味着我国的新能源汽车市场的正式兴起．某人计划购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到2018年1月到5月的实际销量如下表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y （辆）与月份x 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并据此预测2018年10月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程对购车补贴进行新一轮调整．下表为2018年执行的补贴政策．某企业一次采购了6辆电动汽车，已知其中有2辆最大续航里程[200,250)R ∈，其余车辆的最大续航里程[250,300)R ∈，若从这6辆车中任取3辆，求这3辆车的补贴金额之和X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程y bx a =+，其中1122ˆni i i nii x y n xx ybxn ==-=-∑∑，ˆˆab y x =-． 参考数据：5118800i ii x y==∑．20．（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆C 上，12DF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点(2,1)A ，且与椭圆C 交于不同的两点,M N ，若1||,||,||2AM OA AN （O 为坐标原点）成等比数列，判断直线l 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x a x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若不等式2ln et xt x +≤恒成立，求实数t 的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为123x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于A 、B 两点，设(1,2)M ，求11||||MA MB +的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2|3||2|f x x x =--+．（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若对任意的实数x ，不等式24()0t t f x -+>恒成立，求实数t 的取值范围．。

理科数学 第 1 页（共 11 页）3 + 3i 2 - 2 3i 3( 3 + i) 2(1- 3i)3 3 7 52019 年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】理科数学·全解全析1．A 【解析】 A ={x ∈ Z | x 2 - 2x - 3 ≤ 0} ={x ∈ Z | -1 ≤ x ≤ 3} ={-1, 0,1, 2,3}，B ={x | x < 0 或 x > 1 }， ∴ C ={x | x ∈ A 且 x ∉ B } ={0,1}，故选 A ．2．D 【解析】 a = 2q 2 ，∴ a= 2 ，∴ a 2 ⋅ a 8 = a 2= 4 ，故选 D.3．C 【解析】 z = 1-3i ，∴ 2 = = = = 3 i，故选C ．24(-x )2 4x 2 4x 24．A 【解析】依题意， x ∈ R ，且 f (-x ) === f (x ) ，故函数 f (x ) =为偶函数，其图3|- x |3|x |3|x |象关于 y 轴对称，排除B ；因为 f (1) = 4> 1，排除C ； f (2) =16< 2 ，排除D ，故选A ．3 95．B 【解析】由程序框图可得，初始值：x = 1，n = 1，第 1 次循环，x = -1，n = 2 ；第 2 次循环，x = 2 ，2n = 3 ；第 3 次循环， x = 1， n = 4 ……依次类推得到此算法得到的 x 值具有周期性且周期为3 ，因为2n = 24 ，1025 ，7 ，2020 是各选项不满足条件的n 值，其被3 除的余数分别为0 ，2，1，1，所以当n = 1025 时不满足条件且输出的 x = -1，故选B ．6．B 【解析】由| FM |= 3 | FB | ，且 OB ∥AM （O 为坐标原点），得| OF |= | OB | = | FB | = 1，∴a + c = 3c且| AM |= 3b ，∴a = 2c ，∴b =3c ，又 △AFM | AF | | AM | | FM | 3的面积为9 ，∴ 1 ⨯ (c + a ) ⨯ 3b = 9 ， 2∴c =，∴a = 2，b = ，∴椭圆的标准方程为 x 8 + y 2 6= 1，故选B ． 7．C 【解析】 g (x ) = ln 1 - x ，∴ g (-x ) = ln 1 + x = -g (x ) ，∴函数 g (x ) 是奇函数，设t = 1 - x，1 + x 1 - x 1 + xt = -1 +2 x + 1 ，∴ t = 1 - x 在区间(-1,1) 上是减函数，又 y = ln t 在区间(0,+∞) 上是增函数，1 + x∴ g (x ) 在区间(-1,1) 上是减函数，∴ f (x ) 是定义在(-1,1) 上的奇函数且在区间(-1,1) 上是减函数，2z +1+ 2 3i 2z - 3i 3i ⋅ (1- 3i) 2(1- 3i) 2 2 6 52理科数学 第 2 页（共 11 页）2 23 2 5 2 4f ( 1 ) = -1，∴ f (- 1) = 1，又 f (0) = 0 ，∴ f (0) ≤ f (x - 2) ≤ f (- 1) ，又 f (x ) 在区间(-1,1)2 2 2上是减函数，∴ - 1 ≤ x - 2 ≤ 0 ，∴ 3 ≤ x ≤ 2 ，∴所求不等式的解集为[ 3,2] ，故选 C ．2 2 28．D 【解析】由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 A - BCD ， 三角形 BCD 是等腰直角三角形且CB = CD = 4 ，∴S △BCD = 8 ； △ABC 是直角三角形， AB = 2 ，∴S △ABC = 4 ；△ACD 是等腰三角形，且 AC = AD =2 ，∴S △ACD = 4 ；又 BD = 4 ，∴ AB 2 + AD 2 =BD 2 ，∴∠BAD = 90 ，∴S = 4 ，∴该几何体的表面积是8 + 4 2 + 4 3 + 4 5 ，故选 D.9．A 【解析】方法一：因为嘉宾甲、乙主持的两期节目必须相连，所以有A 2A 5 种安排方案，又因为嘉宾A 2A 5丙必须排在前 3 期主持节目，所以该节目嘉宾主持人的安排方案种数是2 5 = 120 ，故选 A ．方法二：若嘉宾丙主持第 1 期节目，则安排方案有A 2A 4= 48 种；若嘉宾丙主持第 2 期节目，则安排方案有A 1 A 2A 3 = 36 种；若嘉宾丙主持第 3 期节目，则安排方案有A 2A 3 + A 2A 2A 2= 36 种，所以该节目3 2 32 33 2 2嘉宾主持人的安排方案种数是48 + 36 + 36 =120 ，故选 A ．10．A 【解析】 3 tan ϕ = 2sin( π+ ϕ) ，∴3tan ϕ = 2cos ϕ ，∴3sin ϕ = 2cos 2 ϕ ，∴3sin ϕ = 2 -22sin 2 ϕ ，∴2sin 2 ϕ + 3sin ϕ - 2 = 0 ，∴sin ϕ = 1 ， 0 < ϕ < π ，∴ϕ = π，∴ f (x ) = 2cos(ωx +2 2 6π) ，又 直线 x = π 6 3 是 函 数 f (x )的 图 象 的 一 条 对 称 轴 ， ∴ωπ + π = k π(k ∈ Z ) ， 3 6∴ω = 3k - 1 (k ∈ Z ) ， ω > 0 ，∴ ω 的最小值为 5 ，此时函数 f (x ) 的最小正周期T = 4π，故选 A ．2 2 511．B 【解析】 2a n = a n +1 + a n -1 + 2 ，∴ (a n +1 - a n ) - (a n - a n -1 ) = -2 ，∴数列{a n +1 - a n } 是公差为- 26 5 2 △ABD理科数学 第 3 页（共 11 页）3 ⎨ ⎩的 等 差 数 列 ， a 1 = 1, a 2 = 30 ， ∴a 2 - a 1 = 29 ，∴a 16 - a 15 = 29 + (15 -1)⨯ (-2) = 1 > 0 ，a 17 - a 16 = 29 + (16 -1)⨯ (-2) = -1 < 0 ，又 数列{a n +1 - a n } 是单调递减数列，∴数列{a n +1 - a n } 的前15 项和最大，即(a 2 - a 1) + (a 3 - a 2 ) + + (a 16 - a 15 ) = a 16 -1最大，∴数列{a n } 的最大项是第 16项 a ，又 a -1 = 15⨯ 29 +15⨯14⨯(-2) = 225 ，∴a = 226 ，∴数列{a }的最大项的值是226 ，16162故选B ．16 n12．B 【解析】若 f (x ) = ln x +2e - 2 ，则[xf (x )] x' =( x l n x 2e + 2 -)x l n ' = x 1 l n - ≠x，所以①是错误的；[xf (x )]' = ln x ，∴ f (x ) + xf '(x ) = ln x ，∵ f (e) = 1 ，∴令 x = e ，得 f '(e) = 0 ，所以②是正确的； xf '(x ) = ln x - f (x ) ，∴ x 2f '(x ) = x ln x - xf (x ) ，∴[x 2f '(x )]' = ln x +1-[xf (x )]' = ln x +1 - l n x = 1 > 0 ，∴函数 x2 f '(x ) 在区间(0,+∞) 上是增函数，当0 < x < e 时，x 2 f '(x ) < e 2 f '(e) = 0 ， 即 f '(x ) < 0 ， ∴ 函数 f (x ) 在区间 (0, e) 上是减函数； 当 x > e 时， x 2f '(x ) > e 2f '( e )= ，即f '(x ) > 0 ，∴函数 f (x ) 在区间(e, +∞) 上是增函数，∴ f (x ) ≥ f (e) =1，∴ f (x ) 的最小值为1且 f (x )没有零点，即③是错误的，④是正确的，所以正确的说法是②④，故选 B ．⎧x - y ≤ 0 13．18 【解析】作出约束条件⎪2x - 3y + 6 ≥ 0 表示的平面区域如图中阴影部分所示， ⎪x ≥ 1由图象得目标函数 z = 2x + y 取得最大值的最优解为(6,6) ，所以 z 的最大值为18 ．14.【解析】设将OA 绕原点逆时针旋转120得到向量OA ' ， OA = ( 3, 0) ，∴| OA ' |=| OA |=3,理科数学 第 4 页（共 11 页）4 23, ) OA∠AOA ' = 120 ，∴OA ' = (-3 3 ，' =- 1 OB ，∴OB = ( 3, -3) ， A , B ,C 三点共线， 2 22∴OC = (1- λ)OA + λOB ，∴OC = ( 3, -3λ) ，∴ OC 在OA 方向上的投影是= 3 ．15. 2 【解析】设| MF 1 |= x ,| MF 2 |= y ， 点 M 为双曲线右支上一点，∴ x - y = 2a ①；又 △MF 1F 2的周长为9a ，∴ x + y = 9a - 2c ②；又 直线 MF 与直线 y = - bx 平行，∴tan ∠MF F = b，2a2 1a∴cos ∠MF F = a，∴在△MF F 中，由余弦定理可得 y 2 + 4c 2 - x 2 = 4cy cos ∠MF F ，结合①②2 1 c1 2 2 1得 2a (2c - 9a ) + 4c 2= 2a (7a - 2c ) ，∴ c 2 + 2ac - 8a 2 = 0 ，∴e 2 + 2e - 8 = 0 ，解得e = 2 ，∴该双曲线的离心率为2 ．16.πR 【解析】设底面正三角形 ABC 的边长为 x (x > 0) ， 顶点 P 到底面 ABC 的距离为 R 且三棱锥 P - ABC 的体积为5 3R 3 ，∴ 1 ⨯ 3 x 2 R = 5 3 3 ，∴ x = 15R ，∴正三角形 ABC 的外 36 3 4 36 3接圆半径为5 R ，∴球心O 到底面 ABC 的距离为 2R ，又 顶点 P 到底面 ABC 的距离为 R ，∴顶33R 点 P 的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面 ABC 和截面圆之间）且球心O 到该截面圆的距离为 3，截面圆的半径为 2 2 R ，∴顶点 P 的轨迹长度是 4 2 πR ． 3 317．（本小题满分12 分）【解析】（1） b =3， a 2 + c 2- sin A sin C tan B = 1，6 12∴ a 2 + c 2 - sin A sin C tan B = b 2 ，即a 2 + c 2 - b 2 = sin A sin C tan B ，由余弦定理得2ac c os B = sin A sin C tan B ，∴2ac sin A sin C = tan B ，（2 分） cos B由正弦定理得 2b 2 tan B = ，即2b 2 cos B = 2，∴ 1 cos 2 B = sin 3 B ，sin 2 B cos B sin B tan B 6∴ 1- sin 2 B = 6sin 3 B ，即6sin 3 B + sin 2 B -1 = 0 ，（4 分）OA ⋅OC = 3| OA | 3理科数学 第 5 页（共 11 页）(2 + 3)(a + c )2(2 - 3)(a + c )2(2 - 3)(a + c )2 变形得(2sin B -1)(3sin 2B + 2sin B +1) = 0 ，解得sin B = 1，20 < B < π ，∴ B = π．（6 分）2 6（2） b = 3 ， B = π ，∴由余弦定理得a 2 + c 2 - 2ac cos π = 1 ，化简得a 2 + c 2- 3ac = 1 ，6∴(a + c )2- (2 + 6 3)ac = 1 12，（8 分）6 12 12 (a + c )2ac ≤，∴-(2 + 4 ac ≥ - ，4∴(a + c )2- (2 + 3)ac ≥， 4∴ ≤ 1 4 12，∴(a + c )2 ≤ ，（10 分） 3∴(a + c + 2b )(a + c - 2b ) = (a + c )2 - 4b 2 ≤ 1 + 33 ，当且仅当a = c 时等号成立，∴ (a + c + 2b )(a + c - 2b ) 的最大值为1 + 33.（12 分）18．（本小题满分12 分）【解析】（1）估计生猪重量达不到 270 斤的概率为(0.0005 + 0.002) ⨯ 40 + 0.005⨯ 30 = 0.25 .（2 分） （2）生猪重量的平均数为180⨯0.02 + 220⨯0.08 + 260⨯0.2 + 300⨯0.32 + 340⨯0.24 +380⨯0.1+420⨯ 0.04 = 305.6 （斤）.所以估计该企业本养殖周期的销售收入是305.6 ⨯8⨯ 5000 = 1222.4 （万元）.（6 分）（3） 由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到 270 斤及以上的概率为1- 0.25 = 3，4由题意可得随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2 ，则Y ~ B (2, 3) ，（8 分） 4∴ P (Y = 0) = C 0⨯ 3 0 ⨯1 2 = 1 ，( ( ) 24 4 16 P (Y = 1) = C 1⨯ 3 1 ⨯ 1 1 = 3 ，( ( ) 24 4 8 P (Y = 2) = C 2⨯ 3 2 ⨯ 1 0 = 9 ，（9 分）( ) ( ) 24 4 162 + 3理科数学 第 6 页（共 11 页）2 33∴随机变量Y 的分布列为∴随机变量Y 的方差 D (Y ) = 2⨯ 3 = ．（12 分）4 4 819．（本小题满分12 分）【解析】（1）如图，连接 AB 交OC 于点 N ，连接 MN ，PA ∥平面 MOC ，∴ PA ∥ MN ， BM = 2MP ，∴ B N = 2NA ，OA = OB = 2 ， ∠AOB = 120 ，∴ AB = 2 ，∴ BN = ，（2 分）又 ∠OBA = 30 ， ∴ 在 △BON 中， 根据余弦定理得 ON =， ∴ON 2 + OB 2 = BN 2 ，∴∠BON = 90 ，∴ON ⊥ OB ，又 PO ⊥平面AOB ，∴ON ⊥ OP ，∴ON ⊥平面 POB ，（4 分）又 ON ⊂ 平面 MOC ，∴平面 MOC ⊥ 平面 POB ．（5 分）（2）由（1）得OC ⊥ OB ,OP ⊥ OC ,OP ⊥ OB ，如图建立空间直角坐标系O - xyz ，OP = ， OA = OB = OC = 2 ，∴ OP = (0, 0, 5) ， OA = ( 3, -1, 0) ， OC = (2, 0, 0) ，OB = (0, 2, 0) ， 点 M ∈ PB 且 BM = 2MP ，∴OM = (0, 2 ,2 5，（7 分） 3 3设平面 POA 的法向量为n = (x , y , z ) ，则⎧⎪n 1 ⋅ O P = 0 ，即 ⎧⎪5z 1 = 0，令 x= 1，得 y =，111 1⎨ ⎪⎩n 1 ⋅ O A = 0⎨11⎩⎪ 3x 1 - y 1 = 0 3 3 4 3 3 5理科数学 第 7 页（共 11 页）152 6 | AF |= 1 4 p θ ⎨z 1 = 0 ，∴ n 1 = (1, 3, 0)，⎧⎪n⋅ OC = 0⎧2x 2 = 0设平面 M O 的 法 向 量 为 n = (x , y , z ) ，则 ⎨2，即⎪，即2222⎪n ⋅ OM = 0 ⎨ 2 y +2 5z = 0 ⎩ 2⎪⎩3 23 2⎧⎪x 2 = 0，令 z = 1，得 y = -，x = 0 ，∴ n= (0, -5,1) ，（10 分）⎨y + 5z = 0 2222⎩⎪ 2 2设平面 POA 和平面 MOC 所成二面角的大小为θ ，则| cos θ |= =10 6 ，∴sin = ， 4 4∴平面 POA 和平面 MOC 所成二面角的正弦值的大小为6 .（12分） 420．（本小题满分12 分）【解析】（1） 点 A 的纵坐标为2 ，∴点 A 的横坐标为x = 1 ， 2 4 p点 A 到 y 轴的距离等于| AF | ，∴ 1 34 p = | AF |，（2 分） 3又+ p ，∴ 1 2 4 p = 1 12 p p ，∴ 1 =p ， 6 6 p 6p > 0 ，∴ p = 1，∴此时抛物线的标准方程为 y 2= 2x .（4 分）p⎧x = my + p（2）设直线l 的方程为 x = my + (m ≠ 0) ，由⎪2 ⎪⎩ y 2 = 2 px2 得 y 2 - 2mpy - p 2 = 0 ，设 A (x 1 , y 1 )( y 1 > 0), B (x 2 , y 2 ) ，⎧ y 1 + y 2 = 2mpp 25理科数学 第 8 页（共 11 页）由根与系数的关系得⎨y ⋅ y = - p 2 ，∴ x 1 ⋅ x 2 = ，（6 分） 4 ⎩ 1 2y y y x + y x y (my + p) + y(my + p)∴ k + k = 1 + 2 = 1 2 2 1 = 1 2 2 2 1 2 x 1 x 2 x 1 ⋅ x 2x 1 ⋅ x 21 2理科数学 第 9 页（共 11 页）23 (x +1- 3)(x +1+ 3)3 3 3 3 '2my y + p( y + y ) = - 2mp 2 + mp 2 = -=1 22 1 2x 1 ⋅ x 24m p 2 ，4y y y x - y xy (my + p ) - y (my + p ) p ( y - y ) k 1 - k 2 = 1 - 2= 1 2 2 1 = 1 2 2 2 1 2 = 2 1 2 ，x 1 x 2 x 1 ⋅ x 2x 1 ⋅ x 2 x 1 ⋅ x 2y 1 > 0, y 2 < 0 ，∴ y 1 - y 2 > 0 ，p 4m 2p 2+ 4 p 2= p 2m 2 + 1 ∴k 1 - k 2 = 2x 1 ⋅ x 2= 2x 1 ⋅ x 2p 2= 4 4，（10 分） k =1 m，且k ≥ ，∴ k 1 + k 2 = -4m == = 1k 1 - k 2 ∴ k 1 + k 2 < 0 ，即 k 1 + k2 的取值范围是[.（12 分）3 k 1 - k 2 k 1 - k 2 321．（本小题满分12 分）x 2 + 2ax + 22x + 2a - x 2 - 2ax - 2-x 2 + (2 - 2a )x + 2a - 2【解析】（1） f (x ) = ，∴ f '(x ) ==，2e xx = -1为 f (x ) 的极值点，∴ f '(-1) = 0 ，∴-( 2e x-1)2 + (2 - 2a )( 2e x-1) + 2a - 2 = 0 ，解得a = 2 ，（2 分）-x 2 - 2x + 2∴ f (x ) == - ，2ex2e x由 f '(x ) > 0 得 -1- < x < -1+ ，此时函数 f (x ) 单调递增；由 f '(x ) < 0 得 x < -1- 或x > -1+ ，此时函数 f (x ) 单调递减，（4 分）∴函数 f (x ) 的单调增区间是(-1- 3,-1+ 3) ，单调减区间是(-∞，-1- 3),(-1+ 3，+ ∞) （. 5 分）（2）由（1）得 f (x ) =x 2 + 4x + 2，m 2 +1 3 3 32ex理科数学第10 页（共11 页）理科数学 第 11 页（共 11 页）3⎩x f (x ) ≤ g (x )，∴ x 2 + 4x + 2 ≤ kx + k ， ≥ - 2 ， 2e x∴ x 2 + 4x + 2 ≤ 2k e x (x +1) ，∴ 2k e x (x +1) - x 2 - 4x - 2 ≥ 0 ，（6 分）令 h (x ) = 2k e x (x +1) - x 2 - 4x - 2 ， x ≥ -2 ，则h '(x ) = 2k e x (x + 2) - 2x - 4 = 2(x + 2)(k e x -1) ， x ≥ -2 ，∴ x + 2 ≥ 0 .①当 k ≤ 0 时， h '(x ) ≤ 0 ，函数 h (x ) 在区间[-2,+∞) 上是减函数，∴h (x ) ≤ h (-2) = 2 - 2k e -2 > 0 ，h (0) = 2k - 2 < 0 ，∴不等式2k e x (x +1) - x 2 - 4x - 2 ≥ 0 在区间[-2,+∞) 上不能恒成立；（8 分）②当k > 0 时，由k e x -1 = 0 得 x = - ln k ，（i ）若- ln k ≤ -2 ，即 k ≥ e 2 ，则 k e x -1 ≥ 0 ，∴ h '(x ) ≥ 0 ，∴函数h (x ) 在区间[-2,+∞) 上是增函数，∴h (x ) ≥ h (-2) = 2 - 2k e -2，∴ 2 - 2k e -2 ≥ 0 ，∴k ≤ e 2 ，∴k = e 2 ；（10 分）（ii ）若 - ln k > -2 ，即 0 < k < e 2 ，则当- 2 ≤ x < -ln k 时， h '(x ) ≤ 0 ，函数 h (x ) 单调递减，当x ≥ - l n k 时，则 h '(x ) ≥ 0 ， 函数 h (x ) 单调递增， ∴h ( x ) ≥ h (- l n k∴ 0 ≤ ln k ≤ 2 ，即1 ≤ k ≤ e 2 ，又0 < k < e 2 ，∴1 ≤ k < e 2 .由①②得， k 的取值范围是[1, e 2] .（12 分）)= - ( l k n 2 )+ 2 k l n ≥， 22．（本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】（1） 切线l 的极坐标方程为 ρ = 3 ，∴ 2 3ρ cos θ - 2ρ sin θ = 3 ，则切2 3 cos θ - 2sin θ线l 的直角坐标方程为2 3x - 2y - 3 = 0 ，（2 分）∵曲线C 的参数方程为 ⎧⎪x = 2t （ t 为参数），∴曲线C 的普通方程为 x 2 = 2 y ，即 y = 1 x 2 ，则 1y ' = x ，又切线l 的斜率为 ⎨⎪ y = t 2 1 2 ，∴ x =，此时 y = 3 ，0 0 23故切点 P 的直角坐标为( 3, ) .（5 分 ） 2 3理科数学 第 10 页（共 11 页） 3 1⎧x = π⎪ 3 + 1 t 2 （2） 切线l 的倾斜角为 3 ，∴切线l 的参数方程为⎨ （ t 为参数），3 3⎪ y = + t⎩⎪ 2 2曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ - 6ρ sin θ +16 = 0 ， ∴曲线 C 2 的直角坐标方程为x 2 + y 2 - 4 3x - 6y +16 = 0 ，（7 分）⎧ x = ⎪ 将⎨ 3 + 1 t 2 代入 x 2 + y 2 - 4 3x - 6y +16 = 0 ，得4t 2 -10 3t +1 = 0 ， ⎪ y = 3 + 3 t ⎩⎪ 2 2设交点 A , B 对应的参数分别是t 1 , t 2 ，⎧ 5 3 ⎪t 1 + t 2 = 21 1 t + t 则⎨ ，∴ + = 12 = 2 = 10 ， ⎪t ⋅ t = 1 t 1 t 2 12 1 ⎪⎩ 1 2 4 故 + 1 = 10 4 .（10 分） | PA | | PB |23．（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲【解析】（1）依题意， | x - 3 | + | 3x +1|≤ 7 ，若 x <- 1 ，原式化为3 - x - 3x -1 ≤ 7 ，解得 x ≥- 5 ，故- 5 ≤ x < - 1； 3 4 4 3 若- 1 ≤ x ≤ 3 ，原式化为3 - x + 3x +1 ≤ 7 ，解得 x ≤ 3 ，故- 1 ≤ x ≤ 3 ； 3 2 3 2 若 x > 3，原式化为 x - 3 + 3x +1 ≤ 7 ，解得 x ≤ 9 ，无解；4 综上所述，不等式 f (x ) ≤ 7 的解集为{x | -5 ≤ x ≤ 3}.（5 分）4 2（2）由题意知，不等式| x - 3 | + | mx +1|≤ 4 - x 在[1, 3] 上恒成立， 即3 - x + | mx +1|≤ 4 - x ，则| mx +1|≤ 1，故-1 ≤ mx +1 ≤1，（7 分）即-2 ≤ mx ≤ 0 在[1, 3] 上恒成立，得- 2≤ m ≤ 0 ，5 3 33理科数学第10 页（共11 页）故实数 m 的取值范围为[ 2, 0].（10 分）3理科数学第11 页（共11 页）。