高等数学2复习资料

第二章 导数与微分 第一节 导数概念一、引例：导数的概念起源于物理学中的速度问题以及几何学中的切线问题.1.变速直线运动的速度：设描述质点运动位置的函数为)(t f s =，则0t 到t 的平均速度为00)()(t t t f t f v --=，在0t 时刻的瞬时速度为00)()(lim 0t t t f t f v t t --=→.2.曲线的切线的斜率:曲线)(x f y =上过点),(00y x P 和点),(y x Q 的割线当0x x →的极限位置称为曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线，其斜率为00)()(limx x x f x f k x x --=→.二、导数的定义1.导数：设函数)(x f y =在0x 的的某邻域内有定义 ，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆，因变量y 有对应的增量)()(00x f x x f y -+=∆∆，若极限xx f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim0000-+=→→存在，则称函数)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0x 处的导数，记作)(0x f 'x x f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim0000-+==→→，或0x x y ='；0x x x d y d =；0)(x x x d x f d =. 若x y x ∆∆∆0lim→不存在，则称)(x f 在点0x 不可导，但若∞=→xy x ∆∆∆0lim ，也称)(x f 在点0x 的导数为无穷大. 注： 1°.xy∆∆是因变量y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而0x x y ='则是因变量y 在点0x 处的变化率，是平均变化率的极限，它反映的是因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.在引例1中，瞬时速度为000)()(lim)('0t t t f t f t f v t t --==→；在引例2中，切线斜率为000)()(lim)('0t x x f x f x f k x x --==→；2°. 导数的常见形式：000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→ (取x x x ∆+=0即可证得).hx f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→ (取x h ∆=即可证得).2.单侧导数：（由导数的定义式h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→知，极限hx f h x f h )()(lim 000-+→存在等价于左极限h x f h x f h )()(lim 000-+-→和右极限h x f h x f h )()(lim 000-++→都存在且相等,由此得到左导数和右导数的概念：）(1).左导数：hx f h x f x f h )()(lim )('0000-+=-→-；(2).右导数：hx f h x f x f h )()(lim )('0000-+=+→+；(3).单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数.(4).定理：)(x f 在点0x 可导)(')('00x f x f --=⇔，即)(')(')('000x f x f x f --==.3.导函数：若函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导,则称)(x f 在),(b a 内可导,),(b a x ∈∀，称)('x f 为)(x f 的导函数，记作y '、x d y d 或xd x f d )(，即 x x f x x f x f x ∆∆∆)()(lim)('0-+=→或hx f h x f x f h )()(lim )('0-+=→.若)('a f +及)('b f -都存在，则称)(x f 在闭区间],[b a 上可导. 注：1°.0)()()(000=≠'='=xd x f d x f x f x x . 2°.在不至于引起混淆的情况下，也称导函数为导数. 例1.求函数C x f =)( (C 为常数) 的导数. 解：0lim )()(lim)('00=-=-+=→→hCC h x f h x f x f h h ，即0)(='C . 例2. 求函数)()(+∈=N n x x f n 的导数.解： h x h x h x f h x f x f nn h h -+=-+=→→)(lim )()(lim)('001212110lim ---→=+++=n nn n n n n n h nx hh C h x C h x C . 注：对一般幂函数μx y =(μ为常数)， 有1)(-='μμμx x .(以后证明) 例如：()x x x x x 21212121121'21'===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--；()2211'1'1)1(1x x x x x -=-=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛----.例3. 求函数x x f sin )(=的导数. 解： 2sin 22cos 21lim sin )sin(lim )()(lim)('000hh x h h x h x h x f h x f x f h h h +⋅=-+=-+=→→→x hh h x h h h x h h h cos 22sinlim 22cos lim 22sin 22cos lim 000=+=⋅+=→→→， 即 x x cos )'(sin =，类似可证x x sin )'(cos -=. 例4. 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数.解：a a ha a h a a h a a h x f h x f x f x h h xhx h x h x h h ln 1lim 1lim lim )()(lim)('0000⋅=-⋅=-⋅=-=-+=→→+→→， 即a a a x x ln )'(⋅=.特殊地，有x x x e e e e =⋅=ln )'(.例5. 求函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 的导数. 解：xhx h h x h x h x f h x f x f a h a a h h +⋅=-+=-+=→→→log 1lim log )(log lim )()(lim)('000， hxa h a h a h x h x x h h x x x h h ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=→→→1log lim 11log lim 11log 1lim 000 a x a e x e x x h x a hxh a ln 1ln ln 1log 11lim log 10===⎪⎭⎫⎝⎛+=→,即a x x a ln 1)'(log =. 特殊地，有xx 1)'(ln =. 例6. 求函数||)(x x f =的导数.解：由于⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,0,00,||)(x x x x x x x f ，所以当),0(+∞∈x 时， 1lim )()(lim)('00=-+=-+=→→h xh x h x f h x f x f h h ,当)0,(-∞∈x 时，1)()(lim )()(lim)('00-=--+-=-+=→→h x h x h x f h x f x f h h , 当0=x 时，10)0(lim )0()0(lim )0('00-=-+-=-+=→→--hh h f h f f h h , 100lim )0()0(lim )0('00=-+=-+=→→++hh h f h f f h h ,)0(')0('+-≠f f ，故||)(x x f =在点0=x 处不可导，于是⎩⎨⎧<->==0,10,1|)'(|)('x x x x f .三、导数的几何意义及应用1.几何意义：函数)(x f 在点0x 的导数)('0x f 是曲线)(x f y = 在其上一点),(00y x 处的切线的斜率，即αtan )('0=x f .注：若函数)(x f 在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点),(00y x 处存在切线.反之未必，即曲线)(x f y =在点),(00y x 处存在切线，但函数)(x f 在点0x 却未必可导， 例如：函数3)(x x f =在点0=x 处不可导，即∞==--→→32001lim 0)0()(lim x x f x f x x ，但曲线3x y =在点)0,0(处存在水平切线.2.曲线的切线方程：曲线)(x f y =在点),(00y x M 处的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-.3.曲线的法线方程：曲线)(x f y =在点),(00y x M 处的法线方程为：)0)(()()(10000≠'-'-=-x f x x x f y y . 例7.求曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线方程和法线方程. 解：由于2'11'x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛=，则所求切线的斜率为4'21-===x y k ，于是切线方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2142x y ，即044=-+y x ，法线方程为：⎪⎭⎫⎝⎛-=-21412x y ，即01582=+-y x .四、函数的可导性与连续性的关系命题：若函数)(x f y =在某点x 可导，则它在该点一定连续. 证明：若函数)(x f y =在点x 可导，则有xx f x x f x y x f x x ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim)('00-+==→→，从而有)()(')()(x x f xx f x x f ∆α∆∆+=-+，其中0)(lim 0=→x x ∆α∆，整理得)()(')()(x x x f x f x x f ∆α∆∆+⋅=-+，于是0)]()('[lim )]()([lim 0=+⋅=-+→→x x x f x f x x f x x ∆α∆∆∆∆，即)()(lim 0x f x x f x =+→∆∆，这说明)(x f y =在点x 连续.注：反之未必正确，即函数)(x f y =在某点x 连续可导，但它在该点未必可导. 例如：函数3)(x x f y ==在),(∞+-∞内连续，但在0=x 处不可导，因为+∞==-=-+→→→303001lim 0lim )0()0(lim h hh h f h f h h h ，即)0('f 不存在. 又如函数||)(2x x x f y ===在),(∞+-∞内连续，但在0=x 处不可导，因为1)0(')0('1=≠=-+-f f ，即)0('f 不存在.第二节 函数的求导法则一、函数四则运算的求导法则定理1. 函数)(x u u =及)(x v v =在点x 都可导，则它们的和、差、积、商(除分母不为零的点外)都在点x 都可导，且 (1). )()(])()([x v x u x v x u '±'='±; (2). )()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=';(3). )()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)0)((≠x v . 证明：(1).设)()()(x v x u x f ±=，则h x f h x f x f h )()(lim)(0-+='→hx v x u h x v h x u h )]()([)]()([lim 0±-+±+=→hx u h x u h )()(lim 0-+=→h x v h x v h )()(lim 0-+±→)()(x v x u '±'=， 故结论成立. 可推广到任意有限项的情形，如：w v u w v u '-'+'='-+)(. (2). 设)()()(x v x u x f =，则h x f h x f x f h )()(lim)(0-+='→hx v x u h x v h x u h )()()()(lim 0-++=→h x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h )()()()()()()()(lim 0-+++-++=→ )()()()()()(lim 0x u hx v h x v h x v h x u h x u h -+++-+=→ )()()()(x v x u x v x u '+'=，故结论成立. (3). 设)()()(x v x u x f =，则 h x f h x f x f h )()(lim )(0-+='→h x v x u h x v h x u h )()()()(lim 0-++=→hx v h x v h x v x u x v h x u •h )()()()()()(lim 0++-+=→ hx v h x v h x v x u x v x u x v x u x v h x u •h )()()()()()()()()()(lim 0++-+-+=→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+⋅+=→)()()()()()()()(1lim0x u h x v h x v x v h x u h x u x v h x v h)()()()()(2x v x v x u x v x u '-'=，故结论成立.推论：设)(),(),(x w w x v v x u u ===均可导，则(1). w v u w v u '-'+'='-+)(；(2). '''')()'(]')[()(uvw w uv vw u w uv w uv w uv uvw ++=+=='； (3). 当C x v =)(时，u C Cu '=')(. 例1. 设735223-+-=x x x y ，求'y .解：3106)'7()'3()'5()'2()'7352('22323+-=-+-=-+-=x x x x x x x x y . 例2. 设2sincos 4)(3π-+=x x x f ，求)('x f 及⎪⎭⎫⎝⎛2'πf . 解：x x x f sin 43)('2-=，4432'2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf .例3. 设)cos (sin x x e y x +=，求'y .解：)'cos (sin )cos (sin )'('x x e x x e y x x +++=x e x x e x x e x x x cos 2)sin (cos )cos (sin =-++=. 例4. 设x y tan =，求'y .解：x x x xx x x x x x x x y 222222'sec cos 1cos sin cos cos )'(cos sin cos )'(sin cos sin )'(tan '==+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==. 用类似方法可得：x x 2csc )'(cot -=. 例5. 设x y sec =，求'y .解：x x x xx x x x x y tan sec cos sin cos )'(cos 1cos )'1(cos 1)'(sec '22'==⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==. 用类似方法可得：x x x cot csc )'(csc -=. 二、反函数的求导法则定理2. 若函数)(y f x =在区间y I 内单调、可导且0)('≠y f ，则它的反函数)(1x f y -=在区间}),(|{y x I y y f x x I ∈==内也可导，且)('1)]'([1y f x f =-或dydx x d y d 1=，即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.证明：x I x ∈∀，给x 以增量x ∆(x I x x x ∈+≠∆∆,0),由反函数的单调性知0)()(11≠-+=--x f x x f y ∆∆，于是有yxx y ∆∆∆∆1=. 且由反函数的连续性知,当0→x ∆时必有0→y ∆，因此必有)('11lim lim)]'([001y f yx x y x f x x ===→→-∆∆∆∆∆∆.例6.求函数x y arcsin =在区间)1,1(-的导数.解：由于x y arcsin =的直接函数y x sin =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内单调且可导，且0cos )'(sin >=y y ，则x y a r c s i n =在)1,1(-内可导，且2211sin 11cos 1)'(sin 1)'(arcsin xy y y x -=-===. 用类似的方法可得2211cos 11sin 1)'(cos 1)'(arccos xy y y x --=--=-==.或2'11arcsin 2)'(arccos x x x --=⎪⎭⎫⎝⎛-=π.例7. 求函数x y arctan =在区间),(∞+-∞的导数.解：由于x y arctan =的直接函数y x tan =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内单调且可导，且y y 2sec )'(tan =，则x y arcsin =在),(∞+-∞内可导，且22211tan 11sec 1)'(tan 1)'(arctan xy y y x +=+===. 用类似的方法可得22211cot 11csc 1)'(cot 1)'cot (x y y y x arc +-=+-=-==. 或2'11arctan 2)'cot (x x x arc +-=⎪⎭⎫⎝⎛-=π. 例8. 求函数x y a log =在区间),0(∞+的导数.解：由于x y a l o g =)1,0(≠>a a 的直接函数ya x =在()∞+∞-,内单调且可导，且a a a y y ln )'(=，则x y a log =在),0(∞+内可导，且ax a a a x y y a ln 1ln 1)'(1)'(log ===. 三、复合函数的求导法则定理3.若)(x g u =在点x 可导，)(u f y =在点)(x g u =可导，则复合函数)]([x g f y =在点x 可导，且)()(x g u f x d y d '⋅'=或xd ud u d y d x d y d ⋅=.(分步完成) 证明:由已知条件可得：)(lim0u f u y u '=→∆∆∆，)('lim 0x g xux =→∆∆∆，从而有u u u f y ∆α∆∆+'=)(， (1)x x x g u ∆β∆∆+=)(', (2)其中0lim 0=→α∆u ，0lim 0=→β∆x .由(2)知，0→x ∆时，0→u ∆，从而也有0lim 0=→α∆x ；当0≠x ∆时，由(1)得，xu x u u f x y ∆∆α∆∆∆∆+'=)(，于是)(')(lim lim lim )()(lim lim 00000x g u f x u x u u f x u x u u f x y x d y d x x x x x '=+'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'==→→→→→∆∆α∆∆∆∆α∆∆∆∆∆∆∆∆∆. 注：此法则可推广到多个中间变量的情形. (搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.) 例如, )(,)(,)(x v v u u f y ψϕ===，)()()(x v u f xd vd v d u d u d y d x d y d ψϕ'⋅'⋅'=⋅⋅=. 例9. 求函数3x e y =的导数. 解：令u e y =，3x u =，则32233x u e x x e xd ud u d y d x d y d =⋅=⋅=. 或直接求：()33323'3)'(x x x e x e x e xd y d ===.例10. 求函数212sinxxy +=的导数. 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222222'2'212cos )1()2()1(212cos 1212sin x x x x x x x x x x x x d y d . 例11. 求函数||ln x y =的导数.解：令u y ln =，⎩⎨⎧<->==0,0,||x x x x x u ，则当0>x 时，xu x d u d u d y d x d y d 111=⋅=⋅=；当0<x 时，x u x d u d u d y d x d y d 1)1(1=-⋅=⋅=，综上得xx y 1|)'|(ln '== )0(≠x . 例12. 求函数3221x y -=的导数.解：322232232)21(34)'21()21(31)'21(x x x x x x d y d --=--=-=-.例13. 求函数)cos(ln x e y =的导数.解：x x x xx xx x x x x e e e e e e e e e e e x d y d tan )cos(sin )')(sin ()cos(1))'(cos()cos(1))'cos((ln -=-=-===. 例14. 求函数xey 1sin=的导数.解：x e x x x e x e e x d y d x x x x 1cos 111cos 1sin 1sin 2'1sin '1sin '1sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.例15. 证明幂函数的导数公式1)'(-=μμμx x .证明：由于()'ln x e x μμ=，所以()1ln 'ln 1)'ln ()'(-=⋅⋅===μμμμμμμμx xx x e e x x x . 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数(1).0)(='C ； (2).1)(-='μμμx x ； (3).x x cos )(sin ='； (4).x x sin )(cos -=' (5).x x 2sec )(tan ='； (6).x x 2csc )(cot -='； (7).x x x tan sec )(sec ='； (8).x x x cot csc )(csc -='； (9).a a a x x ln )(='； (10).x x e )(e ='； (11).a x x a ln 1)(log ='； (12).=')||(ln x x1； (13).211)(arcsin xx -='； (14).211)(arccos xx --='；(15).211)(arctan x x +='； (16).211)cot (x x arc +-='.2.函数有限次四则运算的求导法则(1).)(])([x u C x Cu '=' ( C 为常数); (2).)()(])()([x v x u x v x u '±'='±;(3).)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='; (4).)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)0)((≠x v . 3.复合函数求导法则:)(,)(x g u u f y ==,)(')('x g u f xd ud u d y d x d y d ⋅=⋅=. 4.初等函数在定义区间内可导,但其导数未必是初等函数，例如：函数x x x f sin )(3=是初等函数，但其导数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=→0sin lim cos 3sin )('30332x x x x x xx x f x 却不再是初等函数.例16. 求函数x nx y n sin sin ⋅=的导数'y .解：)'(sin sin sin )'(sin 'x nx x nx y n n ⋅+⋅=x x n nx x nx n n n cos sin sin sin cos 1-⋅+⋅=)cos sin sin (cos sin 1x nx x nx x n n ⋅+⋅=-x n x n n )1sin(sin 1+⋅=-.思考与练习： 设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，求)(a f '.错误解法：由于)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+='，故)()(a a f ϕ='.(注意到)(x ϕ在a x =处未必可导) 正确解法：a x a f x f a f a x --='→)()(lim )(ax x a x a x --=→)()(lim ϕ)()(lim a x a x ϕϕ==→. 第三节 高阶导数一、高阶导数的概念1. 引例：变速直线运动的位置函数)(t s s =，速度t d s d v =，即s v '=，加速度t d v d a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t d s d t d d )(''=s . 2. 二阶导数：若函数)(x f y =的导数)(x f y '='可导,则称)(x f '的导数为)(x f 的二阶导数,记作y ''或22xd y d ，即)(''=''y y 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,依次类推 ,1-n 阶导数的导数称为n 阶导数，分别记作y '''，)4(y ，)(,n y ，或33x d y d ，44x d y d ，n n x d y d , . 3. 高阶导数：二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数.例1. 求n 次多项式函数n n x a x a x a a y ++++= 2210的各阶导数.解：1232132'-++++=n n x na x a x a a y ,232)1(2312''--++⋅+⋅=n n x a n n x a a y ,依次类推,可得n n a n y !)(=,而0)2()1(===++ n n y y .例2. 求正弦函数x y sin =的n 阶导数)(n y . 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='2sin cos πx x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 22sin 2cos ''ππππx x x y ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=23sin 22cos '''ππx x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos )4(ππx x y ， 一般地，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin )(sin )(πn x x n ，类似可证: ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2cos )(cos )(πn x x n . 例3. 求函数ax e y =的n 阶导数)(n y .解：ax ae y ='，ax e a y 2''=，ax e a y 3'''=， 以此类推得ax n n e a y =)(.特别的，x n x e )(e )(=.例4. 求函数)1(ln x y +=的n 阶导数)(n y . 解：x y +='11，2)1(1x y +-=''，32)1(21)1(x y +⋅-='''， 以此类推得n n n x n y )1()!1()1(1)(+--=-. 二、高阶导数的运算法则:设函数)(x u u =及)(x v v =都有n 阶导数 , 则1.)()()()(n n n v u v u ±=±;2.)()(n u C )(n u C =, (C 为常数).3.莱布尼茨公式：)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n n v u v u k k n n n v u n n v u n v u v u +++--+++''-+'+=--- )()()()2(2)1(1)(0n n n k k n k n n n n n n n v u C v u C v u C v u C v u C ++++''+'+=---)()(0k k n n k k n v u C -=∑=，规律：v u v u v u '+'=')(；v u v u v u v u v u v u ''+''+''=''+'=''2)()(；v u v u v u v u v u '''+'''+'''+'''='''33)(.例5. 对函数x e x y 22=，求)20(y .解：设x u 2e =，2x v =，则)20,,2,1(e 22)( ==k u x k k ，x v 2='，2=''v ，)20,,3(0)( ==k v k ，代入莱布尼茨公式 , 得2e 2!219202e 220e 2)(2182192220)20(22)20(⋅⋅+⋅⋅+⋅==x x x x x x e x y )9520(e 22220++=x x x . 第四节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数以及相关变化率一、隐函数的导数1. 隐函数：设A 、B 是两个非空数集，若A x ∈∀，由二元方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈，则称此对应关系f (或)(x f y =)是方程0),(=y x F 确定的隐函数.注：1° .所谓隐函数就是对应关系不明显，隐含在二元方程中的函数.2°.由二元方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x f y =必是方程0),(=y x F 的解,即0)](,[=x f x F .3°.在方程中找出隐含的对应关系叫做隐函数的显化，但并不是每一个隐函数都可以显化.例如：03275=--+x x y y .2.隐函数求导法则:(1). 隐函数显化后求导；(2). 直接求导：对确定隐函数)(x f y =的二元方程0),(=y x F 两端应用复合函数求导法则对x 求导，即对方程0)](,[=x f x F 两端对x 求导.例1.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数)(x f y =的导数xd y d . 解：在方程两端对x 求导，得)0()(x d de xy e x d d y =-+，即0=++xd y d x y x d y de y ，整理得 )0(≠++-=y y e x ex y x d y d . 注：由于方程0=-+e xy e y 能确定隐函数)(x f y =，故有0)()(=-+e x xf e x f例2.求由方程03275=--+x x y y 所确定的隐函数)(x f y =的导数0=x x d y d . 解：在方程两端对x 求导，得 02112564=--+x x d y d x d y d y ，整理得2521146++=y x x d y d , 由于0=x 时0=y ，故210==x x d y d . 例3.求椭圆191622=+y x 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛323,2处的切线方程. 解：所求切线的斜率为2'==x y k ，在椭圆方程两端对x 求导，有0928='⋅+y y x ，整理得y x y 169'-=,将⎪⎭⎫ ⎝⎛323,2代入得43'2-==x y .于是 切线方程为：)2(43323--=-x y ，或03843=-+y x . 例4.求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数)(x f y =的二阶导数22xd y d .解：在方程两端对x 求导，得0cos 211=+-x d y d y x d y d ，整理得yx d y d cos 22-=,在上式两端再对x 求导得，3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y x d yd y x d y d --=-⋅-=. 3.幂指函数)()(x v x u y =的求导法则——对数求导法：(1). 取对数：)(ln )(ln x u x v y =)(ln )(x u x v e y =⇔(2). 对x 求导：)()()()(ln )(1x u x v x u x u x v y y '+'='， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=')()()()(ln )()()(x u x v x u x u x v x u y x v ，='y )()(ln )()(x v x u x u x v '⋅+)()()(1)(x u x u x v x v '⋅- ()')(ln )(x u x v e =. （按指数函数求导公式 + 按幂函数求导公式）注：幂指函数不是一元复合函数,故不能用复合函数求导法则求其导数，可用下册书中的二元复合函数求导法则求之.例5.求函数)0(sin >=x x y x 的导数'y .解：在方程x x y sin =两端取对数得x x y ln sin ln ⋅=，两端对x 求导得x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅='，于是x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅='，即⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅='x x x x x y x 1sin ln cos sin 另解：x x x e x y ln sin sin ==，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅==x x x x x e x x e y x x x x x sin ln cos )'ln (sin 'sin ln sin 'ln sin . 例6.求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数'y . 解：在方程)4)(3()2)(1(----=x x x x y 两边取对数得[]4ln 3ln 2ln 1ln 21ln -----+-=x x x x y ， 两端对x 求导得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-='4131211121x x x x y y ，即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-⋅----='41312111)4)(3()2)(1(21x x x x x x x x y .二、由参数方程确定的函数的导数1.参数方程确定的函数：若参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ可确定一个 y 与 x 之间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数.2.参数方程确定的函数的求导法则:(1). 消去参数找出函数关系后求导；(2). 直接求导公式：若函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=在区间],[βα内可导，函数)(t x ϕ=具有连续的单调的反函数)(1x t -=ϕ，且0)('≠t ϕ，则反函数)(1x t -=ϕ与函数)(t y ψ=构成复合函数)]([1t y -=ϕψ，且)()(1t t t d x d t d y d x d t d t d y d x d y d ϕψ''=⋅=⋅=, 即td x d td y d x d y d =. 注：若函数)(t x ϕ=、)(t y ψ=在区间],[βα内二阶可导，且0)('≠t ϕ，则复合函数)]([1t y -=ϕψ的二阶导数可由新的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧''==)()()(t t x d y d t x ϕψϕ求得：td x d x d y d t d d x d t d x d y d t d d x d y d x d d x d y d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22 )()()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=， 例7.已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==ta y t a x sin cos ，求椭圆在4π=t 相应的点处的切线方程. 解：参数4π=t 对应椭圆上相应的点0M 的坐标为224sin 0b b x ==π，椭圆在点0M 处的切线斜率为a b t a t b t a t b x d y d t t t -=-=====444sin cos )'cos ()'sin (πππ，于是 切线方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2222a x a b b y ，整理得02=-+ab ay bx . 例9.计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定的函数)(x y y =的二阶导数. 解：2cot )2/(sin 2)2/cos()2/sin(2cos 1sin )cos 1(sin 2t t t t t t t a t a t d x d t d y d x d y d ==-=-==),2(Z n n t ∈≠π.2222)cos 1(1)cos 1(1)2/(sin 212cot t a t a t t d x d t t d d x d y d --=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 第五节 函数的微分一、微分的概念1.引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,边长由0x 变到x x ∆+0，问此薄片面积改变了多少?解：设薄片边长为x , 面积为A , 则2x A =，当x 在0x 取得增量x ∆时，面积的增量为2020)(x x x A -+=∆∆=x x ∆02+2)(x •∆ . (关于x ∆的线性函数+0→x ∆时的高阶无穷小.）故x x A ∆∆02≈，即边长改变很微小时，即||x ∆很小时，面积的增量A ∆可近似地用第一部分x x ∆02代替，而且||x ∆越小，近似程度越好.还有其它许多具体问题中出现的函数)(x f y =，需要研究函数的增量y ∆即)()(00x f x x f -+∆与自变量的增量x ∆之间的关系，这就涉及到函数的微分.2.函数的微分的定义：设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，若)(x f 在点0x 的增量)()(00x f x x f y -+=∆∆可表示为)(x o x A y ∆∆∆+=，其中A 为不依赖于x ∆的常数，)(x o ∆是当0→x ∆时比x ∆的高阶无穷小量,则称)(x f 在点0x 处可微，并称x A ∆为)(x f 在点0x 的微分，记作0x x y d =或x A x f d ∆=)(0.若函数)(x f 在区间I 的每一点处可微，则称)(x f 在区间I 可微.现在要问，函数)(x f 满足什么条件才能在点0x 可微？如果可微分，那么常数A 等于什么？下面的定理回答这个问题.2.函数可微的充要条件：定理：函数)(x f y =在点0x 可微的充要条件是)(x f 在点0x 可导，并且x x f y d ∆)(0'=. 证明：必要性：由)(x f y =在点0x 可微，得)()()(00x o x A x f x x f y ∆∆∆∆+=-+=，于是xx o A x x f x x f ∆∆∆∆)()()(00+=-+，令0→x ∆，得A x f =')(0，即)(x f 在点0x 可导，并且)(0x f A '=.充分性：由函数)(x f 在点0x 可导，得)(lim 00x f x y x '=→∆∆∆，从而有)()(0x x f xy ∆α∆∆+'=，故 )()()()(00x o x x f x x x x f y ∆∆∆∆α∆∆+'=+'=，即)(x o x A y ∆∆∆+=，其中)(0x f A '=，因此)(x f 在点0x 可微.注：1°.由微分的定义可知，自变量x 本身的微分是x x x x d ∆∆==)'(，即自变量x 的微分等于自变量x 的增量，于是)(x f y =在点0x 的微分又可以写成x d x f y d )(0'=.进而有xd y d •x f =')(0，即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商，因此导数又称为微商. 2°. 对一元函数)(x f y =，函数可导性与可微性这两个概念是等价的，求出函数的导数之后，只要再乘以x d ，就得到了函数的微分y d .3°.微分既与点x 有关，也与x d 有关，而x 与x d 是相互独立的两个变量.3.函数微分的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数)('0x f 就是该曲线在点))(,(00x f x M 处的切线的斜率αtan ，因此QP MQ x x f y d =⋅==α∆tan )('0，这就是说，函数)(x f y =在点0x 处的微分在几何上表示曲线)(x f y =在对应点))(,(00x f x M 处切线的纵坐标的增量.当||x ∆很小时，||dy y -∆比||x ∆小得多.因此在点P 的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段.即在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中是经常采用的.二、 微分运算法则(1).函数和、差、积、商的微分法则：设)(x u u =、)(x v v =均可微,则①．dv du v u d ±=±)(； ②. Cdu Cu d =)(；③. udv vdu uv d ±=)(; ④. 2v udv vdu v u d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛)0(≠v .(2).复合函数的微分法则：若)(,)(x g u u f y ==分别可微，则复合函数)]([x g f y =的微分为u d u f x d x u f x d y y d x )()()('=''='=ϕ.并称此性质为函数一阶微分的形式不变性.注：1°. 复合函数的微分既可以利用链式法则求出复合函数的导数再乘以x d 得到，也可以利用函数一阶微分的形式不变性得到.2°. 函数一阶微分的形式不变性可以求复合函数的导数.例1. 求函数)12sin(+=x y 的微分y d .解：x d x x d x y d )12cos(2)12()12cos(+=++=.例2. 求函数)e 1(ln 2x y +=的微分y d . 解：x d x d y d x x x x 2222e 1e 2)e 1(e 11+=++=.例3. 求函数x y x cos e 31-=的微分y d 以及导数'y .解：)(cos e )(e cos )cos (e 313131x d d x x d y d x x x ⋅+⋅==---=-⋅-=--x d x x d x x x 3131e sin e cos 3•x x x )sin cos 3(e 31+--x d ，)sin cos 3(e '31x x xd y d y x +-==-. 例4. 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立：(1). x d x C x d =⎪⎭⎫ ⎝⎛+221 (C 为任意常数)； (2). t d t C t d ωωωcos sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 注：1°.上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.2°.数学中的反问题往往出现多值性，例如：)4(22=，4)2(2=±；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=224πsin ,2224πsin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πk . 三、函数的近似计算公式： 1.近似公式：若函数)(x f 在点0x 可微，则))(()()(000x x x f x f x f -'+≈. 推导：由函数)(x f 在点0x 可微，则有)()()(0x o y d x o x x f y ∆∆∆∆+=+'=，故当||x ∆很小时，有y d y ≈∆，即x x f x f x x f y ∆∆∆)()()(000'≈-+=，整理得x x f x f x x f ∆∆)()()(000'+≈+，令x x x ∆+=0，得))(()()(000x x x f x f x f -'+≈.特别地，当00=x 时,||x 很小时，x f f x f )0()0()('+≈. 注：近似公式的使用原则：1°.•x f )(0与)(0x f '好计算； 2°.x 与0x 靠近.2.常用近似公式：（||x 很小时）(1).x x αα+≈+1)1(; (2).x x ≈sin ; (3).x e x +≈1；(4).x x ≈tan ; (5).x x ≈+)1ln(. 推导：(1).令α)1()(x x f +=，有1)0(=f ，α=)0('f ，当||x 很小时，x x αα+≈+1)1(. 例5.计算 29sin 的近似值.解：设x x f sin )(=，有x x f cos )('=，取6300π== x ，1802929π== x ，则180π-=x ∆， 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+≈=1806cos 6sin 18029sin 29sin ππππ••• 485.0)0175.0(2321≈-⋅+=. 例6. 计算05.1的近似值. 解：025.1)05.0(21105.0105.1=+≈+=.。

引言概述：高等数学是一门重要的学科，对于成考专升本考试来说，高等数学也是必考科目之一。

本文主要围绕成考专升本高等数学（二（二））这一题型展开，旨在帮助考生更好地理解相关知识点，从而提高考试成绩。

正文内容：一、数列与数学归纳法1.数列的概念及表示方法2.等差数列与等比数列的性质和求和公式3.数学归纳法的原理和应用4.数列极限的定义和性质5.数列极限的计算方法和常用极限二、函数与极限1.函数的概念和性质2.指数函数、对数函数和三角函数的性质和图像3.极限的概念和性质4.无穷小量与无穷大量的关系5.函数极限的计算方法和常用极限三、一元函数的导数与微分1.导数的概念和性质2.导数的计算方法：基本导函数法、导数的四则运算、复合函数和反函数的导数3.高阶导数和隐函数求导4.微分的概念和性质5.微分的应用：近似计算、最大值最小值和曲线的凹凸性四、一元函数的积分与定积分应用1.积分的概念和性质2.基本积分法和换元积分法3.分部积分法和有理函数的积分4.定积分的概念和性质5.定积分的应用：几何应用、物理应用和概率应用五、多元函数的偏导数与多元函数积分1.多元函数的概念和性质2.偏导数的概念和计算方法3.全微分的概念和性质4.多元函数的极值及其判定条件5.多元函数的重积分及其应用总结：通过对成考专升本高等数学（二（二））的内容进行全面的梳理和阐述，本文详细介绍了数列与数学归纳法、函数与极限、一元函数的导数与微分、一元函数的积分与定积分应用以及多元函数的偏导数与多元函数积分等五个大点。

每个大点下分别介绍了相应的小点，涵盖了相关知识点的定义、性质、计算方法和应用等方面。

希望通过本文的学习，考生能够对高等数学的相关知识有更深入的理解，从而提高成绩，顺利通过考试。

高等数学第二册第七章空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。

通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。

也为学习多元微积分做准备。

重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。

（一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。

当1e，2e，3e 的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。

在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。

关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。

2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。

书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：AB ，a 等。

②可由向量的坐标来把握向量。

必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设{}z y x a ,,= 的始点的坐标分别为()321,,x x x ，()321,,y y y ，则{}121212,,z z y y x x a ---= ，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：12x x x -=，12y y y -=，12z z z -=。

因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。

当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。

3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。

如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。

第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Ay n n =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

高等数学（二）归纳（归纳不完全，仅供期末复习参考）第一部分：空间解析几何与向量代数||21.6.sin ,.5cos .4,,Pr Pr cos ..3,cos Pr .2}co ,cos ,{cos cos cos ,cos },,{cos ,cos ,cos .1222222222222222AC AB ABC b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b j a a j b b a b a u AB AB j z y x z z y x y z y x xz y x AB zyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x a b u ⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++===⋅=⋅=++=++=++==面积三角形两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：为与则：式：设称为方向余弦。

计算公称为方向角；，，的夹角弦：向量与三个坐标轴向量的方向角与方向余θθθϕϕγβαγβαγβαγβα⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-ptz z nty y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 00000022200000000002;},,{,)1(.9.81)3(0)2(),,(},,,{0)()()()1(.7）参数方程：（为直线的方向向量其中点向式：空间直线方程：面的距离：平面外任意一点到该平截距式方程：一般方程：，其中点法式：平面的方程：9.二次曲面（常见的）（1）旋转曲面 例如：旋转抛物面22y x z +=（2）锥面 例如 圆锥面222y x z +=（3）球面 例如2222a z y x=++zyzx yx yxFF y zF F x z y x z z z y x F FF dx dy x y y y x F dy yv dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z yy x f x y x f dz z dzz udy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂==-===∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　则：所确定的函数）方程（， ， 则：所确定的函数）方程（隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法近似计算： 全微分：分法及其应用第二部分：多元函数微),(0),,(2)(0),(1.4),(),()],(),,([)](),([.3),(),(.2.1性方程组的法则求）　不必记忆公式，用解线数的偏导求法 所确定的两个二元函）方程组：（(0),,,(0),,,(3⎩⎨⎧==v u y x G v u y x F 5.多元函数可微，偏导存在，连续，方向导数存在，偏导连续之间的关系。

第一章 函数、极限和连续第一节 函 数一、函数的概念1. 函数的定义 〔了解〕设在某个变化过程中有两个变量x 和y ，变量y 随变量x 的变化而变化。

当变量x 在一个非空实数集合D 上取某一个数值时，变量y 依照某一对应规则f 总有唯一确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为D)(x )(∈=x f y ，其中x 叫做自变量，y 叫做因变量或函数。

数集D 称为这个函数的定义域，记为D 或)(f D 。

当x 取定值x 0时所对应的y 的数值)(00x yf =或|0x x y =，称为当x x =0时，函数)(x f y =的函数值。

全体函数值的集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数)(x f y =的值域，记为Z 或)(f Z 。

2.分段函数 〔了解〕函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。

形如：⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=D D x x g x x f y 21 )( )(例如：⎩⎨⎧>≤+=1, 1, 1x 32x x x y 就是定义在()∞+∞- , 内的分段函数。

3.隐函数 〔了解〕函数y 与自变量x 的对应规则用一个方程0),(=y x F 表示的函数，称为隐函数。

例如0422=-+y x 就是一个隐函数。

4.反函数 〔了解〕二、函数的简单性质1.函数的单调性 〔了解〕设函数)(x f y =在区间()b , a 内有定义，如果对于()b , a 内的任意两点21x x <，假设恒有)()(21x f x f ≤,则称)(x f 在区间()b , a 内单调增加； 假设恒有)()(21x f x f ≥,则称)(x f 在区间()b , a 内单调减少；假设恒有)()(21x f x f <,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调增加；假设恒有)()(21x f x f >,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调减少。

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