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第二节 插值多项式的构造

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6.2 牛顿插值多项式

6.2 牛顿插值多项式
一阶均差 二阶均差 三阶均差 n阶均差 阶均差
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033

第二节 插值多项式的构造

第二节 插值多项式的构造

π
π
π
π
l1 ( x ) =
− 1296
π4
1296
x( x −
π
4
)( x −
π
3
)( x −
π
2
)
l2 ( x) =
l3 ( x ) = −
π
4
x( x −
π
6
)( x −
π
4
)( x −
π
2
)
x( x − )( x − )( x − ) π 6 3 2 144 π π π l4 ( x ) = 4 x ( x − )( x − )( x − ) π 6 4 3
x − x1 x − x0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
解 :f ( x ) = ln x , x 0 = 1 0 , x1 = 1 1, x = 1 0 .5
10.5 − 11 10.5 − 10 ln(10.5) ≈ P(10.5) = × 2.303 + × 2.398 = 2.350 5 10 − 11 11 − 10
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x ) ξ ∈ [ a , b ] 截 断 误 差 ：R n ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) = ( n + 1)! ω n +1 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x1 ) ⋯ ( x − x n )
(1)n = 1 时线性插值 在两个互异节点x0 , x1处的函数 值y0 , y1 , 构造线性函数 p1 ( x) = a0 + a1 x 求出p1 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) x − x0 x − x1 其中l0 ( x) = ，l1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0

插值多项式

插值多项式

由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：
1

a0
1

a0

x0a1 x1a1


x0nan x1nan

y0 y1

1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1, x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
函数值：
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 x xi ,i 0,1,L , n 的函数值 f (x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y f (x)在n 1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1

0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
24
N次插值多项式4
求n次多项式 lk ( x) ， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
则
ki ki
n

52第二节 拉格朗日插值多项式

52第二节 拉格朗日插值多项式

数学学院 信息与计算科学系
( t ) f ( t ) Ln ( t ) K ( x ) n1 ( t )
由式
n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) K ( x ) n1 ( x )
O
l1 ( x) x1 x
O
x0
x0
x1 x
数学学院 信息与计算科学系
n=2时的二次基函数及图形为 ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l1 ( x ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
可知：x0 , x1, , xn 和x 是(t)在区间[a,b]上的n+2个 互异零点, 因此根据罗尔(Rolle)定理, 至少存在一点 =(x) (a,b),使 ( n 1) f ( ) ( n1) 即 K ( x) ( ) 0 ( n 1)! ( n 1) f ( ) 所以 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x )
1 3 | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 6 8 1 3 | R(3) || f (3) L2 (3) | | (3 2)(3 2.5)(3 4) | 6 8 0.03125
数学学院 信息与计算科学系
例4 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487 有6位有效数字。 (1) 用线性插值求sin0.33的近似值； (2) 证明在区间[0.32, 0.34]上用线性插值计算sinx时 至少有4位有效数字. 解 （1）用线性插值 0.33 0.34 sin 0.33 L1 (0.33) 0.314567 0.32 0.34 0.33 0.32 1 0.333487 (0.314567 0.333487) 0.34 0.32 2 0.324027

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的重要概念，用于逼近给定数据点集合的函数。

通过插值，我们可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数，从而对未知数据点进行预测和估计。

Lagrange插值是一种常用的插值方法，具有简单易懂的形式和计算方法。

1. 插值多项式的定义插值多项式是指通过已知数据点集合，构造一个多项式函数，该函数在已知数据点上与原函数完全相等。

插值多项式在数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。

2. Lagrange插值的原理Lagrange插值是一种基于多项式插值的方法，它通过构造一个满足一定条件的插值多项式来逼近原函数。

Lagrange插值的思想是，通过构造一系列的基函数，使得插值多项式在每个数据点上的取值等于对应数据点的函数值，并且在其他数据点上的取值为0。

3. Lagrange插值的公式Lagrange插值的公式非常简洁明了。

设已知的数据点集合为{(x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn)}，其中xi和yi分别代表数据点的横坐标和纵坐标。

插值多项式的公式可以表示为：P(x) = ∑(i=0 t o n) [yi * Li(x)]其中，Li(x)为Lagrange基函数，其公式为：Li(x) = ∏(j=0 to n, j!=i) [(x - xj) / (xi - xj)]4. Lagrange插值的优点Lagrange插值具有以下几个优点：(1) 简单易懂：Lagrange插值的公式非常简洁明了，易于理解和计算。

(2) 泛用性强：Lagrange插值适用于任意数量的数据点，能够满足不同场景的需求。

(3) 高精度：在数据点较为密集的情况下，Lagrange插值能够提供较高的插值精度。

5. Lagrange插值的局限性尽管Lagrange插值具有许多优点，但也存在一些局限性：(1) 数据点过于离散：当数据点过于离散时，Lagrange插值可能会导致插值多项式的震荡现象，从而影响插值结果的准确性。

拉格朗日插值与多阶多项式

拉格朗日插值与多阶多项式

拉格朗日插值与多阶多项式在数学领域中，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于通过已知的数据点构造一个多项式函数，以逼近未知函数。

这种方法以法国数学家约瑟夫·拉格朗日的名字命名，他在18世纪提出了这一概念。

拉格朗日插值的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在已知数据点处与未知函数相等。

这个多项式函数被称为拉格朗日插值多项式。

它的形式为：P(x) = Σ yi * Li(x)其中，P(x)是拉格朗日插值多项式，yi是已知数据点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。

拉格朗日基函数Li(x)的定义如下：Li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)其中，i ≠ j，xi和xj是已知数据点的横坐标。

通过拉格朗日插值，我们可以在已知数据点处构造一个多项式函数，从而近似地描述未知函数的行为。

这个多项式函数的阶数取决于已知数据点的个数。

如果已知数据点的个数为n+1，那么拉格朗日插值多项式的最高阶数为n。

多阶多项式是指多项式函数的阶数大于1的情况。

在拉格朗日插值中，我们可以通过增加已知数据点的个数来构造更高阶的多项式函数，从而提高近似的精度。

然而，需要注意的是，随着阶数的增加，多项式函数的复杂性也会增加。

高阶多项式函数可能会在数据点之间产生震荡现象，这被称为龙格现象。

为了避免这种情况，我们需要谨慎选择数据点，以及适当控制多项式函数的阶数。

除了拉格朗日插值，还有其他插值方法，例如牛顿插值和埃尔米特插值。

这些方法都有各自的特点和适用范围。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。

总结起来，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，通过构造多项式函数来近似描述未知函数的行为。

多阶多项式可以提高近似的精度，但需要注意控制阶数，以避免龙格现象的出现。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。

通过插值方法，我们可以更好地理解和分析数据，从而为问题的解决提供有力的支持。

第2章_插值法

56
13.214 285 71

175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,

牛顿插值法的原理和推导过程

牛顿插值法的原理和推导过程一、引言在科学计算和数值分析中，插值法是一种重要的数学工具，它可以通过已知的离散数据点来估计未知点的值。

在众多插值法中，牛顿插值法以其形式简洁、计算方便而广受欢迎。

本文将对牛顿插值法的原理和推导过程进行详细阐述。

二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法是一种多项式插值方法，它的基本思想是通过构造一个n次多项式Pn(x)，使得该多项式在给定的n+1个插值节点上与被插值函数f(x)具有相同的函数值。

这样，在插值节点之间，我们可以用Pn(x)来近似代替f(x)。

三、牛顿插值法的推导过程差商与差分为了构造插值多项式，首先需要引入差商的概念。

设f[xi,xj]表示函数f(x)在点xi 和xj上的一阶差商，其计算公式为：f[xi,xj] = (f(xj) - f(xi)) / (xj - xi)类似地，可以定义二阶、三阶乃至n阶差商。

n阶差商f[x0,x1,...,xn]表示函数f(x)在点x0,x1,...,xn上的差商，可以通过低一阶的差商递归计算得到。

差分是差商的另一种表现形式，它与差商之间有一一对应的关系。

在实际计算中，差分往往比差商更方便。

牛顿插值多项式的构造有了差商的概念，我们就可以构造牛顿插值多项式了。

设n次牛顿插值多项式为：Pn(x) = f(x0) + fx0,x1 + fx0,x1,x2(x-x1) + ... + fx0,x1,...,xn(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[x0,x1,...,xk]表示k阶差商。

可以看出，Pn(x)是一个形式简洁的多项式，其各项系数即为各阶差商。

为了证明Pn(x)满足插值条件，即Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,...,n)，我们可以将xi代入Pn(x)中，逐项验证。

由于差商的性质，当x取xi时，高于i阶的差商项都将为0，因此Pn(xi) = f(xi)。

牛顿插值法的计算步骤（1）根据给定的插值节点，计算各阶差商；（2）根据牛顿插值多项式的公式，构造插值多项式Pn(x)；（3）将需要插值的点代入Pn(x)，得到插值结果。

第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)

§
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要 求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度）， 甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ，可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
故
j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
2016/8/14 6
（ii）由条件(1)可知，x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根，令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17
即
x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0

插值法


第一节 Lagrange插值
一、问题提出
设 x0 , x1 xn 为给定的节点，yi f ( xi )，i 0,1,n
为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn ( xi ) yi，
i 0,1,n .
这类问题称为插值问题。 f ( x) 称为被插值函数，Pn ( x) 称 为插值函数， x0 , x1 xn 称为插值节点
差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ]
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
1 2 3 4
0 1 2 3 4
x3
f ( x3 ) f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
评价
优点: Lagrange基函数容易构造,结构紧凑,便于理 论研究. 缺点: 当增加或减少插值结点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
第二节 Newton插值
一、差商定义及性质
1.差商定义 f ( x ) f ( x ) i j f [ xi , x j ] , i j 为 f ( x) 在 xi , x j 称 两点处的一阶差商.xi x j
( n1) ( ) f ( n1) ( )
f ( x) Pn ( x) (n 1)! 0 ( x)
由此得
. f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Pn ( x) n1 ( x) (n 1)! 定理得证.
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x − x1 x − x0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
解 :f ( x ) = ln x , x 0 = 1 0 , x1 = 1 1, x = 1 0 .5
10.5 − 11 10.5 − 10 ln(10.5) ≈ P(10.5) = × 2.303 + × 2.398 = 2.350 5 10 − 11 11 − 10
几何意义:通过两点( x0 , y0 )( x1 , y1 )的直线y = P ( x)近似代替 1 曲线y = f ( x)
(2)n = 2 时抛物插值 在三个互异节点x 0 ,x1 ,x 2 ,处的函数值y 0 ,y1 ,y 2 构造二次函数 p 2 ( x ) = a0 + a1 x + a 2 x 2 求出 p 2 ( x ) = y 0 l0 ( x ) + y1l1 ( x ) + y 2 l2 ( x ) 其中 ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x0 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) l0 ( x ) = , l1 = , l2 = ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
解 :由 题 意 取 结 点 : x 0 = 0 .3 2 , y 0 = 0 .3 1 4 5 6 7 ; x 2 = 0 . 3 6， y 2 = 0 . 3 5 2 2 7 4。 (1) 线 性 插 值 ：
x1 = 0 . 3 4 , y 1 = 0 . 3 3 3 4 8 7；
y1 − y 0 sin 0 .3 3 6 7 ≈ L1 (0 .3 3 6 7 ) = y 0 + (0 .3 3 6 7 − x 0 ) x1 − x 0 = 0 .3 1 4 5 6 7 + 0 .0 1 8 9 2 × 0 .0 1 6 7 = 0 .3 3 0 3 6 5 0 .0 2
例 3 设f(x)=x 4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以 −1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。
解 ：记f(x)以 − 1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式为L 3(x)， 由插值余项定理有 f (4) (ξ ) f ( x ) − L3 ( x ) = ( x + 1)( x − 0)( x − 1)( x − 2) 4! = ( x + 1)( x − 0)( x − 1)( x − 2) 因而 L3 ( x ) = f ( x ) − ( x + 1)( x − 0)( x − 1)( x − 2) = 2 x3 + x 2 − 2 x
115 − 121 115 − 101 115 ≈ P (115) = ×10 + ×11 = 10.914 100 − 121 121 − 100
例2 给定函数y=lnx在两点10、11的值如下表，试用线性插值求 ln10.5的近似值，并估计截断误差。
x y 10 2.303 11 2.398
P1 ( x ) = y0
a:线 性 插 值 误 差 估 计 为 : M2 R1 ( x ) ≤ ( x − x 0 )( x − x1 ) 2! = m a x f '' ( x ) = m a x s in x ≤ 0 .5
x 0 ≤ x ≤ x1 0 .3 2 ≤ x ≤ 0 .3 .5 × 0 .0 1 6 7 × 0 .0 0 3 3 < 1 .5 × 1 0 − 5 2 b:抛 物 线 插 值 误 差 估 计 为 ： R 1 ( 0 .3 3 6 7 ) ≤
R2 ( x) ≤ 其中M 所以
3
M3 ( x − x 0 )( x − x1 )( x − x 2 ) 3! = m ax f ''' ( x ) = m ax c o s x ≤ 1
x0 ≤ x ≤ x2 0 .3 2 ≤ x ≤ 0 .3 6
R 2 (0 .3 3 6 7 ) ≤
1 × 0 .0 1 6 7 × 0 .0 0 3 3 × 0 .0 2 3 3 < 0 .2 1 5 × 1 0 − 8 6
π
π
π
π
l1 ( x ) =
− 1296
π4
1296
x( x −
π
4
)( x −
π
3
)( x −
π
2
)
l2 ( x) =
l3 ( x ) = −
π
4
x( x −
π
6
)( x −
π
4
)( x −
π
2
)
x( x − )( x − )( x − ) π 6 3 2 144 π π π l4 ( x ) = 4 x ( x − )( x − )( x − ) π 6 4 3
几 何 意 义:通过三点( x0 , y0 ),( x1 , y1 ),( x2 , y2 )的抛物线y = P2 ( x )近似 代替曲线y = f ( x ),当三点共线时,y = P2 ( x )就是一条直线。 P2 ( x )这时是一次或零次多项式.
给定函数在100、 例1 给定函数在 、 121两点的平方根如下 两点的平方根如下 x − x0 x − x1 10,11，试用线性插值 ， P ( x) = y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0 的平方根。 求115的平方根。 的平方根 解 x0=100, x1=121, x=115
2.2插值多项式的构造 插值多项式的构造
一：lagrange插值多项式的构造 插值多项式的构造
第 一 步 , 求 相 应 节 点 x i处 的 函 数 li ( x ) , 使 之 满 足 l i ( x i ) = 1, l i ( x j ) = 0 ， ( i ≠ j , i , j = 0 , 1, ⋯ , n )
4
2304
π
π
π
于是
sin = P4 ( ) 12 12
π
π
1 π 2 π 3 π = l0 ( ) × 0 + l1 ( ) × + l2 ( ) × + l3 ( ) × + l4 ( ) × 1 12 12 2 12 2 12 2 12
π
π
5 15 1 5 2 5 3 1 = ×0+ × − × + × − ×1 = 0.258587908 24 8 2 3 2 8 2 24
抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。 抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。
（3）相应的误差估计：
因 为 f ( x ) = s in x， 所 以 f ' ( x ) = c o s x , f '' ( x ) = − s in x , f ''' ( x ) = − c o s x 故 有
a + b max h(x) = h( ) = a ≤ x≤ b 2
(b
− a 4
)
2
所以有
M R1 ( x ) ≤ 8
(b − a )
2
例 4.1.1 已知 f ( x) = sin x 的值如表所示。
f ( x) = sin x 的值
x
sin x
0 0
π
6
1 2
π
4
2 2
π
3
3 2
π
2
1
试用四次 Lagrange 多项式计算 sin
1 1 f ( x ) = , f "( x ) = − 2 , m a x f "( ξ ) ≤ 1 / 1 0 2 = 0 .0 1 x x 1 0 ≤ ξ ≤1 1
0 .0 1 R1 (1 0 .5) ≤ (1 0 .5 − 1 0 )(1 0 .5 − 1 1) = 0 .0 0 1 2 5 2!
第 二 步 ,做 下 列 线 性 组 合 P n ( x ) = y 0 l 0 ( x ) + y 1 l1 ( x ) + ⋯ + y n l n ( x )
不难验证 Pn ( x j ) = y 0 l 0 ( x j ) + y 1 l1 ( x j ) + ⋯ + y n l n ( x j ) = y j l j ( x j ) = y j 由 Pn ( x )的 唯 一 性 可 知 Pn ( x ) = y 0 l 0 ( x ) + y 1 l1 ( x ) + ⋯ + y n l n ( x ) 就是要求的插值多项式.
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x ) ξ ∈ [ a , b ] 截 断 误 差 ：R n ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) = ( n + 1)! ω n +1 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x1 ) ⋯ ( x − x n )
(1)n = 1 时线性插值 在两个互异节点x0 , x1处的函数 值y0 , y1 , 构造线性函数 p1 ( x) = a0 + a1 x 求出p1 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) x − x0 x − x1 其中l0 ( x) = ，l1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0
称 l i ( x ) 为 节 点 处 的 x i 插 值 基 函 数 ， 称 Pn ( x ) 为 n 次 拉 格 朗 日 插 值 多项式。
基函数的特点 1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。