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第二节 插值多项式的构造

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6.2 牛顿插值多项式

6.2 牛顿插值多项式

一阶均差 二阶均差 三阶均差 n阶均差 阶均差
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
第二节 插值多项式的构造

第二节 插值多项式的构造


π
π
π
π
l1 ( x ) =
− 1296
π4
1296
x( x −
π
4
)( x −
π
3
)( x −
π
2
)
l2 ( x) =
l3 ( x ) = −
π
4
x( x −
π
6
)( x −
π
4
)( x −
π
2
)
x( x − )( x − )( x − ) π 6 3 2 144 π π π l4 ( x ) = 4 x ( x − )( x − )( x − ) π 6 4 3
x − x1 x − x0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
解 :f ( x ) = ln x , x 0 = 1 0 , x1 = 1 1, x = 1 0 .5
10.5 − 11 10.5 − 10 ln(10.5) ≈ P(10.5) = × 2.303 + × 2.398 = 2.350 5 10 − 11 11 − 10
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x ) ξ ∈ [ a , b ] 截 断 误 差 ：R n ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) = ( n + 1)! ω n +1 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x1 ) ⋯ ( x − x n )
(1)n = 1 时线性插值 在两个互异节点x0 , x1处的函数 值y0 , y1 , 构造线性函数 p1 ( x) = a0 + a1 x 求出p1 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) x − x0 x − x1 其中l0 ( x) = ，l1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0
插值多项式

插值多项式


由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：
1

a0
1

a0

x0a1 x1a1


x0nan x1nan

y0 y1

1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1, x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
函数值：
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 x xi ,i 0,1,L , n 的函数值 f (x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y f (x)在n 1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1

0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
24
N次插值多项式4
求n次多项式 lk ( x) ， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
则
ki ki
n
52第二节 拉格朗日插值多项式

52第二节 拉格朗日插值多项式


数学学院 信息与计算科学系
( t ) f ( t ) Ln ( t ) K ( x ) n1 ( t )
由式
n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) K ( x ) n1 ( x )
O
l1 ( x) x1 x
O
x0
x0
x1 x
数学学院 信息与计算科学系
n=2时的二次基函数及图形为 ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l1 ( x ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
可知：x0 , x1, , xn 和x 是(t)在区间[a,b]上的n+2个 互异零点, 因此根据罗尔(Rolle)定理, 至少存在一点 =(x) (a,b),使 ( n 1) f ( ) ( n1) 即 K ( x) ( ) 0 ( n 1)! ( n 1) f ( ) 所以 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x )
1 3 | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 6 8 1 3 | R(3) || f (3) L2 (3) | | (3 2)(3 2.5)(3 4) | 6 8 0.03125
数学学院 信息与计算科学系
例4 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487 有6位有效数字。 (1) 用线性插值求sin0.33的近似值； (2) 证明在区间[0.32, 0.34]上用线性插值计算sinx时 至少有4位有效数字. 解 （1）用线性插值 0.33 0.34 sin 0.33 L1 (0.33) 0.314567 0.32 0.34 0.33 0.32 1 0.333487 (0.314567 0.333487) 0.34 0.32 2 0.324027
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的重要概念，用于逼近给定数据点集合的函数。

通过插值，我们可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数，从而对未知数据点进行预测和估计。

Lagrange插值是一种常用的插值方法，具有简单易懂的形式和计算方法。

1. 插值多项式的定义插值多项式是指通过已知数据点集合，构造一个多项式函数，该函数在已知数据点上与原函数完全相等。

插值多项式在数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。

2. Lagrange插值的原理Lagrange插值是一种基于多项式插值的方法，它通过构造一个满足一定条件的插值多项式来逼近原函数。

Lagrange插值的思想是，通过构造一系列的基函数，使得插值多项式在每个数据点上的取值等于对应数据点的函数值，并且在其他数据点上的取值为0。

3. Lagrange插值的公式Lagrange插值的公式非常简洁明了。

设已知的数据点集合为{(x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn)}，其中xi和yi分别代表数据点的横坐标和纵坐标。

插值多项式的公式可以表示为：P(x) = ∑(i=0 t o n) [yi * Li(x)]其中，Li(x)为Lagrange基函数，其公式为：Li(x) = ∏(j=0 to n, j!=i) [(x - xj) / (xi - xj)]4. Lagrange插值的优点Lagrange插值具有以下几个优点：(1) 简单易懂：Lagrange插值的公式非常简洁明了，易于理解和计算。

(2) 泛用性强：Lagrange插值适用于任意数量的数据点，能够满足不同场景的需求。

(3) 高精度：在数据点较为密集的情况下，Lagrange插值能够提供较高的插值精度。

5. Lagrange插值的局限性尽管Lagrange插值具有许多优点，但也存在一些局限性：(1) 数据点过于离散：当数据点过于离散时，Lagrange插值可能会导致插值多项式的震荡现象，从而影响插值结果的准确性。

拉格朗日插值与多阶多项式

拉格朗日插值与多阶多项式

拉格朗日插值与多阶多项式在数学领域中，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于通过已知的数据点构造一个多项式函数，以逼近未知函数。

这种方法以法国数学家约瑟夫·拉格朗日的名字命名，他在18世纪提出了这一概念。

拉格朗日插值的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在已知数据点处与未知函数相等。

这个多项式函数被称为拉格朗日插值多项式。

它的形式为：P(x) = Σ yi * Li(x)其中，P(x)是拉格朗日插值多项式，yi是已知数据点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。

拉格朗日基函数Li(x)的定义如下：Li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)其中，i ≠ j，xi和xj是已知数据点的横坐标。

通过拉格朗日插值，我们可以在已知数据点处构造一个多项式函数，从而近似地描述未知函数的行为。

这个多项式函数的阶数取决于已知数据点的个数。

如果已知数据点的个数为n+1，那么拉格朗日插值多项式的最高阶数为n。

多阶多项式是指多项式函数的阶数大于1的情况。

在拉格朗日插值中，我们可以通过增加已知数据点的个数来构造更高阶的多项式函数，从而提高近似的精度。

然而，需要注意的是，随着阶数的增加，多项式函数的复杂性也会增加。

高阶多项式函数可能会在数据点之间产生震荡现象，这被称为龙格现象。

为了避免这种情况，我们需要谨慎选择数据点，以及适当控制多项式函数的阶数。

除了拉格朗日插值，还有其他插值方法，例如牛顿插值和埃尔米特插值。

这些方法都有各自的特点和适用范围。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。

总结起来，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，通过构造多项式函数来近似描述未知函数的行为。

多阶多项式可以提高近似的精度，但需要注意控制阶数，以避免龙格现象的出现。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。

通过插值方法，我们可以更好地理解和分析数据，从而为问题的解决提供有力的支持。

第2章_插值法

第2章_插值法

56
13.214 285 71

175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
牛顿插值法的原理和推导过程

牛顿插值法的原理和推导过程

牛顿插值法的原理和推导过程一、引言在科学计算和数值分析中，插值法是一种重要的数学工具，它可以通过已知的离散数据点来估计未知点的值。

在众多插值法中，牛顿插值法以其形式简洁、计算方便而广受欢迎。

本文将对牛顿插值法的原理和推导过程进行详细阐述。

二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法是一种多项式插值方法，它的基本思想是通过构造一个n次多项式Pn(x)，使得该多项式在给定的n+1个插值节点上与被插值函数f(x)具有相同的函数值。

这样，在插值节点之间，我们可以用Pn(x)来近似代替f(x)。

三、牛顿插值法的推导过程差商与差分为了构造插值多项式，首先需要引入差商的概念。

设f[xi,xj]表示函数f(x)在点xi 和xj上的一阶差商，其计算公式为：f[xi,xj] = (f(xj) - f(xi)) / (xj - xi)类似地，可以定义二阶、三阶乃至n阶差商。

n阶差商f[x0,x1,...,xn]表示函数f(x)在点x0,x1,...,xn上的差商，可以通过低一阶的差商递归计算得到。

差分是差商的另一种表现形式，它与差商之间有一一对应的关系。

在实际计算中，差分往往比差商更方便。

牛顿插值多项式的构造有了差商的概念，我们就可以构造牛顿插值多项式了。

设n次牛顿插值多项式为：Pn(x) = f(x0) + fx0,x1 + fx0,x1,x2(x-x1) + ... + fx0,x1,...,xn(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[x0,x1,...,xk]表示k阶差商。

可以看出，Pn(x)是一个形式简洁的多项式，其各项系数即为各阶差商。

为了证明Pn(x)满足插值条件，即Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,...,n)，我们可以将xi代入Pn(x)中，逐项验证。

由于差商的性质，当x取xi时，高于i阶的差商项都将为0，因此Pn(xi) = f(xi)。

牛顿插值法的计算步骤（1）根据给定的插值节点，计算各阶差商；（2）根据牛顿插值多项式的公式，构造插值多项式Pn(x)；（3）将需要插值的点代入Pn(x)，得到插值结果。

第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)

第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)

§
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要 求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度）， 甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ，可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
故
j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
2016/8/14 6
（ii）由条件(1)可知，x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根，令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17
即
x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0
插值法

插值法


第一节 Lagrange插值
一、问题提出
设 x0 , x1 xn 为给定的节点，yi f ( xi )，i 0,1,n
为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn ( xi ) yi，
i 0,1,n .
这类问题称为插值问题。 f ( x) 称为被插值函数，Pn ( x) 称 为插值函数， x0 , x1 xn 称为插值节点
差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )
x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 ]
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
1 2 3 4
0 1 2 3 4
x3
f ( x3 ) f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ]
评价
优点: Lagrange基函数容易构造,结构紧凑,便于理 论研究. 缺点: 当增加或减少插值结点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
第二节 Newton插值
一、差商定义及性质
1.差商定义 f ( x ) f ( x ) i j f [ xi , x j ] , i j 为 f ( x) 在 xi , x j 称 两点处的一阶差商.xi x j
( n1) ( ) f ( n1) ( )
f ( x) Pn ( x) (n 1)! 0 ( x)
由此得
. f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Pn ( x) n1 ( x) (n 1)! 定理得证.
计算方法 第二章插值法_20191105

计算方法 第二章插值法_20191105


下面两种办法常用来确定经验函数y=g(x)
（1）插值法
（2）拟合法
根据问题的不同，有时要用插值技术来解决， 有时则应该采用拟合的方法才合理。
（1）插值法的基本思想
已知数据表
xi x1 x2 … xn f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
求一个经验函数y=g(x)，使g(xi)=f(xi), i=1,…n.
x)
b0
a0 a1 x a2 x2 b1 x b2 x2 b3 x3
n
一般地：F( x) cii( x) i=0
例：F(x) a bx csin x span1, x,sin x,
当插值函数是代数多项式时，插值问题称为代
代 数插值。
数 插
设 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn ,
y2
n 次插值多项式 :求次数≤n的多项式Ln(x), 使其满足
Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , ...... , Ln(xn)=yn
..(7)
令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn
求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件
容易求得
三角插值：取
spani(
n
x) i=0
a1x a0
=spansin x,cos x,sin 2x,cos 2x, ,sin nx,cos nx
例：取 spansin x,cos x,
F ( x) a sin x bcos x
有理插值：F( x)= Pm ( x) Qn ( x)
例：F (
二次插值 (n=2) 求次数≤2 的多项式L2(x), 使其满足条件 L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2

第2章 插值法3


x2 (x 3)2
4
15
• 用推广的牛顿插值法确定Hermite插值函数
例： f (x0 ) c00 , f ' (x0 ) c01, f (x1) c10.
解：
x0
x0 x1
c00
c00
f [x0 , x0 ]
c10
f [x0 , x1] f [x0 , x0 , x1]
f [x0 , x0 ] f ' (x0 ) c01,
p3
(x)
3 4
(x
1 )( 2
x
1) 2
x2
1
18
分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数 Ih (x) 的导数是间断的，若在 节点 xk (k 0, 1, L , n) 上除已知函数值 fk 外还给 出导数值 fk mk (k 0, 1, L , n) ，这样就可构造 一个导数连续的分段插值函数 Ih (x)，它满足条 件: 1. Ih (x) C1[a,b] (C1[a,b] 代表区间 [a,b] 上 一阶导数连续的函数集合）。 2. Ih (x) fk , Ih (xk ) fk (k 0, 1, L , n) 3. Ih (x) 在每个小区间 [xk , xk1] 上是三次多项式。
是唯一的，其中m 1 k1 L kn。 当f 有连续的m 1阶导数时，余项公式为
R(x)
1 (m 1)!
f
(m1) ( )(x x0 )k0 L
(x
xn )kn ,
其中 位于x0, x1,L , xn和x所界定的范围内。
11
例：当只有一个节点时，Hermite插值是什么形式？
解：设节点为x0，插值条件总数为k 1。 这时我们需要一个k次多项式p，使得

第二章 多项式插值


26
Lagrange插值的截断误差 定项理式，: 设f (Lx)n∈(xC)是n [过a, b点] x，0 ，f(nx+11)(，x)x在2 ，[a，…bx]n上的存n 在次，插其值中多 [任a，意b给]是定包的含x∈点[ax，0 ，b]x，1 ，总x存2 在，一…点,xnξ的∈任（一a，区b间），（则依对赖 于x）使
7
拉格朗日插值公式
拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，
把 pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
8
线性插值函数
f(x) (x1，y1) P1(x)
(x0 ，y0)
x0
可见 是过
和
x1
两点的直线。
9
抛物插值函数
K
(
x)ω
(
n+1)
(ξ
)
=
0
由此得
K(x)=f(n+1)( ξ)/(n+1)! .
代入Rn(x)=K(x) ωn+1(x),定理得证.
f
(x)
=
Ln(x)
+
f
(n+1) (ξ
(n+1)!
)
ω (x) n+1
插值公式,只要f(x)具有n+1阶导 数,就有上式成立,其余项为
由插值条件
Pn ( xi ) = yi
i = 0, 1,L, n
得到如下线性代数方程组：
⎧1 ⎪
⋅
a0
+
x0a1
+L+
x0nan
=
y0

1_多项式插值基本理论


yfnie@
10
二、插值多项式的构造方法
由于插值多项式的存在惟一性，无论是用何种 方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而 截断误差也都相同。 内容提要
Lagrange插值法 Newton插值法 等距节点插值公式 带导数的插值问题
August 6, 2012
August 6, 2012
yfnie@
13
1.2 Lagrange型插值公式
L n ( x ) f ( x i )li ( x )
i0

n

n
f ( xi )
n 1 ( x )
( x x i ) n 1 ( x i )
'
i0
不超过n次的多项式，满足所有的插值条件，因而是需 构造的插值多项式，称之为Lagrange插值多项式。
( x 1 )( x 0 ) ( 0 . 5 1 )( 0 . 5 0 )

2 3
x ( x 0 .5 )
2 ( x 1 )( x 0 . 5 )
4 3

x ( x 1)
二次插值多项式为
L 2 ( x ) f ( x 0 ) l 0 ( x ) f ( x 1 ) l1 ( x ) f ( x 2 ) l 2 ( x ) l 0 ( x ) 2 l1 ( x ) 3 l 2 ( x )
第二章 函数插值
问题提出
1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数 值
2 仅有采样值, 而又需要知道非采样点处的函数值 ……
上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计 算的近似表达式.
内容提要

数值分析课件-第02章插值法

数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。

拉格朗日插值多项

拉格朗日插值多项第二节拉格朗日插值多项式5.2.1 基函数由上一节的证明可以看到，要求插值多项式，可以通过求方程组（5.1.22）的解得到，但这样不但计算复杂，且难于得到的简单表达式。

考虑简单的插值问题：设函数在区间［a，b］上n＋1个互异节点上的函数值为j=0,1,…,n求插值多项式，满足条件j=0,1,…n, i=0,1,…,n由上式知，是的根，且∈，可令再由得于是n+1个n次多项式称为以为节点的n次插值基函数。

n=1时的一次基函数为（图5-2）：.n=2时的二次基函数为（图5-3）：5-25-35.2.2 拉格朗日插值多项式现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点上的函数值分别为，求n次插值多项式，满足条件j=0,1,…n令（5.2.3）其中为以为节点的n次插值基函数，则是一次数不超过n的多项式，且满足， j=0，1，…，n再由插值多项式的唯一性，得式（5.2.3）表示的插值多项式称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。

特别地，n=1 时称为线性插值（图5-4（a）），n=2时称为抛物插值或二次插值（图5-4（b））。

值得注意的是，插值基函数仅由插值节点确定，与被插函数f(x)无关。

因此，若以为插值节点对函数f(x)≡1作插值多项式，则由式(5.2.3)立即得到基函数的一个性质≡1还应注意，对于插值节点，只要求它们互异，与大小次序无关。

5-4例1 已知y= ， =4， =9，用线性插值求的近似值。

解 =2， =3，基函数分别为插值多项式为所以例2 求过点(-1，-2)，(1，0)，(3，-6)，(4，3)的三次插值多项式。

解以＝-1，＝1，＝3，＝4为节点的基函数分别为插值多项式为5.2.3 插值余项插值多项式的余项 (x)=f(x)- (x)，也就是插值的截断误差或方法误差。

关于余项有如下的余项定理：定理设被插函数f(x)在闭区间［a，b］上n阶导数连续，在开区间(a,b) 内存在，是［a，b］上n+1个互异节点，记则插值多项式 (x)的余项为（5.2.4）证明由插值条件和的定义，当x= 时式（5.2.4）显然成立，并且有k=0,1,…，n （5.2.5）这表明都是函数 (x)的零点，从而 (x)可表示为(x)=f(x)-(x)=K(x) (5.2.6)其中K(x)是待定函数。

插值多项式简介

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。

17世纪之后，I.牛顿，J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。

在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。

插值问题的提法是：假定区间[a，b］上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f [x0］，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b］中某点的值。

其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P()作为f()的估值。

此处f（x）称为被插值函数，c0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。

当估算点属于包含x0，x1……xn 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。

多项式插值这是最常见的一种函数插值。

在一般插值问题中，若选取Φ为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。

从几何上看可以理解为：已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。

插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。

埃尔米特插值对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。

这时的插值函数P（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求P（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。

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x − x1 x − x0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
解 :f ( x ) = ln x , x 0 = 1 0 , x1 = 1 1, x = 1 0 .5
10.5 − 11 10.5 − 10 ln(10.5) ≈ P(10.5) = × 2.303 + × 2.398 = 2.350 5 10 − 11 11 − 10
几何意义:通过两点( x0 , y0 )( x1 , y1 )的直线y = P ( x)近似代替 1 曲线y = f ( x)
(2)n = 2 时抛物插值 在三个互异节点x 0 ,x1 ,x 2 ,处的函数值y 0 ,y1 ,y 2 构造二次函数 p 2 ( x ) = a0 + a1 x + a 2 x 2 求出 p 2 ( x ) = y 0 l0 ( x ) + y1l1 ( x ) + y 2 l2 ( x ) 其中 ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x0 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) l0 ( x ) = , l1 = , l2 = ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
解 :由 题 意 取 结 点 : x 0 = 0 .3 2 , y 0 = 0 .3 1 4 5 6 7 ; x 2 = 0 . 3 6， y 2 = 0 . 3 5 2 2 7 4。 (1) 线 性 插 值 ：
x1 = 0 . 3 4 , y 1 = 0 . 3 3 3 4 8 7；
y1 − y 0 sin 0 .3 3 6 7 ≈ L1 (0 .3 3 6 7 ) = y 0 + (0 .3 3 6 7 − x 0 ) x1 − x 0 = 0 .3 1 4 5 6 7 + 0 .0 1 8 9 2 × 0 .0 1 6 7 = 0 .3 3 0 3 6 5 0 .0 2
例 3 设f(x)=x 4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以 −1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。
解 ：记f(x)以 − 1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式为L 3(x)， 由插值余项定理有 f (4) (ξ ) f ( x ) − L3 ( x ) = ( x + 1)( x − 0)( x − 1)( x − 2) 4! = ( x + 1)( x − 0)( x − 1)( x − 2) 因而 L3 ( x ) = f ( x ) − ( x + 1)( x − 0)( x − 1)( x − 2) = 2 x3 + x 2 − 2 x
115 − 121 115 − 101 115 ≈ P (115) = ×10 + ×11 = 10.914 100 − 121 121 − 100
例2 给定函数y=lnx在两点10、11的值如下表，试用线性插值求 ln10.5的近似值，并估计截断误差。
x y 10 2.303 11 2.398
P1 ( x ) = y0
a:线 性 插 值 误 差 估 计 为 : M2 R1 ( x ) ≤ ( x − x 0 )( x − x1 ) 2! = m a x f '' ( x ) = m a x s in x ≤ 0 .5
x 0 ≤ x ≤ x1 0 .3 2 ≤ x ≤ 0 .3 .5 × 0 .0 1 6 7 × 0 .0 0 3 3 < 1 .5 × 1 0 − 5 2 b:抛 物 线 插 值 误 差 估 计 为 ： R 1 ( 0 .3 3 6 7 ) ≤
R2 ( x) ≤ 其中M 所以
3
M3 ( x − x 0 )( x − x1 )( x − x 2 ) 3! = m ax f ''' ( x ) = m ax c o s x ≤ 1
x0 ≤ x ≤ x2 0 .3 2 ≤ x ≤ 0 .3 6
R 2 (0 .3 3 6 7 ) ≤
1 × 0 .0 1 6 7 × 0 .0 0 3 3 × 0 .0 2 3 3 < 0 .2 1 5 × 1 0 − 8 6
π
π
π
π
l1 ( x ) =
− 1296
π4
1296
x( x −
π
4
)( x −
π
3
)( x −
π
2
)
l2 ( x) =
l3 ( x ) = −
π
4
x( x −
π
6
)( x −
π
4
)( x −
π
2
)
x( x − )( x − )( x − ) π 6 3 2 144 π π π l4 ( x ) = 4 x ( x − )( x − )( x − ) π 6 4 3
几 何 意 义:通过三点( x0 , y0 ),( x1 , y1 ),( x2 , y2 )的抛物线y = P2 ( x )近似 代替曲线y = f ( x ),当三点共线时,y = P2 ( x )就是一条直线。 P2 ( x )这时是一次或零次多项式.
给定函数在100、 例1 给定函数在 、 121两点的平方根如下 两点的平方根如下 x − x0 x − x1 10,11，试用线性插值 ， P ( x) = y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0 的平方根。 求115的平方根。 的平方根 解 x0=100, x1=121, x=115
2.2插值多项式的构造 插值多项式的构造
一：lagrange插值多项式的构造 插值多项式的构造
第 一 步 , 求 相 应 节 点 x i处 的 函 数 li ( x ) , 使 之 满 足 l i ( x i ) = 1, l i ( x j ) = 0 ， ( i ≠ j , i , j = 0 , 1, ⋯ , n )
4
2304
π
π
π
于是
sin = P4 ( ) 12 12
π
π
1 π 2 π 3 π = l0 ( ) × 0 + l1 ( ) × + l2 ( ) × + l3 ( ) × + l4 ( ) × 1 12 12 2 12 2 12 2 12
π
π
5 15 1 5 2 5 3 1 = ×0+ × − × + × − ×1 = 0.258587908 24 8 2 3 2 8 2 24
抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。 抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。
（3）相应的误差估计：
因 为 f ( x ) = s in x， 所 以 f ' ( x ) = c o s x , f '' ( x ) = − s in x , f ''' ( x ) = − c o s x 故 有
a + b max h(x) = h( ) = a ≤ x≤ b 2
(b
− a 4
)
2
所以有
M R1 ( x ) ≤ 8
(b − a )
2
例 4.1.1 已知 f ( x) = sin x 的值如表所示。
f ( x) = sin x 的值
x
sin x
0 0
π
6
1 2
π
4
2 2
π
3
3 2
π
2
1
试用四次 Lagrange 多项式计算 sin
1 1 f ( x ) = , f "( x ) = − 2 , m a x f "( ξ ) ≤ 1 / 1 0 2 = 0 .0 1 x x 1 0 ≤ ξ ≤1 1
0 .0 1 R1 (1 0 .5) ≤ (1 0 .5 − 1 0 )(1 0 .5 − 1 1) = 0 .0 0 1 2 5 2!
第 二 步 ,做 下 列 线 性 组 合 P n ( x ) = y 0 l 0 ( x ) + y 1 l1 ( x ) + ⋯ + y n l n ( x )
不难验证 Pn ( x j ) = y 0 l 0 ( x j ) + y 1 l1 ( x j ) + ⋯ + y n l n ( x j ) = y j l j ( x j ) = y j 由 Pn ( x )的 唯 一 性 可 知 Pn ( x ) = y 0 l 0 ( x ) + y 1 l1 ( x ) + ⋯ + y n l n ( x ) 就是要求的插值多项式.
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x ) ξ ∈ [ a , b ] 截 断 误 差 ：R n ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) = ( n + 1)! ω n +1 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x1 ) ⋯ ( x − x n )
(1)n = 1 时线性插值 在两个互异节点x0 , x1处的函数 值y0 , y1 , 构造线性函数 p1 ( x) = a0 + a1 x 求出p1 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) x − x0 x − x1 其中l0 ( x) = ，l1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0
称 l i ( x ) 为 节 点 处 的 x i 插 值 基 函 数 ， 称 Pn ( x ) 为 n 次 拉 格 朗 日 插 值 多项式。
基函数的特点 1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。