埃尔米特插值精讲

埃尔米特插值例题详解这里以求解一元二次函数$y=x^2$在$x=1$附近的拉格朗日插值为例，来详细讲解埃尔米特插值的步骤。

**步骤一：**确定插值点$x_0,x_1,\cdots,x_n$，这里取$x_0=1,x_1=1.1,x_2=1.2$**步骤二：**求出插值点处的函数值，即$y_0=f(x_0),y_1=f(x_1),\cdots,y_n=f(x_n)$，这里取$y_0=1,y_1=1.21,y_2=1.44$**步骤三：**求出埃尔米特矩阵$A=[a_{ij}]_{n+1}$，这里$A$是$(n+1)\times(n+1)$矩阵，其中$a_{ij}=(x_i-x_j)^2$，即$$A=\begin{bmatrix}a_{00} & a_{01} & a_{02}\\a_{10} & a_{11} & a_{12}\\a_{20} & a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0.01 & 0.04\\0.01 & 0 & 0.01\\0.04 & 0.01 & 0\end{bmatrix}$$**步骤四：**求出埃尔米特矩阵的逆$A^{-1}=[a_{ij}^{-1}]_{n+1}$，这里$A^{-1}$是$(n+1)\times(n+1)$矩阵，其中$a_{ij}^{-1}$是$A$的逆矩阵，即$$A^{-1}=\begin{bmatrix}a_{00}^{-1} & a_{01}^{-1} & a_{02}^{-1}\\a_{10}^{-1} & a_{11}^{-1} & a_{12}^{-1}\\a_{20}^{-1} & a_{21}^{-1} & a_{22}^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}25 & -25 & 10\\-25 & 50 & -25\\10 & -25 & 25\end{bmatrix}$$**步骤五：**求出埃尔米特系数$b_i$，这里$b_i$是$(n+1)\times1$矩阵，其中$b_i=\sum_{j=0}^na_{ij}y_j$，即$$b=\begin{bmatrix}b_0\\b_1\\b_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.01y_1+0.04y_2\\0.01y_0+0.01y_2\\0.04y_0+0.01y_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.054\\0.011\\0.045\end{bmatrix} $$。

埃尔米特插值5.4.1 问题的提出面讨论的拉格朗日和牛顿插值多项式的插值条件只要求在插值节点上，插 值函数与被插值函数的函数值相等，即)(i n x L =f(i x )和n N (i x )=f(i x )，有时 不仅要求插值多项式在插值节点上与被插值函数的函数值相等，还要插值多项式的导数在这些 点上被插函数的导数值相等，即要求满足插值条件：n i x f x H x f x H i i n i i n ,...,1,0,(')('),()()1212===++ (5.4.1)的次数不超过 2n+1的插值多项式12+n H ，这就是埃尔米特 (Hermite) 插值问题。

定义：假设在区间【α，b 】上给定了n 个互不相同的点x 1，x 2,…,x n 以及一张数表(*)记m=α1+α2+…+αn 。

早在 1878年C.埃尔米特就证明:存在惟一的次数不高于m-1的代数多项式H n (x ),使得,H n (x )为表(*)的以为结点组的埃尔米特插值多项式。

如果定义在【α，b 】上的函数ƒ(x )在x k (k =1，2，…,n )处有αk-1阶导数，并取，则称相应的H n (x )为ƒ(x )的以为结点组的(α1,α2,…,αn )阶埃尔米特插值多项式。

作为特殊情况,若诸αk 都为1,则H n (x )就是ƒ(x )的拉格朗日插值多项式;若n =1，则H n (x )为ƒ(x )的α1-1阶泰勒多项式。

最使人们注意的是诸αk 都为2的情况,这时H n (x )为次数不高于2n -1的代数多项式。

如果写H n (x )可表示为在这种情况下，常取,而给以适当的限制。

5.4.2三次埃尔米特插值我们考虑只有两个节点的三次埃尔米特插值。

设插值点为(0x ，0y )，(1x ，1y )，要求一次数不超过3的多项式)(3x H ，满足下列条件：i i i i m x H y x H ==)(',)(33 i=0，1(5.4.2) 式中i m =f ′(i x )，i=01。

导数与函数的埃尔米特插值导数在微积分中有着重要的地位，它描述了函数在某一点上的变化率。

而函数的插值方法可以用来估计未知点的函数值。

在数学领域，埃尔米特插值是一种广泛应用的插值方法，它不仅能够通过已知函数值估计未知点的函数值，还可以估计函数在这一点上的导数。

一、导数的定义导数是一个函数在某一点上的变化率。

对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限的概念来定义：\[ f'(x) = \lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]其中，f'(x)表示函数f(x)在x处的导数。

二、埃尔米特插值公式埃尔米特插值公式是一种通过已知函数值估计未知点函数值的插值方法。

它的计算方式如下：\[ P(x) = f(x_0)H_0^2(x) + f(x_1)H_1^2(x) + f'(x_0)H_0(x) +f'(x_1)H_1(x) \]其中，P(x)表示估计的函数值，f(x_0)和f(x_1)分别表示已知函数值，f'(x_0)和f'(x_1)分别表示已知函数在相应点上的导数。

三、埃尔米特插值的应用埃尔米特插值广泛应用于数值计算和科学工程领域。

它可以通过已知数据点的函数值和导数来估计未知点的函数值，并且能够在一定程度上保持原函数的特性。

例如，我们有一组数据点(x_0, y_0)和(x_1, y_1)，以及已知函数在这些点上的导数f'(x_0)和f'(x_1)。

我们可以利用埃尔米特插值公式来计算其他点上的函数值。

要注意的是，在使用埃尔米特插值时，对已知函数值和导数的准确性要求较高。

尤其是所选取的数据点应尽可能靠近插值点，以获得更准确的结果。

四、埃尔米特插值的优缺点埃尔米特插值的优点在于它能够精确地估计函数值和导数，可以保持函数的光滑性和特性。

同时，埃尔米特插值还可以通过调整插值节点的位置来适应不同的问题。

然而，埃尔米特插值的缺点在于计算复杂度较高，尤其在求解高次插值时。