《1.1平面直角坐标系》课件

阶段一阶段二阶段三学业分层测评§1 平面直角坐标系1.1 平面直角坐标系与曲线方程1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的与之对应；反之，对于任意的 ，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，和 是一一对应的. 有序实数对(x ，y )一个有序实数对(x ，y )点有序实数对判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.()(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.()(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.()【解析】(1)√(2)√(3)× 因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是 的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C 上的 都是方程f (x ，y )＝0的 ；(2)以方程f (x ，y )＝0的 都在曲线C 上.那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线.满足某些条件的点点的坐标解解为坐标的点填空：(1)x轴的直线方程为________.(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲线是____________.【答案】(1)y＝0(2)x2＋y2＝1(3) 椭圆教材整理3平面直角坐标轴中的伸缩变换改变x轴或y轴的单位长度在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆.()(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.( )(3)在伸缩变换下，直线依然是直线.()【解析】(1)√因为x2＋y2＝4的圆的形状变为方程x24＋y2＝1表示的椭圆.(2)× 平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化. 【答案】(1)√(2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问3：______________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型]利用平面直角坐标系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A，B，C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23).∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上.k BC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4). ①又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2). ②联立①②，解得P点坐标为(8,53).∴k PA＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A，B，C的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.[再练一题]1.已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】(1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8 km，得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB上的两点).以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0).易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD的面积最大，则C，D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S＝23(km2).(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图.因此，由 y ＝33 x ＋1 ，x 24＋y 23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0， 那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋ 332· －8132－4× －3213＝4813，故暂不加固的部分长4813 km.平面直角坐标系中曲线方程的确定(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3 2，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程；(2)在边长为2的正△ABC中，若P为△ABC内一点，且|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】(1)由已知设椭圆方程为x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则2a＝12，知a＝6.又离心率e＝ca＝32，故c＝3 3.∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x236＋y29＝1.(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|＝2，∴B(－1,0)，C(1,0)，则A(0，3).∵|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y>0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x 1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求.[再练一题]2.如图1-1-1，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图1-1-1(1)求圆C 的方程； (2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程.【解】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，△CQM 为正三角形.∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2，∴圆C 的半径为2.又圆心为(0,0)，∴圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，3)，∴2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2，∴a＝3＋1，c＝2，∴b2＝a2－c2＝23，∴椭圆方程为：x24＋23＋y223＝1.[探究共研型]平面直角坐标系中的伸缩变换探究1在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，直线变为什么图形？圆、椭圆、双曲线和抛物线呢？【提示】在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3在伸缩变换中，若x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍后，变换后的坐标(x′，y′)与原坐标(x，y)有什么关系？【提示】 一般地，在平面直角坐标系xOy 中：使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y轴具有相同的单位长度；即为x ′＝x ，y ′＝y的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k ，即为x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为x ′＝kx ，y ′＝y的伸缩变换.在下列平面直角坐标系中，分别作出x225＋y29＝1的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12倍.【精彩点拨】先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.【自主解答】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则x225＋y29＝1的图形如图①.(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的12，则x225＋y29＝1的图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x 轴或y 轴的单位长度会对图形产生影响，本题 2 中即为 x ′＝x ，y ′＝12y 的伸缩变换，本题 3 中即为x ′＝12x ，y ′＝y的伸缩变换.[再练一题]3.本例中，x225＋y29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的53倍；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的35倍.【解】(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y29＝1的图形如图①.(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y29＝1的图形如图②.[构建·体系]1.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是() A.(0,0)B. 15，15C.(1,5)D.(4,4)【解析】 将答案代入验证知D 正确.【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A.|x|－|y|＝1B.|x－y|＝1C.||x|－|y||＝1D.|x±y|＝1【解析】由题知C正确.【答案】 C3.已知一椭圆的方程为x216＋y24＝1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为()【解析】 如果y 轴上单位长度不变，x 轴的单位长度变为原来的12倍，则方程变为x 2＋y 2＝4，故选B. 【答案】 B4.将圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换 x ′＝4x ，y ′＝3y 后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】 由 x ′＝4x ，y ′＝3y ，得 x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1. ∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1. 【答案】 x 216＋y 29＝15.已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.求动点M的轨迹C的方程.【解】如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2 x－1 2＋y2，化简得x24＋y23＝1，∴动点M的轨迹C的方程为x24＋y23＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评（一）点击图标进入…。