2010年天津市初中数学竞赛初赛试题

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，可得…………（20分）12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.（第11题）解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． ⎧⎨⎩＝B '(2-，2)是CO 的延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+， 所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =. 所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12n a a a <<< 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， …………（15分）故20分）。

2010年天津市初中毕业生学业考试试卷数学本试卷分为第 卷（选择题）、第 卷（非选择题）两部分。

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试卷满分 分。

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答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。

祝各位考生考试顺利第 卷（选择题 共 分）注意事项：每题选出答案后，用 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。

一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ）sin30 的值等于（ ）12（2（3（ ）（ ）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ） （ ） （ ） （ ）（ ）上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自 年 月 日开幕至 月 日，累计参观人数约为 人，将 用科学记数法表示应为（ ）480310⨯（ ）580.310⨯（ ）68.0310⨯（ ）70.80310⨯（ ）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 次射击的平均成绩都是 环，其中甲的成绩的方差为 ，乙的成绩的方差为 ，由此可知（ ）甲比乙的成绩稳定（ ）乙比甲的成绩稳定（ ）甲、乙两人的成绩一样稳定（ ）无法确定谁的成绩更稳定（ ）右图是一个由 个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为（ ） （ ）（ ） （ ）（ ）下列命题中正确的是（ ）对角线相等的四边形是菱形（ ）对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）对角线相等的平行四边形是菱形（ ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形第（ ）如图， 中，弦AB 、CD 相交于点P ， 若30A ∠=︒，70APD ∠=︒，则B ∠等于（ ）30︒ （ ）35︒ （ ）40︒ （ ）50︒（ ）比较 ，5，37的大小，正确的是（ ）3257<< （ ）3275<< （ ）3725<<（ ）3572<<（ ）如图，是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ）已知二次函数2y ax bx c =++ 0a ≠ 的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；第（ ）第（ ）③80+>；a c④930++<．a b c其中，正确结论的个数是（ ） （ ）（ ） （ ）年天津市初中毕业生学业考试试卷数 学第 卷（非选择题 共 分）注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上。

天津市初中数学竞赛试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．若x=a-b a+b，且a≠0，则b a等于（ ） A ．1-x 1+xB ．1+x 1-xC ．x-1 x+1D ．x+1 x-1显示解析2．如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等．如果13、9、3对面的数分别为a 、b 、c ，则a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值等于（ ） A ．48 B ．76C ．96D ．152显示解析3．已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10显示解析4．如图．在▱ABCD 中，若边AB 上的两点E 、F 满足AE=EF=FB ．CEA ．2b=a+c B．b=a+cC．1c=1a+1bD．1c=1a+1b★☆☆☆☆显示解析6．已知a、b都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+l与x轴有两个不同的交点A、B．若A、B到原点的距离都小于1，则a+b的最小值等于（）A．16B．10C．4D．1显示解析二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）7．已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是．显示解析8．有甲、乙两人，甲在汽车上碰见乙正往相反的方向走去1min后，甲下车去追赶乙．若甲的速度是乙的速度的2倍，但比汽车的速度慢4/5，则自甲下车后追上乙所用的时间为min．显示解析9．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=2（AB+AD）．如果∠D=120°，则∠B等于．显示解析10．如果一个凸n边形恰有4个内角是钝角，那么，这个多边形的边数n最多为．显示解析11．若在4×4的方格表的16个方格中，每个方格填入一个数，使得每个方格的所有相邻方格中的数的总和均为l（注：相邻方格是指恰有一条公共边的），则方格表中16个数的总和等于．显示解析三、解答题（共3小题，满分60分）12．已知二次函数y=a（a+1）x2-（2a+1）x+1，其中a为正整数．（1）若函数y的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；（2）若a依次取1，2，…，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为A1B1，A2 B2，…，A2005 B2005，试求这2005条线段长之和．显示解析13．已知p、g、2q-1p、2p-1q都是整数，且p＞1，q＞1．求p+q的值．显示解析14．如图．△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为AB的中点．求证：AD2=AC•BC+CD2．显示解析（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

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祝各位考生考试顺利第 卷（选择题 共 分）注意事项：每题选出答案后，用 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。

一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ）sin30︒的值等于（ ）12（2（3（ ）（ ）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ） （ ） （ ） （ ）（ ）上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自 年 月 日开幕至 月 日，累计参观人数约为 人，将 用科学记数法表示应为（ ）480310⨯（ ）580.310⨯（ ）（ ）6⨯0.80310⨯78.0310（ ）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 次射击的平均成绩都是 环，其中甲的成绩的方差为 ，乙的成绩的方差为 ，由此可知（ ）甲比乙的成绩稳定（ ）乙比甲的成绩稳定（ ）甲、乙两人的成绩一样稳定（ ）无法确定谁的成绩更稳定（ ）右图是一个由 个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为第（ ） （ ）（ ） （ ）（ ）下列命题中正确的是（ ）对角线相等的四边形是菱形（ ）对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）对角线相等的平行四边形是菱形（ ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（ ）如图， 中，弦AB 、CD 相交于点P ， 若30A ∠=︒，70APD ∠=︒，则B ∠等于（ ）30︒ （ ）35︒ （ ）40︒ （ ）50︒（ ）比较 ，5，37的大小，正确的是（ ）3257<< （ ）3275<< （ ）3725<<（ ）3572<<（ ）如图，是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ）已知二次函数2y ax bx c =++ 0a ≠ 的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；第（ ）第（ ）③80+>；a c④930++<．a b c其中，正确结论的个数是（ ） （ ）（ ） （ ）年天津市初中毕业生学业考试试卷数 学第 卷（非选择题 共 分）注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上。

2010年天津市初中毕业生数学考试试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．（1）sin30︒的值等于（）（A）12（B（C（D）1（2）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（）（A）（B）（C）（D）（3）上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自2010年5月1日开幕至5月31日，累计参观人数约为8 030 000人，将8 030 000用科学记数法表示应为（）（A）480310⨯（B）580.310⨯（C）68.0310⨯（D）70.80310⨯（4）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.21，乙的成绩的方差为3.98，由此可知（）（A）甲比乙的成绩稳定（B）乙比甲的成绩稳定（C）甲、乙两人的成绩一样稳定（D）无法确定谁的成绩更稳定（5）右图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为（）（A）（B）（C）（D）第（5）题（6）下列命题中正确的是（ ）（A ）对角线相等的四边形是菱形 （B ）对角线互相垂直的四边形是菱形 （C ）对角线相等的平行四边形是菱形 （D ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（7）如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ， 若30A ∠=︒，70APD ∠=︒，则B ∠等于（ ）（A ）30︒ （B ）35︒ （C ）40︒ （D ）50︒ （8）比较2）（A）2<（B）2 （C2（D2（9）如图，是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）（10）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第（7）题第（9）题第（10）题二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． （11）若12a =，则221(1)(1)a a a +++的值为 ． （12）已知一次函数26y x =-与3y x =-+的图象交于点P ，则点P 的坐标为 ．（13）如图，已知AC FE =，BC DE =，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个．．条件， 这个条件可以是 ．（14）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ．（15）甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是 ．（16）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为 ． （17）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AG AF 的值为 ． （18）有一张矩形纸片ABCD ，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 、D 重合，点C 落在点C '处，得折痕EF ；第二步：如图②，将五边形AEFC D '折叠，使AE 、C F '重合，得折痕DG ，再打开； 第三步：如图③，进一步折叠，使AE 、C F '均落在DG 上，点A 、C '落在点A '处，点E 、F 落在点E '处，得折痕MN 、QP .这样，就可以折出一个五边形DMNPQ .第（13）题ACD BEF第（14）题E 第（17）题DC A FBE G 第（18）题ADC ' C B EFGADC 'CBF 图①图② 图③C 'D FCAENP BE 'A 'M QG（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段 （写出一组即可）；（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ （如图③）恰好是一个正五边形，当AB a =，AD b =，DM m =时，有下列结论：①222tan18a b ab -=︒；②tan18m ︒；③tan18b m a =+︒； ④3tan182b m m =+︒.其中，正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都．填上）. 三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． （19）（本小题6分）解不等式组211,84 1.x x x x ->+⎧⎨+<-⎩（20）（本小题8分）已知反比例函数1k y x-=（k 为常数，1k ≠）． （Ⅰ）若点2A (1 )，在这个函数的图象上，求k 的值； （Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围； （Ⅲ）若13k =，试判断点34B ( )，，25C ( )，是否在这个函数的图象上，并说明理由． （21）（本小题8分）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量（单位：t ），并将调查结果绘成了如下的条形统计图．（Ⅰ）求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅱ）根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7 t 的约有多少户．第（21）题户数/t（22）（本小题8分）已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C . （Ⅰ）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.（23）（本小题8分）永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB1.732≈， 结果保留整数）．（24）（本小题8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8 000 kg ，2009年平均每公顷产9 680 kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x . （Ⅰ）用含x 的代数式表示：① 2008年种的水稻平均每公顷的产量为 ； ② 2009年种的水稻平均每公顷的产量为 ； （Ⅱ）根据题意，列出相应方程 ； （Ⅲ）解这个方程，得 ；（Ⅳ）检验： ； （Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.A图①AD图②第（22）题A45°60° 第（23）题（25）（本小题10分）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.（26）（本小题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E .（Ⅰ）若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式.第（25）题2010年天津市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准评分说明：1．各题均按参考答案及评分标准评分。

2010年天津市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准评分说明：1．各题均按参考答案及评分标准评分。

2．若考生的非选择题答案与参考答案不完全相同但言之有理，可酌情评分，但不得超过该题所分配的分数。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． （1）A （2）B （3）C （4）A （5）B （6）D（7）C（8）C（9）B（10）D二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． （11）23（12）（3，0）（13）C E ∠=∠（答案不惟一，也可以是AB FD =或AD FB =） （14）（15） 13 （16） 22y x x =+-（17（18）（Ⅰ）AD C D '=(答案不惟一，也可以是AE C F '=等)；（Ⅱ）①②③三、解答题：本大题共8小题，共66分． （19）（本小题6分） 解： ∵ 211,84 1.x x x x ->+⎧⎨+<-⎩解不等式①，得2x >． 解不等式②，得3x >． ∴ 原不等式组的解集为3x >．①②（20）（本小题8分）解：（Ⅰ）∵ 点2A (1 )，在这个函数的图象上，∴ 21k =-．解得3k =． （Ⅱ）∵ 在函数1k y x-=图象的每一支上，y 随x 的增大而减小， ∴ 10k ->．解得1k >． （Ⅲ）∵ 13k =，有112k -=．∴ 反比例函数的解析式为12y x=． 将点B 的坐标代入12y x=，可知点B 的坐标满足函数关系式， ∴ 点B 在函数12y x=的图象上． 将点C 的坐标代入12y x=，由1252≠，可知点C 的坐标不满足函数关系式，∴ 点C 不在函数12y x=的图象上． （21）（本小题8分）解：（Ⅰ）观察条形图，可知这组样本数据的平均数是62 6.54717.52816.810x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．∴ 这组样本数据的平均数为6.8．∵ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多， ∴ 这组数据的众数是6.5．∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5， 有6.5 6.56.52+=， ∴ 这组数据的中位数是6.5． （Ⅱ）∵ 10户中月均用水量不超过7 t 的有7户，有 7503510⨯=． ∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7 t 的约有35户．（22）（本小题8分）解：（Ⅰ）∵ AB 是⊙O 的直径，AP 是切线，∴ 90BAP ∠=︒.在Rt △PAB 中，2AB =，30P ∠=︒， ∴ 2224BP AB ==⨯=.由勾股定理，得AP == (Ⅱ)如图，连接OC 、AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 90BCA ∠=︒，有90ACP ∠=︒. 在Rt △APC 中，D 为AP 的中点， ∴ 12CD AP AD ==. ∴ DAC DCA ∠=∠. 又 ∵OC OA =， ∴OAC OCA ∠=∠.∵ 90OAC DAC PAB ∠+∠=∠=︒， ∴ 90OCA DCA OCD ∠+∠=∠=︒. 即 OC CD ⊥.∴ 直线CD 是⊙O 的切线.（23）（本小题8分）解：根据题意，可知45ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒，50DC =.在Rt △ABC 中，由45BAC BCA ∠=∠=︒，得BC AB =. 在Rt △ABD 中，由tan ABADB BD∠=，得tan tan 60AB AB BD AB ADB ===∠︒.又 ∵ BC BD DC -=，∴50AB =，即(3150AB =. ∴118AB =≈. 答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118 m .AD（24）（本小题8分）解：（Ⅰ）①8000(1)x +；②28000(1)x +；（Ⅱ）28000(1)9680x +=； （Ⅲ）10.1x =，2 2.1x =-；（Ⅳ）10.1x =，2 2.1x =-都是原方程的根，但2 2.1x =-不符合题意，所以只取0.1x =； （Ⅴ）10 . （25）（本小题10分）解：（Ⅰ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE .若在边OA 上任取点E '（与点E 不重合），连接CE '、DE '、DE''. 由DE CE D E CE CD D E CE DE CE '''''''+=+>=+=+， 可知△CDE 的周长最小.∵ 在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB∴ 3BC =，2D O DO '==，6D B '=. ∵ OE ∥BC ，∴ Rt △D OE '∽Rt △D BC '，有OE D OBC D B'='. ∴ 2316D O BC OE D B '⋅⨯==='. ∴ 点E 的坐标为（1，0）.（Ⅱ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，在CB 边上截取2CG =，连接D G '与x 轴交于点E ，在EA 上截取2EF =. ∵ GC ∥EF ，GC EF =，∴ 四边形GEFC 为平行四边形，有GE CF =. 又 DC 、EF 的长为定值，∴ 此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小. ∵ OE ∥BC ，∴ Rt △D OE '∽Rt △D BG ', 有 OE D OBG D B'='.∴ ()21163D O BG D O BC CG OE D B D B ''⋅⋅-⨯====''. ∴ 17233OF OE EF =+=+=.∴ 点E 的坐标为（13，0），点F 的坐标为（73，0）.（26）（本小题10分）解：（Ⅰ）当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+.∴ 抛物线顶点E 的坐标为（1，4）．（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =，∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++（0c >）．∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，． ∵ 方程220x x c -++=的两个根为11x =21x = ∴ 此时，抛物线与x轴的交点为10()A，10()B ． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE = S △BCF ． ∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △ABC ． ∴BF AB == 设对称轴1x =与x 轴交于点D ，则12DF AB BF =+=由EF ∥CB ，得EFD CBO ∠=∠． ∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有ED CODF OB=． ∴=．结合题意，解得 54c =． ∴ 点54(0 )C ，，52( 0)B ，．x设直线BC 的解析式为y mx n =+，则 5,450.2n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得 1,25.4m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 直线BC 的解析式为1524y x =-+.（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为( )E h k ，，（0h >，0k >） 则抛物线的解析式为2()y x h k =--+， 此时，抛物线与y 轴的交点为2(0 )C h k -+，，与x轴的交点为0()A h，0()B h .0h >） 过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ， 则S △BCE = S △BCF . 由S △BCE = 2S △AOC ，∴ S △BCF = 2S △AOC .得2)BF AO h ==. 设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D . 则122DF AB BF h =+=. 于是，由Rt △EDF ∽Rt △COB ，有ED CODF OB=． ∴2=2220h k -+=．结合题意，解得h =① ∵ 点( )E h k ，在直线43y x =-+上，有43k h =-+． ② ∴1=． 有1k =，12h =． ∴抛物线的解析式为234y x x =-++．。

2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分） （1）计算2222010200920102009201122009--⨯+⨯的值为（ ）． （A ）1 （B ）1- （C ）2 009 （D ）2 010【解】选A ．原式22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---．[例11] (2005-4)设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是( )．(A)18 (B)20 (C)24 (D)25[解答]当n ≥3时，有()()211111422422n n n n n ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭,所以22211148()34441004A =⨯++---111111481452698102⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭1111251299100101102⎛⎫=-⨯+++ ⎪⎝⎭,因为11111111411212129910010110299999999992⎛⎫⎛⎫⨯+++<⨯+++=⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以与A 最接近的正整数是25，选D.[点评]数列求和问题是一类基本问题，裂项相消法则是其中一个基本方法，要特别注意裂项后哪些项没有抵消.当然，只有符合一定的特点的式子（数列）才能裂项，常见的裂项有：()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=.（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=, BE =，则梯形ABCD 的面积等于（ ）．（A ）13 （B ）8ABCD E 第（3）题（C ）132（D ）4 【解】选D ．如图，过点E 作//EF AB 交BC 于点F ，则12BF BC =,11()(6)22EF AB CD BC =+=-,又∵BC AB ⊥,∴EF BC ⊥∴在Rt △BFE 中，222EF BF BE +=．∴22211[(6)]()22BC BC -+=，即2680BC BC -+=，解得 2BC =或4BC =，则2EF =或1EF =, ∴ 4ABCD S EF BC =⋅=梯形． （4）某个一次函数的图象与直线132y x =+平行，与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，并且过点（2-，4-），则在线段AB 上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 【解】选B ．根据题意，设一次函数的解析式为12y x b =+，由点（2-，4-）在该函数图象上，得14(2)2b -=⨯-+，解得3b =-．所以，132y x =-．可得点A （6，0），B （0，3-）． 由06x ≤≤，且x 为整数，取0,2,4,6x =时，对应的y 是整数． 因此，在线段AB 上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有4个．（5）如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a（a ≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）．（A ）2π3r（B2（C）2π)r （D ）2πr 【解】选C ．如图，当圆形纸片运动到与A ∠的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心1O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连1AO ，则Rt △1ADO 中，130O AD ∠=︒，1O D r =，AD =．∴12112ADO S O D AD ∆=⋅=．有1122ADO ADO E S S ∆=四形形．∵由题意，1120DO E ∠=，得12π3O DE S r =扇形，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π3)3r -2π)r =第（5）题ABC D EFCNCABDM第（8）题二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．【解】710． 根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率710P =．（7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为3+5=8（个）； 第8行实心圆的个数为5+8=13（个）； 第9行实心圆的个数为8+13=21（个）． （8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线 CD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 （度）.【解】30︒.根据题意，可得CD AB ⊥，AM MB =，ACD MCD BCM ∠=∠=∠. ∵ACD MCD ∠=∠，CD CD =，90CDA CDM ∠=∠=︒,点数之积 3 7 8 96 2 14 16 183 78921 24 27 56 78963 8 972 第（6）题1行 2行 3行 4行 5行 6行……第（7）题∴△ACD ≅△MCD ∠. ∴12AD DM AM ==. 过点M 作MN BC ⊥于点N ,∵DCM NCM ∠=∠,CM CM =,90CDM CNM ∠=∠=︒, ∴△DCM ≅△NCM ∠. ∴DM NM =.于是12NM MB =，∴在Rt △MNB 中，30B ∠=︒.（9）有n 个连续的自然数1，2，3，…，n ，若去掉其中的一个数x 后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n 和x 的值分别是 .（参考公式：2)1(321+=++++=n n n S n ） 【解】30n =，1x =；31n =，16x =；32n =，32x =.由已知，n 个连续的自然数的和为(1)2n n n S +=.若x n =，剩下的数的平均数是12n S n nn -=-； 若1x =，剩下的数的平均数是 1112n S nn -=+-，故16122n n+≤≤，解得 3032n ≤≤. 当30n =时，30(301)29162x ⨯+⨯=-，解得1x =； 当31n =时，31(311)30162x ⨯+⨯=-，解得16x =； 当32n =时，32(321)31162x ⨯+⨯=-，解得32x =. （10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付 元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x 元，y 元，z 元， 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去z ，得23x y =-． ③ 将③代入①，得82z y =+．④由③，④得 10x y z ++=．有 2()20x y z ++=． 所以，小莹应付20元． 方法二：(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++，(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++．①②∴342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=． 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （11）（本小题满分20分）已知，抛物线2y ax bx c =++（0≠a ）经过A 、B图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定a ，b ，c 的符号； （Ⅱ）当b 变化时，求a b c ++的取值范围．【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得0a >．……3由抛物线过点(0,1)-，得10c =-<． ……6分 由抛物线对称轴在y 轴的右侧，得02ba->，又 0a >，得0b <． ∴0a >，0b <，0c <． ……………………………………10分 （Ⅱ）由抛物线过点(1,0)-，得0a b c -+=．即1a b =+，由0a >，得1b >-． ……………………………………16分 ∴10b -<<，∴(1)12a b c b b b ++=++-=．∴20a b c -<++<． ……………………………………20分 （12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ．若,,a b c 均为整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数．【解】由勾股定理，得222c a b =+． ……………………………………3分又1()3c ab a b =-+，得2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++．即2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++．整理，得6()180ab a b -++=．即(6)(6)18a b --=． ………………………8分 因为,a b 均为正整数，不妨设a b <， 可得61,618,a b -=⎧⎨-=⎩或62,69,a b -=⎧⎨-=⎩或63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个． ……………………………………20分 （13）（本小题满分20分）AC如图，在△ABC 中，45ABC ∠=，点D 在边BC 上，60ADC ∠=，且12BD CD =．将△ACD 以直线AD 为轴做轴对称变换，得到△AC D '，连接BC '，（Ⅰ）求证BC BC '⊥； （Ⅱ）求C ∠的大小．（Ⅰ）【证明】∵△AC D '是△ACD 沿AD 做轴对称变换得到的，∴△AC D '≌△ACD .有C D CD '=，ADCADC '∠=∠．………………3分∵12BD CD =，60ADC ∠=，∴12BD C D '=，18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠=．……5分取C D '中点P ，连接BP ，则△BDP 为等边三角形，△BC P '为等腰三角形，…8分有113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒．∴90C BD '∠=，即BC BC '⊥． ……10分（Ⅱ）【解】如图，过点A 分别作,,BC C D BC ''的垂线，垂足分别为,,E F G ．∵ADC ADC '∠=∠，即点A 在C DC '∠的平分线上， ∴AE AF =．……13分 ∵90C BD '∠=，45ABC ∠=， ∴45GBA C BC ABC '∠=∠-∠=，即点A 在GBC ∠的平分线上，∴AG AE =．……16分 于是，AG AF =，则点A 在GC D '∠的平分线上．…………………………18分 又∵30BC D '∠=︒,有150GC D '∠=． ∴12AC D '∠=75GC D '∠=．∴C ∠75AC D '=∠=．………………………20分 （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 内，已知两个动圆1O 与2O 互相外切，且1O 与边AB 、AD 相切，2O 与边BC 、CD 相切．若正方形ABCD 的边长为1，1O 与2O 的半径分别为1r ，2r ．①求1r 与2r 的关系式；②求1O 与2O 面积之和的最小值．（Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形ABCD 改为一个ABCDC 'PA 图（a ）BDC 'FGAC宽为1，长为32的矩形，其他条件不变，则1O 与2O 面积的 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 这个最小值．【解】（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 中，连接AC ，显然1O 与2O 在AC 上，且1AO =，1212O O r r =+，22CO =，由1122AC AO O O CO =++=，122r r +++=∴122r r += ………………………5分②根据题意，1r 12≤，2r 12≤，可得21122r r =-≤，即321r 12≤．∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，∴2211(2)πSr r =+21122(26r r =-+-2122(32r =-+-32-2212≤，…………8分∴当1r =时，1O 与2O是等圆，其面积和的最小值为(3π-． ……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △12O O P ， 则1212O O r r =+，1121232O P AB r r r r =--=--， 212121O P BC r r r r =--=--．∵在Rt △12O O P 中，2221212O O O P O P =+，∴2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--．即2121213()5()04r r r r +-++=．解得1252r r +=+1252r r +=图（a ）B图（b ）由于1235122r r +<+=，故1252r r +=∴1252r r +=……………………………………15分 ∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，而2221212()2r r r r ++≥，当且仅当12r r =时，等号成立，∴当12r r =时，1O 与2O 面积和存在最小值，最小值为25(2π2-，即37(π8-． ……………………………………20分。

2010年天津市中考数学试卷及答案详解一、选择题（共1小题；共5分）1. 的值等于______A. B. C. D.二、解答题（共1小题；共13分）2. 解不等式组：．三、选择题（共6小题；共30分）3. 下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为______A. B.C. D.4. 上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自 2010 年 5 月 1 日开幕至 5 月31日，累计参观人数约为人，将用科学记数法表示应为______A. B. C. D.5. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员次射击的平均成绩都是环，其中甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，由此可知______A. 甲比乙的成绩稳定B. 乙比甲的成绩稳定C. 甲、乙两人的成绩一样稳定D. 无法确定谁的成绩更稳定6. 下列命题中正确的是______A. 对角线相等的四边形是菱形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形7. 如图所示，中，弦、相交于点，若，，则等于______A. B. C. D.8. 如图所示，是一种古代计时器--“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用表示时间，表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内与的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）______A. B.C. D.四、填空题（共1小题；共5分）9. 甲盒装有个乒乓球，分别标号为，，；乙盒装有个乒乓球，分别标号为，．现分别从每个盒中随机地取出个球，则取出的两球标号之和为的概率是______．五、解答题（共4小题；共52分）10. 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导"节约用水从我做起"，小刚在他所在班的名同学中，随机调查了名同学家庭中一年的月均用水量（单位：），并将调查结果绘成了如下的条形统计图．（1）求这个样本数据的平均数、众数和中位数；（2）根据样本数据，估计小刚所在班名同学家庭中月均用水量不超过的约有多少户．11. 永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在处测得摩天轮的最高点的仰角为，再往摩天轮的方向前进至处，测得最高点的仰角为．求该兴趣小组测得的摩天轮的高度（，结果保留整数）．12. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007 年平均每公顷产，2009 年平均每公顷产，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为．（i）用含的代数式表示：①2008 年种的水稻平均每公顷的产量为______；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为______；（ii）根据题意，列出相应方程______；（iii）解这个方程，得______；（iv）检验：______；（v）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______．13. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点．（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标．六、选择题（共3小题；共15分）14. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为______A. B.C. D.15. 比较，，的大小，正确的是______A. B. C. D.16. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是______A. B. C. D.七、填空题（共4小题；共20分）17. 如图，已知，，点，，，在一条直线上，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是______．18. 已知二次函数中自变量和函数值的部分对应值如下表，则该二次函数的解析式为______．19. 如图，等边三角形中，，分别为，边上的点，，与交于点，于点，则的值为______．20. 有一张矩形纸片，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使点、重合，点落在点处，得折痕；第二步：如图②，将五边形折叠，使、重合，得折痕，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使、均落在上，点、落在点处，点、落在点处，得折痕、．这样，就可以折出一个五边形，（1）请写出图①中一组相等的线段______（写出一组即可）；（2）若这样折出的五边形（如图③）恰好是一个正五边形，当，，时，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是______（把你认为正确结论的序号都填上）．八、解答题（共2小题；共26分）21. 已知反比例函数（为常数，）．（1）若点在这个函数的图象上，求的值；（2）若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；（3）若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由．22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为．（1）若，，求此时抛物线顶点的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形中满足，求此时直线的解析式；（3）将（1）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形中满足，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式．九、填空题（共3小题；共15分）23. 若，则的值为______．24. 已知一次函数与的图象交于点，则点的坐标为______．25. 如图，已知正方形的边长为，为边上一点，．以点为中心，把顺时针旋转，得，连接，则的长等于______．答案第一部分1. A第二部分2. 解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式的解集为．第三部分3. B4. C5. A6. D7. C8. B第四部分9.第五部分10. （1）观察条形图，可知这组样本数据的平均数是这组样本数据的平均数为．在这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多，这组数据的众数是．将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，有，这组数据的中位数是．（2）户中月均用水量不超过的有户，有．根据样本数据，可以估计出小刚所在班名同学家庭中月均用水量不超过的约有户．11. 根据题意，可知，，．在中，由，得．在中，由，得．又，，即．．答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为．12. （i）①；②（ii）（iii），（iv），都是原方程的根，但不符合题意，所以只取（v）13. （1）关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接．若在边上任取点（与点不重合），连接、、．由可知的周长最小．在矩形中，，，为的中点，，，．，，有．．点的坐标为．（2）关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取．，，四边形为平行四边形，有．又、的长为定值，此时得到的点、使四边形的周长最小．，，有．．．点的坐标为，点的坐标为第六部分14. B 15. C16. D第七部分17. （答案不惟一，也可以是或）18.19.20. （答案不惟一，也可以是等）；①②③第八部分21. （1）点在这个函数的图象上，．解得．（2）在函数图象的每一支上，随的增大而减小，．解得．（3），．反比例函数的解析式为．将点的坐标代入，可知点的坐标满足函数关系式，点在函数的图象上．将点的坐标代入，由，可知点的坐标不满足函数关系式，点不在函数的图象上．22. （1）当，时，抛物线的解析式为，即．抛物线顶点的坐标为．（2）将（1）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，抛物线的解析式为．此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．方程的两个根为，此时，抛物线与轴的交点为，．如图所示，过点作与轴交于点，连接．．，．．设对称轴与轴交于点，则．由，得．．．．结合题意，解得．点，．设直线的解析式为．则解得直线的解析式为．（3）根据题意，设抛物线的顶点为．则抛物线的解析式为．此时，抛物线与轴的交点为．与轴的交点为，，（）．过点作与轴交于点，连接（如（2）中图所示），则．由，．得．设该抛物线的对称轴与轴交于点，则．于是，由，有．，即．结合题意，解得点在直线上，有由，结合题意，解得，有，．抛物线的解析式为．第九部分23.24. ，25.。

2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）计算的值为（）．2222010200920102009201122009--⨯+⨯（A ）1 （B ） （C ）2 009（D ）2 0101-【解】选A ．原式．22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---（2）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母．在展开前，与标注字母的面相对的面内标注的字母为（）．a （A ） （B ）b d （C ） （D ）e f 【解】选B ．（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，,6AB BC CD ++=，则梯形ABCD 的面积等于（）．BE =（A ）13（B ）8（C ） （D ）4132【解】选D ．如图，过点E 作交BC 于点F ，//EF AB 则,,12BF BC =11()(6)22EF AB CD BC =+=-又∵,∴BC AB ⊥EF BC⊥∴在Rt △中，．BFE 222EF BF BE +=∴，即，22211[(6)]()22BC BC -+=2680BC BC -+=解得 或，则或,2BC =4BC =2EF =1EF =第（2）题A BCDEFABC DE第（3）题∴ ．4ABCDS EF BC =⋅=四四（4）某个一次函数的图象与直线平行，与轴，轴的交点分别为132y x =+x y A ，B ，并且过点（，），则在线段上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的2-4-AB 点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个【解】选B ．根据题意，设一次函数的解析式为，12y x b =+由点（，）在该函数图象上，得，解得．2-4-14(2)2b -=⨯-+3b =-所以，．可得点A （6，0），B （0，）．132y x =-3-由，且为整数，取时，对应的是整数．06x ≤≤x 0,2,4,6x =y 因此，在线段上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有4个．AB （5）如图，一个半径为的圆形纸片在边长为（）的等边三角形内任ra a ≥意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）．（A ）　（B2π3r 2（C ）（D ）2π)r -2πr 【解】选C ．如图，当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心作两边A ∠1O 的垂线，垂足分别为D ，E ，连，则Rt △中，，，1AO 1ADO 130O AD∠=︒1O D r =．AD =∴．有．12112ADO SO D AD ∆=⋅=1122ADO ADO ES S ∆==四四四∵由题意，，得，1120DO E ∠= 12π3O DES r =四四∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π3)3r -四2π)r =-第（5）题AC二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．【解】．710根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率．710P =（7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是 ．【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为358（个）；+=第8行实心圆的个数为5813（个）；+=第9行实心圆的个数为81321（个）．+=（8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线点数之积378962141618378921242756789638972第（6）题123456……第（7）题C ABDMNCD 三等分，则等于 （度）.ACB ∠B ∠【解】.30︒根据题意，可得，，.CD AB ⊥AM MB =ACD MCD BCM ∠=∠=∠∵，，,ACD MCD ∠=∠CD CD =90CDA CDM ∠=∠=︒∴△△. ∴.ACD ≅MCD ∠12AD DM AM ==过点作于点N ,M MN BC ⊥∵,,,DCM NCM ∠=∠CM CM =90CDM CNM ∠=∠=︒∴△△. ∴.DCM ≅NCM ∠DM NM =于是，∴在Rt △中，.12NM MB =MNB 30B ∠=︒（9）有个连续的自然数1，2，3，…，，若去掉其中的一个数后，剩下的数n n x 的平均数是16，则满足条件的和的值分别是 .n x （参考公式：）2)1(321+=++++=n n n S n 【解】，；，；，.30n =1x =31n =16x =32n =32x =由已知，个连续的自然数的和为.n (1)2n n n S +=若，剩下的数的平均数是 ；x n =12n S n nn -=-若，剩下的数的平均数是 ，1x =1112n S nn -=+-故，解得 .16122nn+≤≤3032n ≤≤当时，，解得；30n =30(301)29162x ⨯+⨯=-1x =当时，，解得；31n =31(311)30162x ⨯+⨯=-16x =当时，，解得.32n =32(321)31162x ⨯+⨯=-32x =（10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，x y z 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去，得．③z 23x y =-将③代入①，得．④82z y =+由③，④得 ．有 ．所以，小莹应付20元．10x y z ++=2()20x y z ++=方法二：，(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++．(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++∴ 解得342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴．2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）已知，抛物线（）经过、2y ax bx c =++0≠a A B 图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定，，的符号；a b c （Ⅱ）当变化时，求的取值范围．b a b c ++【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得．……0a >由抛物线过点，得．……6分(0,1)-10c =-<由抛物线对称轴在轴的右侧，得，又 ，得．y 02ba->0a >0b <∴，，．……………………………………10分0a >0b <0c <（Ⅱ）由抛物线过点，得．(1,0)-0a b c -+=即，由，得．……………………………………16分1a b =+0a >1b >-∴，∴．10b -<<(1)12a b c b b b ++=++-=①②∴．……………………………………20分20a b c -<++<（12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．若均为整数，且,a b c ,,a b c ，求满足条件的直角三角形的个数．1()3c ab a b =-+【解】由勾股定理，得． ……………………………………3分222c a b =+又，得．1()3c ab a b =-+2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++即．2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++整理，得．即． ………………………8分6()180ab a b -++=(6)(6)18a b --=因为均为正整数，不妨设，,a b a b <可得或或61,618,a b -=⎧⎨-=⎩62,69,a b -=⎧⎨-=⎩63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出或或7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个．……………………………………20分（13）（本小题满分20分）如图，在△中，，点在边ABC 45ABC ∠= D 上，，且．将△以BC 60ADC ∠= 12BD CD =ACD 直线为轴做轴对称变换，得到△，连接，AD AC D 'BC '（Ⅰ）求证；BC BC '⊥（Ⅱ）求的大小．C ∠（Ⅰ）【证明】∵△是△沿做轴对称变换得到的，AC D 'ACD AD ∴△≌△.AC D 'ACD 有，．………………3分C D CD '=ADC ADC '∠=∠∵，，12BD CD =60ADC ∠= ABCDC 'ABCDC 'PBC图（b ）∴，．……5分12BD C D '=18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠= 取中点P ，连接，则△为等边三角形，△为等腰三角形，…8分C D 'BP BDP BC P '有．∴，即． (10)113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒90C BD '∠= BC BC '⊥分（Ⅱ）【解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为．A ,,BC C D BC '',,E F G ∵，ADC ADC '∠=∠即点在的平分线上，A C DC '∠∴．……13分AE AF =∵，，90C BD '∠= 45ABC ∠= ∴，45GBA C BC ABC '∠=∠-∠= 即点在的平分线上，∴．……16分A GBC ∠AG AE =于是，，则点在的平分线上．…………………………18分AG AF =A GC D '∠又∵,有．30BC D '∠=︒150GC D '∠= ∴．∴．………………………20分12AC D '∠=75GC D '∠= C ∠75AC D '=∠= （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（），在正方形内，已知两个动圆与互相外切，且a ABCD 1O A 2O A 与边AB 、AD 相切，与边BC 、CD 相切．若正方形的边长为1，1O A 2O A ABCD 与的半径分别为，．1O A 2O A 1r 2r ①求与的关系式；1r 2r ②求与面积之和的最小值．1O A 2O A （Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形改为一个ABCD 宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则与面积的321O A 2O A 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．BA图（a ）C【解】（Ⅰ）如图（），在正方形ABCD 中，连接，显然与在上，a AC 1O 2O AC 且，，，1AO =1212O O r r =+22CO 由，1122AC AO O O CO =++=．122r r +++=∴………………………5分122r r +=-②根据题意，，，1r 12≤2r 12≤可得，即．21122r r =-≤321r 12≤∵与的面积之和，1O A 2O A 2212π()S r r =+∴2211(2)πSr r =+-21122(26rr =-+-．这里，由， (8)分212(3r =-+-3212≤∴当时，与是等圆，其面积和的最小值为．1r =1O A 2O A (3π-……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △，12O O P 则，1212O O r r =+，1121232O P AB r r r r =--=--．212121O P BC r r r r =--=--∵在Rt △中，，12O O P 2221212O O O P O P =+∴．2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--即．2121213()5()04r r r r +-++=AD图（a）A图（b ）解得1252r r +=1252r r +=由于，故1235122r r +<+=1252r r +=+∴ ……………………………………15分1252r r +=∵与的面积之和，1O A 2O A 2212π()S r r =+而，当且仅当时，等号成立，2221212()2r r r r ++≥12r r =∴当时，与面积和存在最小值，12r r =1O A 2O A ，即．37(π8……………………………………20分。