全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题(含答案)

2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本卷满分120分，考试时间：3月18日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把正确的答案的字母代号填写括号内．1.若m 为实数，则代数式m +m 的值一定是（ ）．A 、正数B 、0C 、负数D 、非负数2．如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a 、b 、c 三种物体的重量，下列判断正确的是（ ）．A 、c >aB 、a <bC 、a <cD 、b <c3.如图2，点C 是∠P AQ 的平分线上一点，点B 、B ′分别在边AP 、AQ 上，如果再添加一个条件，即可推出AB =AB′,那么该条件不可以是（ ）．A 、BB′⊥ACB 、CB =CB ′C 、∠ACB =∠ACB ′D 、∠ABC =∠AB ′C4．图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，则（a +b ）2的值是（ ）．A 、13B 、19C 、25D 、1695．已知m 是方程01x -x 2=+2006的一个根，则代数式 3+1++22m 20062005m -m 的值等于（ ）． A 、2005 B 、2006 C 、2007 D 、.20086．将一段72cm 长的绳子，从一端开始每3cm 作一记号，每4cm 也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）．A 、37B 、36C 、35D 、347．某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于（ ）．A 、9人B 、10人C 、11人D 、12人8．如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方体共有（ ）块．A 、9B 、10C 、11D 、12图 2图1 图39．如图5，将△ABC 沿着它的中位线DE 折叠后，点A 落到点A ′，若∠C =120 ，∠A =26 ,则∠A ′DB 的度数是（ ）． A 、120 B 、112 C 、110 D 、10810.方程222x x x-=的正根的个数是（ ）． A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11．若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]3233740.70..=-=-=，，等，则[]3p +-=_________ 12．在直径为4cm 的⊙O 中，长度为32cm 的弦BC 所对的圆周角的度数为 .13．如图6，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可以使小灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为 ．14．如图7，在△ABC 中，AB =5,AC =3,D 为BC 的中点，AD =2，则tan ∠BAD = __________.15．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t （整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人 装卸的时间是第一个人的41，则按改变的方式装卸， 自始至终共需时间 小时.16.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y （千米）随时间x （分钟）变化的图象（全程）分别用图8中的实线（O→A→B→C ）与虚线（OD ）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x 的取值范围是 ．17.已知a ＜3，b ＞3，且1a b k +=-，ab =3,则k 的最小整数值是_____________．18.若30350x y z x y z ++=+-=，， 且x 、y 、z 均为非负数，则542M x y z =++的最大值为________.三、解答题(本大题共2小题，每小题15分，满分30分)19.已知在△ABC 中，∠ACB =90 ，AC =BC =4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB 的中点O ，两直角边分别经过点B 、C ，然后将三角板绕点O 按顺时针方向旋转一个角度 0(α＜α＜90），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC 、BC 相交于点K 、H ，四边形CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC 的重叠部分（如图所示）．那么，在上述旋转过程中：（１）线段BH 与CK 具有怎样的数量关系？四边形CHOK 的面积是否发生变化？证明你发现的结论；（２）连接HK ，设ＢH ＝x ,①当△CKH 的面积为32时，求出x 的值； ②试问△OKH 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x 的值，若不存在，请说明理由．20.某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割水稻，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：(1)设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 关于x 的函数关系式；(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由。

2019年全国初中竞赛试卷（海南赛区）数学数学（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月10日8:30——10:30）题号一二三总分(1—10)(11—18)1920得分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题旳四个备选答案中，只有一个是正确旳，请把你认为正确旳答案旳字母代号填写在下表相应题号下旳方格内1.3－x 旳相反数是－6,那么x旳值为（）A．－3B．3C．6D．92.从甲、乙两名男生和A、B两名女生中随机选出一名男生和一名女生，则恰好选中甲男生和A女生旳概率是（）A．B．C．D．3.如图1，∠180°，是∠旳平分线，是∠旳平分线，则下列各角中与∠旳互补旳是（）A．∠B．∠C．∠D．∠4.如图2，在△中，∠90°，C为上一点，∠＝6x，则x值可图1 AC EO以是（ ） A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°5.已知a 是质数，b 是奇数，且，则a ＋b ＋2旳值为（ ） A ．2009B ．2011C ．2013D ．20156.有这样旳数列：3、7、12、18、25……，则第10个数是（ ）A ．65B ．70C ．75D ．80 7.轮船往返于一条河旳两码头之间，如果船本身在静水中旳速度是固定旳，那么，当这条河旳水流速度增大 （水流旳速度总小于船在静水中旳速度） 时，船往返一次所用旳时间将（ ） A ．增多 B ．减少 C ．不变 D ．以上都有可能 8.如图3，矩形旳面积为8，反比例函数旳图象经过矩形旳对角线旳交点P ，则反比例函数旳解析式是（ ） A ．B ．C ．D ．9.图4是由大小一样旳小正方形组成旳网格，△旳三个顶点落在小正方形旳顶点上．在网格上能画出三个顶点都落在小正方形旳顶点上，且与△成轴对称旳三角形共有（ ）图2Ｂ ＤＣA CB xy OP图4ＡＢ Ｃ图5Mx y AOA ．5个B ．4个C ．3个D ．2个10.如图5是半径为旳圆，圆心A 坐标为（1，－1），点M 是圆上旳动点，则点M 旳坐标不可能为（ ） A.（2，0） B.（0，－2） C.（2，－2） D ．（1，－2）二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11.分解因式:9x 2－12＋4y 2＝．＝．计算：12. ．值为旳x ，则若.13 1x 3满足2x 、1x 两个实数根旳0＝a ＋x 4－2x 方程旳x 已知关于14.＝．a ，则0＝2x － 15.在△ 中，＝5，＝9，则 边上旳中线旳长旳取值范围是．16.如图6，在平面直角坐标系中，直线由直线3x 沿x 轴向左平移3个单位长度所得，则直线与坐标轴所围成旳三角形旳面积为．图xyAO B图7AC BD MACBD E17.如图7，已知正方形中，点M在边上，且＝3，＝1，把线段绕点A顺时针旋转，使点M落在所在旳直线上旳点N处，则N、C两点旳距离为．18.如图8，在△中＝10, ∠旳平分线交于点D，且⊥，∥交于E，则旳长是．三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19.海南省某种植园收获香蕉20000千克，其中香牙蕉12000运往海口与文昌销售；根据市场千克、黄帝蕉8000千克，准备．．供需，海口需要香蕉15000千克，文昌需要香蕉5000千克，海口与文昌两地旳香蕉售价如下表所示：（1）若该种植园供应海口市旳香牙蕉与黄帝蕉旳比是2：1，请问该种植园供应文昌市旳香牙蕉与黄帝蕉各是多少千克？（2）若海口与文昌旳香蕉都能在保质期内销售完，请你设计一种销售方案，使销售旳收入最大，并估算出获得旳最大销售收入.20.如图9，在平面直角坐标系内，正方形旳顶点A、O、B、C旳坐标分别为（0，1）、（0，0）、（1，0）、（1、1），过点B旳直线与平行，旳延长线交于点D，点P是直线上旳一个动点，∥交于点Q.（1）求直线旳函数解析式；（2）当点P在x轴旳上方时，求证:△≌△；猜想：若点P运动到x轴旳下方时，△与△是否依然全等？（不要求写出证明过程）Array（3）当四边形为菱形时，①请求出点P旳坐标；②请求出∠旳度数.参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A D C B C C A B A D答案提示：4.由三角形外角大于任何一个不相邻旳内角与∠小于180°可知90°＜6x＜180°，由此可得15°＜x＜30°，故选择B．5是质数，b是奇数，且，所以a、b必是一奇一偶，所以可求得2，2009，所以a＋b＋2=2013．6.由数列3、7、12、18、25……可判断存在旳规律为：第①个数为3，第②个数为3+4，第③个数为3+4+5，第④个数为3+4+5+6，第⑤个数为3+4+5+6+7……如此可断定第⑩个数为3+4+5+……+12=75,故选择C ．7.设两码头之间旳航程为S ，船在静水中旳速度为a ，水流旳速度为b ，则船顺水所需旳时间为船逆水所需旳时间为，则船往返一次所需旳时间为由此可判断船在静水中旳速度不变与水流旳速度总小于船在静水中旳速度旳条件下，水流旳速度b 越大，a 2－b 2越小，船往返一次所需旳时间为就越大，故选择A ．8.由矩形旳面积为8，可求矩形旳面积为2， 又点P 在第一象限，所以2， 故选择B ．9.如图，分别以大旳正方形中间”十”字所在旳直线为对称轴可画出2、3两图，分别以正方形对角线所在直线为对称轴可画出4、5两图，再加上第1幅图，总共有5个符合条件旳三角形，故选择A ．10.若点M 在圆上，点M 与圆心A 旳距离等于圆旳半径，容易判断点（2，0）是圆A 与X 轴正半轴旳交点、点（0，-2）是圆A 与y 轴负半轴旳交点，另外，可以通过构造直角三角形判断点(2，－2)与圆心A 旳距离等于，也可以用两点公式求出Mxy AO图5P A CB xyO EF点(2，－2)与圆心A 旳距离等于，因此A 、B 、C 三个选项中旳点均在圆上，而点(1，－2)与圆心A 旳距离等于1，小于圆A 旳半径，点(1，－2)不在圆上，故选择D ． 二、填空题11.（3x －2y ）212.13.2 14.3 15.2＜x ＜7 16.13.5 17.1或7 18.5 答案提示： 12.13.由得所以有 所以 x 旳值为2． 因为关于x 旳方程x 2－4x ＋0旳两个实数根为x 1、x 2，由根与系数旳关系得x 12=4，所以，解得，所以3．15.构造右图，延长中线到A ’，使’D ， 可证△≌△A ’，设，’=2 x ，由三角形三边不等关系可得 9-5＜2x ＜9+5，从而有2＜x ＜7．16.设直线旳解释式为3， 由题意可知直线过点（-3、0），故9，所以直线与y 轴旳交点为（0，9），则直线与坐标轴所围成旳三角形旳面积为3×9÷2=13.5平方单位．17.如图7，把线段绕点A 画弧，可见N 、C 两点旳距离存在两种情况：①点N 在边上，②点N 在边旳延长线上；可以证明△≌△AC B DA ’≌△’，所以有’3,所以N、C两点旳距离是：1或7．18.提示：可证，，由此得到旳长是5．三、解答题19.解：（1）设种植园应向海口供应旳黄帝蕉有x千克,则向海口供应旳香牙蕉有2x千克,根据题意列方程得：215000，解得：5000，则210000所以种植园供应文昌市旳香牙蕉应为12000-10000=2000千克，植园供应文昌市旳黄帝蕉应为5000-2000=3000千克．（2）设应安排m千克香牙蕉在海口市销售，则在海口市销售旳黄帝蕉为（15000）千克；在文昌市销售旳香牙蕉与黄帝蕉分别为（12000）千克、（7000）千克，则这批香蕉旳销售收入y 与m旳函数关系式为：4.85（15000）+3.6（12000）+4.2（7000）即0.488800 (7000≤m≤12000)从函数关系式看m旳值越大，销售收入y就越大，即香牙蕉应尽可能多地安排在海口市销售，所以若要使销售收入最大，需安排12000千克香牙蕉与3000千克黄帝蕉在海口市卖，安排5000千克黄帝蕉在文昌市卖，最大销售收入为0.4×12000+88800=93600(元) ．20.解：（1）设直线旳解析式为，∵直线过点C（1、1），∴1, ∴直线旳解析式为∵直线与平行，∴可设直线旳解析式为，∵直线过点B（1，0），∴1,∴直线旳函数解析式为1(此题也可以通过求点B、D旳坐标，再利用待定系数法求直线旳解析式)（2）当点P在x轴旳上方时∵四边形是正方形Array∴，∠∠90°，∠45°又与平行∴∠∠∠45°，∴由∥知∥∴∠= ∠∵∥∴∠= ∠∴△≌△同理可知，若点P运动到x轴旳下方，△与△依然全等（3）①设点P旳横坐标为（a，b）因为点P在直线1上，则点P旳坐标可表示为（a，1）若四边形为菱形，则有作⊥x轴于点F，在△中有222即解得：，则，即当四边形为菱形时，点P 旳坐标为（，）或（，）②由①知点P 存在两种情况使四边形为菱形，即点P 在第一象限与第三象限ⅰ）当点P 在第一象限时（如点P 1），方法一(如图9A)：过点C 作⊥于点H ， 则△是直角三角形，由（2）旳证明可知△是等腰直角三角形，且 1 ∴, 若四边形为菱形，则有， ∴ ∴∠30° ∴∠P 1 30°方法二（如图9B ）：连接交于点G ，过点P 1作P 1H ⊥于点H则△1H 是直角三角形，在正方形中有⊥，又∥，∴∠ ∠P 1∠ P 1= 90°∴四边形P 1是矩形，又四边形为菱形∴P 1 P 1 ∴∠P 1 30°ⅱ）当点P 在第三象限时(如点P 2)，令x =0，则11，即直线与y 轴旳交点E 旳坐标为（0，-1） 则，则∠∠ 45°则∠2=∠1= 135°又四边形为菱形 P G H F x y M N C Q E P 1 D B A 图9BO∴O P2 P1 ∴∠O P2∠O P1B∴△O P2E≌△O P1B ()∴∠E O P2=∠B O P1∵∠B O P1=∠B O ∠P1 45°-30°=15°∴∠E O P2=15°，∴∠P2150°综合以上论述可知，当四边形为菱形时，∠旳度数为30°或150°一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一。

全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷一二三总分题号(1—10) (11—18) 19 20得分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1. 若x为实数，则代数式|x|-x的值一定是A. 正数B. 非正数C. 非负数D. 负数2．已知(a+b)2=8，(a-b)2=12，则a b的值为A．1 B．-1 C．4 D．-43．若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，和棋的概率为50%，那么乙不输的概率为1 / 42 / 4 A ．20% B ．50% C ．70% D ．80%5．已知-=x ××，那么x 的值是 A ．B ．C ．D ．6. 一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成. 现两队联合承包，那么完成这项工程需要 A. ba +1天 B.（ba 11+）天 C.ba ab+天 D.ab1天7．在平面上，如果点A 和点B 到点C 的距离分别为3和4，那么A 、B 两点的距离d 应该是 A. d =1B. d =5C. d =7D. 1≤d ≤78．如图1，在直角梯形ABCD 中， AB ∥CD ，∠ABC =90°，动点P 从点B 出发，沿B →C →D 的线路匀速运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是 A ．3B ．4C ．5D ．69．如图3，C 是⊙O 外一点，CA 、CB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，P 是上一点，若∠C =x °，则∠APB 的度数是 A ．x °B ．(90-2x )° C ．(90-x )° D ．(180-x )°BAOC图3Px ° m BAC 图4FEDyxO 25ABC DP3 / 410.如图4，在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使 点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是 A ．53B ．43 C ．32 D ．75 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11．已知点P 在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O 为坐标原点，∠QPO =150°，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 ．12．点A ，B 是在数轴上不同的两个点，它们所对应的数分别是-4，5322-+x x ，且点A 、B 到原点的距离相等，则x 的值为 ．13．50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为 人．14．已知3122=+xx ，且x ＜0，则x x 1+的值是 ． 15．设c ＜b ＜0＜a ，a +b +c =1，a c b M +=，bca N +=，cb a P +=，则M ,N ,P 之间的关系是 ．16．如图5，已知矩形ABCD ，AB =2，BC =3，MB =MC ，则点D 到AM 的距离为 ． 17．如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =AD =1，∠B :∠A =1:2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 是直线MN 上的一点，则PC +PD 的最小值为 ．CBDA图5MCBDA图6M N P CBDA图7PQ 图2图14 / 418．如图7，在平行四边形ABCD 中，P 为BC 上任一点，连结DP 并延长交AB 延长线于Q ，则BQABBP BC= ． 三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19．如图8，△ABC 是边长为1的等边三角形，P 是AB 边上的一个动点（P 与B 不重合），以线段CP 为边作等边△CPD （D 、A 在BC 的同侧），连结AD ． （1）判断四边形ABCD 的形状，并给予证明；（2）设BP =x ，△PAD 的面积为y ，求出y 关于x 的函数关系式，并求出△PAD 面积的最大值及取得最大值时x 的值．20．某单位欲购买A 、B 两种电器．根据预算，共需资金15750元．购买一件A 种电器和两件B 种电器共需资金2300元；购买两件A 种电器和一件B 种电器共需资金2050元．（1）购买一件A 种电器和一件B 种电器所需的资金分别是多少元？（2）若该单位购买A 种电器不超过5件，则可购买B 种电器至少有多少件？（3）为节省开支，该单位只购买A 、B 两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元；自己出资金不超过4000元；其中政府对A 、B 两种电器补贴资金分别为每件100元和150元．请你通过计算求出有几种购买方案？CBDA图8P。

【最新整理，下载后即可编辑】中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||a abc a b c++-+可以化简为（）．（A）2c a-（B）22a b-（C）a-（D）a1（乙）．如果22a=-+11123a+++的值为（）．（A）2-（B2（C）2 （D）22（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b<<，那么1121a ab a b++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A ）1 （B ）214a - （C ）12（D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD= 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52（D ）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4（乙）．如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．OAB CED（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100，　， ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。

2011年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 CADABBDCAB提示：2. ∵3n=-15，∴n=-5，m=3+(-5)=-2. 故选A.3. ∵a +|a |=0, ∴|a |=-a , ∴a ≤0，进而a -1≤0∴22)1(a a +-=|a -1|+|a |=-(a -1)-a =1-2a . 故选D.4. ∵直线y =-x -4不经过第一象限，∴无论m 为何实数，直线y =x +m 与y =-x -4的交点不可能在第一象限，故选A.8. 如图2，由题意可知，∠ACB =90°，∠ABC =60°，则AB =2BC =8米,所以选择C. 9. 如图3，由已知可知△ABC 与△BOC 相似，可得OC BC BC AC =，即BC 2=AC ·OC .设OA=BC=x ，可得方程x 2=x +1，解这个方程得2511+=x ，2512-=x （不合题意，舍去）.故选A.10.如图4以点A 为圆心，250km 为半径画圆，交OM 于点B 、C ，作AN ⊥BC 于点N ，则可求出AN=150km ，又AC=250km ，利用勾股定理可求出CN=200km ，则BC=400km ，当台风中心在线段BC 上时，A 市都会受到台风的影响，所以A 市受台风影响持续的时间为400÷20=20小时，所以选择B. 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11. 因为n 是关于x 的方程022=++n mx x 的根，所以022=++n mn n ，所以0)2(=++m n n ，又0≠n则02=++n m ，所以则n m +的值为－2.A O BC北东 图4 M NABCA B C D O 图3光 线A BC 图2 水平线 30° 60°12. 222222(2)(2)2(1)242()b a ab b a b a b a b a ba b a b a b a b a b++++---÷=⋅=+-+++， 又03=+b a 所以b a 3-= 所以原式=25323=+---b b b b .13. 由频率分布直方图可知，“25~45”的学生人数有21人，所以仰卧起坐次数在25~45次的频率是0.7.14. 如图6，连接AC 可知△ABC 是等腰直角三角形，所以∠ABC =45°.15. 与原点的距离为1的交点有(1，0)或（－1，0），由此可求得该二次函数的 解析式有两个，分别为：x x y +=2或x x y 31312+-=. 16. 如图7，由222222251520=+=+=OB AO AB ，可知连杆AB 的长度等于25cm ，当滑块A 向下滑到O 点时，滑块B 距O 点的距离是25 cm ，故滑块B 滑动了25－15 =10 cm . 17. △COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，点C 恰好在AB 上，所以可知OA=OC ，∠AOC =∠BOD =40°, ∴∠ACO=70°，又∠AOD= 90°，∴∠BOC= 10°, ∴∠B= 60°. 18. 如图9,连接BM EM BE ，，．由题意得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴EM BM = ∵点E 是CD 的中点，DE=1∴ 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=，222DM DE EM +=， ∴2222AM AB DM DE +=+．设x AM =，则x DM -=4，∴22221)4(2+-=+x x . 解得813=x ,即813=AM .三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）19.（1）证明：过点O 作OM//AB 交PC 于点M ， 则∠COM=∠CAB .∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ OA=OC ，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°, ∴ AP=2OM . 又∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠COM=∠2+∠CBD, 即 ∠OMQ=∠OQM.∴ OM=OQ ∴ AP =2OQ ．（本小题也可以过点A 作直线平行于OQ 证明） （2）根据题意作出图形，如图10所示①ⅰ、当PC 绕点P 逆时针旋转90°时，作EF ⊥AB 交BA 延长线于点F,则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°. 又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2. 又PE 由PC 绕点P 旋转形成 ∴PE=PC ∴△EPF ≌△CPB.NABCD EFM图9AB CD PE EO Q M1 2 G F 3 图10∴EF=BP=x , ∴AP=1－x ∴x x EF AP S APE )1(2121-=⋅=∆. ∴△APE 的面积S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-= （10＜x＜）.ⅱ、当PC 绕点P 顺时针旋转90°时，作EG ⊥AB 交AB 延长线于点G,则同理可得△EPG ≌△CPB ，EG=BP=x .∴△APE 的面积S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-= 由ⅰ、ⅱ可得△APE 的面积S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-=，（10＜x＜）②由①知S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-=，（10＜x＜）即81)21(212+--=x S ，（10＜x＜）∴当21=x 时S 的值最大，最大值为81．此时点P 所在的位置是边AB 的中点处．20.（1）设参加社会实践的老师有m 人，学生有n 人，则学生家长有m 2人，若都买二等座单程火车票且花钱最少．．．．．，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得： ⎩⎨⎧=+⨯=+112205136817010)3(81n m n m 解得⎩⎨⎧==18010n m 则202=m 答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10、20与180人． （2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人， ①当210180x ＜≤时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（180-x ）名成年人买二等座火车票，)210(x -名成年人买一等座火车票．∴火车票的总费用（单程）y 与x 之间的函数关系式为：)210(81)180(6818051x x y -+-+⨯=即1395013+-=x y （210180x ＜≤）②当1800＜x＜时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x 张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共)210(x -张．∴火车票的总费用（单程）y 与x 之间的函数关系式为：)210(8151x x y -+=即1701030+-=x y （1800＜x＜） （3）由（2）小题知，当210180x ＜≤时，1395013+-=x y ，由此可见，当209=x 时，y 的值最小，最小值为11233元，当180=x 时，y 的值最大，最大值为11610元．当1800＜x＜时，1701030+-=x y ，由此可见，当179=x 时，y 的值最小，最小值为11640元，当1=x 时，y 的值最大，最大值为16980元．所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．.cn。

20XX 年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月20日8：30——10：30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内1. 若a 为实数，则化简2a 的结果是A . －aB . aC . ±aD . |a | 2．如果1)1(2++-x m x 是完全平方式，则m 的值为A ．－1B ．1C ．1或－1D . 1或－3 3. 如图1，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点.若想求出MN 的长度，那么只需条件A ．AB ＝12 B ．BC ＝4 C ．AM ＝5D . CN ＝24．在平面直角坐标系y o x 内，已知A (3，－3)，点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有A ．2个B ．3个C ．4个D . 5个图1N MCB l5．已知关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，那么b a 的值是A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数 6．一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M (－1，－2)，则其图像与y 轴的交点是 A ．（0，－1） B ．（1，0） C ．（0，0） D ．（0，1） 7．如图2，在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE (∠ACE ＜120°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△CPM 是A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形8．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.鞋码 38 394041 42 人数532下列说法中正确的是A ．这组数据的中位数是40，众数是39B ．这组数据的中位数与众数一定相等C ．这组数据的平均数P 满足39＜P ＜40D ．以上说法都不对 9．如图3，A 、B 是函数xky =图像上两点， 点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，且与点A 、B 、O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6， 则长方形OEBF 的面积是A . 3B . 6C . 9D . 1210. 某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称A ．4次B ．5次C ．6次D . 7次图3图2 ABCDPM二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）11．如果不等式组⎩⎨⎧<->-001a x x 无解，则a 的取值范围是____________．12．已知1=-b a ，122-=-b a ，则=-20082008b a_________．13．如图4，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足， 若cosB 54=，EC ＝2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是__________．14．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是_________．15．已知a 、b 为实数，且1=b a ，1≠a ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，则N M -的值等于________．16. 如图5，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 两边于点D 、E ，则△CDE 的面积为_________．17. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图6所示，要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体18. 若直线b y =（b 为实数）与函数342+-=x x y 的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是_________．图5 AB CD EO ·图4ABCDE P ·图6主视图左视图三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？20. 如图7，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交BC 边于点E ．（1）求证： AF ＝DF ＋BE ．（2）设DF ＝x （0≤x ≤1），△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S . 若不存在，请说明理由．图7ABC DE F20XX 年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、1. D 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B 二、11. a ≤1 12. －1 13. 4.8 14. 271 15. 0 16. －1 17. 5218. 0＜b ≤1 解答提示：1．∵ 当a ＜0时，2a ＝|a |＝－a . 故选D ．2．21±=+m ，解得1=m 或3-=m . 故选D ．3.()AB BC AC BC AC NC MC MN 21212121=-=-=-=，∴只要已知AB 即可.故选A ．4. 分别以点A 、O 、P 三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑．5. 关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，则02=+b a . ∴有0==b a 或者a 、b 异号，故选D ．6. ∵一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M (－1，－2)，则有()211-=--k ，解得1=k .所以函数解析式为1-=x y .令0=x 代入得1-=y .故其图像与y 轴的交点是(0，－1).故选A ．7.易得△ACD ≌△BCE .所以△BCE 可以看成是△ACD 绕着点C 顺时针旋转60°而得到的.又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得.所以CP ＝CM 且，∠PCM ＝60°，故△CPM 是等边三角形，选C ．8.（1）由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是40时，众数必然是40，所以A 错误.（2）当39码与40码的人数都是5时，中位数与众数不等，所以B 错误.（3）假设剩余10人全部穿39码鞋，可得平均数为39.35；假设剩余10人全部穿40码鞋，可得平均数为39.85.可以判断C 正确.（或者设穿39码鞋的有x 人，且由0≤x ≤10也可得解） 故选C ．9. ∵ 62121OC OD 21OCAD ==⋅=⋅=k y x S A A 正方形，∴ 62121OF OE 21B B OCAD ==⋅=⋅=k y x S 长方形 ，故选B ． 10.拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x 千克、y 千克、z 千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a 千克、b 千克、c 千克，则有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c x z b z y ay x 容易求出x 、y 、z ；另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量.所以需要称5次，故选B ．11．解不等式组⎩⎨⎧<->-001a x x 得⎩⎨⎧<>ax x 1，因为原不等式组无解，所以必有a ≤1．12．∵ ()()122-=-+=-b a b a b a ，又1=-b a ，则1-=+b a∴ ⎩⎨⎧=--=+11b a b a ，解得⎩⎨⎧-==1b a . 故()1102008200820082008-=--=-b a ．13. 设菱形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ，又EC ＝2，所以BE ＝x －2，因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中， cosB x x 2-=，又cosB 54=，于是542=-x x ，解得x ＝10，即AB ＝10．所以易求BE ＝8，AE ＝6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值． 故由三角形面积公式有：21AB ·PE ＝21BE ·AE ，求得PE 的最小值为4.8 ．14．用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果．上面只画出树状图的一部分（列出9种结果），把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法，可再列出9种结果，最后改为“锤”同样也列出9种结果，所以共有27种结果，故求得P （布，布，布）＝27115．∵1=b a ，1≠a ，∴ =+++=+++=+++=)1()1(11a b b b a a b a b b b a a a b b a a M N b a =+++1111． ∴ N M -＝0．16. 如图，连结AE 、BD ，作DF ⊥EC 于点F ． ∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB ＝∠AEB ＝90°又∵ AB ＝AC ，∴CE ＝21BC ＝1，∴ AE ＝222=-CE AC∵ BD AC AE BC ⋅=⋅2121，∴ BD ＝554，∴ 在△ABD 中，AD ＝553，∴ CD ＝552 又∵△CDF ∽△CAE ，∴AEDFCA CD =，可求得DF ＝54. ∴ △CDE 的面积为剪 剪 剪 布 锤布 剪 布 锤 锤 剪 布 锤 小丁 小明 小倩 A BCD E F O · A B CDE P5221=⋅DF CE ． 解法2：如图，连结AE 、BD ，DE .∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB ＝∠AEB ＝90°又∵ AB ＝AC ，∴ BE ＝CE ＝1，∴ AE ＝222=-CE AC ．∵ BD AC AE BC ⋅=⋅2121，∴ BD ＝554，∴ 在△ABD 中，AD ＝553，∴ CD ＝552． ∴ S △CDE ＝21S △BDC ＝⨯2152552554212121=⨯⨯⨯=⨯⨯CD BD ． 17.小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块．18. y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)22－4x ＋3|的图象如图②所示，而当＝b 结合①②，易知b 的取值范围为0三、19．因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8设小美第二次购物的原价为x 元，则（x －300）×0.8＋300×情况1： 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元 则小丽应付（316＋94.5－300）×0.8＋300×0.9＝358.4（元）情况2： 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元； 则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）所以小丽应付（316＋105－300）×0.8＋300×0.9＝362.8（元）．20．（1）证明： 如图，延长CB 至点G ，使得BG ＝DF ，连结AG . 因为ABCD 是正方形，所以在Rt △ADF 和Rt △ABG 中，AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABG ＝90°，DF ＝BG ． ∴ Rt △ADF ≌Rt △ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG . 又 ∵ AE 是∠BAF 的平分线∴∠EAF ＝∠BAE ， ∴ ∠DAF ＋∠EAF ＝∠BAG ＋∠BAE 即∠EAD ＝∠GAE ．∵ AD ∥BC ，∴∠GEA ＝∠EAD ，∴∠GEA ＝∠GAE ，∴ AG ＝GE . 即AG ＝BG ＋BE .∴ AF ＝DF ＋BE ，得证．（2）AB BE AD DF S S S ABE ADF ⋅+⋅=+=∆∆2121俯视图 2 12 图① 1ABC DE O ·∵ AD ＝AB ＝1， ∴ )(21BE DF S +=由（1）知，AF ＝DF ＋BE ， 所以AF S 21=．在Rt △ADF 中，AD ＝1，DF ＝x ， ∴12+=x AF ，∴1212+=x S ． 由上式可知，当x 2达到最大值时，S 最大.而0≤x ≤1，所以，当x ＝1时，S 最大值为2211212=+x ．ABCDEF G。

2019全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试题及参考解析 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

初赛试卷〔本试卷共4页，总分值120分，考试时间：3月11日8：30——10：30〕在以下各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母A 、X2‧X3＝X6B 、2X （3X ＝5X2C 、（X2）3＝X6D 、X6（X2＝X32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，那么3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为〔〕A 、129B 、120C 、108D 、963、实数A ＝20183－2018，以下各数中不能整除A 的是〔〕A 、2018B 、2018C 、2017D 、20174、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，那么两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是〔〕A 、251B、252C 、256D 、25245、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站、乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是〔〕6、要使1213-+-x x 有意义，那么x 的取值范围为A 、321　x ≤≤B 、321　＜x ≤C 、321x ＜≤D 、321＜x＜ 7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，那么它的边长为〔〕AB C DE F图2 图1A 、S L 4212-B 、S L 2212-C 、S L 4221-D 、2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，以下结论中，一定正确的个数是〔〕①△CEF 是等腰三角形②四边形ADFE 是菱形 ③四边形BFED 是平行四边形④∠BDF ＋∠CEF ＝2∠AA 、1B 、2C 、3D 、4 9、如图3，直线X ＝1是二次函数Y ＝AX2＋BX ＋CA 、A ＋B ＋C ＝0B、B 》A ＋CC 、B ＝2AD 、ABC 》010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4CM ，10CM ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12CM 、在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5CM 的圆洞中穿过，结果是〔〕A 、甲板能穿过，乙板不能穿过B 、甲板不能穿过，乙板能穿过C 、甲、乙两板都能穿过D 、甲、乙两板都不能穿过【二】填空题〔本大题总分值40分，每题5分〕 11、X 与Y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x ＿.12、一次函数Y ＝AX ＋B 的图象如图4所示，那么化简1++-b b a 得＿＿＿＿＿＿＿＿.13、假设X ＝－1是关于X 的方程A2X2＋2017AX －2018＝0的一个根，那么A 的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，那么一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用＿＿＿＿＿＿小时〔设水流速度和船在静水中的速度不变〕、15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，那么阴影部分的面积是、16、如图6，直线L 平行于射线AM ，要在直线L 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画＿＿＿＿＿＿＿个、 17与△CDE 均是等边三角形，假设∠AEB ＝145°，那么∠DBE 的度18ABCD 3CM ，把∠B CE 、AG AC 的点B ＇和D ＇上，那么线段EG 的长度是＿＿＿＿＿＿＿＿. 【三】解答题（本大题总分值30分，每题15分） 19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，那么需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答以下问题：〔1〕甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？〔2〕甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？〔3〕如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？图3 图7A B C D E 图5 图6 l 图8 B ＇ E D ＇ B C D G〔4〕如果工程必须在24天内〔含24天〕完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD 、请解答以下问题：〔1〕如图9〔1〕，当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上〔对角线AC 与BD 的交点Q 除外〕时，证明△PAC ≌△PDB ；〔2〕如图9〔2〕，当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2； 〔3〕假设矩形ABCD 在平面直角坐标系XOY 中，点B 的坐标为〔1，1〕，点D 的坐标为〔5，3〕，如图9〔3〕所示，设△PBC 的面积为Y ，△PAD 的面积为X ，求Y 与X 之间的函数关系式、2018年全国初中数学竞赛〔海南赛区〕初赛试卷参考答案【一】选择题〔本大题总分值50分，每题5分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D D A C B A B D B7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为A 、B ，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析：由函数的图象可知：当X ＝1时有A ＋B ＋C 《0，当X ＝－1时有A －B ＋C 》0，即A ＋C 》B ，即B 《A ＋C ，函数的对称轴为12=-=a b x ，那么B ＝－2A ，因为抛物线的开口向上，所以A 》0，抛物线与Y 轴的交点在负半轴，所以C 《0，由B ＝－2A 可得B 《0、所以ABC 》0，因而正确答案为D10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图A ，直角梯形，AD ＝4CM ，BC ＝10CM ，∠C ＝60°，过点A 过AE ／／CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB ＝36CM 》8.5CM ，BE ＝35CM 》8.5CM 铁板甲不能穿过，如图B ，等腰三角形ABC 中，顶角∠A ＝45°，作腰上的高线BD ，可求得BD ＝26CM 《8.5CM ， 所以铁板乙可以穿过；所以选择B 【二】填空题〔本大题总分值40分，每题5分〕11、45-12、A ＋113、A1＝2018，A2＝－114、48 15、41单位面积16、3个17、85°18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC ＝∠EAC ，因为，∠ABE ＋∠BAE ＝180°－145°＝35°所以有∠EAC ＋∠EBC ＝120°－35°＝85°，所以∠EBD ＝∠EBC ＋∠DBC ＝85°18、分析：AB ＝4CM ，BC ＝3CM ，可求得AC ＝5CM ，由题意可知CB ＇＝BC ＝3CM ，AB ＇＝2CM 设BE ＝X ，那么AE ＝4－X ，那么有（4－X ）2－X2＝22，X ＝1.5CM ，即BE ＝DG ＝1.5CM ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，那么可求出EF ＝1CM ，所以EG ＝103122=+ 【三】解答题（本大题总分值30分，每题15分）19、此题总分值15分，第〔1〕、〔2〕、〔3〕小题，每题4分，第〔4〕小题3分. 解：〔1〕设甲、乙两个工程队一起合作X 天就可以完成此项工程，依题意得：图ＡA B C D E F 图Ｂ AB C D AB C D E 图7 图8 B ＇ E D ＇A B C D G F1)601301(=+x ，解得：X ＝20答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程. 〔2〕设完成这项道路改造工程共需Y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得Y ＝40。

2010年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷参考答案一、选择题1. 若x ≥0，则|x |-x =x -x =0；若x ＜0，则|x |-x =-x -x =-2x ＞0，故选C.2．由题意有a 2+2ab +b 2=8，a 2－2ab +b 2=12，两式相减得4ab =－4，得ab =－1，故选B ． 3．由bk ＜0，知b ＞0，k ＜0或b ＜0，k ＞0，前者直线经过第一、二、四象限，后者直线经过第一、三、四象限，因而必经过第一、四象限，选D ．4．由已知条件知乙胜的概率为20%，又和棋概率为50%，故乙不输的概率为70%，选C ． 5．由20102018-20102009=2010x ×2009×2019， 20102009（2010-1）(2010+1)= 2010x ×2009×2019,则有20102009×2009×2019= 2010x ×2009×2019,则有x =2009，选B ． 6． 两队联合承包每天完成工程的b a 11+，完成这项工程需要的时间为1÷（ba 11+）=b a ab + 天. 选C .7．根据题意可知符合条件的点A 和点B 分别在以点C 为圆心的两个同心圆上. 故选D. 8．由图象可知，直角梯形的高BC =2，上底CD =3，所以33221=⨯⨯=∆BCD S ，选A ． 9．分别连结OA 、OB ，则OA ⊥CA ，OB ⊥CB ，即可求得，选B ．10．由已知条件知∠EDF =45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°=∠BED +45°，∴∠BED =∠CDF ，设CD =1，CF =x ，则CA =CB =2，所以DF =FA =2-x ，在Rt △CDF 中，有x 2+1=(2-x )2，解得x =43，所以sin ∠BED =sin ∠CDF =53=DF CF ，选A ． 二、填空题11．(1,1+3)或(-1,1+3)；在直角坐标系中,以P (0,1)为顶点,作出∠QPO =150°可求得． 12．由45322=-+x x 解得511=x ．13．英语、日语至少会一门的人数为50-8=42人，设既会英语又会日语的为x 人，则只会英语的为(36-x )人；只会日语的为(20-x )人，于是得(36-x )+x +(20-x )=42，解得x =14．14．由3122=+xx ，得5122=++x x ，所以5)1(2=+x x ，又x ＜0，所以51-=+x x ． 15．由a +b +c =1可得a a c b 11=++，则M =11-=+a a c b ，同理11-=+=bb c a N ，P =11-=+c c b a ，由c ＜b ＜0＜a ，得b c a 111>>，111111->->-bc a ，∴M ＞P ＞N ．16．过D 作DG ⊥AM ，则有2×3=2221⨯⋅+⋅BMAB DG AM ，DG =2.4；17．3；当P 在对角线AC 与MN 的交点处时PC +PD 最小． 18．1；∵BQ AQ BP AD BP BC ==，∴ 1==-=-=-BQBQBQ AB AQ BQ AB BQ AQ BQ AB BP BC ．三、解答题19．（1）四边形ABCD 是梯形或菱形，证明如下：① 当点P 不与点A 重合时， ∵ △ABC 与△CPD 都是等边三角形， ∴ ∠ACB =∠DCP =60°，∴ ∠1=∠2，又AC =BC ，DC =PC ，∴△ADC ≌△BPC ，∴∠DAC =∠B =∠BCA =60°，∴ AD ∥BC . 又∠1=∠2＜60°，∴ ∠DCB ＜120°，即 ∠B +∠DCB ＜180°，∴ DC 与AB 不平行， ∴ 四边形ABCD 是梯形．② 当点P 与点A 重合时，PC 与AC 重合，此时AB =BC =CA =AD =DC ，四边形ABCD 是菱形，综上所述，四边形ABCD 是梯形或菱形．（2）由（1）知∠BAD =120°，AD =BP =x ，过P 作DA 延长线的垂线PM ，M 为垂足，则∠PAM =60°，∠APM =30°，又BP =x ，AB =1，∴ AP =1-x ，∴ AM =)1(21x -，PM =)1(23x - CBDAP1 2M∴163)21(43)(43)1(23212122+--=--=-⋅=⋅=x x x x x PM AD y (0＜x ＜1). 当21=x 时，y 取最大值为163，即当21=x 时△PAD 面积取得最大面积为163．20．（1）设购买一件A 种电器和一件B 种电器所需的资金分别为a 元和b 元．依题意得： ⎩⎨⎧=+=+2050223002b a b a 解之得⎩⎨⎧==850600b a （答略）（2）设该单位购买A 、B 两种电器分别为m 件和n 件．则600m +850n =15750 , 153151217+-=n m . ∵ A 种电器不超过5件, ∴ 153151217+-n ≤5. ∴ n ≥15，即可购买B 种电器至少有15件． （3）设购买A 种电器x 件，则购买B 种电器为(6-x )件，依题意得：⎩⎨⎧≥-+≤-+700)6(1501004000)6(700500x x x x , 解之得1≤x ≤4 . ∵ x 取整数，∴ x =1,2,3,4. 即共有4种购买方案．。

全国初中数学竞赛真题及答案大全(总72页)--本页仅作预览文档封面，使用时请删除本页--2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月18日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内1. 若m 为实数，则代数式m+m 的值一定是A. 正数 C.负数 D.非负数2．如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a、b、c三种物体的重量，下列判断正确的是A．c>a B．a<b C．a<c D. b<c3. 如图2，点C是∠PAQ的平分线上一点，点B、B′分别在边AP、AQ 上，如果再添加一个条件，即可推出AB=AB′,那么该条件不可以是A. BB′⊥ACB. CB=CB′C. ∠ACB=∠ACB′D. ∠ABC=AB′C4．图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，则（a+b）2的值是A．13 B．19 C．25 D．169 图3图2图15．已知m 是方程01x -x 2=+2006的一个根，则代数式3+1++22m 20062005m -m 的值等于6．将一段72cm 长的绳子，从一端开始每3cm 作一记号，每4cm 也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为A ．37B ．36C ．35D ．347． 某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人8．如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方体共有（ ）块A ．9B ．10C ．11D ．129．如图5，将△ABC 沿着它的中位线DE 折叠后，点A 落到点A ′，若∠C=120 ，∠A=26,则∠A ′DB 的度数是A ．120B ．112C ．110D ．10810. 方程xx -x 22=2的正根的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11．若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]0==3=2.30.7-43.7-，，等，则[][]=3+5π-_________12．在直径为4cm 的⊙O 中，长度为32cm 的弦BC 所对的圆周角的度数为 .13．如图6，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可以使小灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为 ____________°.14．如图7，在△ABC 中，AB=5,AC=3,D 为BC 的中点，AD=2，则tan ∠BAD= __________.15．若干个 装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t （整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人装卸的时间是第一个人的41，则按改变的方式装卸，自始至终共需时间 小时.16.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y （千米）随时间x （分钟）变化的图象（全程）分别用图8中的实线（O →A →B →C ）与虚线（OD ）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x 的取值范围是 .17.已知a ＜3，b ＞3，且1-k b a =+，ab=3,则k 的最小整数值是_____________.18.若50z -y x 30z y x =+3=++，，且x 、y 、z 均为非负数，则z y 5x M 2+4+=的最大值为_________________.三、解答题(本大题共2小题，每小题15分，满分30分)19. 已知在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB 的中点O ，两直角边分别经过点B 、C ，然后将三角板绕点O 按顺时针方向旋转一个角度 0(α＜α＜90），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC 、BC 相交于点K 、H ，四边形CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC 的重叠部分（如图所示）。

2019年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设xy＜0，x＞|y|，则x+y的值是（）A．负数B．0C．正数D．非负数2．若（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15，则m等于（）A．﹣2B．2C．﹣5D．53．若a+|a|＝0，则等于（）A．1﹣2a B．2a﹣1C．﹣1D．14．无论m为何实数，直线y＝x+2m与y＝﹣x+4的交点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）从1到9这9个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（）A．B．C．D．16．A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开往B地的速度为V1，从B地返回A地的速度为V2，则A，B两地间往返一次的平均速度为（）A．B．C．D．无法计算7．如图，韩老师早晨出门散步时离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）A．B．C．D．8．如图，AB是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC的长度为4米，则电线杆AB的高度为（）A．4米B．6米C．8米D．10米9．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD ＝1，则a等于（）A．B．C．1D．210．如图，根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处，正以20km/h 的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是（）A．10h B．20h C．30h D．40h二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）11．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m+n的值为．12若a+3b＝0，则＝．13．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25～45次的频率是．14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则cos∠ABC的为．15．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣，﹣），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．16．如图，两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20cm，滑块B距O点15cm．则当滑块A向下滑到O点时，滑块B 滑动了．17．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是°．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为cm．三、解答题（共2小题，满分30分）19．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．（1）若CP平分∠ACB，求证：AP＝2QO．（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题．①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S．试求S与x的函数关系式；②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．20．文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．【解答】解：∵xy＜0，x＞|y|，∴x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，∴x+y的值正数．故选：C．2．【解答】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n，∴3n＝﹣15，∴n＝﹣5，m＝3+（﹣5）＝﹣2．故选：A．3．【解答】解：由a+|a|＝0，得|a|＝﹣a，可知a为非正数，∴＝1﹣a，＝﹣a∴原式＝1﹣a﹣a＝1﹣2a故选：A．4．【解答】解：由于直线y＝﹣x+4的图象不经过第三象限．因此无论m取何值，直线y＝x+2m与y＝﹣x+4的交点不可能在第三象限．故选：C．5．【解答】解：所有机会均等的可能共有9种．而2的倍数有2，4，6，8四个，因此是2的倍数的概率是．故选：B．6．【解答】解：本题没有AB两地的单程，可设为1，那么总路程为2，总时间为+．平均速度＝2÷（+）＝2÷＝．故选B．7．【解答】解：由于一段时间离家的距离保持不变，家是一个点，所以在那段时间内行走的路线就可能是在以家为圆心，那段距离为半径的一段弧上．故选：D．8．【解答】解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，则AB＝2BC＝8米，故选：C．9．【解答】解：∵∠BAC＝∠BCA＝∠OBC＝∠OCB，∴△BOC∽△ABC，所以，即，所以，a2﹣a﹣1＝0．由a＞0，解得．故选：A．10．【解答】解：如图，以点A为圆心，250km为半径画圆，交OM于点B、C，作AN⊥BC 于点N，∵∠AON＝90°﹣60°＝30°，AO＝300，∴在Rt△OAN中，AN＝AO＝150km，又AC＝250km，在Rt△CAN中，由勾股定理，得CN＝＝200km，则BC＝2CN＝400km，台风中心在线段BC上时，A市都会受到台风的影响，∴A市受台风影响持续的时间为400÷20＝20小时．故选：B．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）11．【解答】解：把n代入方程得到n2+mn+2n＝0，将其变形为n（m+n+2）＝0，因为n≠0所以解得m+n＝﹣2．12．【解答】解：∵a+3b＝0，∴a＝﹣3b．∴原式＝＝＝＝＝．故答案为：．13．【解答】解：由频率分布直方图可知，“25～45”的学生人数有21人，∴仰卧起坐次数在25～45次的频率＝21÷30＝0.7．故应填：0.7．14．【解答】解：连接AC，延长AD交CD的延长线于D，由题意可知∠D＝90°，则AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，∵AC2+BC2＝AB2∴△ABC直角三角形，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝＝45°．cos45°＝故答案为．15．【解答】解：根据题意得，与x轴的另一个交点为（1，0）或（﹣1，0），因此要分两种情况：（1）过点（﹣1，0），设y＝ax（x+1），则，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x；（2）过点（1，0），设y＝ax（x﹣1），则，解得：a＝，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x．16．【解答】解：如图，由AB2＝AO2+OB2＝202+152＝252，可知连杆AB的长度等于25cm，当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25cm，故滑块B滑动了25﹣15＝10cm．故答案为10cm．17．【解答】解：由旋转的性质可知，∠AOC＝40°，而∠AOD＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠AOC＝50°又∵点C恰好在AB上，OA＝OC，∠AOC＝40°，∴∠A＝＝70°，由旋转的性质可知，∠OCD＝∠A＝70°在△OCD中，∠D＝180°﹣∠OCD﹣∠COD＝60°．18．【解答】解：如图，连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM＝EM，∵点E是CD的中点，DE＝1，∴在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2＝BM2，DM2+DE2＝EM2，∴AM2+AB2＝DM2+DE2．设AM＝x，则DM＝4﹣x，∴x2+22＝（4﹣x）2+12．解得，即cm．故答案为：．三、解答题（共2小题，满分30分）19．【解答】（1）证明：过点O作OM∥AB交PC于点M，则∠COM＝∠CAB．∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，∠CAB＝∠CBD＝∠COM＝45°，∴AP＝2OM．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠COM＝∠2+∠CBD，即∠OMQ＝∠OQM．∴OM＝OQ∴AP＝2OQ．（2）解：根据题意作出图形，如图所示①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F，则∠EFP＝∠PBC＝90°，∠3+∠CPB＝90°．又∠2+∠CPB＝90°，∴∠3＝∠2．又PE由PC绕点P旋转形成∴PE＝PC∴△EPF≌△CPB．∴EF＝BP＝x，∴AP＝1﹣x，∴．∴△APE的面积S与x的函数关系式为（0＜x＜1）．ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作E′G⊥AB交AB延长线于点G，则同理可得△E′PG≌△CPB，E′G＝BP＝x．∴△APE的面积S与x的函数关系式为由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为，（0＜x＜1）②由①知S与x的函数关系式为，（0，x，1）即，（0＜x＜1）∴当时S的值最大，最大值为．此时点P所在的位置是边AB的中点处．20．【解答】解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：，解得，则2m＝20，答：参加社会实践的老师、家长与学生分别有10人、20人、180人．（2）解：由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，①当180≤x＜210时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（x﹣180）名成年人买二等座火车票，（210﹣x）名成年人买一等座火车票．∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝51×180+68（x﹣180）+81（210﹣x），即y＝﹣13x+13950（180≤x＜210），②当0＜x＜180时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210﹣x）张，∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝51x+81（210﹣x），即y＝﹣30x+17010（0＜x＜180），答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y＝﹣13x+13950（180≤x ＜210）或y＝﹣30x+17010（0＜x＜180）．（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y＝﹣13x+13950，∵﹣13＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝209时，y的值最小，最小值为11233元，当x＝180时，y的值最大，最大值为11610元．当0＜x＜180时，y＝﹣30x+17010，∵﹣30＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝179时，y的值最小，最小值为11640元，当x＝1时，y的值最大，最大值为16980元．所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元，答：按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．。

全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试题参考答案一、选择题：DBCAB ，CDADB提示：1．D ；由0200911=-x ，得2009,120091=∴=x x 2．B ；由b a +＜0，b ＞0知a ＜0且|a |＞|b |，所以|a |2＞|b |2，即a 2＞b 2； 4．A ；延长CO 交于⊙O 于D ，连结AD ，则∠D=∠B=15°，因为CD 为⊙O 的直径，所以∠CAD=90°，所 以在Rt △ACD 中 , ∠OCA=90°－15°=75°.5．B ；由2a =3，2c =12，得2a ·2c =3×12. 即2c a +=36=62，而2b =6c a b a b b c a +===∴+22)2(226．C ；设1,2008,2009-=+-=-=b a n b n a 则，又002,21)1(12)(222222==∴+=-∴=+++=+ab ab ab b a b ab a b a 即且Θ7．D ；若∠B ＋∠C ＜90°，则 ∠A ＞90°，这与△ABC 是锐角三角形矛盾，故D 错.8．A ；先据题意写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，……，经观察发现从左向右数每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这2009个数是由1，－1，－2，－1，1，2这6个数组成的数组重复排列而成，而1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＋1＋2=0，又2009=334×6＋5，这说明，这2009个数的和等于最后五个数：1，－1，－2，－1，1的和.9．D ；过P 点的最长的弦是直径，其长为30，最短的弦长=24915222=-，所以⊙O 中，通过P 点的弦长 L 的取值范围是24≤L ≤30，又L 为整数，所以L 的值可取24，25，26，27，28，29，30，又根据圆的 对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，故共有12条.10. B ；由图象知a ＜0，c =0，ab 2-＞1，从而2a ＋b ＞0，又a a b b a 3)()2(=--+＜0，即b a +2＜a b -.二、填空题：11. 9或91 12. 1 13. 31 14.（4，-1），（-1，4） 15. 3条 16. 53 17. O 18.（1，3）提示：11．9或91；由条件知3-=x ，2±=y12．1；由已知条件知ab =1，所以原式)()(22b a b ab a b a ab b ab ab a ab ab +++=+++= 1=++=+++=b a b a b a a b a b 13. 31；设口袋中有黄球x 个，依题意，得 ，所以P （摸出1个黄球）= 14. （4，-1），（-1，4）；设点P 的坐标为（b a ,），由题意得分程组 解此方程组即可. 15. 3条；易知△AFD ≌△AED ，所以∠AFD=∠AED ，DE=DF ，又∠CDE=∠BAC ，∠C 为公共角，所以 ∠DEC=∠B=60°，所以∠AFD=∠AED=120°，所以∠BFD=60°，又∠B=60°，所以△BDF 为等边三角形，所以DB=BF=DF=DE.16．53；因为折叠后点B 与D 重合，所以∠EDB=∠DBC=45°，∴∠BED=90°，即DE ⊥BC ，在等腰梯形ABCD 中，CE= ，DE=BE=8-3=5 ∴ tan ∠CDE= 17. O ；由06222=+-y x x ，得x y x 6222=+知x ≥0，又x x y 6222+-=，1)1(28622222++-=--=-+-=x x x x x x x w ，由此可见，当x ≥-1时，w 随着x 的增大而减小，又因为x ≥0>-1, ，故当x =0时，w 的最大值是0.18. （1, 3）；∵ 四边形OCDB 是平行四边形，B （8，0），⎩⎨⎧+-==⋅34||||a b b a 31155=5,52646==++x x 3)28(21)(21=-=-AD BC 53=DE EC∴ CD//OA ，CD=OB=8过点M 作MF ⊥CD 于点F ，则CF= CD=4过点C 作CE ⊥OA 于点E ，∵ A （10，0），∴OE=OM －ME=OM －CF=5－4=1.连结MC ，则MC= OA=5 ∴ 在Rt △CMF 中，3452222=-=-=CF MC MF∴ 点C 的坐标为（1，3）三、解答题19. 解：设第二次购书x 本，依题意得 整理得，解得 当x =50时，150÷50=3＞2.8，这与实际不符，舍去.当x =60时，150÷60=2.5＞2.8，符合题意，由2.8×60×80%＋2.8×0.5×60×20% =151.2；151.2-150=1.2（元）20. 解：（1）在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，所以AB=5，∴△ABC 的周长为12，又因EF 平分△ABC 的周长，∴AE ＋AF=6，而AE=x ，∴AF=6－x ， 过点F 作FD ⊥AC 于D ，则54sin ===AB BC A AF DF∴),6(54,546x DF x DF -=∴=-所以x x x x DF AE y 51252)6(5421212+-=-⋅=⋅= （0＜x ＜3）（2）这样的EF 存在，此时AE=266- . S △ABC =6342121=⨯⨯=⋅AC BC ，由EF 平分△ABC 的面积，所以 ，解得 ∵0＜x ＜3，∴ 不合舍去，当 时 ，符合题意，所以这样的EF 存在，此时AE= . 2121xx 1502110100=+-030001102=+-x x 60,5021==x x 266,26621+=-=x x 2662+=x 2661-=x 52666＜x +=-266-3512522=+-x x A FE C B D。

2019-2020年初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题(含答案)A ．251 B ．252 C ．256 D ．2524 5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）6、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为 A ．321　x ≤≤ B ．321　＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ） A ．S L 4212- B ．S L 2212- C ．S L 4221-D ．2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点 F处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形 ③四边形BFED 是平行四边形④∠BDF +∠CEF ＝2∠A A．1 B ．2C ．3D ．49、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有A ．a ＋b ＋c ＝0 B ．b ＞a ＋c C ．b ＝2a D ．abc ＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）A ．甲板能穿过，乙板不能穿过B ．甲板不能穿过，乙板能穿过C ．甲、乙两板都能穿过D ．甲、乙两板都不能穿过二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）图3图4AB CDE F 图2 A时间BC D11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________. 12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________.13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________. 14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）． 15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________. 18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线 AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？ （4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.图7 A B CDE图5 CF 图6 A l 图8B ＇ ED ＇ A BC DG20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题：（1）如图9（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ；（2）如图9（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2；（3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．图9（1）MNQABCDP参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a 、b ，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析:由函数的图象可知:当x =1时有a ＋b ＋c ＜0,当x =－1时有a －b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b ,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=ab x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D 10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD =4cm ，BC =10cm ，∠C =60°，过点A 过AE //CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB =36cm ＞8.5cm ，BE =35cm图9 （2）ABC DEF图Ｂ ABCD＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中， 顶角∠A =45°，作腰上的高线BD ，可求得BD =26cm ＜8.5cm ， 所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、 45- 12、a +1 13、 a 1=2012, a 2=－1 14、4815、41单位面积 16、3个 17、85° 18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC =∠EAC ，因为， ∠ABE +∠BAE =180°－145°=35°所以有∠EAC +∠EBC =120°－35°=85°， 所以∠EBD =∠EBC +∠DBC =85°18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知 C B ＇=BC =3cm ，A B ＇=2cm 设BE =x ，则AE =4－x ，则有(4－x )2－x 2 =22, x =1.5cm ，即BE =DG =1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF =1 cm ，所以EG=103122=+三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分. 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得y =40 。

2008年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月20日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内1. 若a 为实数，则化简2a 的结果是A. -aB. aC. ±aD. |a | 2．如果1)1(2++-x m x 是完全平方式，则m 的值为A ．-1B ．1C ．1或-1 D. 1或-33. 如图1，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点.若想求出MN 的长度，那么只需条件A ．AB=12B ．BC=4C ．AM=5 D. CN=24．在平面直角坐标系y o x 内，已知A(3,-3)，点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有A ．2个B ．3个C ．4个 D. 5个图1N MCB l5．已知关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，那么b a 的值是A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数 6．一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M(-1,-2)，则其图像与y 轴的交点是 A ．（0，-1） B ．（1，0） C ．（0，0） D ．（0，1） 7．如图2，在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE(∠ACE ＜120°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△CPM 是A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形8．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.下列说法中正确的是A ．这组数据的中位数是40，众数是39B ．这组数据的中位数与众数一定相等C ．这组数据的平均数P 满足39＜P ＜40D ．以上说法都不对 9．如图3，A 、B 是函数xky =图像上两点， 点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，且与点A 、B 、O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6， 则长方形OEBF 的面积是A. 3B. 6C. 9D. 1210. 某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称A ．4次B ．5次C ．6次 D. 7次图3图2 ABCDPM二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）11．如果不等式组⎩⎨⎧<->-01a x x 无解，则a 的取值范围是 .12．已知1=-b a ，122-=-b a ，则=-20082008b a.13．如图4，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足， 若cosB 54=，EC=2，P 是AB 边上的一个动点，则线段 PE 的长度的最小值是 .14．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是 .15．已知a 、b 为实数，且1=b a ，1≠a ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，则N M -的值等于 .16. 如图5，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 两边于点D 、E ，则△CDE 的面积为_________.17. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图6所示，要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体18. 若直线b y =（b 为实数）与函数342+-=x x y 的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是_________.图5AB CD E O ·图4ABCDEP ·图6主视图左视图三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？20. 如图7，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交BC 边于点E.（1）求证: AF=DF+BE.（2）设DF=x （0≤x ≤1），△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S. 若不存在，请说明理由.图7ABC DEF2008年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、1. D 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B 二、11. a ≤1 12. -1 13. 4.8 14. 271 15. 0 16. -1 17. 52 18. 0＜b ≤1 解答提示：1．∵ 当a ＜0时，2a =|a |=-a . 故选D. 2．21±=+m ，解得1=m 或3-=m . 故选D.3.()AB BC AC BC AC NC MC MN 21212121=-=-=-=,∴只要已知AB 即可.故选A. 4. 分别以点A 、O 、P 三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑.5. 关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，则02=+b a . ∴有0==b a 或者a 、b 异号，故选D.6. ∵一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M(-1,-2)，则有()211-=--k ，解得1=k .所以函数解析式为1-=x y .令0=x 代入得1-=y .故其图像与y 轴的交点是(0,-1).故选A.7.易得△ACD ≌△BCE.所以△BCE 可以看成是△ACD 绕着点C 顺时针旋转60°而得到的.又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得.所以CP=CM 且，∠PCM=60°，故△CPM 是等边三角形，选C.8.（1）由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是40时，众数必然是40，所以A 错误.（2）当39码与40码的人数都是5时，中位数与众数不等，所以B 错误.（3）假设剩余10人全部穿39码鞋，可得平均数为39.35；假设剩余10人全部穿40码鞋，可得平均数为39.85.可以判断C 正确.（或者设穿39码鞋的有x 人，且由0≤x ≤10也可得解） 故选C.9. ∵ 62121OC OD 21OCAD ==⋅=⋅=k y x S A A 正方形, ∴ 62121OF OE 21B B OCAD ==⋅=⋅=k y x S 长方形 ，故选B.10.拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x 千克、y 千克、z 千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a 千克、b 千克、c 千克，则有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c x z b z y ay x 容易求出x 、y 、z ；另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量.所以需要称5次，故选B.11．解不等式组⎩⎨⎧<->-001a x x 得⎩⎨⎧<>a x x 1，因为原不等式组无解，所以必有a ≤1.12．∵ ()()122-=-+=-b a b a b a ，又1=-b a ，则1-=+b a∴ ⎩⎨⎧=--=+11b a b a ，解得⎩⎨⎧-==1b a . 故()1102008200820082008-=--=-b a .13. 设菱形ABCD 的边长为x ，则AB=BC=x ，又EC=2，所以BE=x -2，因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中， cosB x x 2-=，又cosB 54=，于是542=-x x ，解得x =10，即AB=10.所以易求BE=8，AE=6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值. 故由三角形面积公式有：21AB ·PE=21BE ·AE ，求得PE 的最小值为4.8 .14．用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果.上面只画出树状图的一部分（列出9种结果），把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法，可再列出9种结果，最后改为“锤”同样也列出9种结果，所以共有27种结果，故求得P （布，布，布）=27115．∵1=b a ，1≠a ,∴ =+++=+++=+++=)1()1(11a b b b a a b a b b b a a a b b a a M N b a =+++1111. ∴ N M -=0.16. 如图，连结AE 、BD ，作DF ⊥EC 于点F. ∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB=∠AEB=90°又∵ AB=AC ，∴CE=21BC=1，∴ AE=222=-CE AC ∵ BD AC AE BC ⋅=⋅2121，∴ BD=554，∴ 在△ABD 中，AD=553，∴ CD=552 剪 剪 剪 布 锤布 剪 布 锤 锤 剪 布 锤 小丁 小明 小倩 A BCD E F O · A B CDE P又∵△CDF ∽△CAE ，∴AEDFCA CD =，可求得DF=54. ∴ △CDE 的面积为5221=⋅DF CE . 解法2：如图，连结AE 、BD ，DE.∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB=∠AEB=90°又∵ AB=AC ，∴ BE=CE=1，∴ AE=222=-CE AC .∵ BD AC AE BC ⋅=⋅2121，∴ BD=554， ∴ 在△ABD 中，AD ＝553，∴ CD=552. ∴ S △CDE =21S △BDC =⨯2152552554212121=⨯⨯⨯=⨯⨯CD BD. 17.小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块.18. y =x 2-4x +3=(x -2)2-1, 的图象如图②所示，而当b y 知b 的取值范围为0＜b ≤1.三、19．因为100×0.9=90＜94.5＜100，300×0.9=270＜282.8设小美第二次购物的原价为x 元，则（x -300）×0.8+300×情况1: 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元 则小丽应付（316+94.5-300）×0.8+300×0.9=358.4（元）情况2: 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元； 则第一次购物原价为：94.5÷0.9=105（元）所以小丽应付（316+105-300）×0.8+300×0.9=362.8（元）.20．（1）证明: 如图，延长CB 至点G ，使得BG=DF ，连结AG. 因为ABCD 是正方形，所以在Rt △ADF 和Rt △ABG 中，AD=AB ，∠ADF=∠ABG=90°，DF=BG. ∴ Rt △ADF ≌Rt ∆ABG （SAS ），∴AF=AG ，∠DAF=∠BAG. 又 ∵ AE 是∠BAF 的平分线 ∴∠EAF=∠BAE, ∴ ∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE 即∠EAD=∠GAE. ∵ AD ∥BC ，∴∠GEA=∠EAD ，∴∠GEA=∠GAE ，∴ AG=GE. 即AG=BG+BE.∴ AF=DF+BE ，得证.（2）AB BE AD DF S S S ABE ADF ⋅+⋅=+=∆∆2121∵ AD=AB=1, ∴ )(21BE DF S +=A BCDEFG俯视图 2 12 图① 1AB C DE O ·由（1）知，AF=DF+BE, 所以AF S 21=. 在Rt △ADF 中，AD=1，DF=x , ∴12+=x AF ,∴1212+=x S . 由上式可知，当x 2达到最大值时，S 最大.而0≤x ≤1，所以，当x =1时，S 最大值为2211212=+x .。

全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷题 号 一 二 三总 分(1—10)(11—18)1920得 分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1、下列运算正确的是（ ）A ．x 2‧x 3=x 6B ． 2x +3x =5x 2C ．(x 2)3=x 6D ． x 6÷x 2=x 32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．963、实数a ＝3－，下列各数中不能整除a 的是（ ） A ． B ． C ． D ．4、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（ ）A ．251B ．252C ．256D ．25245、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）6、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为A ．321　x ≤≤ B ．321　＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜123 45123 45图1速度 OA 速度 时间OB O速度C 速度 OD7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ） A ．S L 4212- B ．S L 2212- C ．S L 4221-D ．2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点 F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ） ①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形 ③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠A A ．1B ．2C ．3D ．49、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有( ) A ．a ＋b ＋c ＝0 B ．b ＞a ＋c C ．b ＝2a D ．abc ＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）A ．甲板能穿过，乙板不能穿过B ．甲板不能穿过，乙板能穿过C ．甲、乙两板都能穿过D ．甲、乙两板都不能穿过二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________. 12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________. 13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+ax －=0的一个根，则a 的值为__________.14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）． 15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________. 18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线 AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________.图3xy1x y－1 o 图4AB CDE F 图2 图7 A B CD E图5 A E CF O B 图6 A l 图8B ＇ ED ＇A BC DG三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题：（1）如图9（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ；（2）如图9（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2；（3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．图9 （2）P AD y 图9（3）AB C DOx图9（1）MNQABCDP参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）题号 12345678910答案C D D A C B A B D B7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a 、b ，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析:由函数的图象可知:当x =1时有a ＋b ＋c ＜0,当x =－1时有a －b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b ,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=ab x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD =4cm ，BC =10cm ，∠C =60°，过点A 过AE //CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB =36cm ＞8.5cm ，BE =35cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中， 顶角∠A =45°，作腰上的高线BD ，可求得BD =26cm ＜8.5cm ， 所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11、 45- 12、a +1 13、 a 1=, a 2=－1 14、4815、41单位面积 16、3个 17、85° 18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC =∠EAC ，因为， ∠ABE +∠BAE =180°－145°=35°所以有∠EAC +∠EBC =120°－35°=85°， 所以∠EBD =∠EBC +∠DBC =85°18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知 C B ＇=BC =3cm ，A B ＇=2cm 设BE =x ，则AE =4－x ，则有(4－x )2－x 2 =22,x =1.5cm ，即BE =DG =1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF =1 cm ，所以EG=103122=+三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)图ＡA BC D E F 图ＢAB CDABCDE图7图8B ＇ ED ＇ ABCDG F19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分. 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得y =40 。

全国初中数学比赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共 4 页，满分 120 分，考试时间： 3 月 22 日 8:30—— 10:30）一二三总分题号（1— 10）（11— 18）19 20得分一、选择题（本大题满分50 分，每题 5 分）在以下各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你以为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1. 方程 11x 0 的根是2009A. 1B. 1C. -2009D. 2009200920092. 假如 a b 0 ，且 b 0 ，那么a2与b2 的关系是A．a2≥b2 B．a2＞b2 C．a2≤b2 D．a2＜b23. 如下图，图1是图 2 中正方体的平面睁开图（两图中的箭头地点和方向是一致的），那么，图 1 中的线段 AB 在图 2 中的对应线段是A．k B．h C．e D．d4.如图， A、B、C 是☉ O 上的三点， OC是☉ O 的半径，∠ ABC=15°，那么∠ OCA的度数是A． 75°B． 72°C． 70°D． 65°A AB B CO图 1图2（第3 题图）（第4 题图）5. 已知2a =3，2b =6，2c =12，则以下关系正确的选项是A ． 2a b cB ． 2b a cC ． 2c a b D. c 2a b6. 若实数 n 知足 (n-2009 ) 2 + ( 2008-n )2=1，则代数式 (n-2009 ) ( 2008-n ) 的值是A ． 11 C ． 0D. -1B ．27. 已知△ ABC 是锐角三角形，且∠ A ＞∠ B ＞∠ C ，则以下结论中错误的选项是A ．∠ A ＞ 60°B ．∠C ＜ 60°C ．∠ B ＞ 45°D ．∠ B ＋∠ C ＜ 90° 8. 有 2009 个数排成一行，此中随意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是 1，第二个数是 -1，则这 2009 个数的和是A ． -2B ． -1C ．0D ． 29. ⊙ 0 的半径为 15，在⊙ 0 内有一点 P 到圆心 0 的距离为 9，则经过 P 点且长度是整数值 的弦的条数是A ． 5B ． 7C ．10D ．1210. 已知二次函数y ax 2 bx c (a 0) 的图象y如下图，记 p 2a b ， q ba ，则以下结论正确的选项是A ． p ＞ q ＞ 0B ． q ＞ p ＞ 0C ． p ＞ 0＞ qD ． q ＞ 0＞ p01 x（第 10 题图）二、填空题（本大题满分 40 分，每题 5 分）11. 已知 | x |=3 ，y 2 =2，且 x y ＜ 0，则 x y =. 12. 假如实数 a,b 互为倒数，那么1 1.a 21 b 2113. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其他都同样，此中红球4 个，绿球 6 个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为2，那么，随机从中摸出一个黄球的概5率为 .14. 如图，在直线yx 3 上取一点 P ，作 PA ⊥ x 轴， PB ⊥ y 轴，垂足分别为 A 、 B ，若矩形 OAPB 的面积为 4，则这样的点 P 的坐标是.15. 如图， AD 是△ ABC 的角均分线，∠ B=60° ,E, F 分别在 AC 、AB 上，且 AE=AF ，∠ CDE=∠ BAC ，那么，图中长度必定与 DE 相等的线段共有条 .y A A DE FFyx 3o x B D C B E C （第 14 题图）（第 15 题图）（第 16 题图）16. 如图，等腰梯形 ABCD中，AD17. 实数x, y知足2x2 6x y2 0 ，设 w x2 y2 8x ，则 w 的最大值是. y18. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（ 10， 0），C D点 B 的坐标为（ 8， 0），点 C，D 在以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形OCDB是平行四边形，则点 C的坐标为.O?BA xM（第 18 题图）三、解答题（本大题满分30 分，每题15 分）19. 某书店老板去批发市场购置某种图书，第一次购书用了100 元，按该书订价元销售，很快售完；因为该书热销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次超出元，共用了150元，所购得书的数目比第一次多10 本；这批书按原订价售出80%后，出现滞销，便以5 折售完节余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，仍是赚钱请经过计算说明（只与进价比较，不考虑其他成本）.20.如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=3，BC=4，点 E 在 AC上（点 E 与 A、C 都不重合），点 F 在斜边 AB 上（点 F 与 A， B 都不重合）（1）若 EF均分 Rt△ ABC的周长，设 AE=x，△ AEF的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；B（2）试问：能否存在直线EF将 Rt△ ABC的周长和面积同时均分，若存在，求出 AE 的长，若不存在，说明原因 .F 2009 年全国初中数学比赛（海南赛区）初赛试题参照答案CEA一、 ： DBCAB ，CDADB提示：1．D ；由 11 x 0 ，得1 x 1,x 200920092009a | ＞|b | ，因此 | a |2＞|b |2，即 a 2＞ b 2； 2．B ；由 a b ＜ 0， b ＞0 知 a ＜0 且| 3．C ；将 1 中的平面 折成正方体4．A ；延 CO 交于⊙ O 于 D ， AD ， ∠ D=∠B=15°， 因 CD ⊙ O 的直径， 因此∠ CAD=90°，所以在 Rt △ ACD 中 , ∠OCA=90°－ 15° =75°.5．B ；由 2 a =3，2 c =12，得 2 a · 2 c ×12. 即 2 a c 2，而 2b=6=36=6=3a cb22 b2b a ca(2 ) 2 6． C ； an 2009, b 2008 n, 则 a b 1 ，又(a b)2 a 2 2ab b 2 且 a 2 b 21 ( 1) 21 2ab, 2ab 0 即ab 07．D ；若∠ B ＋∠ C ＜90°， ∠ A ＞90°， 与△ ABC 是 角三角形矛盾，故 D . 8．A ；先据 意写出前面一些数： 1，－ 1，－ 2，－ 1，1，2，1，－1，⋯⋯， 察 从左向右数每摆列六个数后，从第七个数开始重复出 ，即2009 个数是由 1，－ 1，－ 2，－ 1， 1，26 个数 成的数 重复摆列而成，而 1＋ (－ 1)＋(－ 2)＋(－ 1)＋1＋2=0，又 2009=334×6＋ 5， 明， 2009 个数的和等于最后五个数： 1，－ 1，－ 2，－ 1，1 的和 . 9．D ； P 点的最 的弦是直径，其 30，最短的弦 = 2 152 9224 ，因此⊙ O 中，通 P 点的弦 L 的取 范 是 24≤L ≤30，又 L 整数，因此 L 的 可取 24， 25，26，27， 28，29，30，又依据的称性知： 度25， 26，27， 28， 29 的弦各有 2 条，故共有 12 条.10. B ；由 象知 a ＜0， c =0， b＞ 1，进而 2 a ＋ b ＞0，又 (2ab) (b a) 3a＜0，即2ab＜ b a .2a二、填空 ： 11. 9 或112. 113. 114.（ 4， -1），（ -1，4）15. 3 条16.317.O18.（1，3） 935提示：11．9 或1；由条件知 x3 ， y2912．1；由已知条件知ab =1，因此原式ababababba a bab a 2 ab b 2a(b a) b(a b)1a b a b a b13. 1； 口袋中有黄球x 个，依 意，得6 2，因此 P （摸出 1 个黄球） =516 x, x 5 345| a | | b | 415314. （ 4， -1），（ -1，4）； 点 P 的坐 （ a,b ），由 意得分程解此方程 即可 .b a 315. 3 条；易知△ AFD ≌△ AED ，因此∠ AFD=∠AED ， DE=DF ，又∠ CDE=∠ BAC ，∠ C 公共角，因此 ∠ D EC=∠B=60°，因此∠ AFD=∠ AED=120°，因此∠ BFD=60°，又∠ B=60°，因此△ BDF 等 三 角形，因此DB=BF=DF=DE.16．3；因 折叠后点B 与 D 重合，因此∠ EDB=∠ DBC=45°，∴∠ BED=90°，即 DE ⊥BC ，在等腰梯511形2 (BC AD)(8 2) 3ABCD 中， CE= 2，DE=BE=8-3=5∴ tan ∠ CDE=EC 3DE52x2y 26x 知 x ≥ 0 ， 又 y6x，17. O ； 由 2x26x y20 ， 得 22 x 2 w x 2 2x 26 x 8xx 2 2x (x 1) 2 1，由此可 ，当x ≥ -1 ， w 跟着 x 的增大而减小，又因x ≥ 0>-1, ，故当 x =0 ， w 的最大 是 0.18. （ 1, 3）；∵ 四 形 OCDB 是平行四 形， B （ 8，0），∴ CDMC ， MC= OA=5y1 1 22C FDO E?B A xM∴在 Rt △CMF 中，MFMC 2CF 252423∴点 C 的坐标为（ 1，3）三、解答题100115019. 解：设第二次购书x 本，依题意得x10 2 x整理得 x 2110x 3000 0 ，解得 x 1 50 , x 2 60当 x =50 时， 150 ÷50=3 ＞，这与实质不符，舍去 . 当 x =60时，150÷60=＞，切合题意，由 × 60× 80%＋×× 60× 20% =；=（元）20. 解：（ 1）在 Rt △ABC 中， AC=3，BC=4，因此 AB=5，∴△ ABC 的周长为B12，又因 EF 均分△ ABC 的周长，∴ AE ＋ AF=6，而 AE=x ，∴ AF=6－ x ， 过点 F 作 FD ⊥AC 于 D ，则DFsin ABC 4AFAB 5F∴ DF 4 , 4(6 x), 因此 DF6 x 55y1AE DF1x 4( 6 x) 2 x 2 12 x （ 0＜ x ＜ 3）22 5 5 5（ 2）这样的 EF 存在，此时 AE=66 .CE DA2△ABC1 1 ，由 EF 均分△ ABC 的面积，因此S=2 BC AC 24 3 62 x 2 12 x3 ，解得 x 166, x 2665 522∵ 0＜ x ＜3，∴ x 2 66 不合舍去，当 x 16 6 时226 6.6x6 6＜5，切合题意，因此这样的EF 存在，此时 AE=22。