【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练52 圆的方程 理 北师大版

计时双基练五十一 两条直线的位置关系A 组 基础必做1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析 由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0。

答案 A2．不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B ．(－2,0)C ．(2,3)D ．(9，－4)解析 由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0得定点坐标为(9，－4)。

答案 D3．(2016·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析 ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5。

∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)。

∴m ＋n ＝0。

答案 A4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限。

答案 B5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0与x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析 由两直线互相垂直，得－1a·2＝－1，解得a ＝2，所以中点P 的坐标为(0,5)，则OP ＝5，在直角三角形OAB 中，斜边AB ＝2OP ＝2×5＝10，所以线段AB 的长为10。

计时双基练五十六 双曲线A 组 基础必做1．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等。

答案 D2．(2016·河北省高三年级三市第二次联考)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的离心率等于33b ，则该双曲线的焦距为( ) A ．2 5 B ．2 6 C ．6D ．8解析 设双曲线的焦距为2c ，由已知得c 2＝33b ，又c 2＝4＋b 2，解得c ＝4，则焦距为8。

答案 D3．(2015·四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析 双曲线x 2－y 23＝1的两条渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点为F (2,0)如图所示。

根据题意，由⎩⎨⎧y ＝3x ，x ＝2，得A (2,23)。

同理可得B (2，－23)。

所以|AB |＝43，故选D 。

答案 D4．已知双曲线x 2a －y 2b＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2，∴e ＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝5。

答案 C5．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析 设双曲线的右顶点为B ，则B (a,0)。

计时双基练五十七 曲线与方程A 组 基础必做1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析 设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆。

答案 B2．(2016·珠海模拟)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y 。

∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x 。

答案 B3．(2016·南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0) C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)D ．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0)解析 由∠APO ＝∠BOP 得点O 在∠APB 的平分线上。

由角平分线定理得|PA |∶|PB |＝|AO |∶|OB |＝2∶1，设点P (x ，y )，则利用关系式可知x ＋2＋y 2x －2＋y2＝2。

化简可得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)。

答案 C4．(2016·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点。

【红对勾】（新课标） 高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何单元质量检测 理时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1或3D ．－1或－3解析：因为直线y ＝ax －2的斜率存在且为a ，所以－(a ＋2)≠0，所以3x －(a ＋2)y ＋1＝0的斜截式方程为y ＝3a ＋2x ＋1a ＋2，由两直线平行，得3a ＋2＝a 且1a ＋2≠－2，解得a ＝1或a ＝－3.答案：A2．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( )A ．(1,0)，(－1,0)B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析：c 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，所以c ＝ 3.由焦点在x 轴上．所以焦点坐标为(3，0)，(－3，0)．答案：C3．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3D ．1解析：圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，弦AB 的长l ＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.答案：B4．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝13 B ．(x ＋2)2＋y 2＝17 C ．(x ＋1)2＋y 2＝40D ．(x －1)2＋y 2＝20解析：设圆心坐标为C (a,0)，则|AC |＝|BC |，即a －52＋22＝a ＋12＋42，解得a ＝1，所以半径r ＝1＋12＋42＝20＝25，所以圆C 的方程是(x －1)2＋y 2＝20.答案：D5．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由题意a 2－b 2a ＝32，所以a 2＝4b 2.故双曲线的方程可化为x 24b 2－y 2b2＝1，故其渐近线方程为y ＝±12x .答案：A6．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1B ．y 2－x 24＝1C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 解析：由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0，∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，∴2aa 2＋b 2＝455，∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5， ∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1. ∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C.答案：C7．过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 则x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．答案：D8．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D9．已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率相等解析：对于双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1，a 21＝cos 2θ，b 21＝sin 2θ，c 21＝1；对于双曲线C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1，a 22＝sin 2θ，b 22＝sin 2θtan 2θ，c 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2θcos 2θ＝sin 2θcos 2θ＝tan 2θ.∵只有当θ＝k π＋π4(k ∈Z )时，a 21＝a 22或b 21＝b 22或c 21＝c 22，而0<θ<π4，∴A ，B ，C 均错；设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＝1cos 2θ，e 22＝tan 2θsin 2θ＝1cos 2θ. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等． 答案：D10．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝4，① |F 1F 2|＝2 3.又因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以∠F 1AF 2＝90°. 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，②由①②联立解得，|AF 1|＝2－2，|AF 2|＝2＋ 2.在双曲线C 2中，2c ＝23，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝22，故e ＝c a＝32＝62，故选D. 答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝012．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案：x ＋y －1＝013．已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．解析：椭圆的左焦点为F (－1,0)，右焦点为E (1,0)，根据椭圆的定义，|PF |＝2a －|PE |，∴|PF |＋|PQ |＝|PQ |＋2a －|PE |＝2a ＋(|PQ |－|PE |)，由三角形的性质，知|PQ |－|PE |≤|QE |，当P 是QE 延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a ＋|QE |＝22＋32＝5 2.答案：(0，－1)14．已知曲线x 2a －y 2b＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ→＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．解析：将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2.答案：2三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，原点到过点A (a,0)，B (0，－b )的直线的距离为455.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．解：(1)因为ca ＝32，a 2－b 2＝c 2，故a ＝2b ，因为原点到直线AB ：x a －y b ＝1的距离d ＝ab a 2＋b 2＝455，解得a ＝4，b ＝2，故所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y24＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kx －12＝0，易得Δ>0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，EF 的中点是M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－4k 1＋4k 2，y M ＝kx M ＋1＝11＋4k2， 所以k BM ＝y M ＋2x M ＝－1k， 又因为k ≠0，所以k 2＝18，所以k ＝±24.16．(10分)过点Q (－2，21)作圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的切线，切点为D ，且|QD |＝4. (1)求r 的值；(2)设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM →＝OA →＋OB →，求|OM →|的最小值(O 为坐标原点)．解：(1)圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为O (0,0)， 于是|QO |2＝(－2)2＋(21)2＝25，由题设知，△QDO 是以D 为直角顶点的直角三角形， 故有r ＝|OD |＝|QO |2－|QD |2＝25－42＝3.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0，则A (a,0)，B (0，b )，∴OM →＝(a ，b )，∴|OM →|＝a 2＋b 2. ∵直线l 与圆O 相切，∴|－ab |a 2＋b2＝3⇒a 2b 2＝9(a 2＋b 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，∴a 2＋b 2≥36，∴|OM →|≥6，当且仅当a ＝b ＝32时取到“＝”． ∴|OM →|取得最小值为6.17．(12分)如图，已知点E (m,0)(m >0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·2k 212＋－2k 12＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.(2)设直线AB的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －m ，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．18．(12分)(2014·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；②求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a5， 因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)． 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1. 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立．②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1,0)，可得△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1.当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.。

第6节双曲线【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( B )(A)1 (B)17(C)1或17 (D)以上答案均不对解析:由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.2.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是( A )(A)(-3,-2) (B)(-∞,-3)(C)(-∞,-3)∪(-2,+∞) (D)(-2,+∞)解析:由题意得解得-3<k<-2.3.若ab≠0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是如图中的( C )解析:方程可化为y=ax+b和+=1.从B,D中的两椭圆看a,b∈(0,+∞),但B中直线有a<0,b<0矛盾,应排除;D中直线有a<0,b>0矛盾,应排除;再看A中双曲线得a<0,b>0,但直线有a>0,b>0,也矛盾,应排除;C中双曲线的a>0,b<0和直线中a,b一致.故选C.4.(2015甘肃酒泉实验中学月考)已知A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积k PA·k PB=,则该双曲线的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:根据双曲线的对称性可知A,B关于原点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y),则-=1,k PA·k PB=·====,e==.5.(2015甘肃张掖4月模拟)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上且·=0,则点M到x轴的距离为( D )(A)(B)(C)(D)解析:双曲线x2-=1的焦点为F1(-,0),F2(,0).因为MF1⊥MF2,所以点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上,故由解得|y|=,所以点M到x轴的距离为.6.设F1,F2是双曲线C的两焦点,点M在双曲线上,且∠MF2F1=,若|F1F2|=8,|F2M|=,则双曲线C的实轴长为( D )(A)2(B)4(C)2(D)4解析:由余弦定理得|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2-2|MF2|·|F1F2|·cos∠MF2F1=()2+82-2××8×cos=50.所以|MF1|=5.由双曲线定义可知,实轴长2a=||MF1|-|MF2||=4.7.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( C )(A)3x±4y=0 (B)3x±5y=0(C)4x±3y=0 (D)5x±4y=0解析: 如图,由条件|F2A|=2a,|F1F2|=2c,又|PF2|=|F1F2|,所以A为PF1的中点,由a2+b2=c2,得|PF1|=4b,由双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,则4b-2c=2a,所以2b=c+a,因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,所以4b2-4ab+a2=a2+b23b2=4ab,所以=,所以渐近线方程为y=±x.8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为5,则m的值为.解析:因为c2=m+m+4=2m+4,所以e2===5,所以3m-4=0,所以m=.答案:9.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.解析:由消去y得x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=±1.答案:±110.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为.解析:双曲线的左焦点为F1(-2,0),将直线AB方程:y=(x+2)代入双曲线方程,得8x2-4x-13=0.显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=·=×=3.答案:3能力提升练(时间:15分钟)11.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析: 如图,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|AB|=|BF1|-|AF1|=|BF1|-|AF1|+|AF2|-|BF2|=(|BF1|-|BF2|)+(|AF2|-|AF1|)=4a,所以|BF2|=4a,|BF1|=6a,在△BF1F2中,∠F1BF2=60°,由余弦定理得,|BF1|2+|BF2|2-|F1F2|2=2|BF1|·|BF2|·cos 60°,所以36a2+16a2-4c2=24a2,所以7a2=c2,因为e>1,所以e==.12.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:设双曲线的右焦点为F,则F(c,0)(其中c=),且c=|OF|=r=4,不妨将直线x=a代入双曲线的一条渐近线方程y=x,得y=b,则A(a,b).由|FA|=r=4,得=4,即a2-8a+16+b2=16,所以c2-8a=0,所以8a=c2=42,解得a=2,所以b2=c2-a2=16-4=12,所以所求双曲线C的方程为-=1.13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两个圆的位置关系为( B )(A)相交 (B)相切(C)相离 (D)以上情况都有可能解析:若P在双曲线左支上,设双曲线右焦点为F2,PF1的中点为O1,连接OO1,PF2.所以|OO1|===+a,是以PF1为直径的圆的半径,a是以A1A2为直径的圆的半径,故两圆外切,同理,若P在双曲线右支上,则可得两圆内切.综上,两圆相切.14.已知动圆与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切,则动圆圆心M的轨迹方程为.解析:设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,则|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,所以|MC1|-|MC2|=r+3-r+1=4<|C1C2|=6,由双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,且2a=4,a=2,所以b2=c2-a2=5,所以双曲线的方程为-=1(x≥2).答案:-=1(x≥2)15. 如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A,B为椭圆的顶点,当FB⊥AB时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于.解析:设中心在坐标原点的双曲线左焦点为F,实轴右端点为A,虚轴端点为B,FB⊥AB,则|AF|2=|AB|2+|BF|2,因为|AF|2=(a+c)2,|AB|2=a2+b2,|BF|2=b2+c2,所以c2-a2-ac=0,因为e=,所以e2-e-1=0,因为e>1,所以e=.答案:16.从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=9的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|= .解析: 设F2为双曲线右焦点,则|OM|=|PF2|,|PF|-|PF2|=6.因为FT是☉O的切线,所以|FT|=4,所以|MT|=|MF|-|FT|=|PF|-4,所以|MO|-|MT|=|PF2|-|PF|+4=4-(|PF|-|PF2|)=1.答案:1精彩5分钟1.已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( C )(A)6 (B)8 (C)10 (D)12解题关键:关键把问题转化为到圆心的距离.解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.2.(2015河北沧州4月质检)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为120°,直线bx-2ay=0与双曲线C交于A,B两点,若点A(x1,y1),B(x2,y2)满足|x1-x2|=4,则弦长|AB|= .解题关键:关键是弦长公式的应用.解析:因为双曲线C的一条渐近线的倾斜角为120°,所以-=tan 120°=-,得=.由弦长公式得|AB|=|x1-x2|=|x1-x2|=2.答案:2。

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第八章平面解析几何8.6抛物线课时规范训练理北师大版[A级基础演练]2 2X y1. (2016 •重庆渝中区一模)双曲线C：云一器=1(a>0, b>0)的离心率为2，双曲线C 的渐近线与抛物线y2= 2px(p>0)交于A, B两点，△ OABO为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )2 2A. y = 8xB. y = 4xC. y2= 2xD. y2= 4 3x2 2x y解析：•••双曲线C：孑一b^= 1(a>0, b>0)的离心率为.2,.・.双曲线C为等轴双曲线，即a= b, •••双曲线的渐近线方程为y=± x.又•••双曲线C的渐近线与抛物线y2= 2px交于A,B两点，如图所示，设点A(x, y),.・.|Oiyi= x, |AM = y.又•••△ OAB的面积为xy = 4,「. x =2, y = 2.又•••点A在抛物线上，• 22= 2p • 2.解得p= 1，•抛物线的方程为y2= 2x.故选 C.答案：C12. (2015 •高考课标卷I )已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C: y2= 8x的焦点重合，A, B是C的准线与E的两个交点，贝U | AB =( )A. 3B. 6C. 9D. 12解析：抛物线y2= 8x的焦点为(2,0)，•椭圆中c= 2,_ C 1 2 2 2又=;;,••• a= 4, b = a -c = 12,a 22 2x y从而椭圆方程为16+1.•••抛物线y2= 8x的准线为x=- 2,• - X A=X B=— 2,将X A=— 2代入椭圆方程可得|『A| = 3, 由椭圆性质可知| AB = 2|y A| = 6.故选B.答案：B22 X 23. (2016 •武汉质检)已知抛物线y = 4x的准线与双曲线-2- y = 1( a>0)交于A B两点,F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是()A. 3B. 6C. 2D. 3解析：依题意可知抛物线的准线为x=- 1,焦点为F(1,0),由题意得(一1,2)在双曲线1 2 1 5 「，上，即——4= 1，解得a = 5,所以e=- . 1 =〔;6.故选B.-5答案：B2 22 x y4. (2014 •高考上海卷)若抛物线y= 2px的焦点与椭圆-+鲁=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为____________________ .2 22 x y p解析：T c = 9—5= 4,「. c = 2. •••椭圆—+ 石=1 的右焦点为(2,0) ,••• 2= 2，即p= 4.•••抛物线的准线方程为x =— 2.答案：x =—25. _____________________________________________________________________ 动圆过点(1,0)，且与直线x=—1相切，则动圆圆心的轨迹方程为_____________________________ .解析：设动圆的圆心坐标为(x, y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=—1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2= 4x.答案：y2= 4x6. (2014 •高考湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG勺边长分别为a, b( a< b),2 b原点O为AD的中点，抛物线y2= 2px(p>0)经过C, F两点，则-= _____________ab, O为AD的中点, 解析:•••正方形ABCD^正方形答案：•. 2 + 1 7.已知抛物线y 2= 2px (p >0)的焦点为F, A 是抛物线上横坐标为 4,且位于x 轴上方 的点，A 到抛物线准线的距离等于 5,过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，0B 的中点为 M(1) 求抛物线的方程；(2) 若过M 作MN L FA,垂足为N,求点N 的坐标；解：⑴ 抛物线y 2= 2px 的准线为x =- p于是4+ P= 5，二p = 2,二抛物线方程为y 2=4x .(2) T 点A 的坐标是(4,4), 由题意得 B (0,4)、M 0,2). 4又 F(1,0) ,.•• k AF = 3.3•/ MNL FA4故FA 的方程为y = 3(x — 1)，①3 3MN 的方程为y — 2=— 4X ,② 8 4联立方程①②，解得 x = ,, y =.55)已知抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)的焦点为F ,直线y = 4与y5轴的交点为P,与C 的交点为Q 且|QF= 4网(1) 求C 的方程；(2) 过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线I '与C 相交于M N 两点, 且A 、MB N 四点在同一圆上，求I 的方程.2 8 解：（1）设 Qx o,4），代入 y = 2px 得 x o = -. p所以 | PQ = 8, | QF = p + X o = p + 8.p 2 2 pp 8 5 8.2a = pa ,b 2= 2p'|+ b ,解得b 卡+1.& (2014 •高考大纲全国卷 /• N 的坐标为由题设得2+ - = -X p,解得p=—2（舍去）或p= 2.P *T P所以C的方程为y2= 4x.(2)依题意知I与坐标轴不垂直，故可设I的方程为x= my+ 1(m^0).代入y2= 4x,得y2—4my-4= 0.设A(x i, y i) , B(X2, y2), 则y i + y2= 4m y i y2= — 4.故AB的中点为D(2 n i+ 1,2 n) , I AB =^n i+ 1| y i —y2| = 4( n i+ 1).1 2又I '的斜率为—m所以I '的方程为x = —m/+ 2m+ 3.2 2 4 2将上式代入y = 4x,并整理得y + my —4(2 m+ 3) = 0.4 2设M(X3, y s) , N(X4, y4)，贝U y s+ y4=— , y s y4= —4(2 m+ 3)./2 2 2 \故MN的中点为E「+ 2m+ 3,—, \m m;/ i 4 m+］叮2m+1丨MW = 1+m1 y3—w = mi 由于MN垂直平分AB,故A, MB, N四点在同一圆上等价于|AE = | BE =別MN，从而1| AB|2+ |DE2= 1| MN2,即4(m+ 1)2+ 护m「+ 幕 + 2)= m+l m El，化简得m—1 = 0，解得m= 1或m=—1.所求直线I的方程为x —y—1 = 0或x+ y —1 = 0.［B级能力突破］1. (2015 •高考四川卷)设直线I与抛物线y2= 4x相交于A B两点，与圆(x—5)2+ y2 =r2(r > 0)相切于点M且M为线段AB的中点.若这样的直线I恰有4条，则r的取值范围是()A. (1,3)B. (1,4)C. (2,3)D. (2,4)解析：如图，y2= 4x i, 设A(x i, y i) , B(X2, y2), Mx。

计时双基练五十二 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 基础必做1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)。

答案 C2．(2015²石家庄二检)已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析 ∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C 。

答案 C3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105 解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0。

则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4 t 2－15。

所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2² x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4³4 t 2－1 5＝4255－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105。

答案 C4．(2015²四川雅安月考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)，∴|AK |＝4，∴S △AKF ＝12³4³23＝43。