第八讲 一致收敛函数列的性质1

注 由于连续性是函数的一种局部性质，因此连续函数列 {fn(x)}）在区间 I 上内闭一致收敛于 f(x)，就足以保证 f(x) 在 I 上连续。
推论 若连续函数列{fn(x)}）在区间 I 上内闭一致收敛于 f(x)，
则 f(x)在 I 上连续。
2019年5月12日星期日
8
3.可积性
定理13.10 若 fn( x)
(x)

lim
n
a
n
.
即 fn ( x)
f (x)
则 lim lim x x0 n
fn ( x)

lim lim
n x x0
fn ( x)
证 (1)
证明lim n
an存在。
因为 fn( x)
f ( x) 0,N 0,
p N ,x D,都有| fn (x) fn p (x) | .
nx fn(x) 1 n2 x2
f ( x) 0, x [0,1]
但f ( x) 0在[0，1]连续、可积，且 1 f ( x)dx 0, 0
而
1
0 fn( x)dx
1 nx 0 1 n2 x2 dx

1 ln(1 n2 ) 0
1
f ( x)dx.
f ( x) lim n
fn( x0 )
f ( x0 ),
即f(x)在x0也连续。即有：
2.连续性
定理13.9 若 fn( x)
f (x) x I,
且n, f n ( x)在I连续，则f ( x)也在I上连续.
2019年5月12日星期日
6
定理13.9的逆否命题：
若fn(x)的极限函数f(x)在I上不连续，则

n 1
2n

2
xe
n2 x 2
2(n 1) xe
2
( n 1) 2 x 2
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
由于
S ( x) S ( x0 )
x x0
[Sn ( x) rn ( x)] [Sn ( x0 ) rn ( x0 )] Sn ( x) Sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 )
n 1
un ( x) 一致收敛于和函数S(x)
部分和序列 S n ( x) 一致收敛于S(x)

余项 rn ( x) 一致收敛于 0
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几何解释 : (如图)
0, N Z , 当n > N 时, S ( x) S n ( x) 表示 曲线 y S n ( x) 总位于曲线 y S ( x) 与 y S ( x)
之间.
y S ( x)
y S ( x)

y S ( x)
y S n ( x)
I
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x
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例1. 研究级数 1 1 1 ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x n)( x n 1)
在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 1 1 1 解: (k 1,2,) ( x k )( x k 1) x k x k 1 1 1 1 1 S n ( x) ( )( ) x 1 x 2 x2 x3 1 1 ( ) x n x n 1 1 1 x 1 x n 1

1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:

因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ， 因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时， 对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证 要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n

详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。

在数学中，一致收敛性（或称均匀收敛）是函数序列的一种收敛定义，它较逐点收敛更强，并能保持一些重要的分析性质（如连续性）。

定义：设为一集合，为一度量空间。

若对一函数序列，存在满足，对所有，存在，使得
，则称一致收敛到。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中仅与相关，而在逐点收敛中还与相关。

所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

例子:
考虑区间上的函数序列，它逐点收敛到函数，
然而这并非一致收敛。

直观地想像：当愈靠近，使接近所需的便愈大。

可以依此想法循定义直接证明，也可以利用下节关于连续的性质证明，因为在此例中皆连续，而不连续。

性质：假设一致收敛到，此时有下述性质：
（1）连续性：若是集合的闭包中的一个元素，且每个都在上连续，则也在a上连续。

若对集合I的每个紧子集，每个都在上连续，则在上连续。

（2）与积分的交换：令为中的开集，或。

若每个都是黎曼
可积，则也是黎曼可积，而且。

注：在勒贝格积分的框架下能得到更广的结果。

（3）与微分的交换：令为中的开集，或。

若每个皆可微，且一致收敛到函数，则亦可微，且。

又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |

? lim
x x0
n1
un ( x)

n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)

lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|

lim sup | Rn ( x ) | lim sup | S ( x ) Sn ( x ) | 0.
n xD n xD
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三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
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n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
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例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1

在[a, b]上一致收敛.
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定义. 设 S(x) 为
任意给定的 > 0, 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有
n 1
un ( x) 在区间 I 上的和函数, 若对

rn ( x) S ( x) S n ( x)
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 显然, 在区间 I 上

an x n an r n
(n 0 ,1, 2 ,)
而 0 r R, 由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 an r n
n 0
绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 证毕 说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛
区间可包含此端点.
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n
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用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出
S n ( x) 及 S ( x), 这往往比较困难.下面介绍一个较方便的
判别法. 维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 若函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上满足:
n 1
1) un ( x) an
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
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un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x) un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x) an 1 an 2 an p 2 令 p , 则由上式得 rn (x) 2 故函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上一致收敛 .

一致收敛的函数列)}({x fn与极限函数)(x f 性质讨论胡海燕华中师范大学 数学与统计学学院 武汉430079摘要：本文主要研究若)}({x f n一致收敛于)(x f ，则)(x f n与)(x f 将共有哪些性质。

在《数学分析》中已研究连续性、可积性、微分与极限互换定理。

此外本文讨论了一致连续性、周期性为)(x fn与)(x f 共有；当条件加强时，单调性、驻点等性质可平移到)(x f 上；用反例说明若)}({x f n一致收敛于)(x f ，但 {)('x fn}不一致收敛于)('x f .Abstacts: Main research in this text if fn( x)s are refrainedfrom rash action consistently in f( x), then fn( x) with which kinds will f( x) have totally.At 《 mathematics analysis 》 inside has studied the continuous, can accumulate the sex, differential calculus to change the axioms with extreme limit with each other.In addition this text discussed the consistent consecution,The periodic is to have with f( x) totally;When the term enhances, monotonous, halt to order to wait the kind even move to f( x)top;Say with the versa example Clear if fn( x) is refrained from rash action consistently in f( x), but f ‵n( x) inconformity is refrained from rash action in f ‵( x)关键词 ：收敛 一致收敛 连续性 可积 可微 闭区间 单调性 驻点 一致连续 周期性 复合函数Key words:Refrain from rash action Refrain from rashaction consistently Can accumulate Tiny Shut the zone Monotonous Halt to order Consistent consecution Week Period Reunite the function引言： 在《数学分析》中我们学习了函数列的收敛性与一致收敛性。

f n ( x)
f ( x)
( n → ∞ ), x ∈ D .
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上一致收敛， 若函数列 { fn } 在 D 上一致收敛，则必在 D 上每 一点都收敛，反之，不一定成立． 一点都收敛，反之，不一定成立． 例2 证明函数列
sin nx fn ( x) = , n = 1, 2, L n 上一致收敛． 在 (– ∞, +∞) 上一致收敛． 证 对任给的 0 , 取 N = 1/ε , 对任给的ε> 当 n > N 时，
n =1
x∈ D .
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即
lim S n ( x ) = S ( x ) .
n→ ∞
的一致收敛性定义如下： 函数项级数 (9) 的一致收敛性定义如下： 是函数项级数∑u 定义 2 设 { Sn(x) } 是函数项级数 n(x) 的部分 和函数列 ．若 { Sn(x) } 在数集 D 上一致收敛于函数 S(x) ，则称函数项级数 n(x)在数集 D 上一致收敛 则称函数项级数∑u 在数集 于函数 S(x)，或称 n(x)在 D 上一致收敛． ，或称∑u 在 上一致收敛． 由于函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数列的 一致收敛性来定义的， 一致收敛性来定义的，所以由函数列一致收敛的定理 可推出相应的函数项级数的定理： 可推出相应的函数项级数的定理：
n → ∞ x∈ D
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例 4 函数项级数
1 + x + x2 +L + xn +L = ∑ xn ,
n= 0
∞
的收敛域为 (-1, 1)，其和函数为 ， 1 S( x) = . 1− x

数学分析第十三章函数列与函数项级数一致收敛函数列的性质1第八讲数学分析第十三章函数列与函数项级数一致收敛函数列的性质定理13.8（极限交换定理）{}n f 设函数列在上一致收敛于,00(,)(,)a x x b ⋃()f x 且对每个n , 0lim ()n n x x f x a →=，→∞lim n n a 则和→0lim ()x x f x 均存在且相等：00lim lim ()lim lim ().n n x x n n x x f x f x →→∞→∞→=即{}n a 证先证是收敛数列. 故存在正整数N , 当n >N 及对任意正整数p , 对一切00(,)(,)，x a x x b ∈⋃有|()()|.(1)n n p f x f x ε+-<0ε>，{}n f 由于一致收敛,对任意0lim ()lim ,n x x n f x a →→∞=数学分析第十三章函数列与函数项级数定理指出: 在一致收敛的条件下, {()}n f x 中关于独立变量x 与n 的极限可以交换次序, 即,()(,)n f x a b 类似地若在lim ()n x af x +→上一致收敛, 且存在, ++→∞→∞→→=lim lim ()lim lim ();n n n n x ax af x f x ()(,)lim (),n n x bf x a b f x -→若在上一致收敛,且存在--→∞→∞→→=lim lim ()lim lim ().n n n n x bx bf x f x 则有则有00lim lim ()lim lim ().(2)n n x x n n x x f x f x →→∞→∞→=数学分析第十三章函数列与函数项级数定理13.9（连续性）若函数列{}n f 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f 在I 上也连续.证0.x I 设为上任一点于是由定理13.8 知0lim ()x x f x →也存在, 且0lim ()lim lim ()n x x x x n f x f x →→→∞=0().f x x 因此在上连续00lim ()(),n n x xf x f x →=由于0lim lim ()n n x x f x →∞→=0lim ()n n f x →∞=0(),f x =数学分析第十三章函数列与函数项级数{}nx (1,1]-例如函数列的各项在上都是连续的,其极限函数0,11,()1,1x f x x -<<⎧=⎨=⎩1x =在时不连续，{}nx (1,1]-所以在上不一致收敛.注定理13.9可以逆过来用:但列在区间I 上其极限函数不连续, 若各项为连续函数的函数I 上一定不一致收敛.则此函数列在区间推论{}n f I f 若连续函数列在区间上内闭一致收敛于，f I 则在上连续.。

函数列一致收敛的定义
一致收敛是高等数学中的一个重要概念，又称均匀收敛。

一致收敛是一个区间（或点集）相联系，而不是与某单独的点相联系。

除了柯西准则和余项准则外，还可以通过Weierstrass判别法、Abel判别法和Dirichlet判别法来判别函数项级数是否一致收敛。

一致收敛性是函数列或函数项级数的一种性质。

一致收敛函数的判别方法有很多种，最常见的有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等。

一致收敛函数具有连续性、可积性、可微性的特点。

函数项级数作为数项级数的推广，一致收敛性的判别法类似于数项级数，都有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等。

另外，结合数项级数的比式判别法和根式判别法，可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法，同时利用p 级数的收敛性和优级数判别法还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法。

确界极限
lim sup |
n xD
fn (x)
f
(x) | 0
命题 设fn(x)C[a, b], 且 fn x 在(a, b)内一致收敛, 则 fn x 在[a, b]上一致收敛.
Weierst(x) | Mn, 且 M n 收敛 un (x) 一致收敛
lim
n
b a
fn
x dx

b a
lim
n
fn x
dx
b
f (x)dx
a
注 用到连续性定理: f C[a, b], 从而f R[a, b]！

推论 (逐项可积性) 设un(x)C[a, b], 且 un (x) n1
在[a, b]上一致收敛, 则
若 fn x D f x, 则D1 D: fn x D 1 f x 若 fn x D f x, 则 fn (x) D f (x), 反之不然.
f n(x)在D上不一致收敛的肯定叙述:
f (x), 0 0,N N, nN N, xN D : | fnN (xN ) f (xN ) | 0.
n1
n1
AD判别法(函数项级数)
二、不一致收敛判别法 结论
不点态收敛 不一致收敛 Cauchy不一致收敛准则
n N , p N, xn D : | fn p (xn ) fn (xn ) | 0
点列极限
xn D :| fn (xn ) f (xn ) | 0 (n )
| fn p (x) fn (x) | .

思考 un (x) 在D上一致收敛的Cauchy准则？ n 1

f
( x)均存在且相等。
即在一致收敛的条件下， 有
lim lim
x x0 n
fn(x)
lim lim
n x x0
fn ( x)
定理2：（ 连续性） 若函数列fn在区间I上一致收敛，
且每一项均连续， 则其极限函数f在I上也连续。
证明：
设x0为I上任意一点，
因lim x x0
fn(x)
lim sup n x(1,1)
fn(x)
f (x)
lim 1 0, n n
因此, fn( x)在D上一致收敛于f ( x)
(2)
fn
(
x)

1

x n2
x
2
,
n

1,2,,
D

(,)
解:
f (x)

lim n 1
x n2 x2

0
0 sup
xR
fn(x)
(0,1]
使得
fn0 ( x0 )
f ( x0 )

1 n0 x0 1
1 2

1 3

0
即函数
列f
n
(
x
)

1
nx nx
在(0,1]非一
致
收
敛,
从而函数列fn
(
x)

1
nx nx
在[0,1]非一致收敛,
但 lim n
1
0
fn( x)dx

lim
n
1
01
nx nx
在D上一致收敛于f ( x).
证明: fn( x) f ( x) an, x D,

{ }
(ξ ) ，所以对于上述 ε 0 > 0 ，
8.4
高等微积分讲义
∃N ，满足 f N (ξ ) − f (ξ ) < ε 0 2
又由于 f N ( x ) − f ( x ) ∈ C [ a, b ] ，并且： xn → ξ 对于上述 ε 0 > 0 ， ∃K ，当 k > K 时，有：
⎡ ⎣ f N ( xk ) − f ( xk ) ⎤ ⎦−⎡ ⎣ f N (ξ ) − f (ξ ) ⎤ ⎦ < ε0 2 ，
因此，对于 N = 1 ， ∃n1 > 1 ， ∃x1 ∈ [ a, b ] ，使得： f n1 ( x1 ) − f ( x1 ) ≥ ε 0 ； 对于 N = n1 ， ∃n2 > n1 ， ∃x2 ∈ [ a, b ] ，使得： f n2 ( x2 ) − f ( x2 ) ≥ ε 0 ； 该过程不断进行下去， 对于 N = nk −1 ， ∃nk > nk −1 ， ∃xk ∈ [ a, b ] ，使得： f nk ( xk ) − f ( xk ) ≥ ε 0 ； 由此我们构造出了两个数列 {nk } 及 { xk } ⊂ [ a, b ] ， 满足： f nk ( xk ) − f ( xk ) ≥ ε 0 。 ① 由于 xk ∈ [ a, b ] ，由 Bolzano-Weierstrass 定理（抽子列）， 存在子列 xnk 收敛到 ξ ∈ [ a, b ] ，为了简单起见，无妨记 x k → ξ 。 ② 由于 f n (ξ ) → f
f n ( x ) ∈ C 1 [ a, b ] ；
[ ] f n′ ( x ) ⎯⎯⎯ →ϕ ( x ) ；
a ,b
定理 3：若 1) 2) 3) 1) 2)

n来自1二、一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不