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函数的一致收敛性与一致连续性函数的一致收敛性和一致连续性是数学分析中重要的概念，它们对于函数的性质和性质的分析具有重要的作用。
本文将从定义、性质以及与其他概念之间的联系等多个方面对函数的一致收敛性和一致连续性进行探讨。
一、一致收敛性的定义与性质函数序列的一致收敛性是指对于给定函数序列{fn(x)}，当自变量x趋向于某个值a时，函数值fn(x)的极限也趋向于某个值f(x)，且这种趋向对序列中的每一个函数都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。
函数序列的一致收敛性具有以下性质：1. 一致收敛性是逐点收敛性的强化。
如果函数序列一致收敛于f(x)，那么它也是逐点收敛的，即对于每个x，极限lim(n→∞)fn(x)=f(x)成立。
2. 一致收敛性是逐点收敛性的逆命题不成立的。
即逐点收敛的函数序列未必一致收敛。
3. 一致收敛性的极限函数是唯一的。
一致收敛序列的极限函数f(x)是唯一的，即若序列{fn(x)}和{gn(x)}一致收敛于f(x)，则它们极限相等。
4. 一致收敛的函数序列在有界集上一致有界。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都有界，则极限函数f(x)在A上有界。
5. 一致收敛的函数序列在有界集上一致可积。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都可积，则极限函数f(x)在A上可积。
二、一致连续性的定义与性质函数的一致连续性是指对于给定函数f(x)，当自变量x取值在某个区间上时，函数的变化量可以任意小，并且这种性质对区间上的所有点都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在Δ>0，使得当|x1-x2|<Δ时，对于所有的x1和x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε成立。
函数的一致连续性具有以下性质：1. 一致连续性是局部性质。
数学分析第十三章函数列与函数项级数一致收敛函数列的性质2第九讲数学分析第十三章函数列与函数项级数定理13.10（可积性）{}n f 若函数列在[a, b ]上一致收敛,且每一项都连续, 则lim ()d lim ()d .(3)bbn n aa n n f x x f x x →∞→∞=⎰⎰{}n f 证设f 为函数列在[a, b ]上的极限函数，(1,2,)n f n =从而 与f 在[a, b ]上都可积. lim ()d ()d .(3)bbn aan f x x f x x →∞'=⎰⎰于是(3)变为13.9知f 在[a, b ]上连续,由定理数学分析第十三章函数列与函数项级数定理13.11（可微性）{}n f 设为定义在[a, b ]上的函数列, 的收敛点，0[,]x a b ∈若为{}n f ()lim ()lim ().(4)n n n n f x f x →∞→∞''=则在[a, b ]上有{}[,]n f a b 的每一项在上有连续的导数{}n f '，且在[a, b ]上一致收敛,{}n f '0lim (),n n f x A →∞=设{}[,]n g f a b '为在上的极限函数，00()()()d .xn n n x f x f x f t t '=+⎰由定理条件, 对任一[,]x a b ∈，证总有数学分析第十三章函数列与函数项级数,于是f 所以上式左边极限存在, 记为0()lim ()()d .xn x n f x f x A g t t →∞==+⎰由g 的连续性及微积分学基本定理得.f g '=这就证明了等式：00()()()d .xn n n x f x f x f t t '=+⎰(lim ())()lim ().n n n n f x g x f x →∞→∞''==,,n A →∞→当时右边第一项→第二项0()d .xxg t t ⎰数学分析第十三章函数列与函数项级数0x {}n f 注请注意定理中的条件为的收敛点的作用.[,]a b {}n f 在定理的条件下, 还可推出在上函数列一致收敛于f ,请读者自己证明.与前面两个定理一样, 运算交换的充分条件, 而不是必要条件, 请看例2.一致收敛是极限运算与求导推论0{}{}n n f I x I f 设函数列定义在区间上,若为的收敛∈{}nf I '在上内闭一致收敛，()lim ()lim ().n n n n f x f x →∞→∞''=I 则在上有点,数学分析第十三章函数列与函数项级数在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子. (如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能保证定理结论的成立.在今后的进一步学习中。
数学分析第十三章函数列与函数项级数
一致收敛函数列的性质2
第九讲
数学分析第十三章
函数列与函数项级数
定理13.10（可积性）
{}n f 若函数列在[a, b ]上一致收敛,且每一项都连续, 则
lim ()d lim ()d .
(3)
b
b
n n a
a n n f x x f x x →∞
→∞
=⎰⎰{}n f 证设f 为函数列在[a, b ]上的极限函数，(1,2,)n f n =从而 与f 在[a, b ]上都可积. lim ()d ()d .
(3)
b
b
n a
a
n f x x f x x →∞
'=⎰⎰于是(3)变为
13.9知f 在[a, b ]上连续,由定理
数学分析第十三章函数列与函数项级数
定理13.11（可微性）
{}n f 设为定义在[a, b ]上的函数列, 的收敛点，
0[,]x a b ∈若为{}
n f (
)
lim ()lim ().(4)
n n n n f x f x →∞
→∞
'
'=则在[a, b ]上有
{}[,]n f a b 的每一项在上有连续的导数{}n f '，且在[a, b ]上一致收敛,{}n f '0lim (),n n f x A →∞
=设{}[,]n g f a b '为在上的极限函数，
00()()()d .
x
n n n x f x f x f t t '=+⎰由定理条件, 对任一[,]x a b ∈，证总有
数学分析第十三章函数列与函数项级数
,于是
f 所以上式左边极限存在, 记为0()lim ()()d .
x
n x n f x f x A g t t →∞
==+⎰由g 的连续性及微积分学基本定理得
.
f g '=这就证明了等式：00()()()d .
x
n n n x f x f x f t t '=+⎰(lim ())()lim ().n n n n f x g x f x →∞→∞
''==,,n A →∞→当时右边第一项→第二项0
()d .
x
x
g t t ⎰
数学分析第十三章
函数列与函数项级数
0x {}n f 注请注意定理中的条件为的收敛点的作用.[,]a b {}n f 在定理的条件下, 还可推出在上函数列一致收敛于f ,请读者自己证明.
与前面两个定理一样, 运算交换的充分条件, 而不是必要条件, 请看例2.
一致收敛是极限运算与求导推论
0{}{}n n f I x I f 设函数列定义在区间上,若为的收敛
∈{}n
f I '在上内闭一致收敛，(
)
lim ()lim ().
n n n n f x f x →∞
→∞
'
'=I 则在上有点,
数学分析第十三章函数列与函数项级数
在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子. (如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能保证定理结论的成立.
在今后的进一步学习中。
