解三角形经典练习题集锦

专题06 解三角形一、单选题1．（2022·湖北襄阳·高三期末）在ABC 中，AC =4BC =，则角B 的最大值为（ ） A ．4πB ．3π C ．2π D ．6π2．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在ABC 中，π3A =，G 为ABC 的重心，若6AG AB AG AC ⋅=⋅=，则ABC 外接圆的半径为（ ）A B C ．2 D ．3．（2022·山东泰安·高三期末）在ABC 中，“tan cos A B <”是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB ，先在旗杆底端的正西方点C 处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D 处，在D 处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）A ．20mB ．10mC ．D 二、填空题5．（2022·山东莱西·高三期末）在ABC 中，CA a =，CB b =，0a b ⋅<，5a =，3b =，若ABC 的外接C =___________.6．（2022·江苏扬州·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23a A π==．若mb nc +（0,0m n >>）有最大值，则nm的取值范围是__________． 7．（2022·广东揭阳·高三期末）如图所示，在等腰直角ABC 中，2,AB AC O ==为BC 的中点，E ，F 分别为线段,AB AC 上的动点，且120EOF ∠=.（1）当OE AB ⊥时，则2EF 的值为__________. （2）2211OE OF +的最大值为__________. 8．（2022·山东青岛·高三期末）已知ABC 的三个内角分别为,,A B C ，且sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，则角B 的取值范围是_______；2sin 2B B +最小值为______.三、解答题9．（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝2∠ACB ＝4∠BAC ，AB ＝2，BCCD（1）求∠ACB 的大小； （2）求四边形ABCD 的面积．10．（2022·江苏通州·高三期末）从以下3个条件中选择2个条件进行解答.①BA ＝3；②BC ；③∠A ＝60°.在△ABC 中，已知 ，D 是AC 边的中点，且BD ，求AC 的长及△ABC 的面积.11．（2022·江苏扬州·高三期末）在①b 2＋c 2－a 2S ，②a sin B ＝b sin （A ＋3π），③cos cos 2cos b C c B a A +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ， ． （1）求角A ；（2）若AC ＝2，BC ，点D 在线段AB 上，且△ACD 与△BCD 的面积比为4∶5，求CD 的长． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）12．（2022·江苏宿迁·高三期末）在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABCSBC ⋅；③tan tan A C +=tan A C ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且__________. （1）求角B ；（2）若ABC 是锐角三角形，且4c =，求a 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.13．（2022·江苏如东·高三期末）在①cos cos a b A B =；②22tan tan a b A B=,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）判断△ABC 的形状；（2）在（1）的条件下，若cos A =，b ＝10，AD 为BC 边上的中线，求AD 的长.14．（2022·江苏如皋·高三期末）已知在△ABC 中，D 为边BC 上一点，CD =10，2AC =3AD ，cos ∠CAD =13.（1）求AD 的长； （2）求sin B .15．（2022·江苏无锡·高三期末）ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知a =tan 3A =，________.请在①sin 3cos c A C =；②22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-⋅这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） （1）求角C ； （2）求ABC 面积.16．（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形ABCD 中，7AB =，13BC =，CD AD =，且1cos 7B =，2BAD BCD ∠=∠．（1）求BCA ∠； （2）求AD ．17．（2022·江苏苏州·高三期末）在①2MC MB =；②sin C =③ABM S =△补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目．在ABC 中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a =sin sin 2B Cb a B +=． （1）求A ；（2）若M 为边AC 上一点，且ABM BAC ∠=∠，__________，求ABC 的面积． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）18．（2022·广东揭阳·高三期末）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin B b A +=. （1）求角A ；（2）若a =ABC b c >，求b 和c 的值.19．（2022·广东潮州·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin b C a B =，（1）求角B 的大小；（2）若点D 在边AC 上，且AD =2DC ，BD =2，求ABC 面积的最大值．20．（2022·广东东莞·高三期末）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos cos a b C c B =+. （1）求a ；（2）若3A π=，ABC ABC 的周长. 21．（2022·广东罗湖·高三期末）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c BC b-=． （1）求角B 的大小；（2）若边AB 上的高为4c，求cos C ．22．（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形ABCD 中，,,4,362∠=∠=∠===ADB BDC BCD AD CD ππ．（1）求AB ；（2）求ABC 的面积．23．（2022·广东汕尾·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(sin sin )sin sin sin .A C B A C -=-（1）求角B（2）当b =3时，求ABC 的面积的最大值．24．（2022·广东佛山·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos (2)cos a C b c A =-. （1）求角A 的大小；（2）若2,b BC =边上的中线AD =ABC 的面积. 25．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①b a =，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin ac A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积. 26．（2022·湖南娄底·高三期末）在ABC 中，已知3π4ABC ∠=，2AB =． （1）若π6BAC ∠=，求ABC 的面积； （2）若23=BC AC ，求ABC 的周长．（参考数据：πsin12=） 27．（2022·湖南常德·高三期末）设a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，()()()sin sin sin sin B C b a c A C -=-+．（1）求角A 的大小；（2）从下面两个问题中任选一个作答．．．．．．，两个都作答则按第一个记分． ①设角A 的角平分线交BC 边于点D ，且1AD =，求ABC 面积的最小值． ②设点D 为BC 边上的中点，且1AD =，求ABC 面积的最大值．28．（2022·湖南郴州·高三期末）在ABC ∆中，若边,,a b c 对应的角分别为,,A B C ，且sin cos c C c A =-． （1）求角A 的大小；（2）若3,1c b ==，2BD DC =，求AD 的长度．29．（2022·湖北武昌·高三期末）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin cos c C c A -．（1）求A ；（2）若a =b c +=ABC 的面积S ．30．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，ABC 的面积为S .（1）若2a =，3b =，S =c ； （2）若ABC 是锐角三角形且角2A B =，求ab的取值范围.31．（2022·湖北江岸·高三期末）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos cos cos a C b C c B -=. （1）求角C ；（2）若2a b +=，求c 的取值范围.32．（2022·湖北襄阳·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)cos cos a C c A -=．（1）求角C 的大小；（2）若a =()2cos cos 3c a B b A b -=，求ABC 的面积．33．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .B 的角平分线与AC 交于点D .（1）若2c a =，ABD △的面积为4，求ABC 的面积； （2）若2π3ABC ∠=，2BD =，4AB =，求sin C 的值. 34．（2022·湖北·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin B C B C A +-=．（1）求角A ；（2）如图，若b c =，点D 是ABC 外一点，3,DA DC ==ADC θ∠=，求平面四边形ABCD 面积的最大值及相应的θ值．35．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，向量(sin ,1cos )(2,0)m B B n =-=与向量夹角的余弦角为1.2（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围.36．（2022·山东青岛·高三期末）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 1A C a c b+=，且b c b a =>>.（1）求ac 的值；（2）若ABC 的面积S =,a c 的值.37．（2022·山东临沂·高三期末）已知ABC 中，D 是AC 边的中点．3BA =，BC =BD = （1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．38．（2022·山东枣庄·高三期末）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为22,,,6,36a b c a b bc c =-+=． （1）求A ；（2）从以下三个条件：①8b =；②sin B =AC 边上的高112BH =中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积．39．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域A 处的巡逻船发现南偏东60方向，相距a 海里的B 处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线()0y x =≥（以B 点为坐标原点，正东，正北方向分别为x 轴，y 轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t 小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt .若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇. （1）求,a b 的值；（2）若巡逻船以/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.40．（2022·山东淄博·高三期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60B =︒，222a b c bc =+-，延长BC 至D ，使7BD =，ACD △ （1）求AB 的长；（2）求ACD △外接圆的面积．41．（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四边形ABCD 中，AB //,sin sin CD AD ADC AB ABC ∠∠⋅=⋅.（1）求证：AB BC =；（2）若2,90AD BD ADB ∠===，求CD 的长.42．（2022·山东德州·高三期末）在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+③sinsin 2B Ca B +=三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足___________. （1）求角A ；（2）若A 的角平分线AD 长为1，且6b c +=，求sin sin B C 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.43．（2022·山东烟台·高三期末）在①2cos a B c =；②向量(),m a b c =-，(),n a b c b =-+，m n ⊥；③tan tan A B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知a =3c =，D 为AC 边的中点，若______，求BD 的长度．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．44．（2022·山东济南·高三期末）在ABC .中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c Ca A-=，3a =.（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值.45．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .请在①cos sin b b C B +=；②()2cos cos b a C c A -=；③222ABCa b c +-=这三个条件中任选一个，完成下列问题 （1）求角C ；（2）若5a =，7c =，延长CB 到点D ，使cos ADC ∠=，求线段BD 的长度. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.46．（2022·山东日照·高三期末）已知ABC 中，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2223332b c a bc +=+. （1）求sin A 的值；（2）若sin 2sin B C =，求tan C 的值.47．（2022·河北唐山·高三期末）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b a B c C +-=． （1）求角C ； （2）求a bc+的取值范围．48．（2022·河北张家口·高三期末）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且135C =，sin b B =.（1）求sin B ；（2）若D 为AB 的中点，1CD =，求ABC 的面积.49．（2022·河北保定·高三期末）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D .现测得35,100,400m BCD BDC CD ∠α∠β=====.在点C 测得塔顶A 的仰角为50.5.（1）求B 与D 两点间的距离（结果精确到1m ）； （2）求塔高AB （结果精确到1m ）.50．（2022·河北深州市中学高三期末）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量()32m b a =-，()cos ,cos n C B =，且m n ⊥.（1）求B ；（2）若sin cos A C +a =ABC ∆的周长.。

高考解三角形大题(30道)1.已知在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a}=\frac{\cos B b}{\sin C}$。

求该三角形的 $\sin A$ 值和面积 $S$，已知 $\cosB=\frac{1}{4}。

b=2$。

2.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\sin C+\cos C=1$。

求 $\sin C$ 值和边c的值，已知$a+b=4(a+b)-8$。

3.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。

求 $\sin(A+\frac{C}{2})=\frac{1}{2}\cos A$，并求角A的值；已知 $\cos A=\frac{1}{3}。

b=3c$，求 $\sin C$ 值。

4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且有$BD=\frac{3}{3},\sin B=\frac{5}{3},\cos\angle ADC=-\frac{1}{\sqrt{3}}$。

求AD的值。

5.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $a=1,b=2,\cos C=\frac{1}{4}$。

求该三角形的周长和$\cos(A-C)$ 值。

6.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。

已知 $p=\frac{1}{5},b=1$，求 $a,c$ 的值；若角B为锐角，求p的取值范围。

7.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。

求角A的值和$\sin B+\sin C$ 的最大值。

8.已知在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有 $\cos 2C=-\frac{1}{4}$。

解三角形练习题及答案一、解三角形练习题1. 已知三角形ABC，AB=5cm，AC=8cm，BC=7cm，求角A的大小。

2. 已知三角形DEF，DE=6cm，EF=9cm，DF=12cm，求角D的大小。

3. 已知三角形GHI，GH=5cm，HI=5cm，GI=7cm，求角G的大小。

4. 已知三角形JKL，JK=8cm，KL=10cm，JL=12cm，求角K的大小。

5. 已知三角形MNO，MN=4cm，NO=6cm，MO=8cm，求角M的大小。

二、解三角形练习题答案1. 解题过程：根据已知条件，我们可以使用余弦定理来求解角A的大小。

余弦定理公式为：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2b*c)其中，a、b、c分别表示三角形对应边的长度。

代入已知条件可得： cos(A) = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (2*7*8)= (49 + 64 - 25) / 112= 88 / 112≈ 0.786通过查表或计算器的反余弦函数，可以得到角A的近似值为38°。

2. 解题过程：同样利用余弦定理，我们可以求解角D的大小。

代入已知条件可得：cos(D) = (9^2 + 12^2 - 6^2) / (2*9*12)= (81 + 144 - 36) / 216= 189 / 216≈ 0.875通过反余弦函数，可以得到角D的近似值为 30°。

3. 解题过程：同理，利用余弦定理求解角G的大小。

代入已知条件可得：cos(G) = (5^2 + 7^2 - 5^2) / (2*5*7)= (25 + 49 - 25) / 70= 49 / 70≈ 0.7通过反余弦函数，可以得到角G的近似值为 45°。

4. 解题过程：利用余弦定理求解角K的大小。

代入已知条件可得：cos(K) = (10^2 + 12^2 - 8^2) / (2*10*12)= (100 + 144 - 64) / 240= 180 / 240= 3 / 4= 0.75通过反余弦函数，可以得到角K的近似值为 41.4°。

大题 解三角形(精选30题)1(2024·江苏·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2cos B +1=ca.(1)证明：B =2A ；(2)若sin A =24,b =14，求△ABC 的周长.【答案】(1)证明见解析(2)7+14【分析】(1)利用正弦定理边化角结合角范围可证；(2)利用倍角公式求得sin C ，然后利用正弦定理可得【详解】(1)2cos B +1 sin A =sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B ⇒sin A =sin B cos A -cos B sin A =sin B -A 因为A ,B ∈0,π ,∴B -A ∈-π,π∴A =B -A 或A +B -A =π(舍)，∴B =2A .(2)由sin A =24，结合(1)知A +B =3A ∈0,π ，则A ∈0,π3 ，得cos A =1-sin 2A =1-242=144sin B =sin2A =2sin A cos A =2×24×144=74，cos B =cos2A =1-2sin 2A =1-2×18=34，∴sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B =24×34+144×74=10216=528，由正弦定理得a sin A=b sin B =c sin C ⇒a 24=1474=c528⇒a =2c =5 ∴△ABC 的周长为a +b +c =7+14.2(2024·湖南常德·三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C ．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且△ABC 的面积为1534，求△ABC 的周长．【答案】(1)2π3(2)15【分析】(1)先利用正弦定理角化边得出a 2+b 2+ab =c 2；再结合余弦定理得出cos C =-12即可求解.(2先根据a ，b ，c 成等差数列得出a +c =2b ；再利用三角形的面积公式得出ab =15；最后结合(1)中的a 2+b 2+ab =c 2，求出a ，b ，c 即可解答.【详解】(1)因为sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C ，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C 可得：a 2+b 2+ab =c 2.由余弦定理可得：cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+b 2-(a 2+b 2+ab )2ab=-12.又因为C ∈(0,π)，所以C =2π3.(2)由a ,b ,c 成等差数列可得：a +c =2b ①.因为三角形ABC 的面积为1534，C =2π3，∴12ab sin C =1534，即ab =15②.由(1)知：a 2+b 2+ab =c 2③由①②③解得：a =3,b =5,c =7.∴a +b +c =15，故三角形ABC 的周长为15.3(2024·江苏·一模)在△ABC 中，sin B -A +2sin A =sin C ．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC =CM ．若∠CAM =π4，求∠BAC 的大小．【答案】(1)B =π4；(2)∠BAC =π12或5π12．【分析】(1)由sin C =sin A +B ，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =22，可得B 的大小；(2)设BC =x ，∠BAC =θ，在△ABC 和△ACM 中，由正弦定理表示边角关系，化简求∠BAC 的大小.【详解】(1)在△ABC 中，A +B +C =π，所以sin C =sin A +B ．因为sin B -A +2sin A =sin C ，所以sin B -A +2sin A =sin A +B ，即sin B cos A -cos B sin A +2sin A =sin B cos A +cos B sin A 化简得2sin A =2cos B sin A ．因为A ∈0,π ，所以sin A ≠0，cos B =22．因为0<B <π，所以B =π4．(2)法1：设BC =x ，∠BAC =θ，则CM =2x ．由(1)知B =π4，又∠CAM =π4，所以在△ABM 中，∠AMC =π2-θ．在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC =AC sin B ，即x sin θ=ACsin π4①．在△ACM 中，由正弦定理得CM sin ∠CAM =AC sin M ，即2x sin π4=ACsin π2-θ②．①÷②，得222sin θ=cos θ22，即2sin θcos θ=12，所以sin2θ=12．因为θ∈0,3π4，2θ∈0,3π2，所以2θ=π6或5π6，故θ=π12或5π12．法2：设BC=x，则CM=2x，BM=3x．因为∠CAM=π4=B，所以△ACM∽△BAM，因此AMBM=CMAM，所以AM2=BM⋅CM=6x2，AM=6x．在△ABM中，由正弦定理得BMsin∠BAM=AMsin B，即3xsin∠BAM=6x22，化简得sin∠BAM=3 2．因为∠BAM∈0,3π4，所以∠BAM=π3或2π3，∠BAC=∠BAM-π4，故∠BAC=π12或5π12．4(2024·浙江温州·二模)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2c sin B=2b．(1)求C；(2)若tan A=tan B+tan C，a=2，求△ABC的面积．【答案】(1)C=π4或3π4(2)43【分析】(1)根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C，从而确定角C.(2)根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】(1)由2c sin B=2b 得2sin C sin B=2sin B，而B为三角形内角，故sin B>0,得sin C=22，而C为三角形内角，∴C=π4或3π4(2)由tan A=-tan B+C=tan B+tan C得-tan B+tan C1-tan B tan C=tan B+tan C，又tan B+tan C≠0，∴tan B tan C=2， ，故B,C∈0,π2，由(1)得tan C=1，故tan B=2，∴tan A=tan B+tan C=3，而A为三角形内角，∴sin A=31010.又asin A=csin C即231010=c22⇒c=203，又tan B=2，而B为三角形内角，故sin B=255，∴S=12ac sin B=12×2×203×255=43.5(2024·浙江嘉兴·二模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2cos A-3cos2A= 3.(1)求cos A的值；(2)若△ABC为锐角三角形，2b=3c，求sin C的值.【答案】(1)cos A=13或cos A=0；(2)429.【分析】(1)根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；(2)解法一，由2b =3c ，利用正弦定理边化角得2sin B =3sin C ，结合sin A +C =sin B 和cos A =13，化简运算并结合平方关系求得答案；解法二，根据条件利用余弦定理可得c =23a ，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】(1)由题可得2cos A -32cos 2A -1 =3，即3cos 2A -cos A =0，解得cos A =13或cos A =0.(2)解法一：因为2b =3c ，由正弦定理得2sin B =3sin C ，即2sin A +C =3sin C ，即2sin A cos C +2sin C cos A =3sin C ，因为cos A =13，所以sin A =223；所以423cos C +23sin C =3sin C ，又sin 2C +cos 2C =1，且△ABC 为锐角三角形，解得sin C =429.解法二：由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc=13，因为2b =3c ，所以9c 24+c 2-a 23c2=13，即c 2=49a 2，所以c =23a ，所以sin C =23sin A ，又cos A =13，所以sin A =223，所以sin C =23sin A =429.6(2023·福建福州·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且a sin C =c sin B ,C =2π3．(1)求B ；(2)若△ABC 面积为334，求BC 边上中线的长．【答案】(1)B =π6(2)212【分析】(1)由正弦定理边化角即可得到角B ；(2)根据A =B ，得a =b ，结合三角形面积公式即可得到a =b =3，再由正弦定理得边c ，以及2AD =AB +AC ，即可得到答案．【详解】(1)∵a sin C =c sin B ，由正弦定理边化角得sin A sin C =sin C sin B ，∵sin C ≠0，∴sin A =sin B ，∴A =B 或A +B =π(舍)，又∵C =2π3，∴B =π6；(2)∵B =π6，C =2π3，A =π6，∴a =b ，∴S △ABC =12ab sin C ，即334=12a 2⋅32，解得a =b =3，由正弦定理a sin A=csin C ，得c =a sin Csin A=3，设BC 边的中点为D ，连接AD ，如下图：∵2AD =AB +AC ，即(2AD )2=(AB +AC)2，即4AD 2=c 2+b 2+2bc cos A =9+3+2×3×3×32，解得AD =212．7(2024·山东淄博·一模)如图，在△ABC 中，∠BAC =2π3,∠BAC 的角平分线交BC 于P 点，AP =2.(1)若BC =8，求△ABC 的面积;(2)若CP =4，求BP 的长.【答案】(1)3+1952(2)2+2133【分析】(1)利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；(2)首先利用余弦定理求出AC =1+13，再利用正弦定理求出sin C ，再根据三角恒变换求出sin B ，最后再根据正弦定理即可.【详解】(1)△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在△ABC 中由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC ⋅cos ∠CAB ，即64=c 2+b 2+b ⋅c ①因S △ABC =S △MBP +S △MCP ，即bc 2⋅32=2c 2⋅32+2b 2⋅32，整理得b ⋅c =2b +2c ②①②解得b ⋅c =2+265，所以S △ABC =12bc sin ∠BAC =3+1952.(2)因为AP =2,CP =4,∠PAC =π3，所以在△APC 中由余弦定理可得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ⋅AC ⋅cos ∠CAP ，所以16=4+AC 2-2AC解得AC =1+13，由正弦定理得APsin C =PCsin ∠CAP，即2sin C=432，解得sin C =34，所以cos C =1-sin 2C =134，sin B =sin (∠BAC +C )=sin ∠BAC cos C +cos ∠BAC sin C =39-38,△ABC 中由正弦定理得AC sin B =BC sin ∠BAC，则1+1339-38=BC32，解得BC =14+2133，所以PB =BC -PC =14+2133-4=2+2133.8(2024·安徽·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，AB =AD =4，BC =6．(1)若A =2π3，C =π3，求sin ∠BDC 的值；(2)若CD =2，cos A =3cos C ，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)34(2)162+853【分析】(1)△ABD 中求出BD ，在△BCD 中，由正弦定理求出sin ∠BDC 的值；(2)△ABD 和△BCD 中，由余弦定理求出cos A 和cos C ，得sin A 和sin C ，进而可求四边形ABCD 的面积．【详解】(1)在△ABD 中，AB =AD =4，A =2π3，则∠ADB =π6，BD =2AD cos ∠ADB =2×4×cos π6=43，在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC =BDsin C ，sin ∠BDC =BC sin C BD =6sin π343=34.(2)在△ABD 和△BCD 中，由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ⋅AD cos A =42+42-2×4×4×cos A =32-32cos A ，BD 2=CB 2+CD 2-2CB ⋅CD cos C =62+22-2×6×2×cos C =40-24cos C ，得4cos A -3cos C =-1，又cos A =3cos C ，得cos A =-13,cos C =-19，则sin A =223，sin C =459，四边形ABCD 的面积S =S △ABD +S △BCD =12AB ⋅AD ⋅sin A +12CB ⋅CD ⋅sin C=12×4×4×223+12×6×2×459=162+853.9(2024·浙江·一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c 2b 2+c 2-a2=sin Csin B ．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =7，且△ABC 的面积为334，求AD 的长．【答案】(1)A =π3(2)132【分析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到b 2+c 2-a 2=bc ，再结合余弦定理即可求出角A ；(2)根据三角形面积公式得到bc =3和b 2+c 2=10，再结合中线向量公式计算即可.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理得，sin C sin B =cb，因为c 2b 2+c 2-a 2=sin C sin B ，所以c 2b 2+c 2-a 2=cb ，化简得，b 2+c 2-a 2=bc ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，又因为0<A <π，所以A =π3(2)由S △ABC =12bc sin A =34bc =334，得bc =3，由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得7=b 2+c 2-3，所以b 2+c 2=10．又因为边BC 的中点为D ，所以AD =12AB +AC，所以AD =12(AB +AC )2=12b 2+c 2+2bc cos A =12×10+2×3×12=13210(2024·湖北·一模)在△ABC 中，已知AB =22,AC =23,C =π4．(1)求B 的大小；(2)若BC >AC ，求函数f x =sin 2x -B -sin 2x +A +C 在-π,π 上的单调递增区间．【答案】(1)B =π3或B =2π3(2)-π,-7π12 ,-π12,5π12 ,11π12,π【分析】(1)利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；(2)利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理可得：AB sin C=AC sin B ，即2222=23sin B ，解得sin B =32，又0<B <π，故B =π3或B =2π3．(2)由BC >AC ，可得A >B ，故B =π3,A +C =2π3.f x =sin 2x -π3 -sin 2x +2π3 =sin 2x -π3 -sin 2x +π-π3=2sin 2x -π3,令-π2+2k π≤2x -π3≤π2+2k π,k ∈Z ,解得-π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z .由于x∈-π,π，取k=-1，得-π≤x≤-7π12；取k=0，得-π12≤x≤5π12；取k=1，得11π12≤x≤π，故f x 在-π,π上的单调递增区间为-π,-7π12,-π12,5π12,11π12,π．11(2024·福建厦门·二模)定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且sin C=2Sc2-b2.(1)证明：△ABC是倍角三角形；(2)若c=9，当S取最大值时，求tan B.【答案】(1)证明见解析(2)23-3【分析】(1)由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；(2)由正弦定理结合题中条件得到a=9sin3Bsin2B，结合三角形面积公式S=12×ac sin B化为关于tan B的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.【详解】(1)因为sin C=2Sc2-b2=2×12ab sin Cc2-b2=ab sin Cc2-b2，又sin C≠0,所以abc2-b2=1，则b2=c2-ab，又由余弦定理知，b2=a2+c2-2ac cos B，故可得2c cos B=a+b，由正弦定理，2sin C cos B=sin A+sin B,又sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C,代入上式可得sin C cos B=sin B cos C+sin B,即sin C cos B-sin B cos C=sin B，sin C-B=sin B，则有C-B=B,C=2B,故△ABC是倍角三角形.(2)因为C=2B，所以A=π-B-C=π-3B>0,故0<B<π3，则tan B∈0,3，又c=9，又asin A=csin C，则a=9sin Asin C=9sinπ-3Bsin2B=9sin3Bsin2B,则S=12×ac sin B=92a sin B=92×9sin3Bsin2B×sin B=814⋅sin3Bcos B,=814⋅sin2B cos B+cos2B sin Bcos B=814×sin2B+cos2B tan B=8142tan B1+tan2B+1-tan2B1+tan2B⋅tan B=814×3tan B-tan3B1+tan2B设x=tan B∈0,3，f x =3x-x31+x2，则f x =3-3x21+x2-3x-x3⋅2x1+x22=-x4-6x2+31+x22令f x =0得x2=23-3或者x2=-23-3(舍)，且当0<x2<23-3时，f x >0，当23-3<x2<3时，f x <0，则f x 在0,23-3上单调递增，在23-3,3上单调递减，故当x=23-3时，f x 取最大值，此时S也取最大值，故tan B=23-3为所求.12(2024·福建漳州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π6，且△ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=42，AD=22，求△ACD的面积；(2)若D=2π3，求BC-AD的最大值.【答案】(1)4；(2)833.【分析】(1)在三角形ABC中，根据正弦定理求得AC,∠CAB，再在三角形ADC中，利用三角形面积公式即可求得结果；(2)设∠DAC=θ，在三角形ADC,ABC中分别用正弦定理表示BC,AD，从而建立BC-AD关于θ的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【详解】(1)因为B=π6，△ABC的外接圆半径为4，所以ACsin B=8，解得AC=4.在△ABC中，BC=42，则BCsin∠CAB=42sin∠CAB=8，解得sin∠CAB=22.又∠CAB∈0,π2，所以∠CAB=π4；在△ACD中，AC=4，∠DAC=π2-∠CAB=π4，AD=22，所以SΔACD=12×4×22×22=4.(2)设∠DAC=θ，θ∈0,π3.又D=2π3，所以∠ACD=π3-θ.因为∠DAB=π2，所以∠CAB=π2-θ.在△DAC中，AC=4，由正弦定理得ACsin D=ADsin∠ACD，即432=ADsinπ3-θ，解得AD=833sinπ3-θ=83332cosθ-12sinθ=4cosθ-433sinθ.在△ABC中，AC=4，由正弦定理得ACsin B=BCsin∠CAB，即412=BCsinπ2-θ，解得BC=8sinπ2-θ=8cosθ，所以BC-AD=4cosθ+33sinθ=833sinθ+π3.又θ∈0,π3，所以θ+π3∈π3,2π3，当且仅当θ+π3=π2，即θ=π6时，sinθ+π3取得最大值1，所以BC-AD的最大值为83 3.13(2024·山东济南·二模)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，∠ABC=θ，120°≤θ<180°.(1)若θ=120°，AD=3，求∠ADC的大小；(2)若CD=6，求四边形ABCD面积的最大值.【答案】(1)∠ADC=45°(2)3+2【分析】(1)在△ABC中，利用余弦定理可得AC=6，由等腰三角形可得∠BCA=30°，然后在△ADC中利用正弦定理即可求解；(2)利用勾股定理求得BD=22，然后四边形面积分成S△BCD+S△ABD即可求解.【详解】(1)在△ABC中，AB=BC=2，θ=120°，所以∠BCA=30°，由余弦定理可得，AC2=22+22-2×2×2×-1 2=6，即AC=6，又BC⊥CD，所以∠ACD=60°，公众号：慧博高中数学最新试题在△ADC中，由正弦定理可得3sin60°=6sin∠ADC，得sin∠ADC=22，因为AC<AD，所以0°<∠ADC<60°，所以∠ADC=45°.(2)在Rt△BCD中，BC=2,CD=6，所以BD=22，所以，四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△ABD=12×2×6+12×2×22sin∠ABD=3+2sin∠ABD，当∠ABD =90°时，S max =3+2，即四边形ABCD 面积的最大值为3+2.14(2024·湖北武汉·模拟预测)已知锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b 2+c 2-(b ⋅cos C +c ⋅cos B )2=bc ，(1)求角A 的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)6,9【分析】(1)由余弦定理将cos B ,cos C 化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；(2)利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】(1)∵b 2+c 2-b cos C +c cos B 2=bc ，由余弦定理可得b 2+c 2-b ⋅a 2+b 2-c 22ab+c ⋅a 2+c 2-b 22ac 2=bc ，化简整理得b 2+c 2-a 2=bc ，又b 2+c 2-a 2=2bc cos A ，∴cos A =12，又0<A <π2，所以A =π3.(2)因为三角形外接圆半径为R =3，所以b =23sin B ，c =23sin C ，∴bc =12sin B sin C ，由(1)得B +C =2π3，所以bc =12sin B sin C =12sin B sin 2π3-B =12sin B 32cos B +12sin B =63sin B cos B +6sin 2B =33sin2B +31-cos2B=632sin2B -12cos2B +3=6sin 2B -π6+3，因为△ABC 是锐角三角形，且B +C =2π3，所以π6<B <π2，∴π6<2B -π6<5π6，∴12<sin 2B -π6≤1，∴6<6sin 2B -π6+3≤9，即6<bc ≤9.所以bc 的取值范围为6,9 .15(2024·湖南邵阳·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且△ABC 的周长为a sin Bsin A +sin B -sin C ．(1)求C ；(2)若a =2，b =4，D 为边AB 上一点，∠BCD =π6，求△BCD 的面积．【答案】(1)C =2π3；(2)235.【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.(2)由(1)的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出CD ，再求出△BCD 的面积.【详解】(1)在△ABC 中，a +b +c =a sin B sin A +sin B -sin C，由正弦定理得a +b +c =aba +b -c ，整理得a 2+b 2-c 2=-ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12，而0<C <π，所以C =2π3.(2)由D 为边AB 上一点，∠BCD =π6及(1)得∠ACD =π2，且S △ACD +S △BCD =S △ABC ，即有12b ⋅CD sin π2+12a ⋅CD sin π6=12ab sin 2π3，则4CD +CD =43，解得CD =435，所以△BCD 的面积S △BCD =12a ⋅CD sin π6=14×2×435=235.16(2024·广东梅州·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，3a cos B -b sin A =3c ，c =2，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，(Ⅰ)当AD ⊥AB ，且AD =1时，求AC 的长；(Ⅱ)当BD =2DC ，且AD =1时，求△ABC 的面积S △ABC ．【答案】(1)A =2π3(2)AC =83+411；S △ABC =32+34【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A 的值，结合A ∈(0,π)即可求解A 的值；(2)(Ⅰ)根据锐角三角函数和差角公式可得cos ∠ABC =AB BD =25,sin ∠ABC =AD BD =15,sin C =-510+155正弦定理即可求解.(Ⅱ)采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．【详解】(1)因为3a cos B -b sin A =3c ，所以由正弦定理可得3sin A cos B -sin B sin A =3sin C ，又sin C =sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B ，所以-sin B sin A =3cos A sin B ，因为B 为三角形内角，sin B >0，所以-sin A =3cos A ，可得tan A =-3，因为A ∈(0,π)，所以A =2π3；(2)(Ⅰ)此时AB =2=2AD ，AD ⊥AB ，所以DB =AB 2+AD 2=5，所以cos ∠ABC =AB BD =25,sin ∠ABC =AD BD =15,sin C =sin B +2π3 =15×-12 +25×32=-510+155，在△ABC 中，由正弦定理可得AC sin ∠ABC =AB sin C ⇒AC =AB sin ∠ABC sin C =2×15-510+155=83+411；(Ⅱ)设∠CAD =α，由S △ABC =S △BAD +S △CAD ，可得3b =2sin 2π3-α +b sin α，化简可得3b -b sin α=2sin 2π3-α 有b sin ∠ADC =CD sin α,2sin ∠ADB =BDsin 2π3-α，由于BD =2DC ，所以b sin αsin ∠ADC ×sin ∠ADB 2sin 2π3-α =12，所以b =sin 2π3-α sin α=12×3b -b sin αsin α⇒sin α=33,b =6+12，则S △ABC =12bc sin A =32+34．17(2024·广东广州·一模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S .已知S =-34(a 2+c 2-b 2).(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且∠ABD =π2，AD =2DC =2，求△ABC 的周长.【答案】(1)2π3；(2)3+23【分析】(1)根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合B 的范围，即可求得结果；(2)利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得AB ,BC ，即可求得三角形周长.【详解】(1)由S =-34(a 2+c 2-b 2)，则12ac ⋅sin B =-34×2ac ⋅cos B ，tan B =-3又B ∈0,π ，故B =2π3.(2)由(1)可知，B =2π3，又∠ABD =π2，则∠CBD =π6；由题可知，AD =2DC =2，故BD =BC +CD =BC +13CA =BC +13BA -BC =23BC+13BA ，所以BA ⋅BD =BA ⋅23BC +13BA =13c 2-13ac =0，因为c ≠0，所以a =c ，A =C =π6，在Rt △ABD 中，c =AD ⋅cos π6=3，故△ABC 的周长为AB +BC +AC =3+3+3=3+2 3.18(2024·广东佛山·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，其中a =1，cos A =2c -12b．(1)求角B 的大小；(2)如图，D 为△ABC 外一点，AB =BD ，∠ABC =∠ABD ，求sin ∠CABsin ∠CDB的最大值．【答案】(1)B =π3(2)3【分析】(1)根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；(2)根据题意，由正弦定理可得sin ∠CAB sin ∠CDB =CDAC，再由余弦定理分别得到AC 2,CD 2，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】(1)因为a =1，所以cos A =2c -a2b，由正弦定理a sin A=b sin B =c sin C ，可得cos A =2sin C -sin A2sin B ，整理可得2sin B cos A =2sin C -sin A ，又因为sin C =sin A +B =sin A cos B +sin B cos A ，化简可得sin A =2sin A cos B ，而sin A ≠0，则cos B =12，又B ∈0,π ，则B =π3(2)在△BCD 中，由BC sin ∠CDB =CDsin ∠CBD 可得sin ∠CDB =sin 23πCD，在△ABC 中，由BC sin ∠CAB =AC sin ∠ABC 可得sin ∠CAB =sin π3AC，所以sin ∠CAB sin ∠CDB =CD AC ，设AB =BD =t t >0 ，由余弦定理CD 2=BA 2+BC 2-2BA ⋅BC ⋅cos ∠CBD ，AC 2=BA 2+BC 2-2BA ⋅BC ⋅cos ∠CBA ，可得CD 2=t 2+1+t ，AC 2=t 2+1-t ，因此CD 2AC 2=t 2+1+t t 2+1-t =1+2t t 2+1-t ≤1+22t ⋅1t -1=3，当且仅当t =1t时，即t =1等号成立，所以sin ∠CAB sin ∠CDB的最大值为3，此时AB =BD =1.19(2024·河北石家庄·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m=(2sin A ,3sin A +3cos A )，n =(cos A ,cos A -sin A ),f (A )=m ⋅n ,A ∈π6,2π3.(1)求函数f A 的最大值;(2)若f (A )=0,a =3,sin B +sin C =62，求△ABC 的面积.【答案】(1)3(2)S △ABC =34【分析】(1)由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得f (x )=2sin 2A +π3，再结合三角函数的值域计算即可求得；(2)由题中条件计算可得A =π3，再由正弦定理得b +c =6，由余弦定理可得bc =1，再由三角形的面积公式计算即可求得．【详解】(1)f (x )=m ⋅n=2sin A cos A +(3sin A +3cos A )(cos A -sin A )=sin2A +3(cos 2A -sin 2A )=sin2A +3cos2A =2sin 2A +π3因为A ∈π6,2π3 ，所以2A +π3∈2π3,5π3，所以当2A +π3=2π3，即A =π6时，f (x )有最大值2×32=3；(2)因为f A =0，所以2sin 2A +π3 =0，所以2A +π3=k π,k ∈Z ，因为A ∈π6,23A ，所以A =π3，由正弦定理得：2R =a sin A =332=2，所以sin B =b 2R =b 2，sin C =c 2R=c2，又因为sin B +sin C =62，所以b 2+c 2=62，所以b +c =6，由余弦定理有：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即3=(b +c )2-3bc ，所以bc =1，所以S △ABC =12bc sin A =12×1×32=34．20(2024·广东·一模)设锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知b -c cos A =2a cos B cos C ．(1)求cos B ；(2)若点D 在AC 上(与A ,C 不重合)，且C =π4,∠ADB =2∠CBD ，求CD AD的值．【答案】(1)12(2)2+3【分析】(1)根据条件，边转角得到sin B -sin C cos A =2sin A cos B cos C ，再利用sin B =sin A cos C +cos A sin C 即可求出结果；(2)根据题设得到∠DBC =C =π4，进而可求得A =5π12，∠ABD =π12，再利用CDAD=S △BCD S △ABD ，即可求出结果.【详解】(1)由b -c cos A =2a cos B cos C ，得到sin B -sin C cos A =2sin A cos B cos C ，又sin B =sin (π-A -C )=sin (A +C )=sin A cos C +cos A sin C ，所以cos C sin A=2sin A cos B cos C，又三角形ABC为锐角三角形，所以sin A≠0,cos C≠0，得到1=2cos B，即cos B=1 2 .(2)因为∠ADB=2∠CBD，又∠ADB=∠ACB+∠CBD，所以∠ACB=∠CBD，则BD=CD，所以∠DBC =C=π4，由(1)知，B=π3，则A=π-π3-π4=5π12，∠ABD=π-π2-5π12=π12，则CDAD=S△BCDS△ABD=12BC⋅BD sinπ412AB⋅BD sinπ12=sin A⋅sinπ4sin C⋅sinπ12=sin5π12⋅sinπ4sinπ4⋅sinπ12=cosπ12sinπ12=1tanπ12，又tan π12=tanπ4-π3=1-331+33=3-33+3，所以CDAD=3+33-3=2+ 3.21(2024·辽宁·二模)在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【答案】(1)1(2)54,+∞【分析】(1)根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；(2)根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出AB,AD的表达式，最后根据正弦定理求出sin∠ADBsin B的表达式，利用余弦函数的最值性质进行求解即可.公众号：慧博高中数学最新试题【详解】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos 2θ-1 =2cos θ，AB =12+32 2-2×1×32⋅cos π-2θ =134+3cos2θ=134+32cos 2θ-1 =6cos 2θ+14，在△ABD 中，因为θ∈0,π2 ，所以由正弦定理可知：AB sin ∠ADB =AD sin B ⇒sin ∠ADB sin B =ABAD =6cos 2θ+142cos θ=14×24cos 2θ+1cos 2θ=14×24+1cos 2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B的取值范围为54,+∞ ..22(2024·黑龙江齐齐哈尔·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ；(2)若△ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.【答案】(1)tan C =12(2)52.【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tan C .(2)根据三角形ABC 的面积求得ac ，根据同角三角函数的基本关系式求得sin A ,cos A ，利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC 边上的中线长.【详解】(1)由正弦定理可得c sin C=bsin B ，所以4sin B cos C =2sin C +2sin A ，即22cos C =2sin C +2sin A ，又A +B +C =π，所以22cos C =2sin C +2sin π4+C =22sin C +2cos C ，整理得2cos C =22sin C ，解得tan C =12；(2)依题意，12ac sin B =12ac ×22=32，解得ac =32，又tan A =tan 3π4-C =-1-tan C1-tan C =-3，所以A 为钝角，所以由sin A cos A=-3sin 2A +cos 2A =1 ,解得sin A =310,cos A =-110，由正弦定理可得c a =sin C sin A=15310=23，又ac =32，所以a =3,c =2,b =c sin Bsin C=2×2215=5，设BC 的中点为D ，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14(AB +AC )2=b 2+c 2+2bc cos A 4=2+5+2×2×5×-1104=54，所以BC 边上的中线长为52.23(2024·重庆·模拟预测)如图，某班级学生用皮尺和测角仪(测角仪的高度为1.7m )测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，∠MCE =16.5°(点E 在线段MO 上)．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角∠MDE =48.5°，楼尖MN 的视角∠MDN =3.5°(N 是楼尖底部，在线段MO 上)．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO ．参考数据：sin16.5°sin48.5°sin32°≈25，tan16.5°≈827，tan48.5°≈87，40×35≈37.4,【答案】(1)41.7m ，5m (2)FO 为37．4m【分析】(1)法一：在△CDM 中，由正弦定理得，可得CM =100sin48.5°sin32°，进而求得ME ，MO ，进而求得CE ，计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；法二：利用CE =ME tan ∠MCE，DE =MEtan ∠MDE ，可求得ME ，进而计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；(2)设FO =xm ，tan ∠MGE =40x ，tan ∠NGE =35x，进而可得tan ∠MGN =tan ∠MGE -∠NGE =40x -35x1+40x ⋅35x，利用基本不等式可求得楼尖MN 的视角最大时x 的值．【详解】(1)法一：∠MCE =16.5°，∠MDE =48.5°，∴∠DMC =32°．在△CDM 中，由正弦定理得，CM =CD sin ∠CDMsin ∠DMC，又CD =100m ，∴CM =100sin 180°-48.5° sin32°=100sin48.5°sin32°．∴ME =CM sin ∠MCE =100sin48.5°sin16.5°sin32°=40m ，∴MO =ME +EO =40m +1.7m =41.7m ．CE =ME tan ∠MCE =40tan16.5°=40827=135(m )．∴DE =CE -CD =35m ．∵∠NDE =∠MDE -∠MDN =45°，∴NE =DE =35m ，MN =ME -NE =5m ．法二：CE =ME tan ∠MCE，DE =MEtan ∠MDE ，∴CE -DE =ME tan ∠MCE-MEtan ∠MDE =100，即ME ×278-78=100，∴ME =40m ，∴MO =ME +EO =40m +1.7m =41.7m ．CE =ME tan ∠MCE =40tan16.5°=40827=135m ．∴DE =CE -CD =35m ．∵∠NDE =∠MDE -∠MDN =45°，∴NE =DE =35m ，MN =ME -NE =5m ．(2)设FO =xm ，tan ∠MGE =40x ，tan ∠NGE =35x，∴tan ∠MGN =tan ∠MGE -∠NGE =tan ∠MGE -tan ∠NGE1+tan ∠MGE ⋅tan ∠NGE=40x -35x1+40x ⋅35x =5x +40×35x ≤52x ⋅40×35x =5240×35，当且仅当x =40×35x，即x ≈37.4时，等号成立．∴测角仪底到楼底的距离FO 为37．4m 处时，测得楼尖MN 的视角最大．24(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2 ．(1)求角A 的大小；(2)若BP =PC ，且b +c =2，求AP 的最小值．【答案】(1)A =π3；(2)32．【分析】(1)根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A=bsin B ，可得a sin B =b sin A又由b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2 知2a sin B 2cos B 2=b ⋅2cos 2π12-A 2-1 ，即a sin B =b cos π6-A ，得b sin A =b cos π6-A ，得sin A =cos π6-A =32cos A +12sin A ，得12sin A =32cos A ，所以tan A =3；又因为A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由BP =PC ，得AP =12AB +12AC ，所以AP 2=12AB +12AC 2=14AB 2+14AC2+12AB ⋅AC=14c 2+14b 2+12bc cos A =14c 2+14b 2+14bc =14b +c 2-bc ≥14b +c 2-b +c 2 2 =316b +c 2=34，当且仅当b =c b +c =2 ，即b =c =1时等号成立，故AP 的最小值为32．25(2024·山西朔州·一模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n=sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c2的最小值．【答案】(1)B =π3(2)12【分析】(1)利用向量共线的坐标形式可得a 2+c 2-b 2=ac ，结合余弦定理可求B ；(2)利用基本不等式可求最小值.【详解】(1)因为m ⎳n，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b 2a 2+c 2=a 2+c 2-ac a 2+c 2=1-aca 2+c2,1-ac a 2+c2≥1-ac 2ac =1-12=12，当且仅当a =c 时等号成立，故b 2a 2+c2的最小值为12.26(2024·河南开封·二模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A =2a sin B ．(1)求sin A ；(2)若a =3，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC 的面积．条件① ：b =6c ；条件② ：b =6；条件③ ：sin C =13．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)sin A =33；(2)答案见解析.【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.(2)选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.【详解】(1)由b cos A =2a sin B 得：sin B cos A =2sin A sin B ，而sin B ≠0，则cos A =2sin A >0，A 为锐角，又sin 2A +cos 2A =1，解得sin A =33，所以sin A =33且A 为锐角.(2)若选条件①，由sin A =33，A 为锐角，得cos A =63，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，又b =6c ，则3=6c 2+c 2-4c 2，解得c =1,b =6,△ABC 唯一确定，所以S △ABC =12bc sin A =22.若选条件②，由正弦定理得a sin A =b sin B ，则sin B =6×333=63<1，由b =6>a =3，得B >A ，因此角B 有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.若选条件③，由sin A =33，A 为锐角，得cos A =63，又sin A =33>sin C =13，得a >c ，A >C ，则cos C =223，因此sin B =sin (A +C )=sin A cos C +cos A sin C =63,△ABC 唯一确定，由正弦定理得a sin A=c sin C ，则c =3×1333=1，所以S △ABC =12ac sin B =22.27(2024·河南·一模)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b 2-a 2=ac .(1)求证：B =2A ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin (C -A )-sin Bsin A的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(-2,0)【分析】(1)用正弦定理边化角，再利用和差化积公式与诱导公式进行化简，得sin (B -A )=sin A ，从而用等量关系即可得证；(2)由(1)知，锐角三角形△ABC 中B =2A ，利用角A ,B ,C 关系求得角A 的范围，再把式子sin (C -A )-sin Bsin A用角A 的三角函数来表示并利用两角和差的正弦公式进行化简，进而用三角函数的取值范围即可求解.【详解】(1)证明：由条件b 2-a 2=ac ，根据正弦定理可得sin 2B -sin 2A =sin A sin C ，1-cos2B 2-1-cos2A2=sin A sin C ，即cos2A -cos2B =2sin A sin C ，cos2A -cos2B =cos A +B +A -B -cos A +B -A -B =-2sin (A +B )sin (A -B )=2sin A sin C ，又△ABC 中sin (A +B )=sin π-C =sin C ≠0，进行化简得sin (B -A )=sin A ，所以B -A =A ，即B =2A 或B -A =π-A ，即B =π(舍去)，所以B =2A .(2)若△ABC 为锐角三角形，根据(1)B =2A ，则B =2A <π2C =π-A -B <π2 ⇒2A <π2π-3A <π2 ，得π6<A <π4，式子sin (C -A )-sin B sin A =sin (π-A -B -A )-sin B sin A =sin4A -sin2Asin A ，=sin (3A +A )-sin (3A -A )sin A=2cos3A ，由π6<A <π4得π2<3A <3π4，又易知函数y =cos x 在π2,3π4内单调递减，所以cos3A ∈-22,0，因此sin (C -A )-sin B sin A =2cos3A ∈(-2,0).28(2023·河南·三模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a c =a 2+b 2-c 2b 2，且a ≠c ．(1)求证：B =2C ；(2)若∠ABC 的平分线交AC 于D ，且a =12，求线段BD 的长度的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(43,62)【分析】(1)根据正余弦定理边角互化可得sin B =sin2C ，即可利用三函数的性质求解，(2)根据正弦定理以及角的范围即可利用三角函数的范围求解.【详解】(1)证明：由余弦定理可得a c =2ab cos C b 2=2a cos Cb ， 故b =2c cos C ，由正弦定理得sin B =2sin C cos C =sin2C ．所以在△ABC 中，B =2C 或B +2C =π．若B +2C =π，又B +A +C =π，故A =C ，因为a ≠c ，所以A ≠C ，故B +2C =π不满足题意，舍去，所以B =2C ．(2)在△BCD 中，由正弦定理可得a sin ∠BDC =BD sin C ，即12sin ∠BDC =BDsin C所以BD =12sin C sin ∠BDC =12sin C sin2C =6cos C因为△ABC 是锐角三角形，且B =2C ，所0<C <π20<2C <π20<π-3C <π2 得π6<C <π4，22<cos C <32 所以43<BD <62．所以线段BD 长度的取值范围是(43,62)．29(2024·湖北·二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c a <b ，c =2a cos A cos B -b cos2A ．(1)求A ；(2)者BD =13BC ，AD =2，求b +c 的取值范围．【答案】(1)A =π3(2)1277<b +c <6【分析】(1)借助正弦定理、三角形内角和与两角差的正弦公式计算即可得；(2)借助向量的模长与平方的关系，结合数量积公式计算可得(b +c )2+3c 2=36，借助三角函数的性质，可令b +c =6cos α，3c =6sin α，结合余弦定理计算可得1277<6cos α<6，即可得解.【详解】(1)由正弦定理得sin C =2sin A cos A cos B -sin B cos2A ，则sin C =sin2A cos B -sin B cos2A ，则sin C =sin 2A -B ，∵C =π-A +B ，∴sin A +B =sin 2A -B ．即A +B =2A -B 或A +B =π-2A -B ，解得A =2B 或A =π3．因为a <b ，所以A <B ，所以A =2B 舍去，即A =π3；(2)由BD =13BC 得AD -AB =13AC -AB ，则AD =13AC +23AB ，则|AD |2=19b 2+49c 2+49bc cos A ，则4=19b 2+49c 2+29bc ，则b 2+4c 2+2bc =36，即(b +c )2+3c 2=36．令b +c =6cos α，3c =6sin α，因为c >0，b +c >0，所以0<α<π2．因为b =6cos α-23sin α>0，所以tan α<3，解得0<α<π3．由(1)得A =π3，则a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ，又因为a <b ．所以a 2<b 2，所以7b 2+c 2-bc <b 2，解得c <b ，所以23sin α<6cos α-23sin α，解得tan α<32，所以0<tan α<32．令tan α1=32，则0<α<α1<π3，则cos α1<cos α<1．因为cos α1=277，所以1277<6cos α<6，即1277<b +c <6．30(2024·河北·二模)若△ABC 内一点P 满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ，则称点P 为△ABC 的布洛卡点，θ为△ABC 的布洛卡角．如图，已知△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，点P 为的布洛卡点，θ为△ABC 的布洛卡角．。

解直角三角形—题集1.如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（ ）．A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】米．【标注】【知识点】仰角与俯角2.如图，斜坡，坡顶到水平地面的距离为米，坡底为米，在处，处分别测得顶部点的仰角为，，求的长度．（结果保留根号）．【答案】的长度为米．【解析】设米，则米，由题意得，四边形为矩形，∴，在中，∴ ，在中，，∴，∴，解得，，∴．答：的长度为米．【标注】【知识点】仰角与俯角A.的值越小，梯子越陡B.的值越小，梯子越陡C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关3.如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）．【答案】B【标注】【知识点】坡度4.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方米处（的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．（1）（2）若新坡面坡角为，求坡角度数．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：，）【答案】（1）（2）．该文化墙需要拆除，证明见解析．【解析】（1）（2）∵新坡面坡角为，新坡面的坡度为，∴，∴．作于点，则米，∵新坡面的坡度为，∴，解得，米，∵坡面的坡度为，米，∴米，∴米，又∵米，∴米米，故该文化墙需要拆除．【标注】【知识点】坡度游船港口海警船北（1）（2）5.一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．求点到直线的距离．求海警船到达事故船处所需的大约时间．（温馨提示：，）【答案】（1）（2）海里．小时．【解析】游船港口海警船北（1）（2）如图，过点作交延长线于．在中，∵，，海里，∴点到直线距离海里．在中，∵，，∴（海里），∴海警船到达事故船处所需的时间大约为：（小时）．【标注】【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用6.一副直角三角板按如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为 ．【答案】【解析】过点作于点，在中，，，，∴．∵，∴．，在中，，，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三角板拼接问题7.如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，一辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？ ．（填“是”或“否”）请简述你的理由 ．（参考数据：，，）．【答案】否 ; 点到的距离小于与墙的距离【解析】过点作，垂足为点，如图．在中，∵，米，∴米，∵汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，∴车门不会碰到墙(点到的距离小于与墙的距离)．故答案为：否；点到的距离小于与墙的距离．【标注】【知识点】测量物体之间的距离8.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，求树的高度．【答案】米．【解析】延长交延长线于点，则，作于，在中，，，∴（米），（米），在中，∵同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，（米），，∴（米），∴（米），在中，（米），故答案为：米．【标注】【知识点】影子问题（1）（2）9.如图，在中，，点是边的中点，，．求和的长．求的值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）∵点是边的中点，且∴．∵，∴．∵在中，，，∴．在中，，，∴．故，．如图，作交于点．∵在中，，，∴设，，由勾股定理可得，解得，∴．在中，∵，，∴．即．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用10.如图，在四边形中，，于点，已知，，，求的长．【答案】．【解析】过点作于．∵在中，，，∴，．∵，，∴，∵，∴．∴在中，，，∴，．又∵在中，，，．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用11.如图，在中，，，=， ，求．【答案】．【解析】 在中，，，，，，由勾股定理得：，∵，∴，∵∴，，∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用。

专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。

今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。

根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。

代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。

同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。

解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。

根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。

代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。

根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。

代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。

根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。

代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。

1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。

由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。

解三角形习题及答案一、选择题(每题5分，共40分）1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ）． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°2、在△ABC 中，下列等式正确的是（ )．A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin BC ．a ∶b ＝sin B ∶sin AD ．a sin A ＝b sin B3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2C ．1∶4∶9D ．1∶2∶34、在△ABC 中,a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°,则c 等于( ）．A ．25B ．5C ．25或5D ．10或55、已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6,b ＝4,那么满足条件的△ABC 的形状大小( ）．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形 6、在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为︒︒-︒︒A.23- B 。

21- C 。

21D 。

238、化简1tan151tan15+-等于 ( ）AB．2C ．3D ．1二、填空题（每题5分,共20分）9、已知cos α－cos β=21,sin α－sin β=31，则cos （α－β)=_______．10、在△ABC 中,∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C B A cb a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ．班别: 姓名： 序号： 得分：9、10、11、12、 三、解答题13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．14、（14分)已知21)tan(=-βα，71tan -=β，求)2tan(βα-的值15、（16分）已知x x x x f cos sin 32cos 2)(2-=,(1）求函数)(x f 的取最小值时x 的集合; （2）求函数单调增区间及周期。

解三角形经典练习题集锦解三角形一、选择题1.在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c-b等于（）A．1B．-1C．2/3D．-2/32.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．XXXD．1/tanA3.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4.等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为（）A．2B．3/2C．3D．2/35.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题1.在Rt△ABC中，C=90°，则sinAsinB的最大值是1/2.2.在△ABC中，若a^2=b^2+bc+c^2，则A=120°。

3.在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=2√3.4.在△ABC中，若5.在△ABC中，AB=6-2，C=30°，则AC+BC的最大值是2√7.三、解答题1.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为等腰三角形。

2.在△ABC中，证明：a/b-cosBcosA/a-c=b/a-c。

3.在锐角△ABC中，证明：XXX>XXX。

4.在△ABC中，设a+c=2b，A-C=π/3，则sinB=1/2.5．在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A的度数为（）A．90B．60C．135D．150解析：根据余弦定理，有$b^2+c^2-2bc\cos A=a^2$，代入$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$中，整理得$\cos A=-\frac{1}{2}$，即$A=120^\circ$，选项B正确。

解三角形练习题一、选择题1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（）A ．3π B ．6πC ．32πD ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,108、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形9、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是()A ．2>xB ．2<xC ．3342<<x D ． 3342≤<x 10、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23B ．43C ．23或3 D ．43 或23 12、已知△ABC 的面积为23，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°13、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．142C ．15D ．15214、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A ． 450a 元B ．225 a 元C ． 150a 元D ． 300a 元15、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A ．7150分钟 B ．715分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟16、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（ ） A ． 5000米B ．50002 米C ．4000米D ．24000 米17、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为（ ）A ．641B ．321 C ．161 D ．81 18、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．819、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） A ．51<<x B ．135<<x C ．50<<x D ．513<<x20、在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形 二、填空题21、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 22、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝23、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ 24、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是25、已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 26、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是20米30米150°三、解答题27、在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

（完整版）解三角形经典练习题集锦（附答案）解三角形一、选择题1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc 等于（） A．1 B．1 C．32 D．32 2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．Asin B．Acos C．Atan D．Atan1 3．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（） A．2 B．23 C．3 D．32 5．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（） A．006030或 B．006045或 C．0060120或 D．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．090 B．0120 C．0135 D．0150 二、填空题 1．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________。

2．在△ABC中，若Acbcba 则,222_________。

3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________。

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。

5．在△ABC中，,26AB030C，则ACBC的最大值是________。

三、解答题1.在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？2．在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba 3．在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。

4．在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。

解三角形一、选择题1．在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于（） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1 2．在△ABC 中，若角B为钝角，则sinsinBA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．在△ABC中，若BA2，则a等于（）A．Absin2 B．Abcos2 C．Bbsin2 D．Bbcos2 4．在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A ( ) A．090 B．060 C．0135 D．0150 6．在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（） A．51 B．61 C．71 D．81 7．在△ABC中，若tan2ABabab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填空题1．若在△ABC中，060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=_______。

解三角形一、选择题1.在厶ABC 中，若C 900,a 6, B 300，则c b等于（解三角形2. _______________________________________________ 在厶ABC 中，若a2 b2 bc c2,则A ________________________ 。

3. _____________________________________________________ 在厶ABC 中，若b 2, B 30°, C 135°,则a _____________________ 。

4. 在厶ABC 中，若si nA : sin B : si nC 7 : 8 : 13，贝UC ___________ 。

°5. 在厶ABC中，AB .、6 2, C 30°，则AC BC的最大值是。

三、解答题一、选择题1. 在厶ABC 中，A: B: C 1:2:3，则a:b:c 等于（）A. 1: 2:3 B . 3:2:1 C . 1: .3:2 D . 2^ 3 :12. 在厶ABC中，若角B为钝角，则si nB si nA的值（）A.大于零B.小于零C.等于零D .不能确定3. 在厶ABC中，若A 2B，则a等于（）A . 2b si nAB . 2b cos AC . 2bsi nBD . 2b cosB4. 在厶ABC 中，若Ig si nA Ig cos B Ig sin C Ig 2，则△ ABC的形状是（）A.直角三角形 B .等边三角形 C .不能确定 D .等腰三角形A B a b7.在厶ABC中，若tan ，则△ ABC的形状是（）2 a b形或直角三角形、填空题A. 1B. 1C. 2.3D. 2.32. 若A ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）1A. sin AB. cosA C . tanA D .- tan A3. 在厶ABC中，角A, B均为锐角，且cos A sinB,则厶ABC的形状是（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C •钝角三角形 D .等腰三角形4. 等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为600，则底在锐角△ ABC中，求证sin A sin B sinC cosA cosB cosC。

解三角形高考题精选一．选择题。

1.（06全国I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =( )A ．14 B ．34 C 2.(06山东）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c =( ) (A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）33.（07重庆）在ABC △中，AB =45A =，75C =，则BC =（ ）Ａ．3Ｃ．2Ｄ．34.（08陕西）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ==，则a 等于（ ）AB ．2CD5. （08福建)在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为( )A.6π B.3π C.6π或56πD.3π或23π6. （08海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）A. 5/18B. 3/4 D. 7/8二．填空题。

7.（06北京）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是____________. 8.（06江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 9.（07北京）在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = 10.（07湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b c =B = ．11.（07湖南文）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =π3C =，则A = ． 12.（07重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝13. （08江苏）若，则ABC S ∆的最大值 ．14. （08湖北）在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .15. （08浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b c o s c o s3=-，则=A cos _________________。

初中数学专项练习《解直角三角形》100道计算题包含答案一、计算题(共100题)1、先化简再求值：其中.2、计算：|﹣|+ ﹣4sin45°﹣．3、先化简，再求值：，其中a=2sin60°+3tan45°．4、计算5、先化简，再求值：÷（﹣x﹣3），其中x=sin45°﹣4cos60°．6、先化简再求值：÷（a﹣），其中a＝2cos30°+1，b＝tan45°．7、计算：| ﹣2|+3tan30°+（）﹣1﹣（3﹣π）0﹣．8、计算：．9、计算：|﹣2|+2﹣1﹣cos60°﹣（1﹣）0．10、计算：2cos230°﹣sin30°+ ．11、计算：（﹣）﹣1+3tan30°﹣+（﹣1）2016．12、计算：13、计算：4sin45°+3tan230°- .14、计算：﹣4cos45°+（）﹣1+|﹣2|．15、计算：4cos30°+（π﹣1）0﹣+| ﹣2|．16、先化简，再求值：（﹣）÷ ，其中x=2sin30°+2cos45°．17、计算:18、计算：-2|+ 3 tan 30 ° - 2 cos 45 ° ．19、计算：.20、先化简，再求值：，其中．21、计算：（π﹣3.14）0﹣| sin60°﹣4|+（）﹣1．22、计算：23、计算：2sin45°+| |﹣（π﹣2016）0+（）﹣2．24、先化简，再求值：，其中.25、计算：3tan30°﹣（﹣）﹣1+20190+| ﹣2|．26、计算：|﹣2 |+（﹣1）0﹣4sin60°﹣（﹣2）2.27、计算：20150﹣3tan30°+（﹣）﹣2﹣| ﹣2|．28、计算：29、计算：30、先化简，再求值的值，其中x=4sin45°-2cos60°。

《解直角三角形》典型例题（一）例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解（1）；（2）由a bB =tan ，知；（3）由c a B =cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ．说明 此题还可用其他方法求b 和c ．例 2在Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴设 ,则由勾股定理,得∴．∴．解法二133330tan =⨯=︒=b a说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3设中，于D ，若，解三角形ABC ．分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有：在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且，∴；于是，有，则有说明还可以这样求：例5如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．分析分别在两个直角三角形ADC和BDC中，利用正弦函数的定义，求出AC和BC．解:在Rt△ADC中，331023560sin==︒=DCAC在Rt△BDC中，221022545sin==︒=DCBC说明本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．。

解三角形最有效训练题（限时45分钟）1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若角,,A B C 依次成等差数列，且1,a b ==则().ABC S =2B C .2D2.ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 2sin sin cos ,a A B b A +=则().b a =A B C D 3.已知ABC ∆的三边长分别为,,,a b c 且面积2221(),4ABC S b c a ∆=+-则().A ∠=.15A .30B .45C .120D4 .若ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 满足22()4a b c +-=且60C =，则ab 的值为（ ）.4.3A .8B -.1C 2.3D 5. .在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）. .(0,]6A π .[,)6B ππ .(0,]3C π .[,)3D ππ 6.在锐角ABC ∆中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围为（ ）..(0,2A 1.[,22B .(0,1)C .(2D7.在ABC ∆中，若120,5,A c ∠==ABC ∆的面积为，则______.a =8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c 如果,30,c B ==求角C 。

9.已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，求ABC ∆的面积.10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若sin a c A =，求a b c +的最大值. 11.在ABC ∆中，已知2, 2.ABC AB AC S ∆⋅==（1）求tan A 的值；（2）若sin 2cos sin B A C =，求BC 的长.12.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图4-38所示，要求60,ACB BC ∠=的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，并求出此时BC 的长度.。

解三角形一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

三、解答题1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

解三角形练习题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3C. 3D.3 2题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan A tan B＝2cb，则C ＝().A．30°B．45°C．45°或135°D．60°题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________．题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小.题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________．题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列.题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．题八：如图，在△ABC中，已知B＝π3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝513，cos∠ADC＝35.(1)求sin∠ABD的值；(2)求BD的长．题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)().A．2.7 m B．17.3 mC．37.3 m D．373 m题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是().A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定题十二：在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是(). A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解三角形参考答案题一： B.详解：由正弦定理得：BC sin A ＝ AC sin B ，即32sin 60° ＝ AC sin 45° ，所以AC ＝ 3232×22 ＝2 3. 题二： B.详解：由1＋tan A tan B ＝2c b和正弦定理， 得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，所以cos A ＝12，则A ＝60°. 由正弦定理得23sin A ＝ 22sin C ， 则sin C ＝ 22， 又c < a ，则C < 60°，故C ＝ 45°.题三： 30°或150°详解：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠ 0，所以sin A ＝ 12，所以A ＝30°或A ＝150°. 题四： A ＝π3. 详解：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即sin B (2cos A －1)＝0.因为0 < B < π，所以sin B ≠ 0，所以cos A ＝ 12. 因为0 < A < π，所以A ＝ π3. 题五： 49π3. 详解：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝ π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝AC sin B ＝ 7sin 60°，即R ＝ 73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝ 49π3. 题六： 见详解.详解：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ()sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．题七： (1) 303；(2) 小艇航行速度的最小值为1013 海里/小时．详解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝ 900()t －132＋300， 故当t ＝ 13时，S min ＝103，v ＝ 10313＝303， 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示．由题意可得：(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简得： v 2＝400t 2－600t ＋900＝400()1t －342＋675. 由于0 < t ≤ 12，即1t ≥ 2，所以当 1t ＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．题八： 8＋4 3.详解：因为AB ＝AD ，B ＝ π3，所以△ABD 为正三角形， 在△ADC 中，根据正弦定理，可得AD sin C ＝ 43sin 2π3 ＝ DC sin ()π3－C ， 所以AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ()π3－C ，所以△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ()π3－C ＋4 3＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3 ＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋4 3 ＝8sin ()C ＋π3＋43，因为∠ADC ＝ 2π3，所以0 < C < π3，所以π3 < C ＋π3 < 2π3，所以当C ＋π3 ＝ π2，即C ＝ π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3. 题九： (1) 3365.(2) 25. 详解：(1)因为cos ∠ADC ＝ 35， 所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝ 45. 又sin ∠BAD ＝ 513， 所以cos ∠BAD ＝1－sin 2∠BAD ＝1213. 因为∠ABD ＝∠ADC －∠BAD ，所以sin ∠ABD ＝sin(∠ADC －∠BAD )＝sin ∠ADC cos ∠BAD －cos ∠ADC sin ∠BAD＝ 45 × 1213 － 35 × 513 ＝ 3365. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝ AD sin ∠ABD， 所以BD ＝ AD ×sin ∠BAD sin ∠ABD＝ 33×5133365＝25. 题十： C.详解：在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝ CM －10AE . 所以AE ＝ CM －10tan 30°. 在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝ CM ＋10AE ， 所以AE ＝CM ＋10tan 45°， 所以CM －10tan 30° ＝ CM ＋10tan 45°， 所以CM ＝ 10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)． 题十一： C.详解：由正弦定理得a 2＋b 2 < c 2，所以cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab < 0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形． 题十二： A.详解：由余弦定理知cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab， 所以a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝ a 2＋b 2－c 2a， 所以a 2＝a 2＋b 2－c 2，所以b 2＝c 2，所以b ＝c .。

解三角形练习题一．单选题1. 已知△ABC中，，B=60°，A=45°，则b=（）A．2 B．C．D．2. 在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．3. 在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形4. 在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．5. 在△ABC中，若a2+b2=c2-ab，则角C=（）A．30°B．150°C．45°D．135°6. 在△ABC中，若b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果为（）A．无解B．有一解C．有两解D．一解或两解7. 在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，] B．[，π）C．（0，] D．[，π）8. 在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．9. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，，A+C=2B，则sinA=（）A．B．C．D．10. 在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则b-c等于（）A．1 B．-1 C．D．11. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则c的值为（）A．1 B．2 C．D．12. 在锐角△ABC中，a=1，b=2，则边c满足的关系是（）A．1＜c＜B．C．1＜c＜D．＜c＜3二．填空题13. △ABC中，若a=5，b=3，，则c=___________．14 已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边长．若B=45°，c=2，b=2，则角A=___________．15. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于___________．米．16. 在△ABC中，2B=A+C，且b=2，则△ABC的外接圆的半径R=___________．三．主观题17. 在中，角、、所对应的边分别为、、，且满足．（I）求角的值；（Ⅱ）若，求的值．18. 在ΔABC中，角A，B，C的对应边分别为a,b,c，且．（1）当A=30°时，求a的值；（2）当a=2，且△ABC的面积为3时，求△ABC 的周长．19. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．20. △ABC中，是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若=4，，求的值。