2018届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试理科数学试题及答案 精品
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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合(){}30x x x A =-<，{}12x x B =-<，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、如图，在复平面内，若复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB，则复数1212z z z z z i =---所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若向量a ，b 的夹角为3π，且2a = ，1b = ，则向量a 与向量2a b- 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π4、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若31112a a +=，则13S =（ ）A ．60B ．78C ．156D ．不确定5、已知()tan 2πα-=-，则21cos 2cos αα=+（ ）A ．3B ．25C ．52-D ．3-6、已知关于x 的不等式22430x ax a -+<（0a >）的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最小值是（ ）A．D7、函数52sin 6241x x x y π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8、如图所示程序框图中，输出S =（ ）A ．1-B ．0C ．1 D9、一个几何体的三视图如下图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ） A． BC．D10、由不等式组1001xx y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩确定的平面区域为M ，由不等式组010x y e ≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为N ，在N 内随机地取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为（ ）A ．312e -B ．231e- C ．11e-D ．21e-11、已知函数()2x f x e e x =-，方程()()210f x af x a ++-=有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ）A ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ B ．()2,e -∞ C ．()21,1e -D ．()222,1e e --12、过点()2,3A -作抛物线24y x =的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 与y 轴分别交于点B ，C ，则C ∆AB 的外接圆方程为（ ）A ．22340x y x +--=B ．222310x y x y +--+=C ．22320x y x y ++--=D ．223210x y x y +--+= 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．） 13、将函数()()sin 2f x x ϕ=+（2πϕ<）的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 ． 14、已知点()1,1P -在曲线2x y x a=+上，则曲线在点P 处的切线方程为 ． 15、定义在R上的奇函数()f x ，对于Rx ∀∈，都有3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()42f >-，()32f m m =-，则实数m 的取值范围是 ． 16、给出下列四个命题： ①R α∃∈，7sin cos 5αα-=；②函数()2cos 2f x x x =+图象的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭（k ∈Z ）；③函数()sin 3cos xf x x=-是周期函数，2π是它的一个周期；④()()()()tan141tan 311tan161tan 291++=++ ． 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17、（本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S （n *∈N ）均在函数()y f x =的图象上． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得2016n m T <对所有的n *∈N 都成立的最小正整数m ．18、（本小题满分12分）2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为A ，B ，C ，现在对他们的成绩进行量化：A 级记为2分，B 级记为1分，C 级记为0分，用(),,x y z 表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标x y z ω=++的值评定该同学的得分等级：若4ω≥，则得分等级为一级；若23ω≤≤，则得分等级为二级；若01ω≤≤，则得分等级为三级，得到如下结果：（I ）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（II ）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a ，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量a b X =-，求X 的分布列及其数学期望．19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 中，平面C PA ⊥底面CD AB ，1C CD C 22B ==A =，C CD 3π∠A B =∠A =． （I ）证明：D AP ⊥B ；（II ）若AP =，AP 与C B 所成角的余弦值为，求二面角C A -BP -的余弦值．20、（本小题满分12分）已知一条曲线C 在y 轴右侧，曲线C 上每一点到点()F 1,0的距离减去它到y 轴的距离的差都是1．（I ）求曲线C 的方程；（II ）是否存在正数m ，对于过点(),0m M 且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F F 0A⋅B <？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）设函数()ln xf x ax x=-． （1）若函数()f x 在()1,+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，22,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若C C M =B ． （1）求证：∆APM ∽∆ABP ；（2）求证：四边形CD PM 是平行四边形．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x y O 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ρθ=，cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求1C 与2C 的直角坐标方程，并求出1C 与2C 的交点坐标； （2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线Q P 的参数方程为3312x t ab y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，R t ∈），求a ，b 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()313f x x ax =-++． （1）若1a =，解不等式()4f x ≤；（2）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围．2018-2018学年第一学期高三（理科）数学期中考试参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12题号A DB BCD B B B A C C答案二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 1/2 14. 4y 15. 1-=x3+m或<30<<m 16. ①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.解：（Ⅰ） 依题意可设二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠则'()2f x ax b =+'2()62,3,2,()32.f x x a b f x x x =-==-∴=- (2)分点*(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图像上，232n S n n∴=-…………………3分当2n ≥时，221323(1)2(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦ (5)分当1n =时11a =也适合，*6 5.()n a n n N ∴=-∈………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知[]133111().(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+………7分故11111111(1)()()(1).277136561261n T n n n ⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦L …………………9分因此，要使*11(1)()2612016mn N n -<∈+成立，m 必须且仅需满足122016m ≤……11分即1008,1008m m ≥∴满足要求的最小正整数为………………………12分 18.解析：20、解:(I)设P ),(y x 是直线C 上任意一点,那么点P(y x ,)满足:)0(1)1(22>=-+-x x y x化简得)0(42>=x x y(II)设过点M(m,0))0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为A(11,y x ),B(22,y x )设l 的方程为m ty x +=,由⎩⎨⎧=+=x 42y mty x 得0442=--m ty y ,0)(162>+=∆m t . 于是⎩⎨⎧-==+my y ty y 442121 ①又),1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x FB FA ②又42y x =,于是不等式②等价于⋅421y 01)44(422212122<++-+y y y y y01]2)[(4116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y ③由①式,不等式③等价于 22416t m m <+- ④对任意实数t,24t 的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于0162<+-m m ,即223223+<<-m由此可知,存在正数m,对于过点M(m ,0)且与曲线C 有A,B 两个交点的任一直线,都有<⋅FB FA ,且m 的取值范围是)223,223(+-21.解：（1）函数定义域为：{}1,0≠>x x x 且，对函数)(x f 求导：a xx x f --='2ln 1ln )(， 若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，则0ln 1ln )(2≤--='a xx x f 在),1(+∞恒成立所以：0)(max≤'x f ………2分 由a x a xx x f -+--=--='41)21ln 1(ln 1ln )(22，故当21ln 1=x ，即2e x =时，041)(max≤-='a x f 所以： 41≥a ，所以a 的最小值是41………………5分（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，则问题等价为：当[]221,,e e x x ∈时，a x f x f +'≤)()(maxmin 由（1）知：)(x f '在[]2,e e x ∈的最大值为a -41，所以41)(max =+'a x f 所以问题转化为：41)(min ≤x f ………………7分（ⅰ）当41≥a 时，由（1）知：)(x f 在[]2,e e 是减函数，所以)(x f 的最小值是412)(222≤-=ae e e f ，解得：24121e a -≥（ⅱ）当41<a 时，a x x f -+--='41)21ln 1()(2在[]2,e e 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a a 41, ①当0≥-a ，即0≤a 时， )(x f 在[]2,e e 是增函数，于是：41)()(min >≥-==e ae e e f x f ，矛盾 ②当0<-a ，即410<<a 时，由)(x f '的单调性和值域知：存在唯一的[]20.e e x ∈，使得0)(0='x f且当()0,x e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；当()20,e x x ∈时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数所以：)(x f 的最小值为41ln )(0000≤-=ax x x x f ， 即：41412141ln 141ln 1200>-=->-≥e e e x x a ，矛盾综上有：24121ea -≥22. 证明：（1）∵PM 是圆O 的切线， NAB 是圆O 的割线， N 是PM 的中点，C∴NB NA PN MN ⋅==22， ∴PNNA BN PN =，又∵BNP PNA ∠=∠， ∴△PNA ∽△BNP ， ∴PBN APN ∠=∠， 即PBA APM∠=∠.∵BC MC =， ∴BAC MAC ∠=∠， ∴PAB MAP ∠=∠， ∴△APM ∽△ABP . ………5分（2）∵PBN ACD ∠=∠，∴APN PBN ACD ∠=∠=∠，即CPM PCD ∠=∠， ∴CD PM //， ∵△APM ∽△ABP ，∴BPA PMA ∠=∠， ∵PM 是圆O 的切线，∴MCP PMA ∠=∠， ∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=，即MCP DPC ∠=∠，∴PD MC //， ∴四边形PMCD 是平行四边形. ………10分 23.解析：（1）由极直互化公式得：4)2(:221=-+y x C 04:2=-+y x C (4)分联立方程解得交点坐标为)2,2(),4,0( ………5分（2）由（1）知：)2,0(P ，)3,1(Q 所以直线PQ ：02=+-y x ， 化参数方程为普通方程：122+-=abx b y ， 对比系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=22112ab b，2,1=-=b a (10)分。
