2012年广东高考理科数学卷(试题和答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1．设i 为虚数单位，则复数56i i-= A ． 65i + B ．65i -C ．65i -+D ．65i -- 2．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =A ．（-2,-4）B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(-6,-10)4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+ B．y = C ．y=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1y x x =+ 5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1- 6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A ． 49B ． 13C ． 29D ． 198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．12 B ．1 C ． 32 D ． 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9-13题）9．不等式21x x +-≤的解集为_____．10． 261()x x+的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = ____．12．曲线33y x x =-+在点（1，3）处的切线方程为 ．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 ．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为)x t ty =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数和()x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈其中的最小正周期为10π（1）求ω的值；（2）设56516,0,,(5),(5)235617f f παβαπβπ⎡⎤∈+=--=⎢⎥⎣⎦，求cos()αβ+的值．17． （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；19． （本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足11221,,n n n S a n N +*+=-+∈且123,5,a a a +成等差数列．（1） 求a 1的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．（3） 证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）设a ＜1，集合{}{}20,23(1)60A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B =（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012广东高考数学（理科）参考答案选择题答案：1-8： DCAAB CDC填空题答案： 9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10. 2011. 21n -12. 21y x =+ 13. 814. ()1,115. 解答题16.（1）15ω= （2）代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒= 162cos 17β=8c o s 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ== ∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ=== ()11932129122C C P C ξ===()232121222C P C ξ=== ∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯= 18.（1）∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥∵ PC BDE ⊥平面∴ PC BD ⊥∴ BD PAC ⊥平面（2）设AC 与BD 交点为O ，连OE∵ PC BDE ⊥平面∴ PC OE ⊥又∵ BO PAC ⊥平面∴ PC BO ⊥∴ PC BOE ⊥平面∴ PC BE ⊥∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角∵ BD PAC ⊥平面∴ BD AC ⊥∴ ABCD 四边形为正方形∴BO =在PAC ∆中，133OE PA OE OC AC =⇒=⇒= ∴ tan 3BO BEO OE∠== ∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3 19.（1）在11221n n n S a ++=-+中令1n =得：212221S a =-+令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+又()21325a a a +=+解得11a =（2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+所以132n n n a a n N *+=+∈对成立∴ ()11+232n n n n a a ++=+∴ 23n n n a +=∴ 32n n n a =-（3）（法一）∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴ 1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<- （法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴ 11112n na a +<⋅ 当2n ≥时，321112a a <⋅ 431112a a <⋅541112a a <⋅ ………11112n n a a -<⋅ 累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭ ∴212311*********...1...5252552n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭20.（1）由e =得223a b =，椭圆方程为22233x y b += 椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b ≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b<,max 3d ==得1b =（舍）∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y += （2）11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠ 当90AOB ∠=，AOB S ∆取最大值12， 点O 到直线l距离2d == ∴222m n +=又∵2213m n += 解得：2231,22m n ==所以点M的坐标为,22222222⎛⎫⎛⎫⎛⎛---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或AOB ∆的面积为1221.（1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=--① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞ ② 当103a <≤，33330,44a a D ⎛⎛⎫+++=⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤，D ⎫=+∞⎪⎪⎝⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1 ② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤ ()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴ ()D f x 在内有无极值点理科数学试卷评析——汪治平1.2.整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ðA ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA = ，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B y =C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-16．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． 10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答） 11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________． 12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为_______．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的 参数方程分别为⎩⎨⎧==ty t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆上三点，且满足︒=∠30ABC ，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交与点P ，则PA= ．图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)6cos(2)(πω+=x x f （其中R x ∈>,0ω）的最小正周期为π10．（1） 求ω的值；（2） 设,56)355(,2,0,-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈παπβαf 1716)655(=-πβf ，求)cos(βα+的值． 17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n N ∈，且123,5,a a a +成等差数列． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3． （1） 求椭圆C 的方程（2） 在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．）21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B = ． （1） 求集合D （用区间表示）；（2） 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学A 卷参考答案一、选择题：1. D2. C3. A4. A5. B6. C7. D8. C 二、填空题：9.12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ 10. 20 11. 2n-1 12. y=2x+1 13. 814. （1，1） 15.三、解答题：16. 解：（1）由f(x)得： 其最小正周期（2）由（1）得：同理由：又17. 解：（1）由图得：（2）由图得：由题知：21105T w w ππ==⇒=15w ∴=0,w >又1()2cos()56f x x π=+515(5)2cos 53536f παπαπ⎡⎤⎛⎫∴+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦62cos 25πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭3sin 5α⇒=5168(5)cos 61717f βπβ-==得：,0,παβ⎡⎤∈⎢⎥4cos 5α∴==15sin 17β=cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-483151351751785=⨯-⨯=-()0.0060.0060.010.0540.006101x +++++⨯=0.018x ⇒=()()8090100.18901000.006100.06P X x P X ≤<==≤<=⨯=[)8090∴⨯在，的学生人数为：0.1850=9[)90100⨯在，的学生人数为：0.0650=30,1,2ξ=()()()2122993322212121212910,1,2222222C C C C P P P C C C ξξξ=========18. 解： （1）证明：（2）由（1）得：在矩形ABCD 中，如图所示建立直角坐标系，由（1）知，所以，二面角B-PC-A 的正切值为：3。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、 考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=( )()A 65i + ()B 65i - ()C i -6+5()D i -6-5【解析】选D 依题意：256(56)65i i ii i i --==--，故选D . 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( )()A U ()B {1,3,5} ()C {,,}356 ()D {,,}246【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==u u u r u u u r；则BC =u u u r ( )()A (2,4)-- ()B (2,4) ()C (,)610()D (,)-6-10【解析】选A(2,4)BC BA CA =-=--u u u r u u u r u u u r 4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )()A ln(2)y x =+ ()B y = ()C ()x y 1=2 ()D y x x1=+【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数，y =(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数，y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) ()A 12π ()B 45π ()C π57 ()D π81 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为2222135353573V πππ=⨯⨯+⨯⨯-=7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是( )()A 49 ()B 13 ()C 29()D 19【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459=8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=g o g ；若平面向量,a b r r 满足0a b ≥>r r ，a r 与b r 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a r r r r o o 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =r r o ( )()A 12()B 1 ()C 32()D 52【解析】选C21cos 0,cos 0()()cos (,1)2a b a b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈r r r r r r r r r r o o o o r r,a b b a r r r r o o 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=r r r r r r o o o(一）必做题（9-13题）9. 不等式21x x +-≤的解集为_____【解析】解集为_____1(,]2-∞-原不等式⇔2(2)1x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或2021x x x -<≤⎧⎨++≤⎩或021x x x >⎧⎨+-≤⎩,解得12x ≤-,10. 261()x x+的展开式中3x 的系数为______。

2012广东高考数学试题及答案2012年广东高考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列哪个选项是无理数？A. √2B. 0.33333...C. 1/3D. 22/7答案：A2. 若函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(-1)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 10答案：A3. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}答案：B4. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是？A. (-1, 0)B. (0, 3)C. (1, 0)D. (3, 0)答案：A5. 已知三角形ABC中，角A = 60°，边a = 3，边b = 4，求边c的长度。

A. √7B. √13C. 5D. √21答案：B6. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，求第10项a10。

A. 19B. 21C. 23D. 25答案：A7. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是？A. (1, 0)B. (0, 2)C. (2, 0)D. (0, -2)答案：C8. 已知向量a = (3, 1)，向量b = (2, -1)，求向量a与向量b的夹角θ。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：D9. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)答案：A10. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y =±(b/a)x，求a与b的关系。

A. a = bB. a > bC. a < bD. 无法确定答案：C二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点。

数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= （ ）A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð（ ）A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC = （ ） A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A .ln(2)y x =+ B.y =C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个 位数为0的概率是（ ）A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ.若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥＞,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b （ ）A .12B .1C .32D .52二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为________.（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数π()2cos()6f x xω=+（其中0ω>,x∈R）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.（Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n,有1211132na a a+++＜.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221x ya b+=（a b＞＞）的离心率e=且椭圆C上的点到点(0,2)Q的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上,是否存在点(,)M m n,使得直线l：1mx ny+=与圆O：221x y+=相交于不同的两点A、B,且OAB△的面积最大？若存在,求出点M的坐标及对应的OAB△的面积；若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）设1a＜,集合{|0}A x x=∈＞R,2{|23(1)60}B x x a x a=∈-++＞R,D A B=.（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a xax=-++在D内的极值点.数学试卷第4页（共42页）数学试卷第5页（共42页）数学试卷第6页（共42页）3 / 142012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析【答案】A【解析】(2,BC BA AC BA CA =+=-=-【提示】由向量(2,3)BA =，向量(4,7)CA =，知(2,AB =-，(4,7)AC =--，再由BC AC AB =-能求数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以24cos ，所以cos θ5 / 143||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =， 则||cos 333||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集合的知识求解即数学试卷 第16页（共42页） 数学试卷 第17页（共42页）数学试卷 第18页（共42页）60，所以60，因为直线是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题tan603=7 / 14（Ⅰ）10T =π=65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=16517f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=（Ⅱ）成绩不低于数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）PAPC P =，PAC ； ACBD O =，连结，OE ，BE ⊥BE ，所以(2,DB=-的一个法向量，(0,2,0)BC=，(2,0,1)BP=-设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=202n BC yn BP x⎧==⎪⎨=-⎪⎩2，取(1,0,2)n=，的平面角为θ，2||||8510DB nDB n==所以二面角B PC A--的正切值为3．9 / 14数学试卷 第28页（共42页） 数学试卷 第29页（共42页）数学试卷 第30页（共42页）（Ⅰ）2n n S a +=17a a =⎧⎪-⇒⎨133n -，所以时，111a =1221122222n n n n n n n C C --++⋯++-122-1-1222222n n n n n n C C C +++>1)-数学试卷 第34页（共42页） 数学1||||sin 2OA OB AOB ∠的距离2d =，即12)(,)x +∞，2x <，所以2(,Ax B +∞=2)(,)x +∞，30a =>，所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a AB a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=1<时，0∆<，则()0g x >恒成立，A B =(0,+∞综上所述，当0a ≤时，33a ⎫⎛++⎪⎪ ⎭⎝2)(,)x +∞的变化情况如下表：a极值即可．【考点】导数的运算，利用导数求函数的极值，解含参的一元二次不等式，集合的基本运算数学试卷第40页（共42页）数学。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

参考公式：柱体的体积公式 V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程$$y bx a =+$中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.把复数的共轭复数记作z ，设（1+2i ）z =4+3i ，其中i 为虚数单位，则z i = A ． 2- i B. 2+ i C.1+2 i Ｄ．-1+2i 2．已知集合A={x ∣f(x)=3+x +21+x }，B={x ∣3x-7≤8-2x}，则A B ⋂为 Ａ．[3,-3] Ｂ．[3,-2）U （-2，-3] Ｃ．[3,-2) Ｄ．[-2，-3] 3. 函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图像关于Ａ．直线x=a 对称 Ｂ．点（a ，0）对称 Ｃ．原点对称 Ｄ．Y 轴对称4.已知{}n a 是等比数列，且,20252,0645342=++>a a a a a a a n 那么，53a a +的值为Ａ．45 Ｂ．35 Ｃ．25 Ｄ．155. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，E 是BC 边的中点，连接DE 交AC 于点F 。

已知→→→→==b AD a AB ,,则=→OFA ．→→+b a 6131B ．)(41→→+b aC ．)(61→→+b aD ．→→+b a 41616. 对于命题p 、q ，有p ∧q 是假命题，下面说法正确的是 A ．p ∨q 是真命题 B ．p ⌝是真命题 C ．q p ⌝⌝∧是真命题 D. q p ⌝⌝∨是真命题7. 如图是某几何体三视图的斜二测画法，正视图（主视图）是等腰三角形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A.316B.16C.8D. 48.设集合X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2},从X 到Y 的映射f 满足条件：对于每个x ∈X ，恒有x+f(x)是奇函数，这样的映射一共有A.12个B.6个C.18个D.24个16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、 考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=( )()A 65i + ()B 65i - ()C i -6+5()D i -6-5【解析】选D 依题意：256(56)65i i ii i i --==--，故选D . 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( )()A U ()B {1,3,5} ()C {,,}356 ()D {,,}246【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==；则BC =( )()A (2,4)-- ()B (2,4) ()C (,)610 ()D (,)-6-10【解析】选A (2,4)BC BA CA =-=--4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )()A ln(2)y x =+ ()B y =()C ()x y 1=2 ()D y x x1=+【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数，y =(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数，y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) ()A 12π ()B 45π ()C π57 ()D π81 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为221353573V πππ=⨯⨯+⨯=7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是( )()A 49 ()B 13 ()C 29()D 19【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459=8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )()A 12 ()B 1 ()C 32()D 52【解析】选C21cos 0,cos 0()()cos (,1)2a ba b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=(一）必做题（9-13题）9. 不等式21x x +-≤的解集为_____【解析】解集为_____1(,]2-∞-原不等式⇔2(2)1x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或2021x x x -<≤⎧⎨++≤⎩或021x x x >⎧⎨+-≤⎩,解得12x ≤-,10. 261()x x+的展开式中3x 的系数为______。

2012广东高考数学(理科)参考答案mianfai2012广东高考数学（理科）参考答案 选择题答案：1-8： DCAAB CDC填空题答案： 9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10. 2011. 21n -12. 21y x =+ 13. 814. ()1,1 15. 3解答题16.（1）15ω= （2）代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒= 162cos 17β=8cos 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ== ∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ=== ()11932129122C C P C ξ===解得：2123a a =+，31613a a =+又()21325a a a +=+解得11a =（2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+所以132nn n a a n N *+=+∈对成立∴ ()11+232n n n n a a ++=+∴ 23n n n a +=∴ 32n n n a =-（3）（法一）∵()()123211323233232...23n nn n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴ 1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)nn n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-（法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴ 11112n na a +<⋅当2n ≥时，321112a a <⋅431112a a <⋅541112a a <⋅………11112n n a a -<⋅累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭ ∴212311111111173...1...5252552n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭20.（1）由23e =223a b =，椭圆方程为22233x y b +=椭圆上的点到点Q 的距离()()222222332d x y b y y =+-=-+-)222443y y b b y b =--++-≤≤当①1b -≤-即1b ≥,2max 633d b =+=得1b =当②1b ->-即1b <,2max 443d b b ++=得1b =（舍）∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y += （2）11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠当90AOB ∠=，AOB S ∆取最大值12，点O 到直线l 距离2222d m n ==+∴222m n +=又∵2213m n +=解得：2231,22m n ==所以点M 的坐标为62626262,22222222⎛⎫⎛⎛⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或 AOB ∆的面积为1221.（1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=-- ① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞ ② 当103a <≤， 22339309339309a a a a a a D ⎛⎫+--+++-+=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤，2339309a a a D ⎫++-+=+∞⎪⎪⎝⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1 ② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤ ()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴ ()D f x 在内有无极值点理科数学试卷评析——汪治平1.整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。

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广东 2012 年高考理科数学试卷 A 及答案


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绝密★启用前 试卷类型：A2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理 科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2012广东理)设i 为虚数单位，则复数ii65-=（ ） A ．i 56+ B ．i 56- C ．i 56+- D ．i 56--答：（D ）． 解析： i i i ii i i i 5665)65(6522--=+-=---=-2．(2012广东理)设集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}4,2,1{=M ，则M C U =（ ） A ．U B ．}5,3,1{ C ．}6,5,3{ D ．}6,4,2{ 解析：（C ）．3．(2012广东理)若向量)3,2(=BA , )7,4(=CA ，则BC =（ ）A.)4,2(--B. )4,2( C ．)10,6( D ．)10,6(--解析：（A ）．依题意得BC =)4,2()7,4()3,2(--=-=-=+CA BC AC BA4．(2012广东理)下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是（ ）A ．)2ln(+=x yB ．1+-=x yC ．xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 D ．x x y 1+=解析：（A ）．5．(2012广东理)已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则y x z +=3的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1-解析：（B ）．y x z +=3，即z x y +-=3，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线z x y +-=3经过点（3, 2）时，z 取得最大值11。