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中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形知识点复习一、定义直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。
直角指的是一个角度为90°的角。
二、性质1.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2+b^2=c^22.直角三角形的斜边是两个直角边中最长的边，而且直角三角形中的直角边是两个锐角的对边。
3.直角三角形中的两个锐角互余。
4.在直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦和正切值互为倒数。
三、特殊直角三角形1.等腰直角三角形：定义：顶角为90°的等腰三角形。
性质：两个直角边相等，斜边为直角边的根号2倍。
2.30°-60°-90°直角三角形：定义：一个锐角为30°，一个锐角为60°的直角三角形。
性质：-斜边是短直角边的2倍；-长直角边是短直角边的根号3倍；-高（垂直于短直角边的线段）是短直角边的根号3倍的一半。
3.45°-45°-90°直角三角形：定义：两个锐角都为45°的直角三角形。
性质：-斜边是任意一个直角边的根号2倍；-高（垂直于底边的线段）是底边的一半。
四、解直角三角形问题的步骤1.已知两条边，求第三条边。
a)如果已知两条直角边a和b，可以直接使用勾股定理求解斜边c：c=√(a^2+b^2)。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以使用勾股定理求解另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
2.已知一条直角边和一个锐角，求另一条直角边和斜边。
a) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出另一条直角边b：b = a * tanθ。
b)如果已知一条直角边a和斜边c，可以求出另一条直角边b：b=√(c^2-a^2)。
c) 如果已知一条直角边a和一个锐角θ，可以求出斜边c：c = a / cosθ。
3.已知两条直角边之间的比例，求两个直角边和斜边的长度。
中考复习分析——解直角三角形黄金洞民族中小学罗建华第一部分地位与作用一．复习定位解直角三角形这一部分知识是数学中的基本工具之一．解直角三角形不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且更为重要的是，它在数学本身也有着极为广泛的应用，凡是有关图形中量的计算问题，以及坐标系里点的坐标的计算，大多数的情况都需借助于构造与解直角三角形．因此解直角三角形的知识是近年各地中考命题的热点之一.（一）试题类型与考法分析1.考察内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识，技能的要求越来越明显，不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还要求学生根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.2.本章知识是中考常考的内容，尤其是特殊角的三角函数值的有关的计算时必考内容，试题以填空题、计算题为主.3. 应用解直角三角形的知识解决实际问题是中考的热点，试题以填空题和解答题为主.4.2013-2015年我州中考试题中“解直角三角形”部分的权重：10~12%左右.二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2013-2015年我州中考涉及的知识点如下表:关于锐角三角函数的考纲要求1.基本要求：通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切；知道30°、45°、60°角的三角函数值．2.略高要求：由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值；会计算含有特殊角的三角函数式的值．3.较高要求：能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．。
关于解直角三角形的考纲要求1.基本要求：知道解直角三角形的含义．2.略高要求：会解直角三角形；能根据问题的需要合理作出垂线,构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题．3.较高要求：会解有特殊条件的四边形中的计算问题；会设计简单的测量方案；能综合运用直角三角形的性质解决简单的实际问题．(三)中考热点：新课标对解直角三角形的要求略有减弱，从前几年各省、市的中考命题来看，运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关联的应用题是中考的热点．三、中考命题趋势及复习对策解直角三角形在实际生活中的应用题，是中考的重点内容，其次是特殊角的三角函数值，锐角三角函数包含三部分内容，一是解直角三角形及特殊锐角函数值的考查，以填空，选择题的形式出现；二是解决实际问题，以解答题的形式出现；三是渗透在中高档解答证明题中，一般占10分左右．在复习时，要正确了解三角函数概念把握其本质，才能正确理解解直角三角形中边角之间关系，才能利用这些关系解题，另外还要注意数形结合，解题时通过画图来找出函数关系，帮助解题．第二部分 考点突破 一、考点讲解：考点1．锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ．∠A 的正弦=A asin A=c ∠的对边，即斜边； ∠A 的余弦=A bcos A=c ∠的邻边，即斜边, ∠A 的正切=A atan=A b ∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．二、经典考题剖析：【考题1－1】在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则sinA 的值是( )A ．34B ．45C ．35D ． 43点拨： （基本）通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切【考题1－2】在Rt △ABC 中，∠C=90°，则sinA=35 ，则cosA=____．点拨： （略高）由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值【考题1－3】（2009温州）△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=43，则AC 的长是 ；点拨： （略高）由某个角的一个三角函数值,结合已知条件，会求其余的 边或角。
2015年中考数学复习培优第五讲：解直角三角形一、解直角三角形中几何模型：二、解直角三角形应用题：1.如图1，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ A. B. C. D.2.如图5，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离） 为4m ．如果在坡度为i =0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ， 那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A ．5mB ．6mC ．7mD ．8mααcos 5αcos 5αsin 5αsin 5BA3.如图，把两块相同的含30°角的三角尺按如图所示放置， 若AD=，则三角尺的斜边的长为（ ）A 、6B 、C 、10D 、124.在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A 、C 两地的距离为（ ） A.B. C. D. 5.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角为α，若AC =a ，BD =b ，则▱ABCD 的面积是（ ） ． absin αB ． abcos α6.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC 和△DEF ，AB=DE ， 数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S △ABC ′小颖画的 三角形面积记作S △DEF ，那么你认为小敏和小颖画的两个三 角形面积的大小关系是S △ABC S △DEF ．（填“＞，＜，或=”）7.在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米 宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路 段最多可以划出_____个这样的停车位．（≈1.4）8.如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB 于点C ．若OC=2， 则PC 的长是 ． 9. 当锐角α _________ 时，有意义．计算：=10.如图，将的∠AOB 按图摆放在一把刻度尺上，顶点O 与 尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在 尺上的读数为2cm ，若按相同的方式将的∠AOC 放置在该尺上， 则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为 cm（结果精确到0.1 cm ，参考数据：，，）km 3310km 335km 25km 3545︒37︒sin 370.60︒≈cos370.80︒≈tan 370.75︒≈第4题图11. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ， 深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的 起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度， 则AC 的长度是 cm ．12.小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一 副直角三角板如图位置摆放，A 、B 、C 在同一直线上，EF∥AD， ∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，则BD= 13.如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m ， CD=5.4m ，∠DCF=30°，计算车位所占的宽度EF 约为 米 （，结果保留两位有效数字．）14.丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作 的风筝的一个翅膀．则CD 的长度为 .≈1.7）．15.如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin 2A 1+sin 2B 1= ；sin 2A 2+sin 2B 2= ；sin 2A 3+sin 2B 3= ．（1）观察上述等式，猜想：在Rt △ABC 中，∠C =90°，都有sin 2A +sin 2B = ． （2）如图④，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA + sinB = 1713,求sinA ·sinB 得值.1:5i =1.73≈16.观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB ，AD=bsinC ，于是csinB=bsinC ，即．同理有，．所以，即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.（1）如图，△ABC 中，∠B=450,∠C=750，BC=60， 则∠A= ；AC= ；(2)如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB.17.（2014•三明）如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB 是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC 在5.3～5.7米范围内，小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）c AD b AD CcB b sin sin =A aC c sin sin =Bb A a sin sin =C cB b A a sin sin sin ==CB18.（2014•巴中）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i=1：2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．19.（2014•漳州）将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）20. 小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（结果精确到1mm ）FE21. 如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据）.⑴若修建的斜坡BE的坡角(即∠BAC)不大于45°,则平台DE的长最多为米；⑵一座建筑物GH距离坡脚A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？22.一天晚上，李明和张龙利用灯光下影子的长来测量一路灯D高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子是线段AB，并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m.求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m）E。
第4节 解直角三角形锐角三角函数在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则sin A ＝________，cos A ＝________，tan A ＝________.特殊角的三角函数值解直角三角形1．直角三角形各元素之间的关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c. (1)三边之间的关系：______________； (2)锐角之间的关系：______________； (3)边角之间的关系：sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______.2．解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的应用1．仰角、俯角如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．2．坡度(坡比)、坡角如图②，坡面的高度h 和______的比叫做坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝hl.坡面与水平面的夹角α叫做坡角．3．方位角如图③，指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方位角，A 点位于O 点的北偏东30°方向，B 点位于O 点的南偏东60°方向．锐角三角函数【例1】(2014·威海)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( D )A.31010B.12C.13D.1010作AC ⊥OB 于点C ，利用勾股定理求AC 和AB ，根据正弦的定义即可求出．解直角三角形 【例2】如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．解：AB ＝3＋3添加适当的辅助线，建立直角三角形模型，利用直角三角形各元素之间关系求解．解直角三角形的应用【例3】(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30°，AC 长332米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离．解：(1)延长OA 交BC 于点D.∵AO 的倾斜角是60°，∴∠ODB ＝60°，∵∠ACD ＝30°，∴∠CAD ＝180°－∠ODB －∠ACD ＝90°，在Rt △ACD 中，AD ＝AC·tan ∠ACD ＝332·33＝32(米)，∴CD ＝2AD ＝3(米)，又∵∠O ＝60°，∴△BOD 是等边三角形，∴BD＝OD ＝OA ＋AD ＝3＋32＝4.5(米)，∴BC ＝BD －CD ＝4.5－3＝1.5(米)，则浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为1.5米延长OA 交BC 于点D ，构造直角三角形，求出CD 长，再证△BOD 是等边三角形，求出BD 长，即可求出BC.真题热身1．(2014·凉山州)在△ABC 中，若|cos A －12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的度数是( C )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°2．(2014·滨州)在△ACB 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sin A ＝35，cos A ＝45，tan A ＝34，则BC 的长为( A )A ．6B ．7.5C ．8D ．12.53．(2014·巴中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( D )A.1213B.512C.1312D.1254．(2014·临沂)如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为( C )A ．20海里B ．10 3 海里C ．20 2 海里D ．30海里,第4题图) ,第5题图)5．(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为__7tan α__米．(用含α的代数式表示)6．(2014·青岛)如图，小明想测山高和索道的长度，他在B 处仰望山顶A ，测得仰角∠B ＝31°，再往山的方向(水平方向)前进80 m 至索道口C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE ＝39°.(1)求这座山的高度；(小明的身高忽略不计) (2)求索道AC 的长．(结果精确到0.1 m )(参考数据：tan 31°≈35，sin 31°≈12，tan 39°≈911，sin 39°≈711)解：(1)过A 作AD ⊥BE 于D ，设山高AD ＝x m ，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan31°＝53x ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan39°＝119x ，∵BC ＝BD －CD ，∴53x －119x ＝80，解得x ＝180，即山高为180 m (2)在Rt △ACD 中，AC ＝AD sin39°＝180711≈282.9(米)第4节 解直角三角形基础过关一、精心选一选1．(2014·天津)cos 60°的值等于( A ) A .12 B .33 C .32D . 3 2．(2014·杭州)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( D ) A ．3sin 40° B ．3sin 50° C ．3tan 40° D ．3tan 50°3．(2013·昭通)如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B ′的值为( B )A .12B .13C .14D .244．如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( C )A .12B .34C .32D .45,第4题图) ,第5题图)5．(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是( B )A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m6．(2013·衢州)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m ，则这棵树的高度为( D )(结果精确到0.1 m ，3≈1.73)A ．3.5 mB ．3.6 mC ．4.3 mD ．5.1 m 二、细心填一填7．(2014·温州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tan A 的值是__12__．,第7题图) ,第9题图)8．(2013·安顺)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为__24__．9．(2013·荆门)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，则DE ＝__154__．10．(2014·抚顺)如图，河流两岸a ，b 互相平行，点A ，B 是河岸a 上的两座建筑物，点C ，D 是河岸b 上的两点，A ，B 的距离约为200米．某人在河岸b 上的点P 处测得∠APC ＝75°，∠BPD ＝30°，则河流的宽度约为__100__米．11．(2013·东营)某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为__9__米．12．(2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)三、用心做一做13．(2014·重庆)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32.求sin B ＋cos B 的值．解：tan A ＝CD AD ＝32＝6AD ，∴AD ＝4，BD ＝8，BC ＝62＋82＝10，∴sin B ＋cos B ＝35＋45＝7514．(2014·南京)如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO ＝60°；当梯子底端向右滑动1 m (即BD ＝1 m )到达CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO ＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin 51°18′≈0.780，cos 51°18′≈0.625，tan 51°18′≈1.248)解：设梯子的长为x m ，在Rt △ABO 中，OB ＝AB·cos ∠ABO ＝0.5x ，在Rt △CDO 中，OD ＝CD·cos ∠CDO ＝0.625x ，∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －0.5x ＝1，解得x ＝8，即梯子的长是8米15．(2013·天门)某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长．解：在Rt △ADC 中，∵AD ∶DC ＝1∶2.4，AC ＝13，由AD 2＋DC 2＝AC 2，得AD 2＋(2.4AD)2＝132，∴AD ＝5(舍负)，∴DC ＝12.在Rt △ABD 中，∵AD ∶BD ＝1∶1.8，∴BD ＝5×1.8＝9，∴BC ＝DC －BD ＝12－9＝3(米)16．(2014·珠海)如图，一艘渔船位于小岛M 的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A 处，渔船从A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B 处．(1)求渔船从A 到B 的航行过程中与小岛M 之间的最小距离；(结果用根号表示) (2)若渔船以20海里/小时的速度从B 沿BM 方向行驶，求渔船从B 到达小岛M 的航行时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)过M 作MD ⊥AB 于D ，在Rt △AMD 中，MD ＝AM·cos 45°＝902，即最小距离为902海里 (2)在Rt △MOB 中，MB ＝MDcos 30°＝606，航行时间为606÷20＝36≈7.35≈7.4(小时)17．(2013·恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732 )解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，作BF ⊥DN 于点F ，∵∠D ＝90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴BE ＝DF ，BF ＝DE.在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos 30°＝110×32＝553(米)，BE ＝AB·sin 30°＝12×110＝55(米)．设BF ＝x 米，则AD ＝AE ＋ED ＝553＋x(米)，在Rt △BFN中，NF ＝BF·tan 60°＝3x(米)，∴DN ＝DF ＋NF ＝55＋3x(米)．∵∠NAD ＝45°，∴AD ＝DN ，即553＋x ＝3x ＋55，解得x ＝55，∴DN ＝55＋3x ≈150(米)挑战技能18．(2013·绵阳)如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为( A )A ．20米B ．103米C ．153米D ．56米19．(2014·杭州)如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E ，F 分别在射线AD ，射线BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则( A )A ．1＋tan ∠ADB ＝ 2 B ．2BC ＝5CFC ．∠AEB ＋22°＝∠DEFD ．4cos ∠AGB ＝ 620．(2013·青岛)如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，∠A ＝67°，∠B ＝37°.(1)求CD 与AB 之间的距离；(2)某人从车站A 出发，沿折线A →D →C →B 去超市B ，求他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走多少米？(参考数据：sin 67°≈1213，cos 67°≈513，tan 67°≈125，sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)解：(1)设CD 与AB 之间的距离为x ，则在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，BF ＝CF tan 37°＝43x ，AE ＝DE tan 67°＝512x ，又∵AB ＝62，CD ＝20，∴43x ＋512x ＋20＝62，解得x ＝24，故CD 与AB 之间的距离为24米 (2)在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝CF sin 37°＝2435＝40，AD ＝DE sin 67°＝241213＝26，∴AD ＋DC ＋CB －AB ＝40＋20＋26－62＝24(米)，则他沿折线A →D →C→B 到达超市比直接横穿马路多走24米21．(2014·南充)马航MH 370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A ，B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P 在救助船A 的北偏东53.5°方向上，在救助船B 的西北方向上，船B 在船A 正东方向140海里处．(参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，tan 36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P 到A ，B 两船所在直线的距离；(2)若救助船A ，救助船B 分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P 处．解：(1)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，则PH 的长是P 到A ，B 两船所在直线的距离．根据题意得∠PAH ＝90°－53.5°＝36.5°，∠PBH ＝45°，AB ＝140海里，设PH ＝x 海里，在Rt △PHB 中，BH ＝x ，在Rt △PHA 中，AH ＝x tan 36.5°＝43x.∵AB ＝140，∴43x ＋x ＝140，解得x ＝60，即PH ＝60，因此可疑漂浮物P 到A ，B 两船所在直线的距离为60海里 (2)在Rt △PHA 中，AH ＝43×60＝80，PA ＝602＋802＝100，救助船A 到达P 处的时间t A ＝100÷40＝2.5(小时)；在Rt △PHB 中，PB ＝602＋602＝602，救助船B 到达P 处的时间t B ＝602÷30＝22(小时)，∵2.5＜22，∴救助船A 先到达P 处。
