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八年级数学下册3.3方差和标准差例题选讲课件

八年级数学下册3.3方差和标准差例题选讲课件

在实际生活中的应用
金融风险评估
在金融领域，方差和标准差用 于评估投资组合的风险，以确 定投资策略。
市场调研
在市场调研中，方差和标准差 用于分析不同产品或品牌的市 场表现，以指导营销策略。
质量控制
在生产过程中，方差和标准差 用于监测产品质量，以确保产 品的一致性和稳定性。
05
例题选讲
例题一：计算一组数据的方差和标准差
平方差值
04 $(-2)^2 = 4, (-1)^2 = 1, 0^2
= 0, 1^2 = 1, 2^2 = 4$
总和
$4+1+0+1+4 = 10$
05
标准差
06 $sigma = sqrt{frac{10}{5}} =
sqrt{2}$
04
方差和标准差的应用
在数据分析中的应用
描述数据的离散程度
02
当一组数据的标准差较大时，说 明这组数据的离散程度较大；当 标准差较小时，说明这组数据比 较集中。
02
方差的计算方法
计算公式
02
01
03
方差计算公式：$S^{2} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}(x_i - bar{x})^{2}$
其中，$n$为数据个数，$x_i$为每个数据，$bar{x}$ 为数据平均值。
例题三：比较两组数据的离散程度
题目
比较两组数据：A组数据为2，4，5，7，10；B组数据为3，5，6，8，9。
解答
为了比较两组数据的离散程度，我们可以计算每组的方差或标准差，然后进行 比较。通过计算可得A组的方差或标准差大于B组的方差或标准差，因此A组数 据的离散程度更大。
THANK YOU

方差与标准差的概念

方差与标准差的概念

方差和标准差都是用来衡量随机变量波动大小的量。

方差（variance）是将各个变量值与其均值离差平方的平均数。

它反映了样本中各个观测值到其均值的平均离散程度。

方差的数学定义为：设X 是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。

标准差（standard deviation）是方差的平方根。

它也是一种平均数，是各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数。

标准差的数学定义为：设X 是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X- E(X)]^2}的平方根为X的标准差，记为σ(X)。

方差和标准差都用于描述数据的离散程度，但方差是标准差的平方，更适合用于比较数据的离散程度。

一般来说，如果方差或标准差越大，说明数据的波动越大；反之，如果方差或标准差越小，说明数据的波动越小。

数理统计_方差与标准差

数理统计_方差与标准差

心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大都具有随机变量的性质。

而对这些随机变量的描述，仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。

集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能讲明一组数据的全貌。

数据除典型情况之外，还有变异性的特点。

关于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。

第一节方差与标准差方差(Variance)也称变异数、均方。

作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。

它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。

方差，在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。

它是度量数据分散程度的一个特别重要的统计特征数。

标准差(Standarddeviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。

假设用σ表示，那么是指总体的标准差，本章只讨论对一组数据的描述，尚未涉及总体咨询题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。

符号不同，其含义不完全一样，这一点瞧读者能够给予充分的注重。

一、方差与标准差的计算(一)未分组的数据求方差与标准差全然公式是：〔3—la〕〔3—1b〕表3—1讲明公式3—1a与3—1b的计算步骤表3—1未分组的数据求方差与标准差应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i-X；③求(Xi-X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和(∑x2)；⑤代进公式3—1a与3—1b求方差与标准差。

具体结果如下：S2(二)已分组的数据求标准差与方差数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，假设计算方差与标准差可用下式：(3—3a)(3—3b)式中d＝(Xc-AM)/i，AM为估量平均数Xc为各分组区间的组中值f为各组区间的次数N=Σf为总次数或各组次数和i为组距。

下面以表1—8数据为例，讲明分组数据求方差与标准差的步骤:表3—2次数分布表求方差与标准差具体步骤：①设估量平均数AM，任选一区间的Xc充任；②求d⑧用f乘d，并计算Σfd；④用d与fd相乘得fd2，并求Σfd2；⑤代进公式计算。

八年级数学 10.3方差与标准差(1)课件(改) 青岛版

八年级数学 10.3方差与标准差(1)课件(改) 青岛版
= 26（分） （
2
名同学测试成绩的标准差是多少（精确到0 这10 名同学测试成绩的标准差是多少（精确到 . 1 分）?
１、关于两组数据波动大小的比较，正确的 关于两组数据波动大小的比较， 是（Ｂ ） Ａ．极差较小的数据波动较小 Ａ．极差较小的数据波动较小 Ｂ．方差较小的数据波动较小 Ｂ．方差较小的数据波动较小 Ｃ．平均数较小的数据波动较小 Ｃ．平均数较小的数据波动较小 Ｄ．中位数较小的数据波动较小 Ｄ．中位数较小的数据波动较小
(5 − 4) 2 + (4 − 4) 2 + (5 − 4) 2 + L + (5 − 4) 2 2 s = 10
=1.2
也可以采用列表的方法求大刚进球个数的方差: 也可以采用列表的方法求大刚进球个数的方差
数据x 数据 i 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5 平均数 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
（85-90）+（90-90）+（90-90）+（90-90） ） （ ） （ ） （ ） +（95-90）= 0 （ ）
乙同学成绩与平均成绩的偏差的和： 乙同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90） ） （ ） （ ） （ ） +（90-90）= 0 （ ）
x
1 ( + +x +L +x ) x2 n 3 n) －n· n x1
甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和： 甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（85-90）2+（90-90）2+（90-90）2 ） （ ） （ ） +（90-90）2+（95-90）2 = 50 （ ） （ ）

八年级数学下册第21章数据的整理与初步处理21.3极差方差与标准差习题课件华东师大版

八年级数学下册第21章数据的整理与初步处理21.3极差方差与标准差习题课件华东师大版
5
1×0.544 6=0.108 92≈0.11.
5
S乙2 甲0, 的极差为11.94-11.01=0.93,乙的极差为0.
1.(2012·达州中考)2011年达州市各县(市、区)的户籍人口统 计表如下：
则达州市各县(市、区)人口数的极差和中位数分别是( )
(A)145万人 130万人
(B)103万人 130万人
S甲2 S…乙2 .……………………7分 答：乙山上的杨梅产量较稳定.
看平均数，还要比较方 差的大小.
………………………………………………………………8分
【规律总结】
计算方差时的规律
【跟踪训练】
4.(2012·盐城中考)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10
次射击的平均成绩恰好都是9.4环,方差分别是 S甲2 0.90,S乙2 1.22,
S丙2 0.43,S丁2 1.68.在本次射击测试中,成绩最稳定的是( )
(A)甲
(B)乙
(C)丙
(D)丁
【解析】选C.成绩的稳定性决定于方差的大小，方差越小的越稳
定，故选C.
5.已知一个样本1,3,2,5,4,则这个样本的标准差为________.
【解析】样本的平均数 x 1 3 1 4 2 5 3,
【规范解答】 (1)甲山上4棵树的产量分别为： 50千克、36千克、40千克、34千克, ∴甲山产量的样本平均数为： x 50 36 40 34… …40(…千…克…)；…………………1分
4
乙山上4棵树的产量分别为： 36千克、40千克、48千克、36千克,
∴乙山产量的样本平均数为： x 36 40 48 36… …40…(千…克…)；……………………2分
方差与标准差 【例2】(8分)王大伯几年前承办了甲、乙两片荒山,各栽100棵 杨梅树,成活98%,现已挂果,经济效益初步显现,为了分析收成情 况,他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅,每棵的产量如 折线统计图所示. (1)分别计算甲、乙两山样本的平均数,并估算出甲、乙两山杨 梅的产量总和；

《方差和标准差》课件

《方差和标准差》课件
金融风险评估
在金融领域，方差和标准差被用于评估投资组合的风险。通过计算投资组合收益率的方差 和标准差，投资者可以了解投资组合的风险水平。
质量控制
在生产过程中，方差和标准差可用于质量控制。通过监测产品特性的方差和标准差，可以 了解生产过程的稳定性和产品质量的一致性。
社会科学研究
在社会学、心理学和经济学等社会科学研究中，方差和标准差被用于分析调查数据和研究 结果。例如，通过比较不同群体之间的方差和标准差，可以了解它们之间的差异和相似性 。
中，可以用于分析消费者偏好的分散程度。
案例二：统计学中的方差和标准差应用
总结词
阐述方差和标准差在统计学中的重要性和应用，如何利用它们进行假设检验、回归分析和方差分析等 统计方法。
详细描述
在统计学中，方差和标准差是基础概念，广泛应用于各种统计方法。例如，在假设检验中，方差分析 可以用来比较两组或多组数据的差异；在回归分析中，方差和标准差可以用来评估模型的拟合度和预 测精度；在方差分析中，方差和标准差可以用来比较不同因素对数据变异的贡献程度。
《方差和标准差》ppt课件
• 方差概述 • 标准差概述 • 方差和标准差的应用 • 方差和标准差的比较 • 案例分析
01 方差概述
方差的定义
方差是用来度量一组数据分散程度的统计量，其计算公式为：方差 = Σ[(x_i μ)^2] / (n-1)，其中x_i表示每个数据点，μ表示平均值，n表示数据点的数量。
标准差的作用和意义
总结词
标准差在统计学中具有重要的意义，它可以用于比较不同数据的离散程度、评估数据的稳定性、进行假设检验等 。
详细描述
标准差是衡量数据分散程度的重要指标，它可以用来比较两组或多组数据的离散程度，从而了解数据的稳定性或 波动性。在假设检验中，标准差可以用于计算样本的置信区间和显著性水平。此外，标准差也是许多统计模型和 算法的重要参数，如线性回归、方差分析等。

方差与标准差

方差与标准差
问题情境
1.有甲、乙两种钢筋, 现从中各抽取一 有甲、乙两种钢筋 有甲 个标本（如表） 个标本（如表）检查它们的抗拉强度 单位： （单位：kg/mm2）.
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
标准差： s =
− 1 n 2 ∑ ( xi − x) n i =1
标准差也可以刻画数据的稳定程度． 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 方差和标准差的意义： 方差和标准差的意义：
描述一个样本和总体的波动大小的特 征数，标准差大说明波动大. 征数，标准差大说明波动大 一组数据的方差或标准差越小，说明, 一组数据的方差或标准差越小，说明 这组数据离散程度越小，这组数据越稳定。 这组数据离散程度越小，这组数据越稳定。
例2．为了保护学生的视力，教室内的 ．为了保护学生的视力， 日光灯在使用一段时间后必须更换. 日光灯在使用一段时间后必须更换 已 知某校使用的100只日光灯在必须换掉 知某校使用的 只日光灯在必须换掉 前的使用天数如下, 前的使用天数如下 试估计这种日光灯 的平均使用寿命和标准差。 的平均使用寿命和标准差。
数学运用
乙两种水稻试验品种连续5 例1．甲、乙两种水稻试验品种连续 ． 年的平均单位面积产量如下（单位： 年的平均单位面积产量如下（单位： t/hm2），试根据这组数据估计哪一种 ），试根据这组数据估计哪一种 水稻品种的产量比较稳定。 水稻品种的产量比较稳定。 品种 甲 乙 第1 年 9.8 9.4 第2 年 9.9 10.3 第3 年 10.1 10.8 第4 年 10 9.7 第5 年 10.2 9.8
பைடு நூலகம்
练习

八年级数学下册 第一部分 基础知识篇 第7课 方差标准差统计量的应用例题课件

八年级数学下册 第一部分 基础知识篇 第7课 方差标准差统计量的应用例题课件

A．平均数
B．加权平均数
C．中位数和众数
D．极差和方差
答案思：路由分于析方:根差据和方极差差和反极映差的数意据义的可波得动答情案．况方，差所反以映能数据够的刻波 动大画小一，组即数数据据离离散散(l程ísàn度)程的度统．计量是方差和极差．
故选：D．
第三页，共四十页。
失误(shīwù)防范
方差：
各数据与平均数的差的平方的平均数叫作这组数据的方差； 方差刻画一组数据的离散(lísàn)情况； 方差越大说明数据的波动越大，越不稳定.
根据平均数和方差(fānɡ chà)的定义，得
新数据平均数
x1 n kx1bkx2bkxnb
一 二三四 读 联解悟
新数据(shùjù)方S 差2 1 n k k x 1 1 n b x 1 kx xb 22 k x 2 xb n k x b b 2 k x bk xn b kx b2
某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
（1）该公司员工月收入的中位数是
元，众数是
元．
（2）根据上表(shànɡ biǎo)，可以算得该公司员工月收入的平均数为
6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全
体员工月收入水平较为合适？说明理由．
第十九页，共四十页。
举一反三(jǔ yī fǎn sān)
一二三四 读联解悟
重方组反 中 三 中关映 趋 数 位要差数键数 势 数(结刻据平词据 的 、论画的均：集 是 众数：一离、 散数方)情差,反况，映.离离散
重程散度要程的方度是法，三：
概差统(念计极分差量析、方
差、标准差).
第二页，共四十页。
举一反三(jǔ yī fǎn sān)

《均值、方差、标准差》课件

《均值、方差、标准差》课件

详细描述
通过对一个班级的学生成绩进行均值分析， 可以了解整体平均水平；通过方差分析，可 以了解成绩分布的离散程度，即个体成绩与 平均成绩的偏差程度；通过标准差分析，可 以进一步了解成绩分布的稳定性，即成绩分 布是否过于集中或分散。
实例二
总结词
投资组合风险的均值、方差和标准差分析有 助于评估投资组合的风险水平。
06
详细描述
方差越小，说明数据点越集中在平均值周围， 数据的离散程度越低。
方差和标准差的关系
总结词
标准差是方差的平方根
详细描述
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。标 准差的单位与数据的单位相同，而方差的单位是该数据 的单位的平方。
总结词
标准差和方差具有相同的符号
详细描述
如果数据的方差为正，则标准差也为正；如果方差为负 ，则标准差也为负。这是因为标准差是方差的平方根， 所以它们的符号必须相同。
均值、方差、标准差之间的关 系
均值和方差的关系
总结词
方差越大，数据分布越分散
01
总结词
均值相同，方差不一定相同
03
总结词
方差越小，数据越集中
05
02
详细描述
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的 指标。方差越大，说明数据点在平均值周围 的分布越分散，离散程度越高。
04
详细描述
即使两个数据集的平均值相同，它们 的方差也可能不同。这取决于数据点 与平均值的离散程度。
其中 $n$ 是数值的个数，$x_i$
是每一个数值。
计算方法
首先，将所有数值加起来得到总和。 然后，将总和除以数值的个数得到均值。
均值的应用
描述一组数据的“平均水平”。 比较不同组数据的“平均水平”。

最新-2018高中数学 第2章232方差与标准差课件 必修3 精品

最新-2018高中数学 第2章232方差与标准差课件 必修3 精品

(3) x 甲＝ x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又∵s 甲>s 乙，说明甲战士射击情况波动大． 因此乙战士比甲战士射击情况稳定.14 分
【名师点评】 (1)在解答本题(3)时，易出现 对甲、乙射击情况判断的错误，要正确理解方 差的概念． (2)解决此类题目，需要有把握数据的能力， 通过观察、分析、计算，进而比较平均数和方 差的大小，从数学理论角度出发，用数据说话， 问题不难得到解决．
例1 下列叙述不正确的是______． ①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平 ②极差描述了一组数据变化的幅度 ③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大 小 ④一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定
【思路点拨】 本题主要考察对样本的平均数， 极差，方差的理解，可用定义判断正误． 【解析】 选项①、②、③都是对三个基本概念 的正确描述，方差越大说明一组数据围绕平均数 的波动越大，所以，一个班级的数学成绩的方差 越大说明成绩越不稳定，因此选项④是不正确 的．故选④. 【答案】 ④ 【名师点评】 通过本题可以加深对概念性问题 的理解．
【名师点评】 (1)标准差公式及变形要记忆牢 固，运用熟练． (2)方差、标准差单位不一致，要注意区别．
自我挑战 2 已知一组数据 x1，x2，x3，x4 的平均数是 2，方差是13，那么数据 3x1－ 2,3x2－2,3x3－2,3x4－2 的平均数和方差分 别是________、________.
【规范解答】 (1) x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9
＋10＋4＋7)＝7， x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋ 7＋9＋5)＝7.4 分 (2)由标准差公式
s＝
n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]，

方差分析课件-PPT

方差分析课件-PPT
、 、 、 增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。

高一数学必修三课件第章方差与标准差

高一数学必修三课件第章方差与标准差

极差、四分位数间距应用
01
02
03
极差
一组数据中最大值与最小 值之差，反映数据的波动 范围。
四分位数间距
上四分位数与下四分位数 之差，反映中间50%数据 的离散程度。
应用
在数据分析中，极差和四 分位数间距常用于初步了 解数据的分布情况和离散 程度。
平均差、方差和标准差比较
平均差
所有数据与平均数之差的绝对值的平 均数，反映数据离散程度的另一种方 法。
04
概率论中方差与标准差应用
随机变量及其分布概述
随机变量定义
随机变量是描述随机试 验结果的变量，常用大
写字母表示。
离散型随机变量
取值可数的随机变量， 如抛硬币试验中的正面
、反面次数。
连续型随机变量
取值充满某个区间的随 机变量，如测量误差、
气温等。
随机变量的分布
描述随机变量取值的概 率分布，包括离散型分
的平均数。
性质
01
02
03
方差非负。
方差反映了一组数据与其平 均数的偏离程度。
04
05
如果一组数据中的每一个数 都加上或减去一个常数，方
差不变。
标准差定义及性质
定义：标准差是方差的算术平方根，用s 表示。
对于同一组数据，标准差越小，说明数 据越集中；标准差越大，说明数据越分 散。
标准差反映了数据与平均数的偏离程度 ，但与方差相比，它提供了更直观的度 量单位。
标准差
标准差是方差的算术平方根，用s表示。标准差用s表示。标 准差在数学上定义为方差的平方根，标准差与方差一样，表 示的也是数据点的离散程度。
样本波动大小描述方法
样本方差
样本方差是各样本数据与其平均 数差的平方和的平均数，用s^2 表示。样本方差用于描述样本数 据的离散程度。

人教版高中数学必修3课件第二章标准差

人教版高中数学必修3课件第二章标准差

(3)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3，若该样 本的平均值为 1，则样本方差为___2_____．
解析 由题意知15×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得 a＝－1. 所以样本方差为 s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2 ＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
课堂互动探究
解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为
x 甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，
乙的平均数为 x 乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8
＋8)＝8，
甲的标准差为
s
甲
＝
110×[8－82＋9－82＋…＋6－82]＝ 2，
乙的标准差为
s
乙
＝
110×[10－82＋9－82＋…＋8－82]＝ 530，
＝6，ຫໍສະໝຸດ 则标准差为
51×[2－62＋4－62＋6－62＋8－62＋10－62] ＝
2 2.
3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛， 四人的平均成绩和方差如下表所示：
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比 赛，最佳人选是___丙_____．(填“甲”“乙”“丙”“丁” 中的一个)
拓展提升 由图形分析标准差、方差的大小
从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第 二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相 对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．
【跟踪训练 3】 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

方差与标准差

方差与标准差

方差与标准差方差和标准差是统计学中常用的概念，用于描述数据集中的离散程度。

它们是衡量数据分布的重要指标，对研究和分析数据具有重要意义。

本文将介绍方差和标准差的概念、计算方法及其在实际应用中的意义。

一、方差的定义和计算方法方差（variance）是一组数据与其算术平均值之间的差异程度的度量。

它描述了数据相对于其均值的散布程度。

方差的计算方法如下：1. 对于总体方差：方差 = [(x1-μ)² + (x2-μ)² + ... + (xn-μ)²] / n其中，x1、x2、...、xn是总体中的各个观测值，μ是总体的均值，n是总体观测值的个数。

2. 对于样本方差：方差 = [(x1-s)² + (x2-s)² + ... + (xn-s)²] / (n-1)其中，x1、x2、...、xn是样本中的各个观测值，s是样本的均值，n是样本观测值的个数。

方差越大，表示数据的离散程度越高；方差越小，表示数据的离散程度越低。

二、标准差的定义和计算方法标准差（standard deviation）是方差的平方根，它代表了数据的平均离散程度。

标准差的计算方法如下：1. 对于总体标准差：标准差= √方差2. 对于样本标准差：标准差= √方差标准差与方差具有相同的变异性度量，但由于标准差和原始观测值具有相同的单位，因此在实际应用中更常用。

三、方差与标准差的意义和应用1. 数据分布描述：方差和标准差可用于描述数据的分布情况，通过衡量数据的离散程度，可以了解数据的集中程度和分散程度。

比如，在销售额的统计分析中，方差和标准差可以反映不同产品销售的波动情况，从而帮助企业进行销售策略的制定和调整。

2. 预测及决策支持：方差和标准差还可以用于预测和决策支持。

在金融领域，标准差常用于度量资产收益的风险。

投资者可以通过计算不同投资组合的标准差，选择合适的投资组合，以实现资产配置的优化。

方差与标准差[下学期]--华师大版-

方差与标准差[下学期]--华师大版-
公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动 大小的重要的量．
如
说。 我抽出一张百元纸钞递给她：“跟你换。” “免免免，你上次给我的钱还未用完哩。” “拿去啦！”我说：“查某人罗罗嗦嗦，我再添三百块，就给你娶来卖！” 背着包包要出门口了，跟她招呼：“阿嬷，我去上班。” 她又从厨房出来问：“卷仔饼你爱
呷莫？你阿姑买一包给我，还新鲜，你带几条去办公室呷。” 卷仔饼的袋沿上还沾着米粒，我知道她将它藏在米缸里。
? 她的上睫毛往内长，一眨眼就刺，隔个数日就
得夹。我捧着她的脸，借着晨光审她，一副乖巧模样，鼻息如浮丝，我好像是年轻祖母，她是年老孙女。掀开松弛的眼皮，端详不出所以然，连毫毛都长成白色，极容易错目，只好用镊子随意试探，有没有夹到也不知道，问她：“好一点没有？”她用力眨眨眼，说：“敢呢有敢呢莫！”
继续夹吧，无论如何要夹出来，果真抽出一根白绣线，才敢嘘口气，半个早晨也过了。 如果有人踟蹰于黄河的旧河道，只为了找一株刚冒出来的秋芒，他大约能待老。 ? 小时候看阿嬷晨起梳头，及腰花发一泻而下，末梢处卷起几绺小漩涡，在床席上款款流动，一个老旧的
莫彩钱！你省钱去打金子还较赢，日后嫁人才有私房钱，免烦恼过日。” “嫁给‘憨屋伯’！”（他大概是尊很遥远、很不受尊重的神吧！）
? 渐渐地，我都不告诉她正确的价钱，一千的则说三百，三百折成一百五，随遇而安。在她的年代，百元是那么庞大的财
产，她的聘金是四百元，，可不就定了终身。 “你也把头毛用夹子夹起来，散散的看得无精神。” “散散的‘水’么。” “亲像‘－－味’！” “－－味”是乡下老家一个发了疯的少妇，现在大约已是老妇了，或者已经死了。 “喏，眼睛闭闭，我要换衫。”
年代又活过来。她的发式自从嫁给阿公之后，再也没有改变。每日早晨忙过炊事、饲畜，摸出床头草席下的一把密篦，及挂在墙壁上的“茶仔油”，慢慢地将昨日的发髻拆下。有时，我端着热粥坐在门槛上吃，长发的阿嬷看来极为陌生，尤其当她抿着嘴专心地梳头发丝时，游走的手势掩

方差与标准差

方差与标准差

课外作业： 课外作业：课本第81页． 同步作业
由此可知,甲的成绩分散程度大,乙的成绩分散程度小.据此可以估计,
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s2——方差来代替 标准差作为测量样本数据分散程度的工具
− − − 1 2 2 s = ( x1 − x) + ( x2 − x) + L + ( xn − x) 2 . n 2
例 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量 进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
x甲 = 7，x
没有什么差异吗? 没有什么差异吗
−
−
乙
= 7
的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就 两人射击 的平均成绩是一样的 那么两个人的水平就
频率
0.3 0.2 0.1 4 频率 5 6 7 8 (甲)
甲：７ ８
７ ９ ５
４
９ １０ ７
４
甲的环数极差=10－4=6
9
10
环数
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数据间变异大，则标准差也大，反之则小．因此，标准 差越大，数据的离散程度_越__大___，标准差越小，数据的 离散程度__越__小___；
3、方差：即标准差的平方 s2 ．（1）方差的表达式：
（1）s2 方s 2 差1 n 的_[ _表( __x 达_1 _ 式__x ：__)_2 _ __( _x __2 _ __x __)_2 _ _____ __( _x __n _ __x __)_2 _]_____
创设意境
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10 次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥 的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规 律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行 研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征 （板出课题）。
（2）方差也是反映数据离散程度的特征数字．
（2）方差也是反映数据离散程度的特征数字．
5
【预习自测】
B 1．设 x1 4, x2 5, x3 6 ，则该样本的标准差为(
)
A. 3
3
B. 6
3
C. 5 3
D. 7 3
2．甲、乙两射击运动员在一次连续10 次的射击中，
C 所射中环数的平均数一样，但方差不同，则( )
9
【典例探究】
展示
例1、甲乙两人同时生产内径为24mm的一种零件。为了对两人的
生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件，测得其内
径尺寸如下(单位：mm )：
甲：22，25，23，23，27
乙：25，24，22，25，24
从生产的零件内径尺寸看，谁生产的质量较高？
变式：1、甲、乙两人数学成绩(单位 ：分)的茎叶图如图所示：
1
2.2.2用样本的数字特征估计总体的 数字特征（二）
——标准差与方差
2
【课前导学】 复习： 1、众数、中位数和平均数都是描述一组数据_特__征__信__息__ 的量．
2、两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每 次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 分别求出这两名运动员射击成绩的众数、中位数和平 均数，对这次射击情况应如何评价？
（1）
（2）
（3）
（4） 8
示例2：甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件. 为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件
中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm )
甲
X甲≈25.401
s甲≈25.401
乙
X乙≈25.406
S乙≈25.401
从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？
众数 中位数 平均数
甲
7
7
7
乙
7
7
7
3
比较分散 条 形 图
相对集中
甲的环数极差＝ 10－4＝6 乙的环数极差＝ 9－5＝4
1、极差：在一定程度上表明了样本数据的_分_散__程__度__， 它对_极_端__值__非常敏感，由此可以得到一种统计策略： “_去__掉__一__个_最__高__分__，_去_掉__一__个__最__低_分___”．
4
2、标准差：考察样本数据的_分__散__程__度__的__大__小__最常用 的统计量，是样本数据到_平__均__数__的一种_平__均__距__离___，
一般用 s 表示． （1）标准差的表达式：
s1 n[(x1x)2(x2x)2 (xnx)2]
（2）标准差的大小，受样本中每个数据的影响，如果
甲乙 85 7
（1）分别求出这两名同学的数学成绩 的平均数及标准差； （2）比较这两名同学的成绩，谈谈你 的看法。
9721 8 1468 5432 9 3889
2 10 3 5 11 0
2、(2012山东文4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，
84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A 样本数据
乙：25，2寸看，谁生产的质量较高？
解： x甲 =1 5 （ 22+25+23+23+27） =24
x甲 =x乙 ， s甲s乙
x乙 =1 5 （ 25+24+22+25+24） =24
即，甲、乙生产的 零件内径的平均数
s甲
1[(2)212(1)2(1)2+32] 5
A、他们水平相同
B、方差较大的，潜力较大
C、方差较小的，发挥较稳定 D、方差较小的，发挥较不稳定
人数
31． 0，某1篮 1，球1队2，在1一1，个1赛4，季8的. 六则场该比球赛队中平分均别每进场球进的球20个1__1数__为个：， 方差为_____1__0_/__3________。
10
5
6
0 0.5
4、某校随机调查了50名学 20 人数 生在某天各自的课外阅读所
用的时间结果如图所示，根 据条形图可得这50名学生这 10
天平均每人的课外阅读时间 5
为( B )小时
时间 0 0.5 1.0 1.5 2.0
A、0.6 B、0.9 C、1 D、1.5
7
示例1：画出下列四组样本数据的条形图， 说明它们的异同点.
都加2后所得数据，则A，B 两样本的下列数字特征对应相同的是
（ ）(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差
10
【典例探究】
例1、甲乙两人同时生产内径为24mm的一种零件。为了对两人的
生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件，测得其内
径尺寸如下(单位：mm )：
甲：22，25，23，23，27
16 5
相等，但乙的稳定 程度高，
s乙
1[1202(2)2(1)2+02]= 5
6 5
所以，乙生产的零 件的质量比甲的高 一些。
11
变式：1、甲、乙两人数学成绩(单位：
甲乙
分)的茎叶图如图所示：
85 7
（1）分别求出这两名同学的数学成绩的 9 7 2 1 8 1 4 6 8
平均数及标准差；
5432 9 3889
（2）比较这两名同学的成绩，谈谈你的
2 10 3 5
看法。
11 0
解：(1x 甲 )= 1 1 1 （ 7 5 + 7 8 + 8 1 + 8 2 8 7 8 9 9 2 9 3 9 4 9 5 1 0 2 ） = 8 8
x 乙 = 1 1 1 （ 8 1 + 8 4 + 8 6 + 8 8 + 9 3 + 9 8 + 9 8 + 9 9 + 1 0 3 + 1 0 5 + 1 1 0 ） = 9 5