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概率论第一篇1.3节

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概率论与数理统计 第一章 1.3等可能概型

概率论与数理统计 第一章 1.3等可能概型
C1C1 + C1C1 = 9⋅ 3 + 3⋅ 9 = 54 . 9 3 3 9
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球， 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本 且每个样本点 或者说基本 事件)出现的可能性相同 事件 出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古 称这样一类随机试验为古 典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤 做第一步有 完成某件事情需先后分成 个步骤,做第一步有 1 个步骤 做第一步有n 种方法,第二步有 种方法,依次类推 第二步有n 依次类推,第 步有 步有n 种方法 第二步有 2种方法 依次类推 第m步有 m种方 特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成 特点是各个步骤连续完成 则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法 则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件 中所含有的基本事件数为

概率论-第一章1.3-频率与概率 (1)

概率论-第一章1.3-频率与概率 (1)

这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带
有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符 合常情。
问题:对于一个给定的随机事件,衡量它发生可 能性大小的数量指标——概率,是如何确定的？
历史上概率的三次定义
① 古典定义 ② 统计定义 ③ 公理化定义
概率的最初定义
基于频率的定义
1930年后由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
由概率的公理化定义可推得概率的下列性质： 性质1. 不可能事件的概率为零, 即
P( ) 0
证
令 An (n 1,2,) 则 Ai
i 1

且 Ai A j
于是由可列可加性，有
P( ) P( Ai ) P( Ai ) P( )
i 1 i 1 i 1
( B A) 及 A( B A)
B
知 P( B) P( B A) P( A) 移项后即得
灯泡寿命
但是，从频率的稳定性与频率的 性质得得到启发，可以给出度量 事件发生可能性大小的概率的定 义。
频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管 每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相 同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的. 因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率 的一个近似.
A B
AB=
集合A与B的差集
集合A与B没有公共元素
事件A发生而事件B不发生
事件A与B互不相容
1.3 频率与概率
1. 理解事件频率的概念，了解概率的定义； 2. 熟练掌握概率的性质；
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事 件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小， 也就是事件的概率. 我们把衡量事件发生可能性大小的数量指标称作 事件的概率.事件A的概率用P(A)来表示.

概率论第三讲

概率论第三讲

P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8
P ( A B ) = P( A ∪ B) = 0.2
陕西科技大学
3 September 2007
第一章 随机事件与概率
第11页
课后同学问： 上例 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P ( A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) 而现在题中并未给出这一条件. 在§1.5中将告诉我们上述等式成立的 条件是 ：事件A1，A2 相互独立.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第16页
思考题
口袋中有2个白球，每次从口袋中随 机地摸出一球，并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第17页
例1.3.4
一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率. 解：用对立事件进行计算, 记 A=“至少出现一次6点”， 则所求概率为
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第20页
利用对称性
甲掷硬币n+1次，乙掷n次. (习题1.3第10题) 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率. 解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数. 因为 P(甲正>乙正)= P(n+1-甲反> n-乙反) = P(甲反-1<乙反)= P(甲反≤乙反) (对称性) = 1P(甲正>乙正) 所以 2P(甲正>乙正)=1, 由此得 P(甲正>乙正)=1/2

第一章概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念

例1.６.1 在10个产品中有7个正品，3个次品， 按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求 ①两次都取到次品的概率； ②第二次才取到次 品的概率； ③已知第一次取到次品，第二次又 取到次品的概率。
解：设A={第一次取到次品}，B={第二次取到次品}，
（1）P（AB）=(3×2)/(10×9) =1/15 （2）P（ A B ）=(7×3)/(10 × 9)=7/30 （3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)= (1/15)/(3/10)
第1.6节 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式
一、条件概率 1、定义 对于两个事件A、B，若P（A）＞0， 则称P（B|A）=P（AB）/P（A）为事件A出现 的条件下，事件B出现的条件概率。 注意:区别P（B|A）与P（AB）. 例 有10个人,其中色盲者3人,从这10人中每次任取 一人,共取两次。 设A＝｛第一次取出色盲｝ Ｂ＝ ｛第二次取出色盲｝ 则 P(B|A)＝２/９ Ｐ(AＢ)=1/15 P(Ａ)=3/10
1.5.2. 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A
与B 都 不发生 的概率为 0.15 ,求 A发生B不发生的概率；B 发生 A不发生的概率及P(A+B). 解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1，P（ B ）=0.15， A
则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5 P（B-A）=P（B）-P（AB）
解：设A = { 取 到 的 两 个 都 是 次 品}，B={取到的两个中正、 次品各一个}, C={取到的两个中至少有一个正品}. （1）基本事件总数为62，有利于事件A的基本事件数为22， 所以P（A）=4/36=1/9 （2）有利于事件B的基本事件数为4×2+2×4=16， 所以P（B）=16/36=4/9 （3）有利于事件C的基本事件数为62-2×2=32， P（C）=32/36=8/9 注意①若改为无放回地抽取两次呢? ②若改为一次抽取两个呢？

(完整版)《概率论与数理统计》讲义

(完整版)《概率论与数理统计》讲义

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

概率论与数理统计 1-3

概率论与数理统计 1-3

3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有


P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)

90 100
,
P(
A2
|
A1 )

89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)

概率论lecture1.3-1.4

概率论lecture1.3-1.4第1章 1.3-1.4主要讲解内容：概率的概念、古典概率的运算本节考研大纲：理解概率的概念、掌握概率的基本性质、会计算古典概率。

讲课过程（80分钟）：二、教学过程与教学组织设计本节课内容讲解及时间分配（80分钟）问题：本课程的对象是概率，那么概率是什么，是如何定义的呢？关于概率有不同的定义。

1.笼统定义：（5分钟）概率是随机事件发生大小的可能性的数字表征，即：概率是事件的函数。

复习：什么是函数？函数是数到数的映射（mapping ）随机事件的概率是集合到数的映射。

【0，1】2．概率的统计定义（频率派）（30分钟）A ：独立重复做n 次试验，若其中事件A 发生了k 次，事件A 发生的次数k 称为事件A 发生的频数。

比值k/n 称为事件A 发生的频率，并记成fn(A).当n → 时，fn 就会在某个值p 附近晃动，我们把这个值成为事件A 的概率，记为P(A)=p.概率的公理化定义：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A 的概率，如果集合函数P(A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A ，有01)(≤≤A p（2）规范性：对于必然事件S ，有P(S)=1（3）可列可加性：若A1,A2,…,Ak 两两互不相容，则P （A j k i 1=）=∑=ki i A p 1)( 则：P ：S —>【0.1】称为S 上的一个概率。

概率性质性质1：P(φ)=0 性质2（有限可加性）若A1,A2,…,An 是两两互不相容的事件，则有P （A j ki 1=）= ∑=k i i A p 1)(性质3：设A,B 是两个事件，若A ?B,则有P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)≥p(A)性质4：对于任一事件A ，P(A)≤1性质5：（逆事件的概率）对任一事件A ，有P(A -)=1-P(A)性质6：（加法公式）对任意两事件A ，B 有P(A B)=P(A)+P(B)-p(AB)3.主观概率定义：（5分钟）对有的自然状态无法重复试验的合理的信念的测度。

概率论第一章PPT课件


2021/3/24
-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
2021/3/24
-
8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
2021/3/24
-
20
§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
2021/3/24
样本点
-
21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。

概率论与数理统计1.3 概率的古典定义

试验
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数
样本空间
Ω ={1，2，3，4，5，6} 事件A
事件A的概率
n=6
={4，6} m=2 Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”
m 2 1 P( A) n 6 3
不是古典概型的例子 1.掷两枚硬币{全H,一个H一个T,全T},则 n=3,A={掷两次出现至少一次H},P(A)=? 2/3?显然不对,原因是基本事件不是等概率的. 2.掷2个骰子出现的点数之和{2,3,…,12},不是 等概率的.
(2,6),(3,5),(4, 4),(6, 2),(5,3)
所以
11 5 P( A) , P(B) 36 36
3. 包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行， 求甲与乙相邻的概率。若这10个人随机地排成 一圈，又如何呢？
解 总的基本事件数为
10!
排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为
a a a b 1 1 Ca b1 Ca b1Ca Cb1 C1
因此，
a Ca b 1 b p a Ca b a b
1.从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只， 问能凑成两双的概率是多少？ 解 设事件A =“能凑成两双鞋”, 总的基本事件数： C
4 10
有利事件数：C
b( a b 1)! b p (a b)! ab
解法2：
a N Ca b , 不区分同色球，所有的排法共有 再将所有的位置分成两类：第k个位置和剩余的（a+b-1) 个位置，放球顺序： （1）先放置第k个位置:从一个位置上挑一个位置,在b个黑球 中取一个,当然有b种方法,由于不区分 ,除去b,所以还是1. （2）再放置剩余的（a+b-1),从中挑a个位置,放进a个白球,在 剩余的b-1个位置上放进b-1个黑球.

概率论第一章ppt课件


A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。
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n
n
U P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) L (1)n1 P( A1A2 L An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
维恩图 B AB A
证明
P(A U B) P(A U BA) P(A) P(BA) P(A) P(B) P(AB)
n)!
1.3.4 概率的连续性——极限
定义： 对 F中的任意单调不减的事件序列 F1 F2 L Fn L ,
称可列并
U Fn
为 Fn 的极限事件，记为
n 1
U lim
n
Fn
Fn
n1
对F 中的任意单调不增的事件序列 E1 E2 L En L ，称 I En 为 En的极限事件，记为 n 1
(1)n 2时，显然有 P( A1 U A2 ) P( A1) P( A2 ) P( A1A2 )
(2)假设n m 时，有
m
m
U P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) L (1)m1 P( A1A2 L Am ) m
来自“概率”理论的质疑
统计学进入文学领域后，高鹗续写的定论遭到了计 算机的质疑。 1981年，首届国际《红楼梦》研讨会 在美国召开，美国威斯康星大学讲师陈炳藻独树一 帜，宣读了题为《从词汇上的统计论〈红楼梦〉作 者的问题》的论文，首 次借助计算机进行《红楼梦》 研究，轰动了国际红学界。陈炳藻从字、词出现频 率入手，通过计算机进行统计、处理、分析，对 《红楼梦》后40回系高鹗所作这一 流行看法提出异 议，认为120回均系曹雪芹所作。
1.3 概率的性质
任课教师：侯雅文 2011年9月14日
《红楼梦》的作者到底是谁？
《红楼梦》成书迄今已逾200年，作为中 国历史上最有影响的小说之一，《红楼 梦》有各种不同的版本、数十种续书， 流传到世界各国，被翻译成多种文字， 感动 了不同民族的长期以来，人们普遍 认为曹雪芹只写了《红楼梦》的前80回， 后40回是高鹗续写的，你认为这是真的 吗？
AB
1.3.2 概率的单调性
若 AB 则 P(A) P(B)
因为 P(A B) P(A) P(B) 0
所以 P(A) P(B)
1.3.2 概率的单调性
对任意两个事件 A, B ，有
P( AB) P( A B) P( A) P( AB)
证明：因为
P(A) P(A B) U AB P(A B) P(AB)
半可加性
对任意两个事件A和B，有
P(A B) P(A)+P(B)
对任意n个事件 A1, A2 ,L An ，有
n
n
P(UAi ) P(Ai )
i 1
i 1
证明-课下思考
m
m
P(UAi ) P( Ai )
i1
i1
m
m
U P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
i1
i1
A1 U A2 UL U An A1 U A2 UL U An U U UL
P( A1 U A2 UL U An ) P( A1 U A2 UL U An U U UL ) P( A1) P( A2 ) L P( An ) P() L P( A1) P( A2 ) L P( An )
概率 1-(25/36) 24=0.99 1-(35/36)24=0.49
1.3.2 概率的单调性
若 AB
则 P(A B) P(A) P(B)
证明：因为 A B
所以
P(A) P(B U AB) PB U(A B) P(B) P(A B)
故
P(A B) P(A) P(B)
维恩图
教学目标
掌握概率的可加性、单调性和加法公式， 并使用公式进行计算。
了解概率的连续性
教学内容
概率的可加性 概率的单调性 概率的加法原则 概率的连续性
概率的公理与计算回顾
三条公理化定义 事件的关系 事件的运算 事件的运算性质
不可能事件的概率
P() 0
证明：
因为 U U UL U UL
若P是F上的概率，则P既是下连续又是上连续的。
先证P的下连续性
设 Fn是 F 中一个单调不减的事件序列，即
令 F0 ，则
U lim
n
Fn
Fn
n1
由于 Fi1 Fi
U U Fi (Fi Fi1)
i 1
i 1
，显然各 (Fi Fi1)
两两互不相容，根据可列可加性得
概率的连续性
U U P( Fi ) P( (Fi Fi1))
那么，n m 1 时，有
归纳法
m1
m
m
m
U U U U P( Ai ) P( Ai U Am+1) P( Ai ) P( Am+1) P[( Ai ) Am+1]
i 1
i 1
i 1
i 1
m
P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) L (1)m1 P( A1A2 L Am )
以下命题是否成立？
若A、B、C满足ABC=ø,它们一定两 两互不相容。
有限样本空间中的样本点一定是等概 率的。
概率为0的事件是不可能事件。
I lim
n
En
En
n 1
。
1.3.4 概率的连续性——连续
对F上的一个概率P，若它对F中任一单调不减的事件序列
Fn均成立
lim
n
P(Fn
)
P( lim n
Fn
)
则称概率P是下连续的。
若它对 F中的任一单调不增的事件序列{En}均成立
lim
n
P(En
)
P( lim n
En
)
则称概率P是上连续的。
概率的连续性
2个6点，玩家赢，否则庄家赢。 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵
族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷 四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将 两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很 少。
练习1-答案
掷一颗骰子4次，至少出现一次6点的概率 1-(5/6)4=0.52 掷两颗骰子24次，至少出现一次双6点的
Cn2
(n
2)! n！
Cn3
(n
3)! n！
L
(1)n1Cnn
(n
n)! n！
1 1 1 L (1)n1 1
2! 3!
n!
1 1 0.633 e
练习2
10对夫妻坐成一圈，计算没有一对 夫妻坐在一起的概率。
n对夫妻坐在一起的概率
P( Ai1 Ai2 L
Ain
)
2n (19 19!
1i jm
m
m
U P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i1
i1
1i jm
1i jkm
m
U 提示： Ai =A1 U A1A2 U A1A2 A3 UL U A1A2 L Am-1Am
i1
例1.3.6
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带 了一件礼物，且假定每个人带的礼物都不 相同。晚会期间各人从放在一起的个礼物 中随机地抽取一件，求至少有一个人自己 抽到自己的礼物的概率。
i 1
1i jm
1i jk m
P( Am+1) P( A1 Am+1 U A2 Am+1 UL U Am Am+1)
m
P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) L (1)m1 P( A1A2 L Am )
i 1
1i jm
1i jk m
m
P( Am1) P( Ai Am+1)
概率论的起源
帕斯卡、费尔马和惠更斯： 1657年； 《论掷骰子游戏中的计算》
当时法国贵族盛行掷骰子游戏，游戏规则 是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点， 则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来 看，庄家输少赢多，而玩家总是输多赢少。
概率论的起源
后来为使游戏更刺激，游戏规则有了变化。 玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现
所以 P(A B) P(A) P(AB)
例1.3.3
口袋中有编号为1，2，…，n的n个球，
从中有放回的任取m次，求取出m个球的
最大编号为k的概率。
3
4
2
1 ……
…
…
… …n
1.3.3 概率的加法公式
加法公式
对任意两个事件A, B ，有
P(AUB) P(A) P(B) P(AB)
对任意n个事件 A1, A2,L An，有
i 1
i 1
P(Fi Fi1)
i 1
所以，
P( lim n
Fn
)
lim
n
P(Fn
)
n
lim
n
i 1
P(Fi
Fi 1 )
即P是下连续的。
n
U
lim
n
P(
i 1
(Fi
Fi 1 ))
n
U lim P( n
Fi )
i 1
lim
n
P(Fn
)
可列可加性的充要条件
性质1.3.8 若P(·)是事件域F上满足：非负、正则的集合 函数，则P(·) 有可列可加性的充要条件是它 具有有限可加性和下连续性。
P( A) 1 P( A)