概率论第七章第三节
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概率论与数理统计第一章第三节(概率统计)页数:32
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概率论(仅供参考)
前言由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点 内部使用，仅供参考，不承当任何后果。
参考： 课本 课件第一章该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解第一节重点：德·摩根律公式交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C ）（A∩B)∩C=A∩(B∩C ）分配律：A∩(B ∪C) = (A∩B)∪( A∩C )A ∪(B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C ） 德·摩根律A B AB A B A B ==第二节频率性质1. 样本任意一事件概率不小于0（非负性）2. 样本事件概率和为1（规范性）3. 如果AB 互斥 ()()()n n n f A B f A f B =+4. 如果AB 不排斥 ()()()()n n n n f A B f A f B f A B =+-⋂5. ()1().P A P A =-第三节 古典概型性质1. 样本空间中样本点有限，既事件有限2. 样本点概率等可能发生3. ()==k A P A n 中所含的基本事件数基本事件总数例题排列组合问题（要是考应该不会太难）几何概型求法：1.求出状态方程2.根据定义域画图3.求概率=阴影面积/总面积第四节条件概型公式：()()()() (|).()()()()AB AB P AB P A BB B P BμμμΩμμμΩ===条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题11()()()()n ni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑例题 书 p251()(|)(|)()(|)i i i ni ii P A P B A P A B P A P B A ==∑第五节独立性如果AB事件独立P AB P A P B()()()若多事件相互独立，理论仍然成立贝努利概型既服从二项分布模型抽取n次的组合次数第二章重点章节，几大分布都是后几章的基础第二节 离散型随机变量及其分布律1. 两点分布、0﹣1分布既随机变量 X 只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币 记为 X~b （1，p ） p 表示事件的概率，样本点个数为1, 并且1-p 表示相反事件概率 2. 二项分布（应用于上章的贝努利概型）与0-1分布类似，事件执行n 次，记为 X~b （n ，p ） p 表示事件的概率 样本点个数为n 3. 泊松分布{}e ,0,1,2,,!kP X k k k λλ-===⋅⋅⋅记为 X~π(λ)，如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的λ二项分布X~b （n ，p ）当n 充分大，p 充分小时，对于任意固定的非负整数k ，与泊松分布概率近视相等，并且λ=nb （数学期望相等） 4. 几何分布既抽取问题中可放回情况，该分布具有无记忆性-1{}(1),1,2,k P X k p p k ==-=5. 超几何分布既抽取问题不放回情况12{},0,1,2,k n k N N nNC C P X k k C-===第三节 随机变量及其分布随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题） 求事件概率公式，p511. 已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）根据公式000{}(0)(0)P X x F x F x ==+--求出各个点的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。
概率论第七章讲解
7.1
一.点估计
设总体X的分布函数为 F(x; Ө )， 其中Ө为未知参数 (Ө可以是向量) . 现从该总体抽样，得到样本X1,X2,…,Xn
从样本出发构造适当的统计量
T T (X1,, Xn )
作为参数 Ө的估计量，即点估计。 将x1,…,xn 代入估计量，得到Ө的估计值
T (x1,, xn )
2 i
i 1
例6. 设总体X的概率密度如下，其中θ>0 为未知参数,试求θ的矩估计量。
f (x; )
1
x
e , x
2
解：
E(X )
x
1
x
e dx 0
2
E(X 2)
x2
1
x
e
dx
1
x2
x
e
dx
2
2
2
0
2 2
1 n
n i 1
X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 i
ˆ
1 2n
n i 1
X
2 i
例1. 设总体X的分布律如下，其中θ为 未知参数,试求θ的矩估计量。
X1
2
3
P 2 2 (1 ) (1 )2
解：E(X ) 1 2 2 2 (1 ) 3(1 )2 3 2
E(X ) 3 2
1 n
n i 1
Xi
X
ˆ 3 X
2
例2. 设总体X~B(n,p)，其中n已知。 试求p的矩估计量。
（假定身高服从正态分布 N (,0.12 ) ）
现从该总体选取容量为5的样本，我们 的任务是要根据选出的样本（5个数）求出
总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数
概率论第7章7-3
因为
2
n n1
2
ˆ
2
S
2
n1
1
n
( X i X ),
2
i 1
即 S 是
的无偏估计
, 故通常取
S 作 的估计量
2 2
.
例3
n n1
设总体
X 在 [0, ]上服从均匀分布
, 参数 0, 2X 和 .
X 1 , X 2 , , X n 是来自总体
X 的样本，试证明
1 n 0 , 有 lim P X i 1 , n n i 1 n 1 所以 X X i 是 的相合估计量 . n i 1
又 B2
n
1
n
1
n
(Xi X )
2
i 1
n
1
n
(Xi 2XiX X )
, 方差
,则
2
2
0 都存在的总体
,若
2
的估计量 ).
2
ˆ
2
n
1
n
(Xi X )
i 1
是 有偏的 (即不是无偏估计
证
因为
ˆ
2
1 n
i 1
2
n
X i X A2 X ,
2 2
2
E ( A2 ) 2
,
2 2
又因为 所以
E ( X ) D ( X ) [ E ( X )]
2
2
2
i 1
n
Xi X
2
2
A2 X ,
概率论第七章 第三节.ppt
取置信水平为0.95的置信区间。 解：
例题5：设总体 X～N(μσ2),其中参数均未知，设 X1,X2,…,Xn为来自总体的样本。求μ的置信水平为1-α的置 信区间的长度L的平方的数学期望与方差。 解：
从而得：
从而得：
正态总体方差的区间估计
Step1:由前面一章的定理可得样本方差构成的 随机变量W：
样本均值、样本方差
未知
设置信水平为α，试求σ12/σ22置信区间。 Step1:由前面一章的定理可得样本均值构成的随机变量W：
Step2:对所给的置信水 平α，有：
Step3: 从不等式中解出均值方差比得： 因此方差比的置信区间为：
例题:研究由机器A、B生产的钢管的内径，它们分别服从正态 分布(μ1,σ12),N(μ2,σ22).随机抽取机器A生产的钢管18只，测 得样本方差为0.34mm2;随机抽取机器B生产的钢管13只，测 得样本方差为0.29mm2;试问在置信水平0.90下方差是否有明 显区别？
解00110901查表得20051645zz再由样本可算出161116212516iinxx于是所求的置信区间为例题2设总体x服从正态分布n1252问抽取样本容量为多大的样本才能使总体均值的置信水平为095的置信区间的长度不大于049解1251095005查表得于是置信区间的长度为例题3设从总体x中抽取一个样本050125080200如果总体的函数ylnx服从正态分布n11求总体均值ex
区间估计
理解区间估计的概念，置信水平与置信区间 的概念。 会求正态总体的均值与方差的置信区间。
问题提法
这种形式的Leabharlann 数估计方法称为区间估计 .置信区间与置信水平
定义：设总体X的分布函数中含有一个未知参数θ，对 于给定的小数α(0<α<1)，如果能由样本 X1,X2,…,Xn 确定两个统计量：
例题5：设总体 X～N(μσ2),其中参数均未知，设 X1,X2,…,Xn为来自总体的样本。求μ的置信水平为1-α的置 信区间的长度L的平方的数学期望与方差。 解：
从而得：
从而得：
正态总体方差的区间估计
Step1:由前面一章的定理可得样本方差构成的 随机变量W：
样本均值、样本方差
未知
设置信水平为α，试求σ12/σ22置信区间。 Step1:由前面一章的定理可得样本均值构成的随机变量W：
Step2:对所给的置信水 平α，有：
Step3: 从不等式中解出均值方差比得： 因此方差比的置信区间为：
例题:研究由机器A、B生产的钢管的内径，它们分别服从正态 分布(μ1,σ12),N(μ2,σ22).随机抽取机器A生产的钢管18只，测 得样本方差为0.34mm2;随机抽取机器B生产的钢管13只，测 得样本方差为0.29mm2;试问在置信水平0.90下方差是否有明 显区别？
解00110901查表得20051645zz再由样本可算出161116212516iinxx于是所求的置信区间为例题2设总体x服从正态分布n1252问抽取样本容量为多大的样本才能使总体均值的置信水平为095的置信区间的长度不大于049解1251095005查表得于是置信区间的长度为例题3设从总体x中抽取一个样本050125080200如果总体的函数ylnx服从正态分布n11求总体均值ex
区间估计
理解区间估计的概念，置信水平与置信区间 的概念。 会求正态总体的均值与方差的置信区间。
问题提法
这种形式的Leabharlann 数估计方法称为区间估计 .置信区间与置信水平
定义：设总体X的分布函数中含有一个未知参数θ，对 于给定的小数α(0<α<1)，如果能由样本 X1,X2,…,Xn 确定两个统计量：
[学习]概率论与数理统计浙大四版第七章第七章3讲
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•长度 它准则.
尽可能短，或能体现该要求的其
•可靠度与精度是一对矛盾， •一般是在保证可靠度的条件下
•尽可能提高精度.
•关于定义的说明
•若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) •按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
•例如
•二、置信区间的求法 • 例1 设X1,…Xn是取自
•求参数 的置信度为
•的点 为X的概率分布的上 分位数.
• 设0< <1, 对随机变量X，称满足
•的点
为X的概率分布的上 分位数.
•标准正态分布的 •上 分位数
•例如:
• 设0< <1, 对随机变量X，称满足
•的点
为X的概率分布的上 分位数. •自由度为n的 • 分布的上 分位数
•例如:
• 设0< <1, 对随机变量X，称满足
•设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值
•解
•附表3-1
•就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与 507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
•这个误差的可信度为95%.
•推导过程如下: •根据第六章第二节定理二知
•进一步可得:
•注意: 在密度函数不对称时, •习惯上仍取对称的分位点 来确定置信区间(如图).
•1.
•由例1可知:
••例2 包糖机某日开工包了12包糖,称得质量( 单位:克)分别为 5•50163,,550201,,459250,,485182,5,4084,5.48假6,设50重5,量服从正态分布,
•解
•..\新建文件夹4\2-1.ppt2-1
•查表得
•附表2-2
•推导过程如下:
••例3 有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得 重量(克)如下:
概率论第七章
例 8．求例 2、3 中 X 与 Y 的协方差。
相关系数定义
定义 5 设 ( X , Y ) 是一个随机向量，当 DX > 0 ，
DY > 0 时，称
X − EX Y − EY ρ ( X ,Y ) = E DX DY
为 X 与 Y 的相关系数。
注： （1） ρ ( X , Y ) = E ( X Y
∗
∗
)
。
（2）
D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ±2 ρ ( X , Y ) DXDY
例 9．求例 2、3 中 X 与 Y 的相关系数。
相关系数的性质） 定理 5 （相关系数的性质 相关系数的性质 当 DX > 0 ， DY > 0 时， （1） ρ ( X , Y ) = ρ (Y , X ) ； （2） ρ ( X , Y ) ≤ 1 ；
例 18．设 X ∼ N ( 0,1) ， 1）求 P ( X < 2 ) ； （ （2）估计 P ( X < 2 ) 的下界。
定理 9
柯西-许瓦兹不等式：设 ( X , Y )
是任意一个二维随机变量，则
( E ( XY ) )
2
≤ E(X
2
) E (Y ) 。
2
五、中心极限定理
• 大数定律 • 中心极限定理
(b − a ) DX =
12
1
2
5．指数分布 E ( λ ) ： DX =
6．正态分布 N ( µ , σ 2 ) ： DX = σ 2
λ2
方差性质
定理 3 设 k 与 c 都是常数。 （1） D ( c ) = 0 ；反之，如果某个随机变量 X 的方 差为 0，那么， P ( X = c ) = 1 ，其中 c = EX ； （2） D ( kX + c ) = k 2 D ( X ) ； （3）
概率论第七章
即得 的矩估计量为 ˆ 2 X
设总体 X 的概率密度函数为 1 ( x ) / ,x e f ( x) 0 , 其它 其中 0 , , 是未知参数,( X 1 ,, X n )是总体 X 的样本,求 , 的矩估计量.
当总体 X 是连续型时,它是样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的 联合概率密度函数在( x1 , x2 ,, xn )的值,可以看成是
( X 1 , X 2 ,, X n ) 取可能值( x1 , x 2 ,, xn )的概率的“密
度” （在一个单位量纲上的概率）.总之,它是与试验结 果相联系的概率有关.
1 2 n 1 2 n
H 取值的可能范围○内与 的真值“看起来最像”(这正 是“极大似然”这四个字在字面上的意思)的那个值, ˆ 因此,一个自然的想法就是用 ( x1 , x 2 ,, x n ) 作为 的
估计值.
定义 设 L( ) L( ; x1 , x2 ,, xn ) 是似然函数,若存 ˆ ˆ 在 ( x , x ,, x ) 使得
是 0 的估计量,称 T ( x1 , x2 ,, xn ) 是 0 的估计值.
注释 1
为了简单起见,我们将不再区分“流动”
的 参 数 及 真 值 0 , 即 统 一 地 都 说 成 , 并 称
T T ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 的估计量.上述定义明
1 n k P Ak X i k . 即有 n i 1 也就是说,当样本的容量趋于无穷时,样本 k 阶矩依概 率收敛于相应的总体 k 阶矩.
因此当样本容量n较大时可以用样本的r阶矩来作为总 体的r阶矩的一个估计,这时所得到的估计就是矩法估计.
概率论与数理统计-第七章
1 1 f (x; µ,σ ) = exp[− 2 (x − µ)2 ] 2σ 2πσ n 1 1 2 L(µ,σ ) = ∏ exp[− 2 (xi − µ)2 ] 2σ 2πσ i=1
2
= (2π ) (σ ) exp[−
2
2
−
n 2
−
n 2
1 2σ 2
( xi − µ ) 2 ] ∑
i =1
n
n
设总体X~U[a,b]，其中 ，b是 例3. 设总体 ，其中a， 是 未知参数。试求a， 的矩估计量 的矩估计量。 未知参数。试求 ，b的矩估计量。 解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.
1 n 1 ∑Xi = E(X) = 2 (a +b) n i=1 1 n 2 Xi = E(X 2 ) = D(X) +[E(X)]2 ∑ n i=1 1 1 2 = (b − a) + (a +b)2 12 4
解：白球所占比例p=1/4或3/4. 白球所占比例 或 X:任取 个球中白球的个数，X~B(3, p) 任取3个球中白球的个数 任取 个球中白球的个数，
P( X = 2) = C p (1− p) = 3p (1− p)
2 3 2 2
1 9 , p = 4时 P(X = 2) = 64 p = 3时 P(X = 2) = 27 , 4 64
1 n ˆ (1)µ = X = ∑Xi是 体 值 的 偏 计 ; 总 均 µ 无 估 量 n i=1 1 n ˆ (2)σ 2 = S2 = ( Xi − X )2是 体 差 2的 总 方 σ ∑ n −1 i=1 无 估 量. 偏 计
n −1 2 D(X) = S n 即可解出未知参数的估计量。 即可解出未知参数的估计量。
2
= (2π ) (σ ) exp[−
2
2
−
n 2
−
n 2
1 2σ 2
( xi − µ ) 2 ] ∑
i =1
n
n
设总体X~U[a,b]，其中 ，b是 例3. 设总体 ，其中a， 是 未知参数。试求a， 的矩估计量 的矩估计量。 未知参数。试求 ，b的矩估计量。 解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.
1 n 1 ∑Xi = E(X) = 2 (a +b) n i=1 1 n 2 Xi = E(X 2 ) = D(X) +[E(X)]2 ∑ n i=1 1 1 2 = (b − a) + (a +b)2 12 4
解：白球所占比例p=1/4或3/4. 白球所占比例 或 X:任取 个球中白球的个数，X~B(3, p) 任取3个球中白球的个数 任取 个球中白球的个数，
P( X = 2) = C p (1− p) = 3p (1− p)
2 3 2 2
1 9 , p = 4时 P(X = 2) = 64 p = 3时 P(X = 2) = 27 , 4 64
1 n ˆ (1)µ = X = ∑Xi是 体 值 的 偏 计 ; 总 均 µ 无 估 量 n i=1 1 n ˆ (2)σ 2 = S2 = ( Xi − X )2是 体 差 2的 总 方 σ ∑ n −1 i=1 无 估 量. 偏 计
n −1 2 D(X) = S n 即可解出未知参数的估计量。 即可解出未知参数的估计量。
概率论第七章
L
2
n
z
/2
最短。
例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼
儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假设标准差
0 7，置信度为95%; 试求总体均值μ的置信区间 解 已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得：
⑵ 方差 2未知，估计均值μ
因为 S 2是 2 的无偏估计。
可用样本方差：S 2
1 n
1
n i 1
(Xi
X
)2
而选取样本函数 t X ~ t(n 1)
S/ n
对于给定的1, 查 t 分布表，得临界值 1 , 2
使 P{ 1 t 2 } 1 我们取对称区间
即P{t / 2
第三节 区间估计
第七章
一 、置信区间
二 、正态总体均值与方差的区间估计
三 、两个正态总体均值与方差 的区间估计
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算 得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似 值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好 弥补了点估计的这个缺陷 .
n
z /2 ] 简记为 [ X
n
z / 2 ]
例 若取 0.05 ,1 0.95 , 1, n 16
查表得 z /2 z0.025 1.96 ，若由一个样本
值算得样本均值的观察值 x 5.20 则得到一个置信度为0.95的μ的置信区间 (5.20 0.49) (4.71, 5.69)
可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度.
假设检验二项分布与正态分布
第七章假设检验有了概率和概率分布的知识，接下来我们要逐步掌握统计检验的一般步骤。
既然按照数学规则得到的概率都不能用经验方法准确求得，于是，理论概率和经验得到的频率之间肯定存在某种差别，这就引出了实践检验理论的问题。
第一节二项分布二项分布是从著名的贝努里试验中推导而来。
所谓贝努里试验，是指只有两种可能结果的随机试验。
每当情况如同贝努里试验，是在相同的条件下重复n次，考虑的是“成功” 的概率，且各次试验相互独立，就可利用与二项分布有关的统计检验。
虽然许多分布较之二项分布更实用，但二项分布简单明了，况且其他概率分布的使用和计算逻辑与之相同。
所以要理解统计检验以及它所涉及的许多新概念，人们几乎都乐意从二项分布的讨论入手。
1.二项分布的数学形式二项试验中随机变量X的概率分布，即P(X=X) = C x p x q n-x on(7. 3)2.二项分布的讨论(1)二项分布为离散型随机变量的分布。
(2)二项分布的图形当p = 0. 5时是对称的，当p W 0. 5时是非对称的，而当n愈大时非对称性愈不明显。
(3)二项分布的数学期望E(X)=〃 = np，变异数D(X) = O2= npq。
(4)二项分布受成功事件概率p和试验次数n两个参数变化的影响，只要确定了p和n, 成功次数x的概率分布也随之确定。
因而，二项分布还可简写作B(x；n, p)。
(5)二项分布的概率值除了根据公式直接进行计算外，还可查表求得。
第二节统计检验的基本步骤概率分布不是一种研究者从资料中看到的分布，我们讨论它，不是出于对数学的爱好，而是因为统计推论的有关工作需要它。
所有的统计检验都包含某些特定的步骤：(1)建立假设；(2)求抽样分布(所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布)；(3)选择显著性水平和否定域；(4)计算检验统计量；(5)判定。
1.建立假设统计检验是将抽样结果和抽样分布相对照而作出判断的工作。
取得抽样结果，依据描述性统计的方法就足够了。