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0
2
1
3
1
3
(2) P{X 1,Y 3} dx dyf (x, y) dx dyf (x, y) 3k 3 / 8
0
2
(3) P{X 1.5}
1.5
dx
dyf (x, y)
1.5
dx
4
27 27
dyf (x, y) k
Y
0
2
4 32
(4) 4
2
P{X Y 4}
f (x, y) f X (x) fY ( y)
所求概率计算如下：
P{X Y} G f (x, y)dxdy
Y
G
O
y=x
x 0, y 0
G
:
y
x
X
5
第3章 多维随机变量及其分布
P{X Y} G f (x, y)dxdy
y
dy
0
0 dxf X (x) fY ( y)
dy
0
y
G
dy
0
dx e y
1x2 y
0
12
1 1 2
Y
y=x
G
O
X
x 0, y 0
G
:
y
x
8
第3章 多维随机变量及其分布
5. 设随机变量(X,Y)具有分布函数
1 ex e y exy , x 0, y 0,
F(x, y) 0,
其他
求边缘分布函数.
解：根据二维连续型随机变量边缘分布函数的定义式
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i}
0, j i or j i 2
1 2
C2i
(
1 2
)i
(1
1 2
)2i
,
i 0,1,2; j i or i 1
10
第3章 多维随机变量及其分布
习题6
联合分布律表(含边缘分布)
X
0
1
2 P{Y=j}
Y
0
1/8
0
0 1/8
0 dxf X
(x)
fY
( y)
0dyFX ( y) fY ( y)
0dxFX (x) fY (x)
得证。
习题4(1)
因为X是非负的， 故其分布函数为
x
FX (x) 0 f X (t)dt
6
第3章 多维随机变量及其分布
习题4(2)
4. 设X, Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独 立. (2) 设X,Y相互独立，其概率密度分别为
概率论与数理统计
作业习题解答
教材：盛骤 等《概率论与数理统计》 第4版. 高等教育出版社, 2008
1
第3章 多维随机变量及其分布
习题2(1)
2(1)盒子里装有3只黑球、2只白球、2只红球，在其中任取4只球。以X表示取 到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求X,Y的联合分布律。
解： 联合分布律为
1
dx
dyf (x, y)
1
dx
1 dycx2 y 4c
c 21
1 x2
21
4
13
第3章 多维随机变量及其分布
(2) 解：根据边缘概率密度的定义可得
2
dx
4x dy f (x, y) 16 k 2
0
2
33
0
2
4X
4
第3章 多维随机变量及其分布
习题4(1)
4. 设X, Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独 立.
(1) 证明
P{X Y} 0FX (x) fY (x)dx
其中FX(x)是X的分布函数，fY(y)是Y的概率密度.
(1)
证：因为相互独立，故联合概率密度为
eydy ex ,
x
x0
fY ( y)
f (x, y)dx
y eydx yey ,
0
y0
习题8
12
第3章 多维随机变量及其分布
9. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
cx2 y, x2 y 1 f (x, y) 0, 其他
(1) 确定常数c; (2) 求边缘概率密度.
习题9
(1) 解：根据概率密度的归一性要求可得
1
1/8 1/4 0 3/8
2
0
1/4 1/8 3/8
3
0
0 1/8 1/8
P{X=i} 1/4 1/2 1/4 1
11
第3章 多维随机变量及其分布
8. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
e y , 0 x y
f (x, y) 0,
其他
求边缘概率密度.
解： f X (x)
f (x, y)dy
3
第3章 多维随机变量及其分布
3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为
习题3
k(6 x y), 0 x 2, 2 y 4,
f (x, y) 0,
其他
(1)确定常数k；(2)求P{X＜1,Y＜3}；(3)求P{X＜1.5}；据概率密度的性质和含义
2
4
(1) dx dyf (x, y) 1 8k 1 k 1/ 8
f
X
(
x)
1e1x
0,
,
x0 其他
求P{X<Y}.
fY
(
y)
2e2
0,
y
, y0 其他
(2) 解：联合概率密度为
f
(x, y)
f X (x) fY ( y)
12e1x2y ,
0,
x 0, y 0 其他
7
第3章 多维随机变量及其分布
习题4(2)
所求概率计算如下：
P{X Y}
f (x, y)dxdy
解：观察分布律表： P{X ＞Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}+…+P{X=3,Y=2}=19/35
P{Y=2X}=P{X=1,Y=2}=6/35
P{X+Y=3}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P{X=3,Y=0}=20/35
P{X＜3-Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+…+P{X=2,Y=0}=10/35
P{X
m,Y
n}
C3mC2nC24mn C74
,
m
0,1, 2,3;
n
0,1, 2
X0 Y
0
0
1
0
2 1/35
P{X=m} 1/35
1
2
0 6/35 6/35 12/35
3/35 12/35 3/35 18/35
3 P{Y=n}
2/35 5/35 2/35 20/35
0 10/35 4/35 1
1 ex , x 0
FX
(x)
F
(
x,
y
)
0,
其他
习题5
1 e y , y 0
FY
(
y)
F
(x
,
y)
0,
其他
9
第3章 多维随机变量及其分布
习题6
6. 将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现的H的
次数，以Y表示3次中H出现的次数。求X,Y的联合
分布律以及(X, Y)的边缘分布律。
解：根据乘法定理
2
第3章 多维随机变量及其分布
习题2(2)
2(2) 在(1)中求P{X＞Y},P{Y=2X},P{X+Y=3},P{X＜3-Y}.
X0 Y
0
0
1
2
3 P{Y=n}
0 3/35 2/35 5/35
1
0 6/35 12/35 2/35 20/35
2 1/35 6/35 3/35 0 10/35 P{X=m} 1/35 12/35 18/35 4/35 1
