2017-2018学年广东省仲元中学高二上学期期中考试数学(理)试题
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2017-2018学年广东省仲元中学高二上学期期中考试理科数学试卷命题人：周俊武 审题人：霍子伟第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}|11M x x =-<<，{}|N x y x ==，则MN =A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 2. 下列说法中正确的是A. “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的必要条件B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<RC. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D. 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” 3．已知向量(1,1),(,2)a b m = - = ，若//a b ，则实数m 的值为 （ ） A ．0 B ．2 C ．2- D ．2或2-4．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图像,可以将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 5.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩 依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数 的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是A ．6B ．10C ．91D ．926. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2 的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为 A ．312π B ．36π C ．34π D ．33π 7. 已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =( ) A ．21- B ．2- C ．21D ．28. 若变量,x y 满足不等式组21y x y x y a ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，且3z x y =-的最大值为7，则实数a 的值为A ．1B ．7C ． 1-D ．7-9.函数()a f x x =满足()24f =，那么函数()()log 1a g x x=+的图象大致是10.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则双曲线的离心率为( ) A ．5 B ．25C ．3D ．2 11.将某省参加数学竞赛预赛的500名同学编号为：001,002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码013为一个样本，这500名学生分别 在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500 在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 A. 17 B. 16 C. 15 D. 1412. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=- ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x x = ，则函数()()()1g x x f x π=-- 在区间3-,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为 ( ) A.π B. 2π C. 3π D. 4π第II 卷 （本卷共计90 分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．22cos 15cos30o o-=___________。
14．在区间[]1,1-上随机任取两个数y x ,，则满足4122<+y x 的概率等于 ． 15. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在 鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球表面积为 ．16. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 km .三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分） 已知数列{}n a 的前n 项122n n S n +=+- . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()12log n a nb -= ，求证：122334111111n n b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+< .18. （本小题满分12分）已知22()23cos sin sin cos 2222x x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f A =，23a b =，求sin B 的值．19.（本小题满分12分）某校从参加高二某次月考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90,100),[100,110),,[140后得到如右所示的部分频率分布直方图。
观察图形信息，回答下列问题： （Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，再从该样本中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率。
20.（本小题满分12分）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．（Ⅰ）证明：NE PD ⊥； （Ⅱ）求三棱锥PBC E -的体积．21. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为25，离心率为32，圆E 的圆心00（x ,y ）在椭圆C 上，半径为2，直线1y k x =与直线2y k x =为圆E 的两条切线. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）试问：12k k ∙是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22.（本小题满分12分）已知二次函数2()163f x x x q =-++（Ⅰ）若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；0.0050.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 100 90 120 110 140 130 150频率/组距分数19题图（Ⅱ）问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -．（说明：对于区间],[b a ，称a b -为区间长度）广东仲元中学2017学年第一学期期中考试高二年级理科数学试卷答案一、选择题1-5: BDCDB 6-10:ACACA 11-12：BD二、填空题13. 1 14.16π15. 12π 16. 5 三、解答题17. (1) 当时，,……………1分又由，则.………3分1n = 符合 ……………4分 综上.……………5分(2)由.……………7分.得证.………10分18.解：（Ⅰ）22()23cossin sin cos 2222x x x x f x =+-3sin cos 2sin()6x x x π=-=- ……3分 ∴由22262k x k πππππ-+≤-≤+（k Z ∈）, 得22233k x k ππππ-+≤≤+……5分 即函数()f x 的单调递增区间为2[2,2]33k k ππππ-++（k Z ∈） ……6分 （Ⅱ）由()1f A =得1sin()62A π-=，0,A π<< ∴66A ππ-=，即3A π=，……9分根据正弦定理，由23a b =，得2sin 3sin A B =，故3sin 3B =， ……12分19．解：（Ⅰ）分数在[120，130)内的频率为1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3。
……………4分 （Ⅱ）依题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15=9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3=18人 ………………………5分 用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ；在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a ，b ，c ，d ； ……………………………7分设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，则基本事件共有： (m ，n)、(m ，a)、(m ，b)、(m ，c)、(m ，d)、(n ，a)、(n ，b)、(n ，c)、(n ，d)、(a ，b) 、(a ，c) 、(a ，d) 、(b ，c) 、(b ，d) 、(c ，d).共15种. …9分事件A 包含的基本事件有： (m ，n)、(m ，a)、(m ，b) 、(m ，c)、(m ，d)、 (n ，a)、 (n ，b)、(n ，c)、(n ，d)共9种。
……11分 P(A)93155==……………………………………12分20解：（Ⅰ）连结AC 与BD 交于点F ，则F 为BD 的中点，连结NF ， ∵N 为线段PB 的中点，∴//,NF PD 且,21PD NF =……………2分又//EC PD 且PD EC 21=∴//NF EC 且.NF EC =∴四边形NFCE 为平行四边形， ………4分 ∴//NE FC , 即//NE AC ．又∵PD ⊥平面ABCD , AC ⊂面ABCD , ∴AC PD ⊥,∵//NE AC , ∴NE PD ⊥, ………………6分（Ⅱ）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE , ∴平面PDCE ⊥平面ABCD ∵BC CD ⊥，平面PDCE平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面PDCE .………………8分 三棱锥PBC E -的体积BC S V V PEC PEC B PBC E ⋅==∆--31………………10分 322)2121(31=⨯⨯⨯⨯=……12分 21.解：（1）由225b =得：5b =，∵32c e a ==，∴2234c a =，………2分∵222a b c =+，∴22534a a -=，解得：2220,5ab ==，……………4分 ∴椭圆C 的标准方程为：221205x y += ………………5分 （2）因为直线1y k x =与圆()()2200:4E x x y y -+-=相切，…………6分∴1002121k x y k -=+ ………………7分整理得：()222010*******x k x y k y --+-=，………………8分同理可得：()222020*******x k x y k y --+-=，所以，12,k k 为方程()22200004240x x x y x y --+-=的两个根………………10分∴20122044y k k x -=-，又∵()00,E x y 在椭圆22:1205x y C +=上，∴22005120x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴20201222005142041444x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，故12k k ⋅是定值为14- ………………12分22. 解：（1） ∵二次函数2()163f x x x q =-++的对称轴是8x = ∴函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减 ……1分∴要函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点须满足(1)(1)0f f -⋅≤ ……2分 即 (1163)(1163)0q q +++⋅-++≤ 解得 2012q -≤≤ ……4分 （2）当810x ≤<时，()f x 的值域为[](),(10)f t f ，即2163,57t t q q ⎡⎤-++-⎣⎦∴2257(163)166012q t t q t t t ---++=-+-=- ∴217720t t -+= ∴8t =或9t = ……6分当881080t t t <⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩时，即06t ≤≤时， ()f x 的值域为[](8),()f f t ，即261,163q t t q ⎡⎤--++⎣⎦∴22163(61)166412t t q q t t t -++--=-+=- ∴215520t t -+= ∴15172t ±=，经检验21715-=t .……9分 当881080t t t <⎧⎪-<-⎨⎪≥⎩时，即86<<t 时， ()f x 的值域为[](8),(10)f f ，即[]61,57q q --∴57(61)412q q t ---==- ∴8t = 经检验8t =不合题意，舍去. ……11分 综上所述，存在常数8t =，9t =，21715-=t 满足题意.……12分。
