江苏省无锡市梅村高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷

2020-2021学年第一学期高二数学基础试卷2020.10.8一､单选题(每题5分,共40分)1.,则() A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项2.设数列{}n a 的前m 项和2n S n =,则8a 的值为A.15B.16C.49D.64 3.不等式3112x x-≥-的解集是() 3.|24A x x ≤≤3.{|2}4B x x ≤< 3.|4C x x ≤-或2}x > D. {x|x<2}4.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍｡初日屠五两,今三十日屠讫,向共路几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,向一共屠了多少两肉?“在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为()A.35B.75C.155D.315 5.已知22,,100,m n m n ∈+=R 则mn 的最大值是()A.100B.50C.20D.106.在正项等比数列{}n a 中,374,a a =数列2{log }n a 的前9项之和为()A.11B.9C.15D.137.数列{}n a 的前n 项和为2*23(),n S n n n =-∈N 若p-q=5,则p q a a -=()A.20B.15C.10D. -58.函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为() A.3 B.2 C.1 D. -1二､多选题(每题5分,共20分;选对得5分,少选得3分,选错不得分)9.已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为,n S 满足1263,a a S +=则下列四个选项中正确的有7.0A a = 13.0B S = 7.C S 最小 58.D S S =10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若142332,12a a a a ⋅=+=,则下列说法正确的是()A. q=2B.数列{2}n S +是等比数列8.510C S = D.数列{lg }n a 是公差为2的等差数列11.设正实数a,b 满足a +b=1,则()12 11.B a b +有最大值4.C 22.D a b +有最小值12 12.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意n N +∈ ,均有,n k n a a +>则称{}n a 是间隔递增数列, k 是{}n a 的间隔数,下列说法正确的是()A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B.已知4,n a n n=+,则{}n a 是间隔递增数列 C.已知2(1),n n a n =+-则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知22020,n a n tn =-+,若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔是3,则4≤t<5三､填空题(每题5分,共20分)13.不等式2560x x -+<的解集为________. 1111114.22424624682462020+++++++++++++++=_______. 15.设a>0, b>1,若a+b=2,则911a b +-的最小值为________. 16.已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,3,n S a a ==且1222(2)n n n n S S S n +++=+≥.若()n n S a λλ-++5≥(2-λ)n 对*n ∀∈N 都成立,则实数λ的最小值为_______.四､解答题(共70分; 17题和18题各10分, 22题14分,其余各题每题12分)17.已知数列{}n a 的前n 项和为2230.n S n n =-(1)当n S 取最小值时,求n 的值;(2)求出{}n a 的通项公式.18. (1)已知x>0, y>0,且2x +5y=1,求11x y +的最小值. (2)已知2()(2)2(f x x m x m m =+--∈R ),求f(x)<0的解集.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 等比数列{}n b 的前n 项和为,n T ,若114243,,a b a b S ===-212.T =(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n n a b +的前n 项和.20.2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后,一面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响,某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足41k x m =-+(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件,已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按816x x +元来计算)｡ (1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?21.数列{}n a 满足:212,*231n a a a n n n n +++=+∈+N . (1)求{}n a 的通项公式;(2)设1,n n b a =数列{}n b 的前n 项和为,n S 求满足920n S >的最小正整数n.22.已知{}n x 是各项均为正数的等比数列,且12323,2x x x x +=-=(1)求数列{}n x 的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点1122111(,1),(,2)(,1)n n P x P x P x n +++得 到折线121,n PP P +,求四边形11n n n n x x P P ++的面积;(3)求由该折线与直线110,,n y x x x x +===所围成的区域的面积.n T。

江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果a ＜b ＜0，那么下面一定成立的是（ ） A ．ac ＜bcB ．a ﹣b ＞0C ．a 2＞b 2D ．1a ＜1b2．已知椭圆C 左､右焦点坐标分别是()),，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2213x y +=B ．2213y x +=C ．22123x y +=D ．22132x y +=3．已知数列{}n a 满足111,2+==+nn n a a a ，则10a =（ ）A ．1024B ．1023C ．2048D ．20474．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ） A ．－24B ．－3C ．3D ．85．关于x 的不等式()2110+++<ax a x （0a <）的解集为（ ） A ．1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,⎛⎫--⎪⎝⎭a C ．()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭6．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．127．已知,0x y >，且112x y+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．3-B ．32- C ．3+D ．32+ 8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（ ）A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91-D ．()n1314- 9．设()()12,0,,0F c F c -是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 是以12,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，若12215∠=∠PF F PF F .则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．310．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100C ．100-D ．1020011．已知-2与1是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则2222+a b c ab的最大值为（ ） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-812．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771．） A ．2.6天 B ．2.2天C ．2.4天D ．2.8天二、填空题13．若关于x 的方程22240++-=x ax a 的两根12,x x ，满足1201x x <<<，则实数a 的取值范围是______.14．设数列{}n a 是公差0d <的等差数列，n S 为其前n 项和，若61510S a d =+，则n S 取最大值时，n =_____．15．若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最小值为______.16．若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则实数a 的取值范围为______.三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和100T . 18．已知()22f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5. （1）求()f x 的解析式；（2）不等式组()()00f x f x k ⎧>⎪⎨+<⎪⎩的正整数解只有一个，求实数k 取值范围；（3）若对于任意[]1,1x ∈-，不等式()2⋅≤t f x 恒成立，求t 的取值范围.19．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =的菱形的面积为4. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且1260F PF ∠=，求12F PF S ∆. 20．设数列的前项和为n S ， 满足*31()42n n a S n N =+∈ （1）求数列的通项公式；（2）令n n b na =， 求数列{}n b 的前项和n T ． 21．已知数列{}n a ､{}n b 中，对任何正整数n 都有:11213312122+---+++++=--n n n n n n a b a b a b a b a b n（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是首项为1的等比数列，数列{}n a 是否是等差数列？若是请求出通项公式.22．数列{}n a ，11a =，2123n n a a n n +=-+（n *∈N ）（1）是否存在常数,λμ，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列，若存在，求出,λμ的值若不存在，说明理由； （2）设12311,2-==+++++-n n n n n b S b b b b a n ，证明:当2n ≥时，()19751213+≤<+n n S n .参考答案1．C 【分析】对于选项A ，()ac bc a b c -=-不一定小于零，所以不一定成立；对于选项B ，0a b -<，所以一定不成立；对于选项C ，故a 2＞b 2，所以一定成立；对于选项D ，11a b>，所以一定不成立. 【详解】对于选项A ，()ac bc a b c -=-不一定小于零，所以不一定成立； 对于选项B ，0a b -<，所以一定不成立；对于选项C ，22()()0a b a b a b -=+->，所以a 2＞b 2，所以一定成立； 对于选项D ，110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以一定不成立. 故选：C 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．A 【分析】由题意可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x ya b a b +=>>，则222c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解出即可.【详解】由题意可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2223c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得2231a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的焦点坐标，椭圆的离心率，根据题意，利用,,a b c 的值求椭圆的标准方程，属于基础题目. 3．B 【分析】由递推关系，利用累加法求10a ． 【详解】因为12n n n a a +=+，即12nn n a a +-=，所以1029101213210912()()()1222102312a a a a a a a a -=+-+-++-=++++==-．故选：B ． 【点睛】本题考查由递推关系求数列的项，解题方法是累加法．当递推式是数列前后的差时，可用累加法求通项，若已知的是前后项的商，则可用连乘法求通项． 4．A 【分析】根据等比数列的性质和等差数列的通项公式列式解得公差，再根据等差数列的前n 项和公式计算可得结果. 【详解】设{a n }的公差为d (0)d ≠， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以2326a a a =⋅即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，所以2120d a d +=，因为0d ≠，所以12212d a =-=-⨯=- 所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋652⨯d ＝1×6＋652⨯×(－2)＝－24. 故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 5．C 【分析】把原不等式变形为1ax +与1x +积小于0，根据a 小于0，在不等式两边同时除以a ，不等号方向改变，化为1(1)()0x x a ++>，易得1-与1a-的大小，结合不等号方向，可以写出原不等式的解集，进而做出正确的选择. 【详解】原不等式化为(1)(1)0x ax ++<，因为0a <，所以进一步化为1(1)()0x x a++>， 因为0a <，所以11a->-， 所以1(1)()0x x a++>的解集为1x <-或1x a>-， 即原不等式的解集为1(,1)(,)a-∞--+∞， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的求解问题，在解题的过程中，注意利用不等式的性质对不等式进行等价变形，再者就是根据题意比较两个边界值的大小，属于简单题目. 6．B 【分析】设等比数列项数为2n 项,先根据奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比,可得通项公式，进而根据中间两项的和为24求得n. 【详解】设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则:2q S S ==奇偶,又它的首项为1，所以通项为12n na ，中间两项的和为112224n nn n a a -++=+=，解得4n =，所以项数为8，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是利用奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比. 7．D 【解析】由112x y+=得，11122x y +=，因为,0x y >，，所以 2x y +=()1113321222222y x x y x y x y ⎛⎫++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x = 时等号成立），故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 8．B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案． 【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1． ∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--． 故选B ． 【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题． 9．B 【分析】根据题意可知1290F PF ∠=︒，12215∠=∠PF F PF F ，进而求得12PF F ∠和21PF F ∠，在12Rt PF F ∆中，分别表示出1PF 和2PF，进而根据椭圆的定义表示出a ，进而求得a 和c 的关系，即椭圆的离心率. 【详解】因为P 是以12,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点， 所以1290F PF ∠=︒， 因为12215∠=∠PF F PF F ，所以2115PF F ∠=︒，1275PF F ∠=︒，，所以1212sin 2sin15PF c PF F c =⋅∠=︒，2122sin 2sin75PF c PF F c =⋅∠=︒，所以1222sin152sin 752(44a PF PF c c c =+=︒+︒=+=，所以22c e a ===， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的求解问题，在解题的过程中，注意应用直角三角形两个锐角的倍数关系求得角的大小，求得两个直角边长，结合椭圆离心率的定义求得离心率的大小，属于简单题目. 10．B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和. 11．B 【解析】4200a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，得2b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以 ()2222423411444a b c a a a a ab a a a ⎡⎤++⎛⎫==+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选B ．点睛：本题考查基本不等式的应用．由题意得到2b ac a =-⎧⎨=-⎩，代入得2222423414a b c a a a ab a a++==+，又基本不等式2a b +≥要求,0a b >，所以变换得到 ()11444a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得到答案． 12．A 【分析】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ．莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．利用等比数列的前n 项和公式及其对数的运算性质即可得出．． 【详解】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ． 莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．则A n 1312112n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，B n 2121n -=-，由题意可得：13121212112n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--，化为：2n 62n +=7，解得2n ＝6，2n ＝1（舍去）． ∴n 62lg lg ==132lg lg +≈2.6． ∴估计2.6日蒲、莞长度相等， 故选A ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．(3,2)--. 【分析】由已知中关于x 的方程22240++-=x ax a 的两根12,x x ，满足1201x x <<<，根据方程的根与对应函数零点之间的关系，我们易得方程相应的函数在区间(0,1)与区间(1,)+∞上各有一个零点，此条件可转化为不等式组(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，解不等式组即可得到实数a 的取值范围.【详解】依题意，函数22()24f x x ax a =++-的两个零点12,x x 满足1201x x <<<，根据一元二次方程根的分布，一定有(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，即22401240a a a ⎧->⎨++-<⎩，解得32a -<<-， 故答案为：(3,2)--. 【点睛】该题考查的是有关根据一元二次方程根的分布，构造不等式组求参数的取值范围问题，在解题的过程中，注意正确写出不等式组是解题的关键，属于简单题目. 14．5或6 【分析】由61510S a d =+可得116565102a d a d ⨯+=+，得60a =，又公差0d <，即可得出． 【详解】解：由61510S a d =+可得116565102a d a d ⨯+=+， 化为150a d +=，60a ∴=， 又公差0d <，因此n S 取最大值时，5n =或6， 故答案为：5或6． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的前n 项和的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．3-. 【分析】由221x y xy ++=，可得22()11()2x y x y xy ++=+≤+，即可得到. 【详解】由221x y xy ++=，可得22()11()2x y x y xy ++=+≤+，即23()14x y +≤，解得x y ≤+≤，所以x y +的最小值为3-，故答案为：3-. 【点睛】该题考查的是有关利用基本不等式的变形，求代数式的最值问题，属于简单题目. 16．[2,2]-. 【分析】若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则函数2()22f x x ax a =-++在区间[0,)+∞上的最小值大于等于0，按照二次函数的对称轴分类求出最值即可.【详解】若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则函数2()22f x x ax a =-++在区间[0,)+∞上的最小值大于等于0，22()()2f x x a a a =-++-，当0a ≤时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，min ()(0)20f x f a ==+≥，解得2a ≥-，所以20a -≤≤，当0a >时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增，所以2min ()()20f x f a a a ==+-≥，解得12a -≤≤，所以02a <≤，综上，a 的取值范围是22a -≤≤， 故答案为：[2,2]-. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将恒成立向最值靠拢，涉及的思想是分类讨论，属于较难题目. 17．（1）21n a n =+，22n S n n =+；（2）10025101T =. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3577,26a a a =+=，可得12721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1,a d 即可得出结果；（2）由（1）知，21n a n =+，可得221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++，运用裂项相消法求和，之后将100n =代入求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 因为3577,26a a a =+=，所以12721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+； （2）由（1）知21n a n =+，221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++，所以11111111(1)(1)4223141n T n n n =-+-++-=-++， 所以1001125(1)4101101T =-=. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式的求解，利用裂项相消法求和，属于简单题目.18．（1）2()210f x x x =-；（2）[2,1)-；（3）11[,]46-.【分析】（1）根据不等式()0f x <的解集是(0,5)，得到0,5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根，利用韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果；（2）首先求得不等式组的解，根据只有一个正整数解，得到参数所满足的条件，求得结果； （3）根据不等式恒成立，分类讨论，结合函数图象的特征求得结果. 【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根，可得052052b c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩所以2()210f x x x =-；（2）不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩即为，22221002(2)10()0x x x kx k x k ⎧->⎨++-+<⎩， 解得055x x k x k ⎧⎨-<<-⎩或，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6， 可得657k <-≤，解得21k -≤<-， 所以k 的取值范围是[2,1)-；（3）()2tf x ≤，即2(210)2t x x -≤，即2510tx tx --≤，当0t =时显然成立， 当0t >时，有15(1)1015110t t t t ⋅-⋅--≤⎧⎨⋅-⋅-≤⎩，即510510t t t t +-≤⎧⎨--≤⎩，解得1146t -≤≤，所以106t <≤， 当0t <时，函数251y tx tx =--在[1,1]-上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可， 所以有510t t --≤，解得14t ≥-，即104t -≤<， 综上，t 的取值范围是11[,]46-. 【点睛】该题考查的是有关利用三个二次之间的关系解决问题的思路和方法，在解题的过程中，注意不等式的解集的端点值就是其对应方程的根，根据不等式解的情况判断其端点值所满足的条件，恒成立问题分类讨论，属于较难题目.19．（1）2214x y +=；（2）3. 【分析】（1）由椭圆性质可知，2c e a ==，并结合222c a b =-可以得到a 与b 的关系，由“椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4”，可以列出关系式：12242a b ⨯⨯=，由此可以求出a 、b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）利用椭圆定义和余弦定理，列出等量关系式，求得1243PF PF =，最后利用三角形的面积公式求得结果 【详解】（1）由c e a ==，得到2234a c =， 再由222c a b =-，得2a b =， 由题意知12242a b ⨯⨯=，知2ab =， 解方程组22a bab =⎧⎨=⎩，得2,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）由椭圆定义可知124PF PF +=，即221212216PF PF PF PF ++=，由余弦定理可得22212122cos60PF PF PF PF +-⋅⋅︒=， 两式相减得122(1cos60)4PF PF +︒=，即1243PF PF =，所以1212114sin 6022323PF F S PF PF ∆=︒=⨯⨯=.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，焦点三角形的面积，在解题的过程中，可以借机推导出焦点三角形面积公式，属于简单题目. 20．（1）212n n a -=；（2）211[(31)22].9n n T n +=-⋅+ 【分析】（1）求数列通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥分1,2n n =≥求解，最后验证两种情况能否合并；（2）整理212n n n b n a n -=⋅=⋅，根据通项公式特点采用错位相减法求和【详解】 （1）∵31()42n n a S n N *=+∈∴1131(2)42n n a S n --=+≥ 两式相减，得∴111,4(2).4n n n n a a a n a --==≥ 又113142a S =+，即11131242a a a =+∴= {}n a ∴是首项为2，公比是4的等比数列∴1222124222n n n na ---=⋅=⋅=．（2）212.n n n b n a n -=⋅=⋅35211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅①②①-②，得3521213(2222)2.n n n T n -+-=++++-⋅故211[(31)22].9n n T n +=-⋅+ 21．（1）见解析；（2）当等比数列{}n b 的公比2q时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【分析】（1）根据等差数列的性质求得数列{}n a 的通项公式，代入11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--中，利用错位相减法，结合数列的项与和的关系求得12n nb -=，进而推断数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，结合{}n b 首项为1，代入11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--，整理得到1(21)22n n n n q a n +--+=--，进而求得n a 的表达式，要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必须2q，进而得出结论当等比数列{}n b 的公比2q 时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【详解】（1）依题意数列{}n a 的通项公式是n a n =， 故等式即为1122123(1)22n n n n b b b n b nb n +--++++-+=--，123123(1)21(2)n n n n b b b n b n n ---++++-=--≥，两式相减得122121n n n n b b b b b --+++++=-，验证1n =时也成立，可求得12n nb -=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则1n n b q -=，从而有1231123122n n n n n n qa q a q a qa a n ---+-+++++=--，234123121(2)n n n n n q a q a q a a n n ----++++=--≥，所以1(21)22n n n n q a n +--+=--，(2)2(1)2n n a q q n q =-⋅+-+-，要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必需2q ，即当等比数列{}n b 的公比2q时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的证明，探究一个数列是等差数列的条件，属于难题.22．（1）存在1,1λμ=-=满足条件；（2）见解析. 【分析】（1）由题意知212(2)n na a n n λμλλμ+=++---，故1230λμλλμ=-⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，所以存在11λμ=-⎧⎨=⎩，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列； （2）由题意知21n b n =，之后应用放缩法，结合裂项相消求和，证得右半部分，利用数学归纳法证得左半部分，最后证得结果. 【详解】（1）设2123n n a a n n +=-+可化为221(1)(1)2()n n a n n a n n λμλμ+++++=++， 即212(2)n n a a n n λμλλμ+=++---，故1230λμλλμ=-⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=⎩，且21110a -+≠，所以存在1,1λμ=-=，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列； （2）由（1）得2211(11)2n n a n n a --+=-+⋅， 所以122n n a n n -=+-，故12112n n n b a n n -==+-，因为222144224412121n b n n n n n ==<=---+， 当2n ≥时，1232222225251()()()355721213213n n S b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-++， 下边验证19712(1)n n S n +≥+，当2n =时，215144S =+=，192745512(21)364⨯+==+，显然成立， 假设当n k =时命题成立，即211119714912(1)k k k +++++≥+， 则当1n k =+时，22211111971149(1)12(1)(1)k k k k k ++++++≥++++， 要使命题成立，即为2197119(1)712(1)(1)12(2)k k k k k ++++≥+++，两边同乘以212(1)(2)k k ++得2(197)(1)(2)12(2)(1926)(1)k k k k k k +++++≥++， 展开得322322197572138141224192638521926k k k k k k k k k k k +++++++≥+++++，整理得3826≥，显然成立， 所以当1n k =+时命题也成立， 综上，对2n ≥，都有19712(1)n n S n +≥+，故当2n ≥时，197512(1)3n n S n +≤<+，命题得证.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用题中所给的递推公式，研究是否存在相关常数满足对应数列是等比数列的解集方法，利用放缩法和数学归纳法证明不等式，属于难题.。

2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题 (III)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号已经考试科目涂写在答题卡上。

2.答案一律填在答题卡上，否则无效。

一、选择题（本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

）1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B=sin 2C ，则△ABC 的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定2.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43.若c b a 、、成等比数列，则关于x 的方程02=++c bx ax ( )A..必有两个不等实根B..必有两个相等实根C..必无实根D..以上三种情况均有可能4.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 5.△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于 ( )A.32B.34 C. 3D.32或346.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于( )A ．18B ．36C ．54D ．727.若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．[－2,2)8.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的17是较少的两份之和，则最小的一部分的量为 ( )A.56B.53C. 116D.1039.若实数a 对于任意x ∈[0,1]，a ≥e x 恒成立，且方程x 2＋4x ＋a ＝0在R 内有解，则a 的取值范围是 ( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]10. 设a ，b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（艺术精英班做）已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1，a 99为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．32B ．±64C ．256D ．6411.设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是 ( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列12.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定12.（艺术精英班做）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题（本大题共4小题。

2020~2021学年度高二(上)十月检测数学试卷(本卷满分:150分,考试时间:120分钟)一选择题(本题共8道小题,每小题5分,共40分)1已知a 为锐角, 33sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α=- C.12 12-2在ABC 中,60A ︒∠=, 2AB =,且ABC ,则AC 的长为()B.1D.2 3.过点()3,4P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别为A,B,则||AB =().5A .5B - 4.已知过点()2,1P 有且仅有一条直线与圆222:2210x y ax ay a a +-+++-=相切,则a =A.-1B.-2C.1或2D.-1或-2 5.由直线30x y ++=上一点P 向圆()()22:231C x y -++=引切线,则切线长的最小值为() A.14 B.13 C.12 D.16.在直角坐标平面内,已知()1,0A -,()1,0B 以及动点C 是ABC 的三个顶点,且0sinAsinB cosC +=,则动点C 的轨迹的离心率是()7已知直线()0y kx k =≠与双曲线22221 (0,0y a b bx a -=>>）交于A ､B 两点,以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,若ABF 的面积为4a 2,则双曲线的离心率为()C.2 8.已知圆()2229x y -+=的圆心为C,过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A ､B 两点,点A 在点M与点B 之间,过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P,则点P 的轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分二､多选题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)9.若()1101cos α︒=,则α的一个可能值为() A.130︒ B.220°C.40°D.320︒ 10.已知点()1,1A 和点()4,4B ,P 是直线10x y -+=上的一点,则||||PA PB +的可能取值是()A. D.11.已知椭圆22221 (0)x y a b a b+=>>的离心率为e, 12F F 、分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角,则满足条件的一个e 的值()A.23B.34C.2D.212.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 是空间中任意一点,下列命题正确的有().A.若P 为棱1CC 中点,则异面直线AP 与CDB.若P 在线段A 1B 上运动,则1AP PD +C.若p 在半圆弧CD 上运动,当三棱锥P ABC -体积最大时,三棱锥P ABC -外接球的表面积为2πD.若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为4. 二､填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13.当实数a ､b 变化时,两直线()()()1:20l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点,则点(),m n 所在曲线的方程为_____.14.若关于x 的方程212x kx -=-有解,则实数k 的取值范围是____.15.若角α的终边落在直线0x y +=上,则21sin sin αα+=-____. 16.已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA,PB,PC 两两互相垂直,且2PA PB PC ===,则三棱锥P-ABC 的外接球与内切球的半径比为____.四､解答题(本题共6小题共70分)17.(满分10分)已知2tan α=,求:(1)2sin cos sin cos αααα+- ; (2)2212sin sin cos cos αααα+-.18.(满分12分)求分别满足下列条件的直线l 的方程:(1)已知点()2,1P ,l 过点()1,3A ,P 到l 距离为1;(2)l 过点()2,1P 且在x 轴,y 轴上截距的绝对值相等.19.(满分12分)在ABC 中,角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c,且202A sinA +=, (1)求角A 的大小;(2)已知ABC 外接圆半径R =C A =求ABC 的周长.20·(满分12分)如图.在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,且2AB = ,3AD = ,PA =//AD BC ,AB BC ⊥,45ADC ︒∠=.(1)求异面直线PC 与AD 所成角的余弦值;(2)求点A 到平面PCD 的距离.21.(满分12分)如图,某海面上有O ､A ､B 三个小岛(面积大小忽略不计),A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛,B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点,O 的正东方向为x 轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系圆C 经过O ､A ､B 三点.(1)求圆C 的方程;(2)若圆C 区域内有未知暗礁,现有一船D 在O 岛的南偏西30︒方向距O 岛40千米处, 正沿着北偏东45︒行驶,若不改变方向, 试问该船有没有触礁的危险?22.(满分12分)已知椭圆()222:11x C y a a+=>,直线):l x ty t =∈R 与x 轴的交点为P,与椭圆C 交于M ､N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明: 2211||||PM PN 是定值.。

2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题 (IV)一、选择题（满分36分，每小题3分）：1．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．12．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和共有( ) A ．8×1.0253万元 B ．8×1.0254万元 C ．8×1.0255万元 D ．8×1.0256万元 3.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b= ( )A.2B.3C.2D.34．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 30＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3 D.325．一艘船以4 km/h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h ，则船实际航程为( )A ．215 kmB ．6 kmC ．221 kmD ．8 km 6.在等差数列{n a }中，已知4a +8a =16，则该数列前11项和11S =（ ） A.58 B.88 C.143 D.176 7.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A.7B.5C.-5D.-78.已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,若S 8=4S 4,则a 10= ( )A. B. C.10 D.129．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 10.在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sinA= ( )A.310B.1010C.55D.3101011.各项都是正实数的等比数列{a n }，前n 项的和记为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50 12.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n =（ ） A.n B.-n C.1n D.1n- 二、填空题（满分20分，每小题4分）：13.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n ∈N*）等于 .14. 设n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.16．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________． 17. 在ABC ∆中，120,2,B AB A ==的角平分线3AD =，则AC = _________.三、解答题（满分44分）：18.（满分8分）已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n . (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求S n 的最小值及对应的n 值．19.（满分8分）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．20.（满分8分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C；(2)若c=π3,△ABC的面积为332,求△ABC的周长.21.（满分10分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B；(2)若△ABC的面积S=2a4,求角A的大小.22．（满分10分）设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n＝3n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.数学答案一、选择题（满分36分，每小题3分）：题号123456789101112答案B C D C B B D B C D A D二、填空题（满分20分，每小题4分）：13.6 14. 15.16.40 17.三、解答题（满分44分）：18.（满分10分）已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝2n2－30n.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求S n的最小值及对应的n值．解 (1)∵S n＝2n2－30n，∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.∴a n＝4n－32，n∈N＋.(2)方法一S n＝2n2－30n＝2(n－215)2－2225，∴当n＝7或8时，S n最小，且最小值为S7＝S8＝－112.方法二∵a n＝4n－32，∴a1<a2<…<a7<0，a8＝0，当n≥9时，a n>0.∴当n＝7或8时，S n最小，且最小值为S7＝S8＝－112.19.（满分10分）(xx·全国卷Ⅰ高考理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C；(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,2cosC·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0,所以2cosC=1,cosC=. 因为C∈(0,π),所以C=.(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cosC,7=a2+b2-2ab·,(a+b)2-3ab=7,S=ab·sinC=ab=,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,所以△ABC的周长为a+b+c=5+.20.（满分12分）(xx·浙江高考理科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B ；(2)若△ABC 的面积S=,求角A 的大小.【解题指南】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sin Β=sin(Α-Β),再判断Α-Β的取值范围,进而可证Α=2Β.(2)先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sinC=cos Β,再利用三角形的内角和可得角Α的大小.【解析】(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=sin(A-B),又A,B ∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B. (2)由S=得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcos Β,因sinB ≠0,得sinC=cos Β.又B,C ∈(0,π),所以C=±B. 当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.21．（满分12分）(本小题满分12分)(山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为2S n ＝3n＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3. 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝3n －1，n ≥2.3， n ＝1，(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝31. 当n ≥2时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n，所以T 1＝b 1＝31；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝31＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝32＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝32＋1－3－11－31－n －(n －1)×31－n＝613－2×3n 6n ＋3，所以T n ＝1213－4×3n 6n ＋3.经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1213－4×3n 6n ＋3.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

2020-2021学年江苏省无锡市南菁高级中学高二（强化班）上学期10月第一次阶段性考试数学试题一、单选题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【详解】因为22(1)(9),0,3,9b b b ac b =--<∴=-∴==2．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC 上，则ABC 的周长为（ ） A．B ．6C．D ．12【答案】A【分析】利用椭圆的定义即可解出. 【详解】由椭圆的方程可知：a =由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ， 可得ABC的周长为4a = 故选:A ．3．设{}n a 是公差d 为正数的等差数列，若123a +a +a 15=，123a a a 80=，则111213a +a +a 等于 A ．120 B ．105C ．90D ．75【答案】B【分析】将题目所给两个条件转化为1,a d 的形式，通过解方程组求得1,a d 的值，由此求得111213,,a a a 的值.【详解】依题意有()()111111215280a a d a d a a d a d ++++=⎧⎨++=⎩，解得12,3a d ==，()()11121312133113233105a a a a a d ++==+=+=，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查利用基本元的思想通过解方程组求得等差数列的1a 和d .这是非常常见的基础题，需要在解题过程中注意不要运算出错.为了确保运算正确，可以利用题目所给的已知代入判断所求是否正确.4．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A ．2n B ．3nC ．122n +-D ．31n -【答案】A【分析】由数列{1}n a +是等比数列，得2213(1)(1)(1)a a a +=++，进而求得1q =，易得n S ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{1}n a +也是等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a +=++，2221313211a a a a a a ++=+++，2132a a a =+，21112a q a a q =+，∴2210q q -+=解得：1q =，所以12n S na n ==. 故选：A ．【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，解题关键是求得数列的公比q ，利用新数列{1}n a +是等比数列，易得．5．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.【解析】椭圆的简单几何性质.6．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N ，则数列{}n c 的前10项和等于（ ）．A ．55B ．70C ．85D ．100【答案】C【分析】根据已知可求出1b a ，再根据等差数列的性质及求和公式即可求出数列{a bn }的前10项和．【详解】数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N，又{}nb 都是公差为1的等差数列，所以数列{}nc 也成等差，则数列{}n c 的前10项和等于121011119b b b b b b a a a a a a +++++=+++，又()11114b a a b =+-=，1911(91)113b a a b +=++-⨯=， ∴11119(413)10852b b b a a a +++⨯+++==，故选：C ．【点睛】性质：若数列{}n a 为等差数列，则项数依次成等差的那些项也依次成等差.7．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AFB △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【答案】A【详解】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、多选题9．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S > 【答案】ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．10．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率e =B ．12PF PF ⋅的最小值为0C ．12PF F △D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切 【答案】BD【分析】根据椭圆的标准方程，求出离心率即可判断A 选项错误； 设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，求出其最小值，即可判断B 选项正确； 易求得12PF F △面积的最大值，则可判断C 选项错误；求得圆心到直线0x y +=的距离，与半径c 比较，由此判断D 选项正确.【详解】解：由椭圆22:12x C y +=可知，a =1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率c e a ==A 错误； 设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥，则12PF PF ⋅的最小值为0，故B 正确；122FF =，当P 点与椭圆的上顶点重合时，12PFF △面积的最大， 所以12PF F △面积的最大值为1212b ⋅⋅=，故C 错误； 以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由原点()0,0到直线0x y +=的距离1d c ===，所以以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切，故D 正确． 故选：BD ．【点睛】关键点点睛：根据椭圆的标准方程求出有关的量，即可求出其离心率，12PF F △面积的最大值；设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，利用(),P x y 在椭圆上，可求出12PF PF ⋅的最小值；求出圆心()0,0到0x y +=的距离，比较这个距离和半径的大小关系即可判断D 选项.11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则 1r =-【答案】AC【分析】利用等比数列的定义可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；分10a <和10a >两种情况讨论，求得对应的q 的取值范围，结合数列单调性的定义可判断C 选项的正误；求得1a 、2a 、3a ，由2213a a a =求得r 的值，可判断D选项的正误.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，且1n na q a +=. 对于A 选项，222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，数列{}2n a 是等比数列，A 选项正确； 对于B 选项，由等比中项的性质可得253764a a a ==，又因为2530a q a =>，则5a 与3a 同为正数，则58a =，B 选项错误；对于C 选项，若10a <，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q<⎧⎨<⎩，解得01q <<，则110n n a a q-=<，11n na q a +=<，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列； 若10a >，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q>⎧⎨>⎩，解得1q >， 则110n n a a q-=>，11n na q a +=>，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列. 综上所述，C 选项正确；对于D 选项，111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，由于数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =，即()2612r +=，解得13r =-，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义、等比中项的性质以及等比求和相关命题正误的判断，考查计算能力与推理能力，属于中等题.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）． A ．733S = B ．21n n n S S S ++=+C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,n n n a a a a a ++===+，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】68a =，713a =，∴71123581333S =++++++= 成立，故选项A 正确； 由21n n n a a a ++=+，两边累加：()()34223112n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++即()2121n n n S S S ++-=-+，∴211n n n S S S ++=++，故选项B 错误；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a ++++=．选项C 正确；斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =2121a a a =，()222312312a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019201020182019a a a a a =-；∴22212201920192020a a a a a +++=，即答案D 成立．故选ACD ．【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换是解题的关键，属于中档题.三、填空题13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________． 【答案】【详解】依题意可得，椭圆焦点在x 轴上且23c =．因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =⋅，则2a b =，所以22323c a b b -=2b =，故4a =，所以椭圆的标准方程为221164x y +=14．若关于x 的方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则+a b 的值为__________． 【答案】3172【分析】根据等差数列性质计算得到1413,44x x ==；2357,1212x x ==，再利用韦达定理计算得到答案.【详解】不妨设方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根为1234x x x x <<<则141x x +=；231x x +=，故1413,44x x ==；2357,1212x x == 故1334416a =⨯=，57351212144b =⨯=，623114472a b +== 故答案为：3172【点睛】本题考查了数列和韦达定理的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,12(1)1n n n a a -++-=,则40S =______【答案】240【详解】由()1211n n n a a -++-=，当n 为奇数时，有21n n a a ++=；当n 为偶数时，21n n a a +-=，∴数列{}n a 的偶数项构成以2为首项，以1为公差的等差数列，则()()401357392440......S a a a a a a a a =+++++++++201910120212402⨯=⨯+⨯+⨯=，故答案为240. 【方法点晴】本题主要考查数列的递推公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.16．已知数列{n a }通项公式为n a n p =-+,数列{}n b 通项公式为52n n b -=，设()(){n n n n n n n a a b c b a b ≤=>，若在数列{}n c 中，()8,8n c c n N n *>∈≠，则实数p 的取值范围 ． 【答案】()12,17【详解】试题分析：由n c ＝(),{(),n n n n n n a a b b a b ≤＞，可知是、中的较小者，因为＝－n ＋p ，所以{}是递减数列；因为n b ＝52n －，所以{n b }是递增数列，因为8c ＞nc （n ∈N ﹡,n≠8），，所以是的最大者，则=1，2，3， 7，8时，递增，n=8，9，10， 时，递减，因此，=1，2，3， 7时，总成立，当=7时，，∴＞11，=9，10，11， 时，总成立，当=9时，成立，∴＜25，而或,若≤，即，所以≤16，则=-8，∴-8＞=27-5，∴＞12，故12＜≤16，若＞，即-8＞28-5，所以＞16，∴=23，那么，即8＞-9，∴＜17，故16＜＜17，综上，12＜＜17．【解析】1、数列与单调性的关系；2、数列的综合应用.四、解答题17．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）当1260F PF ︒∠=时，求12F PF ∆的面积； （3）当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】（123）(33- 【分析】（1）由标准方程求出,a b ，再得c ，然后可得离心率；（2）由椭圆定义和余弦定理可求得1243PF PF =，从而得三角形面积； （3）设(,)P x y ，由120PF PF ⋅<可得x 的范围．【详解】解：（1）因为224,1a b ==，所以c ==，所以离心率为c e a ==（2）由椭圆的定义得：124,PF PF +=--------①且12(F F ， 在12F PF ∆中，由余弦定理得：2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒-----------②由①②得1243PF PF =，所以1212121sin 2F PF S PF PF F PF ∆=∠=.（3）设点(,)P x y ，12(F F 所以1(,),PF x y =--2(3,),PF x y =- 由已知12F PF ∠为钝角，得120PF PF ⋅<，所以2()0x x y +<，--------③又由椭圆的方程得2214x y =-，-------------④联合③④得2324x <，解得x <<所以点P 的横坐标的取值范围是(.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，考查椭圆定义的应用，在涉及到椭圆上的点到焦点距离时常常要利用椭圆的定义解决问题．椭圆上的点P 对于两焦点的张角为钝角时，对应的条件是120PF PF ⋅<，若为锐角，条件120PF PF ⋅>中还需去掉两端点． 18．已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1=25，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求1a +a 4+a 7+…+a 3n-2.【答案】（Ⅰ）227n a n =-+；（Ⅱ）2328n n -+. 【详解】(1)设{a n }的公差为d.由题意， a 112＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝2n (a 1＋a 3n －2)＝2n(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.19．已知数列{}n a 满足：()1231,2,n n a a a a n a n ++++=-=．（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令()()()211,2,3,n n b n a n =--=，如果对任意n *∈N ，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．【答案】（1）112a =，234a =；（2）112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）1n =与2n =代入即可求出12,a a ；（2）由题意得123111n n n a a a a a n a +++++++=+-，两式相减可得121n n a a +-=，然后构造新数列可得()11112n n a a +-=-，所以{}1n a -是等比数列，即可求得通项；（3）代入1n n b b +-作差可判断出数列{}n b 前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为3418b b ==，然后214n b t t ≤-可转化为21184t t ≤-求解.【详解】（1）当1n =时，111a a =-，所以112a =，当2n =时，1222a a a +=-，得234a =．（2） 由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=-， ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+-， ②②－①可得121n n a a +-=，即()11112n n a a +-=-， 又1112a -=-，所以数列{}1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（3）由（2）可得，22n n n b -=， 由()1111122122302222n n n n n n n n n n nb b ++++---+----=-==>，可得3n <， 由10nnb b 可得3n >，所以12345n b b b b b b <<=>>>>，故n b 有最大值3418b b ==， 所以对任意n *∈N ，有18n b ≤，由题意214n b t t ≤-恒成立，则()2max 14n b t t ≤-，故有21184t t ≤-， 解得12t ≥或14t ≤-，所以实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 【点睛】思路点睛：本题考查了数列的通项与最值的问题：（1）已知n S 与n a 的关系解题时，要注意由n S 求n a 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥，根据题目已知条件，通过构造等差数列或等比数列进行求解；（2）数列的恒成立问题需要转化为数列的最值问题求解，求数列的最值可通过判断数列的单调性进行，解题时通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列的最值.20．已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3,7n S S =且1233,3,4a a a ++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中n N *∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设{}{}12101240,,,,,,,A a a a B b b b ==，C A B =⋃,求集合C 中的所有元素之和．【答案】（1）12n n a -=；（2）32n b n =-；（3）3318【详解】试题分析：（1）∵37S = ，∴1237a a a ++= ① ∵ 1233,3,4a a a ++ 成等差数列，∴132346a a a +++= ② ②-①得，22a = ，即12a q = ③ 又由①得，2115a a q += ④消去1a 得，22520q q -+= ，解得q=2或q=12（舍去） ∴12n n a -=（2）∵()6312n n T n b =++ ,当n≥2时，()116322n n T n b --=-+ ∴当n≥2时，()()163132n n n b n b n b -=+-- ，即13235n n b n b n --=- ∴3241231471032,,,,14735n n b b b b n b b b b n --===⋅⋅⋅=- ，∴324123147103214735n n b b b b n b b b b n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯- ，即132n b n b =- ， ∵11b = ，∴()322n b n n =-≥ ，当n=1时，也满足 ∴32n b n =-（3）1010401240411023,3802380122S T -⨯===⨯-=- ，∵A 与B 的公共元素有1,4,16,64，其和为85，∴集合C 中所有的元素之和=10408523801023853318S T +-=+-=【解析】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和，等差数列的通项公式，以及集合的运算点评：解决本题的关键是利用累乘法求出数列{}n b ，熟练掌握等差数列、等比数列中的公式21．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【详解】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=．数列{}n b 满足112113246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--，数列{}n c 满足11n n n c b b +=，n T 为数列{}n c 的前n 项和． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 是等差数列；（3）是否存在正整数m ，()1n m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析；（3）存在，2m =，12n =.【分析】（1）用等比数列的性质化简15a a 求出3a ，设公比，表示53S S -，求出公比，得到通项公式.（2）本题可用错位相减的技巧先求出{}n b 的通项公式，再证明之. （3）用裂项相消法求出n T ，列出关系式，计算求解. 【详解】解：（1）∵数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，∴38a =，又∵5348S S -=，∴2458848a a q q +=+=，∴2q，∴3822n n n a -=⋅=．（2）∵11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--， ①∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--， （）则（）式两边同乘以2， 得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--， ②①－②得，242n b n =-，即()212n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合()212n b n n =-≥，∴21n b n =-． ∴数列{}n b 是等差数列 （3）∵()()111111212122121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭， 113T =，21m m T m =+，21n n T n =+，若1T ，m T ，n T 成等比数列，则211213216m n m n⎛⎫=⋅< ⎪++⎝⎭，即22410m m --< ． ∴1122m -<<+． 又m *∈N ，且1m ，所以2m =，此时12n =． 【点睛】解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.。

2020-2021无锡市梅村中学高二数学上期中模拟试卷含答案一、选择题1．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95D ．6.153．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +4．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A．45B ．35C ．25D ．156．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C C B ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C 7．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，98．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12D ．29．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14 B ．13C ．12D ．2310．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<12．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．518二、填空题13．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ . 14．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x =_____________.15．某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个16．集合{|64,1,2,3,4,5,6}A y y n n ==-=，集合1{|2,1,2,3,4,5,6}n B y y n -===，若任意A∪B 中的元素a ，则a ∈A∩B 的概率是________。

江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．￢p ：∀x ∉A ，2x ∉B C ．￢p ：∃x ∉A ，2x ∈BD ．￢p ：∃x ∈A ，2x ∉B2．数列1，－3,5，－7，9，……的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(－1)n (2n －1)C ．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)3．已知数列{}n a 中，2539,,28a a ==且11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，则7a =（ ）A ．109B ．1011 C ．1211D ．13124．等差数列{}n a 中，公差不为0，若245,,a a a 成等比，则4735a a a a +=+（ ）A ．14B ．118C ．1D ．1或125．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352=S ，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16B ．8C ．4D ．26．已知数列{}n a 满足21212,0,1,2,n nn a n a a a a n --+⎧===⎨⨯⎩为奇数为偶数(n ≥3)，则数列{}n a 的前10项和为（ ） A ．48B ．49C ．50D ．617．数列{}n a 的通项公式cos ,2n n a n π=其前n 项和为n S ，则2012S 等于 A ．1006B ．2012C ．503D ．08．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为1c 的频率正好是中音c的2倍.已知标准音1a 的频率为440Hz，那么频率为的音名是（ ）A ．dB ．fC ．eD ．#d二、多选题 9．使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．2x >B ．0x ≥ C ．1x <-或1x > D ．10x -<<10．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（ ） A ．3B ．2C ．7D ．511．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()1214n n n n c c a a π--+-=⋅三、填空题13．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=______.14．已知0,0a b >>，若45a b ab ++=，则ab 的最大值是___.15．已知等比数列{}n a 的首项是1，公比为3，等差数列{}n b 的首项是5-，公差为1，把{}n b 中的各项按如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间，构成新数列{}n c ：1a ，1b ，2a ，2b ，3b ，3a ，4b ，5b ，6b ，4a ，…，即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项，则2018c =__________．（用数字作答）四、双空题16．若1x ，2x 是函数()()320,0f x x mx nx m n =-+>>的两个不同的零点，且1x ，2x ，-3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m =__________，n =__________五、解答题17．已知数列{}n b 为等比数列，21n n b a n =+-，且15a =，215a =． （1）求{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．若关于x 的不等式22(21)0x a x a a -+++≤的解集为A ，不等式322x-≥的解集为B .（1）已知B 是A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.（2）设命题p ：22,(21)8x B x m x m m ∃∈+++->，若命题p 为假命题，求实数m的取值范围.19．甲乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过一道数列问题，因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知__________. （1）判断4S 、3S 、5S 的关系； （2）若316a a -=，设31n nn b a -=，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：5n T <. 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第一问的答案是4S 、3S 、5S 成等差数列.如果甲乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.20．已知数列{}n a 的前n 项和,n S 若对1,22n n n n N S a ++∀∈=-恒成立（1）求证：数列{}2n na为等差数列 （2）若不等式：223(5)n n n a λ--<-对n N +∀∈恒成立，求λ取值范围. 21．已知函数()12f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a cab ac--+的最小值. 22．设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 数列2{}n a 的前n 项和为,n T 且24(),3n n S p T --=其中p 为常数.（1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列； （3）证明：“数列12,2,2x y n n n a a a ++成等差数列，其中x ､y 均为整数”的充要条件是“x =1，且y =2”.。