利用旋转设计图案_旋转

新人教版六年级上册《第5章圆》单元测试卷（4）一、用心读题，认真填写．（第4、10小题每题2分，其余每空1分，共22分）1. 圆的位置是由________决定，圆的大小是由________决定。

2. 在同一个圆里，所有的________都相等，所有的________都相等。

直径等于半径的________倍。

3. 一个圆的半径是5分米，它的周长是________分米，面积是________平方分米。

4. 如果画一个周长15.7厘米的圆，那么圆规两角间的距离是________厘米。

5. 把一个直径10厘米的圆拼成一个长方形（如图），拼成的长方形的长近似于圆的________，长方形的宽近似于圆的________，圆的面积是________．长方形的周长比圆的周长多________厘米。

6. 把一根6.28m长的铁丝围成一个正方形，则正方形的面积是________m2；若围成一个圆，则圆的面积是________m2．7. 大圆的半径是小圆的半径的3倍，那么大圆和小圆的周长比是________，大圆和小圆的面积比是________．8. 在边长为8厘米的正方形中剪下一个最大的圆，则该圆的周长是________面积是________．9. 周长相等的长方形、正方形和圆中，面积最大的是________．10. 一个半圆的半径是1分米，它的周长是________分米。

二、仔细辨析，正确判断（8分）．半圆的周长就是圆周长的一半。

________（判断对错）两个圆的周长相等，它们的面积也相等。

________．（判断对错）圆周长是直径的3.14倍。

________（判断对错）以半圆为弧的扇形的圆心角是180∘．________．（判断对错）三、反复比较，合理选择．（10分）一个圆有（）直径。

A.1条B.2条C.无数条用下面方法可以测量出没有标出圆心的直径，是因为（）A.两端都在圆上的线段，直径是最长的一条B.直径通过圆心并两端在圆上C.在这个圆里，直径的长度是半径的2倍半径是2厘米的圆的周长和面积（）A.大小相等B.不相等C.无法比较下面（）的阴影部分是扇形。

2020年全国中考数学试题分类（13）——图形的旋转一．旋转的性质（共20小题）1．（2020•陕西）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上．若将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△OA ′B ′，A 、B 的对应点分别为A ′、B ′，则A 、B ′之间的距离为（ ）A ．2√5B ．5C ．√13D ．√102．（2020•德阳）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ABC ＝90°．将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到△A 'BC '．此时恰好点C 在A 'C '上，A 'B 交AC 于点E ，则△ABE 与△ABC 的面积之比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34 3．（2020•大连）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，则∠CAA ′的度数是（ ）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°4．（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝7，AD ＝4，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，当A ′B ′恰好经过点D 时，△B ′CD 为等腰三角形，则AA ′＝（ ）A ．25√185B ．2√3C ．√13D ．√145．（2020•孝感）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若BG ＝3，CG ＝2，则CE 的长为（ ）A ．54B ．154C ．4D ．92 6．（2020•河北）如图，将△ABC 绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA 与△ABC 构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB ＝AD ，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是（ ）A ．嘉淇推理严谨，不必补充B ．应补充：且AB ＝CDC ．应补充：且AB ∥CDD ．应补充：且OA ＝OC7．（2020•天津）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC ＝DEB ．BC ＝EF C ．∠AEF ＝∠D D ．AB ⊥DF8．（2020•齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A 顺时针旋转，使BC ∥DE ，如图②所示，则旋转角∠BAD 的度数为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．（2020•苏州）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '．若点B '恰好落在BC 边上，且AB '＝CB '，则∠C '的度数为（ ）A ．18°B ．20°C ．24°D ．28°10．（2020•聊城）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠C ＝30°，将Rt △ABC 绕点A 旋转得到Rt △AB ′C ′，使点B 的对应点B ′落在AC 上，在B ′C ′上取点D ，使B ′D ＝2，那么点D 到BC 的距离等于（ ）A ．2（√33+1） B ．√33+1 C ．√3−1 D ．√3+111．（2020•绍兴）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（ ）A ．随着θ的增大而增大B ．随着θ的增大而减小C ．不变D ．随着θ的增大，先增大后减小12．（2020•海南）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1cm ，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt △AB 'C '，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．√3cmD ．2√3cm13．（2020•菏泽）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（ ）A ．α2B ．23αC ．αD ．180°﹣α14．（2020•阜新）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2．将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 1BC 1，则AC 边的中点D 与其对应点D 1的距离是 ．15．（2020•眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2．将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，则CC 1的长为 ．16．（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．若DF ＝3，则BE 的长为 ．17．（2020•滨州）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C 的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD 的面积为 ．18．（2020•金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是cm．（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为cm．19．（2020•广州）如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD 于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为．20．（2020•玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD=√22AB．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．二．旋转对称图形（共1小题）21．（2020•镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合．三．中心对称（共3小题）22．（2020•绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B 停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形23．（2020•泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为．24．（2020•台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD 的面积为．（用含a，b的代数式表示）四．中心对称图形（共3小题）25．（2020•黄石）下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．26．（2020•天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．27．（2020•呼伦贝尔）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）28．（2020•淮安）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）六．坐标与图形变化-旋转（共6小题）29．（2020•青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）30．（2020•枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（−√3，3）B．（﹣3，√3）C．（−√3，2+√3）D．（﹣1，2+√3）31．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O旋转180°，得到对应线段OG'，则点G'的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）32．（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C （1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C 的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为．33．（2020•烟台）如图，已知点A （2，0），B （0，4），C （2，4），D （6，6），连接AB ，CD ，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为 ．34．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 ．七．作图-旋转变换（共6小题）35．（2020•广西）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A （1，1），B （4，1），C （5，3）．（1）将△ABC 向左平移6个单位长度得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1，并写出点A 1，C 1的坐标．（2）请画出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2．36．（2020•巴中）如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中．（1）将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；（2）再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和．37．（2020•贵港）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（4，1），C（4，3）．（1）画出将△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2．38．（2020•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（4，4），B（1，1），C（4，1）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，弧AA2是点A所经过的路径，则旋转中心O1的坐标为；（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．39．（2020•桂林）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（，）中心对称．40．（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．八．利用旋转设计图案（共1小题）41．（2020•枣庄）如图的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．九．几何变换综合题（共9小题） 42．（2020•锦州）已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（√22OA ＜OM ＝ON ），∠AOB ＝∠MON ＝90°．（1）如图1：连AM ，BN ，求证：△AOM ≌△BON ；（2）若将△MON 绕点O 顺时针旋转，①如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：BN 2+AN 2＝2ON 2；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若OB ＝4，ON ＝3，请直接写出线段BN 的长．43．（2020•葫芦岛）在等腰△ADC 和等腰△BEC 中，∠ADC ＝∠BEC ＝90°，BC ＜CD ，将△BEC 绕点C 逆时针旋转，连接AB ，点O 为线段AB 的中点，连接DO ，EO ．（1）如图1，当点B 旋转到CD 边上时，请直接写出线段DO 与EO 的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点B 旋转到AC 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若BC ＝4，CD ＝2√6，在△BEC 绕点C 逆时针旋转的过程中，当∠ACB ＝60°时，请直接写出线段OD 的长．44．（2020•沈阳）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：P A ＝DC ；②求∠DCP的度数；（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出P A和DC的数量关系．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=√31，请直接写出点D到CP的距离为．45．（2020•长春）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．46．（2020•鄂尔多斯）（1）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；②在①中所画图形中，∠AB′B＝°．（2）【问题解决】如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k 为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．47．（2020•十堰）如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB＝∠EDB＝90°，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F．（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为；（2）探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转，当∠CBE小于180°时，得到图2，连接CD并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG ⊥CB ，垂足为点G ．当∠ABC 的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG ＝∠BAE ，BC ＝6，直接写出AB 的长．48．（2020•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到Rt △A ′B ′C ，A ′C 与AB 交于点D ．（1）如图1，当A ′B ′∥AC 时，过点B 作BE ⊥A ′C ，垂足为E ，连接AE ．①求证：AD ＝BD ；②求α△αααα△ααα的值； （2）如图2，当A ′C ⊥AB 时，过点D 作DM ∥A ′B ′，交B ′C 于点N ，交AC 的延长线于点M ，求αααα的值．49．（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM 、NP 的数量关系是 ，∠MNP 的大小为 ．（2）探究证明把△ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP 、BD 、CE ，判断△MNP 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝1，AB ＝3，请求出△MNP 面积的最大值．50．（2020•威海）发现规律（1）如图①，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，直线BD ，CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．求∠BFC 的度数．（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．应用结论（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．2020年全国中考数学试题分类（13）——图形的旋转参考答案与试题解析一．旋转的性质（共20小题）1．【解答】解：如图，由旋转的性质作出△A 'OB '，连接AB '，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB '=√22+32=√13，故选：C ．2．【解答】解：∵∠A ＝30°，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∵将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到△A 'BC '，∴BC ＝BC '，∠ACB ＝∠A 'C 'B ＝60°，∴△BCC '是等边三角形，∴∠CBC '＝60°，∴∠ABA '＝60°，∴∠BEA ＝90°，设CE ＝a ，则BE =√3a ，AE ＝3a ，∴αααα=13， ∴αααα=34， ∴△ABE 与△ABC 的面积之比为34．故选：D ．3．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°，∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，∴∠A ′BA ＝∠ABC ＝40°，A ′B ＝AB ，∴∠BAA ′＝∠BA ′A =12（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA '＝∠CAB +∠BAA ′＝50°+70°＝120°．故选：D ．4．【解答】解：过D 作DE ⊥BC 于E ，则BE ＝AD ＝4，DE ＝7，设B ′C ＝BC ＝x ，则DC =√2x ，∴DC 2＝DE 2+EC 2，即2x 2＝49+（x ﹣4）2，解得：x ＝5（负值舍去），∴BC ＝5，AC =√74，在AB 上取一点F ，使得BF ＝BC ＝5，连接DF ，则△DFC ∽△CB ′B ，且相似比为√2：1，∴AF ＝7﹣5＝2，∵AD ＝4，∴DF ＝2√5，∴BB ′=√2=√10， ∵将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，∴∠DB ′C ＝∠ABC ＝90°，B ′C ＝BC ，A ′C ＝AC ，∠A ′CA ＝∠B ′CB ，∴△A ′CA ∽△B ′CB ，∴α′αα′α=αααα，∴AA ′=√745×√10=25√185， 故选：A ．5．【解答】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，△ADE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，DE ＝BF ，又∵AG ⊥EF ，∴H 为EF 的中点，∴AG 垂直平分EF ，∴EG ＝FG ，设CE ＝x ，则DE ＝5﹣x ＝BF ，FG ＝8﹣x ，∴EG ＝8﹣x ，∵∠C ＝90°，∴Rt △CEG 中，CE 2+CG 2＝EG 2，即x 2+22＝（8﹣x ）2，解得x =154， ∴CE 的长为154，故选：B ．6．【解答】解：∵CB ＝AD ，AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故应补充“AB ＝CD ”，故选：B ．7．【解答】解：由旋转可得，△ABC ≌△DEC ，∴AC ＝DC ，故A 选项错误，BC ＝EC ，故B 选项错误，∠AEF ＝∠DEC ＝∠B ，故C 选项错误，∠A ＝∠D ，又∵∠ACB ＝90°，∴∠A +∠B ＝90°，∴∠D +∠B ＝90°，∴∠BFD ＝90°，即DF ⊥AB ，故D 选项正确，故选：D ．8．【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，∵BC∥DE，∴∠CF A＝∠D＝90°，∵∠CF A＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，∴∠BAD＝30°故选：B．9．【解答】解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故选：C．10．【解答】解：方法一：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2√3，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2√3，∴B′C＝2，延长C′B′交BC于F，∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CFB′＝60°，B′F=√33B′C=2√33，∵B′D＝2，∴DF＝2+2√3 3，过D作DE⊥BC于E，∴DE=√32DF=√32×（2+2√33）=√3+1，方法二：过B′作B′F⊥BC于F，B′H⊥DE于H，则B′F＝HE，B′H＝EF，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2√3，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2√3，∴B′C＝2，∴B′F=12AB＝1，∴HE＝1，∵∠B′HD＝∠HEC＝90°，∴∠HB′C＝∠C＝30°，∴∠DB′H＝60°，∴∠B′DH＝30°，∴B′H＝1，DH=√3，∴DE=√3+1，故选：D．11．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BP A＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BP A＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BP A＝135°＝∠CP A，∵∠CP A＝∠AHC+∠P AH＝135°，∴∠P AH＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH的度数是定值，故选：C．12．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，∴AC=12AB，则AB＝2AC＝2cm．又由旋转的性质知，AC′＝AC=12AB，B′C′⊥AB，∴B′C′是△ABB′的中垂线，∴AB′＝BB′．根据旋转的性质知AB ＝AB ′＝BB ′＝2cm ．故选：B ．13．【解答】解：∵∠ABC ＝∠ADE ，∠ABC +∠ABE ＝180°，∴∠ABE +∠ADE ＝180°，∴∠BAD +∠BED ＝180°，∵∠BAD ＝α，∴∠BED ＝180°﹣α．故选：D ．14．【解答】解：连接BD 、BD 1，如图，∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，∴AC =√22+22=2√2，∵D 点为AC 的中点，∴BD =12AC =√2，∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 1BC 1，∴BD 1＝BD ，∠DBD 1＝60°，∴△BDD 1为等边三角形，∴DD 1＝BD =√2．故答案为√2．15．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，∴AB 1=12BC ，BB 1＝B 1C ，AB ＝AB 1，∴BB 1＝AB ＝AB 1，∴△ABB 1是等边三角形，∴∠BAB 1＝∠B ＝60°，∴∠CAC 1＝60°，∵将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至△AB 1C 1的位置，∴CA ＝C 1A ，∴△AC 1C 是等边三角形，∴CC 1＝CA ，∵AB ＝2，∴CA ＝2√3，∴CC 1＝2√3．故答案为：2√3．16．【解答】解：法一：由题意可得，△ADF ≌△ABG ，∴DF ＝BG ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠DAB ＝90°，∠EAF ＝45°，∴∠DAF +∠EAB ＝45°，∴∠BAG +∠EAB ＝45°，∴∠EAF ＝∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，{αα=αααααα=αααααα=αα，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴GE ＝FE ，设BE ＝x ，则GE ＝BG +BE ＝3+x ，CE ＝6﹣x ，∴EF ＝3+x ，∵CD ＝6，DF ＝3，∴CF ＝3，∵∠C ＝90°，∴（6﹣x ）2+32＝（3+x ）2，解得，x ＝2，即BE ＝2，法二：设BE ＝x ，连接GF ，如下图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABE ＝∠GCF ＝90°，∵△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，∴∠CAF ＝90°，GA ＝F A ，∴△GAF 为等腰直角三角形，∵∠EAF ＝45°，∴AE 垂直平分GF ，∴∠AEB +∠CGF ＝90°，∵在Rt △AEB 中，∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CGF ，∴△BAE ∽△CGF ，∴αααα=αααα， ∵CF ＝CD ﹣DF ＝6﹣3＝3，GC ＝BC +BG ＝BC +DF ＝6+3＝9， ∴α3=69，∴x ＝2，即BE ＝2，故答案为：2．17．【解答】解：如图，将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBM ，连接PM ，过点B 作BH ⊥PM 于H ．∵BP ＝BM =√2，∠PBM ＝90°，∴PM =√2PB ＝2，∵PC ＝4，P A ＝CM ＝2√3，∴PC 2＝CM 2+PM 2，∴∠PMC ＝90°，∵∠BPM ＝∠BMP ＝45°，∴∠CMB ＝∠APB ＝135°，∴∠APB +∠BPM ＝180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH ＝HM ，∴BH ＝PH ＝HM ＝1，∴AH ＝2√3+1，∴AB 2＝AH 2+BH 2＝（2√3+1）2+12＝14+4√3，∴正方形ABCD 的面积为14+4√3．解法二：连接AC ，利用勾股定理求出AC 即可．故答案为14+4√3．18．【解答】解：（1）当E ，F 两点的距离最大时，E ，O ，F 共线，此时四边形ABCD 是矩形， ∵OE ＝OF ＝1cm ，∴EF ＝2cm ，∴AB ＝CD ＝2cm ，∴此时四边形ABCD 的周长为2+2+6+6＝16（cm ），故答案为16．（2）如图3中，连接EF 交OC 于H ．由题意CE ＝CF =25×6=125（cm ）， ∵OE ＝OF ＝1cm ，∴CO 垂直平分线段EF ，∵OC =√αα2+αα2=√(125)2+12=135（cm ）， ∵12•OE •EC =12•CO •EH ， ∴EH =1×125135=1213（cm ），∴EF ＝2EH =2413（cm ）∵EF ∥AB ，∴αααα=αααα=25， ∴AB =52×2413=6013（cm ）．故答案为6013． 19．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC ＝∠ADB ＝45°，∵把△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB 'C '，∴∠EAF ＝∠BAC ＝45°，∵∠AEF ＝∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ，∴αααα=αααα，∴EF •ED ＝AE 2，∵AE ＝4，∴EF •ED 的值为16，故答案为：16．20．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形，∵OA ＝OB ＝OC ＝OD =√22AB ，∴OA 2+OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，即AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是正方形；（2）解：∵EF ⊥BC ，EG ⊥AG ，∴∠G ＝∠EFB ＝∠FBG ＝90°，∴四边形BGEF 是矩形，∵将线段DH 绕点H 顺时针旋转90°，得到线段HE ，∴∠DHE ＝90°，DH ＝HE ，∴∠ADH +∠AHD ＝∠AHD +∠EHG ＝90°，∴∠ADH ＝∠EHG ，∵∠DAH ＝∠G ＝90°，∴△ADH ≌△GHE （AAS ），∴AD ＝HG ，AH ＝EG ，∵AB ＝AD ，∴AB ＝HG ，∴AH ＝BG ，∴BG ＝EG ，∴矩形BGEF 是正方形，设AH ＝x ，则BG ＝EG ＝x ，∵s 1＝s 2．∴x 2＝2（2﹣x ），解得：x =√5−1（负值舍去），∴AH =√5−1．二．旋转对称图形（共1小题）21．【解答】解：连接OA ，OE ，则这个图形至少旋转∠AOE 才能与原图象重合，∠AOE =360°5=72°．故答案为：72．三．中心对称（共3小题）22．【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．23．【解答】解：将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：所以点M的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．24．【解答】解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN=14a，∴正方形ABCD的面积＝4×14a+b＝a+b．故答案为（a+b）．四．中心对称图形（共3小题）25．【解答】解：A、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．26．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．27．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）28．【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．故选：C．六．坐标与图形变化-旋转（共6小题）29．【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．故选：D．30．【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=√3，∴OH＝2+1＝3，∴B′（−√3，3），故选：A．31．【解答】解：由题意G与G′关于原点对称，∵G（﹣2，1），∴G′（2，﹣1），故选：A．32．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N 点坐标为（﹣1，0），N 点关于A 点对称的N 1点的坐标为（﹣3，0），N 1点关于B 点对称的N 2点的坐标为（5，4），N 2点关于C 点对称的N 3点的坐标为（﹣3，﹣8），N 3点关于A 点对称的N 4点的坐标为（﹣1，8），N 4点关于B 点对称的N 5点的坐标为（3，﹣4），N 5点关于C 点对称的N 6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N 处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N 2020的坐标与N 4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．33．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P 点，P （4，2）．故答案为（4，2）．34．【解答】解：∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…，∴OP n ＝2n ﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．七．作图-旋转变换（共6小题）35．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，∴A1（﹣5，1）C1（﹣1，3）；（2）如图，△A2B2C2即为所求．36．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，α1α1=3√2αα；（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣4）；（3）在（1）（2）的条件下，线段AB在变换过程中扫过图形的面积和为：5×3+12π×（4√2）2−12π×（√2）2＝（15+15π）cm2．37．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．38．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）旋转中心O1的坐标为（2，0），故答案为（2，0）；（3）设旋转半径为r，则r2＝22+42＝20，∴阴影部分的图形面积为：α阴影=14⋅αα2−12×2×4−12×2×2+12×1×1=5π−112．39．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．故答案为：﹣2，0．40．【解答】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ，∴∠ACF ＝30°，∴∠BAC ＝∠FCD ，在△ABC 和△CDF 中，{∠ααα=∠ααααααα=αααααα=αα，∴△ABC ≌△CDF （AAS ），∴FD ＝BC ＝1，法二：∵∠ECF ＝∠FCD ＝30°，FD ⊥CD ，FE ⊥CE ，∴DF ＝EF ，∵EF ＝BC ＝1，∴DF ＝1．故答案为1；（2）线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．S 阴＝S △EFC +S 扇形ACF ﹣S 扇形CEH ﹣S △AHC ＝S 扇形ACF ﹣S 扇形ECH =30⋅α⋅22360−30⋅α⋅(√3)2360=α12． 故答案为α12．（3）如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H ．设OB ＝OE ＝x ．在Rt △ECF 中，∵EF ＝1，∠ECF ＝30°，EH ⊥CF ，∴EC =√3EF =√3，EH =√32，CH =√3EH =32， 在Rt △BOC 中，OC =√αα2+αα2=√1+α2， ∴OH ＝CH ﹣OC =32−√1+α2，在Rt △EOH 中，则有x 2＝（√32）2+（32−√1+α2）2，解得x =√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC =1+(√73)2=43， ∵CF ＝2EF ＝2，∴OF ＝CF ﹣OC ＝2−43=23． 八．利用旋转设计图案（共1小题）41．【解答】解：由题意，选项A ，C ，D 可以通过平移，旋转得到，选项B 可以通过翻折得到． 故选：B ．九．几何变换综合题（共9小题）42．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠AOB ＝∠MON ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON ，∵AO ＝BO ，OM ＝ON ，∴△AOM ≌△BON （SAS ）．（2）①证明：如图2中，连接AM ．同法可证△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，∵∠OAB＝∠B＝45°，∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，∴MN2＝AN2+AM2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴NB2+AN2＝2ON2．②如图3﹣1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，∵∠AJN＝∠BJO，∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，∴MN＝3√2，MH＝HN═OH=3√2 2，∴AH=√αα2−αα2=42−(3√22)2=√462，∴BN＝AM＝MH+AH=√46+3√22．如图3﹣2中，同法可证AM＝BN=√46−3√22．43．【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO；理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，点O是AB的中点，∴OE＝OA=12AB，∴∠BOE＝2∠BAE，在Rt△ABD中，点O是AB的中点，∴OD＝OA=12AB，∴∠DOE＝2∠BAD，∴OD＝OE，∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DOE＝∠BOE+∠DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°，∴OD⊥OE；（2）仍然成立，理由：如图2，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，∵O是AB的中点，∴OA＝OB，∵∠AOM＝∠BOE，∴△AOM≌△BOE（SAS），∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°，∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°，∴∠MAO＝135°，∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°，∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°，∴∠MAD＝∠DCE，∵MA＝EB，EB＝EC，∴MA＝EC，∵AD＝DC，∴△MAD≌△ECD，∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE，∵∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠ADM+∠ADE＝90°，∴∠MDE＝90°，∵MO＝EO，MD＝DE，∴αα=12αα，OD⊥ME，∵αα=12αα，∴OD＝OE，OD⊥OE；（3）①当点B在AC左侧时，如图3，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS），∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM，∵BE＝CE，∴AM＝CE，在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°，∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，∴∠DAM＝∠DCE，∵AD＝CD，∴△DAM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE，∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵OM＝OE，∴OD＝OE=12ME，∠DOE＝90°，在Rt△BCE中，CE=√22BC＝2√2，过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，在Rt△CHE中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝30°，∴EH=12CE=√2，根据勾股定理得，CH=√3EH=√6，∴DH＝CD+CH＝3√6，在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE=√αα2+αα2=2√14，∴OD=√22DE＝2√7，②当点B在AC右侧时，如图4，同①的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°，连接DE，过点E作EH⊥CD于H，在Rt△EHC中，∠ECH＝30°∴EH=12CE=√2，根据勾股定理得，CH=√6，∴DH＝CD﹣CH=√6，在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝2√2，∴OD=√22DE＝2，即：线段OD的长为2或2√7．44．【解答】（1）①证明：如图1中，∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，∴PB＝PD，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，∴△ABC，△PBD是等边三角形，∴∠ABC＝∠PBD＝60°，∴∠PBA＝∠DBC，∵BP＝BD，BA＝BC，∴△PBA≌△DBC（SAS），∴P A＝DC．②解：如图1中，设BD交PC于点O．∵△PBA≌△DBC，∴∠BP A＝∠BDC，∵∠BOP＝∠COD，∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．（2）解：结论：CD=√3P A．理由：如图2中，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°=√3BA ，BD ═2BP •cos30°=√3BP ，∴αααα=αααα=√3，∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ，∴αααα=αααα=√3，∴CD =√3P A ．（3）过点D 作DM ⊥PC 于M ，过点B 作BN ⊥CP 交CP 的延长线于N ． 如图3﹣1中，当△PBA 是钝角三角形时，在Rt △ABN 中，∵∠N ＝90°，AB ＝6，∠BAN ＝60°，∴AN ＝AB •cos60°＝3，BN ＝AB •sin60°＝3√3，∵PN =√αα2−αα2=√31−27=2，∴P A ＝3﹣2＝1，由（2）可知，CD =√3P A =√3，∵∠BP A ＝∠BDC ，∴∠DCA ＝∠PBD ＝30°，∵DM ⊥PC ，∴DM =12CD =√32如图3﹣2中，当△ABP 是锐角三角形时，同法可得P A ＝2+3＝5，CD ＝5√3，DM =12CD =5√32，综上所述，满足条件的DM 的值为√32或5√32． 故答案为√32或5√32．45．【解答】解：（1）当点P 与B 重合时，5t ＝4，解得t =45．（2）在Rt △ABC 中，∵∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴AC =√αα2+αα2=√42+32=5，∴sin A =35，cos A =45， 如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt △APE 中，AE ＝AP •cos A ＝4t ，∴EC ＝5﹣4t ．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt △PEC 中，PC ＝7﹣5t ，cos C =35， ∴EC ＝PC •cos C =35（7﹣5t ）=215−3t ． （3）当△PDQ 是等腰直角三角形时，则PE ＝DE ，如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt △APE 中，PE ＝P A •sin A ＝3t ，∵DE ＝AC ﹣AE ﹣CD ＝5﹣4t ﹣2t ＝5﹣6t ，∵PE ＝DE ，∴3t ＝5﹣6t ，∴t =59．如图⑤中，当点P 在线段BC 上时， 在Rt △PCE 中，PE ＝PC •sin C =45（7﹣5t ）=285−4t ，∵DE ＝CD ﹣CE ＝2t −35（7﹣5t ）＝5t −215，∴285−4t ＝5t −215， 解得t =4945．∵△PDQ 是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t 的值为0＜t ＜59或4945＜t ＜75．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，QM ∥AB 时，过点Q 作QG ⊥AB 于G ，延长QM 交BC 于N ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵PB ∥MN ∥DH ，PM ＝DM ，∴BN ＝NH ，在Rt △PQG 中，PQ ＝2PE ＝6t ，∴QG =45PQ =245t ，在Rt △DCH 中，HC =35DC =65t ，∵BC ＝BH +CH =245t +245t +65t ＝3，解得t =518．如图⑦中，当点P 在线段BC 上，QM ∥BC 时，过点D 作DH ⊥BC 于H ，过点P 作PK ⊥QM 于K ．∵QM ∥BC ，DM ＝PM ，∴DH ＝2PK ，在Rt △PQK 中，PQ ＝2PE =85（7﹣5t ），∴PK =35PQ =2425（7﹣5t ），在Rt △DCH 中，DH =45DC =85t ，∵DH ＝2PK ，∴85t ＝2×2425（7﹣5t ）， 解得t =65， 综上所述，满足条件的t 的值为518或65．46．【解答】解：（1）①如图1中，△AB ′C ′即为所求．②由作图可知，△ABB ′是等腰直角三角形，∴∠AB ′B ＝45°，故答案为45．（2）如图2中，过点E 作EH ⊥CD 交CD 的延长线于H ．∵∠C ＝∠BAE ＝∠H ＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）如图3中，连接AC，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG=√αα2+αα2=√4α2+9．∴BD＝CG=√4α2+9．47．【解答】解：（1）延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，如图1所示，∵△ABC≌△EBD，∴DE＝AC，BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB，且∠CDB＝∠ADF，∴∠ADF＝∠DCB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∴∠ACD＝∠FDE，∵FK+DF＝DC+DF，∴DK＝CF，在△ACF 和△EDK 中，{αα=αααααα=αααααα=αα，∴△ACF ≌△EDK （SAS ），∴KE ＝AF ，∠K ＝∠AFC ，又∠AFC ＝∠KFE ，∴∠K ＝∠KFE∴KE ＝EF∴AF ＝EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF ＝EF ．故答案为：AF ＝EF ；（2）仍然成立，理由如下：延长DF 到K 点，并使FK ＝DC ，连接KE ，如图2所示，设BD 延长线DM 交AE 于M 点，∵△ABC ≌△EBD ，∴DE ＝AC ，BD ＝BC ，∴∠CDB ＝∠DCB ，且∠CDB ＝∠MDF ，∴∠MDF ＝∠DCB ，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠DCB ＝90°，∵∠EDB ＝90°，∴∠MDF +∠FDE ＝90°，∴∠ACD ＝∠FDE ，∵FK +DF ＝DC +DF ，∴DK ＝CF ，在△ACF 和△EDK 中，{αα=αααααα=αααααα=αα，∴△ACF ≌△EDK （SAS ），∴KE ＝AF ，∠K ＝∠AFC ，又∠AFC ＝∠KFE ，∴∠K ＝∠KFE ，∴KE ＝EF ，∴AF ＝EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF ＝EF ．（3）当点G 在点B 右侧时，如图3所示，过点E 作EG ⊥BC 交CB 的延长线于G ， ∵BA ＝BE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∵∠BAE ＝∠EBG ，∴∠BEA ＝∠EBG ，∴AE ∥CG ，∴∠AEG +∠G ＝180°，∴∠AEG ＝90°，∴∠ACG ＝∠G ＝∠AEG ＝90°，∴四边形AEGC 为矩形，∴AC ＝EG ，且AB ＝BE ，∴Rt △ACB ≌Rt △EGB （HL ），∴BG ＝BC ＝6，∠ABC ＝∠EBG ，又∵ED ＝AC ＝EG ，且EB ＝EB ，∴Rt △EDB ≌Rt △EGB （HL ），∴DB＝GB＝6，∠EBG＝∠ABE，∴∠ABC＝∠ABE＝∠EBG＝60°，∴∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB＝2BC＝12．当点G在点B左侧时，如图4所示，由旋转知，∠ABC＝∠ABE，AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵∠BAE＝∠EBG＝2∠ABC＝2∠ABE，∴∠BAE＝∠AEB＝2∠ABE，∵∠AEB+∠BAE+∠ABE＝180°，∴2∠ABE+2∠ABE+∠ABE＝180°，∴∠BAE＝36°，∴∠ABC＝36°，在Rt△ABC中，cos36°=αααα，∴AB=ααααα36°=6ααα36°，即满足条件的AB＝12或6ααα36°．48．【解答】解：（1）①∵A ′B ′∥AC ，∴∠B ′A ′C ＝∠A ′CA ，∵∠B ′A ′C ＝∠BAC ，∴∠A ′CA ＝∠BAC ，∴AD ＝CD ，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°﹣∠ACD ，∵∠ABC ＝90°﹣∠BAC ，∴∠CBD ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴AD ＝BD ；②∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝4，∴AB =√22+42=2√5，∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠ACB ＝90°，∵∠BCE ＝∠ABC ，∴△BEC ∽△ACB ，∴αααα=αααα，即αα2=2√5， ∴CE =25√5，∵∠ACB ＝90°，AD ＝BD ， ∴CD =12AB =√5， ∴CE =25CD ，∴S △ACE =23S △ADE ，∵AD ＝BD ，∴S △ABE ＝2S △ADE ，∴α△αααα△ααα=13；（2）∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°＝∠A ′CB ′，∴AB ∥CN ，∴△MCN ∽△MAD ，∴αααα=αααα，∵α△ααα=12αα⋅αα=12αα⋅αα，∴αα=αα⋅αααα=4×22√5=45√5，∴AD =√αα2−αα2=85√5，∵DM ∥A ′B ′，。

第10讲简单的图案设计目标导航1、探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)2、①经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图等过程，掌握画图技能.②能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.知识精讲知识点01利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．【知识拓展1】（2021秋•丰台区期末）下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【即学即练1】（2021秋•海淀区期末）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【即学即练2】（2021秋•乐亭县期末）如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【即学即练3】（2020秋•孝昌县期末）下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（）A．B．C．D．【即学即练4】（2021秋•海曙区校级期末）如图，3×3网格中每个小正方形的边长都是1，每个网格中有3个小正方形已经涂上阴影，请在余下的空白小方格中，按下列要求涂上阴影．（1）在①中选取1个小正方形涂上阴影，使4个小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；（2）在②中选取1个小正方形涂上阴影，使4个小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．知识点02几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．【知识拓展2】（2021秋•晋中期末）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（）A．平移变换B．旋转变换C．轴对称变换D．相似变换【即学即练1】（2021秋•浦东新区期末）图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对【即学即练2】（2021秋•介休市期中）如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（）A．平移变换B．旋转变换C．轴对称变换D．相似变换【即学即练3】（2021春•三明期末）平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD （如图），下列说法错误的是（）A．将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCDB．将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCDC．将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCDD．将△ABC沿AC翻折可以得到▱ABCD【即学即练4】（2020秋•齐河县期末）如图，作△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C'，接着△A'B'C'沿着平行于直线l的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）A．对应点连线相等B．对应点连线互相平行C．对应点连线垂直于直线lD．对应点连线被直线l平分【即学即练5】（2021•抚顺模拟）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（）A．10B．11C．12D．13能力拓展模块一、简单的图案设计⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格例题1．（2021·吉林长春市·八年级期末）图①、图②均是43点，ABC的顶点均在格点上，请在图①、图②中各画一个三角形，同时满足以下两个条件：()1以点A为一个顶点，另外两顶点均在格点上；()2所作三角形与ABC全等（ABC除外）．【变式1】（2020·湖南益阳市·八年级期末）阅读与探究我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．请结合上述阅读材料，解决下列问题：()1在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是________ (任写一种即可)；()2图1、图2均为66⨯的正方形网格，点、、、，A B C均在格点上，请在图中标出格点D，连接AD CD 使得四边形ABCD符合下列要求：图1中的四边形ABCD是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形ABCD是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．【变式2】（2020·江西赣州市·八年级期末）在5×7的方格纸上，任意选出5个小方块涂上颜色，使整个图形（包括着色的“对称”）有：①1条对称轴；②2条对称轴；③4条对称轴．模块二、几何变换综合题例题7．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC ＝EF，点E在AC边上．（1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE58FC的长度；（2）如图2，将△CEF 绕点C 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF 分别与直线AC ，BC 交于点M ，N ，当△CMN 是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF 绕点C 顺时针旋转，使得点B ，E ，F 在同一条直线上，点P 为BF 的中点，连接AE ，猜想AE ，CF 和BP 之间的数量关系并说明理由．【变式1】（2021·山东济南市·八年级期末）如图网格中，AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是(3,2)A 、()1,3B ．（1）点A 关于点O 中心对称点的坐标为（_______，_______）；（2）AOB 绕点O 顺时针旋转90︒后得到11AOB ，在方格纸中画出11AOB ，并写出点1B 的坐标（______，_______）；（3）在y 轴上找一点P ，使得PA PB +最小，请在图中标出点P 的位置，并求出这个最小值．【变式2】．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，已知直线y＝kx＋2与直线y＝3x交于点A（1，m），与y轴交于点B．（1）求k和m的值；（2）求△AOB的周长；（3）设直线y＝n与直线y＝kx＋2，y＝3x及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求出n 的值．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2020秋•河西区期末）下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021春•商河县校级期末）如图，正方形ABCD与正方形EFGH边长相等，下列说法正确的个数有（）①这个图案可以看成正方形ABCD绕点O旋转45°前后图形共同组成的；②这个图案可以看成是△ABC绕点O分别旋转45°，90°，135°，180°，225°得到的；③这个图案可以看成是△BOC绕点O分别旋转45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°得到的．A．1个B．2个C．3个D．以上都不对3．（2020秋•遂宁期末）如图，在9×6的方格纸中，小树从位置A经过平移旋转后到达位置B，下列说法中正确的是（）A．先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转45°B．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转45°C．先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转90°D．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转90°4．（2020春•武侯区期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（）A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q5．（2020•长兴县模拟）下面各图形中，不能通过所给图形旋转得到的是（）A．B．C．D．6．（2021春•薛城区期末）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．①B．②C．③D．④7．（2021•饶平县校级模拟）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．（2020秋•齐河县期末）如图，作△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C'，接着△A'B'C'沿着平行于直线l 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）A．对应点连线相等B．对应点连线互相平行C．对应点连线垂直于直线lD．对应点连线被直线l平分二．填空题（共1小题）9．（2021春•东坡区校级期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，并且△ABC≌△DEF，那么这两个全等三角形属于全等变换中的．三．解答题（共6小题）10．（2020秋•东城区校级期中）按照要求画图：（1）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点为A1，B1，C1.画出旋转后的△A1B1C1．（2）下面是3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．11．（2021•钦州模拟）如图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已经涂上阴影．（1）请在图1余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）请在图2余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（只需画出符合条件的一种情形）12．（2021秋•招远市期中）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，涂黑其中三个方格，使剩下的部分成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为涂黑部分）．请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，并且画上对称轴）．13．（2021春•任丘市期末）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出各点的坐标：A，B，C．（2）△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移变换得到的？答：．（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A′B′C′内部的对应点P'的坐标为．（4）求△ABC的面积．14．（2021•宁波模拟）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）15．（2021•慈溪市模拟）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，请在该4×4的网格中，分别按下列要求画一个与△ABC有公共边的三角形：（1）使得所画出的三角形和△ABC组成一个轴对称图形．（2）使得所画出的三角形和△ABC组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）题组B 能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2020秋•南宁期末）拼图是一种广受欢迎的智力游戏．下列拼图组件是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2021•邢台模拟）如图是4×4的网格图．将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（）A．①B．②C．③D．④二．填空题（共4小题）3．（2021春•邵阳县期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点三角形ABC （顶点是网格线的交点）．以点O为旋转中心，将三角形ABC绕点O逆时针旋转90°得到三角形A1B1C1；将三角形ABC向左平移5个单位得到三角形A2B2C2．这样，三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先以点O为旋转中心，绕点O顺时针旋转90°，然后向左平移5个单位得到的．除此以外，三角形A2B2C2还可以由三角形A1B1C1怎样变换得到呢？请你选择一种方法，写出变换过程是．4．（2021春•铁岭月考）在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是．5．（2021•成都模拟）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，θ为旋转角．如图，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°）得到△ADE，则BD长cm．6．（2021春•湖北月考）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…P n．若点P1的坐标为（2，0），则点P2021的坐标为．三．解答题（共6小题）7．（2020秋•福山区期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案．解答下列问题：（1）图①中的三个图案面积都是，且都具有一个共同特征：都是对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．8．（2021春•杏花岭区校级期中）阅读下面材料，并解决相应的问题：在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：连接AC，BC，AD，BD．由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1：）．∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：）．（1）请你将小明证明的依据写在横线上；（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．9．（2021春•贺兰县期中）如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC 为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？10．（2020秋•西城区期末）如图所示的三种拼块A，B，C，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A的拼块的面积为3个单位．现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．（1）若用1个A种拼块，2个B种拼块，4个C种拼块，则拼出的正方形的面积为个单位．（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A种拼块和1个B种拼块，请分别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的A，B，C三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．11．（2020秋•浦东新区期末）如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是对称图形（填“轴”或“中心”）．（2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．12．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为；（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为；（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，﹣1），点Q的坐标为．题组C 培优拔尖练一．填空题（共1小题）1．（2020秋•温州月考）某艺术馆一扇窗户（矩形ABCD）上的窗花设计如图所示，已知AC，BD是矩形ABCD的对角线，EF，GH，IJ，KL将矩形ABCD分割成8块全等的小矩形，EF与KL相交于点N，M 是KN上一点，MN＝2KM，ME与AC相交于点P，这8块小矩形图案均可以由其中的一块经过一次或两次变换得到．设矩形ABCD的面积为S，则阴影部分的面积之和为．（用含S的代数式表示）二．解答题（共6小题）2．（2021春•商水县期末）阅读下面材料：如图（1），把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△DEC的位置；如图（2），以BC为轴，把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3），以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：①在图（4）中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使△ABE变到△ADF的位置；②指图中线段BE与DF之间的关系，为什么？3．（2020春•临邑县期末）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图．（1）分别写出△A′B′C′各点的坐标：A′；B′C′；（2）若点P（a，b）是△A′B′C′内部一点，则其图形变换后的对应点P′的坐标为；（3）说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的图形变换得到的？；（4）△ABC的面积＝．4．（2019秋•怀集县期末）小金鱼在坐标系中的位置如图所示，将小金鱼身上的A、B、C、D、E、F的横坐标都乘以﹣1，纵坐标也都乘以﹣1，小金鱼跑到哪里去了？请在图上画出来．5．（2019春•鹿邑县期中）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．（3）求图中△ABC的面积．6．（2019•安徽二模）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．（1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为．（2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．（3）直接写出AC与y轴交点的坐标．7．（2019春•长春期末）如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出ABC，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形；（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形．。