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(优选)第八节分子对称性和分子点群

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分子的对称性与群论基础群与分子点群

分子的对称性与群论基础群与分子点群

群与分子点群
3、分子点群
立方群
3）、 Ih 点群
对称元素: 6个 C5 轴(相对顶点)、 10个 C3 轴(相对面心)、 15个 C2 轴(相对棱心)、 对称中心.
120个对称操作,分为10个共轭类:
Eˆ , 6 Cˆ5 ,Cˆ54 , 6 Cˆ52,Cˆ53 , 10 Cˆ3 , Cˆ32 , iˆ , 6 Sˆ10 , Sˆ190 , 6 Sˆ130 , Sˆ170 , 10 Sˆ6 , Sˆ65 ,
24
群与分子点群
4、子群与类
如果群的某个元素与其他元素的乘积都可交换，则该元素
自成一类（不与其他元素共轭）。
若：
PA = AP ,
PB =
BP , … ...
必有：
A-1PA = P , B-1PB =
P , …… 即:对元于素分子P 点不群与：其他元素共轭。 恒等操作自成一类； 反演操作自成一类。
O2 , CO2 , C2 H 2
13
群与分子点群
3、分子点群
立方群
具有多于一个高次轴(Cn，n>2)的群，对应于凸正 多面体
4个 C3 轴 3个 C2 轴
T
Th (i)
Td (6d)
正四面体
3个 C4 轴 4个 C3 轴 6个 C2 轴
O Oh (i)
正八面体 正六面体
6个 C5 轴 10个 C3 轴
27
群与分子点群
5、同构与同态
2)、同态 定义：考虑群G与群H，若G的一组元素对应与H的一个元 素，且群G的元素的乘积对应于群H的相应元素的乘积， 则称群H 是群G的一个同态映像。
群G： …., {Aik} , …, {Aj l }, …., {AikAjl} , ….

拉曼光谱讲稿3-分子的对称性与对称点群ppt课件

拉曼光谱讲稿3-分子的对称性与对称点群ppt课件
34
2) 简正坐标
引入一组新的坐标Q1,Q2, , Q3N, 它们 与上述位移坐标q1,q2, , q3N之间的关系是:
3N
Qk Ckiqi
k 1, 2, 3N
10
i1
其中,Cki是代定的系数。
35
适当地选取Cki，可以使分子的动能和 势能在（Q1,Q2, , Q3N）坐标系中具有 如下形式：
4
2.对称元素和对称操作的类型
分子中的对称元素和对称操作，有如下四种 基本类型：
1）对称中心和反演 i 若取分子中某一点为直角坐标的原点，那么在
此坐标系中，每个原子的位置就可用坐标（x,y,z ）来表示。如果把分子中所有坐标取（x,y,z ）和 （-x,-y,-z）的原子相互交换后，分子处于等价构 型时，这个原点所在的点叫做对称中心，与此点 相关联的上述变换叫做反演操作，简称反演。
21
３）可逆性
在分子对称操作集合中取任何一个对 称操作，总可以在此集合中找到另一个 对称操作，它的作用正好抵消前者的效 果。
22
例如，PCl3分子中，取C3操作，就可 以找到另一个对称操作C32 ，它的作用正 好抵消C3的效果，也就是说C32 C3= E， 相当于分子没有发生转动。
我们称C32是C3的逆操作。分子对称操 作集合的这种性质叫做可逆性。
23
一般地说，若取任一对称操作R，它的逆 操作用R-1表示，那么R-1抵消R的效果，即： R-1 R=E。
24
从以上性质可看出，分子全部对称操作 满足群的定义，因而分子全部对称操作构 成一个对称群。
这就使我们不但可以用群的语言描述 分子的对称性，而且还可以用群的理论方 法研究分子的对称性。
25
十一 分子的简正振动

分子对称性点群

分子对称性点群
第五章 分子对称性与分子点群
Chapter 5. Molecular Symmetry and Molecular point groups
5.1 对称性概念
判天地之美,析万物之理。 —— 庄 子
在所有智慧的追求中，很难找到其他例子 能够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称 性原理相比.
—— 李政道
(4)映轴（Sn）和旋转反映操作（ ）
旋转反映是复合操作，相应的对称元素称为映轴Sn. 旋 转反映的两步操作顺序可以反过来.
这两种复合操作都包含虚操作. 相应地,Sn都是虚轴. 对于Sn，若n等于奇数，则Cn和与之垂直的σ都独立存在； 若n等于偶数，则有Cn/2与Sn共轴，但Cn和与之垂直的σ并不 一定独立存在. 试观察以下分子模型并比较:
D 群 3 ：这种分子比较少见，其对称元素也不易看出.
[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一实例.
何其相似！
唯一的C3旋转轴从xyz轴连成的 正三角形中心穿过, 通向Co; C2
三条C2旋转轴分别从每个N–N
x
键中心穿过通向Co.
C2 z
y
C2
D3群 部分交错式乙烷
Dnh : 在Dn群基础上，还有垂直于主轴的镜面σh .
(1) 重叠型二茂铁具有 S5， 所以, C5和与之垂直 的σ也都独立存在；
(2) 甲烷具有S4，所以, 只有C2与S4共轴，但C4和与 之垂直的σ并不独立存在.
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
环辛四烯衍生物中的 S4
分子中心是S4的图形符号
对称操作与对称元素
分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转一定角度能使 分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn . 旋转可以实际 进行，为真操作；相应地，旋转轴也称为真轴.

分子的对称性与点群

分子的对称性与点群

（1）群的构成：群元素可以是各种数学对象或物理动作，可以进行某种数学运算
或物理动作。
（2）群的分类：群有各种类型，如旋转群，置换群，点群，空间群，李群……
（3）群阶：群所含的元素个数称为群阶，
（4）类：群中某些对称元素在相似变换中互为共轭元素的可分为一类。如C3v 点
σ 群中的元素可分为三类，E元素成一类，C31与 C32旋转成一类。三个 v
VI.H3BO3分子
C3h
Cl Cl
Cl
Cs
Cl
C3h
N N
N
N C4h
3. Sn 和Ci点群
分子中有1个Sn轴，当n为奇数时，属Ci群；当n 为偶数但不为4的整数倍时，属 Cn/2h点群；当n为4的整数倍时，属Sn点群。
分子中只含有一个映转轴Sn的点群属于这一类。映转轴所对应的操作是绕轴转 2π/n，接着对垂直于轴的平面进行反映。
（图IV）也是C3对称性分
子。
CO2H
H
HO
H
C3
CH3
C1
Cl
H
C2
C CC
Cl
H
2. Cnv 点群
Cnv群中有1个Cn轴,通过此轴有n个σv 。阶次为2n。 若分子有n重旋转轴和通过Cn轴的对称面σ，就生成一个Cnv群。由于Cn轴的存在， 有一个对称面，必然产生（n-1）个对称面。两个平面交角为π/n。它也是2n阶群。
平面正方形的PtCl42－ SiF4不
具有对称中心
四面体
五、映转轴和旋转反映
映转轴也称为非真轴，与它联系的对称操作是旋转n次轴再平面反映，两个动 作组合成一个操作。
S1n=σC1n
如甲烷分子，一个经过Ｃ原子的四 次映转轴S4，作用在分子上，H１旋转 到1’的位置后，经平面反映到H4的位 置，同时H2旋转到2’的位置再反映到 H3的位置……整个分子图形不变，

分子的对称性与点群

分子的对称性与点群

分子的对称性与点群摘要：分子也像日常生活中见到的物体一样,具有各种各样的对称性。

分子的对称性是分子的很重要的几何性质,它是合理解释许多化学问题的简明而重要的基础。

例如,往往从对称性入手,我们就能获得有关分子中电子结构的一些有用的定性结论,并从光谱推断有关分子的结构。

关键词：对称性点群对称操作一．对称操作与点群如果分子的图形相应于某一几何元素(点、线、面)完成某种操作后,所有原子在空间的排布与操作前的排布不可区分,则称此分子具有某种对称性。

一般将能使分子构型复原的操作,称为对称操作,对称操作所据以进行的几何元素称为对称元素。

描述分子的对称性时,常用到“点群”的概念。

所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。

而全部对称元素的集合构成对称元素系。

每个点群具有一个持定的符号。

一个分子的对称性是高还是低,就可通过比较它们所属的点群得到说明。

二．分子中的对称元素和对称操作2.1 恒等元及恒等操所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。

作分别用E、 E^表示。

这是一个什么也没有做的动作，保持分子不动，是任何分子都具有的对称元素与对称操作。

2.2旋转轴和旋转操作分别用C n、C^n表示。

如果一个分子沿着某一轴旋转角度α能使分子复原，则该分子具有轴C n，α是使分子复原所旋转的最小角度，若一个分子中存在着几个旋转轴，则轴次高的为主轴（放在竖直位置），其余的为副轴。

分子沿顺时针方向绕某轴旋转角度α，α=360°/n （n=360°/α（n=1,2,3……）能使其构型成为等价构型或复原，即分子的新取向与原取向能重合，就称此操作为旋转操作，并称此分子具有 n 次对称轴。

n是使分子完全复原所旋转的次数，即为旋转轴的轴次，对应于次轴的对称操作有n个。

C n n=E﹙上标n表示操作的次数，下同﹚。

如NH3 （见图 1）旋转 2π/3 等价于旋转 2π (复原)，基转角α=360°/n C3 - 三重轴；再如平面 BF3 分子，具有一个 C3 轴和三个 C2 轴，倘若分子中有一个以上的旋转轴，则轴次最高的为主轴。

分子对称性和点群

分子对称性和点群

例二：置换群（群元素为变换位置的操作，乘法规则为从右到左 相继操作）. S3 群 ( 三阶置换群 )
1 2 3 E 1 2 3 1 2 3 A 1 3 2
1 2 3 D 2 3 1 1 B 3 1 2 2 3 2 1 2 3 3 1
{E,D,F}构成S3的一个3阶子群
AA BB CC E
{E,A}、 {E,B}、 {E,C}分别构成S3的2阶子群
3.2.4 群的共轭类
共轭元素: B=X-1AX ( X,A,B都是群G的元素) (A和B共轭）
元素的共轭类: 一组彼此共轭的所有元素集合称为群的 一个类.
f 类 = { x-1fx,
第三章
分子对称性和点群
分子具有某种对称性. 它对于理解和应用分子 量子态及相关光谱有极大帮助. 确定光谱的选择定则需要用到对称性. 标记分子的量子态需要用到对称性.
3.1 对称元素
对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象. 把等价原子进行交换的操作叫做对称操作. 对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.
A4 =E
（2）非循环群
欲构成非循环群，只可能是各元素的逆元素为自身 即 A2 =B 2 =C 2 =E ,再根据重排定理即可得乘法表
3.2.3 群的子群
•子群: 设 H 是群 G 的非空子集, 若对于群 G 的乘法规则,集合 H 也 满足群的四个条件,则称 H 是 G 的子群. • 1) 封闭性 • 2) 结合律： H属于G并且为相同的乘法规则，因此结合律显然满足 • 3) 恒等元素：针对每个子群加入群G的恒等元素即可 • 4) 逆元素 因此满足条件1）与4）是证明子群成立的关键. 显然, 恒等元素 E 单独构成的群和群 G 自身是平庸子群.

结构化学分子的对称性演示文稿

结构化学分子的对称性演示文稿

条棱对应着3条S4. 每个S4可作出S41 、S42 、S43 三个
Z
对称操作，共有9个对称操作. 但每条S4必然也是C2， S42与C2对称操作等价，所以将3个S42划归C2，
穿过正四面体每条棱 并将四面体分为两半 的是一个σd , 共有6个 σd 。
Y
X
从正四面体的每个顶点到对
面的正三角形中点有一条C3 穿过, 所以共有4条C3,可作出 8个C3对称操作。
四面体 面：4个正三角形 顶点：4个 棱：6条
立方体 面：6个正方形 顶点：8个 棱：12条
八面体 面：8个正三角形 顶点：6个 棱：12条
十二面体 面：12个正五边形 顶点：20个 棱：30条
二十面体 面：20个正三角形 顶点：12个 棱：30条
立方群：包括T、Td 、Th 、O、Oh 、I、Ih 等.
D3群：这种分子比较少见，其对称元素也不易看出.
[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一实例.
C2
C2
唯一的C3旋转轴从正三角形中 心穿过, 通向中心Co;
三条C2旋转轴分别从每个N–N
键中心穿过通向Co.
C2
Dnh群：在Dn 基础上，还有一个垂直于主轴的对称面σh。
群的阶为4n。
D2h 群 ：N2O4
θ
甲基不处于最高对称位置 甲基处于最高对称位置
属于T群
属于Td群
Th群：T群的基础上，在垂直C2轴方向还有对称面，3个C2 轴则有3个对称面，C2轴与垂直的对称面又会产生对称中 心。群的阶为24。 属Th群的分子也不多。近年合成了过渡金属与C的原子簇 合物Ti8C12+、V8C12+即属此对称性。
Ti8C12+ 属Th点群

点群及分子的对称性

点群及分子的对称性

ˆ i ˆ i ˆ i ˆC ˆE ˆ I
3 3 3 3 3
6 6 ˆ6 ˆ ˆE ˆE ˆ ˆ I 3 i C3 E
I3包括6个对称动作。
2014-11-6 20
第一章 分子的对称性
2 ˆ ˆ i ˆ ˆ 由于 : C3 , C3 , E C3 iˆ, E
其余动作为二者的联合。
y (x', y')
0
x x y y 0 1 z z
sin cos 0 0 x y 0 1 z
α
(x, y)
x' x cos ' ˆ y sin y C ( ) z' z 0
第一章 分子的对称性
对称性的概念 对称性普遍存在于自然界。
2014-11-6
1
第一章 分子的对称性
分子的对称性 是指分子的几何 构型或构象的对
称性。它是电子
运动状态和分子
结构特点的内在
反映。
2014-11-6
2
第一章 分子的对称性
§1-1 对称操作和对称元素
对称操作 不改变图形
对称操作: 旋转
中任意两点间的
结合律： A(BC)=(AB)C;
单位元素： 0;
2+(3+4)=(2+3)+4
0+3=3+0=3
逆元素： A-1=-A ;
3-1=-3
3+(-3)=(-3)+3=0
2014-11-6
28
第一 分子的对称性
群的乘法表
C2v 群的乘法表

分子对称性和点群52页PPT

分子对称性和点群52页PPT

26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
分子对称性和点群
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
▪
谢谢！52Fra bibliotek

点群及分子的对称性69页PPT

点群及分子的对称性69页PPT

▪
26、要使备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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点群及分子的对称性
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。

分子对称性PPT课件

分子对称性PPT课件

I6包括6个对称动作。
第二第十二二十二页页，，课课件件共共有5有9页59页
I6 C3 h
22 22
第四章 分子的对称性
结论 In 包含的独立动作
Ø
当
n
为奇数时，I
包含
n
2n个对称动作，可由
Cn i
组成；
Ø 当 n为偶数时，
(1)
n
不是4的倍数时，
I
可由
n
Cn / 2 组h 成，包
含 n 个对称动作。
无
单
轴
轴
群
群
双
多
面
面
群
体 群
2021/12/23
31
2021/12/23
31
第三十一页，课件共有59页
第四章 分子的对称性
一、单轴或无轴群
⒈ Ci 群
O
OC
C
Fe
Fe
C
CO
O
对称元素： i Ci iˆ Eˆ h 2
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32
2021/12/23
32
第三第十三二十二页页，，课课件件共共有5有9页59页
第四章 分子的对称性
四、旋转反演操作(
Iˆn)和反轴(
I
)
n
1. 旋转反演操作( Iˆn)
这是一个联合操作，先依据某一直线旋转 Cˆ，n 然后按照轴上的中心点进行反演，Iˆn iˆCˆn 。
2. 反轴( In)
旋转反演操作依据的轴和对称中心称为反轴，In
的n决定于转轴的轴次。
2021/12/23
结合律
2021/12/23 2021/12/23
群中三个元素相乘有A(BC) (AB)C

分子对称性和分子点群课件

分子对称性和分子点群课件
分子对称性对反应选择性具有重要影响，某些对称性较高的分子在特定化学反应中表现出更高的选择性。
以烷烃为例，烷烃的对称性越高，其化学反应选择性越低，因为它们具有更稳定的分子结构。
以烯烃为例，烯烃的对称性较低，因此它们在加成反应中表现出较高的反应活性。
以芳香族化合物为例，由于芳香族化合物具有较低的对称性，它们在取代反应中表现出较高的反应活性。
确定分子的点群
分子的点群是根据分子的对称性进行分类的，通过确定分子的点群可以更好地理解分子的结构和性质。
指导药物设计和材料科学
分子对称性在药物设计和材料科学中具有重要意义，例如在药物设计中，可以利用分子对称性来设计具有特定性质的化合物。
分子点群的基本概念
CATALOGUE
02
第一类点群
第二类点群
总结与展望
CATALOGUE
06
分子对称性和分子点群是化学和物理领域中非常重要的概念，它们在化学反应动力学、光谱学、晶体工程和材料科学等领域有着广泛的应用。
通过了解分子的对称性和点群，我们可以更好地理解分子的结构和性质，预测其物理和化学行为，并设计具有特定功能的材料和分子。
对称性在化学反应中起着关键作用，可以影响反应的速率和选择性。了解分子的对称性可以有助于预测反应的产物和途径，从而优化反应条件和设计更有效的合成方法。
分子对称性分类
分子对称性与分子点群的关系
CATALOGUE
03
分子对称性是指分子在三维空间中的对称性质，包括对称轴、对称面和对称中心等。
分子点群是指分子的空间排列方式，不同的点群对应不同的空间结构。
分子对称性与分子点群之间存在一一对应的关系，即每个点群都有其独特的对称性。
以水分子为例，其具有对称中心和两个对称轴，属于点群$C_{2v}$。通过分析其对称性，可以了解水分子的稳定性、极性等性质。

《分子对称性》课件

《分子对称性》课件

05
分子对称性的实例分析
烷烃的分子对称性
烷烃的分子结构：由碳原子和氢原子组成，碳原子之间以单键相连
烷烃的对称性：烷烃分子具有对称性，可以划分为对称中心和旋转 对称轴 烷烃的对称性分类：根据对称性的不同，可以分为Cn、Dn、Cnv、 Dnh等类型
烷烃的对称性应用：在化学合成、药物设计等领域具有重要应用
添加 标题
杂环化合物的分子对称性：指杂环化合物 分子中存在的对称性关系
添加 标题
实例分析：苯环、吡啶环、嘧啶环等杂环 化合物的分子对称性
添加 标题
分子对称性的应用：在药物设计、材料科 学等领域具有重要应用
添加 标题
分子对称性的研究进展：近年来，杂环化 合物的分子对称性研究取得了重要进展， 为相关领域的发展提供了新的思路和方法。
对称操作和对称元素
对称操作：在空间中保持分子 不变的操作，如旋转、反射等
对称元素：在分子中保持不变 的元素，如原子、键等
对称性：分子在空间中的对称 性，如旋转对称、反射对称等
对称操作和对称元素的关系： 对称操作保持对称元素不变， 对称元素在空间中保持对称性
对称性的分类
对称性分为旋转对称性和反射 对称性
官能团
拉曼光谱（Raman）：通 过拉曼光谱实验测定分子结
构中的振动模式
电子显微镜（EM）：通过 电子显微镜实验测定分子结
构中的精细结构
对称性分析的方法
化学键对称性：研究分子中 化学键的对称性，如单键、 双键、三键等
空间对称性：研究分子在空 间中的对称性，如旋转对称、 反射对称等
电子对称性：研究分子中电 子的分布和对称性，如电子
对称性在化学反应中的应用主要体现在化学反应的预测、反应机理的解析、反应产物的 预测等方面。 对称性在化学反应中的应用还可以帮助科学家更好地理解化学反应的本质，为化学反应 的设计和优化提供指导。

OMD分子对称性与点群精讲

OMD分子对称性与点群精讲

x' x cos ' ˆ y sin y C ( ) ' z z 0
sin cos 0
0 x y 0 1 z
x
14
连续行施两次对称操作
20
ˆ xy 将任 若镜面和xy平面平行并通过原点，则反映操作
意一点（x, y, z）变为（x, y,-z），新旧坐标间的关系用矩
阵方程可表示为
x ' 1 0 0 x ' y y 0 1 0 z' z 0 0 1
S4 h C4 , S C2 , S h C , S E
2 4 3 4 4 4






3 4


26
CH4 的 四 重 象 转 轴 S4 及 旋 转 反 映 操 作
旋转90°
相互等价
反映
27
仍代表 H
3.1.6 反轴(In )和旋转反演操作( Î n)
这也是一个复合对称操作：先绕轴旋转3600/n(并未进入 等价图形)，接着按对称中心(在轴上)进行反演(图形才进入 等价图形)。对应的操作为:
E

n 为偶数 n 为奇数
h

25
C2
2
1 4
S1 S2 i S 3 C3 h S 4 h C4 S 5 h C5 S6 C3 i
独立的元素

σh
S2= i 示意图
对于 Sn 群，当 n 为奇数时，有 2n个操作，它由 Cn 和 h 组成；当 n 为偶数而又不为 4 的整数倍时，有 n 个操作，Sn 群可看成由有Cn/2 与 i 组 成；只有 S4 是独立的对称操作（严 格讲应是 S4n 为独立的对称元素）， 它包含的对称操作有：

第八节 分子对称性和分子点群

第八节 分子对称性和分子点群
G中各元素之间的运算满足乘法结合率，即三个元 素相乘其结果和乘的顺序无关，即 ( AB)C A( BC )
G中具有单位元素，它使集合G 中的任一元素足于 ER RE R
1 1
G中任一元素R均有其逆元素 R ， R 有逆元素 且有 RR 1 R 1 R E
亦属于G，
B、群的阶和子群
群中元素的数目为群的阶，群中所包含的小群称为子群。群阶和 子群的关系为： 大群阶（h）/子群阶（g）=正整数（k）
C、共轭元素和群的分类 若X和A是群G中的两个元素，有 X 1 AX B ，这时，称A 和 B为共轭元素。群中相互共轭的元素的完整集合构成群的类。 Example 在 H 2O的 C2v群中的任意两个元素之积是可以交换
10vcconvc群群中含有一个群中含有一个cn轴还有一个垂直于轴还有一个垂直于cn轴面轴面h当当n为奇数时此群相当于为奇数时此群相当于cn和和h的乘积当的乘积当n为偶数时为偶数时cnh相当相当于于cn和和i的乘积因此群阶为的乘积因此群阶为2nnhc群nc1hchclo64chnnhnhnhnnnnhnnhcccccceccsssss1212点群示例点群示例点群定义点群定义2hchc群nd点群示例点群示例2221212nnnnnncccccced在群的基础上加上n个垂直于主轴的二重轴且分子中不存在任何对称面则有
C
2 E , C n , C n , C n3 , … , C n 1 n n E ) (C n
n
C1
CHFClBr
Cn 群
点群示例
C2
C3
H 2O2
部分交错
CCl3CH3
Cnv 群
点群定义 点群表示 点群示例
群中有Cn 轴，还有通过 Cn轴的n个对称面.
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对称元素
对分子几何图形施行对称操作时，所依赖的几何 要素（点、线、面及其组合）。
转 120 o
（1）
恒等元素
(
E
)
和恒等操作
(
E
)
恒等操作
恒等操作是所有分子几何图形都具有 的，其相应的操作是对分子施行这种 对称操作后，分子保持完全不动，即 分子中各原子的位置及其轨道的方位 完全不变。
（2）对称轴
（优选）第八节分子对称性和 分子点群
将这首诗从头朗诵到尾, 再反过来, 从尾到头去朗 诵, 分别都是一首绝妙好 诗. 它们可以合成一首 “对称性”的诗，其中
每一半相当于一首“手 性”诗.
一 、对称元素和对称操作
每一次操作都能够产生一个和原来图形等 价的图
对称操作 形，经过一次或连续几次操作能使图形完全复原。
n
h
h
,
C
×s
n
h
,
点群示例
C 1h
Cn
C 2h
HClO
C4 H 6
点群定义
Dn 群
在 Cn 群的基础上，加上n个垂直于主轴 Cn的二重轴 C2 ，且分子 中不存在任何对称面，则有：该群中共有2n个独立对称操作。
点群示例
Dn
E,
Cn
,
Cn2
,,
Cnn1
,
C2(1)
,
C2( 2)
,,
C2( n )
素相乘其结果和乘的顺序无关，即 ( AB)C A(BC)
有单位 元素
G中具有单位元素，它使集合G 中的任一元素足于 ER RE R
G中任一元素R均有其逆元素 R1， R1 亦属于G， 有逆元素 且有 RR1 R1R E
B、群的阶和子群
群中元素的数目为群的阶，群中所包含的小群称为子群。群阶和
(Cn
)
和旋转操作
(Cn
)
C 轴定义 n
…
将分子图形以直线为轴旋转某个角度能产生 分子的等价图形。
单重（次）轴C1 2 二重（次）轴C2 2 / 2 三重（次）轴C3 2 / 3
n重（次）轴Cn 2 / n
操作定义
旋转轴能生成n个旋转操作，记为：
Cn
,
C
2,
n
… …
C C
n1,
n
E
E
…
C 群共有四类， 每个元2素v 为一类。
பைடு நூலகம்
C21 s v C2 C21 C2 s v E s v s v
…
Cn 群
点群定义
对称元素是n重旋转轴，共有n个旋转操作， 标记为Cnn 。
点群表示
… C n
E
,
Cn
,
C
2 n
,
C
3 n
,
,
C
n 1
n
(C
n n
E)
点群示例 C1
无任何对 称 元素
Cv
C3v
CO
NH 3
点群定义
Cnh 群
群中含有一个 Cn 轴，还有一个垂直于Cn 轴面σh,当
n为奇数时，此群相当于Cn 和σh的乘积，当n为偶数时，Cnh相当
于Cn 和 i 的乘积，因此群阶为2n。
C nh
C n×s
h
…
…
E ,C n
C
2×s
n
,
h
C
2 n
,
, ,
C
,
C
n n
1
,
s
n 1 ×s
心点即是对称中心。
C2 H 2Cl2 有对称中心
BF3
无对称中心
（5）象转轴 (Sn )和旋转反映操作 (Sn )
如果分子图形绕轴旋转一定角度后，再作垂直此轴的 镜面反映，可以产生分子的等价图形，则将该轴和镜
面组合所得到的对称元素称为象转轴。
Sn Cn s h s h Cn
S
k n
s h Cnk
S
k n
C
k n
Snn
sh
S
n n
E
(k为奇数时) (k为偶数时) (n为奇数时) (n为偶数时)
S1 s h
S2 C2 s h i
（5）象转轴 (Sn )和旋转反映操作 (Sn )
操作演示
在反式二氯乙烯分子中, Z轴是C2轴, 且有垂直于Z轴的镜面,因此Z轴必 为S2 (见左图), 此时的S2不是独立的。 而Y轴不是C2轴, 且没有垂直于Y 轴的镜面, 但Y轴方向满足S2对称性 (见右图), 此时的S2是独立的。
n
n
（2）对称轴
(Cn
)
和旋转操作
(Cn
)
操作演示
C３
C２
（3）对称面s 和反映操作 s
对称面所相应的对称操作是镜面的一个反映
对称面
s v 面：包含主轴
s h 面：垂直于主轴 s d 面：包含主轴且平分相邻 C22轴夹角
（4）对称中心 (i) 和反演操作 (i)
对于分子中任何一个原子来说，在中心点的另一侧，必能 找到一个同它相对应的同类原子，互相对应的两个原子和 中心点同在一条直线上，且到中心点有相等距离。这个中
部分交错式的 C2 H 6
D3 (右图中红色的轴为C3,蓝色的轴为C2.)
Dnh 群
点群定义 在就D得n到群的D基nh 群础，上它，有加4上n一个个群垂元{直素于. C}n 轴的镜面sh ，
点群表示
Dnh Dn * C1h Dn * E,s h
sEh,
Cn , Cn2 …
,
C n1 n
,
C (1) 2
CHFClBr
Cn 群
点群示例
C2
C3
H 2O2
部分交错 CCl3CH3
Cnv 群
点群定义 群中有Cn 轴，还有通过 Cn轴的n个对称面.
点群表示
… …
C nv
E
,C
n,C
2 n
,
,C
n n
1
,
s
1 v
,
s
2 v
,
,s
n v
点群示例
C2v
C3v
Cv
NH 3
CO
C2H 2Cl2
点群示例
Cnv 群
1、群的基本概念 i、群的定义一个集合G含有A、B、C、D等元素，在这些元
素之间定义一种运算（通常称为“乘法”），如果满足下四个 件，则称为集合G为群。
G含有A、B、C、D等元素，若A和B是G中任意两个元
封闭性 素，则有 AB C 及 A2 D ，C和D仍属G中的元素
缔和性
G中各元素之间的运算满足乘法结合率，即三个元
zs2
y
x
对称操作的乘积
如果一个操作产生的结果和两个或多个其他操作 连续作用的结果相同，通常称这一操作为其他操 作的乘积。
Example满其足结于果分关相子系当具于A有B对A,分BC子, C，单 , D独即 施对等行分对子C称先操操后作作施，，行则若称B其和C中为A某操A些作和操，B作 的乘积。
二、分子点群
子群的关系为：大群阶（h）/子群阶（g）=正整数（k）
C、共轭元素和群的分类
若X和A是群G中的两个元素，有 X 1AX B ，这时，称A 和
B为共轭元素。群中相互共轭的元素的完整集合构成群的类。
Example 在 H2O的 C2v群中的任意两个元素之积是可以交换
的，每个元素与自身共轭，即
E C2
C2
,
…,
C (n) 2
,
sh
,
sh.
.C
2 n
…
,s h
.
C n1 n
,
s (1) v
,
s
(2) v
,
…,s
( v
n
)
Cn
,
点群示例
D 2h
C2H4
D4h
ReCl8