高考理科数学第一轮函数专题测试题参考答案

新编高考理科数学第一轮阶段性测试题&参考答案阶段检测卷(一) (函数与导数) 时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．(2016年新课标Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0} ，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞ ,2]∪ [3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪ [3，＋∞)2．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2，或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2，或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}3．(2016年河北保定二模)已知函数f (x )＝x 2－2cos x ，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25的大小关系是( )A ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0)D ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x5．函数f (x )＝log a (ax －1)在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 6．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]7．(2016年新课标Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3| 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则1mi i x =∑＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m8．若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )<xf ′(x )，则( ) A ．2f (1)<f (2) B ．2f (1)>f (2) C ．2f (1)＝f (2) D ．f (1)＝f (2)二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．(2015年新课标Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝_____________________________.10．直线y ＝m (m >0)与函数y ＝|log 2x |的图象交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，下列结论正确的是________．(填序号)①0<x 1<1<x 2；②x 1x 2＝1；③1222x x ＋<4；④1222x x ＋>4.11．(2015年福建)如图N1­1，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_____________．图N1­1三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．12．(14分)已知函数f(x)＝x22－(1＋2a)x＋4a＋12·ln(2x＋1)．(1)设a＝1时，求函数f(x)极大值和极小值；(2)a∈R时讨论函数f(x)的单调区间．13．(20分)(2016年北京)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证：a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．阶段检测卷(二) (三角函数、平面向量与解三角形)时间：50分钟满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的是()A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 2x D．y＝cos 2x2．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b23．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB→＝0，则OC→等于( )A ．2OA→－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →4．(2016年江西赣中南五校一联)如图N2­1，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x∈R ，ω>0)图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω等于( )图N2­1A ．8 B.π8 C.π4 D.π25．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2π B ．图象C 关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0点对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到 D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数6．如图N2­2，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，海上救生艇在A 处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C 处，还测得该船正沿方位角105°的方向以9海里/时的速度行驶．若救生艇立即以21海里/时的速度前往营救，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为( )图N2­2A.15小时B.13小时 C.25小时 D.23小时7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图N2­3，为了得到g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象，只需将f (x )的图象( )图N2­3A ．向左平移π3个长度单位 B ．向右平移π3个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向右平移π6个长度单位8．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，ΑC →＝2a＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥ΒC→二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．如图N2­4，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．图N2­410．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为____________．11．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC 的最大值是________．三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cosA ，tan A ＝13，求B .13．(20分)(2016年北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．阶段检测卷(三) (数列) 时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．已知数列1，－1,1，－1，…，则下列各式中，不能作为它的通项公式的是( )A ．a n ＝(－1)n －1B ．a n ＝sin(2n －1)π2C ．a n ＝－cos n πD ．a n ＝(－1)n2．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．(2015年浙江)设A ，B 是有限集，定义d(A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card (A )表示有限集A 中的元素个数：命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d(A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d(A ，C )≤d(A ，B )＋d(B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立4．已知数列{a n }为等比数列，且a 5a 9＝2π3，则cos(a 2a 12)＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－325．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于26．在等差数列{a n}中，a n>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5a6的最大值是()A．3B．6C．9D．367．设实数a，b，t满足|a＋1|＝|sin b|＝t.()A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2＋2a唯一确定C．若t确定，则sin b2唯一确定D．若t确定，则a2＋a唯一确定8．观察下列等式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……可归纳猜想出的一般结论为()A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*) D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， ……照此规律， 第n 个等式为____________________．10．(2014年新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________．11．已知在等差数列{a n }中，前n 项的和为S n ，S 6>S 7>S 5，则：①数列的公差d <0；②S 11>0；③S 12<0；④S 13<0；⑤S 8>S 6；⑥S 8>S 3.其中正确的是______________． 三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(10分)设数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ，求|T n －1|＜11000成立的n 的最小值．13．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝－2，a n＋1＋3S n＋2＝0(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)是否存在整数对(m，n)，使得等式a2n－m·a n＝4m＋8成立？若存在，请求出所有满足条件的(m，n)；若不存在，请说明理由．14．(12分)设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2－a n x－a n＝0有一根为S n －1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)猜想数列{S n}的通项公式，并给出证明．阶段检测卷(四) (不等式) 时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．(2015年安徽)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．12．(2015年广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315 B ．6 C.235 D ．4 3．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]4．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是( )A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年5．(2016年浙江)若平面区域⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.3 55B. 2C.3 22 D. 56．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．7．(2013年大纲)记不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．8．(2015年山东)定义运算“⊗”： x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是________ .9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 10．已知S n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 2n －1的前n 项和，若不等式|λ＋1|<S n ＋n2n －1对一切n ∈N *恒成立，则λ的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．11．(10分)(2015年广东肇庆一模)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称 空调器 彩电冰箱工时121314产值/千元432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)12．(12分)(2016年四川)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1x－ee x，其中q∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x ＞1时，g (x )＞0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．13．(12分)已知函数f (x )＝mxx 2＋n(m ，n ∈R )在x ＝1处取到极值2. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝ln x ＋ax .若对任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[1，e]，使得g (x 2)≤f (x 1)＋72，求实数a 的取值范围．阶段检测卷(五) (圆锥曲线) 时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0垂直，则m 的值为( )A ．－8B ．0C ．10D ．22．若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或73．(2014年新课标Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．14．设过点(0，b )，且斜率为1的直线与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则b 的值为( )A ．2±2B ．2±2 2C ．－1±2 D.2±15．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12 B.3＋12C ．2 D.5＋126．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．967．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( )A. 3B.32C.33D.348．如图N5­1，F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()图N5­1A．4 B.7 C.2 33 D.3二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．已知双曲线C1，C2的顶点重合，C1的方程为x24－y2＝1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为__________．10．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝__________.11．在△ABC中，∠A＝30°，|AB|＝2，S△ABC＝ 3.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝__________.三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(14分)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为短轴长的3倍．(1)求椭圆E的离心率；(2)设椭圆E的焦距为2 2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与圆x2＋y2＝34相切．13．(20分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x轴上是否存在点E ，使EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，说明理由．阶段检测卷(六) (立体几何)时间：50分钟满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β2．如图N6­1，在四面体A­BCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°图N6­1 图N6­23．如图N6­2，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c4．(2016年辽宁大连测试)已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β，则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．如图N6­3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ­BCD ，则在三棱锥A ­BCD 中，下列命题正确的是( )图N6­3A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC6．如图N6­4，四棱锥S ­ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )图N6­4A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角7．如图N6­5，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图N6­5A ．96B ．80＋4 2πC ．96＋4(2－1)πD ．96＋4(2 2－1)π8．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，命题“a ∥b 且a ⊥c ⇒b ⊥c ”是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有________个．10．如图N6­6，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE 沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折的过程中，正确的命题是________(填序号)．图N6­6①|BM|是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.11．(2016年浙江)某几何体的三视图如图N6­7(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.图N6­7三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(10分)(2015年安徽)如图N6­8，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过点A1，D，E的平面交CD1于点F.(1)证明：EF∥B1C；(2)求二面角E­A1D­B1余弦值．图N6­813．(12分)(2014北京西城二模)如图N6­9，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧视图如图N6­10.(1)证明：BC⊥平面PBD;(2)证明：AM∥平面PBC;(3)线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为34？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．图N6­9 图N6­1014．(12分)(2016年湖南师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学四校联考)如图N6­11，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB 与△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A­PD­B的余弦值．图N6­11阶段检测卷(七) (概率与统计)时间：50分钟满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i2．(2016年新课标Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.3103．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1365石4．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．如图N7­1，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()图N7­1A ．6B ．8C ．12D ．185．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图(如图N7­2)．下列结论不正确的是( )图N7­2A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关6．(2015年广东惠州一模)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图N7­3，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )图N7­3A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x7．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 1<12<p 2C ．p 2<12<p 1 D.12<p 2<p 18．如图N7­4，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为E (X )( )图N7­4A.126125B.65C.168125D.75二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答)10．(2016年北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有______种．11．(2013年湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为________．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.9974.)三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(14分)甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是320，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过测试的概率比丙大．(1)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；(2)求测试结束后通过的人数ξ的数学期望E(ξ)．13．(20分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取1辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产1辆甲品牌轿车的利润为X1，生产1辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．阶段检测卷(一)1．D 解析：由(x －2)(x －3)≥0，解得x ≥3，或x ≤2.所以S ＝{x |x ≤2，或x ≥3}．所以S ∩T ＝{x |0<x ≤2，或x ≥3}．故选D.2．A 解析：由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2，或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p ，q 均为真命题．∴a ≤－2，或a ＝1.3．A 解析：f ′(x )＝2x ＋2sin x ，当x ∈[0,1]时f ′(x )>0.∴f (x )为增函数，所以f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，又f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25.4．D 解析：函数y ＝x 是非奇非偶函数；y ＝|sin x |和y ＝cos x 是偶函数；y ＝e x －e －x 是奇函数．故选D.5．D 解析：由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －1为增函数，∴若函数f (x )为减函数，则f (x )＝log a u 必为减函数，因此0<a <1.又y ＝ax －1在[2,3]上恒为正，∴2a －1＞0，即a ＞12.故选D.6．B 解析：令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2， 则f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20，∴f (x )的最小值为f (2)＝－20.故m ≤－20.7．B 解析：因为y ＝f (x )，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x ＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m2＝m ，当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m .故选B.8．A 解析：由于f (x )<xf ′(x )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝f ′(x )x －f (x )x 2>0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递增函数，∴f (2)2>f (1)1，即f (2)>2f (1)．故选A.9．8 解析：由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0，且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.10．①②④ 解析：显然①正确．|log 2x 1|＝|log 2x 2|⇒－log 2x 1＝log 2x 2⇒log 2(x 1x 2)＝0⇒x 1x 2＝1，所以②正确；1222x x ＋>2＝＝2 22＝4.④正确．11.512 解析：阴影部分面积S ＝21(⎰4－x 2)d x ＝231143x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝53，∴所求概率p ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512. 12．解：(1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 22－3x ＋52ln(2x ＋1)，x >－12. f ′(x )＝x －3＋52x ＋1＝(2x ＋1)(x －3)＋52x ＋1＝(2x －1)(x －2)2x ＋1. 令f ′(x )＝0，则x ＝12，或x ＝2.f (x )极大＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52ln2－118，f (x )极小＝f (2)＝52ln5－4. (2)f ′(x )＝x －(1＋2a )＋4a ＋12x ＋1＝(2x ＋1)(x －1－2a )＋4a ＋12x ＋1＝(2x －1)(x －2a )2x ＋1. 令f ′(x )＝0，则x ＝12，或x ＝2a ，(ⅰ)当2a >12，即a >14时，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，(2a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2a ；(ⅱ)当2a ＝12，即a ＝14时，f ′(x )＝(2x －1)22x ＋1≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上恒成立，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞；(ⅲ)当－12<2a <12，即－14<a <14时，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，12； (ⅳ)当2a ≤－12，即a ≤－14时，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. 综上所述，a ≤－14时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12；－14<a <14时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，12； a ＝14时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞；a >14时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，(2a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2a . 13．(1)解：由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b .又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c )．所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解：由a ＝b ＝4，得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c . ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0. 解得x ＝－2，或x ＝－23.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)， x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0. 由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)证明：当Δ＝4a2－12b＜0时，即a2－3b＜0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)，此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增．所以f(x)不可能有三个不同零点．当Δ＝4a2－12b＝0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x0.当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(－∞，x0)上单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增．所以f(x)不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有Δ＝4a2－12b＞0.故a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要条件．当a＝b＝4，c＝0时，a2－3b＞0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有两个不同零点，所以a2－3b＞0不是f(x)有三个不同零点的充分条件．因此a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．阶段检测卷(二)1．B解析：A，C为奇函数；y＝cos 2x在(0，π)上的单调性不确定．故选B.2．B解析：因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|，所以选项A正确；当a与b 方向相反时，|a －b |≤||a |－|b ||不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，所以选项D 正确．故选B.3．A 解析：由2AC →＋CB →＝0，得2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0.故OC →＝2OA →－OB→. 4．C 解析：由题意可得：OP ＝2，PM ⊥PN ，所以OM ＝ON ＝2；所以函数的周期为8，即ω＝π4.故选C.5．B 解析：f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，∴图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，∴图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到．函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是先增后减． 6．D 解析：设在点B 处相遇，所需时间为t 小时．在△ABC 中，∠ACB ＝120°，AC ＝10，AB ＝21t ，BC ＝9t .由余弦定理，得(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t ×cos 120°.整理，得36t 2－9t －10＝0.解得t ＝23或－512(舍去)．故救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为23小时．7．D 解析：由图象知A ＝1，T 4＝7π12－π3⇒T ＝π，2πω＝π⇒ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝－1⇒2·7π12＋φ＝3π2＋2k π，|φ|<π2，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，为了得到g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin(2x )的图象，所以只需将f (x )的图象向右平移π6个长度单位即可．故选D.8．D 解析：如图D173，由题意，BC→＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1；又AB→·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2ab＝2×2cos 60°＝2，所以a ·b ＝－1，故B ，C 错误；设B ，C 中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD→，且AD →⊥BC →，而2AD →＝2a ＋(2a ＋b )＝4a ＋b ，所以(4a ＋b )⊥ΒC →.故选D.图D1739．2 解析：∵O 是BC 的中点，∴AO→＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.10．8 解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154.又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24.解方程组⎩⎨⎧ b －c ＝2，bc ＝24得⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64.所以a ＝8.11．22 解析：BC 边上的高与BC 边长相等，根据面积得12BC 2＝12AB ·AC ·sin A ，即BC 2＝AB ·AC ·sin A .AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC ＝AC 2＋AB 2＋BC 2AB ·AC ＝BC 2＋2AB ·AC ·cos A ＋BC 2AB ·AC ＝2AB ·AC ·sin A ＋2AB ·AC ·cos AAB ·AC＝2sin A ＋2cos A ＝2 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤2 2.12．解：由题设和正弦定理，得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 左、右同时除以cos A ，得3tan A cos C ＝2sin C . ∵tan A ＝13，∴cos C ＝2sin C ，即tan C ＝12. ∴tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1.∴B ＝135°.13．解：(1)由余弦定理及题设，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又∵0<∠B <π，∴∠B ＝π4. (2)由(1)知，∠A ＋∠C ＝3π4.2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4，因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.阶段检测卷(三)1．D2．B 解析：∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列．∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0，∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．3．A 解析：命题①显然正确；通过文氏图D174验证d (A ，C )与d (A ，B )＋d (B ，C )的关系，得命题②也成立，故选A.图D1744．B 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2a 12＝a 5a 9＝2π3. ∴cos(a 2a 12)＝cos 2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－12.5．D 解析：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.6．C 解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝(a 1＋a 10)×102＝30，∴a 5＋a 6＝a 1＋a 10＝6.∴a 5a 6≤a 5＋a 62＝3，a 5a 6≤9.7．B 解析：因为|a ＋1|＝|sin b |＝t ，所以(a ＋1)2＝sin 2b ＝t 2.所以a 2＋2a ＝t 2－1.故当t 确定时，t 2－1确定，所以a 2＋2a 唯一确定．故选B.8．D 解析：观察，得第n 行等式的左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2.故选D.9．(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)．10．A 解析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：11．①②④⑥ 解析：S 6>S 7>S 5⇒a 6>0，a 7<0，a 6＋a 7>0，则a 7－a 6＝d <0①正确；S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，②正确；S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2>0，③错误；S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，④正确；S 8－S 6＝a 7＋a 8<0，⑤错误；S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6>0，⑥正确． 12．解：(1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n >1)，即a n ＝2a n －1(n >1)，所以q ＝2.从而a 2＝2a 1，a 3＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)．所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)．解得a 1＝2.所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n .(2)由(1)，得1a n＝12n .所以T n ＝12＋122＋123＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n . 由|T n －1|<11000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n >1000.因为29＝512<1000<1024＝210，所以n ≥10. 于是，使|T n －1|<11000成立的n 的最小值为10. 13．解：(1)当n ＝1时，得a 2＋3S 1＋2＝0.解得a 2＝4. 当n ＝2时，得a 3＋3S 2＋2＝0，S 2＝a 1＋a 2＝2. 解得a 3＝－8.(2)当n ≥2时，(a n ＋1－a n )＋3(S n －S n －1)＝0， 即(a n ＋1－a n )＋3a n ＝0，a n ＋1＝－2a n (n ≥2)．另由a 2＝－2a 1，得a n ＋1＝－2a n .所以数列{a n }是首项为－2，公比为－2的等比数列． ∴a n ＝(－2)n .(3)把a n ＝(－2)n 代入a 2n －m ·a n ＝4m ＋8中， 得(－2)2n－m ·(－2)n＝4m ＋8，即m ＝(－2)2n －8(－2)n ＋4.∴m ＝(－2)2n －16＋8(－2)n ＋4＝(－2)n－4＋8(－2)n ＋4.要使m 是整数，则需8(－2)n ＋4是整数，∴(－2)n ＋4能被8整除． 当n ＝1时，(－2)n ＋4＝2，8(－2)n ＋4＝4，此时m ＝－2；当n ＝2时，(－2)n ＋4＝8，8(－2)n ＋4＝1，此时m ＝1；当n ＝3时，(－2)n ＋4＝－4，8(－2)n ＋4＝－2，此时m ＝－14；当n ≥4，|(－2)n ＋4|≥20，8(－2)n ＋4不可能是整数．综上所述，所求满足条件的整数对有(－2,1)，(1,2)，(－14,3)． 14．解：(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1， ∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0.解得a 1＝12.当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0.解得a 2＝16. (2)由题意知，(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 代入上式整理，得S n S n －1－2S n ＋1＝0. 解得S n ＝12－S n －1.由(1)得，S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23. 猜想S n ＝nn ＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②知，S n ＝nn ＋1对任意的正整数n 都成立．阶段检测卷(四)1．A 解析：根据题意作出约束条件确定的可行域，如图D175： 令z ＝－2x ＋y ⇒y ＝2x ＋z ，可知在图中A (1,1)处，z ＝－2x ＋y 取到最大值－1.故选A.图D175 图D1762．C 解析：如图D176，先画出可行域，由l ，得y ＝－32x ＋z 2.结合上图可知目标函数经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值，即z min ＝3×1＋2×45＝235.故选C. 3．D4．B 解析：汽车使用n 年平均费用为15＋1.5n ＋0.3n ＋n (n －1)2×0.3n＝15n ＋3n 20＋1.65≥2 15n ×3n 20＋1.65＝4.65(万元)，当且仅当15n ＝3n 20，3n 2＝300，n 2＝100，n ＝10，即n ＝10时“＝”成立，故这辆汽车报废的最佳年限为10年．5．B 解析：画出不等式的平面区域如图D177，则⎩⎨⎧x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0.得A (1,2)．则⎩⎨⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0.得B (2,1)．由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.故选B.图D1776．A 解析：原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x ，不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2.综合①②，得m ∈(－2,2]．7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 解析：如图D178，将点A (0,4)，C (1,1)分别与点B (－1,0)求斜率得最小值为12，最大值为4.图D178 图D1798.2 解析：由新定义运算知，x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，(2y )⊗x ＝(2y )2－x 22yx ＝4y 2－x 22xy ，因为x >0，y >0，x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥2 x 2·2y 22xy ＝2 2xy2xy ＝2，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是 2.9．[4,12] 解析：∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22.∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.10．－3<λ<1 解析：由S n ＝1＋2×12＋3×122＋…＋(n －1)·12n －2＋n ·12n －1，12S n＝1×12＋2×122＋…＋(n －1)·12n －1＋n ·12n ，两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n ·12n ＝2－n ＋22n .所以S n ＝4－n ＋22n －1，于是由不等式|λ＋1|<4－22n －1对一切n ∈N *恒成立，得|λ＋1|<2.解得－3<λ<1.11．解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱120－x －y 台，产值为z 千元，则依题意，得z ＝4x ＋3y ＋2(120－x －y )＝2x ＋y ＋240， 且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋13y ＋14(120－x －y )≤40，120－x －y ≥20，x ≥0，y ≥0.即⎩⎨⎧3x ＋y ≤120，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0.可行域如图D179.解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋y ＝120，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝90， 即M (10,90)．让目标函数表示的直线2x ＋y ＋240＝z 在可行域上平移， 可得z ＝2x ＋y ＋240在M (10,90)处取得最大值，且 z max ＝2×10＋90＋240＝350(千元)．答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元．12．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1e x －1>0.(3)由(2)，当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.当0<a <12时，12a>1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，从而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0. 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>(x －1)2x 2>0.因此h (x )在区间(1，＋∞)单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.13．解：(1)f ′(x )＝m (x 2＋n )－2mx 2(x 2＋n )2＝－mx 2＋mn(x 2＋n )2.由f (x )在x ＝1处取到极值2，故f ′(1)＝0，f (1)＝2. 即⎩⎪⎨⎪⎧mn －m(1＋n )2＝0，m 1＋n ＝2，解得m ＝4，n ＝1.经检验，m ＝4，n ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值．故f (x )＝4x x 2＋1.(2)由(1)知，f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数，且f (0)＝0. 当x ＞0时，f (x )＞0,0<f (x )＝4x ＋1x ≤2， 当且仅当x ＝1时取“＝”； 当x <0时，－2≤f (x )＝－4(－x )＋1(－x )<0，当且仅当x ＝－1时，取“＝”．故f (x )的值域为[－2,2]．从而f (x 1)＋72≥32. 依题意有g (x )最小值≤32.函数g (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.①当a ≤1时，g ′(x )＞0函数g (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为g (1)＝a ≤1<32，符合题意；②当1<a <e 时，函数g (x )在[1，a )上有g ′(x )<0，单调递减，在(a ，e]上有g ′(x )>0，单调递增，所以函数g (x )最小值为g (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1≤32，得0<a ≤ e.从而知1<a ≤e 符合题意；③当a ≥e 时，显然函数g (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为g (e)＝1＋a e ≥2>32，不符合题意．综上所述，a 的取值范围为a ≤ e.阶段检测卷(五)1．D 解析：由条件知，4－mm ＋2·(－2)＝－1，∴m ＝2. 2．D 解析：m －8＝1，或8－m ＝1，∴m ＝9，或m ＝7.故选D. 3．D 解析：双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为e ＝a 2＋3a ＝2.解得a ＝1. 4．C 解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，圆心(1,0)到直线l 的距离等于半径1，∴|1＋b |2＝1，即b 的值为－1± 2.故选C.5．D 解析：由题意得△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理，得(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1－PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2＋4ac ，∴c 2－ac －a 2＝0，∴e 2－e －1＝0，。

高考理科数学第一轮专题《导数及其应用》测试题&参考答案测试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2016·安庆二模]给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上 B.在直线y ＝3x 上 C ．在直线y ＝－4x 上 D.在直线y ＝4x 上答案 B解析 f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ＝0,4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．2．[2016·济南调研]设函数f ′(x )是f (x )(x ∈R )的导函数，f (0)＝1，且3f (x )＝f ′(x )－3，则4f (x )>f ′(x )的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 43，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 23，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3，＋∞ 答案 B解析 根据f (0)＝1,3f (x )＝f ′(x )－3，导函数与原函数之间没有用变量x 联系，可知函数与y ＝e x 有关，可构造函数为f (x )＝2e 3x －1,4f (x )>f ′(x )＝3f (x )＋3，即f (x )>3,2e 3x －1>3，解得x >ln 23，故选B.3．[2017·河北武邑期末]曲线f (x )＝2x 2－1、直线x ＝2、x ＝3以及x 轴所围成的封闭图形的面积是( )A ．ln 2 B.ln 3 C ．2ln 2 D.ln 32答案 D 解析 因f (x )＝1x －1－1x ＋1， 故⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫1x －1－1x ＋1d x＝[ln (x －1)－ln (x ＋1)] ⎪⎪⎪⎪32＝lnx －1x ＋1⎪⎪⎪32＝ln 12－ln 13＝ln 32，故应选D .4．[2017·江西抚州联考]已知函数f(x)与f ′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝f (x )e x 的递减区间为( )A ．(0,4) B.(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D.(0,1)，(4，＋∞)答案 D解析 g ′(x)＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，令g ′(x)<0，即f ′(x)－f(x)<0，由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D .5．[2017·湖北联考]已知函数f(x)＝ax 2－4ax －ln x ，则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16B.a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16D.a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞答案 D解析 f ′(x)＝2ax －4a －1x ，f(x)在(1,3)上不单调，则f ′(x)＝2ax －4a －1x ＝0在(1,3)上有解，此方程可化为2ax 2－4ax －1＝0，x 1＋x 2＝2，因此方程的两解不可能都大于1，从而它在(1,3)上只有一解，充要条件是(2a －4a －1)(18a －12a －1)<0，a<－12或a>16，因此D 是要求的一个充分不必要条件．故选D .6．[2016·甘肃五市联考]函数f(x)＝x e cos x (x ∈[－π，π])的图象大致是( )答案 B解析 易得f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除A ，C ；f ′(x)＝e cos x ＋x e cos x ·(－sin x)＝e cos x (1－x sin x)，显然存在x 0∈(0，π)，使得当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)>0，x ∈(x 0，π)时，f ′(x)<0，即f(x)在[0，π]上先增后减，故排除D ，故选B .7．[2016·云南师大附中模拟]已知函数f(x)＝|x|e x (x ∈R )，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2e2e ＋1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 2e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2e ，1答案 A解析 当x ≤0时，f (x )＝－xe x 为减函数，f (x )min ＝f (0)＝0；当x >0时，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝1－2x 2x e x ，则x >12时，f ′(x )<0,0<x <12时，f ′(x )>0，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递减，f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e 2e .其大致图象如图所示，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则0<m －1<2e2e ，即1<m <1＋2e2e ，故选A.8．[2016·四川高考]设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎨⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1) B.(0,2) C ．(0，＋∞) D.(1，＋∞)答案 A解析 不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(0<x 2<1<x 1)，由于l 1⊥l 2，所以1x1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，解得x P ＝2x 1＋1x 1.所以S △P AB ＝12×2×xP ＝2x 1＋1x1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △P AB 的取值范围是(0,1)，故选A.9．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x －x 2－2(x >0)，x ＋1x ＋a (x <0)的最大值为f (－1)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[0,2e 2] B.[0,2e 3] C ．(0,2e 2] D.(0,2e 3]答案 B解析 当x <0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ＋a ≤f (－1)＝a －2；若a <0时，f (x )＝a ln x －x 2－2在区间(0，＋∞)上为减函数，且当x →0时，f (x )→＋∞；当a ＝0时，f (x )＝－x 2－2≤－2恒成立；当a >0时，f ′(x )＝ax －2x ＝a －2x 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2x，即函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减，则需f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2≤f (－1)，即a ln a 2－a2－2≤a －2，即a lna 2≤32a ，即ln a2≤3，解得0<a ≤2e 3，综上所述，实数a 的取值范围为[0,2e 3]，故选B.10．[2017·云南、四川、贵州联考]若存在两个正实数x ，y ，使得等式x 3e y x－ay 3＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 327 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 327，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28 答案 C解析 由题意知a ＝e y x⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3，设y x ＝t (t >0)，则a ＝e t t 3，令f (t )＝e tt 3，则f ′(t )＝e t (t －3)t 4，当t >3时，f ′(t )>0，当0<t <3时，f ′(t )<0，所以f (t )min ＝f (3)＝e 327，∴a ≥e 327.11．[2016·山东高考]若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin x B.y ＝ln x C ．y ＝e x D.y ＝x 3答案 A解析 设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cos x 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 21·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.12．[2016·河南八市联考]已知函数f (x )＝m e x2与函数g (x )＝－2x 2－x ＋1的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为( )A ．[0,1)B.[0,2)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18e 2C ．(0,2)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18e 2D.[0,2e)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18e 2答案 D解析依题意，m e x2＝－2x 2－x ＋1⇔m e x ＝－4x 2－2x ＋2⇔m ＝－4x 2－2x ＋2e x，故问题转化为函数y ＝m 的图象与函数h (x )＝－4x 2－2x ＋2e x 的图象有两个交点，h ′(x )＝2(2x ＋1)(x －2)e x ，故函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12和(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2上单调递减，且当x →＋∞时，h (x )→0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2e ，h (2)＝－18e 2，作出函数h (x )的图象如图所示，观察图象可知，当函数f (x )＝m e x2与函数g (x )＝－2x 2－x ＋1的图象有两个不同的交点时，实数m ∈[0,2e)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18e 2，故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·沈阳质检]函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞(写成⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞也给分) 解析 函数f (x )＝2x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2－1x ≥0，即x ≥12，所以函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.14．[2016·长春质检]设函数f (x )＝1－e x 的图象与x 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________．答案 y ＝－x解析 由题意P (0,0)，f ′(x )＝－e x ，f ′(0)＝－1，从而曲线在点P 处的切线方程为y ＝－x .15．[2016·北京高考改编]设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a 无最大值，由图象可知－2a >2，解得a <－1.16．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x＝－1对称，则f (x )的最大值为________．答案 4解析 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，所以f (0)＝f (－2)，f (1)＝f (－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14×(－2)2[(－2)2－2a ＋b ]，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14(1＋a ＋b )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14×(－3)2[(－3)2－3a ＋b ]，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝0，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋4x )＝－14x 4－x 3＋x 2＋4x ，则f ′(x )＝－x 3－3x 2＋2x ＋4＝－(x＋1)(x 2＋2x －4)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝－1±5，易知函数f (x )在x ＝－1±5处取得极大值， 又f (－1＋5)＝f (－1－5)＝4，所以f (x )max ＝4.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·北京东城一模](本小题满分10分)已知函数f (x )＝(x 2＋mx )e x (其中e 为自然对数的底数)．(1)当m ＝－2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[1,3]上单调递减，求m 的取值范围． 解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝(x 2－2x )e x ， f ′(x )＝(2x －2)e x ＋(x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x ，(1分) 令f ′(x )≥0，即x 2－2≥0，解得x ≤－2或x ≥ 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－2]和[2，＋∞)．(4分) (2)依题意，f ′(x )＝(2x ＋m )e x ＋(x 2＋mx )e x ＝[x 2＋(m ＋2)x ＋m ]e x ，(5分) 因为f ′(x )≤0对于x ∈[1,3]恒成立，所以x 2＋(m ＋2)x ＋m ≤0，即m ≤－x 2＋2x x ＋1＝－(x ＋1)＋1x ＋1.(7分)令g (x )＝－(x ＋1)＋1x ＋1，则g ′(x )＝－1－1(x ＋1)2<0恒成立， 所以g (x )在区间[1,3]上单调递减，g (x )min ＝g (3)＝－154，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－154.(10分) 18．[2016·西安八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x ，t ∈R .(1)若函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为4x －y ＋1＝0，则求t 的值； (2)若函数y ＝f (x )有三个不同的极值点，求t 的值． 解 (1)函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x ， 则f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x ，(2分)函数f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为f ′(0)＝3＋t ， 由题意可得，3＋t ＝4，解得t ＝1.(4分)(2)f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x ，(5分)令g (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3＋t ，则方程g (x )＝0有三个不同的根，(6分) 又g ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)， 令g ′(x )＝0，得x ＝－1或3，且g (x )在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)递增，在区间(－1,3)递减，(8分) 故问题等价于⎩⎨⎧ g (－1)>0，g (3)<0，即有⎩⎨⎧t ＋8>0，t －24<0，解得－8<t <24.(12分)19．[2017·河北石家庄联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a ， 令f ′(x )>0，得x >ln a ，所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)； 令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )， 函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a ．(3分) g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(6分)(2)当x≤0时，a>0，e x－ax≥0恒成立，(7分)当x>0时，f(x)≥0，即e x－ax≥0，即a≤e xx.(8分)令h(x)＝e xx，x∈(0，＋∞)，h′(x)＝e x x－e xx2＝e x(x－1)x2，(10分)当0<x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0，故h(x)的最小值为h(1)＝e，所以a≤e，故实数a的取值范围是(0，e]．(12分)20．[2016·广西三市调研](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x ln x(a∈R)．(1)若函数f(x)在区间[e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a＝1且k∈Z时，不等式k(x－1)<f(x)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值．解(1)f′(x)＝a＋ln x＋1，(1分)由题意知f′(x)≥0在[e，＋∞)上恒成立，(2分)即ln x＋a＋1≥0在[e，＋∞)上恒成立，即a≥－(ln x＋1)在[e，＋∞)上恒成立，(3分)而[－(ln x＋1)]max＝－(ln e＋1)＝－2，∴a≥－2.(4分)(2)f(x)＝x＋x ln x，k<f(x)x－1，即k<x＋x ln xx－1对任意x>1恒成立．(5分)令g(x)＝x＋x ln xx－1，则g′(x)＝x－ln x－2(x－1)2.(6分)令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．(7分)∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，∴存在x0∈(3,4)使h(x0)＝0.即当1<x<x0时，h(x)<0，即g′(x)<0，(8分)当x>x0时，h(x)>0，即g′(x)>0.∴g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．(9分)由h(x0)＝x0－ln x0－2＝0，得ln x0＝x0－2，g(x)min＝g(x0)＝x0(1＋ln x0)x0－1＝x0(1＋x0－2)x0－1＝x0∈(3,4)，(11分)∴k<g(x)min＝x0且k∈Z，即k max＝3.(12分)21．[2017·江苏模拟](本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ln x＋1x－bx＋1.(1)若2a－b＝4，则当a>2时，讨论f(x)的单调性；(2)若b＝－1，F(x)＝f(x)－5x，且当a≥－4时，不等式F(x)≥2在区间[1,4]上有解，求实数a的取值范围．解(1)由2a－b＝4，得f(x)＝a ln x＋1x＋(4－2a)x＋1，所以f′(x)＝ax－1x2＋(4－2a)＝(4－2a)x2＋ax－1x2＝[(2－a)x＋1](2x－1)x2.令f′(x)＝0，得x1＝12，x2＝1a－2.(2分)当a＝4时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递减；当2<a <4时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1a －2上，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当a >4时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －2，⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，12上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(6分) (2)由题意知，当a ≥－4时，F (x )在[1,4]上的最大值M ≥2.(7分)当b ＝－1时，F (x )＝f (x )－5x ＝x －4x ＋a ln x ＋1，则F ′(x )＝x 2＋ax ＋4x 2(1≤x ≤4)．(8分) ①当－4≤a ≤4时，F ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24x 2≥0， 故F (x )在[1,4]上单调递增，M ＝F (4)．(9分)②当a >4时，设x 2＋ax ＋4＝0(Δ＝a 2－16>0)的两根分别为x 1，x 2，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－a <0，x 1x 2＝4，故x 1<0，x 2<0， 所以在[1,4]上，F ′(x )＝x 2＋ax ＋4x 2>0， 故F (x )在[1,4]上单调递增，M ＝F (4)．(11分)综上，当a ≥－4时，F (x )在[1,4]上的最大值M ＝F (4)＝4－1＋a ln 4＋1≥2，解得a ≥－1ln 2，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1ln 2，＋∞.(12分) 22．[2016·长春质检](本小题满分12分)已知函数f (x )＝e 1－x (－a ＋cos x )(a ∈R )．(1)若函数f (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，证明：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，总有f (－x －1)＋2f ′(x )·cos(x ＋1)>0. 解 (1)由题意得f ′(x )＝－e 1－x (－a ＋sin x ＋cos x )，(1分)若函数f (x )存在单调减区间，则f ′(x )<0有解，而e 1－x >0恒成立，即－a ＋sin x ＋cos x >0有解，所以a <(sin x ＋cos x )max .又sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，所以a < 2.(4分)(2)证明：当a ＝0时，f (x )＝e 1－x cos x ，f ′(x )＝－e 1－x (sin x ＋cos x )，f (－x －1)＋2f ′(x )·cos(x ＋1)＝cos(x ＋1)·[ e x ＋2－ ⎦⎥⎤22e 1－x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(5分) 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，有x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 从而cos(x ＋1)>0，要证原不等式成立，只要证e x ＋2－22e 1－x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4>0， 即证e 2x ＋1－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4>0(6分) 对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12恒成立． 首先令g (x )＝e 2x ＋1－(2x ＋2)，由g ′(x )＝2e 2x ＋1－2，可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时g (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时g (x )单调递减， 所以g (x )＝e 2x ＋1－(2x ＋2)≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，有e 2x ＋1≥2x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝－12时等号成立.(8分) 构造函数h (x )＝2x ＋2－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，因为h ′(x )＝2－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22[ 22－cos ( x ＋π4 ) ]， 可见，在x ∈[]－1，0时，h ′(x )≤0，即h (x )在[－1,0]上是减函数，在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，h ′(x )>0，即h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数， 所以，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上，h (x )min ＝h (0)＝0，所以h (x )≥0. 所以，当且仅当x ＝0时，22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2x ＋2，等号成立．(10分) 综上e 2x ＋1≥2x ＋2≥22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由于取等条件不同， 故e 2x ＋1－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4>0，即e x ＋2－22e 1－x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4>0，所以原不等式成立．(12分)。

2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2.2 函数的单调性与最值【核心素养分析】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。

【重点知识梳理】知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 为最大值M 为最小值【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].【典型题分析】高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间)例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ； 当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 【举一反三】（2020·山东青岛二中模拟）函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．【答案】[2，＋∞) (－∞，－3] 【解析】令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， 所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)。

《导数的计算》考查内容：主要涉及导数的运算 注意：复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()ln 2cos f x x =+的导数为（ ） A ．1sin 2x - B ．sin x - C ．sin xD ．1sin 2x + 2．函数()sin f x x 的导数为（ ）A ．()'sin cos f x x x =+B ．()'sin cos f x x x =C ．()'cos f x x =D ．()'cos f x x =3．函数ln x y e x =的导数是（ ） A ．1ln x x e x ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．()ln xx x e +C ．1xe xD ．1ln x x+4．已知函数()sin f x a x b =+的导函数为()f x '，若13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，则a =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．125．下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e xx'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-6．下列对函数求导运算正确的是（ ）A ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．11ln x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()sin cos x x '=-7．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-28．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e -B ．eC ．1-D ．19．已知函数33()1xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+-- 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++=（ ）A ．405B ．810C ．324D ．64811．函数()y f x =在R 上可导,且()()2'213f x x f x =-⋅-,则()()11f f '+=( ) A ．0B ．1C ．-1D ．不确定12．下列式子不．正确的是 ( ) A ．()23cos 6sin x x x x '+=- B ．()1ln 22ln 2xxx x'-=-C ．()2sin 22cos 2x x '= D ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭二．填空题 13．函数sin xy x=的导数为_____________________； 14．()(2019ln )f x x x =+，若0()2020f x '=，则0x =_____．15．已知函数()()()()123f x x x x x =---，则()0f '=________． 16．设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求下列函数的导数． （1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x =+；（3）cos x xy e=；18．求下列函数的导数（1）3235y x x =+-；（2）sin y x x =+（3）sin x y x=；（4）21sin x y x -=19．求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（3）sin cos 22x y x x =-；20．求下列函数的导数（1）2sin 3y x x x =++； （2）2(ln sin )y x x x =+；（3） 221xy x =+ ； （4）41(13)y x =-.21．求下列函数的导数. （1）()ln x f x x =（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （3）()()2ln 51xf x x =+-22．求出下列函数的导数．（1）tan xy e x ＝（2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝《导数的计算》解析1.【解析】因为常数的导数为0，cos x 的导数为sin x -， 所以()'sin f x x =-.故选：B.2.【解析】由()sin f x x =得，()'''1sin (sin )sin cos cos 2f x x x x x x =⋅+=+=， 故选：C3.【解析】因为函数ln xy ex =，所以11ln ln x xx y e x ee x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.故选：A 4.【解析】由题意知：()cos f x a x '=.因为13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以cos 13a π=，解得2a =.故选：B.5.【解析】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确；因为(3)3ln3xx '=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错．6.【解析】对于A 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 选项错误.对于B 选项，1ln ln x x =-，所以()11ln ln x x x '⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确. 对于C 选项，cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项错误.对于D 选项，()sin cos x x '=，故D 选项错误.故选：B7.【解析】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-.故选：C8.【解析】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e '''''=+∴=+∴=-， 所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-.故选：C.9.【解析】因为33()1x f x x e =++，()333()131x xx f x x e x ee --=+-=-++，所以()()3f x f x -+=.又因为223()3(1)xxe f x x e -'=++， ()222233()33(1)()(1)x x x x e e f x x f x x e e ----'-=+-=+'=++ 所以()f x '为偶函数. 所以(2020)(2020)(2019)(2019)3f f f f ''+-+--=. 故选：C10.【解析】令1x =可得()0112nn a a a +=++⋅⋅⋅+， 由题意可得()12243n+=，解得5n =， 所以()5501512x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，两边同时求导得()44125101225x a a x a x ⋅+=++⋅⋅⋅+， 令1x =可得()4125101225a a a ⋅+=++⋅⋅⋅+， 所以412525103810a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=.故选：B.11.【解析】()()2'213f x x f x =-⋅-，得()()'41f x x f '=-，()()()'21411=2,()223f f f f x x x ''∴=-=--，，(1)3,(1)(1)1f f f '=-∴+=-.故选:C12.【解析】对于选项C ，(2sin 2)2cos 2(2)4cos 2x x x x ''=⋅=，C 错误 故选C13.【解析】22sin cos sin cos sin x x x x x x xy y x x x'⨯--=∴== 14.【解析】由题意，函数()(2019ln )f x x x =+，可得()2020ln f x x '=+， 因为0()2020f x '=，可得02020ln 2020x +=，即0ln 0x =，解得01x =.15.【解析】令()()()()123x x g x x --=-，所以()()f x xg x =，所以()()()'g x g f x x x ='+，所以()()()()()()00102030006g g f '+⋅='---==-.故答案为：6-.16.【解析】由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f =，故答案为：117.【解析】（1）y′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x)′＝2xsin x ＋x 2cos x.（2）21111ln (ln )''''⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x x x x（3）2cos (cos )cos ()sin cos e ()x x x x x x x e x e x x y e e ''''-+⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭18.【解析】（1）236y xx '=+；（2）sin cos y x x x '=+；（3）2cos sin x x xy x -'=；（4）()()222sin 1cos sin x x x x y x---'=.19.【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x＋1，所以y ′＝3x 2－32x . （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx .20.【解析】（1）因为2sin 3y x xx =++，所以cos 321cos 61y x x x x '=+⨯+=++；（2）因为2(ln sin )y x x x =+，所以()()()22ln sin ln sin y x x x x x x '''=+++，化简可得，()212ln sin cos y x x x x x x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；（3）因为221xy x =+，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得， ()()()()222221211x x x x y x''+-+'=+()()22221221x x xx+-⋅=+()()222211x x-=+；（4）因为41(13)y x =-，所以()()()()4513134133y x x x --''⎡⎤'=--=--⨯-⎣⎦化简可得，()51213y x -'=-.21.【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x ⋅-⋅-==； （2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x++；（3）()()''12ln 25151xf x x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 22.【解析】（1）由tan xy ex =，则()''2'tan tan t cos ()an xx xxe y e x e x e x x+==+， 即'2tan cos x x ey e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332x y x =-，（4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x +-=，（5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣．。

§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对任意x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似.2.写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间.提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(5)所有的单调函数都有最值.( × ) 题组二 教材改编2.函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是 . 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3.函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是 .答案 24.若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是 . 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三 易错自纠5.函数y ＝12log (x 2－4)的递减区间为 .答案 (2，＋∞)6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为 .答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，138 解析 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138. 7.函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是 . 答案 [－1,1)解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.8.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为 .答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性命题点1 求函数的单调区间例1 (1)函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 则y ＝12log t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18， ∴t ＝2x 2－3x ＋1的递增区间为(1，＋∞). 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为(1，＋∞).(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是 .答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数图像如图所示，其递减区间是[0,1).命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上是增加的.证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3， 所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上是增加的. 引申探究如何用导数法求解本例？解 f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3， 所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在[1,2]上是增加的.思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)答案 C解析 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上是减少的，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数.(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上是增加的，则函数g (x )＝a |x －2|的递减区间是 .答案 (－∞，2]解析 因为f (x )在R 上是增加的，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的递减区间就是y ＝|x －2|的递减区间(－∞，2].(3)函数f (x )＝|x －2|x 的递减区间是 . 答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图像，由图知f (x )的递减区间是[1,2]. 题型二 函数的最值1.函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为 .答案 [－1,1)解析 由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1).2.函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为 . 答案2解析 由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[0，π]， 所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3.函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为 . 答案 [3，＋∞)解析 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图像如图所示.根据图像可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞). 4.当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为 .答案 85解析 由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3.∴所求函数的最小值为85. 5.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为 . 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－1,1]上是减少的，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上是增加的，所以f (x )在[－1,1]上是减少的，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 方法一 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 故选B.方法二 由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定.随着b 的变动，相当于图像上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关.随着a 的变动，相当于图像左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. (4)分离常数法：形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式例4 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是 . 答案 (－5，－2)∪(2，5)解析 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上是增加的，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5. 命题点3 求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 C解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是增加的， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是减少的， ∴⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 解析 若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0恒成立.当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图像的对称轴为x ＝－12a <0，且有g (x )>0，所以g (x )在(0,1)上是增加的，符合题意；当a <0时，需满足g (x )图像的对称轴x ＝－12a ≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－12，则－12≤a <0.综上，a ≥－12.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增加的，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式19(log )f x >0的解集为 . 答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也是增加的.∴19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴19log x >12或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3.1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2) B.y ＝－x ＋1 C.y ＝⎝⎛⎭⎫12xD.y ＝x ＋1x答案 A解析 函数y ＝ln(x ＋2)的递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数. 2.函数y ＝12log (－x 2＋x ＋6)的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A. 3.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A.f (π)>f (－3)>f (－2) B.f (π)>f (－2)>f (－3) C.f (π)<f (－3)<f (－2) D.f (π)<f (－2)<f (－3)答案 A解析 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2).又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)>f (3)>f (2)， 即f (π)>f (－3)>f (－2).4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，13答案 A解析 当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )是R 上的减函数.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<1－2a <1，0<a <1，1－2a ≥13，∴0<a ≤13.5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上是减少的，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B.(－∞，－3) C.(－3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 答案 D解析 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立.设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a >134，故选D. 7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 a >b >c解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数， 且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤－14，0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是增加的，故在(－∞，4)上是增加的；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上是增加的，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 9.记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 .答案 6解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2， 即a ≤1或a ≥4. 11.已知f (x )＝xx －a(x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围. (1)证明 当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的. (2)解 设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 由g (x )在[－2,2]上是单调函数， 知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1) 答案 D解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是 . 答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上是减少的，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上是减少的， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上是减少的， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).15.已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为 . 答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上是增加的，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2). (2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).。

§4.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用1.y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种途径概念方法微思考1.怎样从y ＝sin ωx 的图像变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图像？ 提示 向左平移φω个单位长度.2.函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的对称轴是什么？ 提示 x ＝k πω＋π2ω－φω(k ∈Z ).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像向右平移π2个单位长度得到的.( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图像.( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)函数y ＝sin x 的图像上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图像对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )题组二 教材改编2.为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像向 平移 个单位长度. 答案 右 π63.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为 . 答案 2，14π，－π34.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为 .答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从题图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20， 又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4， 所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]. 题组三 易错自纠5.要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度答案 A解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度. 6.将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 . 答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 7.y ＝cos(x ＋1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是 . 答案π2＋4解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.8.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为 .答案3解析 由题干图像可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 (2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图像(要列表).解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6， 列表如下：描点、连线得图像：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图像向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值.解 由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x －m )＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x －⎝⎛⎭⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标.(2)由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.跟踪训练1 (1)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图像向左平移π3个单位长度，所得到的图像与函数y ＝cos ωx 的图像重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2 B.32 C.23 D.12答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图像重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值.(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(0<ω<2)满足条件：f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图像，可将函数g (x )＝cos ωx 的图像向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为( ) A.1 B.12 C.π6 D.π2答案 A解析 由题意得sin ⎝⎛⎭⎫－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，则ω＝π3－2k π(k ∈Z )，结合0<ω<2，得ω＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)，所以只需将函数g (x )＝cos π3x 的图像向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y ＝f (x )的图像，故选A. 题型二 由图像确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则y ＝ .答案 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6解析 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z 解析 根据题干所给图像，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图像经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值. 思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.跟踪训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，将函数f (x )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，则m的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12答案 D解析 依题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝32，T 2＝πω＝2π3－π6＝π2， 故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32. 又f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＋32＝332， 故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z ). 因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32. 将函数f (x )的图像向左平移m 个单位长度后得到g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图像，又函数g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m 的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，故3sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z ).令k ＝2，则m ＝7π12.题型三 三角函数图像、性质的综合应用命题点1 图像与性质的综合问题例3 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，若f (0)＝3，且AB →·BC →＝π28－8，B ，C 分别为最高点与最低点.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)由f (0)＝3，可得2sin φ＝3，即sin φ＝32. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.由题意可知，AB →＝⎝⎛⎭⎫14T ，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫12T ，－4， 则AB →·BC →＝T28－8＝π28－8，∴T ＝π.故ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z . (2)由题意将f (x )的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取得最大值3， 当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取得最小值－2.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是 . 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根. ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图像有两个不同交点，如图：由图像观察知，m2的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1). 引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是 . 答案 [－2,1)解析 由上例题知，m2的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1). 命题点3 三角函数模型例5 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为 元. 答案 6 000解析 作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝12(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9 000)看成函数图像的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N ＋).∴f (7)＝2 000×sin7π6＋7 000＝6 000(元). 故7月份的出厂价格为6 000元.思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为 . 答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析 根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为22， 可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ. 又函数图像过点⎝⎛⎭⎫2，－12， 故f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. (2)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为 . 答案 π解析 ∵f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴x ＝π6是f (x )图像的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±1， ∴π6×ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝6k ＋2，k ∈Z ， ∴T ＝π3k ＋1(k ∈Z ).又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点， ∴π6<T 4≤π2－π6， ∴2π3<T ≤4π3， ∴2π3<π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )， ∴－112≤k <16，又∵k ∈Z ，∴k ＝0，∴T ＝π.三角函数图像与性质的综合问题例 (12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π). (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 规范解答解 (1)f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，[5分] 于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，[8分] ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，[10分] ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1,2].[11分] 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· ⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质.1.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像，可以将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π12个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像.2.(2018·洛阳统考)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，将函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.3.(2019·合肥模拟)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图像向右平移π3个单位长度后对应函数的递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) 答案 B解析 由题意知ω＝2ππ＝2，将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 的图像，由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得所求函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4 (k ∈Z ). 4.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.[－1＋4k π，1＋4k π](k ∈Z )B.[－3＋8k π，1＋8k π](k ∈Z )C.[－1＋4k ，1＋4k ](k ∈Z )D.[－3＋8k ，1＋8k ](k ∈Z ) 答案 D解析 由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z ).5.将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图像沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图像关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 B解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为函数f (x －a )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π6的图像关于y 轴对称， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，又a >0，所以a ＝k π＋π3，k ∈N .因此正数a 的最小值是π3，故选B.6.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A.－32B.－12C.12D.32答案 A解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图像，该图像关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32. 7.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝ .答案3解析 由题干图像知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2， 所以ω＝2.因为2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 又函数图像过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝ 3. 8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝ .答案32解析 由题图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， 可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3 ＝sin 2π3＝32.9.(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图像如图所示.由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 10.已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内是增加的，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 . 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内是增加的，且函数图像关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值， 所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 11.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图像的一个对称中心. (1)求ω的值，并求出函数f (x )的递增区间； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图像. 解 (1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图像的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋12(k ∈Z )，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ). (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：作出函数部分图像如图所示：12.(2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值. 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.13.将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值为 . 答案5π6解析 g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)， 若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32， 所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32， 又－π2<θ<π2，所以θ＝π3，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 又0<φ<π，所以－5π3<π3－2φ<π3，所以π3－2φ＝－4π3.即φ＝5π6.14.(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为 .答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0). 由2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1， 得sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z ). 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω. 由|x 1－x 2|＝π3， 得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.15.已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图像关于直线x ＝13对称.该函数的部分图像如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 .答案 34解析 依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12sin(πx ＋φ). 又f (x )的图像关于直线x ＝13对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±12. ∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π， ∴φ＝π6，∴f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝34.16.已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12对称，若存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为 . 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1， ∴A sin φ－12＝1， 即A sin φ＝32. ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12的图像关于直线x ＝π12对称， ∴2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴A ·sin π3＝32， ∴A ＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－12. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝4π3， 即x ＝π2时，f (x )min ＝－32－12＝－2. 令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。

3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）思维导图考点呈现考点一 幂函数及性质【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m mf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．1 C ．6 D ．1或﹣6【答案】B【解析】∵幂函数223()(55)()mmf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∵2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数1m ∴=或6m =- 当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去因此：m ＝1故选：B【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数2232m m y x --=是偶函数，在()0,∞+上是减函数，则整数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．2【答案】A【解析】因为幂函数2232m m y x --=在()0,∞+上是减函数，所以22320m m --<，解得122m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，221yxx 定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()2211x x =-，所以2y x 是偶函数，满足题意；当1m =时，331y x x -==定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()3311x x =--，所以3y x -=是奇函数，不满足题意，舍去；综上，0m =.故选：A 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，则下列说法正确的有（ ）例题剖析A ．函数是偶函数B ．函数是增函数C ．当1x >时，()1f x >D ．当120x x <<时，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】因为幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，所以164α=，则12α=， 所以12()f x x ==[)0,+∞，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A 错； 又102>，所以12()f x x =是增函数，故B 正确； 因此当1x >时，()(1)1f x f >=，故C 正确；当120x x <<时，因为12()()2f x f x +122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭则22121212()()222f x f x x x x x f +⎡+⎤+⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦20=-<⎝⎭，所以1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BCD. 2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-.若a ，b R ∈，且()()f a f b +的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +>，0ab <B ．0a b +<，0ab >C ．0a b +<，0ab <D ．0a b +>，0ab >【答案】BC【解析】由于函数()f x 为幂函数，故211m m --=，即220m m --=，解得1,2m m =-=.当1m =-时，()21f x x =，当2m =时，()3f x x =.由于“对任意()12,0,,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-”知，函数在()0,∞+上为增函数，故()3f x x =.易见()()f x f x -=-，故函数()3f x x =是单调递增的奇函数.由于()()0f a f b +<，即()()()f a f b f b <-=-，得a b <-，所以0a b +<，此时，若当0a =时，0b <，故0ab =；当0a >时，0a b <<-，故0b <，故0ab <；当0a <时，由a b <-知，b a <-，故0b <或0b =或0b >，即0ab >或0ab =或0ab <.综上可知，0a b +<，且0ab >或0ab =或0ab <.故选：BC. 3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________． 【答案】{}1,1,3-【解析】由幂函数()f x 与x 轴及y 轴均无交点，得2230m m -≤-，解得13m -≤≤， 又m Z ∈，即{}1,0,1,2,3m ∈-，()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，即函数为偶函数，故223m m --为偶数，所以{}1,1,3m ∈-，故答案为：{}1,1,3-.4．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()22()1a f x a a x +=-+为幂函数，且为奇函数，则实数a 的值_____．【答案】1【解析】因为函数()22()1a f x a a x +=-+为幂函数，所以2211,0,1a a a a a -+=∴-=∴=或0a =.当0a =时，()2f x x =为偶函数，不符合题意，所以舍去；当1a =时，()3f x x =为奇函数，符合题意.故答案为：1考点二 一元二次函数【例2-1】（2021·重庆市清华中学校高三阶段练习）若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】函数234y x x =--的图象如图所示，因为223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭当0x =或3x =时，4y =-；当32x =时，254y =-，因为函数的定义域为[]0,m ，所以3,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：C ．【例2-2】（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知,(0,1)a b ∈，则函数2()41f x ax bx =-+在[1,)+∞上是增函数的概率为（ ）A ．45B ．34C ．25D ．14【答案】D【解析】由题设()f x 对称轴为2bx a=，而,(0,1)a b ∈，函数开口向上， 所以()f x 的增区间为2[,)b a +∞，故在[1,)+∞上是增函数有201b a <≤，综上，01012a b b a<<⎧⎪<<⎨⎪≤⎩对应可行域如下阴影部分：所以阴影部分面积为14，而,(0,1)a b ∈的面积为1，故在[1,)+∞上是增函数的概率为14.故选：D 【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC. 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数22y ax bx c =-+的图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2【答案】D【解析】由a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+， 所以()()2224440b ac a c ac a c ∆=-=+-=-≥，所以二次函数22y ax bx c =-+的图象与x 轴交点的个数为1或2.故选：D.2．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a a a ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞【答案】C【解析】二次函数24y x x a =-+，对称轴为2x =，开口向上，在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，要使二次函数2()4f x x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，需(1)140(2)480f a f a =-+>⎧⎨=-+<⎩，解得34a <<故实数a 的取值范围是()3,4故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________ 【答案】12(,]23【解析】由题意，不等式2(2)20x a x a -++-<且0a >，即222(1)x x a x -+<+，令()()222,(1)f x x x g x a x =-+=+，所以()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，所以()y f x =是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线， 而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线，作出函数()222f x x x =-+和()(1)g x a x =+的图象，如图所示，其中()()11,22f f ==，又因为,0x Z a ∈>，结合图象，要使得集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，可得()(1)122g g >⎧⎨≤⎩，即2132a a >⎧⎨≤⎩，解得1223a <≤.即正实数a 的取值范围是12(,]23.故答案为：12(,]23.考点三 一元二次函数与其他知识综合【例3】（2022·山东济宁·三模）已知二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c+的最小值为（ ） A ．3- B ．3 C ．4- D ．4【答案】B【解析】若0a =，则函数()f x 的值域为R ，不合乎题意，因为二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则0a >，且()min 44114ac ac f x a a --===，所以，1ac a -=，可得101a c =>-，则1c >，所以，144113c a c c +=+-≥=，当且仅当2c =时，等号成立，因此，14a c +的最小值为3.故选：B.【一隅三反】1．（2021·广东·湛江二十一中）若函数()25log 212a f x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】B【解析】令25212t x ax a =-+-，要使函数()25log 212a f x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有最大值，则内层函数25212t x ax a =-+-要有最小正值，且外层函数()log a f t t =为减函数，可知0＜a ＜1．要使内层函数25212t x ax a =-+-要有最小正值，则2544(1)02a a ∆=--<，解得122a <<．综合得a 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B.2．（2022·黑龙江）若关于x 的方程19310x x m ++-+=有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(]1,3【答案】A【解析】方程19310x x m ++-+=有解，2(3)3310x x m ∴+⨯-+=有解， 令30x t =>，则可化为2310t t m +-+=有正根，则231t t m +=-在()0,∞+有解，又当()0,t ∈+∞时，230t t +>所以101m m ->⇒>，故选：A ．3．（2022·全国·高三专题练习）函数y =R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞ B ．[)()1,00,-⋃+∞ C ．(,1)-∞-D ．[)1,1-【答案】A【解析】因为函数y =R ，可得真数部分y = 即函数21y x ax =++取到所有的正数，所以(0,)+∞是函数21y x ax =++的值域的子集， 所以240a ∆=-≥解得：2a ≤-或2a ≥，所以实数a 的取值范围是：(][),22,-∞-+∞.故选：A.考点四 图像问题【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数()2121y a x x =---（0a >且1a ≠）在同一个坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A ，D ； 二次函数图象的对称轴为直线11x a =-，当01a <<时，指数函数递减，101a <-，C 符合题意； 当1a >时，指数函数递增，101a >-，B 不符合题意．故选：C ． 【例4-2】（陕西省部分地市学校2022届高三下学期高考全真模拟考试理科数学试题）函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，函数()2ln x f x x=的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x=，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以排除D 选项，选项C 符合.故选：C.【一隅三反】1．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式20ax x c -->的解集为1{|1}2x x -<<，则函数2y cx x a =--的图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得1-和12是方程20ax x c --=的两个根，且0a <， 1112112a ca ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得2,1a c =-=-，则()()22221y cx x a x x x x =--=--+=-+-， 则函数图象开口向下，与x 轴交于()()2,01,0，-.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项；故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）函数43y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数443()y f x x ===，满足()()f x f x -=，即函数是偶函数，图象关于y 轴对称，D 错误；该函数是幂函数y x α=，413α=>，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A 正确，BC 错误. 故选：A.4．（江西省2022届高三5月高考适应性大练兵联考数学（理）试题）函数()f x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题得()()f x f x -===，则f (x )为偶函数，排除A ；又()01f =，排除B ；当2,0x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时()0f x >，当3(,)22x ππ∈时，()1f x =所以()11f x -<<排除D ， 故选：C ． 5．（安徽省十校联盟2022届高三下学期最后一卷文科数学试题）函数()3e 2x f x x x =-在R 上的图象大致为（ ）A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由题意得，()()()33e 2e 2x x f x x x x x f x --=---=-+=-， 故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除D ；()2322e 220f =-⨯<，排除B ；()()()30.10.10.10.1e 20.10.1e 0.020f =-⨯=->，排除C ， 故选：A.。

高考数学（理科）一轮复习函数的图象学案附答案学案10 函数的图象导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(__________、__________、__________)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图：(1)平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到；函数y＝f(x)＋a的图象可由函数y＝f(x)的图象向____(a0)或向____(a0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y＝f(ax) (a0)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴伸长(0a1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y＝af(x) (a0)的图象可由函数y＝f(x)的图象沿y轴伸长(____)或缩短(________)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；②f(x)与f(－x)的图象关于____轴对称；③f(x)与－f(x)的图象关于____轴对称；④f(x)与－f(－x)的图象关于________对称；⑤f(x)与f(2a－x)的图象关于直线________对称；⑥曲线f(x，y)＝0与曲线f(2a－x,2b－y)＝0关于点________对称；⑦|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴________的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；⑧f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴________的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．自我检测1．(2009北京)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2011烟台模拟)已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是( )A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)3．函数f(x)＝1x－x的图象关于 ( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称4．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是( ) A．(－1,0)B．[－1,0)C．(－2,0)D．[－2,0)5．(2011潍坊模拟)已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0且a≠1)，若f(4)g(－4)0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )探究点一作图例1 (1)作函数y＝|x－x2|的图象；(2)作函数y＝x2－|x|的图象；(3)作函数的图象．变式迁移1 作函数y＝1|x|－1的图象．探究点二识图例2 (1)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)g(x)的图象可能是 ( )(2)已知y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为 ( )变式迁移2 (1)(2010山东)函数y＝2x－x2的图象大致是 ( )(2)函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是 ( )A．f(x)＝x＋sin xB．f(x)＝cos xxC．f(x)＝xcos xD．f(x)＝x(x－π2)(x－3π2)探究点三图象的应用例3 若关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．变式迁移3 (2010全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．数形结合思想的应用例(5分)(2010北京东城区一模)定义在R上的函数y＝f(x)是减函数，且函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，ts的取值范围是( ) A.－14，1B.－14，－12，1D.－12，1【答题模板】答案 D解析因函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于(0,0)对称，所以y＝f(x)是奇函数．又y＝f(x)是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，图象的对称轴为x＝1，当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t －1|，当t≥1时，有s≥t≥1，所以14≤ts≤1；当t1时，即s－1≥1－t，即s＋t≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.ts为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts1.综上可知选D.【突破思维障碍】当s，t位于对称轴x＝1的两边时，如何由s2－2s≥t2－2t判断s，t之间的关系式，这时s，t与对称轴x＝1的距离的远近决定着不等式s2－2s≥t2－2t成立与否，通过数形结合判断出关系式s－1≥1－t，从而得出s＋t≥2，此时有一个隐含条件为t1，再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s，t所在区域时，要结合ts的几何意义为点(s，t)和原点连线的斜率，确定s为横轴，t为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s2－2s≥t2－2t后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s，t都在二次函数y＝x2－2x的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s，t在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s，t在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010重庆)函数f(x)＝4x＋12x的图象( ) A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称2．(2010湖南)用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x ＝－12对称，则t的值为( )A．－2B．2C．－1D．13．(2011北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )4．(2011深圳模拟)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )5．设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为 ( )A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52题号12答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．为了得到函数y＝3×(13)x的图象，可以把函数y＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．7．(2011黄山月考)函数f(x)＝2x－1x＋1的图象对称中心是________．8．(2011沈阳调研)如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V与水深h函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h与注水时间t的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________．(3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________；(4)若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．10．(12分)(2011三明模拟)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，求a的取值范围．．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x (x0)．(1)若g(x)＝m有根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．答案自主梳理2．③奇偶性单调性周期性 3.(1)左右|a| 上下|a| (2)a1 a1 0a1 a (3)①原点y ②y ③x④原点⑤x＝a ⑥(a，b) ⑦上方⑧右方自我检测1．C [A项y＝lg(x＋3)＋1＝lg[10(x＋3)]，B项y＝lg(x－3)＋1＝lg[10(x－3)]，C项y＝lg(x＋3)－1＝lgx＋310，D项y＝lg(x－3)－1＝lgx－310.]2．C3．C [∵f(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对称．] 4．A [作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象知满足条件的x∈(－1,0)．]5．B [由f(4)g(－4)0得a2loga40，∴0a1.]课堂活动区例1 解(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－&#61480;x－x2&#61481;，x1或x0，即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14， x1或x0，其图象如图所示．(2)y＝x－122－14，x≥0，x＋122－14，x0，其图象如图所示．(3)作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0的部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象．变式迁移1 解定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝1x－1.先作函数y＝1x的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝1x－1 (x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝1|x|－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（1）?A?[从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B.又x0时，g(x)为增函数且为正值,f(x)也是增函数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x→ （从小于0趋向于0），f(x)g(x)→+∞，可排除C、D.］?（2）?A?［因为f(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的图象可以由y=f(x)的图象按照如下变换得到：先将y=f(x)的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)的图象，然后将y=f(-x)?的图象向右平移一个单位，即得y=f(-x+1)的图象.］变式迁移2 (1)A [考查函数y＝2x与y＝x2的图象可知：当x0时，方程2x－x2＝0仅有一个零点，且→－∞；当x0时，方程2x－x2＝0有两个零点2和4，且→＋∞.](2)C [由图象知f(x)为奇函数，排除D；又0，±π2，±32π为方程f(x)＝0的根，故选C.]例3 解题导引原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－由图象知当a∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析y＝x2－|x|＋a＝&#61480;x－12&#61481;2＋a－14，x≥0，&#61480;x＋12&#61481;2＋a－14， x0.当其图象如图所示时满足题意．由图知a1，a－141，解得1a后练习区1．D [f(x)＝2x＋2－x，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)图象关于y轴对称．]2.D [令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐标系中作出其图象，如图，所以t＝1.]3．D [选项A、B、C中直线方程中的a的范围与对数函数中的a的范围矛盾．]4．C [函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)关于x 轴对称，函数y＝－f(x)的图象向左平移1个单位即得到函数y＝－f(x＋1)的图象．]5．B [∵b0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－b2a0，∴a0，又∵图象过原点，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]6．右 1解析∵y＝3×(13)x＝(13)x－1，∴y＝(13)x向右平移1个单位便得到y＝(13)x －．(－1,2)解析∵f(x)＝2x－1x＋1＝2&#61480;x＋1&#61481;－3x＋1＝2－3x＋1，∴函数f(x)图象的对称中心为(－1,2)．8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………(2分)(2)f(x)＝x|x－4|＝x&#61480;x－4&#61481;＝&#61480;x－2&#61481;2－4，x≥4，－x&#61480;x－4&#61481;＝－&#61480;x－2&#61481;2＋4，x4.………………………………………………(4分)f(x)的图象如右图所示．(3)由图可知，f(x)的减区间是[2,4]．……………………………………………………(8分)(4)由图象可知f(x)0的解集为{x|0x4或x4}．………………………………………………………………………(10分)(5)∵f(5)＝54，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(12分)10.解设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0a1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(4分) 当a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………(10分)∴1a≤2.………………………………………………………………………………(12分)11．解(1)方法一∵x0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有根．…………………………………………………(6分) 方法二作出g(x)＝x＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分)可知若使g(x)＝m有根，则只需m≥2e.………………………………………………(6分) 方法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥0……………………………………………(4分)等价于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.…………………………………………………(6分) (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x (x0)的图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)。

函数考试题库及答案高一一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x + 3的定义域是：A. (-∞, +∞)B. [0, +∞)C. (0, +∞)D. [3, +∞)答案：A2. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：A3. 函数y = 3x^2 - 6x + 2的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A4. 下列哪个函数是奇函数：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 - 1D. f(x) = x答案：B5. 函数y = 2x + 1的反函数是：A. y = (x - 1) / 2B. y = (x + 1) / 2C. y = 2x - 1D. y = 2x + 1答案：A6. 若函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1，则f'(x)是：A. 3x^2 + 4x - 5B. 3x^2 + 4x + 5C. 3x^2 - 4x + 5D. 3x^2 - 4x - 5答案：A7. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π答案：B8. 若函数f(x) = ln(x)，则f'(x)是：A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A9. 函数y = e^x的图像是：A. 直线B. 抛物线C. 指数曲线D. 对称曲线答案：C10. 函数y = 3x^2 - 6x + 2的顶点坐标是：A. (1, -1)B. (1, 5)C. (3, 5)D. (3, -1)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的最小值是______。

答案：02. 若f(x) = 2x - 3，则f(-1) = ______。

答案：-53. 函数y = 1 / x的图像关于______对称。

高考理科数学第一轮专题《三角函数的综合问题》测试题&参考答案测试时间：120分钟 满分：150分1．[2016·吉林三调](本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2＋c 2－a 2＝bc .(1)求∠A 的大小；(2)设函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2，当f (B )取最大值时，判断△ABC 的形状． 解 (1)在△ABC 中，根据余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，而A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(4分)(2)因为f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2， 所以f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋32， 即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32，(7分)则f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋32. 因为B ∈(0，π)，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时， f (B )取最大值，(10分)此时易知△ABC 是直角三角形．(12分)2．[2017·山西四校模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝p sin2x －q cos2x (其中p ，q 是实数)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式及其最小正周期；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移m (0<m <π)个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图象，已知点P (0,5)，若函数y ＝g (x )的图象上存在点Q ，使得|PQ |＝3，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3内的单调递增区间和最值．解 (1)因为f (x )＝p sin2x －q cos2x ， 则由图象得⎩⎪⎨⎪⎧p sin π6－q cos π6＝3，p sin 4π3－q cos 4π3＝－2，解得p ＝3，q ＝－1，故f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(4分)最小正周期T ＝π.(5分)(2)由(1)可知g (x )＝f (x ＋m )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π6.(7分)于是当且仅当Q (0,2)在y ＝g (x )的图象上时满足条件． ∴g (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋π6＝2.由0<m <π，得m ＝π6.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，(10分)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，即－π3≤2x ≤4π3时，函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3，最大值是2，最小值是－2.(12分)3．[2016·北京高考](本小题满分12分)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解 (1)由余弦定理及题设，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.(2分) 又0<∠B <π，所以∠B ＝π4.(4分) (2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4.(9分)因为0<∠A <3π4，(10分)所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.(12分)4．[2016·邯郸七调](本小题满分12分)已知m ＝(cos x ＋3sin x ，1)，n ＝(2cos x ，－y )，满足m ·n ＝0.(1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调递增区间；(2)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)因为m ·n ＝2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝3sin2x ＋cos2x ＋1－y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1－y ＝0，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，(3分)令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(6分)(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，又A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3.(8分)在△ABC 中，由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，可知bc ≤4(当且仅当b ＝c 时取等号)，(10分)∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，即△ABC 面积的最大值为 3.(12分) 5．[2016·龙岩质检](本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，点P ，Q 分别为函数y ＝f (x )图象上相邻的最高点和最低点，且|PQ |＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A π＝34.求角C 的大小． 解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，∴－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x ∈R 都成立，且ω>0， ∴cos φ＝0，又0<φ<π，∴φ＝π2.(3分) 又|PQ |＝2，最高点P 的纵坐标为12， 由勾股定理可知T2＝1，T ＝2，ω＝π，(4分) ∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝12cosπx .(5分) (2)由(1)可知f (x )＝12cosπx ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A π＝12cos A ＝34，cos A ＝32， 又A ∈(0，π)，∴A ＝π6.(8分) ∵a ＝1，b ＝2， 由正弦定理可知，1sin π6＝2sin B ， ∴sin B ＝22，又B ∈(0，π)， ∴B ＝π4或B ＝3π4，(11分)当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12， ∴角C 的大小为π12或7π12.(12分)6．[2016·石家庄质检](本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b cos C ＋c ＝2a .(1)求∠B 的大小；(2)若BD 为AC 边上的中线，cos A ＝17，BD ＝1292，求△ABC 的面积． 解 (1)2b cos C ＋c ＝2a ，由正弦定理，得2sin B cos C ＋sin C ＝2sin A ，(2分) ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴2sin B cos C ＋sin C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )， sin C ＝2cos B sin C .(4分) 因为0<C <π，所以sin C ≠0， 所以cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.(6分)(2)解法一：在△ABD 中，由余弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12922＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－2c ·b 2cos A ，所以1294＝c 2＋b 24－17bc .①(8分)在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝bsin B ，由已知得sin A ＝437.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5314， 所以c ＝57b .②(10分) 由①，②解得⎩⎨⎧b ＝7，c ＝5.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3.(12分)解法二：延长BD 到E ，DE ＝BD ，连接AE ， △ABE 中，∠BAE ＝2π3，BE 2＝AB 2＋AE 2－2·AB ·AE ·cos ∠BAE . 因为AE ＝BC ，所以129＝c 2＋a 2＋a ·c ，①(8分) 由已知得，sin A ＝437， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝5314， c a ＝sin ∠ACB sin ∠BAC ＝58，②(10分) 由①，②解得c ＝5，a ＝8.S △ABC ＝12c ·a ·sin ∠ABC ＝10 3.(12分)7．[2016·陕西一模](本小题满分13分)已知m ＝(1，cos x )，n ＝(t ，3sin x －cos x )，函数f (x )＝m ·n (t ∈R )的图象过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.(1)求t 的值以及函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝c cos B ＋b cos C2cos B，求f (A )的取值范围．解 (1)由题意得f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋t ＝32sin2x －12(cos2x ＋1)＋t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＋t ，(2分) 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π6－12＋t ＝0.解得t ＝12，(4分) T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(7分)(2)∵c cos B ＋b cos C ＝2a cos B ， ∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2sin A cos B ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，即sin A ＝2sin A cos B . 又∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12.(10分) ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3，A ＋C ＝23π. ∴0<A <2π3，－π6<2A －π6<7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，∴f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.(13分)8．[2017·安徽联考](本小题满分13分)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC (已知声音的传播速度为340米/秒)． 解 (1)设BC ＝x (米)，由条件可知AC ＝x ＋217×340＝(x ＋40)(米)，(2分) 在△ABC 中，由余弦定理，可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos ∠BAC ， 即x 2＝1002＋(40＋x )2－2×100×(40＋x )×12，解得x ＝380.(5分)所以AC ＝380＋40＝420(米)．(6分) 故A ，C 两地的距离为420米．(7分)(2)在△ACH 中，AC ＝420(米)，∠HAC ＝30°，∠AHC ＝90°－30°＝60°，(9分)由正弦定理，可得AC sin ∠AHC ＝HCsin ∠HAC，即420sin60°＝HC sin30°，所以HC ＝420×1232＝1403(米)，(12分)故这种仪器的垂直弹射高度为140 3 米．(13分)9．[2017·河北冀州测试](本小题满分13分)如图，已知平面上直线l 1∥l 2，A ，B 分别是l 1，l 2上的动点，C 是l 1，l 2之间的一定点，C 到l 1的距离CM ＝1，C 到l 2的距离CN ＝3，△ABC 三内角∠A 、∠B 、∠C 所对边分别为a ，b ，c ，a >b ，且b cos B ＝a cos A .(1)判断△ABC 的形状；(2)记∠ACM ＝θ，f (θ)＝1AC ＋1BC ，求f (θ)的最大值． 解 (1)由正弦定理，得b sin B ＝asin A ， 又b cos B ＝a cos A ，得sin2B ＝sin2A ，(3分) 又a >b ，所以A >B ，且A ，B ∈(0，π)， 所以2A ＋2B ＝π，∴C ＝π2，(5分) 所以△ABC 是直角三角形．(6分) (2)∠ACM ＝θ，由(1)得∠BCN ＝π2－θ， 则AC ＝1cos θ，BC ＝3sin θ，(9分)f (θ)＝1AC ＋1BC ＝cos θ＋33sin θ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，(11分)所以θ＝π6时，f (θ)的最大值为233.(13分)10．[2017·湖北重点中学联考](本小题满分13分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋m (m ∈R )，将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位后得到y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4内的最大值为 2.(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫34B ＝1，且a ＋c ＝2，求△ABC 周长l 的取值范围．解 (1)由题设得f (x )＝sin2x －cos2x －1＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1＋m ，(2分) ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4－1＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1＋m ，(4分) ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，(5分) ∴由已知得当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，g (x )max ＝2－1＋m ＝2，∴m ＝1.(7分)(2)由已知，得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫34B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ＋π4＝1， ∵在△ABC 中，0<32B <3π2，∴π4<32B ＋π4<7π4，∴32B ＋π4＝3π4，即B ＝π3.(9分)又∵a ＋c ＝2，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3(a ＋c )24＝1，(11分)当且仅当a ＝c ＝1时等号成立．又∵b <a ＋c ＝2，∴1≤b <2，∴△ABC 周长l ＝a ＋b ＋c ∈[3,4)，故△ABC 周长l 的取值范围是[3,4)．(13分)11．[2017·江西临川期末](本小题满分13分)在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，AB 2＋AC 2＋AB ·AC ＝BC 2，且△ABC 的面积为 3.(1)求∠BAC 的大小及AB →·AC →的值；(2)若AB ＝4，求AD 的长．解 (1)在△ABC 中，由AB 2＋AC 2＋AB ·AC ＝BC 2，可得AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－12＝cos ∠BAC ，故∠BAC ＝120°.(3分)因为S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12AB ·AC ·sin120°＝3，所以12AB ·AC ×32＝3，解得AB ·AC ＝4.(5分)所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|×cos120°＝|AB →|·|AC →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.(6分) (2)解法一：由AB ＝4，AB ·AC ＝4，得AC ＝1.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝16＋1－2×4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21， 得BC ＝21，(9分)由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC， 得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝1×3221＝714. ∵0°<∠ABC <60°，故cos ∠ABC ＝32114.(10分)在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝16＋214－2×4×212×32114＝134，得AD ＝132.(13分)解法二：由AB ＝4，AB ·AC ＝4，得AC ＝1.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝16＋1－2×4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21， 得BC ＝21，(9分)cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝16＋21－12×4×21＝32114，(10分) 在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝16＋214－2×4×212×32114＝134，得AD ＝132.(13分)12．[2017·吉林长春质监](本小题满分13分)已知f (x )＝cos x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，A 为锐角且f (A )＝32，AB →＋AC →＝3AD →，AB ＝3，AD ＝2，求sin ∠BAD .解 (1)由题可知f (x )＝12sin2x －32(1＋cos2x )＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，(3分) 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(5分) (2)由f (A )＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝32，解得A ＝π3或A ＝π2(舍)．(7分)又因为AB →＋AC →＝3AD →，则D 为△ABC 的重心，以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，因为AD ＝2，所以AE ＝6，在△ABE 中，AB ＝3，∠ABE ＝120°.(9分) 由正弦定理可得3sin ∠AEB ＝632，解得sin ∠AEB ＝14且cos ∠AEB ＝154.(11分) 因此sin ∠BAD ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－∠AEB ＝32×154－12×14＝35－18.(13分)。