第二节 函数的求导法则2-2

3(x sin2 x)2 (1 sin 2x)
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一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
例２ 求 y 1 x 的导数. 1 x
解
y
2
1 1 x
1 1
x x
'
2
1 1
x
1 x 1 1 x2
x
1
1
x 1
x2
1 x
1 x
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一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
如果 y f u 在点 u 处可导，u g x 在点 x 处可导，则复合函数
y f g x 在点 x 处可导，且有
dy dy du（即yx f u gx）
dx du dx
由 u 在g 点x 处连续x (可导⇒连续)知，
当 x 时，0
u g x x g x 0， 故 lim ，li因m 此，0
x0
u0
dy dx
lim y x0 x
lim
x0
f
u
u x
u x
f u gx
即
dy dx
dy du du dx
7
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
复合函数的求导法则也称为链式法则，它可推广到有限个函数复合的情形.
比如，若 y f u，u g v 和 v h x 可导，则 y f {g[h(x)]}
例如， y sin2 x 由 u sin x 和 y u2 复合而成，
y
ln
x2 x2
1 1
由
u
x2 x2
1 1
和 y ln u复合而成.
2
课前导读

x
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
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六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。

解: [(xsi2nx)3]
(12sinx
3(xsi2nx)2
cosx)
=3(x+sin2x)2(1+sin2x)
例9. 设
ylncoesx)(,求 d y . dx来自解:dy dx

1 cos( e
x
)
(sine(x))

ex
extanex()
例10. 设 y ln x2 1 , 求 d y . dx
例6. 设 y(x211),0求 y
解: 令 u = x2 + 1, 则 y = u 10， y (u10)u ux 10u9 (x2 1)x 10(x21)92x 20x(x2 1)9.
例7. 设 yesinx ,求y.
解: 令 u = sin x, 则 y = e u，

1
sin2
x

csc2
x.
证: (tanx)csionsxx
(sixn )coxssixn(cx o)s

cos2 x

cos2 xsin2x cos2 x

1 cos 2
x

sec2
x.
2.2.2、反函数的求导法则
定理2.2.2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反,f函 1(y)在 数
推论:
1) 2)
(Cu)C u ( C为常数
(1) v
1v 1v v2

)

v v2
例1. y5x33lnx4ex ,求 y .
解:
y 53x2 3 1 x
4ex.
例2. yx(x 3 4 co x ss1 i)n ,求 y及 yx1.

cos x dy dy du 1 ∴ = ⋅ = ⋅ cos x = = cot x dx du dx u sin x
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例9
证明：若 x > 0 ，则 ( x μ )′ = μx μ −1 。
μ
ln x μ
=e 证 Qx = e μ ln x ( μ ln x )′ ∴ ( x μ )′ = (e μ ln x )′ = e
当 x = 0 时,
1 x+1
(0 + h) − ln(1 + 0) = 1, f −′ (0) = lim− h→ 0 h ln[1 + (0 + h)] − ln(1 + 0) = 1, f +′ (0) = lim+ h→ 0 h
∴ f ′( 0 ) = 1 .
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= lim
u( x + h)v ( x ) − u( x )v ( x + h) h→ 0 v ( x + h)v ( x )h
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[u( x + h) − u( x )]v ( x ) − u( x )[v ( x + h) − v ( x )] = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x )h u( x + h) − u( x ) v ( x + h) − v ( x ) ⋅ v ( x ) − u( x ) ⋅ h h = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x ) u′( x )v ( x ) − u( x )v ′( x ) = [v ( x )]2