2019-2020学年上海市闵行区高一上学期期中考试数学试题

2019-2020学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={1.2.3.4}.则A∩B=___ ．2.（填空题.3分）已知集合M={1.m+1.m 2+4}.如果5∈M 且-2∉M .那么m=___ ．3.（填空题.3分）已知 f (x )={2x −1(x ＜1)f (x −1)(x ≥1).则f （3）=___ ． 4.（填空题.3分）若关于x 的不等式 x−b x−a ＜0 的解集是（2.3）.则a+b=___ ．5.（填空题.3分）函数y= √1−x + √x +3 的定义域是___ ．6.（填空题.3分）“a=2”是“集合{（x.y ）|y=x+a}∩{（x.y ）|y=a|x|}的子集恰有4个”的___ 条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）7.（填空题.3分）如果2属于关于x 的不等式x 2-（2k+1）x+k （k+1）＜0的解集.则实数k 的取值范围是___8.（填空题.3分）任意两个正整数x 、y.定义某种运算⊗： x ⊗y ={x +y (x 与y 奇偶相同)x ×y(x 与y 奇偶不同) .则集合M={（x.y ）|x⊗y=6.x.y∈N *}中元素的个数是___ ．9.（填空题.3分）已知直角三角形的面积为2.则它的周长的最小值为___ ．10.（填空题.3分）若函数f （x ）= √ax 2+ax+1 的定义域为R.则实数a 的取值范围是___ ．11.（填空题.3分）若关于x 的不等式|x-2|≥|x+1|+a 的解集不是∅.则实数a 的最大值是___ ．12.（填空题.3分）已知有限集A={a 1.a 2.….a n }（n≥2.n∈N ）.如果A 中元素a i （i=1.2.….n ）满足a 1+a 2+…+a n =a 1×a 2×…×a n .就称A 为“完美集”．① 集合 {−1，−√3，−1+√3} 是“完美集”；② 若a 1、a 2是两个不同的正数.且{a 1.a 2}是“完美集”.则a 1、a 2至少有一个大于2； ③ 二元“完美集”有无穷多个；④ 若 a 1∈N ∗ .则“完美集”A 有且只有一个.且n=3；其中正确的结论是___ （填上你认为正确的所有结论的序号）．13.（单选题.3分）“ {x ＞1y ＞2019 ”是“ {x +y ＞2020xy ＞2019”的（ ）条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.（单选题.3分）下列四个图象中.是函数图象的是（）A.（1）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（3）（4）15.（单选题.3分）下列结论正确的是（）A.命题“若a＜b.则a+c＜b+c”为假命题B.命题“若x∈A∪B.则x∈B”的否命题为假命题C.命题“若mn＜0.则方程mx2-x+n=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若0＜x＜5.则|x-2|＜3”的逆否命题为真命题16.（单选题.3分）设a、b是正实数.且a+2b=2.则a2a+1+4b22b+1的最小值是（）A.4B. 14C. 12D.117.（问答题.0分）设实数集为R.集合A={x|1＜x＜4}.B={x|x2-7x+10＜0}.C={x|-3＜x-a＜3}．（1）求（∁R B）∩A；（2）若A∪C=C.求实数a的取值范围．18.（问答题.0分）设函数f（x）=x2-2x+a+1．（1）若函数y=f（x）的图象与x轴无公共点.求实数a的取值范围；（2）若方程f（x）=0有两个不相等的正根.求实数a的取值范围．19.（问答题.0分）阅读下面材料：在计算2+5+8+11+14+17+20+23+26+29时.我们发现.从第一个数开始.后面每个数与它的前面个数的差都是一个相等的常数.具有这种规律的一列数.（其中：n表示数的除了直接相加外.我们还可以用下面的公式来计算它们的和S. S=n(a1+a n)2个数.a1表示第一个数.a n表示最后一个数））.那么2+5+8+11+14+17+20 +23+26+29=10(2+29)=155 .利用或不利用上面的知识解答下面的问题：某集团总公司决定将下属的一个分2公司对外招商承包.有符合条件的两家企业A、B分别拟定上缴利润方案如下：A：每年结算一次上缴利润.第一年上缴利润100万元.以后每年比前一年增加100万元；B：每半年结算一次上缴利润.第一个半年上缴利润30万元.以后每半年比前半年增加30万元；（1）如果承包4年.你认为应该承包给哪家企业.总公司获利多？（2）如果承包n（n∈N*）年.请用含n的代数式分别表示两家企业上缴利润的总金额.请问总公司应该如何在承包企业A、B中选择？．20.（问答题.0分）已知函数f(x)=x2+2x（1）求f（1）.f（2）的值；（2）设a＞b＞1.试比较f（a）、f（b）的大小.并说明理由；+m对一切x∈[1.6]恒成立.求实数m的最大值．（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−121.（问答题.0分）已知集合A={x|x=m+n√3 .且m2-3n2=1.m.n∈Z}．是偶数；（1）证明：若x∈A.则x+1x（2）设a∈A.且1＜a＜4.求实数a的值；∈A；并求满足2+√3＜c≤(2+√3)2的c的值．（3）设c∈A.求证：2+√32019-2020学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={1.2.3.4}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1.2}【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-1.0.1.2}.B={1.2.3.4}.∴A∩B={1.2}．故答案为：{1.2}．【点评】：本题考查了列举法的定义.交集的定义及运算.考查了计算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）已知集合M={1.m+1.m2+4}.如果5∈M且-2∉M.那么m=___ ．【正确答案】：[1]4或1或-1【解析】：利用5∈M且-2∉M.对集合M的元素分情况讨论.检验即可求出m的值．【解答】：解：① 当m+1=5时.m=4.此时集合M={1.5.20}.符合题意.② 当m2+4=5时.m=1或-1.若m=1.集合M={1.2.5}.符合题意.若m=-1.集合M={1.0.5}.符合题意.综上所求.m的值为4或1或-1.故答案为：4或1或-1．【点评】：本题主要考查了元素与集合关系的判断.是基础题．3.（填空题.3分）已知f(x)={2x−1(x＜1)f(x−1)(x≥1).则f（3）=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：根据分段函数的解析式直接代入即可求解．【解答】：解：由题意可得.f （3）=f （2）=f （1）=f （0）=-1．故答案为：-1．【点评】：本题主要考查了分段函数的函数值的求解.属于基础试题．4.（填空题.3分）若关于x 的不等式 x−b x−a ＜0 的解集是（2.3）.则a+b=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：结合分式与二次不等式地方转化及不等式解集的端点与方程解的关系可求．【解答】：解：由题意可得. x−b x−a ＜0 可转化为（x-a ）（x-b ）＜0.由解集是（2.3）可得a=2.b=3或a=3.b=2.所以a+b=5．故答案为：5．【点评】：本题主要考查了分式不等式的求解与二次不等式相互转化关系的应用.属于基础试题．5.（填空题.3分）函数y= √1−x + √x +3 的定义域是___ ．【正确答案】：[1][-3.1]【解析】：由根式函数中被开方数大于等于0可得 {1−x ≥0x +3≥0.该不等式组的解集即为所求定义域．【解答】：解：要使函数有意义.则自变量x 应满足 {1−x ≥0x +3≥0.解得-3≤x≤1.即函数的定义域为[-3.1]．故答案为：[-3.1]．【点评】：本题考查函数定义域的求法以及不等式的求解.属于基础题．6.（填空题.3分）“a=2”是“集合{（x.y ）|y=x+a}∩{（x.y ）|y=a|x|}的子集恰有4个”的___ 条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）【正确答案】：[1]充分不必要【解析】：先化简命题.由子集个数可知.交点个数.可求解.然后判断充要性．【解答】：解：∵集合{（x.y ）|y=x+a}∩{（x.y ）|y=a|x|}的子集恰有4个.∴y=x+a 与y=a|x|的交点有两个.解之得a ＜-1或者a ＞1.∴“a=2”是“集合{（x.y ）|y=x+a}∩{（x.y ）|y=a|x|}的子集恰有4个”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要【点评】：本题考查集合关系.以及简易逻辑.属于中档题．7.（填空题.3分）如果2属于关于x 的不等式x 2-（2k+1）x+k （k+1）＜0的解集.则实数k 的取值范围是___【正确答案】：[1]（1.2）【解析】：先求出不等式的解集为（k.k+1）.再根据2属于解集.由此建立关于k 的不等式组.解出即可．【解答】：解：不等式x 2-（2k+1）x+k （k+1）＜0即为（x-k ）[x-（k+1）]＜0.解得k ＜x ＜k+1.又2∈（k.k+1）.∴ {k ＜2k +1＞2.解得1＜k ＜2． 故答案为：（1.2）．【点评】：本题主要考查含参不等式的解法.考查计算求解能力.属于基础题．8.（填空题.3分）任意两个正整数x 、y.定义某种运算⊗： x ⊗y ={x +y (x 与y 奇偶相同)x ×y(x 与y 奇偶不同).则集合M={（x.y ）|x⊗y=6.x.y∈N *}中元素的个数是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：根据新定义.对x.y 的奇偶性分三种情况讨论.分别求出符合题意的点即可．【解答】：解： ① 当x 与y 都为奇数时.有1+5=6.3+3=6.据此可得出（1.5）.（5.1）.（3.3）.3个点符合题意.② 当x 与y 都为偶数时.有2+4=6.据此可得出（2.4）.（4.2）.2个点符合题意.③ 当x 与y 一奇一偶时.1×6=6.2×3=6.据此可得出（1.6）.（6.1）.（2.3）.（3.2）.4个点符合题意.所以共有9个点符合题意.故答案为：9．【点评】：本题主要考查了新定义的运算.做题时注意分情况讨论.属于基础题．9.（填空题.3分）已知直角三角形的面积为2.则它的周长的最小值为___ ．【正确答案】：[1]4+2 √2【解析】：设两直角边为a、b.则ab=4．即有三角形的周长c= √a2+b2 +（a+b）由基本不等式即可得到最小值．【解答】：解：设两直角边为a、b.则ab=4．即有三角形的周长c= √a2+b2 +（a+b）≥ √2ab +2 √ab .= √8 +2 √4 =4+2 √2 .当且仅当a=b时取等号.即为等腰直角三角形时取得最小值4+2 √2．故答案为：4+2 √2．【点评】：本题考查基本不等式的运用：求最值.考查运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）若函数f（x）=√ax2+ax+1的定义域为R.则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]0≤a＜4【解析】：把函数f（x）=√ax2+ax+1R.转化为ax2+ax+1＞0对任意实数x恒成立．然后分a=0和a≠0分类求解得答案．【解答】：解：∵函数f（x）=√ax2+ax+1R.∴ax2+ax+1＞0对任意实数x恒成立．若a=0.不等式成立；若a≠0.则{a＞0a2−4a＜0.解得0＜a＜4．综上：0≤a＜4．故答案为：0≤a＜4．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法.考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法.是中档题．11.（填空题.3分）若关于x的不等式|x-2|≥|x+1|+a的解集不是∅.则实数a的最大值是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：构造函数f（x）=|x-2|-|x+1|.需对x通过分类讨论去掉绝对值符号.然后求得a的取值范围.再得到a的最大值．【解答】：解：当x＞2时.a≤f（x）=|x-2|-|x+1|=x-2-x-1=-3；同理.当-1≤x≤2时.a≤1；当x＜-1时.a≤3．∵关于x的不等式|x-2|-|x+1|≥a解集不是∅.∴实数a取值范围是（-∞.3].∴a的最大值为3．故答案为：（-∞.3]．【点评】：本题考查了绝对值不等式解不存在的问题.考查了函数思想与分类讨论思想.属中档题．12.（填空题.3分）已知有限集A={a1.a2.….a n}（n≥2.n∈N）.如果A中元素a i（i=1.2.….n）满足a1+a2+…+a n=a1×a2×…×a n.就称A为“完美集”．① 集合{−1，−√3，−1+√3}是“完美集”；② 若a1、a2是两个不同的正数.且{a1.a2}是“完美集”.则a1、a2至少有一个大于2；③ 二元“完美集”有无穷多个；④ 若a1∈N∗ .则“完美集”A有且只有一个.且n=3；其中正确的结论是___ （填上你认为正确的所有结论的序号）．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：直接利用信息的应用进一步对① ② ③ ④ 进行推理.验证最后确定结果．【解答】：解：对于有限集A={a1.a2.….a n}（n≥2.n∈N）.如果A中元素a i（i=1.2.….n）满足a1+a2+…+a n=a1×a2×…×a n.就称A为“完美集”．故对于① 集合{−1，−√3，−1+√3}是“完美集”；由于−1−√3−1+√3=−2≠(−1)×(−√3)×(−1+√3) .故错误．对于② 若a1、a2是两个不同的正数.且{a1.a2}是“完美集”.则设a1+a2=a1•a2=t.根据根和系数的关系a1和a2相当于x2-tx+t=0的两根.所以△=t2-4t＞0.解得t＞4或t＜0.由于t为整数.所以a1、a2至少有一个大于2；故正确．③ 二元“完美集”有无穷多个；根据② 一元二次方程根和系数的关系a1和a2相当于x2-tx+t=0的两根.所以△=t2-4t＞0.解得t＞4或t＜0.由于t为整数.所以有无穷多个.故正确．④ 若a1∈N∗ .则“完美集”A有且只有一个.且n=3；设a1＜a2＜a3＜…＜a n.则满足a 1+a 2+…+a n =a 1×a 2×…×a n .故a 1a 2a 3…a n ＜na n .整理得a 1a 2a 3…a n-1＜n.当n=3时.a 1a 2＜3.由于 a 1∈N ∗ .所以a 1=1.a 2=2.由于a 1+a 2+a 3=a 1a 2a 3.解得：a 3=3．所以此时的完美集只有一个{1.2.3}.故正确．故答案为： ② ③ ④ ．【点评】：本题考查的知识要点：信息题型的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．13.（单选题.3分）“ {x ＞1y ＞2019 ”是“ {x +y ＞2020xy ＞2019”的（ ）条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：A【解析】：则根据同向不等式的可加性.x+y ＞2020.根据同向不等式的可乘性.xy ＞2019.故前者能推出后者.反之不成立.得出结论．【解答】：解： {x ＞1y ＞2019. 则根据同向不等式的可加性.x+y ＞2020.根据同向不等式的可乘性.xy ＞2019.故前者能推出后者.反之.不成立.比如x=0.1.y=30000.x+y ＞2020.xy ＞2019.但推不出前者.故前者是后者的充分不必要条件.故选：A ．【点评】：本题考查四个条件的判断.考查不等式的性质.基础题．14.（单选题.3分）下列四个图象中.是函数图象的是（）A.（1）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（3）（4）【正确答案】：B【解析】：根据函数值的定义.在y是x的函数中.x确定一个值.Y就随之确定唯一一个值.体现在函数的图象上的特征是.图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点.从而对照选项即可得出答案．【解答】：解：根据函数的定义知：在y是x的函数中.x确定一个值.Y就随之确定一个值.体现在图象上.图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点.对照选项.可知只有（2）不符合此条件．故选：B．【点评】：本题主要考查了函数的图象及函数的概念．函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．精确地说.设X是一个非空集合.Y是非空数集.f是个对应法则.若对X中的每个x.按对应法则f.使Y中存在唯一的一个元素y与之对应.就称对应法则f是X上的一个函数.记作y=f（x）.因变量（函数）.随着自变量的变化而变化.且自变量取唯一值时.因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应．15.（单选题.3分）下列结论正确的是（）A.命题“若a＜b.则a+c＜b+c”为假命题B.命题“若x∈A∪B.则x∈B”的否命题为假命题C.命题“若mn＜0.则方程mx2-x+n=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若0＜x＜5.则|x-2|＜3”的逆否命题为真命题【正确答案】：D【解析】：利用不等式的基本性质判断A.元素与结合的关系判断B.根与系数的关系判断C.四种命题的逆否关系判断D．【解答】：解：命题“若a＜b.则a+c＜b+c”为假命题.A不正确；命题“若x∈A∪B.则x∈B”的否命题为：x∉A∪B则x∉B且x∉A.是假命题；所以B不正确；命题“若mn＜0.则方程mx2-x+n=0有实根”的逆命题为：方程mx2-x+n=0有实根”则1-4mn≥0即mn≤ 14.逆命题是假命题.所以C不正确；命题“若0＜x＜5.则|x-2|＜3”是真命题.所以它的逆否命题为真命题.所以D正确；故选：D．【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用.是基本知识的考查.中档题．16.（单选题.3分）设a、b是正实数.且a+2b=2.则a2a+1+4b22b+1的最小值是（）A.4B. 14C. 12D.1【正确答案】：D【解析】：令a+1=s.2b+1=t.则a=s-1.2b=t-1；可得s+t=4；把所求转化为关于s.t的不等式.再利用乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：令a+1=s.2b+1=t.则a=s-1.2b=t-1；由题意得s.t为正实数.且s-1+t-1=2⇒s+t=4；∴ a2 a+1+4b22b+1= (s−1)2s + (t−1)2t=s+t-4+ 1s + 1t= 1s + 1t= 14（1s+ 1t）（s+t）= 14（2+ ts+ st）≥ 14（2+2 √ts•st）=1．．当且仅当s=t=2即a=1.b= 12故选：D．【点评】：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.属于中档题.本题的难点在于转化为关于s.t的不等式．17.（问答题.0分）设实数集为R.集合A={x|1＜x＜4}.B={x|x2-7x+10＜0}.C={x|-3＜x-a＜3}．（1）求（∁R B）∩A；（2）若A∪C=C.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）先分别求出集合B.C.然后根据集合的补集与交集运算即可求解；（2）由题意可得A⊆C.然后根据集合的包含关系即可求解．【解答】：解：（1）因为A={x|1＜x＜4}.B={x|x2-7x+10＜0}=（2.5）.C={x|a-3＜x＜3+a}．∴∁R B={x|x≥5或x≤2}.∴（∁R B）∩A=（1.2]；（2）因为若A∪C=C.所以A⊆C..∴ {a−3≤1a+3≥4解可得1≤a≤4.故a的范围为[1.4]．【点评】：本题主要考查了集合的交集.补集的基本运算及集合包含关系的应用.属于基础试题．18.（问答题.0分）设函数f（x）=x2-2x+a+1．（1）若函数y=f（x）的图象与x轴无公共点.求实数a的取值范围；（2）若方程f（x）=0有两个不相等的正根.求实数a的取值范围．【解析】：（1）函数f （x ）=x 2-2x+a+1的图象与x 轴无公共点.即对应的方程无实根.判别式△＜0.解得a 的范围即可；（2）方程f （x ）=0有两个不相等的正根.则△＞0且两根x 1+x 2=2＞0.x 1x 2=a+1＞0.求出a 的范围即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=x 2-2x+a+1的图象与x 轴无公共点. 即对应的方程无实根.判别式△＜0. ∴4-4（a+1）＜0.∴a ＞0. ∴a 的取值范围是（0.+∞）；（2）方程f （x ）=0有两个不相等的正根.则△＞0且两根x 1+x 2=2＞0.x 1x 2=a+1＞0. ∴ {4−4(a +1)＞0a +1＞0 .∴-1＜a ＜0； 故a 的取值范围是（-1.0）．【点评】：本题考查了二次函数的零点和方程根的关系.体现了转化的思想方法.属于基础题． 19.（问答题.0分）阅读下面材料：在计算2+5+8+11+14+17+20+23+26+29时.我们发现.从第一个数开始.后面每个数与它的前面个数的差都是一个相等的常数.具有这种规律的一列数.除了直接相加外.我们还可以用下面的公式来计算它们的和S. S =n (a 1+a n )2（其中：n 表示数的个数.a 1表示第一个数.a n 表示最后一个数））.那么2+5+8+11+14+17+20 +23+26+29=10(2+29)2=155 .利用或不利用上面的知识解答下面的问题：某集团总公司决定将下属的一个分公司对外招商承包.有符合条件的两家企业A 、B 分别拟定上缴利润方案如下：A ：每年结算一次上缴利润.第一年上缴利润100万元.以后每年比前一年增加100万元；B ：每半年结算一次上缴利润.第一个半年上缴利润30万元.以后每半年比前半年增加30万元； （1）如果承包4年.你认为应该承包给哪家企业.总公司获利多？（2）如果承包n （n∈N *）年.请用含n 的代数式分别表示两家企业上缴利润的总金额.请问总公司应该如何在承包企业A 、B 中选择？【解析】：（1）根据题意分别求出承包给企业A.B时.总公司的获利.再比较即可．（2）利用等差数列求和个数即可得到承包n（n∈N*）年两家企业上缴利润的总金额.再利用作差法比较即可．【解答】：解：（1）A：100+200+300+400=1000万元.B：30+60+90+120+150+180+210+240=1080万元；∴应承包给B企业；（2）A：100+200+300+…+100n=50n（1+n）；B：30+60+90+…+60n=30n（1+2n）；解不等式50n（1+n）＞30n（1+2n）.得：n＜2.所以.n＜2.选A企业；n＞2.选B企业；n=2时.选A\B企业都可以．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用.是中档题．20.（问答题.0分）已知函数f(x)=x2+2．x（1）求f（1）.f（2）的值；（2）设a＞b＞1.试比较f（a）、f（b）的大小.并说明理由；+m对一切x∈[1.6]恒成立.求实数m的最大值．（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1【正确答案】：【解析】：（1）直接将x=1.x=2代入函数解析式.计算可得所求值；（2）可得f（a）＞f（b）.可运用作差法计算f（a）-f（b）.因式分解.结合不等式的性质可得结论；（3）原不等式等价为m≤x2-4x+3对一切x∈[1.6]恒成立.构造y=x2-4x+3.求得此函数y在[1.6]的最小值.可得m的范围.即有m的最大值．.【解答】：解：（1）函数f(x)=x2+2x可得f（1）=1+2=3.f（2）=4+1=5；（2）f（a）＞f（b）.理由如下：由a＞b＞1.f（a）-f（b）=a2+ 2a -b2- 2b=（a-b）（a+b）- 2(a−b)ab=（a-b）（a+b- 2ab）.因为a＞b＞1.可得a-b＞0.a+b＞2.ab＞1. 2ab ＜2.a+b- 2ab＞0.则（a-b）（a+b- 2ab）＞0.故f（a）＞f（b）；（3）不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m对一切x∈[1.6]恒成立.即为（x-1）2+ 2x−1≥2（x-1）+ 2x−1+m对一切x∈[1.6]恒成立.化简可得m≤x2-4x+3对一切x∈[1.6]恒成立.由y=x2-4x+3在[1.6]的最小值为22-4×2+3=-1.所以m≤-1.即m的最大值为-1．【点评】：本题考查函数值的计算和函数值大小的比较.注意运用作差法.考查不等式恒成立问题解法.注意运用参数分离和转化为最值问题.考查化简运算能力、推理能力.属于中档题．21.（问答题.0分）已知集合A={x|x=m+n√3 .且m2-3n2=1.m.n∈Z}．（1）证明：若x∈A.则x+1x是偶数；（2）设a∈A.且1＜a＜4.求实数a的值；（3）设c∈A.求证：2+√3∈A；并求满足2+√3＜c≤(2+√3)2的c的值．【正确答案】：【解析】：（1）将x=m+√3n代入x+1x化简即可判断；（2）由1＜a＜4 推出m+√3n的范围.再由m2-3n2=1.m.n∈Z 逐一验证即可；（3）将c= m+√3n代入验证2+√3符合集合A的性质.2+√3.再由2+√3＜c≤(2+√3)2推出12+√3≤2+√3 .可得2+√3=2+√3 .然后求出c的值．【解答】：解：（1）因为x∈A.不妨设x=m+n √3 .则x+1x =(m+n√3)+m+√3n= m+√3n+m−√3nm2−3n2.由m2-3n2=1 可得x+1x =2m因为m∈Z.所以x+1x为偶数．（2）因为a∈A.不妨设a=m+n √3 .由1＜a＜4.可得14＜1a＜1 .由（1）.可得a+1a =2m .所以54＜2m＜5 .即58＜m＜52.又因为m2-3n2=1.m.n∈Z.则m=1或者2.当m=1时.n=0.此时x=1.a∉A不符合题意. 当m=2时.n=1符合题意.此时a=2+√3 .（3）证明：因为c∈A 则设c=m+n √3 .则2+√3=√3n2+√3=(m+√3n)(2−√3)4−3= (2m−3n)+√3(2n−m)显然2m-3n、2n-m∈Z.此时（2m-3n）2-3（2n-m）2=1 符合集合A定义.因为2+√3＜c≤(2+√3)2推出推出12+√3≤2+√3可得2+√3=2+√3 .故c=(2+√3)2=7+4√3．【点评】：考查集合与元素之间的关系.对于函数、不等式、方程等综合运用.体现数学运算.逻辑推理等数学学科素养.属于中档题．。

2024-2025学年上海市闵行区高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“”是“”的条件.A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件2.不等式，的解集不可能是( )A. B. R C. D.3.已知集合，，则满足的集合S共有个.A. 3B. 4C. 7D. 84.设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是( )A. 对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集B. 对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C. 对任意a，使得不是的子集，对任意b，不是的子集D. 对任意a，使得不是的子集，存在b，使得不是的子集二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.已知全集为R，集合，则______.6.集合，则集合______.7.若，则的最小值为______.8.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是______.9.已知，，则的取值范围是______.10.若集合有且仅有一个元素，则实数______.11.用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设______.12.一元二次不等式的解集是，则______.13.关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是______.①M可以是；②M可以是R；③M可以是；④M可以是14.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数______.15.若不等式的解集为，则实数a的取值范围是______.16.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设a，，，若对任意，都有，则的取值范围是______.三、解答题：本题共5小题，共78分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题14分求下列不等式解集.18.本小题14分已知集合，，全集当时，求，；若，求实数a的取值范围．19.本小题14分一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完.求年利润万元关于年产量x台的函数解析式利润=销售收入-成本；当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？20.本小题18分已知二次函数若关于x的方程的两个实数根，满足，求实数t的值；若对任意都有成立，求实数t的取值范围；若关于x的方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围.21.本小题18分在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为动点P在直线上，点，若，求点P的横坐标x的取值范围；动点P在直线上，动点Q在函数图像上，求的最小值；动点Q在函数的图像上，点，的最大值记为如，当点P的坐标为时，求的最小值，并求此时点P的坐标.答案和解析1.【答案】D【解析】本题考查必要条件，充分条件及充要条件的判定，属基础题.结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：因为，，所以“”是“”的充分不必要条件.2.【答案】D【解析】解：当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是不等式，的解集不可能是故选当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是本题考查一元一次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】D【解析】解：因为集合，，所以，所以，，因为，所以S可以为，，，，，，，，共8个．故选：根据题意可得集合B，再结合子集的概念可列举出集合S的所有可能情况．本题考查子集的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．4.【答案】B【解析】解：对于集合，，可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；当时，，，可得是的子集，故A错误，B正确；当时，，且，可得不是的子集．综上可得，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，故C错误，D错误．故选：运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意a，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：全集为R，集合，故答案为：利用补集的定义直接求解．本题考查集合的运算和补集的定义，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：集合，又Z是整数集，故答案为：利用交集的概念计算即可．本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．7.【答案】4【解析】解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为故答案为：4直接利用基本不等式，即可得解．本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：是的充分条件，，实数m的取值范围是，故答案为：利用充要条件的定义求解即可．本题考查了充要条件的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，，又，，故的取值范围为故答案为：根据已知条件，结合不等式的可加性，即可求解．本题主要考查不等式的性质，属于基础题．10.【答案】0或【解析】解：因为集合A中有且仅有一个元素，即方程有一个根或者两个相等的实数根，当时，方程仅有一个实数根，满足题意；当时．，解得，综上，或故答案为：0或由题意得方程有一个根或者两个相等的实数根，然后结合方程根的存在条件可求．本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．11.【答案】且【解析】解：用反证法证明“若，则或”时，第一步应先假设“且”．故答案为：且直接利用反证法的步骤，即可得到答案．本题考查反证法的应用，考查命题的否定，是基础题．12.【答案】0【解析】解：由题意可知的两个根分别是，且，所以，解得，，所以故答案为：利用三个二次关系计算即可．本题考查了不等式的解集与对应方程关系的应用问题，是基础题．13.【答案】②④【解析】解：对于①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故①错误；对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是R，故②正确；对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；对于④：假设结论成立，则，解得，此时不等式为，解得，符合题意，故④正确．故答案为：②④．在假设结论成立时求出a，b值进行判断①④，举特例判断②③．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，，，，解得或，当时，一元二次方程无解，舍去．故故答案为：利用韦达定理得到二次方程两个根之间的关系，再由已知，可得p的值．本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意可知，不等式对任意的恒成立，由三角不等式可得，则，即，解得，因此，实数a的取值范围是故答案为：利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可．本题主要考查绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：类比图像法解不等式，画出和，若对任意都有，则应为增函数，所以两个函数图像应如下图所示：由图像得，解得，其中，，所以，当且仅当时等号成立，故的范围为故答案为：类比图像法，画出和的图像，根据图像列出方程即可．本题主要考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由，所以不等式解集为；由，则或，所以或，故不等式解集为【解析】将分式不等式化为求解集即可；由公式法求绝对值不等式的解集．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．18.【答案】解：当时，，所以，由，知，当时，，解得；当时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为【解析】把代入，可得集合A，再由并集和交集的运算法则，得解；易知，再分和两种情况，列出关于a的不等式组，解之即可．本题考查集合的运算，熟练掌握集合的关系与运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：由题意可得：当时，，当时，，故；①若，，由二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，万元，②若，当且仅当时，即时，万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．【解析】分和两种情况，两种情况，结合题意分析求解；分和两种情况，根据二次函数性质结合双勾函数单调性计算最值，比较得到答案．本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．20.【答案】解：因为方程，即，且方程的两根为和，所以，解得或，又因为，所以，化简得，解得或舍去，所以由题意得对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，设，则当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以t的取值范围是当，即时，经检验满足题意；当，即或时，由，得，解得，经检验不合题意；综上知，t的取值范围是或【解析】利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可；分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可；分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：由已知，则概率“曼哈顿”定义得，，，当时，成立，解得；当时，，解得，当时，，解得，综上所述点P的横坐标x的取值范围为设出动点，，则，，，当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，，，综合得，当，时取等号，的最小值为设，则，若存在实数a，b，使得，则对任意成立，取，得，取，则，，解得，取，，是上是偶函数，当时，若，，若，，当且仅当时，取等号，存在实数a，且，，使得最小值为，点【解析】利用“曼哈顿距离”定义，分类讨论去绝对值解不等式即可；设出动点，，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可；先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可．本题考查新定义、两点间距离公式、函数的奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

上海市闵行区闵行中学2019-2020年高一上学期期中考试数学一.填空题1.已知集合{}1,0,1,2P =-，集合{}1,2,3,4Q =，则P Q ⋂= ；【答案】{}1,2。

【解析】交集就是由两个集合的公共元素组成的集合。

2.已知集合2{1,1,4}M m m =++，如果5M ∈且2M -∉，那么m =________【答案】4或1或1-【解析】【分析】根据元素与集合的关系,可得关于m 的方程,解方程且满足5M ∈且2M -∉,即可求得m 的值。

【详解】集合2{1,1,4}M m m =++,5M ∈且2M -∉所以若15m +=,解得4m =若245m ,解得1m =±所以m 的值为4或1或1-故答案为: 4或1或1-【点睛】本题考查了元素与集合的关系,根据元素属于集合求参数,属于基础题.3.已知21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(3)f =________ 【答案】1-【解析】【分析】根据分段函数的定义域,代入即可求得(3)f 的值. 【详解】因为21(1)()x x f x -<⎧=⎨所以(3)(2)(1)f f f ==(0)1f ==-故答案为:1-【点睛】本题考查了求分段函数的值,注意自变量的取值范围,属于基础题.4.若关于x 的不等式0x b x a -<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5【解析】【分析】根据不等式与方程的关系,将不等式转化为方程,求得a b 、的值,即可求得+a b 的值. 【详解】因为不等式0x b x a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解所以2,3b a ==或2,3a b ==则5a b +=故答案为:5【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,根据不等式的解集求参数,属于基础题.5.函数13y x x =-+________【答案】1{|}3x x ≤≤-【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件,即可求得函数的定义域. 【详解】函数13y x x =-+所以满足1030x x -≥⎧⎨+≥⎩解不等式可得31x -≤≤ 所以函数13y x x =-+{}3|1x x -≤≤故答案为: {}3|1x x -≤≤【点睛】本题考查了函数定义域的求法,注意二次根式有意义的条件,属于基础题.6.“2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个”的________条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）【答案】充分不必要【解析】【分析】将2a =代入函数解析式, 画出函数图像,根据交点个数即可判断是否有4个子集;根据有有4个子集,可知两个函数有2个交点,即可求得a 的取值范围,进而判断充分必要性.【详解】当2a =时,集合为{(,)|2}x y y x =+,{(,)|2||}x y y x =,画出两个函数图像如下图所示:由图像可知, 2y x =+与2y x =有2个交点,所以{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=有两个元素.则有4个子集,所以是充分性若集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个,则两个函数必有2个交点,满足条件的得a 的取值范围为1a >,所以是非必要性综上可知, “2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=的子集恰有4个”的充分不必要条件故答案为: 充分不必要【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,注意问题最后不是求的交点个数,而是交集的子集个数,属于中档题.7.如果2属于关于x 的不等式2(21)(1)0x k x k k -+++<的解集，则实数k 的取值范围是________【答案】(1,2)【解析】分析】将不等式因式分解后,求得解集,由元素与集合的关系即可求得实数k 的取值范围.【详解】因为2(21)(1)0x k x k k -+++<即()1()0x k x k -+-<⎡⎤⎣⎦所以不等式的解集为1k x k <<+因为()2,1k k ∈+所以212k k <⎧⎨+>⎩,解不等式组可得12k << 故答案为:(1,2)【点睛】本题考查了含参数一元二次不等式的解法,元素与集合的关系,属于基础题.8.任意两个正整数x 、y ，定义某种运算⊗：()()x y x y x y x y x y +⎧⊗=⎨⨯⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 中元素的个数是________【答案】9【解析】【分析】根据正整数的奇偶,讨论x y 、的不同取值情况:若一奇一偶,则取6xy =;若都是奇数或都是偶数,则取6x y +=,列举出所有可能即可.【详解】集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N若x y 、一奇一偶,则取6xy =,此时所有个数为16x y =⎧⎨=⎩,23x y =⎧⎨=⎩,32x y =⎧⎨=⎩,61x y =⎧⎨=⎩,此时(),x y 共有4个; 若x y 、都是偶数,则取6x y +=,此时所有个数为24x y =⎧⎨=⎩,42x y =⎧⎨=⎩,此时共(),x y 有2个; 若x y 、都是奇数,则取6x y +=,此时所有个数为15x y =⎧⎨=⎩,33x y =⎧⎨=⎩, 51x y =⎧⎨=⎩此时(),x y 共有3个; 综上可知,满足条件的元素共有9个.故答案为:9【点睛】本题考查了新定义运算与集合的综合应用,注意分析题意并正确理解新定义是解决此类问题的关键,属于中档题.9.已知直角三角形的面积为2，则它的周长的最小值为________【答案】422+【解析】【分析】设出直角三角形的两条边长,根据面积用一条边表示出另外一条边长,即可表示出周长,结合基本不等式即可求得最小值.【详解】设直角三角形的两条边长分别为a 、b , 则122ab =,即4ab =,22a b +所以周长为22l a b a b =++ 由基本不等式可知22l a b a b =++22ab ab ≥824422≥=+当且仅当a b =时取等号 所以周长的最小值为422+故答案为: 422+【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用,积定求和的最小值,属于中档题.10.若函数2()1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_______.【答案】04a ≤<【解析】210ax ax ++> 对于x ∈R 恒成立，当0a = 时，10> 恒成立；当0a ≠时，200440a a a a >⎧⇒<<⎨∆=->⎩，综上04a ≤< .11.若关于x 的不等式|2||1|x x a -≥++的解集不是∅，则实数a 的最大值是________【答案】3【解析】将不等式变形,并构造函数()21f x x x =--+,对x分类讨论,求得不同x 取值范围内解析式.画出函数图像,并根据图像求得a 的取值范围.【详解】不等式21x x a -≥++ 变形为21x x a --+≥构造函数()21f x x x =--+当1x <-时, ()()()213f x x x =--++=当12x -≤≤时, ()()()2121f x x x x =---+=-+当2x >时, ()()()213f x x x =--+=-即()3213f x x ⎧⎪=-+⎨⎪-⎩1122x x x <--≤≤>,画出函数图像如下图所示:因为()21f x x x a =--+≥不是空集,即()21f x x x a =--+≥有解所以从图像可知, 3a ≤即实数a 的最大值是3故答案为:3【点睛】本题考查了分类讨论绝对值不等式相关问题,将不等式转化为函数,结合图像来分析参数取值是常用方法,属于基础题.12.已知有限集12{,,,}(2,)n A a a a n n =⋅⋅⋅≥∈N ，如果A 中元素(1,2,,)i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，就称A 为“完美集”.①集合{1,3,13}---+不是“完美集”；②若1a 、2a 是两个不同的正数，且12{,}a a 是“完美集”，则1a 、2a 至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④若i a ∈*N ，则“完美集”A 有且只有一个，且3n =；其中正确的结论是________(填上你认为正确的所有结论的序号)【答案】②③④【解析】【分析】 对于①,根据定义检验((1,313--+-+与((1,313--⨯-是否相等即可.对于②根据韦达定理即可判断是否正确.对于③根据②可知,二元完美集可以看成一元二次方程对应的两个根,所以有无数组.对于④,检验当3n =时,求得完美集的个数;同时检验当4n ≥时不存在完美集即可.【详解】对于①, 根据定义.则((1,3132--+-=-,((1,3132-⨯-+=- 则()(((1,3131,313--+-=-⨯-+,所以集合{1,3,13}---+是“完美集”,则①错误; 对于②,设12120a a a a t +==>,由韦达定理可知 12,a a 可以看成一元二次方程20x tx t -+=则240t t ∆=->,解得4t >或0t <(舍)即124a a >,所以至少有一个大于2,所以②正确;对于③,根据②可知一元二次方程20x tx t -+=当t 取不同值时, 12,a a 的值是不同的.而4t >有无穷多个值,因而二元“完美集”有无穷多个,所以③正确;对于④,设123n a a a a <<⋅⋅⋅< ,则123123n n n a a a a a a a a na ⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+<所以1231n a a a a n -⋅⋅⋅<所以当3n =时, 123a a <因为a ∈*N所以只能是121,2a a ==,由123123a a a a a a =++代入解得33a =,所以此时完美集只有一个为{}1,2,3,所以④正确;故答案为: ②③④【点睛】本题考查了元素与集合的关系,正确理解题意解决问题的关键,对理解能能力和分析解决问题能力要求较高,属于难题.二.选择题13.“12019x y >⎧⎨>⎩”是“20202019x y xy +>⎧⎨>⎩”的（ ）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】根据不等式及运算即可判断充分性,由特殊值即可判断非必要性.【详解】若12019x y >⎧⎨>⎩,则不等式左右两边分别相加,可得2020x y +> 两边分别相乘可得2019xy >,所以是充分条件若100000.9x y =⎧⎨=⎩,满足不等式组20202019x y xy +>⎧⎨>⎩成立,但12019x y >⎧⎨>⎩不成立,所以不是必要条件 综上可知, “12019x y >⎧⎨>⎩”是“20202019x y xy +>⎧⎨>⎩”的充分不必要条件 故选:A 【点睛】本题考查了不等式的基本性质,注意特殊值法在判断中的应用,属于基础题.14.下列四个图象中，是函数图象的是( )A. (1)B. (1)(3)(4)C. (1)(2)(3)D. (3)(4)【答案】B【详解】试题分析：根据函数的定义，对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对．故选：B考点：函数的概念．15.下列结论正确的是（ ）A. 命题“若a b <，则a c b c +<+”为假命题B. 命题“若x A B ∈，则x B ∈”的否命题为假命题C. 命题“若0mn <，则方程20mx x n -+=有实根”的逆命题为真命题D. 命题“若05x <<，则|2|3x -<”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质,可判断A;根据集合关系及否命题定义,可判断B;根据方程有实数根的条件,即可判断C;逆否命题与原命题真假一致,所以判断原命题的真假即可判断D. 【详解】对于A,由不等式性质”不等式两边同时加上或减去同一个数,不等号方向不变”可知A 为真命题,所以A 错误; 对于B,命题的否命题为 “若x A B ∉,则x B ∉”,根据集合关系可知命题为真命题,所以B 错误; 对于C,逆命题为 “若方程20mx x n -+=有实根,则0mn <”,根据方程有实数根,140mn ∆=-≥,可得14mn ≤,所以为假命题,C 错误; 对于D,当05x <<时,不等式|2|3x -<成立所以命题为真命题.而逆否命题与原命题真假一致,所以逆否命题也为真命题,所以D 正确. 故选:D 【点睛】本题考查了原命题、逆命题、否命题及逆否命题间的关系,命题真假的判断,属于基础题。

闵行区高一上期末数学试卷一、填空题1.函数()f x =___________. 【答案】[1,1]- 【解析】【详解】解析过程略2.函数())0f x x =≤的反函数是_______.【答案】()20y x x =-≥【解析】 【分析】根据反函数的定义，从原函数式中解出x ，再进行x ，y 互换，即可得反函数的解析式.【详解】∵)0y x =≤，则0y ≥， ∴()20x yy -=≥，即()20x y y =-≥，∴将x ，y 互换，得()20y x x =-≥.故答案为：()20y xx =-≥.【点睛】本题考查反函数的求法，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系，属于基础题.3.已知全集{|,||3}U x x Z x =∈…，集合{2,0,1,2}=-A ，{2,1,3}B =-，如图中阴影部分所表示的集合为________.【答案】{0,2,3} 【解析】 【分析】求出全集{}{}|,||33,2,1,0,1,2,3U x x Z x =∈=---„，{}3,1,3U A =--ð， {}3,1,0,2U B =--ð，图中阴影部分所表示的集合为()()U U A B B A ⋂⋃⋂痧.【详解】由题意得全集{}{}|,||33,2,1,0,1,2,3U x x Z x =∈=---„， 又集合{}2,0,1,2A =-，{}2,1,3B =-，所以，{}3,1,3U A =--ð，{}3,1,0,2U B =--ð， 故{}0,2U A B =I ð，{}3U B A =I ð， 所以，图中阴影部分所表示的集合为()(){}0,2,3U UA B B A =I U I 痧.故答案为：{}0,2,3.【点睛】本题考查集合的求法，考查交集、补集、Venn 图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 4.已知奇函数()f x 的定义域为R ，(1)3f -=，那么(0)(1)f f +=________. 【答案】3- 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可知()00f =，()()11f f =--，代入即可求解. 【详解】由题意，()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，()()11f f =--， 又()13f -=，故()()113f f =--=-， 所以()()01033f f +=-=-. 故答案为：3-.【点睛】本题主要考查了利用奇函数的定义及性质求解函数值，属于基础题. 5.已知函数25()log a f x x -=是增函数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(2,2)- 【解析】 【分析】结合对数函数的单调性可知，251a ->，解不等式即可. 【详解】由题意可得，251a ->，解得：22a -<<. 故答案为：()2,2-.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题.6.已知原命题的逆命题是：“若0xy =，则220x y +=”，试判断原命题的否命题的真假________.（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，即只需判断原命题逆命题的真假性就可得出结论.【详解】原命题的逆命题是：“若0xy =，则220x y +=”与原命题的否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，所以，只需要判断原命题的逆命题的真假即可，若0xy =，则可能0x =，0y ≠，此时220x y +≠，即原命题的逆命题是假命题， 所以，原命题的否命题是假命题. 故答案为：假.【点睛】本题考查命题的真假关系，属于基础题. 7.令lg 2a =，则用a 表示81lg 3lg 52+的结果为_________. 【答案】1a - 【解析】 【分析】利用对数的运算性质化简即可. 【详解】()81lg3lg lg8lg53lg 23lg 21lg 23lg 2lg 21152a +=--=---=-=-. 故答案为：1a -.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.8.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，2()3f x x x =-，则当0x <时，()f x =________.【答案】23x x + 【解析】 【分析】设0x <，则0x ->，代入已知函数解析式，再结合偶函数的定义即可求解. 【详解】由题意，当0x >时，()23f x x x =-，设0x <，则0x ->，此时()()()2233f x x x x x -=---=+， 又函数()f x 是偶函数，可得()()f x f x =-， 所以，()23f x x x =+.故答案为：23x x +.【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数解析式，属于基础题.9.2019年度，国内某电信企业甲投入科研经费115亿美元，国外一家电信企业乙投入科研经费156亿美元，从2020年开始，若企业甲的科研经费每年增加%x ，计划用3年时间超过企业乙的年投入量（假设企业乙每年的科研经费投入量不变）.请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系：__________.（所列的不等式无需化简）【答案】3115(1%)156x +> 【解析】 【分析】由题意可得：()31151%156x +>.【详解】由题意，企业甲的科研经费每年增加%x ，用3年时间超过企业乙的年投入量， 所以，不等式表达题目的数量关系为：()31151%156x +>. 故答案为：()31151%156x +>.【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.10.已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________. 【答案】[)2,+∞【解析】 【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x ++≥，从而可得出函数()F x 的值域.【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭，所以()F x 的值域为[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞.【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.11.已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可.【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,， 当0a ≥时，可知()ag x x x=+的值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ，所以，此时有2≤，解得01a ≤≤， 当0a <时，()ag x x x=+的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 范围为(],1-∞.故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.12.设函数2()21kf x x x =-+（120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦L ）的值域依次是1232019,,,,A A A A L ，则1232019A A A A ⋂⋂⋂⋂=L __________.【答案】2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴，判断函数的最小值与最大值，然后求解值域的交集即可.【详解】函数()221k f x x x =-+的对称轴为1x =，开口向上，所以函数的最小值为()10f =，函数2()21k f x x x =-+（120191,,1,2,3,,2019k x k k k +⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦L ）的值域依次是 1232019,,,,A A A A L ，它们的最小值都是0，函数值域中的最大值为：当12019111k k k +⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即1010k =时，此时111010x =-， 所以，值域中的最大值中的最小值为22112019111101010101010f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，212320192010220190,1010A A A A A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦I I I L I .故答案为：2220190,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦.的【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及集合的交集计算，属于基础题．二、选择题13.已知a ，b 都是实数，那么“33a b >”是“33a b >” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造指数函数与幂函数，利用函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】对于“33a b >”，考查函数y=3x 在R 上单调递增，所以“33a b >”与“a>b”等价； 同样对于“33a b >”，考查函数y=3x 在R 上单调递增，所以“33a b >”与“a>b”也等价； 所以“33a b >”是“33a b >” 的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数函数及幂函数的单调性是解决本题的关键． 14.如果12log 0.5log 0.50x x <<，那么（ ） A. 2101x x <<< B. 1201x x <<<C. 121x x <<D. 211x x <<【答案】C 【解析】 【分析】直接利用对数解得即可.【详解】由12log 0.5log 0.50x x <<，得211x x >>. 故选：C.【点睛】本题考查对数函数的性质，属于基础题. 15.已知集合2121|,3232x x P x x R x x --⎧⎫==∈⎨⎬--⎩⎭，则下列集合中与P 相等的是（ ）A. 21|0,32x x x R x -⎧⎫>∈⎨⎬-⎩⎭B. {|(21)(32)0,}x x x x R --≥∈C. 21|lg 32x x y x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭D. {}0|(32)x y x =-【答案】D 【解析】 【分析】利用集合相等的定义即可判断. 【详解】集合212121|,|0323232x x x P x x R x x x x ⎧--⎫-⎧⎫==∈=≥⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭，所以()(){|21320P x x x =--≥且}320x -≠，故A 、B 选项不正确；选项C ：2121|lg |03232x x x y x x x --⎧⎫⎧⎫==>⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，故C 不正确；选项D ：{}()(){0|(32)|21320x y x x x x =-=--≥且}320x -≠，故D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题. 16.若()()111f x f x +=+,当[0,1]x ∈时,()f x x = ,若在区间(]1,1-内,()()g x f x m =-有两个零点,则实数m 的取值范围是( ) A. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]0,1【答案】D 【解析】 分析】先求函数的解析式, 把在区间(]1,1-内,函数()()g x f x m =-有两个零点，转化为函数()y f x =与y m =的图象由两个不同的交点，结合图象，即可求解．【详解】由题意知，当()1,0x ∈-，则()10,1x +∈， 又因为当[]0,1x ∈时,()f x x = ,所以()11f x x +=+，所以()()111111f x f x x =-=-++，所以(),0111,101x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩, 要使得在区间(]1,1-内,函数()()g x f x m =-有两个零点， 即函数()y f x =与y m =的图象由两个不同的交点， 在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，要使得两函数的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是01m <≤， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，以及利用函数的零点问题求解参数的取值范围，其中解答中正确求解函数的解析式，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．三、解答题17.已知函数1()f x x x=-.判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并给予证明. 【答案】单调递减，证明见解析. 【解析】 【分析】直接利用单调性的定义，作差比较即可判断. 【详解】()f x 在(),0-∞上单调递减. 证明如下： 设120x x <<，则()()()121212122112121211111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=---=--+=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由120x x <<，则210x x ->，120x x ⋅>，1210x x +⋅>， 所以()12211210x x x x x x +-⋅>，即()()120f x f x ->， 故()f x 在(),0-∞上单调递减.【点睛】本题主要考查了单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础题. 18.已知集合1|11A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}|320,1B x x a x a a =--->≤. （1）求集合A 和B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞U ；（2）(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦U . 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质即可求出集合A 和B ；（2）由A B B ⋃=，得A B ⊆，解不等式组，进而得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）集合{}1|1|0|0111x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=>=>=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭， 因1a ≤，则32a a ≤+，所以集合()(){}{320,1|3B x x a x a a x x a =---≤=<或}2x a >+. 即集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞U .（2）由（1）知，集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞U ， 由A B B ⋃=，得A B ⊆， 所以131a a ≤⎧⎨≥⎩或120a a ≤⎧⎨+≤⎩，解得113a ≤≤或2a ≤-，故实数a 的取值范围为(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦U .【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.19.自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近期的一个养猪周期内，每养x 百头猪(515)x ≤≤，所需固定成本为20万元，其它为变动成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测，销售收入()F x （万元）与x （百头）满足如下的函数关系：23040,(510)()4040,(1015)x x F x x x x -≤≤⎧=⎨-+-<≤⎩（注：一个养猪周期内的总利润()R x （万元）=销售收入-固定成本-变动成本）.（1）试把总利润()R x （万元）表示成变量x （百头）的函数；（2）当x （百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1）21660,(510)()2660,(1015)x x R x x x x -⎧=⎨-+-<⎩剟…；（2）13x =，最大利润为109万元.【解析】 【分析】（1）根据题意即可求出函数()R x 解析式；（2）分段求出最大值，再比较即可求出当13x =时，该企业所获得的利润最大，从而求出最大利润.【详解】（1）由题意可得：()()23040,510()4040,1015x x F x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+-<≤⎪⎩所以，总利润()()()()()21660,51014202660,1015x x R x F x x x x x ⎧-≤≤⎪=-+=⎨-+-<≤⎪⎩.（2）当510x ≤≤时，()1660R x x =-，当10x =时，()R x 的值最大，最大值为100， 当1015x <≤时，()22660R x x x =-+-，当()261321x =-=⨯-时，()R x 的值最大，最大值为109，综上所述，当13x =时，该企业所获得的利润最大，最大利润为109万元. 【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.20.设A 是由满足以下性质的函数()f x 构成的集合：对于()f x 的定义域内的任意两个不相等的实数1x 、2x ，不等式()()1212122x x f x f x f +⎛⎫+>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭都成立. 的（1）已知函数()21x g x =+，求()g x 的反函数1()g x -，并指出1()g x -的定义域；（2）试判断（1）中的函数()g x 与1()g x -是否属于集合A ，并说明理由；（3）设()h x A ∈，且()h x 的定义域为(0,)+∞，值域为7(2,5),(1)2h <，试写出一个满足条件的函数()h x 的解析式（不用分段函数表示，不需要说明理由）.【答案】（1）12()log (1),1g x x x -=->（2）1()g x A -∉；详见解析（3）62,032y x x =+>+.（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）利用反函数的定义直接求出即可； （2）根据题意，利用作差比较法判断即可； （3）根据题意，答案不唯一，满足条件即可．【详解】（1）由题意，()21x g x =+，即21xy =+，得1y >， 所以()2log 1x y =-，1y >，故()()12log 1gx x -=-，其定义域为()1,+∞；（2）对于()g x ：任取12,x x R ∈且12x x ≠，则122222xx≠，()()()()12121221211212121222x x x x x x g x g x g +⎛⎫+⎛⎫⎡⎤+-=+++-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭12122122222x x x x +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭1222212202x x⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 即()()12121,()22x x g x g x g g x A +⎛⎫+>∈⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭； 对于1()g x -：任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x ≠，则121210,10,102x x x x +->->->， ()()()()1111212122122211log 1log 1log 12222x x x x g x g x g x x ---++⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=-+--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭()()()()()121212222212121211111log log 221124x x x x x x x x x x x x ---++==++⎛⎫--++ ⎪⎝⎭∵()()()()22121212121211044x x x x x x x x x x +--++--++=>⎡⎤⎣⎦，且()()()21212121210,104x x x x x x x x +-++>-++>，∴()()()12122121210114x x x x x x x x -++<<+-++，∴()()11112121022x x g x g x g ---+⎛⎫⎡⎤+-< ⎪⎣⎦⎝⎭， 即()()111112121,()22x x g x g x g g x A ----+⎛⎫⎡⎤+<∉ ⎪⎣⎦⎝⎭； （3）①112,03x y x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭；②62,032y x x =+>+.（答案不唯一）【点睛】本题考查函数与反函数的关系，判断不等式的大小关系，属于中档题. 21.已知函数2()12xf x a=-+（a 是常数）. （1）若1a =，求函数()f x 的值域；（2）若()f x 为奇函数，求实数a .并证明()f x 的图像始终在1()21x g x +=-的图像的下方；（3）设函数21()()1h x f x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，若对任意123,,[0,1]x x x ∈，以()()()123,,h x h x h x 为边长总可以构成三角形，求a 的取值范围.【答案】（1）(1,1)-（2）1a =；证明见解析（3）(,3)a ∈-∞--⋃+∞ 【解析】 【分析】（1）把1a =代入后反解可得1201x y y --=>-，解分式不等式即可； （2）直接利用奇函数的定义代入即可求解，利用作差法即可证明结论；（3）由题意可得min max 2()()h x h x >，结合()221()()124x f a h x x ⎡⎤=⎢⎥-⎣+=⎦，利用换元法转化为()24t a y +=，[]1,2t ∈，再结合二次函数的性质即可.【详解】（1）由题意，2()12xf x a=-+（a 是常数），当1a =时，此时21()21x x f x -=+，即2121x x y -=+，整理可得121xy y --=-，因20x >，则101y y -->-，即()()110y y +-<， 解得11y -<<，故函数()f x 的值域为()1,1-.（2）由题意，()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=，即2211022x xa a--+-=++， 化简得()2(1)22(1)0x xa a --++-=，∵22x x -+恒不零，∴10a -=且2(1)0a -=，解得1a =，此时21()21x x f x -=+，∴()211212()()2102121x x x x x f x g x ++--=--=-<++，即()f x 的图像始终在1()21x g x +=-的图像的下方.（3）由题意，得min max 2()()h x h x >，()2211()2()14xh x a f x ⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦， 令2,[1,2]xt t =∈，则21(),[1,2]4y t a t =+∈，其对称轴为t a =-， ①当2-≥a ，即2a ≤-时，此时21(),[1,2]4y t a t =+∈单调递减， ∴min max 2()()h x h x >，即22112(2)(1)44a a ⋅+>+，解得3a <--3a >-+，∴3a <- ②当322a ≤-<，即322a -<≤-时，此时21(),[1,2]4y t a t =+∈先减后增左端点高，∴min max 2()()h x h x >即2120(1)4a ⋅>+，无解；③当312a <-<，即312a -<<-时，此时21(),[1,2]4y t a t =+∈先减后增右端点高，∴min max 2()()h x h x >即2120(2)4a ⋅>+，无解； ④当1a -≤，即1a ≥-时，此时21(),[1,2]4y t a t =+∈单调递增， ∴min max 2()()h x h x >即22112(1)(2)44a a ⋅+>+，解得a <a >∴a >综上，(),3a ∈-∞-+∞U.【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性，二次函数闭区间最值的求解，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题.。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 对于α：a−1a+1>0，β：关于x 的方程x 2−ax +1=0有实数根，则α是β成立的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合P ={0,1}，Q ={−1,0，1}，则( ) A. P ∈QB. P ⊆QC. P ⊇QD. Q ∈P 3. 若实数a <b <0，则下列不等式中正确的是( ) A. 1a <1bB. |b |>|a |C. a b +b a >2D. ab <b 2 4. 若函数f(x)=x−1x ，则方程f(4x)=x 的根为( ) A. −2 B. −12 C. 12 D. 2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x|1≤x ≤2}，集合B ={x|x ≥a}.若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围是______．6. 已知集合M ={x|0≤x <2}，N ={−1,0，1，2}，则M ∩N =______．7. 命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是__________．8. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b =ab +2a +b ，则关于实数x 的不等式：x ⊙(x −2)<0的解集为______ ．9. 已知函数f(x)={2x ,x >0x,x ≤0，则f(1)+f(−1)为________． 10. 若f(x)=√x(x +1)，g(x)=√x ，则f(x)⋅g(x)= ______ ．11. 不等式|2x −1|<x 的解集为______ ．12. 已知不等式x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围为______ ．13. 设函数f(x)=√1−lgx 的定义域为______．14. 函数y =x +1x−3(x >3)的最小值为________.15. 如果|x −1|+|x −9|>a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是______ ．16. 若集合M ={0,1，2}，N ={(x,y)|x −2y +1≥0，且x −2y −1≤0，y ∈M}，则集合N 中元素的个数为__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知集合A ={x|x 2−2x −8=0}，B ={x|x 2+ax +a 2−12=0}，且A ∪B ≠A ，求实数a 的取值范围．18.设f(x)=|x|+|x+10|．(Ⅰ)求f(x)≤x+15的解集M；(Ⅱ)当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚(0≤x≤10) 6万元，且每年的能源消耗费用H(万元)与隔热层厚度x(毫米)满足关系H(x)=403x+5设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)请解释H(0)的实际意义，并求f(x)的表达式；(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f(x)最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．21.集合A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是________．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】>0得a>1或a<−1，解：α：a−1a+1β：关于x的方程x2−ax+1=0有实数根，则判别式△=a2−4≥0，得a≥2或a≤−2，∵{a|a≥2或a≤−2}⫋{a|a>1或a<−1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选：B．2.答案：B解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查集合与集合的关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合P={0,1}，Q={−1,0，1}，∴P⊆Q．故选：B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．根据不等式的性质取特殊值验证即可．【解答】令b=−1，a=−2，则C正确，A，B，D错误，故选：C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．【解答】解：因为函数f(x)=x−1，x=x，所以f(4x)=x即为4x−14x即4x2−4x+1=0，，解得x=12故选C．5.答案：a≤1解析：因为A∪B=B，所以A⊆B，由集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≥a}．所以a≤1.故填a≤1．根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．此题考查了子集及其运算，属于简单题．6.答案：{0,1}解析：【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合M={x|0≤x<2}，N={−1,0，1，2}，则M ∩N ={0,1}．故答案为：{0,1}．7.答案：若x 2−x <0，则x ≤2．解析：【分析】本题考查否命题的概念，属于基础题．注意否命题需要对条件和结论都否定．【解答】解：命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2−x <0，则x ≤2”.故答案为：若x 2−x <0，则x ≤2．8.答案：(−2,1)解析：解：由题意知：原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0⇔x 2+x −2<0⇔(x +2)(x −1)<0⇔−2<x <1．故答案为：(−2,1)．原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0，解之得−2<x <1．本题借助新定义题考查了一元二次不等式的解法，根据定义把不等式转化为一元二次不等式是关键． 9.答案：1解析：【分析】本题考查了分段函数，将x 的值代入函数的解析式即可得答案．【解答】解：由函数f(x)={2x ,x >0x,x ⩽0可得f(1)+f(−1)=2−1=1， 故答案为1．10.答案：√x +1(x >0)．解析：解：由题意f(x)的定义域为{x|x ≤−1或x ≥0}，g(x)的定义域为{x|x >0}，∴f(x)g(x)的定义域为{x|x >0}，f(x)g(x)=√x +1，故答案为√x +1(x >0)．确定函数的定义域，再求出函数的解析式即可．本题考查函数解析式的求解，考查学生的计算能力，比较基础．11.答案：(13,1)解析：解：由不等式|2x −1|<x 可得−x <2x −1<x ，解得13<x <1，故不等式||2x −1|<x 的解集是(13,1)．故答案为：(13,1)．原不等式等价于−x <2x −1<x ，由此求得不等式|2x −1|<x 的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 12.答案：(−∞,−13)∪(1,+∞)解析：【分析】不等式恒成立，需△<0，解出即可．本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法，考查转化思想、考查学生解决问题的能力．【解答】解：∵x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，∴△=(m +1)2−4m 2<0，解得：m <−13或m >1．故答案为：(−∞,−13)∪(1,+∞)． 13.答案：(0,10]解析：解：函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0， 解得：0<x ≤10．∴函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：(0,10]．故答案为：(0,10]．由函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0，解不等式组即可求出答案． 本题考查函数的定义域及其求法，考查不等式的解法，是基础题．14.答案：5解析：解：∵x >3，∴y =x +1x−3=x −3+1x−3+3≥2√1x−3⋅(x −3)+3=2+3=5，当且仅当x −3=1时，即x =4时取等号，故答案为：5．根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．15.答案：a<8解析：解：由于|x−1|+|x−9|表示数轴上的点x到1和9对应点的距离之和，其最小值等于8，故由题意可得a<8，故答案为：a<8利用|x+1|+|x+9|表示数轴上的点x到−1和−9对应点的距离之和，其最小值等于8，从而求得a 的取值范围．本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，判断|x−1|+|x−9|的最小值等于8，是解题的关键．16.答案：4解析：【分析】本题考查元素和集合的关系的应用，属于基础题目．【解答】解：因为集合M={0,1，2}，N={(x,y)|x−2y+1≥0，且x−2y−1≤0，x，y∈M}，所以N={(0,0)，(1,1)，(1,0)，(2,1)}，所以集合N中元素个数为4．故答案为4．17.答案：解：集合A={x|x2−2x−8=0}={−2,4}，B={x|x2+ax+a2−12=0}，若A∪B=A，则B⊆A，可分为以下几种情况，(1)B=A，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2或x=4，解得a=−2；(2)B={−2}，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2，(−2)2−2a+a2−12=0，解得：a=−2(舍)或a=4；(3)B ={4}，即方程x 2+ax +a 2−12=0的解为x =4，a 2+4a +4=0，解得a =−2，此时B ={−2,4}≠{4}，故需舍弃；(4)B 为空集，即方程x 2+ax +a 2−12=0无解，a 2−4(a 2−12)<0，解得a >4或a <−4． 综上可知，若B ∪A =A ，a =−2或a ≥4，或a <−4．解析：化简集合A ，若A ∪B =A ，则B ⊆A ，分类讨论，即可求实数a 的取值集合，本题考查实数的取值范围的求法，正确分类讨论是关键，是基础题．18.答案：解：( I)由f(x)=|x|+|x +10|≤x +15得：{x <−10−x −x −10≤x +15 ①，或{−10≤x ≤0−x +x +10≤x +15 ②，或{x >0x +x +10≤x +15③． 解①求得x ∈⌀，解②求得−5≤x ≤0，解③求得5≥x >0，故原不等式的解集为M ={x|−5≤x ≤5 }．( II)当a ，b ∈M 时，−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，不等式5|a +b||≤|ab +25|，等价于25(a +b)2≤(ab +25)2，即25(a 2+b 2+2ab)≤a 2⋅b 2+50ab +625，即25a 2+25b 2−a 2⋅b 2−625≤0，等价于(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0．而由−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，可得a 2≤25，b 2≤25，∴a 2−25≤0，25−b 2≥0，∴(a 2−25)⋅(25−b 2)≤成立，故要证的不等式5|a +b|≤|ab +25|成立．解析：( I)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a ，b ∈M 时，等价转化不等式5|a +b|≤|ab +25|为(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0，结合题意可得(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0成立，从而得出结论．本题主要考查绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于中档题．19.答案：解：(1)H(0)=405=8，H(0)的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元．f(x)的解析式为：f(x)=8003x+5+6x(0≤x ≤10)．(2)f(x)=8003x+5+6x =8003x+5+2(3x +5)−10≥2√1600−10=70．当且仅当8003x+5=2(3x +5)即x =5时取等号．∴厚度为5mm 时，总费用最小70万元．若不使用隔热材料，则20年的能源消耗总费用为8×20=160万元，故业主可节省90万元．解析：(1)将建造费用和能源消耗费用相加得出f(x)的解析式；(2)利用基本不等式得出f(x)的最小值及对应的x 的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论． 本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2，所以实数m 的最大值M =2；( 2)由(1)知a 2+b 2=2，又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号，又∵√ab a+b ≤12，∴ab a+b ≤√ab 2 ②，当且仅当a =b 时取等号， 由①②得ab a+b ≤12，所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．21.答案：5解析：【分析】本题考查集合的 新定义，属于基础题型，理解题意 是关键．【解答】解：∵A ={1,2，3}，B ={1,2}，定义集合间的运算A +B ={x|x =x 1+x 2,x 1∈A,x 2∈B}， ∴A +B ={2,3，4，5}故集合A +B 中元素的最大值是5；故答案为5．。

2019-2020学年上海市闵行区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）1. 已知集合A={−1, 1, 2, 3}，B={−1, 0, 2}，则A∩B=________．【答案】{−1, 2}【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义求解．【解答】解：∵A={−1, 1, 2, 3}，B={−1, 0, 2}，∴A∩B={−1, 2}．故答案为：{−1, 2}.2. 已知集合A＝{1, 2, a2−2a}，若3∈A，则实数a＝________．【答案】3或−1【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据3∈A即可得出a2−2a＝3，解出a即可．【解答】∵3∈A，A＝{1, 2, a2−2a}，∴a2−2a＝3，解得a＝−1或3．>0的解集为________（用区间表示）．3. 不等式x−1x+3【答案】(−∞−3)∪(1, +∞)【考点】其他不等式的解法【解析】将分式不等式转化为整式不等式即可得到结论．【解答】>0等价为(x−1)(x+3)>0，不等式x−1x+3即x>1或x<−3，即不等式的解集为(−∞, −3)∪(1, +∞)，4. 已知集合A＝{(x, y)|3x−2y5}，B＝{(x, y)|x+2y−1}，则A∩B＝________．【答案】{(1, −1)}【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义，解方程组{3x −2y =5x +2y =−1 即可得出A ∩B ． 【解答】解{3x −2y =5x +2y =−1得，{x =1y =−1 ， ∴ A ∩B ＝{(1, −1)}．5. 设函数f(x)=x 0+√9−x 2，则其定义域为________． 【答案】[−3, 0)∪(0, 3] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答】函数f(x)=x 0+√9−x 2， 令{x ≠09−x 2≥0， 解得−3≤x ≤3且x ≠0；所以函数f(x)的定义域是[−3, 0)∪(0, 3]．6. 已知命题“在整数集中，若x +y 是偶数，则x ，y 都是偶数”，则该命题的否命题为________． 【答案】“在整数集中，若x +y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数” 【考点】四种命题间的逆否关系 【解析】根据命题“若p ，则q ”的否命题为“若￢p ，则￢q ”，写出即可． 【解答】命题“在整数集中，若x +y 是偶数，则x ，y 都是偶数”，该命题的否命题为：“在整数集中，若x +y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．7. 已知集合A ＝{1, 3, 2m +3}，B ＝{3, m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________． 【答案】 1或3 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】由B ⊆A 可知1＝m 2或2m +3＝m 2，求出m 再验证． 【解答】 ∵ B ⊆A ，∴ 1＝m 2或2m +3＝m 2， 解得，m ＝1或m ＝−1或m ＝3， 将m 的值代入集合A 、B 验证， m ＝−1不符合集合的互异性，故m＝1或3．8. 若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−1<x<2}，则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是________(−∞,−1)∪(12,+∞)．【答案】(−∞,−1)∪(12,+∞)【考点】一元二次不等式的应用【解析】由条件可得a<0，且−1+2=−ba ，−1×2=ca．b＝−a>0，c＝−2a>0，可得要解得不等式即x2+12x−12>0，由此求得它的解集．【解答】∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−1<x<2}，∴a<0，且−1+2=−ba ，−1×2=ca．∴b＝−a>0，c＝−2a>0，∴ac =−12，bc=12．故关于x的不等式cx2+bx+a>0，即x2+12x−12>0，即(x+1)(x−12)>0，故x<−1，或x>12，故关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是(−∞,−1)∪(12,+∞)，9. 设x>1，则x2−2x+3x−1最小值为________．【答案】2√2【考点】基本不等式及其应用【解析】由x>1，知x−1>0，然后根据x2−2x+3x−1=x−1+2x−1，利用基本不等式求出最小值．【解答】∵x>1，∴x−1>0，∴x2−2x+3x−1=(x−1)2+2x−1=x−1+2x−1≥2√(x−1)⋅2x−1=2√2，当且仅当x−1=2x−1，即x＝1+√2时取等号，∴x2−2x+3x−1最小值为2√2．10. “对任意的正数x，结论x+a2x≥1恒成立”的充要条件为________．(−∞,−12]∪[12,+∞)【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】“对任意的正数x ，结论x +a 2x≥1恒成立”⇔a 2≥(x −x 2)max ，x >0．令y ＝−x 2+x ，x >0，利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】“对任意的正数x ，结论x +a 2x≥1恒成立”⇔a 2≥(x −x 2)max ，x >0．令y ＝−x 2+x =−(x −12)2+14≤14，当x =12时，取等号． ∴ a 2≥14．解得a ≥12，或a ≤−12．11. 关于不等式组{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0 的整数解的集合为{−2}，则实数k 的取值范围是________． 【答案】 [−3, 2) 【考点】 函数的零点 【解析】先分别解出一元二次不等式，再对k 分类讨论并画出数轴即可得出答案． 【解答】由不等式组{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0可化为{x >2,x <−1(2x +5)(x +k)<0 ． （1）当k >52时，上述不等式组可化为{x >2,x <−1−k <x <−52 ，解集为{x|−k <x <−52}，不满足原不等式组的整数解的集合为{−2}，故应舍去；（2）当k <52时，上述不等式组可化为{x >2,x <−1−52<x <−k， 作出数轴：可知必须且只需当−2<−k ≤3时，即−3≤k <2，原不等式组的整数解的集合为{−2}．故k 的取值范围是[−3, 2)．12. 定义满足不等式|x −A|<B(A ∈R, B >0)的实数x 的集合叫做A 的B 邻域．若a +b −t （t 为正常数）的a +b 邻域是一个关于原点对称的区间，则a 2+b 2的最小值为________t 22．t22【考点】简单线性规划【解析】先根据条件求出−t<x<2(a+b)−t；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a+b＝t，最后结合基本不等式即可求出a2+b2的最小值．【解答】因为：A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，∴|x−(a+b−t)|<a+b⇒−t<x<2(a+b)−t，而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+b−t＝0⇒a+b＝t．又因为：a2+b2≥2ab⇒2(a2+b2)≥a2+2ab+b2＝(a+b)2＝t2．所以：a2+b2≥t22．二、选择题：（每小题5分，共20分）下列命题中正确的是（）A.若ac>bc，则a>bB.若a2>b2，则a>bC.若1a >1b，则a<bD.若√a<√b，则a<b【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．【解答】由ac>bc，当c<0时，有a<b，选项A错误；若a2>b2，不一定有a>b，如(−3)2>(−2)2，但−3<−2，选项B错误；若1a >1b，不一定有a<b，如12>−13，当2>−3，选项C错误；若√a<√b，则(√a)2<(√b)2，即a<b，选项D正确．设命题甲为|“0<x<3”，命题乙为“|x−1|<2“，那么甲是乙的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】化简命题乙，即可判断出甲乙的关系．命题乙为“|x−1|<2“，解得：−1<x<3．又命题甲为|“0<x<3”，那么甲是乙的充分不必要条件．设全集U＝R，A＝{x|x(x+3)<0}，B＝{x|x<−1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.(−3, −1]B.(−3, 0)C.[−1, 0)D.(0, 1]【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】求出∁U B，图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)，由此能求出结果．【解答】全集U＝R，A＝{x|x(x+3)<0}＝{x|−3<x<0}，B＝{x|x<−1}，∴∁U B＝{x|x≥−1}．∴图中阴影部分表示的集合为：A∩(∁U B)＝{x|−1≤x<0}＝[−1, 0)．对于使−x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做−x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b＝1，则−12a −2b的上确界为（）A.9 2B.−92C.14D.−4【答案】B【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由题意可得−12a −2b=−(a+b)(12a+2b)＝−(12+2+2ab+b2a)，展开后，运用基本不等式可得所求值．【解答】若a，b∈(0, +∞)，且a+b＝1，则−12a −2b=−(a+b)(12a+2b)＝−(12+2+2ab+b2a)≤−(52+2√2ab⋅b2a)=−92，当且仅当b＝2a=23时，上式取得等号，则−12a −2b的上确界为−92．三、解答题：（14+14+14+16+18，共76分）已知集合A={x|y=√x2+x−2,x∈R}，B＝{x||3x+4|<5, x∈R}．求：（1）A∪B；（2）∁R A∩∁R B．【答案】∵集合A={x|y=√x2+x−2,x∈R}={x|x2+x−2≥0}＝{x|x≥1或x≤−2}，B＝{x||3x+4|<5, x∈R}＝{x|−3<x<13}．∴A∪B＝{x|x≥1或x<13}．∁R A＝{x|−2<x<1}，∁R B＝{x|x≤−3或x≥13}，∴∁R A∩∁R B＝{x|13≤x<1}．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．（2）分别求出∁R A，∁R B，由此能求出∁R A∩∁R B．【解答】∵集合A={x|y=√x2+x−2,x∈R}={x|x2+x−2≥0}＝{x|x≥1或x≤−2}，B＝{x||3x+4|<5, x∈R}＝{x|−3<x<13}．∴A∪B＝{x|x≥1或x<13}．∁R A＝{x|−2<x<1}，∁R B＝{x|x≤−3或x≥13}，∴∁R A∩∁R B＝{x|13≤x<1}．记关于x的不等式1−a+1x+1<0的解集为P，不等式|x+2|<3的解集为Q．（1）若a＝3，求P；（2）若P∪Q＝Q，求正数a的取值范围．【答案】a＝3时，1−a+1x+1<0即1−4x+1<0，化简得x−3x−1<0∴集合P={x|x−3x+1<0}，根据分式不等式的解法，解得−1<x<3由此可得，集合P＝(−1, 3)．Q＝{x||x+2|<3}＝{x|−3<x+2<3}＝{x|−5<x<1}可得Q＝(−5, 1)∵a>0，∴P＝{x|x−ax+1<0}＝(−1, a)，又∵P∪Q＝Q，得P⊆Q，∴(−1, a)⊆(−5, 1)，由此可得0<a≤1即正数a的取值范围是(0, 1]．【考点】其他不等式的解法绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）当a＝3时，分式不等式可化为x−3x−1<0，结合分式不等式解法的结论，即可得到解集P；（2）由含有绝对值不等式的解法，得Q＝(−5, 1)．根据a是正数，得集合P=(−1, a)，并且集合P是Q的子集，由此建立不等式关系，即可得到正数a的取值范围．【解答】a＝3时，1−a+1x+1<0即1−4x+1<0，化简得x−3x−1<0∴集合P={x|x−3x+1<0}，根据分式不等式的解法，解得−1<x<3由此可得，集合P＝(−1, 3)．Q＝{x||x+2|<3}＝{x|−3<x+2<3}＝{x|−5<x<1}可得Q＝(−5, 1)∵a>0，∴P＝{x|x−ax+1<0}＝(−1, a)，又∵P∪Q＝Q，得P⊆Q，∴(−1, a)⊆(−5, 1)，由此可得0<a≤1即正数a的取值范围是(0, 1]．某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时∼0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a．试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%．【答案】设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75)，则新增用电量为0.2ax−0.4千瓦时．依题意，有(a+0.2ax−0.4)(x−0.3)≥a(0.8−0.3)(1+20%)，即(x−0.2)(x−0.3)≥0.6(x−0.4)，整理，得x2−1.1x+0.3≥0，解此不等式，得x≥0.6或x≤0.5，又0.55≤x≤0.75，所以，0.6≤x≤0.75，因此，x min＝0.6，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%．根据实际问题选择函数类型【解析】设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75)，则新增用电量为0.2ax−0.4千瓦时．依题意，有(a+0.2ax−0.4)(x−0.3)≥a(0.8−0.3)(1+20%)，由此能求出电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%．【解答】设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75)，则新增用电量为0.2ax−0.4千瓦时．依题意，有(a+0.2ax−0.4)(x−0.3)≥a(0.8−0.3)(1+20%)，即(x−0.2)(x−0.3)≥0.6(x−0.4)，整理，得x2−1.1x+0.3≥0，解此不等式，得x≥0.6或x≤0.5，又0.55≤x≤0.75，所以，0.6≤x≤0.75，因此，x min＝0.6，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%．已知命题α：函数y=√ax2−ax+1的定义域是R；命题β：在R上定义运算⊗:x⊗y＝x(1−y)．不等式(x−a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立．（1）若α、β中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围；（2）若α、β中至少有一个真命题，求实数a的取值范围；（3）若α、β中至多有一个真命题，求实数a的取值范围．【答案】若α为真、β为假时，有{0≤a<4a≤−12a≥32，即32≤a<4；若α为假、β为真时，有{a<0a≥4−12<a<32，即−12<a<0；综上，实数a的取值范围是(−12, 0)∪[32, 4)；若α为假且β为假时，有{a<0a≥4a≤−12a≥32，即a≤−12或a≥4；所以α、β中至少有一个真命题时，实数a的取值范围是(−12, 4)；若α为真且β为真时，有{0≤a<4−12<a<32，即0≤a<32；所以α、β中至多有一个真命题时，实数a的取值范围是(−∞, 0)∪[32, +∞)．【考点】命题的真假判断与应用分别求出命题α为真时和命题β为真时a 的取值范围，再求：（1）若α为真、β为假时和α为假、β为真时对应a 的取值范围，求并集即可； （2）求出α为假且β为假时a 的取值范围，再求补集即可； （3）求出α为真且β为真时a 的取值范围，再求补集即可． 【解答】若α为真、β为假时，有{0≤a <4a ≤−12a ≥32 ，即32≤a <4；若α为假、β为真时，有{a <0a ≥4−12<a <32 ，即−12<a <0；综上，实数a 的取值范围是(−12, 0)∪[32, 4)；若α为假且β为假时，有{a <0a ≥4a ≤−12a ≥32，即a ≤−12或a ≥4；所以α、β中至少有一个真命题时，实数a 的取值范围是(−12, 4)； 若α为真且β为真时，有{0≤a <4−12<a <32，即0≤a <32；所以α、β中至多有一个真命题时，实数a 的取值范围是(−∞, 0)∪[32, +∞)．已知一元二次函数f(x)＝ax 2+bx +c(a >0, c >0)的图象与x 轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c, 0)，且当0<x <c 时，恒有f(x)>0． （1）当a ＝1，c =12时，求出不等式f(x)<0的解；（2）求出不等式f(x)<0的解（用a ，c 表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围； 【答案】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1， 则 f(x)<0的解集为 (12,1)．f(x)的图象与x 轴有两个交点，∵ f(c)＝0， 设另一个根为x 2，则cx 2=ca ∴ x 2=1a ， 又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )；由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c)，这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8，∴ a =c16+c 2≤2√16c =18，试卷第11页，总11页 当且仅当c ＝4时，等号成立，故a ∈(0,18]．【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】（1）由韦达定理和题中所给条件可解得函数的两个零点，进而可解得不等式f(x)<0的解；（2）由韦达定理及函数过(c, 0)，可解不等式；（3）表示出以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积，利用基本不等式求得a 的取值范围．【解答】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)．f(x)的图象与x 轴有两个交点，∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a ∴ x 2=1a ，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ，∴ f(x)<0的解集为(c,1a )；由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c)，这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8，∴ a =c 16+c 2≤2√16c =18， 当且仅当c ＝4时，等号成立，故a ∈(0,18]．。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）9月月考数学试卷一.填空题1. 点P(−2, 3)关于y 轴对称的点的坐标为________ 【答案】 (2, 3) 【考点】平面直角坐标系与曲线方程 【解析】根据关于y 轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标互为相反数可得答案． 【解答】点P(−2, 3)关于y 轴对称点的坐标为(2, 3)．2. 函数y =√x−3+√5−x 的自变量x 的取值范围是________【答案】 (3, 5] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数成立的条件，进行求解即可． 【解答】要使函数有意义，则{5−x ≥0x −3>0 ， 得{x ≤5x >3 得3<x ≤5， 即x 的取值范围是(3, 5]，3. 已知反比例函数y =kx (k ≠0)，当x <0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y ＝kx −k 的图象不经过第________象限 【答案】 三【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】由反比例函数y =kx (k ≠0)，x <0时，y 随x 的增大而增大，可求k <0，结合一次函数的性质可求． 【解答】反比例函数y =k x (k ≠0)，x <0时，y 随x 的增大而增大， ∴ k <0，4. 方程√x+2=−x的解的集合为________ 【答案】{−1}【考点】集合的含义与表示【解析】方程√x+2=−x等价于{x≤0x+2=x2，由此能求出结果．【解答】∵√x+2=−x，∴{x≤0x+2=x2，解得x＝−1．∴方程√x+2=−x的解的集合为{−1}．5. 反比例函数y=2x的图象与一次函数y＝−x+b的图象在第一象限内有交点，则b的最小值为________【答案】2√2【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】反比例函数y=2x 的图象与一次函数y＝−x+b的图象在第一象限内有交点，即方程2x=−x+b有正实根，根据根的分别求解．【解答】反比例函数y=2x的图象与一次函数y＝−x+b的图象在第一象限内有交点，即方程2x=−x+b有正实根，方程x2−bx+2＝0有正实根，∴{△=b2−8≥0b>0，∴b≥2√2，则b的最小值为2√2．6. 如图，过△ABC的重心G作BC的平行线，分别交AB、AC于点E、F，若EF＝4，则BC＝________【答案】6解三角形三角形的面积公式【解析】连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG:AP＝2:3．又EF // BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF:AC＝2:3，最后由EF // BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF:BC＝AF:AC＝2:3，结合EF＝4来求BC的长度．【解答】如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG:AP＝2:3，∵EF过点G且EF // BC，∴△AGF∽△APC，∴AF:AC＝AG:AP＝2:3．又∵EF // BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC =AFAC=23．又EF＝4，∴BC＝6．7. 已知x+y+z≠0，a、b、c均不为0，且x y+z=a，yx+z =b，zx+y=c，则a1+a+b 1+b +c1+c=________【答案】1【考点】不等式的基本性质【解析】x+y+z≠0，a、b、c均不为0，且xy+z =a，yx+z=b，zx+y=c，可得a1+a=xy+z1+xy+z=xx+y+z ，同理可得：b1+b=yx+y+z，c1+c=zx+y+z．代入即可得出．【解答】x+y+z≠0，a、b、c均不为0，且xy+z =a，yx+z=b，zx+y=c，则a1+a =xy+z1+xy+z=xx+y+z，同理可得：b1+b=yx+y+z，c1+c=zx+y+z．则a1+a+b1+b+c1+c=xx+y+z+yx+y+z+zx+y+z=1．8. 已知点A(1, 1)和点B(3, 2)，在直线y＝−x上有一个点P，满足PA+PB最小，则PA+PB的最小值是________【答案】5【考点】两点间的距离公式【解析】先求点A(1, 1)关于直线y＝−x的对称点A′(−1, −1)，连接A′B，则PA+PB的最小值为A′B．如下图所示：关于直线y＝−x作点A(1, 1)的对称点A′(−1, −1)，连接A′B，由PA+PB＝PA′+PB当点P为A′B与直线y＝−x的交点时PA+PB的值最小，所以PA+PB的最小值为A′B=√(3+1)2+(2+1)2=5，9. 已知|5x+3|+|5x−4|＝7，则x的范围是________．【答案】(−0.6, 0.8)【考点】二元一次不等式的几何意义【解析】将方程|5x+3|+|5x−4|＝7变为|x+35|+|x−45|=75，利用其几何意义得出点在线段上，即可借助数轴求x的取值范围．【解答】方程可变为|x+35|+|x−45|=75，在数轴上此方程表示到两个点−35与45两个点的距离和，由|x+35|+|x−45|=75知，x对应的点在以−35与45对应的点为端点的线段上．故x的范围是[−0.6, 0.8]故应填[−0.6, 0.8]10. 关于x方程12(x2−4x+3−|x2−4x+3|)=k有两个不同的根，则k的取值范围是________【答案】(−1, 0)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】f(x)=12(x2−4x+3−|x2−4x+3|)={0,x≤1,x≥3x2−4x+3,1<x<3．画出函数f(x)的图象，结合图象即可．【解答】令f(x)=12(x2−4x+3−|x2−4x+3|)={0,x≤1,x≥3x2−4x+3,1<x<3．函数f(x)的图象如下：结合图象可得k的取值范围是(−1, 0)11. 已知集合M＝{1, 2, 3, ..., n}(n>1, n∈N∗)，则M的所有非空子集的元素和为________（只需写出数学表达式）【答案】(n2+n)⋅2n−2【考点】子集与真子集【解析】由题意可知，集合中的元素出现的次数都是相等的，从而确定每个元素出现的次数，若M＝{1, 2, 3, ...n}，则集合M的所有非空子集中，集合M中的任何一个元素出现的次数都是相等的；考查1出现的次数，可看成集合{2, 3, 4, ...n}的子集个数，故共有2n−1个1，故M的所有非空子集的元素和为2n−1(1+2+3+4+...+n)＝(n2+n)⋅2n−212. 当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a+b，a−b，ab∈F，且当b≠0时，ab∈F”时，称F为一个数域，以下四个关于数域的命题：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F有非零元素，则2019∈F；（3）集合P＝{x|x3k, k∈Z}为数域；（4）有理数集为数域；其中，真命题的编号为________【答案】当a＝b时，a−b＝0属于数域，故（1）正确，若数域F有非零元素，则F可以取实数域，当a＝2018，b＝1时，2019＝2018+1∈F，故（2）正确，由P的元素知，x是3的倍数，当a＝6，b＝3时，ab =63=2∉P，故（3）错误，（1）（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据数域的定义分别进行判断即可．【解答】当a＝b时，a−b＝0属于数域，故（1）正确，若数域F有非零元素，则F可以取实数域，当a＝2018，b＝1时，2019＝2018+1∈F，故（2）正确，由P的元素知，x是3的倍数，当a＝6，b＝3时，ab =63=2∉P，故（3）错误，若F是有理数，则当a，b∈F，则a+b，a−b，ab∈F，且当b≠0时，ab∈F”都成立，故（4）正确，故正确的命题是（1）（2）（4），二.选择题已知关于x的一次函数y＝mx+2m−7在−1≤x≤5上的函数值总是正的，则m的取值范围是（）A.m>7B.m>1C.1≤m≤7D.以上都不对一次函数的性质与图象【解析】有题意可知x取最小值和最大值时函数值总是正的，所以将x＝−1和x＝5代入函数式即可求m的取值范围．【解答】由题意得，当x＝−1时，y＝−m+2m−7＝m−7>0，得m>7当x＝5时，y＝5m+2m−7＝7m−7>0，得m>1故m的取值范围是：m>7m是一个完全平方数，则（）A.m−1一定是完全平方数B.m−1一定不是完全平方数C.m+2一定是完全平方数D.m+2一定不是完全平方数【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】直接利用数的方根和举例法的应用求出结果．【解答】m是一个完全平方数，设x2＝m，所以m−1＝x2−1＝(x+1)(x−1)，对于选项A、B，①当m＝1时，m−1＝0，②当m≠1时m−1不为完全平方数．故A、B错误．对于选项C，m是一个完全平方数，设x2＝m，当m＝0时m+2一定不是完全平方数，故选项C错误．故选：D．如图，反比例函数y=−3x(x>0)图象经过矩形OABC边AB的中点E，交边BC于F点，连结EF、OE、OF，则△OEF的面积是（）A.3 2B.94C.73D.52【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F 为BC 的中点，最后列式求出结果． 【解答】 连接OB ；∵ E ，F 是反比例函数y =−3x (x >0)图象上的点，EA ⊥x 轴于A ，FC ⊥y 轴于C ， ∴ S △AOE ＝S △COF ＝1.5；∵ 矩形OABC 边AB 中点为E ，∴ S △BOE ＝S △AOE ＝1.5，S △BOC ＝S △AOB ＝3， ∴ S △BOF ＝S △BOC −S △COF ＝3−1.5＝1.5， ∴ F 是BC 的中点，∴ S △OEF ＝S 矩形AOCB −S △AOE −S △COF −S △BEF =94．如果不等式组{9x −a ≥08x −b <0 的整数解有n(n ∈N ∗)个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a, b)共有（ ）个 A.17个 B.64个 C.81个D.72个【答案】 D【考点】 不等式的概念 【解析】解不等式组{9x −a ≥08x −b <0 ，则解集可用a ，b 表示，根据不等式组的整数解有n(n ∈N ∗)个可确定a ，b 的范围，从而求出整数a 、b 的有序数对(a, b)的个数． 【解答】不等式组解为：a9≤x <b8，因为不等式组的整数解有n(n ∈N ∗)个， 不妨设为：m ，m +1，m +2，…m +n −1，其中m ∈Z ， 则 {m −1<a 9≤mm +n −1≤b 8<m +n，9m −9<a ≤9m ，8(m +n)−8≤b <8(m +n) ∴ a ＝9m −8，9m −7，9m −6，…9m 共9个，b ＝8(m +n)−8，8(m +n)−7，8(m +n)−6，…8(m +n)−1共8个， 9×8＝72个． 三.解答题求3x 3+x 2+x −2除以x −2的商式与余数． 【答案】3x 3+x 2+x −2＝(x −2)(3x 2+7x +15)+28，所以3x 3+x 2+x −2除以x −2的商式为3x 2+7x +15 与余数为28． 【考点】 因式分解定理 【解析】3x3+x2+x−2＝(x−2)(3x2+7x+15)+28，所以3x3+x2+x−2除以x−2的商式为3x2+7x+15与余数为28．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图，已知图中ABCD为等腰梯形(AB // DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m，设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56∘，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．【参考数据：sin53∘≈0.8，tan56∘≈1.5，π≈3，结果保留整数】【答案】U型槽的横截面积约为20m2．【考点】三角函数模型的应用【解析】连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴＝S梯形ABCD−(S扇OAB−S△OAB)即可得出结论．【解答】如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．∵OA＝OB＝5m，AB＝8m，OM是半径，OM⊥AB，∴AF＝BF=12AB4(m),∠AOB2∠AOF，在Rt△AOF中，sin∠AOF=AFAO=0.8＝53∘，∴∠AOF＝53∘，则∠AOB＝106∘，∵OF=√OA2−AF2=3(m)，由题意可得MN＝1m，∴FN＝OM−OF+MN＝3(m)，∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE＝FN＝3m，DC＝AB+2DE．∘AE3∴DE＝2m，DC＝12m．∴S阴＝S梯形ABCD −(S扇OAB−S△OAB)=12(8+12)×3−(106360π×5−212×8×3)≈20m2如图，在边长为6的正方形ABCD中，弧AC的圆心为B，过弧AC上的点P作弧AC的切线，与AD、CD分别相交于点E、F，BP的延长线交AD边于点G．（1）设AE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当AE＝2时，求EG的长．【答案】由圆的切线定理可得：AE＝EP＝x，PF＝FC＝y，如图所示，∵ED2+FD2＝EF2，∴(6−x)2+(6−y)2＝(x+y)2，0<x<6，0<y<6，∴xy+6x+6y＝36，0<x<6，∴y与x之间的函数解析式为y=36−6x6+x，x∈(0, 6)．当AE＝x＝2时，y＝3．∵弧AC的圆心为B，过弧AC上的点P作弧AC的切线，与AD、CD分别相交于点E、F，∴BG⊥EF，∴∠PEG＝∠DEF，∠EPG＝∠EDF，∴△EPG∽△EDF，∴EPED =EGEF，∵EF＝5，ED＝4，EP＝2．∴EG=EP×EFED =2×54=52．【考点】与圆有关的比例线段【解析】（1）由圆的切线定理可得：AE＝EP＝x，PF＝FC＝y，再由ED2+FD2＝EF2，能求出y与x之间的函数解析式．（2）当AE＝x＝2时，y＝3，推导出△EPG∽△EDF，由此能求出EG的长．【解答】∵ ED 2+FD 2＝EF 2，∴ (6−x)2+(6−y)2＝(x +y)2，0<x <6，0<y <6， ∴ xy +6x +6y ＝36，0<x <6， ∴ y 与x 之间的函数解析式为y =36−6x 6+x，x ∈(0, 6)．当AE ＝x ＝2时，y ＝3．∵ 弧AC 的圆心为B ，过弧AC 上的点P 作弧AC 的切线，与AD 、CD 分别相交于点E 、F ， ∴ BG ⊥EF ，∴ ∠PEG ＝∠DEF ，∠EPG ＝∠EDF ， ∴ △EPG ∽△EDF ， ∴ EPED =EGEF ，∵ EF ＝5，ED ＝4，EP ＝2． ∴ EG =EP×EF ED=2×54=52．对于函数f(x)，若存在x 0使得f(x 0)＝x 0成立，则称点(x 0, x 0)为函数f(x)的不动点． （1）已知函数f(x)＝ax 2+bx −b(a ≠0)有不动点(1, 1)和(−3, −3)，求a ，b 的值．（2）若对于任意实数b ，函数f(x)＝ax 2+bx −b 总有两个相异的不动点，求a 的范围． 【答案】由题意{f(1)=1f(−3)=−3 ，即{a +b −b =1a(−3)2+b(−3)−b =−3 ，解的{a =1b =3 ． 函数f(x)＝ax 2+bx −b 总有两个相异的不动点，即关于x 的方程f(x)＝x 有两个不等根． 化简f(x)＝x 得到ax 2+(b −1)x −b ＝0．所以(b −1)2+4ab >0，即b 2+(4a −2)b +1>0． 由题意，该关于b 的不等式恒成立，所以(4a −2)2−4<0．解之得：0<a <1． 【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】（1）根据不动点的定义，及已知中函数f(x)＝ax 2+bx −b(a ≠0)有不动点(1, 1)和(−3, −3)，我们易构造一个关于a ，b 的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． （2）若函数f(x)＝ax 2+bx −b 总有两个相异的不动点，则方程ax 2+bx −b ＝x 有两个相异的实根，由此可以构造出一个不等式，结合函数的性质，解不等式即可得到a 的范围． 【解答】由题意{f(1)=1f(−3)=−3 ，即{a +b −b =1a(−3)2+b(−3)−b =−3 ，解的{a =1b =3 ．即关于x的方程f(x)＝x有两个不等根．化简f(x)＝x得到ax2+(b−1)x−b＝0．所以(b−1)2+4ab>0，即b2+(4a−2)b+1>0．由题意，该关于b的不等式恒成立，所以(4a−2)2−4<0．解之得：0<a<1．设n为正整数，集合A＝{α|α(t1, t2, ..., t n), t k∈{0, 1}}(k＝1, 2,…,n)，对于集合A中的[(x1+y1−|x1−y1|)+任意元素α＝(x1, x2,…,x n)和β＝(y1, y2,…,y n)，记M(α,β)=12(x2+y2−|x2−y2|)+⋯+(x n+y n−|x n−y n|)]．（1）当n＝3时，若α＝(1, 1, 0)，β＝(0, 1, 1)，求M(α, α)和M(α, β)的值；（2）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α、β，当α、β相同时，M(α, β)是奇数，当α、β不同时，M(α, β)是偶数，求集合B中元素个数的最大值．【答案】M(α, α)＝1+1+0＝2，M(α, β)＝0+1+0＝1．分考虑数对(x k, y k)只有四种情况：(0, 0)、(0, 1)、(1, 0)、(1, 1)，相应的x k+y k−|x k−y k|2别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：(1, 0, 0, 0 )、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1)，(0, 1, 1, 1)、(1, 0, 1, 1)、(1, 1, 0, 1)、(1, 1, 1, 0)，对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M(α, β)是偶数，所以四元集合B＝{(1, 0, 0, 0)(0, 1, 0, 0)(0, 0, 1, 0)(0, 0, 0, 1)}满足题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α, β)＝1不合题意，故B中元素个数的最大值为4．【考点】集合中元素个数的最值【解析】（1）直接根据定义计算．（2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明．【解答】M(α, α)＝1+1+0＝2，M(α, β)＝0+1+0＝1．考虑数对(x k, y k)只有四种情况：(0, 0)、(0, 1)、(1, 0)、(1, 1)，相应的x k+y k−|x k−y k|分2别为0、0、0、1，所以B中的每个元素应有奇数个1，所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：(1, 0, 0, 0 )、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1)，(0, 1, 1, 1)、(1, 0, 1, 1)、(1, 1, 0, 1)、(1, 1, 1, 0)，对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M(α, β)是偶数，所以四元集合B＝{(1, 0, 0, 0)(0, 1, 0, 0)(0, 0, 1, 0)(0, 0, 0, 1)}满足题意，假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α, β)＝1不合题意，故B中元素个数的最大值为4．。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．已知集合A＝{x|x≤2019}，B＝{x|x＞a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是2．若集合M＝{1，﹣3}，N＝{a﹣3，2a+1，a2+2}，若M∩N＝{﹣3}，则实数a＝3．命题“若a•b不为零，则a，b都不为零”的否命题是．4．科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：2a+b﹣1，如把（3，﹣2）放入其中，就会得到2×3+（﹣2）﹣1＝3，现将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数﹣9，则m＝5．设函数，若f（x0）＝3，则x0＝6．已知函数，，则f（x）•g（x）＝7．已知不等式|x﹣1|＜m的解集中有且只有5个整数，则实数m的取值范围是8．若关于x的不等式x2﹣2x≤4﹣a在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是9．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数的定义域为10．设x＞0，y＞0，且+＝2，则2x+y的最小值为．11．已知不等式|3x﹣a|＞x﹣1对任意x∈（0，2）恒成立，则实数a的取值范围是12．对于集合M，定义函数，对于两个集合M、N，定义集合M*N＝{x|f M（x）•f N（x）＝﹣1}，用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，若A＝{1，2，4，8}，B＝{2，4，6，8，10}，则能使Card（X*A）+Card（X*B）取最小值的集合X的个数为．二.选择题13．α：x＝1，β：x2＝1，则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．已知集合P＝{a，b}，Q＝{M|M⊆P}，则P与Q的关系为（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P∈Q D．P∉Q15．若实数a、b、c满足a＞b＞c，则下列不等式正确的是（）A．a+b＞c B．C．a|c|＞b|c|D．16．已知a、b、c为实数，f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1），记集合S＝{x|f（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x）＝0，x∈R}，则下列命题为真命题的是（）A．若集合S的元素个数为2，则集合T的元素个数也一定为2B．若集合T的元素个数为2，则集合S的元素个数也一定为2C．若集合S的元素个数为3，则集合T的元素个数也一定为3D．若集合T的元素个数为3，则集合S的元素个数也一定为3三.解答题17．已知集合，函数的定义域为集合B，且A⊆B，求实数a的取值范围．18．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若x2+3比4接近1，求实数x的取值集合M；（2）若a、b均属于（1）中集合M，求证：a+b比ab+1接近0．19．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）＝（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？20．已知M是满足下述条件的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|成立．（1）已知定义域为R的函数f（x）＝kx+b∈M，求实数k、b的取值范围；（2）设定义域为[﹣1，1]的函数g（x）＝ax2+x，且g（x）∉M，求正实数a的取值范围；（3）已知函数的定义域为R，求证：h（x）∈M．21．对于正整数集合A＝{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（1）判断集合{1，2，3，4，5}是否为“和谐集”，并说明理由；（2）求证：集合{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”；（3）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数．2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．【解答】解：∵A＝{x|x≤2019}，B＝{x|x＞a}，且A∪B＝R，结合数轴可知，a≤2019故答案为：（﹣∞，2019]2．【解答】解：∵集合M＝{1，﹣3}，N＝{a﹣3，2a+1，a2+2}，M∩N＝{﹣3}，∴或，解得实数a＝﹣2．故答案为：﹣2．3．【解答】解：先否定命题“若a•b不为零，则a，b都不为零”的题设，得到否命题的题设“若a•b为零”，再否定命题“若a•b不为零，则a，b都不为零”的结论，得到否命题的结论“至少有一个为零”，∴命题“若a•b不为零，则a，b都不为零”的否命题是：若a•b为零，则a，b至少有一个为零．故答案为：若a•b为零，则a，b至少有一个为零．4．【解答】解：根据定义直接代入2m+（﹣3m）﹣1＝﹣9，解之得m＝8．故答案为：8．5．【解答】解：根据题意，函数，若f（x0）＝3，当x0≤1时，f（x0）＝x02+1＝3，解可得x0＝±，又由x0≤1，此时x0＝﹣；当x0＞1时，f（x0）＝2x0+1＝3，解可得x0＝1，又由x0＞1，此时x0＝1舍去；综合可得：x0＝﹣；故答案为：﹣．6．【解答】解：，∴f（x）•g（x）＝1（x＞0）．故答案为：1（x＞0）．7．【解答】解：由|x﹣1|＜m，得﹣m+1＜x＜m+1．∵不等式|x﹣1|＜m的解集中有且只有5个整数，∴，∴2＜m≤3，∴m的取值范围为（2，3]．故答案为：（2，3]．8．【解答】解：不等式x2﹣2x≤4﹣a，即（x﹣1）2≤5﹣a，因为左边完全平方式≥0，要使不等式在R上的解集为∅，所以5﹣a＜0，即a＞5．故答案为：a＞5．9．【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，1），∴要使g（x）有意义，则，解得1＜x＜2，∴g（x）的定义域为（1，2）．故答案为：（1，2）．10．【解答】解：∵+＝2，∴2x+y＝2x+y+1﹣1＝（2x+y+1）•（+）﹣1＝（2+2++）﹣1≥2﹣1+×2＝1+2＝3，当且仅当x＝1，y＝1时取等号，故2x+y的最小值为3，故答案为：3．11．【解答】解：|3x﹣a|＞x﹣1等价于3x﹣a＞x﹣1或3x﹣a＜1﹣x，解得或x＜，当，即a＜3时，不等式解集为R，显然符合题意．当a≥3时，（0，2）⊆（﹣∞，）∪（，+∞），所以或，解得a≥7或a≤1（舍去），综上，实数a的取值范围是a≥7或a＜3．故答案为：（﹣∞，3）∪[7，+∞）．12．【解答】解：∵函数，f M（x）和f N（x）的可能值为1或﹣1．根据集合M、N的定义，有f M（x）＝1且f N（x）＝﹣1或者f M（x）＝﹣1且f N（x）＝1即，所以X*A中元素最少时X*A＝{1，2，4，8}，X*B中元素最少时X*B＝{2，4，6，8，10}所以Card（X*A）+Card（X*B）取最小值时X的个数为{2，4，8}的子集个数23＝8，故答案为：8．二.选择题13．【答案】A【解答】解：当x＝1时，x2＝1，即充分性成立，若x2＝1，解得x＝±1，即必要不充分条件，则α是β的充分不必要条件，故选：A．14．【答案】C【解答】解：因为集合P的子集有∅，{a}，{b}，{a，b}，所以集合Q＝{∅，{a}，{b}，{a，b}}，所以p∈Q．故选：C．15．【答案】B【解答】解：∵a＞b＞c，∴A．a+b＞c错误，比如﹣4＞﹣5＞﹣6，得出﹣4﹣5＜﹣6；B．a﹣c＞b﹣c＞0，∴，∴该选项正确；C．a|c|＞b|c|错误，比如|c|＝0时，a|c|＝b|c|；D．ab2﹣a2b＝ab（b﹣a），ab（b﹣a）＝0时，ab2＝a2b，∴，∴该选项错误．故选：B．16．【答案】D【解答】解：x2+bx+c＝0，两边除以x平方，得，如果两个根不为o，x2+bx+c＝0与cx2+bx+1＝0的根互为倒数，f（x）＝0有一个根为x＝﹣a，如果a≠0，g（x）＝0一定有一个根x＝﹣，这两个根也是互为倒数，若f（x）有两个根x＝﹣a（a≠0），另外一个根为0，则g（x）只有一个根x＝﹣，故A不成立，同理B不成立，若g（x）有三个根，其中一个根为x＝﹣，则a不等于0，cx2+bx+1＝0有2个与﹣不同的根，其中都不为0，否则得到1＝0，显然不成立，那么这三个根的倒数必然存在，且不相等，故f（x）也有三个不同的根，所以D成立，反之，根据以上分析，C 不一定成立，故选：D．三.解答题17．【解答】解：由条件知，集合A＝{x|2＜x＜3}；函数f（x）的定义域为：B＝{x|x＜a﹣1或x＞a+1}；∵A⊆B；∴a﹣1≥3或a+1≤2；a≥4或a≤1，∴实数a的取值范围是：（﹣∞，1]∪[4，+∞）．18．【解答】解：（1）x2+3比4接近1，∴|x2+3﹣1|＜|4﹣1|，即|x2+2|＜3，∴﹣1＜x＜1，∴实数x的取值集合M＝{x|﹣1＜x＜1}；（2）证明：a、b均属于（1）中集合M，即a∈（﹣1，1），b∈（﹣1，1），∴要证a+b比ab+1接近0，只需证|a+b|＜|ab+1|，只需证a2+b2+2ab＜a2b2+2ab+1，即证（1﹣a2）（1﹣b2）＜0，∵a∈（﹣1，1），b∈（﹣1，1），∴1﹣a2＜0，1﹣b2＜0，∴（1﹣a2）（1﹣b2）＜0成立，∴a+b比ab+1接近0．19．【解答】解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）由C（0）＝＝24，得k＝2400…所以F＝15×+0.5x＝+0.5x，x≥0…（7分）（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5＝57.5，…（10分）当且仅当＝0.5（x+5），即x＝55时取等号…（13分）所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…（14分）20．【解答】解：（1）∵g（x）＝kx+b∈M，∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤2|x1﹣x2|成立．即存在|g（x1）﹣g（x2）|＝|k||x1﹣x2|≤2|x1﹣x2|，所以k∈[﹣2，2]，b∈R；（2）g（x）＝ax2+x，x∈[﹣1，1]，g（x）∉M，即存在x1、x2∈[﹣1，1]，有|g（x1）﹣g（x2）|＞2|x1﹣x2|成立，即|x1﹣x2||a（x1+x2）+1|＞2|x1﹣x2|，由，|a（x1+x2）+1|≥a|x1+x2|+1＞2，得a＞，故a∈；（3）证明：的定义域为R，任意两个自变量x1、x2，只需证明|h（x1）﹣h（x2）|＝||≤2|x1﹣x2|成立，根据基本不等式，，故＝成立，所以h（x）∈M．21．【解答】解：（1）对于集合{1，2，3，4，5}，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13，不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”．（2）证明：设A＝{1，3，5，7，9，11，13}，当去掉元素1时，有3+5+7+9＝11+13；当去掉元素3时，有1+9+13＝5+7+11；当去掉元素5时，有9+13＝1+3+7+11；当去掉元素7时，有1+9+11＝3+5+13；当去掉元素9时，有1+3+5+11＝7+13；当去掉元素11时，有3+7+9＝1+5+13；当去掉元素13时，有1+3+5+9＝7+11．所以集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”．（3）证明：设“和谐集”A＝{a1，a2，…，a n}所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）的奇偶性相同．（ⅰ）如果M为奇数，则a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．（ⅱ）如果M为偶数，则a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“和谐集”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．。

上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.已知集合{}1,0,1,2P =-，集合{}1,2,3,4Q =，则P Q ⋂= ；【答案】{}1,2。

【解析】交集就是由两个集合的公共元素组成的集合。

2.已知集合2{1,1,4}M m m =++，如果5M ∈且2M -∉，那么m =________【答案】4或1或1-【解析】【分析】根据元素与集合的关系,可得关于m 的方程,解方程且满足5M ∈且2M -∉,即可求得m 的值。

【详解】集合2{1,1,4}M m m =++,5M ∈且2M -∉所以若15m +=,解得4m =若245m +=,解得1m =±所以m 的值为4或1或1-故答案为: 4或1或1-【点睛】本题考查了元素与集合的关系,根据元素属于集合求参数,属于基础题.3.已知21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(3)f =________ 【答案】1-【解析】【分析】根据分段函数的定义域,代入即可求得(3)f 的值.【详解】因为21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩所以(3)(2)(1)f f f ==(0)1f ==-故答案为:1-【点睛】本题考查了求分段函数的值,注意自变量的取值范围,属于基础题.4.若关于x 的不等式0x bx a -<-的解集是(2,3)，则a b +=________【答案】5【解析】【分析】根据不等式与方程的关系,将不等式转化为方程,求得a b 、的值,即可求得+a b 的值. 【详解】因为不等式0x bx a -<-的解集是(2,3)即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解所以2,3b a ==或2,3a b ==则5a b +=故答案为:5【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,根据不等式的解集求参数,属于基础题.5.函数y =________【答案】1{|}3x x ≤≤-【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件,即可求得函数的定义域.【详解】函数y =所以满足1030x x -≥⎧⎨+≥⎩解不等式可得31x -≤≤所以函数y ={}3|1x x -≤≤故答案为: {}3|1x x -≤≤【点睛】本题考查了函数定义域的求法,注意二次根式有意义的条件,属于基础题.6.“2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=I 的子集恰有4个”的________条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要之一）【答案】充分不必要【解析】【分析】将2a =代入函数解析式, 画出函数图像,根据交点个数即可判断是否有4个子集;根据有有4个子集,可知两个函数有2个交点,即可求得a 的取值范围,进而判断充分必要性.【详解】当2a =时,集合为{(,)|2}x y y x =+,{(,)|2||}x y y x =,画出两个函数图像如下图所示:由图像可知, 2y x =+与2y x =有2个交点,所以{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=I 有两个元素.则有4个子集,所以是充分性若集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=I 的子集恰有4个,则两个函数必有2个交点,满足条件的得a 的取值范围为1a >,所以是非必要性综上可知, “2a =”是“集合{(,)|}{(,)|||}x y y x a x y y a x =+=I 的子集恰有4个”的充分不必要条件故答案为: 充分不必要【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,注意问题最后不是求的交点个数,而是交集的子集个数,属于中档题.7.如果2属于关于x 的不等式2(21)(1)0x k x k k -+++<的解集，则实数k 的取值范围是________【答案】(1,2)【解析】【分析】 将不等式因式分解后,求得解集,由元素与集合的关系即可求得实数k 的取值范围. 【详解】因为2(21)(1)0x k x k k -+++<即()1()0x k x k -+-<⎡⎤⎣⎦所以不等式的解集为1k x k <<+因为()2,1k k ∈+ 所以212k k <⎧⎨+>⎩,解不等式组可得12k << 故答案为:(1,2)【点睛】本题考查了含参数一元二次不等式的解法,元素与集合的关系,属于基础题.8.任意两个正整数x 、y ，定义某种运算⊗：()()x y x y x y x y x y +⎧⊗=⎨⨯⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 中元素的个数是________【答案】9【解析】【分析】根据正整数的奇偶,讨论x y 、的不同取值情况:若一奇一偶,则取6xy =;若都是奇数或都是偶数,则取6x y +=,列举出所有可能即可.【详解】集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N若x y 、一奇一偶,则取6xy =,此时所有个数为16x y =⎧⎨=⎩,23x y =⎧⎨=⎩,32x y =⎧⎨=⎩,61x y =⎧⎨=⎩,此时(),x y 共有4个;若x y 、都是偶数,则取6x y +=,此时所有个数为24x y =⎧⎨=⎩,42x y =⎧⎨=⎩,此时共(),x y 有2个; 若x y 、都是奇数,则取6x y +=,此时所有个数为15x y =⎧⎨=⎩,33x y =⎧⎨=⎩, 51x y =⎧⎨=⎩此时(),x y 共有3个;综上可知,满足条件的元素共有9个.故答案为:9【点睛】本题考查了新定义运算与集合的综合应用,注意分析题意并正确理解新定义是解决此类问题的关键,属于中档题.9.已知直角三角形的面积为2，则它的周长的最小值为________【答案】4+【解析】【分析】设出直角三角形的两条边长,根据面积用一条边表示出另外一条边长,即可表示出周长,结合基本不等式即可求得最小值.【详解】设直角三角形的两条边长分别为a 、b , 则122ab =,即4ab =,所以周长为l a b =+由基本不等式可知l a b =+≥4≥=+当且仅当a b =时取等号所以周长的最小值为4+故答案为: 4+【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用,积定求和的最小值,属于中档题.10.若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是_______.【答案】04a ≤<【解析】210ax ax ++> 对于x ∈R 恒成立，当0a = 时，10> 恒成立；当0a ≠ 时，200440a a a a >⎧⇒<<⎨∆=->⎩，综上04a ≤< . 11.若关于x 的不等式|2||1|x x a -≥++的解集不是∅，则实数a 的最大值是________【答案】3【解析】【分析】将不等式变形,并构造函数()21f x x x =--+,对x 分类讨论,求得不同x 取值范围内解析式.画出函数图像,并根据图像求得a 的取值范围. 【详解】不等式21x x a -≥++ 变形为21x x a --+≥构造函数()21f x x x =--+当1x <-时, ()()()213f x x x =--++=当12x -≤≤时, ()()()2121f x x x x =---+=-+当2x >时, ()()()213f x x x =--+=-即()3213f x x ⎧⎪=-+⎨⎪-⎩1122x x x <--≤≤>,画出函数图像如下图所示:因为()21f x x x a =--+≥不是空集,即()21f x x x a =--+≥有解所以从图像可知, 3a ≤即实数a 的最大值是3故答案为:3【点睛】本题考查了分类讨论绝对值不等式相关问题,将不等式转化为函数,结合图像来分析参数取值是常用方法,属于基础题.12.已知有限集12{,,,}(2,)n A a a a n n =⋅⋅⋅≥∈N ，如果A 中元素(1,2,,)i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，就称A 为“完美集”. ①集合{1,3,13}---+不是“完美集”；②若1a 、2a 是两个不同的正数，且12{,}a a 是“完美集”，则1a 、2a 至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个；④若i a ∈*N ，则“完美集”A 有且只有一个，且3n =；其中正确的结论是________(填上你认为正确的所有结论的序号)【答案】②③④【解析】【分析】对于①,根据定义检验((1,1-+-与((1,1-⨯-+是否相等即可. 对于②根据韦达定理即可判断是否正确.对于③根据②可知,二元完美集可以看成一元二次方程对应的两个根,所以有无数组. 对于④,检验当3n =时,求得完美集的个数;同时检验当4n ≥时不存在完美集即可.【详解】对于①, 根据定义.则((1,12-+-=-,((1,12-⨯-=-则((((1,11,1-+-+=-⨯-,所以集合{1,1--是“完美集”,则①错误;对于②,设12120a a a a t +==>,由韦达定理可知 12,a a 可以看成一元二次方程20x tx t -+=则240t t ∆=->,解得4t >或0t <(舍)即124a a >,所以至少有一个大于2,所以②正确;对于③,根据②可知一元二次方程20x tx t -+=当t 取不同值时, 12,a a 的值是不同的.而4t >有无穷多个值,因而二元“完美集”有无穷多个,所以③正确;对于④,设123n a a a a <<⋅⋅⋅< ,则123123n n n a a a a a a a a na ⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+<所以1231n a a a a n -⋅⋅⋅<所以当3n =时, 123a a <因为i a ∈*N所以只能是121,2a a ==,由123123a a a a a a =++代入解得33a =,所以此时完美集只有一个为{}1,2,3,所以④正确;故答案为: ②③④【点睛】本题考查了元素与集合的关系,正确理解题意解决问题的关键,对理解能能力和分析解决问题能力要求较高,属于难题.二.选择题13.“12019x y >⎧⎨>⎩”是“20202019x y xy +>⎧⎨>⎩”的（ ）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据不等式及运算即可判断充分性,由特殊值即可判断非必要性. 【详解】若12019x y >⎧⎨>⎩,则不等式左右两边分别相加,可得2020x y +> 两边分别相乘可得2019xy >,所以是充分条件若100000.9x y =⎧⎨=⎩,满足不等式组20202019x y xy +>⎧⎨>⎩成立,但12019x y >⎧⎨>⎩不成立,所以不是必要条件 综上可知, “12019x y >⎧⎨>⎩”是“20202019x y xy +>⎧⎨>⎩”的充分不必要条件 故选:A【点睛】本题考查了不等式的基本性质,注意特殊值法在判断中的应用,属于基础题.14.下列四个图象中，是函数图象的是( )A. (1)B. (1)(3)(4)C. (1)(2)(3)D. (3)(4)【答案】B【解析】 【详解】试题分析：根据函数定义，对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对． 故选：B 考点：函数的概念．15.下列结论正确的是（ ）A. 命题“若a b <，则a c b c +<+”为假命题B. 命题“若x A B ∈U ，则x B ∈”的否命题为假命题C. 命题“若0mn <，则方程20mx x n -+=有实根”的逆命题为真命题D. 命题“若05x <<，则|2|3x -<”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质,可判断A;根据集合关系及否命题定义,可判断B;根据方程有实数根的条件,即可判断C;逆否命题与原命题真假一致,所以判断原命题的真假即可判断D.【详解】对于A,由不等式性质”不等式两边同时加上或减去同一个数,不等号方向不变”可知A 为真命题,所以A 错误;对于B,命题的否命题为 “若x A B ∉U ,则x B ∉”,根据集合关系可知命题为真命题,所以B 错误;对于C,逆命题为 “若方程20mx x n -+=有实根,则0mn <”,根据方程有实数根,140mn ∆=-≥,可得14mn ≤,所以为假命题,C 错误; 对于D,当05x <<时,不等式|2|3x -<成立所以命题为真命题.而逆否命题与原命题真假一致,所以逆否命题也为真命题,所以D 正确.故选:D【点睛】本题考查了原命题、逆命题、否命题及逆否命题间的关系,命题真假的判断,属于基础题。