李雅普诺夫稳定性理论
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第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
李雅普诺夫稳定性理论
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe
Pij Pji
x x1 x2 xn T
李氏第二法稳定性定理
设 x f (x,t) 1)在 xe 满足 f (0,t) 0
2） xe 0 V (x, t)存在
定理1
若1)
V
(
x,
t
)
正定 xe
2)
V ( x, t )
负定
则 xe渐近稳定
3)若 x V (x)
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
xe 1
0
0
0 xe3 1
0 xe2 1
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) 0 满足 x0 xe (,t0)
则平衡状态 xe 是不稳定的
推论1 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe不稳定
推论2 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe 是李雅普
诺夫意义下的稳定
选取李氏函数的方法
1）构造一个二次型函数 V (x,t)
Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
渐近稳定
A的所有特征值：
需 lim eAt 0. t
e1t
te1t e1t
1 t e2 1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
e3t
结论3：
不稳定
A有一个特征值：
或
的特征值有重根
e1t
te1t e1t
1 t 2e1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
稳定性： 控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。
偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。 稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性 通常是控制器设计的最基本要求。
1
经典控制理论对稳定性分析的局限性
（1）局限于描述线性定常系统
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
初始状态有界，随时间 推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
若
与初始时刻
t
无关，则
0
称系统的平衡状态 是一致
稳定的。
时变系统 与 t0有关
定常系统
与
t
无关
0
李雅普诺夫意义下稳定
考虑系统（4.1），如果对任意的实数 ，都存在另一实
数 ，使当初始状态位于以平衡状态 为球心， 为半径的
闭球域
内，即
A的所有特征值：
需 lim eAt 0. t
e1t
te1t e1t
1 t e2 1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
e3t
结论3：
不稳定
A有一个特征值：
或
的特征值有重根
e1t
te1t e1t
1 t 2e1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
稳定性： 控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。
偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。 稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性 通常是控制器设计的最基本要求。
1
经典控制理论对稳定性分析的局限性
（1）局限于描述线性定常系统
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
初始状态有界，随时间 推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
若
与初始时刻
t
无关，则
0
称系统的平衡状态 是一致
稳定的。
时变系统 与 t0有关
定常系统
与
t
无关
0
李雅普诺夫意义下稳定
考虑系统（4.1），如果对任意的实数 ，都存在另一实
数 ，使当初始状态位于以平衡状态 为球心， 为半径的
闭球域
内，即
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总李雅普诺夫稳定性理论是数学中一项重要的稳定性理论，对于研究动力系统的稳定性具有重要的指导意义。
该理论由俄罗斯数学家李雅普诺夫于19世纪末和20世纪初提出，后经实践证明，被广泛应用于不同领域的研究中。
李雅普诺夫稳定性理论的核心思想是通过构造李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个满足一定条件的实数函数，它能够度量系统中各个状态的变化情况，并通过数学分析得出系统状态的稳定性。
在李雅普诺夫稳定性理论中，一般使用正定函数来构造李雅普诺夫函数。
对于一个动力系统，假设其状态空间为n维实数向量，系统的演化过程可以表示为一个关于状态变量的微分方程。
为了判断系统在其中一状态的稳定性，需要构造一个函数V(x)，其中x表示状态变量。
如果函数V(x)满足以下两个条件：1.V(x)是正定函数，即对于所有的x，都有V(x)>0，且只有在x=0时，V(x)=0成立。
2.对于系统中任意两个状态x1和x2，如果V(x2)>V(x1)，则在系统演化的过程中，x2的状态比x1更不稳定。
那么，可以推导出系统在状态x=0附近的稳定性。
如果对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是在x=0处的稳定点。
如果只有在x=0附近，存在一个圆盘区域，使得对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是局部稳定的。
通过构造李雅普诺夫函数，可以得出系统的稳定性信息。
对于局部稳定性，可以通过计算雅普诺夫函数的导数来得到更详细的信息。
如果导数小于零，则系统是渐进稳定的；如果导数等于零，则系统是边界稳定的；如果导数大于零，则系统是不稳定的。
李雅普诺夫稳定性理论不仅适用于连续系统，也适用于离散系统。
对于离散系统，李雅普诺夫函数的构造和分析方式与连续系统类似，只是微分方程变为差分方程。
总结起来，李雅普诺夫稳定性理论是一种基于构造李雅普诺夫函数来分析系统稳定性的方法。
通过构造正定函数，可以得出系统的稳定性信息，并通过李雅普诺夫函数的导数来得到更详细的稳定性判断。
李雅普诺夫稳定性
x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
第五章李雅普诺夫稳定性分析
即 x e = f (xe , t) = 0 。
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。
稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。
稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。
通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。
其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。
如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。
该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。
这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。
总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
李雅普诺夫关于稳定性的定义
✓
线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
✓
经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
李雅普诺夫稳定性理论
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如 果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则 称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域， 则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大 范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的 大小无关)。
❖非线性系统：稳定性与初始条件大小密切 相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。
三. 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
xAx x(0)x0 t 0
李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
2) 选取不当，会导V致( x , t ) 不定的结果。
2) 这仅仅是充分条件。
3)
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x 1 x 2 x 2 x 1 x 2
解: x 1x 2 0 x1x2 0 即 xe 0
.
设 V(x)x12x2 2 则 V(x) 2x22
.
可见V
( x )与 x1 .
结论：
1) 若 Re(i) 0 i1,2,,n ，则非线
性系统在 x e 处是渐近稳定的，与 g ( x)
2) 无关。
2) 若 Re(i) 0 Re(j ) 0 ij1,,n
3) 则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g (x)有关，
4)
g(x)50) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
1．线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
第四章李雅普诺夫稳定性理论
对概念的几点说明：
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
第二节 李雅普诺夫间接法
思想：李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。
一、线性定常系统的稳定性
线性定常系统的稳定性判别定理：
(1)李氏稳定 A的约当标准形J中，实部为0的特征 值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均 有负实部。 (2)渐近稳定 A的特征值均具有负实部。
，其中P为实对
称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但
V(x)并不一定都是简单的二次型。
(4) V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的 稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。
(5) 由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用 于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如 高阶非线性系统或时变系统。
A奇异：
b. 非线性系统 例：
令
2. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。
说明： (1) 系统不一定都存在平衡点； (2) 但系统也可能有多个平衡点； (3) 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当
的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）； (4) 稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对
(3)不稳定 A的特征值中至少有一个有正实部。
说明：
(1)劳斯判据依然适用。 (2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。
解释： 例1：
李氏稳定 不稳定 李氏稳定
李氏稳定 不稳定
例2：
求A的特征值： 得A特征值：
不稳定
二、非线性系统的稳定性 非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判
李雅普诺夫主稳定性
• ③判断 V ( (t; x ,0)) 0 。 T • 对此，只需判断使 V ( x)=0的 x x1,0 不为系 T 统状态方程的解。为此，将 x x1,0 代入状 态方程，导出：
0
x1 x2 0 0 x2 x1 (1 x2 ) 2 x2 x1
1 2 1 2
1 2
x Βιβλιοθήκη 2• = 2 x1 2 • = 2x2 (1 x2 ) 2 x2 =0”和 x1 任意， • 可见，使 V ( x) =0的情况有“ x2 =-1”，此外均有 x1 任意， V ( x) “ <0。 • 表明 V ( x) 为负半定。
x2 2 x2 x (1 x )2 x 2 2 1
李雅普诺夫主稳定性定理
李雅普诺夫主稳定性定理
• 对连续时间非线性时不变自制系统: • ① x f ( x) ， t 0 • 若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标 V (0) 0 ，且对状态空间 R n 中 量函数 V ( x) ， • 所有非零状态点x满足如下条件： • （1） V(x) 为正定； V ( x) dV ( x) / dt 为 负半定； • （2）
李雅普诺夫主稳定性定理
n x R ,V ( (t; x0 ,0)) 0 ； • （3）对任意非零 0 • （4）当 x ，有 V ( x) ；
• 则系统的原点平衡状态x=0为大范围渐近稳 定。
• 例：给定一个连续时间非线性时不变系统：
x1 x2 x2 x1 (1 x2 ) 2 x2
• 判断原点平衡状态即 xe 0 是否为大范围渐近 稳定。 • 解：①选取候选李雅普诺夫函数V(x)。 T x x , x • 对于给定非线性系统，表状态 ，并 1 2 2 2 取V(x)= x1 x2 • 可知V(x)为正定，且V(0)=0。
第五章 李雅普诺夫稳定性理论
非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的， 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的，很难 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统， 对于非线性系统，其不同的平衡态有着不同的稳定 故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 性，故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统，由于只存在唯一的孤立平衡 对于稳定的线性系统， 态，所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性 问题。 问题。 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态 附近的局部稳定性问题。 附近的局部稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定性理论， 它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 分布参数系统。 分布参数系统。
5.1 动态系统的外部稳定性
控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 而且必须假定系统的初始条件为零。 而且必须假定系统的初始条件为零。 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统， 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统，在任何一 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的， 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的，就 称该动态系统是外部稳定的，又称为BIBO稳定。 稳定。 称该动态系统是外部稳定的，又称为 稳定 对于单输入单输出线性定常系统而言， 对于单输入单输出线性定常系统而言，在经典控制理论中定 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下， 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下，输出量与输 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统， 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统，具有外部稳定 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于s平面的 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于 平面的 左半边。 左半边。
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
现代控制理论 第四章 李雅普诺夫稳定性理论
p11 p11 0, p21
p12 p22
0, ,
p 0
30
2.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则
V ( x) x Px
T
是正半定的。
3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值， T 偶数阶主子行列式为正值，则 V ( x) x Px 是负定的。 即:
p11 p12 p1n p11 p12 n (1) p11 0, (1) 0, , (1) p21 p22
16
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0
Re( i ) 0
i 1,2, n i 1,2, n
17
19
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
x x xe
f A T x
x xe
则线性化系统方程为： x
Ax
20
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线性系 统在xe 处是渐近稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 , Re( j ) 0 , i j 1,, n 则非线性系统不稳定。 3) 若Re(i ) 0，稳定性与g ( x) 有关，
9
4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( , t0 ) 0 满足
李雅普诺夫稳定性分析
第四章
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
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3.平衡状态：
xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax a.线性系统 xR x
A非奇异： A奇异：
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
f A T x
x xe
x x xe
则线性化系统方程为：
x Ax
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则不稳定。 3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g ( x)有关，
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，
奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定
性定理采用了状态向量来描述，适用于单 变量，线性，非线性，定常，时变，多变 量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
2 1 2 2
.
试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：
x1 0 令 . x2 0
x1 0 x2 0
原点是唯一平衡点
设 V ( x) x x . . . 则 V ( x) 2 x1 x1 2 x2 x 2
2 1 2 2
V ( x) 2( x x ) 定理1 . x 0 V ( x) 0 . . V ( x ) 负定 x 0 V ( x) 0 1)原点是渐进稳定的；
几点说明： 1) V ( x, t ) 选取不唯一，但没有通用办法， V ( x, t ) . 选取不当，会导致 V ( x, t ) 不定的结果。 2) 这仅仅是充分条件。 . V ( x, t )--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤： 1) 构造一个 V ( x, t ) 二次型； . 2) 求 V ( .x, t ) ，并代入状态方程； 3) 判断 V ( x, t ) 的定号性； . V [ x(t ; x0 , t ), t ] 是否为零。 4) 判断非零情况下， 渐进稳定 李氏稳定 不稳定
当 与 t 0 无关 大范围一致渐进稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
有多小，只要 s( ) 4. 不稳定性：不管 ， 内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此 平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 发散的轨迹。至于是否趋 于无穷远 s( ) 域外是否存在其它平衡状态。 若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
3.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0
i 1,2, n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2.
非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。 设非线性系统状态方程： f ( x) f ( x) --非线性函数 x 在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导 数，于是：
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x
令
3 2
1 0 x
xe 1 0
2 0 x
0 xe3 1
0 xe2 1
0
4.
孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
3.大范围内渐进稳定性
对 x0 s( )
t
都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。
s( ) ,
x xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐进稳定的，必
是有大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初
始条件的大小无关)。 非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
x1 0 x2 0
则：
x1 0 , x2 0 V. ( x) 0 . 负半定 V ( x ) V ( x) 0 其它 . x1 0 令 V ( x) 0 只有全零解 x2 0
x0
非零状态时 V ( x ) 0
.
.
原点 xe 0 是渐进稳定，且是大范围 一致渐进稳定。 定理2
故V 正半定。 ( x ) . 令 V ( x) 0 . x2 0, x1 0 即非零状态时， V ( x )不恒为零，则原点不稳 定即系统不稳定。 推论1
.
3.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
1. 设系统状态方程为： .
A --非奇异矩阵 x Ax xe 0为唯一平衡状态。
f x f ( xe ) T x
其中：
( x xe ) g ( x)
x xe
g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
f1 x f 1 T x f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn
说明：不存在 V ( x, t ) 0 ， x(t; x0 , t0 ) 0 经历能量等于恒定，但不维持在该状态。
.
定理3：若(1) V ( x, t ) 正定；
(2) V ( x, t ) 负半定； . (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳 定的。
定理3
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 . .
x1 x2 x 2 x1 x2 . . 解: x1 x 2 0 x1 x2 0 即 xe 0 . 2 2 2 设 V ( x) x1 x2 则 V ( x) 2 x2 . 可见V ( x) 与. x1 无关，故非零状态(如 x1 0 x2 . 0 )有 V ( x) 0 ，而对其余任意状态 有 V ( x) 0
g ( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
3.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
稳定性定理：
f ( x, t ) 设系统状态方程：x 其平衡状态满足 f (0, t ) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在 V ( x, t )对 x 的连续的一阶 偏导数。
.
线性系统不稳定 原点不稳定 非线性系统不一定 . V ( x, t ) 正定， V ( x, t ) 正半定， 推论 . 1：当 且V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不恒为零时,则 原点不稳定。 . 推论2：V ( x, t ) 正定， V ( x, t ) 正半定，若 . x 0 ，V ( x, t ) 0 ，则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。
V ( x) 设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数 . T V ( x) x Px 将 x Ax 代入： 则：
2 1 2 2 2
.
2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐 进稳定； 3)由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进稳 定。
例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x x2 x 2 x1 x2
. 1
.
解：1)
x 1 0 . 令 x2 0
.ห้องสมุดไป่ตู้
即原点是平衡状态。 . 2 2 2 设 V ( x) x1 x2 V ( x) 2 x2
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
3.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
定理1：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负定； 则原点是渐进稳定的。 . 说明： V ( x, t ) 负定 能量随时间连续单调 衰减。 定理2：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V . ( x, t ) 负半定； (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不 恒为零，则原点是渐进稳定的。
第三章
李雅普诺夫稳定性理论
3.1 稳定性基本概念
3.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
3.3 李雅普诺夫第一法
3.4 李雅普诺夫第二法 3.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
教学要求： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
.
说明：x 0 V ( x, t ) 0 系统维持等 能量水平运动，使 x(t; x0 , t0 ) 维持在非零 状态而不运行至原点。 定理4：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V ( x, t ) 正定 则原点是不稳定的。 . 说明：V ( x, t ) 正定 能量函数随时间增 大， x(t; x0 , t0 ) 在xe 处发散。
xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax a.线性系统 xR x
A非奇异： A奇异：
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
f A T x
x xe
x x xe
则线性化系统方程为：
x Ax
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则不稳定。 3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g ( x)有关，
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，
奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定
性定理采用了状态向量来描述，适用于单 变量，线性，非线性，定常，时变，多变 量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
2 1 2 2
.
试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：
x1 0 令 . x2 0
x1 0 x2 0
原点是唯一平衡点
设 V ( x) x x . . . 则 V ( x) 2 x1 x1 2 x2 x 2
2 1 2 2
V ( x) 2( x x ) 定理1 . x 0 V ( x) 0 . . V ( x ) 负定 x 0 V ( x) 0 1)原点是渐进稳定的；
几点说明： 1) V ( x, t ) 选取不唯一，但没有通用办法， V ( x, t ) . 选取不当，会导致 V ( x, t ) 不定的结果。 2) 这仅仅是充分条件。 . V ( x, t )--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤： 1) 构造一个 V ( x, t ) 二次型； . 2) 求 V ( .x, t ) ，并代入状态方程； 3) 判断 V ( x, t ) 的定号性； . V [ x(t ; x0 , t ), t ] 是否为零。 4) 判断非零情况下， 渐进稳定 李氏稳定 不稳定
当 与 t 0 无关 大范围一致渐进稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
有多小，只要 s( ) 4. 不稳定性：不管 ， 内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此 平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 发散的轨迹。至于是否趋 于无穷远 s( ) 域外是否存在其它平衡状态。 若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
3.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0
i 1,2, n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2.
非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。 设非线性系统状态方程： f ( x) f ( x) --非线性函数 x 在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导 数，于是：
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x
令
3 2
1 0 x
xe 1 0
2 0 x
0 xe3 1
0 xe2 1
0
4.
孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
3.大范围内渐进稳定性
对 x0 s( )
t
都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。
s( ) ,
x xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐进稳定的，必
是有大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初
始条件的大小无关)。 非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
x1 0 x2 0
则：
x1 0 , x2 0 V. ( x) 0 . 负半定 V ( x ) V ( x) 0 其它 . x1 0 令 V ( x) 0 只有全零解 x2 0
x0
非零状态时 V ( x ) 0
.
.
原点 xe 0 是渐进稳定，且是大范围 一致渐进稳定。 定理2
故V 正半定。 ( x ) . 令 V ( x) 0 . x2 0, x1 0 即非零状态时， V ( x )不恒为零，则原点不稳 定即系统不稳定。 推论1
.
3.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
1. 设系统状态方程为： .
A --非奇异矩阵 x Ax xe 0为唯一平衡状态。
f x f ( xe ) T x
其中：
( x xe ) g ( x)
x xe
g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
f1 x f 1 T x f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn
说明：不存在 V ( x, t ) 0 ， x(t; x0 , t0 ) 0 经历能量等于恒定，但不维持在该状态。
.
定理3：若(1) V ( x, t ) 正定；
(2) V ( x, t ) 负半定； . (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳 定的。
定理3
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 . .
x1 x2 x 2 x1 x2 . . 解: x1 x 2 0 x1 x2 0 即 xe 0 . 2 2 2 设 V ( x) x1 x2 则 V ( x) 2 x2 . 可见V ( x) 与. x1 无关，故非零状态(如 x1 0 x2 . 0 )有 V ( x) 0 ，而对其余任意状态 有 V ( x) 0
g ( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
3.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
稳定性定理：
f ( x, t ) 设系统状态方程：x 其平衡状态满足 f (0, t ) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在 V ( x, t )对 x 的连续的一阶 偏导数。
.
线性系统不稳定 原点不稳定 非线性系统不一定 . V ( x, t ) 正定， V ( x, t ) 正半定， 推论 . 1：当 且V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不恒为零时,则 原点不稳定。 . 推论2：V ( x, t ) 正定， V ( x, t ) 正半定，若 . x 0 ，V ( x, t ) 0 ，则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。
V ( x) 设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数 . T V ( x) x Px 将 x Ax 代入： 则：
2 1 2 2 2
.
2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐 进稳定； 3)由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进稳 定。
例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x x2 x 2 x1 x2
. 1
.
解：1)
x 1 0 . 令 x2 0
.ห้องสมุดไป่ตู้
即原点是平衡状态。 . 2 2 2 设 V ( x) x1 x2 V ( x) 2 x2
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
3.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
定理1：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负定； 则原点是渐进稳定的。 . 说明： V ( x, t ) 负定 能量随时间连续单调 衰减。 定理2：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V . ( x, t ) 负半定； (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不 恒为零，则原点是渐进稳定的。
第三章
李雅普诺夫稳定性理论
3.1 稳定性基本概念
3.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
3.3 李雅普诺夫第一法
3.4 李雅普诺夫第二法 3.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
教学要求： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
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说明：x 0 V ( x, t ) 0 系统维持等 能量水平运动，使 x(t; x0 , t0 ) 维持在非零 状态而不运行至原点。 定理4：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V ( x, t ) 正定 则原点是不稳定的。 . 说明：V ( x, t ) 正定 能量函数随时间增 大， x(t; x0 , t0 ) 在xe 处发散。