南开大学某级文科类高等数学统考试

南开高高三年级期中考试数学试题〔文科〕第一卷〔选择题，共50分〕一、选择题：〔本大题共10个小题，每题5分，共50分〕各题答案必须在答题卡上。

1．{}n a }为等比数列，假设15283log 1,a a a =-=则〔 〕A ．10B ．9C ．6D ．16 2．设向量(1,),(,4),"2""//"a x b x x a b ===则是〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．以下各选项中，与cos840︒值相等的数是 〔 〕A ．12B ．2C ．12-D ．2-4．假设点P 分有向线段12PP 的比为-3，那么点P 2分有向线段1PP 的比为 〔 〕A ．-2B ．12-C ．2D ．145．非零向量,a b 满足a b ⊥，那么|2||2|a b a b -+= 〔 〕A ．1B ．2C ．12D ．146．由下面的条件能得出ABC ∆为锐角三角形的是〔 〕A ．1sin cos 5A A +=B ．0AB AC ⋅<C ．cos cos cos()0A B A B +<D ．3,30b c B ===︒7．设0,0,24,a b a b ab >>++=那么〔 〕A ．a b +有最大值8B ．a b +有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值88．定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≤时，()f x 单调递减，当24a <<时，以下选项中成立的是〔 〕A ．2(2)(2)(log )af f f a << B ．2(2)(2)(log )af f f a <<C ．2(2)(log )(2)af f a f <<D ．2(log )(2)(2)af a f f <<9．如果数列{}n a 满足1112100112,1,(2),n n n n n n n n a a a aa a n a a a a -+-+===≥=--且则a〔 〕A ．10012 B ．9912 C ．1100D ．15010．设ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边,,a b c 成等比数列，那么sin cot cos sin cot cos A C AB C B⋅+⋅+的取值范围为〔 〕A．B． C．)+∞ D ．(0,)+∞第二卷〔非选择题，共100分〕二、填空题〔本大题共5个小题，每题5分，共25分〕 11．设=-=-+)0(,24)(11fx f x x 则 。

[南开大学]21秋学期《高等数学（一）》在线作业试卷总分:100 得分:100二、判断题 (共 20 道试题,共 40 分)31.可微分函数必是可导函数。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确32.无穷小除以无穷小还是无穷小。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：错误33.初等函数在其定义区间内是连续的。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确34.无穷大乘以无穷小，还是无穷小。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：错误35.函数在间断点处的极限趋向无穷大。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：错误36.基本初等函数在其定义区间内是连续的。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确37.奇函数是单调函数。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：错误38.函数在一点的导数必是一个实数。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确39.特别小的一个实数并不是无穷小。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确40.初等函数都是可导函数。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：错误41.可导函数都是连续函数。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确42.无界的函数没有上界。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：错误43.有限个无穷小的积，还是无穷小。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确44.函数在发散点附近必有界。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：错误45.若函数的左右极限相等，则函数的极限必存在。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确46.函数在可导点处必有极限。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确47.函数在连续点处必有定义。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确48.连续函数都是可导函数。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：错误49.有界函数必收敛。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：错误50.函数的可微性与可导性是等价的。

【A.】正确【B.】错误[参考.选择]：正确因题目为图片形式不显示，选择题只需要按照顺序填写即可一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分)1.{图}【A.】A【B.】B【C.】C【D.】D[参考.选择]：C2.{图}【A.】A【B.】B【C.】C【D.】D[参考.选择]：C3.{图}【A.】A【B.】B【C.】C【D.】D[参考.选择]：B4.{图}【A.】A【B.】B【C.】C 【D.】D[参考.选择]：A5.{图}【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：C6.{图}【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：D7.{图}【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：C8.{图}【A.】0 【B.】1 【C.】2 【D.】3[参考.选择]：D9.{图}【A.】0 【B.】1 【C.】2 【D.】3[参考.选择]：B10.{图} 【A.】(-1) 【B.】0 【C.】1 【D.】2[参考.选择]：B11.{图} 【A.】0 【B.】1 【C.】2 【D.】3[参考.选择]：C12.{图} 【A.】(-1) 【B.】0 【C.】1 【D.】2[参考.选择]：A13.{图} 【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：C14.{图} 【A.】0 【B.】1 【C.】2 【D.】3[参考.选择]：D15.{图} 【A.】0 【B.】1 【C.】2 【D.】3[参考.选择]：C16.{图} 【A.】0 【B.】1 【C.】2 【D.】3[参考.选择]：B【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：C18.{图} 【A.】(-2) 【B.】(-1) 【C.】1 【D.】2[参考.选择]：B19.{图} 【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：D20.{图} 【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：B21.{图} 【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：B22.{图} 【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：D23.{图} 【A.】A【C.】C 【D.】D[参考.选择]：D24.{图} 【A.】(-2) 【B.】(-1) 【C.】1 【D.】2[参考.选择]：D25.{图} 【A.】0 【B.】1 【C.】2 【D.】3[参考.选择]：C26.{图} 【A.】0 【B.】1 【C.】2 【D.】3[参考.选择]：C27.{图} 【A.】1 【B.】2 【C.】3 【D.】4[参考.选择]：A28.{图} 【A.】A 【B.】B 【C.】C 【D.】D[参考.选择]：C29.{图} 【A.】0 【B.】1 【C.】2[参考.选择]：A30.{图}【A.】A【B.】B【C.】C【D.】D[参考.选择]：B。

南开大学某级文科类高等数学统考试卷(doc 9页)部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑南开大学2008级文科类高等数学统考试卷 （A 卷闭卷部分 考试时间60分钟） 2009年6月28日 草稿区（说明：答案务必写在装订线右侧，写在装订线左侧无效。

影响成绩后果自负。

）一、(本题10分)袋中装有10个号码球，分别标有1~10号。

现从袋中任取3个球，记录下其号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）中间号码为5号的概率.二、(本题10分)由现在的天气状况分析，政府有90％的概率进行人工降雨，10%的概率不进行人工降雨。

若进行人工降雨后下雨的概率为0.8, 不进行人工降雨而下雨的概率为0.15， 试求 （1）下雨的概率；（2）在已知没有下雨的条件下，求没有进行人工降雨的概率.文科类A4—1草稿区三、(本题8分)若随机事件A , B , C 为相互独立事件, 且2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0)(=C P ，求事件A , B , C 中至少有一个发生的概率.四、(本题12分)若随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=31328.0212.01000)(x x x x a x x F且已知1019)(=X E ，求（1）常数a 的值；（2）D (X ); (3) )25.0(≤≤X P .文科类A4—2草稿区五、(本题12分)设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他20)(2x cx x f ，求（1）c 的值；（2）)11(<<-X P ; (3) E (2X -1).六、(本题6分)设A ，B 为两个随机事件，已知31)()(==B P A P ，且)|()|(A B P A B P =，求)|(A B P .文科类A4—3七、(本题6分)某种电子元件的寿命X （小时）服从正态分布N (500, 402)， 草稿区 求一只该种元件在工作500小时未失效的条件下，还能再工作100小时的概率.八、(本题6分)设随机变量ξ服从[0, 2]上的均匀分布，η表示对ξ的三次独立重复试验中事件}21{≤ξ出现的次数，求)2(P =η.文科类A4—4南开大学2008级文科类高等数学统考试卷 （A 卷开卷部分考试时间40分钟） 2009年6月28日 草稿区（说明：答案务必写在装订线右侧，写在装订线左侧无效。

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，含答案）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A2.设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数3z x y =-的最大值为A.-4B.0C.43D.4【答案】D3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为A.0.5B.1C.2D.46.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 A.23 B.25 C.43 D. 45 【答案】B7.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂中所有元素的和等于 . 【答案】310. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 3m . 【答案】411. 已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值. 【答案】110三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分） 编号分别为1216,,,A A A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分 1726253322123138区间 [10,20)[20,30)[30,40)人数(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, (i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2人得分之和大于50的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知B=C, 23b a =. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求cos(2)4A π+的值.17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠=,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M为PD 的中点.(Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,又M 为PD 的中点,所以PB∥MO,因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB∥平面ACM .(Ⅱ)证明:因为45ADC ∠=,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而AC PO O ⋂=,所以AD⊥平面PAC.(Ⅲ)取DO 点N,连接MN,AN,因为M 为PD 的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt DAO ∆中,AD=1,AO=12,所以4DO =,从而124AN DO ==.在Rt ANM ∆中,tan MN MAN AN ∠===5,即直线AM 与平面ABCD【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数322()4361,,f x x tx t x t x R =+-+-∈其中t R ∈. （Ⅰ）当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点. 【解析】（Ⅰ）当1t =时,32()436,(0)0,f x x x x f =+-=2'()1266,'(0)6f x x x f =+-=-,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-. (Ⅱ) 22'()1266,f x x tx t =+-令'()0f x =,解得x t =-或2t,因为0t ≠,以下分两种情况讨论:(1)若0t <,则2tt <-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: x(,)2t -∞ (,)2t t -(,)t -+∞'()f x + - + ()f x所以()f x 的单调递增区间是(,)2t -∞,(,)t -+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t t -. (2)若0t >,则2tt >-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-,(,)2t +∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -.所以()f x 在(,1)2t 内存在零点. 若(1,2)t ∈,37()(1)24t f t t =-+-<37104t -+<, x(,)t -∞-(,)2t t -(,)2t+∞ '()f x +- + ()f x(0)10,f t =->所以()f x 在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t ∈,()f x 在区间(0,1)内均在零点.综上, 对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈.- 11 -。