南开大学2019年9月高等数学(二)期末考试答案

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.2．指出下列各微分方程的阶数：(1) 2()20;x y'yy'x -+=一阶 (2) 20;x y''xy'y -+=二阶 (3) 220;xy'''y''x y ++=三阶 (4) (76)d ()d 0.x y x x y y -++=一阶3．把对坐标的曲面积分()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z = 8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．解：(1)平面Σ：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2，}，单位向量为n 0={35，25}，即方向余弦为3cos 5α=，2cos 5β=，cos γ=．因此：()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R sP Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1} 其方向余弦：cos α=，cos β=，cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．计算下列对面积的曲面积分： （1）4d 23s z x y ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分； （2）()2d 22s xy xx z ∑--+⎰⎰，其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分；(3)()d s x y z ∑++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分；(4)()d s xy yz zx ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分； (5)()222d s Rx y ∑--⎰⎰，其中∑为上半球面z =解：（1）4:423z x y ∑=--(如图10-69所示)图10-69d d d s x y x y ==故4d 4d d d d 23331232xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。

（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。

2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。

[南开大学（本部）]《高等数学（一）》19秋期末考核(答案参考）【奥鹏】-[南开大学（本部）]《高等数学（一）》19秋期末考核试卷总分:100 得分:100第1题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第2题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第3题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第4题,A、0B、1C、2D、3正确答案:第5题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第6题, A、AB、BC、CD、D正确答案:第7题,A、0B、1C、2D、3正确答案:第8题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第9题,A、1B、2C、3D、0正确答案:第10题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第11题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第12题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第13题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第14题,A、1B、2C、3D、4正确答案:第15题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第16题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第17题, A、AB、BC、CD、D正确答案:第18题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第19题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第20题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第21题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第22题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第23题,A、(-1)B、0C、1D、2正确答案:第24题,A、AB、BC、CD、D正确答案:第25题,A、0B、1C、2D、3正确答案:第26题,余切函数是无界的函数。

A、错误B、正确正确答案:第27题,函数在间断点处没有定义。

A、错误B、正确正确答案:第28题,函数在可导点处必有极限。

A、错误B、正确正确答案:第29题,收敛数列是有界数列。

A、错误B、正确正确答案:第30题,发散数列必是无界数列。

A、错误B、正确正确答案:第31题,函数在连续点处必有定义。

A、错误B、正确正确答案:第32题,无限个无穷小的乘积不一定是无穷小。

北京化工大学2016-2017学年第二学期《高等数学（Ⅱ）》期末考试试卷参考答案一．填空题 1. 02.)(32dy dx + 3.224. 35.2ππ-+e e 6.x e c c 321-+二．解答题 1.,,0xy z y x z z x z x x z yy +--=∂∂⇒=+∂∂+∂∂+zy zx y x y x y y x zz x +--=∂∂⇒=∂∂+∂∂++,0zx y x z y z y z z y xx y +--=∂∂⇒=∂∂+∂∂++01-=∂∂∂∂∂∂∴z yy x x z 2. )1(141114414103413x d x dx x x dy x dx I x ---=-=-=⎰⎰⎰⎰61)1(6101234=-=x 3.,02,111lim,1<<-⇒<∴==++=∞→x t R nnx t n 令)0,2(,2,0-=收敛域为时，皆发散x )111)(1(])1()[1()1)()1(()(,111'--++='++=++=∑∑∞=∞=-x x x x x x x n x s n n n n )0,2(,1)(2-∈+=x x xx s 4. 22111)2,1,0(,2)0(,1)0(,1)0(-=-==='=='=='z y x t z t y t x 故切线方程为此点坐标为5.22)313(,02:,022πππ=-==-+=∴→=⎰⎰D DS dxdy x x I y x 总补线：,42,4)2(20022-=∴==-=⎰π求补I y dy y I6.xy x xy yx yye yx x x y 163)83()128(22223+=+∂∂=++∂∂偏积分即有两边同时对该方程为全微分方程。

x xy yx xu∴+=∂∂∴∴2283y ye yx x yx x y yuy x yx y y x u 1288)(,4)(),(2323223++=++'=∂∂∴++=ψψ.2234)1(12),(),1(12)(y x yx y e C y x u y e C y y y ++-+=-+=ψC y x yx y e y =++-∴2234)1(12通解为7.==-⇒-=-=='∑∑∞=∞=-)()0()(,!)1(!)()(02022x f f x f n x n x ex f n nn n n x ),()12(!)1(012+∞-∞∈+-∑∞=+x n n x n n n ， 三．解答题 1.共四个坐标,2,0,3,10360963212122==-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-+=∂∂y y x x y y yfx x xf ，,66,0,662>--====+==B AC y f C f B x f A yy xy xx 若有极值，则1,11,1>-<<->⇒y x y x 或为极值点和只有)2,3()0,1(-∴，4)0,1(,012),0,1(-=∴>=f A 极小值为对于32)2,3(,0),2,3(=-∴<-f A 极大值为对于2.⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+++=+-++=V dV z y x dV x z y x I )(]12[222222）（由奇偶性可知⎰⎰⎰Ω=-0)2(dV x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=ΩΩππϕϕθπ010420222sin )(;34drr d d dV z y x V 而15323454,5451*2*2πππππ=+=∴==求I3. ∑∑∞=∞=∞→∴=>=111,111sin lim ),0(1sin n a n n a a n a n nu nn a n u 同敛散与即收敛时,1,1,1∑∞=>n a n a 绝对收敛即收敛∑∑∞=∞=11,n n n nu u)2,0(sin )2,0()1,0(1,101ππ∈⊆∈≤<∑∞=x x n u a a n n 在且发散。

收敛收敛收敛　=-==∞→+=121211)(D. C. 3B. 0lim A.n n n n n n nn n u uuu u{81 D. 61 C. 41 B. 21 A.)(d }20,10,10),,( 4　则，设、=≤≤≤≤≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv xy z y x z y xnn n n n n n n n n n n n nn n n n n x x x x x f x xx f x x )1(3)1( D. )1(3)1( C. )1(4)1( B. )1(4)1( A. )()(131)()1(11 50100100--------=-+=-=+∑∑∑∑∑∞=+∞=∞=+∞=∞=的幂级数为展开成，则已知、三、计算题 (共5题，每题8分，共40分)方程处的切平面方程与法线，，在点求曲面、)1 2 1(1123 1222P z z y x +=++,d 122222222≥≤++Ω++=⎰⎰⎰Ωz a z y x v z y x I 为上半球体其中，分利用球面坐标求三重积、的线段，，与点，，为连接点其中，求曲线积分、)3 5 2()1 2 3( d )( 3B A L s z y x I L⎰+-=装的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=14 4n nn x n订的通解求微分方程、y y x '='' 5线四、综合题 (共3题，每题10分，共30分)的极值求函数、23),( 133++-=xy y x y x f取顺时针方向是圆其中，分利用格林公式求曲线积、,4d )31e (d )31e ( 22233=+++-=⎰y x C y x x y y I x C x的通解、求微分方程123-='+''x y y2019—2020学年第二学期期末考试 《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分)11、　；收敛、 2；213、；44、；)(e 5C x y x +=、二、选择题(每题3分，共15分) D 1、；A 2、；C 3、；A 4、；B 5、 三、计算题(每题 8分，共40分)1123),,( 1222--++=z z y x z y x F 令解：、1246-='='='z F y F x F z y x ，，则 ，}1,8,6{=⇒n023860)1()2(8)1(6=-++=-+-+-z y x z y x ，即故切平面方程为118261-=-=-z y x 法线方程为⎰⎰⎰=aI 022 0 d sin d d 2ρϕρϕθππ、解：⎰⎰=222 0d sin 21d ππϕϕθa ⎰=πϕ2 02d 21a 2a π= 3、}2 3 1{，，解：　-==AB s ， 线段AB 的方程为213213-=-=--z y x ，即参数方程)10(21 323≤≤⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t t z t y t x ， 2,3,1='='-='⇒z y x t t ， 故原式⎰-=1d 14)22(t t 102)2(14t t -=14=414lim /4)1/(4lim 41=+=+=∞→+∞→n n nn n n n n ρ 、解： ，41=∴R 时当41-=x ， 收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当41=x ，发散级数∑∞=11n n，)41,41[-故收敛域为 )( 5x p y ='令解：、，则原方程化为x xp p d 1d 1= ⎰⎰=⇒x xp pd 1d 1，1ln ln ln C x p +=故，x C y x C p 11='=⇒，即 故所求通解为22112d C x Cx x C y +==⎰四、综合题 (每题10分，共30分)1、解：x y f y x f y x 33 3322+-='+='，，解⎩⎨⎧=+-=+03303322x y y x 得)1 1( )0 0(-，，， 又y f f x f yy xy xx 6 3 6-=''=''=''，， ， 在点)0 0(，处，092>=-=∆AC B ，不取极值在点)1 1(-，处，060272>=<-=-=∆A AC B 且，取极小值，极小值为1)1 1(=-，f 3331e 31e 2x Q y y P x x +=-=，令解：、，则22e e x x Q y y P x x +=∂∂-=∂∂， ⎰⎰+-=⇒Dy x y x I d d )(22r r d d 232 0 ⎰⎰-=πθ⎰-=πθ2 04d π8-=0 32=+r r 特征方程为、解：，1 0 21-==⇒r r 、，x C C Y -+=e 21故齐次方程的通解为)(*b ax x y +=设特解，1222 *-=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧-=+=⇒1222b a a 3 1-==⇒b a 、，x x y 3*2-=⇒x x C C y x 3e 221-++=-故通解为。

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．将函数(,)x f x y y =在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解：(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x y f y y f xy-====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+2．求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e t x =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e tx =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d ty y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y = 故 223223121211ee e .55tt t y c c c x c x x --=++=++3．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-， 故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xxxy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式，得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭.4．计算下列对坐标的曲面积分：(1)22d d x y z x y ∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x , y , z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧； (4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面z =z = h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x y y xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．((()()()()()()22222π422002π2222222002π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yr r rR R r r R R R R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=---⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：x =(y ,z )∈D yz，故30d d d d 3yzD x y z y z z y y∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为： y =(x ,z )∈D xz，故3d d d d 3xzD y z x z x z x x∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z x x x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为cos α=，cos β=cos γ=图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1， 故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰ 因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有()()()()()220200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5．求下列齐次方程的通解：(1)0xy y'-=;解：d d y y x x =令 d d d d y y u u u x x x x=⇒=+ 原方程变为d xx=两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x +==即通解为：2y cx =d (2)ln d y yxy x x =; 解：d ln d y y y x x x= 令y u x =， 则d d d d y uu x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln 1u cxycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解：2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =， 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x xu u x u x == 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x=+故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=; 解： 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx代替u ，并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-; 解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =， 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u++=- 分离变量,得211d d 1u u x u x-=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ，并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解：d d y yx=即d d x x y y =令x v y =， 则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+即d d vyy=分离变量，得d y y= 积分得ln(ln ln v y c +=-.即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式，得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.6．从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：220(1),5;x x y C y =-==解：当0x =时，y =5.故C =-25 故所求曲线为：2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =.7．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ（是一个边长为2的正六边形）； Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ． 由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡++----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑8．设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：(1)D:22221x ya b+≤，求I y;(2)D由抛物线292y x=与直线x=2所围成，求I x和I y；(3)D为矩形闭区域：0≤x≤a, 0≤y≤b,求I x和I y.解：（1）令x=arcosθ ,y=br sinθ,则在此变换下D ：22221x y a b+≤变化为D '：r ≤1,即 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π, 且(,)(,)x y abr r θ∂=∂, 所以2π12222323032π30d d cos d d cos d d 1(1cos 2)d π.84y DD I x x y a r abr r a b r ra b a b θθθθθθ'====+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 闭区域D 如图10-35所示图10-353222220005222220272d d 2d d d ;3596d d 2d d .7x Dy DI y x y x y y x x I x x y x x y x x ========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)32220d d d d d ,3a bbx Dab I y x y x y y a y y ====⎰⎰⎰⎰⎰322200d d d d d .3abay Da bI x x y x x y bx x ====⎰⎰⎰⎰⎰9．求锥面z被柱面z 2 = 2x 所割下部分的曲面面积。

2019—2020学年第二学期考试卷（B ）卷一、填空题(每题3分，共15分)1. __________grad )(),(=-=f y x y x f 处的梯度，在点函数1132 2. _________d }),{(=≤+≤=⎰⎰Dy x y x D σ，则设94223. _______d }),,{(=≤≤≤≤-≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv x z y x z y x 2101110，则，，设4. ________=-∑∞=S n nnn 的和级数1423 5. _______d )(d )()()(=++-⎰1100，，曲线积分y y x x x y二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1. ) (),(的驻点是函数y y xy x y x f 25422++-=0)0( D. )( C. )( B. 2(1 A.，，，），2112----d )(d D. d )(d C. d )(d B. d )(d A.)(d )(}),{( .cos 0cos 2012⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+≥≤+=θπθπππθθθθσ222202122022222022r r rf r r f r r rf r r f y x f y x y x y x D D ，则且设d sin )(d d B. d )(d d A.)()d ( .02040⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++==++ΩΩ4211202222222213ππππρϕρρϕθρρρϕθf f v z y x f y x z z y x 围成，则及由曲面设d cos )(d d D. d sin )(d d C.02040⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211020ππππρϕρρϕθρϕρρϕθf fD. C. B. A.)(sin)( .敛散性不确定条件收敛绝对收敛发散 级数∑∞=-1114n n ncos D. cos C. sin B. sin A.)(sin .212121215C x C x y C x C x y C x C x y C x C x y x y ++=++-=++=++-=='' 的通解为微分方程姓名： 学号： 教学班级： 教学小班序号：4. 的折线段，与，，，是连接其中，求) () ( ) ( d )(30000142B O A C s y x I C⎰+=5. 的收敛半径及收敛域求幂级数∑∞=⋅121n nnx n6. 的通解求微分方程xy x y y x e +='装Ｏ订Ｏ线Ｏ2019—2020学年第二学期期末考试《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分) 1. }{32，- 2. π5 3.324. 25. 1 二、选择题(每题3分，共15分)1. B2. D3. B4. C5. A 三、计算题(每题 7分，共49分)1. xy xy x e y x y e z )( 3++='Θ解：, xy xyy e y x x ez )(33++=' 1113--='∴e z x),( 5分，111--='e z y),(，dy e dx e dy z dx z dz y x 113--+='+'=故2. 234x z x y ='=',Θ解：，},,{341=∴T ρ切向量 314211-=-=-z y x 故切线方程为 ， 013241=-+-+-)()(z y x 法平面方程为分，即01234=-++z y x3. ⎰⎰⎰⋅=4020 2 2d d d r z r r r I πθ解：⎰⎰-=2022204 )d (d r r r πθ⎰=πθ201564 d 15128π=4. ⎰⎰+++=OB AO ds y x ds y x I )()( 2244解：⎰⎰+=302104dy y xdx 303102312y x +=11= 5. 2112212111=+=⋅⋅+=∞→+∞→)(lim /)/(lim n n n n n nn n ρΘ解：　，2=∴R时当2-=x ，收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当2=x ，发散级数∑∞=11n n ，),[22-故收敛域为 6. x ye x y y +='原方程化为解： ，x y u =令，x x u eu d d 11=则原方程化为x xu e u d d ⎰⎰=⇒-1，C x e u +=-⇒-ln ，)ln ln( ln C x x y C x e x y ---=+=--即，故所求通解为四、综合题(每题 10分，共20分)1. 2222x x e Q y x e P yy-=+=sin cos ，令解：，则x x e xQy x e y P y y -=∂∂+=∂∂cos cos ，4，⎰⎰+=⇒Dy x y x I d d )(4y y x x xd )(d x⎰⎰+=3104⎰=1218 d x x 1036x =6=2. 0652=++r r 特征方程为解：， 3221-=-=⇒r r 、， x x C C Y y y y 3221065--+==+'+''e e 的通解为故b ax y +=*设特解，76656-=++x b a ax y *代入原方程得把 ，⎩⎨⎧-=+=⇒7656b a a 621-==⇒b a 、，2-=⇒x y *，23221-++=--x C e C y x x e 故所求通解为 五、证明题 ( 8分))!()!()!()!()!()!(n n n n n 22212222≤+++ΛΘ证：141122121211222<=++=⋅+++=∞→∞→)()(lim )!()!()]!([])!)[((lim n n n n n n n n n n n ρ又收敛级数∑∞=∴122n n n n )!()!( ，收敛故级数∑∞=+++1222221n n n )!()!()!()!(Λ。

第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。

2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。

3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。