南开大学高等数学12极限共68页

1. 请指出间断点的类型: x=0 是函数 f (x) sin 1 的 x
间断点.
2. lim(1 2)x = ________
x
x
3. 若 f (x) arctan(1 x2 ) ，则 f (x) ________
D
4. 若 f (arctant) 1 ，则 f ( )
t2 1
6
5. f(x)在 a 处可导,导数为 f’(a), 则 lim f (a 2h) f (a)
由
x
t ln(1 y t3 t2
t)
确定，求
dy dx
.
三、（10 分）求曲线 y x ln y 在点 (e 1,e) 处的切线方程.
四、（10 分）求函数 f (x) xx 在 (0,) 上的最小值.
五、（10 分）求曲线 ln(1 x2 ) 的凹凸区间和拐点. 六、（10 分）（10 分=5 2）求下列不定积分：
0,
x 0,
g(0) 1.
(1)求 f (x) ；
(2)讨论 f (x) 在 (,) 上的连续性.
九、（6 分）设函数 f (x) 在闭区间[1,1] 上具有连续的三阶导数，且 f (1) 0,
f (1) 1, f ' (0) 0. 求证：在开区间 (1,1) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 3.
证明存在, (a,b) ，使得
f '( ) 2
ln b
b2
a a2
f
' ( )
.
八、（6 分）设函数 f (x) 在 (, ) 上连续，函数(x) f (x) x f (t)dt 单调递减, 0
证明： f (x) 0, x (,) .

南开大学高等数学下册教材南开大学高等数学下册教材是一本经典教材，为南开大学的学生提供了深入学习高等数学的机会。

本教材分为多个章节，涵盖了高等数学下册的重要内容。

下面将对本教材的主要章节进行简要介绍。

第一章：多元函数及其极限与连续本章主要介绍了多元函数的概念，以及多元函数的极限和连续。

其中，重点介绍了极限的定义及其相关性质，并讲解了多元函数的连续性及其应用。

第二章：偏导数与全微分该章节主要讨论了多元函数的偏导数及其计算方法，并引入了全微分的概念。

通过对偏导数与全微分的理解，学生可以进一步了解多元函数的变化规律与性质。

第三章：多元函数的一元极值与二元极值本章重点介绍了多元函数的一元极值和二元极值的概念及求解方法。

学生将学会如何通过导数和二阶偏导数来判断函数的极值，并应用到实际问题中。

第四章：多元函数的梯度与方向导数该章节深入讨论了多元函数的梯度和方向导数的概念。

学生将学会如何使用梯度和方向导数来描述函数在某一点上的变化规律，并掌握利用这些概念解决实际问题的方法。

第五章：重积分的概念与性质本章介绍了重积分的概念及其性质，包括累次积分、二重积分和三重积分的计算方法。

学生将学会如何使用重积分来计算曲面面积、体积等问题。

第六章：曲线与曲面积分该章节重点讲解了曲线积分和曲面积分的概念，并介绍了计算方法和应用场景。

学生将了解如何通过曲线积分和曲面积分来描述曲线和曲面上的物理量。

第七章：常微分方程本章主要介绍了常微分方程的基本概念、解法和应用。

学生将学习如何求解常微分方程，并理解常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用。

通过学习南开大学高等数学下册教材，学生将掌握高等数学下册的基本理论和方法，培养解决实际问题的能力。

本教材内容丰富、知识点全面，是学习高等数学的重要参考资料。

希望广大南开大学的学生能够充分利用这本教材，努力提高数学水平，为将来的学习和研究奠定坚实基础。

南开大学用的高等数学教材南开大学作为中国著名的综合性大学，其教材选用一直备受关注。

在高等数学教育方面，南开大学选择的教材更是备受期待。

本文将介绍南开大学用的高等数学教材，从内容、特点和优势等方面进行阐述。

一、教材内容南开大学选用的高等数学教材内容丰富、完整，包含了数学分析、线性代数、概率统计等多个重要分支，以及与其他学科的交叉应用等内容。

教材从基础概念出发，循序渐进地引导学生掌握高等数学的核心思想和方法。

1. 数学分析数学分析是高等数学的基础，南开大学选用的教材对数学分析的内容进行了全面而深入的讲解。

从极限与连续、导数与微分、积分学等多个方面展开论述，旨在培养学生的分析思维和问题解决能力。

2. 线性代数线性代数在现代数学中具有广泛的应用价值，南开大学高等数学教材对线性代数的内容进行了系统的介绍。

从向量空间、线性变换、特征值与特征向量等基本概念开始，深入阐述了线性代数的理论和方法，使学生能够熟练运用线性代数解决实际问题。

3. 概率统计概率统计是数学与实际问题相结合的重要领域，南开大学高等数学教材对概率统计的内容进行了精心编排。

从随机事件、概率与数学期望、正态分布等方面展开，既注重理论讲解，又注重实际问题的分析与应用。

二、教材特点南开大学用的高等数学教材具有以下特点：1. 系统性教材内容安排有条理，从基础概念出发，逐步拓展，构建起完整的数学知识体系。

学生可以清晰地了解各个知识点之间的逻辑关系，提高学习效果。

2. 理论与实践结合教材注重理论的讲解，同时也强调将理论与实际问题相结合。

通过一些具体案例和实际应用，帮助学生更好地理解数学知识的实际运用。

3. 突出重点难点教材对于一些重点难点进行了重点讲解和强化练习，帮助学生解决学习中的困惑。

通过适当的引导和示范，学生能够更好地掌握关键知识和方法。

三、教材优势南开大学用的高等数学教材在教学实践中展现出一定的优势：1. 适应性广教材内容全面，涵盖了高等数学的各个领域。

函数的极限
无限增大. 用数学语言刻划 无限接近、 无限接近、
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小; x > X 表示 x → ∞的过程 .
1. 定义 定义 (ε − X ) 设f ( x )在 | x |> a上有定义 .若 ∀ε > 0,
∃X > 0, 使得当 | x |> X时, 恒有 X ≥a | f ( x ) − A |< ε
则称x → ∞时函数 f ( x )有极限 A,记作
lim f ( x ) = A, 或 f ( x ) → A( x → ∞ ). x→∞
→∞
函数的极限
2. 另两种情形
(1) x → +∞ 情形 : lim f ( x ) = A
x → +∞
设f ( x )在x > a上有定义 . ∀ε > 0, ∃X > 0,
证略。（ 证略。（P8）
函数 f ( x ) 在点 x0 处极限存在的充要条件 为 : f ( x ) 在点 x0 处的左右极限都存在且 相 等。
性质常用于判断分段函数 性质常用于判断分段函数当 分段函数当x趋近于 分段点 分段点 时的极限.
函数的极限
例
x 试证函数 f ( x ) = sin x 当x → 1时, 无极限 .
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函数的极限
一、函数在一点 函数在一点(one-point)的极限
用数学语言刻划 x → x0 , 函数f ( x ) 无限接近 于确定值A.
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小;
0 < x − x0 < δ 表示x → x0的过程 . x ≠ x0 δ U ( x0 , δ ) δ