鄂东南教改联盟学校2019年秋季期中联考 高三理数答案

2019-2020学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z 满足(3+4i)z =7+i ，则z 的共轭复数z −的虚部是( )A. iB. 1C. −1D. −i2. 已知全集为R ，集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x−1x+2<0}，则A ∩(∁R B)的子集个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 83. 已知cos(π−α)=−35，则tan(3π2−α)值为( )A. 34 B. 43 C. ±43 D. ±344. 若0<x <y <1，1<b <a ，则下列各式中一定正确的是( )A. a x <b yB. a x >b yC.lnx b<lny aD.lnx b>lny a5. 5400的正约数有( )个A. 48B. 46C. 36D. 386. 记S n 为递增等差数列{a n }的前n 项和，若数列{Sn a n}也为等差数列，则S3a 3等于( )A. 3B. 2C. 32D. 17. 已知在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,3)，C(3,0)，O(0,0)，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R)，|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A. 2√2−1 B. √2−1 C. 3√2−1 D. 2√2+18. 定长为10的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=8x 上移动，P 为线段AB 的中点，则P 点到y 轴的最短距离为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 设y =f(x)是定义在R 上以1为周期的函数，若g(x)=f(x)+2x 在区间[1,2]上的值域为[−1,5]，则函数g(x)在[−2020,2020]上的值域为( ) A. [−2,6] B. [−4043,4040] C. [−4042,4041] D. [−4043,4041] 10. 若抛物线y 2=12x 与圆x 2+y 2−2ax +a 2−1=0有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为( )A. a <178 B. a =178C. −1<a <1D. −1<a <1或a =17811. 已知实数a ，b ，c ，d 满足|b −lna a|+|c −d +2|=0，则(a −c)2+(b −d)2的最小值为( )A. 4B. 92C. 32√2D. 212. 已知x 0是方程2x 2e 2x +lnx =0的实根，则关于实数x 0的判断全是错误的是( )①x 0<1②x 0≥ln2③2x 0+lnx 0=0④2e x 0+lnx 0=0A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，若(λa⃗+b⃗ )//(a⃗−2b⃗ )，则λ=______．14.中国排球超级联赛争冠总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入500万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元．则总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率是______．15.2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金(扣除专项、专项附加及依法确定的其他)所得不超过5000元(俗称“起征点”)的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如表：个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁(含)以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是______元．16.在三棱锥S−ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=√3，SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知f(x)=sin2x4−2cos2x4+√3sin x4cos x4，x∈R．(1)求函数y=f(x)的单调减区间；(2)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(B)=−12，b=√3，求△ABC 周长的取值范围．18.如图1，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE//BC，记DEBC=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．(1)当EN//平面MBD时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B−MD−E的正切值是否改变，如果是，请说明理由，如果不是，请求出二面角B−MD−E的正切值大小．19.记椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的动直线l与椭圆C交于A，B两点，已知△F2AB的周长为8且点P(1,32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)请问：x轴上是否存在定点M使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，100以这台机器维修次数的频率代替台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P(X=0)=0.01．(1)求实数m，n的值；(2)求X的分布列；(3)以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？21.已知f(x)=m⋅e2x−2x(x+1)⋅e x，其中e为自然对数的底数，且函数f(x)恰有两个极值点x1，x2．(1)求实数m的取值范围；(2)求证：3<x1x2−(x1+x2)<8．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√2(sinα−cosα)y=√22(sinα+cosα)(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ 2ρsinθ+m=0．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若曲线C上的点到直线l距离的最大值为4√105，求实数m的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x−52|．(1)求不等式f(x)≤192的解集；(2)记函数f(x)的最小值为M，若三个正数a，b，c满足a+b+c=M，求1a +1b+1c的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵复数z满足(3+4i)z=7+i，∴z=7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=21+3i−28i−4i29−16i2=1−i．∴z−=1+i，则z的共轭复数z−的虚部为1．故选：B．求出z=7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=1−i.从而z−=1+i，由此能求出z的共轭复数z−的虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算法则、共轭复数的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵全集为R，集合A={−2,−1,0，1，2}，B={x|x−1x+2<0}={x|−2<x<1}，∴C R B={x|x≤−2或x≥1}，则A∩(∁R B)={−2,1，2}，∴A∩(∁R B)的子集个数为23=8．故选：D．求出集合A，B，进而求出C R B，A∩(∁R B)={−2,1，2}，由此能求出A∩(∁R B)的子集个数．本题考查交集、补集的子集个数的求法，考查交集、补集的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵cos(π−α)=−35，∴cosα=35，∴sinα=±√1−cos2α=±45，∴tan(3π2−α)=cotα=cosαsinα=±34．故选：D．由已知利用诱导公式可得cosα=35，利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：y=a x(a>1)在R递增，∵0<x<y<1，1<b<a，∴b x<a x<a y，b x<b y<a y，∴a x与b y不能确定大小，故选项AB错误．∵0<x <y <1，1<b <a ， ∴1b >1a>0，lnx <lny <0，∴−lnx >−lny >0，∴−lnx b>−lny a，∴lnx b<lny a，故选项D 错误．故选：C ．直接利用不等式的性质和函数的单调性的应用，即可得到正确选项．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 5.【答案】A【解析】解：根据题意，5400=2×2×2×3×3×3×5×5=23×33×52， 其中23的约数有1、2、22、23，共4个； 33的约数有1、3、32、33，共4个； 52的约数有1、5、52，共3个；则5400的正约数有4×4×3=48个； 故选：A ．根据题意，将5400分解可得5400=23×33×52，进而分析23、33、52的约数的数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，注意题目问题的转化，属于基础题． 6.【答案】B【解析】解：S n 为递增等差数列{a n }的前n 项和，若数列{Sna n}也为等差数列，∴2S 2a 2=S 1a 1+S 3a 3，∴2(2a 1+d)a 1+d=1+3a 1+3d a 1+2d，整理可得，a 1=d ，则S3a 3=3a 1+3d a 1+2d=6d 3d=2．故选：B ．由已知结合等差数列的性质及等差数列的求和公式和通项公式即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及通项公式及求和公式的应用是，属于基础试题． 7.【答案】C【解析】解：在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,3)，C(3,0)，O(0,0)，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R) 所以：点Q 是直线AB ：x −y +3=0上的点．|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即求点D 到点Q 的距离的最小值． 点D 是以(3,0)为圆心，1为半径的圆上的点．那么点D 到点Q 的最小距离，就可以看成圆C 上的点到直线AB 的最小值， 即圆心到直线AB 的距离减去半径，即为√21=3√2−1．故选：C ．直接利用向量的线性运算的应用和点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，点到直线的距离公式的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．8.【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，准线为x=−2，可得|AF|+|BF|≥|AB|=10，设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，由P为线段AB的中点，可得x P+2=12(x1+x2+4)=12(|AF|+|BF|)≥12|AB|=5，则x P≥3，当A，F，P三点共线时，取得等号．可得P点到y轴的最短距离为3．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，设A，B的横坐标分别为x1，x2，运用抛物线的定义和梯形的中位线定理，结合三点共线时取得最值的性质，可得所求最短距离．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线的最值性质，以及梯形的中位线定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：根据题意，g(x)=f(x)+2x在区间[1,2]上的值域为[−1,5]，设g(x0)=−1，g(x1)=5，x0，x1∈[1,2]，则g(x0)=f(x0)+2x0=−1，则g(x1)= f(x1)+2x1=5，又由y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数，则g(x0+n)=f(x0+n)+2(x0+n)=f(x0)+2x0+2n=−1+2n，同理g(x1+n)= 5+2n，在区间[−2020,2020]上，g(x)的最小值是−1+(−2021)×2=−4043，最大值为5+ (2018)×2=4041，故函数g(x)在[−2020,2020]上的值域为[−4043,4041]；故选：D．根据题意，由函数g(x)在[1,2]上的值域，设g(x0)=−1，g(x1)=5，x0，x1∈[1,2]，即可得g(x0)=f(x0)+2x0=−1，则g(x1)=f(x1)+2x1=5，结合函数f(x)的周期性可得g(x0+n)=−1+2n以及g(x1+n)=5+2n，据此分析可得答案．本题考查函数的值域计算，涉及函数周期性的性质以及应用，属于综合题．10.【答案】D【解析】解：将圆x2+y2−2ax+a2−1=0化为标准方程为(x−a)2+y2=1，是以(a,0)为圆心，1为半径的圆．如图所示，是抛物线y2=12x与单位圆x2+y2=1构成的图形，当圆心(a,0)在−1和1之间运动，即−1<a<1时，符合题意；另外，当抛物线与圆相切时，由对称性可知，也存在两个不同的交点，联立y2=12x与x2+y2−2ax+a2−1=0，得x2+(12−2a)x+a2−1=0，所以△=(12−2a)2−4(a2−1)=0，解得a=178，综上所述，实数a的取值范围是−1<a<1或a=178，故选：D．先将圆化为标准方程为(x−a)2+y2=1，是以(a,0)为圆心，1为半径的圆，再作出抛物线y2=12x与单位圆x2+y2=1构成的图形，结合图形分析圆心所在的位置可得−1<a<1；联立抛物线与圆的方程，利用判别式△=0可得a=178，故可得解．本题考查圆与抛物线的交点个数问题，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由题意，可得b=lnaa ，c−d+2=0，构造函数y=lnxx和y=x+2，故(a−c)2+(b−d)2就是曲线y=f(x)=lnxx上的点到直线x−y+2=0上点的距离的平方，∵f′(x)=1−lnxx2，x>0，易得，当0<x<e时，f′(x)>0，函数单调递增，当x>e时，f′(x)<0，函数单调递减，设与x−y+2=0平行且与曲线y=f(x)相切的直线为x−y+m=0，则f′(x0)=1−lnx0x02=1，∴x0=1，∴切点为(1,0)∴切点与x−y+2=0的距离d=√2，故(a−c)2+(b−d)2的最小值为92．故选：B．由题意，可得b=lnaa ，c−d+2=0，构造函数y=lnxx和y=x+2，则(a−c)2+(b−d)2表示曲线y=f(x)=lnxx上的点到直线x−y+2=0上点的距离的平方，然后利用导数求出切点，再求出(a −c)2+(b −d)2的最小值． 本题主要考查了导数在求解函数最值中的应用，解题时要注意点到直线的距离公式的合理应用． 12.【答案】C【解析】解：设g(x)=2x 2e 2x +lnx ，(x >0)， 则函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，由2x 2e 2x +lnx =0得2x 2e 2x =−lnx ，得2xe 2x =−lnx x，设f(x)=xe x ，则f(2x)=2xe 2x ，f(−lnx)=−lnxe −lnx =−lnx x，即方程2xe 2x =−lnx x等价为f(2x)=f(−lnx)∵x 0是方程2x 2e 2x +lnx =0的实根，∴2x 02e 2x 0=−lnx 0，即f(2x 0)=f(−lnx 0)，∵f′(x)=(x +1)e x >0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴2x 0=−lnx 0，即2x 0+lnx 0=0，故③正确，则④不正确，设ℎ(x)=2x +lnx ，则ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，则ℎ(1e )=2e +ln 1e =2e −1<0， ∴x 0>1e ，故①错误，ℎ(12)=2×12+ln 12=1−ln2>0，即x 0<12，∵ln2>ln √e =12，∴x 0≥ln2错误，故②错误， 故错误的有：①②④．故选：C ．根据函数与方程之间的关系，转化为得2xe 2x =−lnx x，构造函数f(x)=xe x ，结合函数f(x)的单调性求出2x 0+lnx 0=0，然后构造函数ℎ(x)=2x +lnx ，结合函数的单调性和根的存在性定理进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，根据条件结合函数与方程的关系进行转化，构造函数，利用函数的单调性建立方程得到(2x 0)=f(−lnx 0)，是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 13.【答案】±1【解析】解：∵(λa ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −2b ⃗ )⇒存在实数k ，使得λa ⃗ +b ⃗ =k(a ⃗ −2b ⃗ )；∴(λ−k)a ⃗ +(1−λk)b ⃗ =0⃗ ； ∵向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，∴λ−k =0且1−λk =0； 故λ=k =±1； 故答案为：±1．利用向量共线的充要条件得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解． 本题考查两向量反向的充要条件及平面向量基本定理．14.【答案】516【解析】解：设总决赛一共进行n 场，∵总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元，∴S n =500n +n(n−1)2×100=4500，整理得n 2+9n −90=0， 解得n =6或n =−15(舍)， ∴总决赛一共举行6场比赛，∴前5场比赛为2：3，第6场比赛领先队胜，∴总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率为：P =C 53(12)3(12)2(12)+C 52(12)2(12)3(12)=516．故答案为：516．由总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元，得到总决赛一共举行6场比赛，从而前5场比赛为2：3，第6场比赛领先队胜，由此能求出总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率．本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15.【答案】9720【解析】解：当工资、薪金为8000元时，缴纳税款3000×3%=90(元)； 当工资、薪金为17000元时，缴纳税款3000×3%+9000×10%=990(元)， 所以他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −8000−1000)×10%=180，解得：x =9900，所以税后所得为9900−180=9720(元)， 故答案为：9720．利用分段函数先判断他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −8000−1000)×10%=180，解出x 的值即可． 本题主要考查了函数的实际运用，是基础题． 16.【答案】21π【解析】解：由题意得SA 2+AB 2=SB 2，得到SA ⊥AB ，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到∠CDM 为S −AB −C 的二面角的平面角，得到∠MDC =60°，设三角形ABC 的外心为O′，则CO′=√3=BO′，DO′=√32， 球心为过M 的ABS 的垂线与过O′的ABC 的垂线的交点，在四边形MDOO′中，OO′=32，所以R 2=OO′2+O′B 2=94+3=214，所以球的表面积为4πR 2=21π． 故答案为：21π．由题意得SA 2+AB 2=SB 2，得到SA ⊥AB ，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，可得∠CDM 为S −AB −C 的二面角的平面角，得到∠MDC =60°，设三角形ABC 的外心为O′，则CO′=√3=BO′，DO′=√32，找出球心位置，进一步计算半径以及表面积． 本题考查了几何体的外接球表面积的求法；关键是正确找出球心的位置，通过勾股定理计算半径，求得表面积．17.【答案】解：(1)f(x)=sin 2x 4−2cos 2x 4+√3sin x 4cos x4，x ∈R ．=1−cos x 22−(1+cos x 2)+√32sin x 2 =√32sin x 2−32cos x 2−12 =√3(1sin x −√3cos x )−1=√3sin(x2−π3)−12， 由2kπ+π2≤x2−π3≤2kπ+3π2，(k ∈Z) 可得4kπ+5π3≤x ≤4kπ+11π3，(k ∈Z)所以f(x)的单调减区间为[4kπ+5π3,4kπ+11π3]，(k ∈Z)，(2)由(1)可知：f(x)=√3sin(x2−π3)−12， 因为f(B)=−12，所以√3sin(B2−π3)−12=−12， sin(B2−π3)=0， 因为0<B <π， 所以−π3<B2−π3<π6， 所以B2−π3=0， 所以B =2π3，又b =√3，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 可得，3=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac (a +c)2−3=ac ≤(a+c 2)2，当且仅当a =c 时，等号成立，所以(a +c)2≤4， 即a +c ≤2， 又a +c >b ，所以√3<a +c ≤2，所以△ABC 周长a +b +c 的取值范围为(2√3,2+√3].【解析】(1)f(x)=√3sin(x2−π3)−12，由2kπ+π2≤x2−π3≤2kπ+3π2，(k ∈Z)，解得x的取值范围，即可得出答案．(2)由(1)可知：f(x)=√3sin(x2−π3)−12，因为f(B)=−12，解得B =2π3，又b =√3，由余弦定理可得，3=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac ，即(a +c)2−3=ac ≤(a+c 2)2，当且仅当a =c 时，等号成立，得a +c ≤2，进而得△ABC 周长a +b +c 的取值范围．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题． 18.【答案】解：(1)取MB 的中点P ，连接DP ，PN ，∵N 为MC 的中点，P 为MB 的中点，∴PN//BC ，而DE//BC ，∴PN//DE ，则四边形NEDP 为平面四边形， 又∵EN//平面MBD ，EN ⊂平面NEDP ，平面NEDP ∩平面MBD =DP ，∴EN//DP ，即四边形NEDP 为平行四边形， ∴NP//DE 且NP =DE ，即DE =12BC ， ∴λ=12；(2)取DE 的中点O ，∵平面MDE ⊥平面DECB ，且MO ⊥DE ， ∴MO ⊥平面DECB ．如图所示，建立空间直角坐标系O −xyz ，不妨设BC =2． 则M(0,0，√3λ)，D(λ,0，0)，B(1,√3(1−λ),0)， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,0,−√3λ)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,√3(1−λ),0)， 设平面BMD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则 {m ⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx −√3λz =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)x +√3(1−λ)y =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)．又平面EMD 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−1√5=−√55． 即二面角B −MD −E 的大小与λ无关．又二面角B −MD −E 为钝二面角，则二面角B −MD −E 的余弦值为−√55，正弦值为2√55，正切值为−2．【解析】(1)取MB 的中点P ，连接DP ，PN ，证明四边形NEDP 为平面四边形，再由EN//平面MBD ，可得EN//DP ，即四边形NEDP 为平行四边形，从而得到λ值；(2)取DE 的中点O ，由平面MDE ⊥平面DECB ，且MO ⊥DE ，可得MO ⊥平面DECB ，建立空间直角坐标系O −xyz ，不妨设BC =2，分别求出平面BMD 的一个法向量与平面EMD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值为定值，可知二面角B −MD −E 的大小与λ无关，进一步求其正切值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：(1)由△F 2AB 的周长为8，得4a =8，即a =2． 由点P(1,32)在椭圆C 上，∴1a 2+94b 2=1，即b =√3． ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由椭圆C 的方程，可得c =1，则F 1 (−1,0)，当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立{y=k(x+1)x24+y23=1，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2．设x轴上存在定点M(m,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，则k MA+k MB=y1x1−m +y2x2−m=0，即y1(x2−m)+y2(x1−m)(x1−m)(x2−m)=0，即y1x2−my1+x1y2−my2=0．∴k[2x1x2+(1−m)(x1+x2)−2m]=0．∴k[8(k2−3)3+4k2−8(1−m)k23+4k2−2m]=0，整理得：k⋅−24−6m3+4k2=0，则m=−4．∴x轴上存在定点M(−4,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立．【解析】(1)由三角形周长求得a，把点P的坐标代入椭圆方程求得b值，则椭圆方程可求；(2)由椭圆C的方程，可得F1(−1,0)，当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合k MA+k MB=y1x1−m +y2x2−m=0求得m值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由P(X=0)=m100×m100=0.01，得m=10，再由m+10+40+n=100，得n=40；(2)根据题意，随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4，5，6．∵以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．∴P(X=0)=0.1×0.1=0.01，P(X=1)=2×0.1×0.1=0.02，P(X=2)=0.1×0.1+2×0.1×0.4=0.09，P(X=3)=2×0.1×0.4+2×0.1×0.4=0.16，P(X=4)=0.4×0.4+2×0.1×0.4=0.24，P(X=5)=2×0.4×0.4=0.32，P(X= 6)=0.4×0.4=0.16．n若采用方案一，则随机变量Y的分布列为：1的期望为：10.28+(8600+a)×0.24+(8600+2a)×0.32+(8600+3a)×0.16=8600+1.36a元．若采用方案二，则随机变量Y2的分布列为：随机变量2的期望为：E(Y 2)=10000×0.52+11000×0.32+12000×0.16=10640元． 令8600+1.36a =10640，得a =1500元，①若a <1500，则方案2的费用高，应选择方案一．②若a =1500，则两种方案费用一样多，可以任选一个方案． ③若a >1500，则方案一的费用高，应选择方案二．【解析】(1)由P(X =0)=0.01求得m ，再由和为100求得n 值；(2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列；(3)选择延保方案一，求出所需费用Y 1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y 2元的分布列和数学期望，然后对a 分类讨论可得该医院选择哪种延保方案更合算．本题考查随机变量的分布列与期望，考查计算能力，正确理解题意是关键，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意知，f′(x)=2me 2x −2(x 2+3x +1)e x =2e 2x (m −x2+3x+1e x)，令g(x)=x 2+3x+1e x，则g′(x)=(2x+3)e x −(x 2+3x+1)e x(e x )2=−x 2−x+2e x=−(x+2)(x−1)e x，令g′(x)>0，则−2<x <1；令g′(x)<0，则x <−2或x >1，∴函数g(x)在(−∞,−2)单调递减，在(−2,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减， ∵函数f(x)恰有两个极值点， ∴f′(x)有两个不同的变号零点，又当x →−∞时，g(x)→+∞，g(−2)=−e 2,g(1)=5e ，当x →+∞时，g(x)→0， ∴−e 2<m ≤0； (2)证明：g(x)=0，则x =−3±√52，不妨设x 1<x 2，由(1)知，−3−√52≤x 1<−2<x 2≤−3+√52，令ℎ(x)=g(x)−g(−4−x),−2<x ≤−3+√52，则ℎ′(x)=g′(x)+g′(−4−x)=−(x+2)(x−1)e x+−(−2−x)(−5−x)e −4−x，即ℎ′(x)=−(x +2)[(x −1)e −x +(x +5)e x+4]<−(x +2)[(x −1)e x+4+(x +5)e x+4]=−2(x +2)2e x+4<0， ∴y =ℎ(x)在(−2,−3+√52]上单调递减，当x ∈(−2,−3+√52]时，有ℎ(x)<ℎ(−2)=0，即g(x)<g(−4−x)，令x =x 2，则g(x 2)<g(−4−x 2)， 又∵g(x 2)=g(x 1)， ∴g(x 1)<g(−4−x 2)，∵x 1，4−x 2∈(−∞,2)，且y =g(x)在(−∞,2)上单调递减， ∴x 1>−4−x 2，即x 1+x 2>−4， ∴0<x 1x 2<[(−x 1)+(−x 2)2]2<4，由(1)知，me x 1=x 12+3x 1+1,me x 2=x 22+3x 2+1，两式相减得，m(e x 2−e x 1)=x 22−x 12+3x 2−3x 1=(x 2−x 1)(x 2+x 1+3)，∴x 2+x 1+3=m(e x 2−e x 1)x 2−x 1≤0，即x 2+x 1≤−3，∴3<x 1x 2−(x 1+x 2)<8．【解析】(1)求导，并令g(x)=x 2+3x+1e x，利用导数可知函数g(x)在(−∞,−2)单调递减，在(−2,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，结合题意可知−e 2<m ≤0；(2)由(1)可知−3−√52≤x 1<−2<x 2≤−3+√52，构造函数ℎ(x)=g(x)−g(−4−x),−2<x ≤−3+√52，求导后可知y =ℎ(x)在(−2,−3+√52]上单调递减，则可得x 1+x 2>−4，进而得到0<x 1x 2<[(−x 1)+(−x 2)2]2<4，而me x 1=x 12+3x 1+1,me x 2=x 22+3x 2+1，两式相减可得到x 2+x 1≤−3，进而得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =√2(sinα−cosα)y =√22(sinα+cosα)(α为参数)，两式平方得x 24+y 2=1：直线l 的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+m =0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2整理得：x +2y +m =0．(2)设曲线C 上的任一点的坐标P(2cosθ,sinθ)，所以点P 到直线x +2y +m =0的距离d =|2√2sin(θ+π4)−m|√12+22，①当m >0时，d max =√2+m|√5=4√105解得：m =2√2 ②m <0时，d max =√2−m|5=4√105，解得：m =−6√2．故：m 的值为2√2或−6√2．【解析】(1)直接利用转换关系，对参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −1|+|x −52|={−3x +72,x <12x +32,12≤x ≤523x −72,x >52．当x<12时，不等式f(x)≤192化为−3x+72≤192，解得x≥−2，∴−2≤x<12；当12≤x≤52时，不等式f(x)≤192化为x+32≤192，解得x≤8，∴12≤x≤52；当x>52时，不等式f(x)≤192化为3x−72≤192，解得x≤13，∴52<x≤13．∴不等式f(x)≤192的解集为[−2,13]；(2)作出f(x)的图象如图：由图可知，f(x)的最小值为M=2，则a+b+c=2，又a，b，c均为正数，∴1a+1b+1c=12(a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc)=12[3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)]≥12(3+2√ba⋅ab+2√ca⋅ac+2√cb⋅bc)=92．当且仅当a=b=c时上式取等号．∴1a +1b+1c的最小值为92．【解析】(1)写出分段函数解析式，然后分类求解，取并集得答案；(2)画出分段函数图象，求出f(x)的最小值，然后利用基本不等式求最值．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。

2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学（文科）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足121ii z-=+，则z =（ ）ABCD 【答案】C【解析】由已知得：121i i z -=+，i i z +-=121i 2321+-=，z =2104941=+ 【方法点评】此题考查复数的除法，以及复数的模，基础题2．若函数()f x =与()()ln 1g x x =+的定义域分别为M 和N ，则MN =（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<≤D ．{}11x x -≤≤【答案】A【解析】由已知得：M ()1-，∞=，N ()∞+=，1-，M N ={}11x x -<<【方法点评】此题考查函数的定义域和集合的交集，基础题3．已知0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 0.2b =，b c a =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】由已知得：0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,0∈,13log 0.2b =0<,b c a =1>,所以c a b <<【方法点评】此题考查指数与对数比较大小，需要熟练掌握指数对数图像与性质4．已知等差数列{}n a 的前3项和为30，后3项和为90，且前n 项和为200，则n =（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【解析】由已知得：4039030n 1=+=+a a ，()10,200240===n n S n【方法点评】此题考查数列的公式，基础题5．函数()1ln 1xf x x-=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由已知得：求定义域11≠-≠x x 或，取特殊值，当21=x 时，03ln )(<-=x f ，排除BC ；当2-=x 时，03ln )(>=x f ，排除A ；正确答案是D 【方法点评】此题考查函数图像的性质6．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知145a =，112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤，则2020S =（ ）A ．1009B ．50485 C ．1010D ．50545【答案】C【解析】由已知得： (5)4,52,51,53,5454321=====a a a a a 4=T ，2020S =10102505=⨯7．已知()0,πα∈，且3sin 5α=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．7C ．17-或7-D ．17或7 【答案】D【解析】由已知得：已知()0,πα∈，且3sin 5α=，43tan ±=α， πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭17或7【方法点评】此题考查三角函数和差公式，基础题8．若非零向量a 、b 满足a b =且()2a b b +⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】C【解析】由已知得：()2a b b +⊥，()02=+b b a 3201cos 2πθθ==+⇒， 【方法点评】此题考查向量的运算，涉及向量的垂直，基础题9．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为自豪的发现．现有一底面半径与高的比值为1:2的圆柱，则该圆柱的体积与其内切球的体积之比为（ ）A ．43B ．32C ．2D ．83【答案】B【解析】由已知得：设地面所在圆的半径为r,h=2r,342ππ==球圆柱，V V ,23：：球圆柱=V V 【方法点评】此题考查圆柱的内切球，涉及空间想象和思维能力，对空间思维能力有一定的要求。

鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2018年秋季期中联考高三数学（理科）试卷考试时间：2018年11月5日上午8:00—10:00试卷满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U R =，集合2{|lg(1)},{|20},)U A x y x B x x x C A B ==-=-≤ 则(=（）A ．(,1)-∞B ．(,2]-∞C ．(,2)-∞D ．(,1]-∞2．若命题1:(0,2),ln 2p x x x ∃∈+<则命题:p ⌝（）A ．1(0,2),ln 2x x x ∀∉+≥B ．1(0,2),ln 2x x x ∀∈+<C ．1(0,2),ln 2x x x∀∈+≥D ．1(0,2),ln 2x x x∃∈+≥3．下列说法正确的是（）A ．若11a b≤，则a b ≥B ．若22a b ≥，则a b ≥C ．若,0a b c ><，则a c b c⋅>⋅D>，则a b>4．已知奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=,且[0,1]x ∈时()(1)f x x x =-,则7()2f -=（）A ．494B ．14-C ．494-D ．145．已知条件:14p x -<<，条件:(1)()0q x x a +-<，若条件p 是条件q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．(4,)+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,4)-∞6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11221,(1)1n n n a a a a ++==+-=，则10S =（）A ．19B ．17C ．13D ．187．已知1125,2xym x y==+=，则m =（）A ．110B ．100CD ．11008．已知函数()2sin()1(0,)2f x x πωϕωϕ=++><，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，若()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（）A ．(,)24ππ--B ．(0,4πC ．(,42ππD ．[,)42ππ9．ABC ∆中,1,2AB AC ==，1AB AC =- ，若A ∠平分线交BC 于M 则AM BC =（）A ．53B ．13C ．23D ．13-10.幻方是中国古代的填数游戏．*(,3)n n N n ∈≥阶幻方指的是连续2n个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一角线上的n 个数的和都相等。

C鄂东南教改联盟学校2015年秋季期中联考高三数学（理科）答案一、选择题：1、C2、A3、C4、B5、A6、C7、A8、C9、B 10、D 11、C 12、B 11、如图，易知BCD ∆的面积最大 12、 解：令2)()(x x f x F -=，0)()()()()(22=---+-=-+x x f x x f x F x F∴函数)(x F 为奇函数∵(0,)x ∈+∞时，02)()(,,>-=x x f x F ，函数)(x F 在(0,)x ∈+∞为增函数又由题可知，0)0(,0)0(=∴=F f ，所以函数)(x F 在R 上为增函数由)(44)2(m f m m f ≥-+-可知22)()2()2(m m f m m f -≥---即)()2(m F m F ≥-所以12≤≥-m m m 即有二、填空题：13、2 14、 5 15、 73 16、78-≤a 三、解答题（17—21为必做题）17. 解：由2122(3)n n n S S S n --+=+≥知1122n n n n S S S S ----=-+ ……………………………2分 1122(3)n n n n a a a a n --∴=+∴-=≥ ……………………………4分又212a a -=故12(2)n n a a n --=≥{}n a ∴为等差数列 ……………………………6分（1） 由（1）知，21213n n nn a n b +=+∴=()1221113521333n n n T b b b n ∴=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ①231111135(21)3333n n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ② ………8分 ①-②得：2312111113222(21)333333n n n T n +∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯ 1111(1)211411332(21)(21)133333313n n n n n T n n ++⎛⎫- ⎪∴=+-+⨯=--+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭ ………………10分 12(2)3n n T n ∴=-+⋅ …………………………12分18、解：（1）将sin y x =的图像向左平移6π个单位长度可得sin()6y x π=+的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得1sin()26y x π=+的图像，故1()sin()26f x x π=+ …………6分（2）令13282244226233k x k k x k πππππππππ+≤+≤+∴+≤≤+ 又[]0,3x π∈20,()3x f x π⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦单调递增，28,()33x f x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，8,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 单调递增，max min ()1,()1f x f x ==-0x =时12m =，3x π=时2m =- 故方程()f x m =有唯一实数根的m的取值范围为{}11,122m ⎛⎫∈-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭…………12分19.解：（1）法1：化简()f x 得3()()f x x a =-…………1分由()f x 的图像关于点(1,0)成中心对称，则(1)(1)0f x f x ++-=…………2分即()(2)0f x f x +-=代入()f x 得()()3320x a x a -+--=整理得：()3236(1)12(1)20a x a x a a -+-+--=对x R ∈恒成立则()33366012(1)01()1(2)0a a a f x x a a -=⎧⎪-=∴=∴=-⎨⎪--=⎩…………6分法2：3()f x x =是奇函数，3()()()f x x a a R =-∈是将()f x 的图像向左（0a <）或向右（0a >）平移a 个单位，由题意平移后的图像关于点(1,0)成中心对称，故1a = （2）232()()2(1)2g x f x x x x =-=--2121()31030,33g x x x x x '∴=-+=∴==又[]1,1x ∈-则11,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x 递增，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 递减，故max 114()()327g x g ==-(1)10,(1)2()min 10g g g x -=-=-∴=-…………10分综上，max 14()27g x =-min ()10g x =-…………12分20.解法一：（１）如图：,,AC ACBD O =连设1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连 ……1分1111//,,PC BDD B BDD B APC OG =因为面面面故//OG PC .所以122mOG PC ==.又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面　……3分 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷（答案在最后）命题学校考试时间：2024年11月4日下午15：00-17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}2log 1B x x =≤，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1,2 C.{}0,1 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，再根据集合的交集运算求解.【详解】由2log 1x ≤，解得02x <≤，{}02B x x ∴=<≤，又{}0,1,2,3A =，{}1,2A B ∴= .故选：B.2.已知()1cos 2αβ+=，1cos cos 3αβ=，则tan tan αβ=（）A.2-B.2C.12-D.12【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出sin sin αβ即可得解.【详解】由()1cos 2αβ+=，得2si c n i 1o n s cos s αβαβ-=，而1cos cos 3αβ=，因此1sin sin 6αβ=-，所以2sin si 1tan tan cos cos n αααβββ==-.故选：C3.设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解.【详解】由10b a>>可得0,0,1a b ab >><，由1a b <可得1100ab ab b b<⎧-<⇒⎨>⎩或10ab b >⎧⎨<⎩，故10b a >>能得到1a b <，同时1a b <也无法推出10b a >>，故“10b a>>”是“1a b <”的充分不必要条件，故选：A.4.已知函数()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（）A.10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,54⎛⎫⎪⎝⎭C.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,4【答案】B 【解析】【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数()f x 在哪个区间存在零点.【详解】因为151,4xy y x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在()0,∞+上均单调递减，则()1514xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，对A ，可得()01510010104f ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭.因为幂函数15y x =在()0,∞+上单调递增，所以1155111(()()0545f =->，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，故A 错误；对B ，因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，则1154111()(()0444f =-<，则11()()054f f <，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，故()f x 在11,54⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，故B 正确；对C ，因为13(1)1044f =-=-<，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，故C 错误；对D ,计算114455111(4)(4(0)()444f --=-=<，且函数()f x 在()0,∞+上连续不间断，则()f x 在()1,4上无零点，故C 错误；故选：B.5.在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，点F 满足2DF FE =，则BF =（）A.1126BA BC +B.13BA BC+C.2133BA BC +D.1123BA BC +【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.【详解】依题意，12DE BC = ，而2DF FE =，所以12112323BF BD DF BA DE BA BC =+=+=+故选：D6.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上,B C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在,B C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60o 和20 ，且100m BC =，则该球体建筑物的高度约为（）()cos100.985≈A.45.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合求得3,tan 30tan1033OA RAB R AC ====︒︒，进而根据3100tan10RBC R ==︒即可求解.【详解】如图，设球的半径为R，则3,tan 30tan1033OA RAB R AC ====︒︒，所以由题3100tan10RBC ==︒，又cos100.985︒≈，故1001001cos10cos103sin1013332cos10sin10tan10sin1022R ===︒⎛⎫︒-︒-︒-︒ ⎪︒︒⎝⎭()()100sin10100sin10100sin10100sin102cos60cos10sin 60sin102cos 60102cos702sin 20︒︒︒︒====︒︒-︒︒︒+︒︒︒100sin10252522sin10cos10cos100.985︒==≈⨯︒︒︒，所以50250.760.985R =≈，即该球体建筑物的高度约为50.76m .故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是依据已知条件数形结合得,tan 30tan1033OA RAB AC ====︒︒，进而由100tan10RBC ==︒求出球的半径R 得解.7.已知函数()πsin π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,20x ∈时，把()f x 的图象与直线12y =的所有交点的横坐标限依次记为123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，记它们的和为n S ，则n S =（）A.11603B.5803C.5603D.2803【答案】B 【解析】【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可.【详解】解：由π1sin π62x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πππ2π66x k -=+或52ππ6k +，k ∈Z 解得123x k =+或21k +，k ∈Z 所以113a =，21a =，373a =，43a =，…，19553a =，2019a =所以()()()201155101191017135528058021351910033333233S ⨯+⨯+⨯⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=+= ⎪⎝⎭，故B 正确.故选：B8.已知定义在R 上的函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，且满足()()()422f x f x f ++=-，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，则下述结论正确的是（）（注：ln3 1.099≈）A.()20240f =B.()7102f f ⎛⎫+>⎪⎝⎭C.()()232log 48f f >D.()14sin1ln9f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由条件证明()()8f x f x =+，函数()y f x =的对称中心为()2,0，对于A ，结合单调性证明()()02f f >，再证明()()20240f f =，由此判断结论；对于B ，结合对称性可得()()130f f +=，结合单调性可得()732f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，由此判断结论；对于C ，结合性质()()8f x f x =+，可得()()222log 48log 9f f =，再由单调性比较大小判断结论；对于D ，由条件可得1ln2.1989≈-，2.1984sin14<<，再结合单调性比较大小判断结论.【详解】解：()()()422f x f x f ++=-，故()()()8422f x f x f +++=-所以()()8f x f x =+，函数()2y f x =-的对称中心为()4,0，函数()2y f x =-往左平移2个单位得到函数()y f x =，故函数()y f x =的对称中心为()2,0，所以()()220f x f x ++-=，取0x =可得，()20f =，对于A ，()f x 在区间[]0,2上单调递减，故()()020f f >=，且()()8f x f x =+，所以()()202400f f =>，故A 错误：对于B ，()f x 在区间[]0,2上单调递减，对称中心为()2,0，故()()130f f +=，且()f x 在区间[]2,4上单调递减，则()732f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，()7102f f ⎛⎫∴+< ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，结合()f x 在区间[]2,4上单调递减，故()()()()2222log 482log 488log 93f f f f =-=<，故C 正确：对于D ，因为()()()422f x f x f ++=-，取2x =-可得()()()2222f f f +-=-，又()20f =，所以()()220f f -==，所以()()40f x f x ++=，因为函数()y f x =的对称中心为()2,0，故()()40f x f x ++-=，所以()()f x f x -=因为1ln2ln32 1.099 2.1989=-≈-⨯=-，故()()1ln 2.198 2.1989f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且ππ4sin4sin14sin 43<<，4sin1∴<< 2.1984sin14<<，结合()f x 在区间[]2,4上单调递减，故()14sin1ln 9f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设四个复数13i z =+，()2i 13i z =+，32z =-+，()43i 0z a a =->在复平面xOy 内的对应点1Z 、2Z 、3Z 、4Z 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）A.1z 与2z 互为共轭复数B.点3Z 在第二象限C.复数12z z 的虚部是35- D.14OZ OZ ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】首先需要求出这四个复数在复平面内的坐标，根据共轭复数概念，几何意义，除法，虚部概念来判断前面ABC 选项，再根据四个点在同一个圆上这一条件，可利用圆的方程相关知识来判断D 选项.【详解】对于13i z =+，其对应点1(3,1)Z .对于22i(13i)i 3i 3i z =+=+=-+，其对应点2(3,1)Z -.对于32z =-+，其对应点3(Z -.对于43i(0)z a a =->，其对应点4(,3)Z a -.对于选项A,13i z =+，23=-+z i ，它们实部不同，不是共轭复数，所以选项A 错误.对于选项B，对于3(Z -，所以点3Z 在第二象限，选项B 正确.对于选项C,13i z =+，23=-+z i ，21223i (3i)(3i)93i 3i i 86i 43i 3i (3i)(3i)9i 1055z z ++--------=====---+-+---.其虚部是35-，选项C 正确.对于选项D ，1(3,1)Z ，2(3,1)Z -，3(Z -，4(,3)Z a -在同一个圆上.设圆的方程为222()()x m y n r -+-=.将1(3,1)Z 代入方程得222(3)(1)m n r -+-=，即2226210m m n n r -+-+=①.将2(3,1)Z -代入方程得222(3)(1)m n r --+-=，即2226210m m n n r ++-+=②.将3(Z -代入方程得222(2))m n r --+=，即222410m m n r ++-+=③.用②-①可得：2222226210(6,210)m m n n m m n n r r ++-+--+-+=-即120,m =解得0m =.将0m =代入①和③，①变为22210n n r -+=，③变为2210n r -+=.用③-①可得：222210(210)n n n r r -+--+=-，解得0n =.将0,0m n ==代入222(3)(1)m n r -+-=，可得222319110r =+=+=.所以圆的方程为2210x y +=.将4(,3)Z a -代入2210x y +=，得到22(3)10a +-=，即2910a +=，21(0)a a =>，解得1a =.1(3,1)OZ = ，4(1,3)OZ =-.则140OZ OZ ⋅=，即14OZ OZ ⊥ ，所以选项D 正确.故选：BCD.10.已知两个正数a ，b 满足2a b +=，则下述结论正确的是（）A.11a b -=-B.224a b +≥ C.1lg lga b≥ D.241b a-<-【答案】ABD 【解析】【分析】变形等式判断A ；利用基本不等式判断B ；举例说明判断C ；作差与0比较大小判断D.【详解】对于A ，由2a b +=，得11a b -=-，因此11a b -=-，A 正确；对于B ，由2a b +=，得224a b +≥==，当且仅当1a b ==时取等号，B 正确；对于C ，取31,22a b ==，满足2a b +=，而31lg lg lg 2lg 2a b =<=，C 错误；对于D ，由2a b +=，得2,02a b b =-<<，则224411(2)b b a b -+=-+-22222(44)(44)4(3)0(2)(2)b b b b b b b b b -++-+--==<--，D 正确.故选：ABD11.已知函数3,0(),0x x f x ax x x -≤⎧=⎨+>⎩，若不等式(1)()f x f x -≥对任意x ∈R 都成立，则实数a 的值可以为（）A.3227-B.1627-C.2-D.1-【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，按0,0a a ≥<分类作出函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，结合图象可得当0a <，01x <≤，31ax x x +≤-+成立时，(1)()f x f x -≥恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解.【详解】依题意，函数(1)=-y f x 的图象恒在()y f x =的图象及上方，作函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，当0a ≥时，如上左图所示，观察图知(1)()f x f x -≥在 上不恒成立，不合题意；当0a <时，如上右图所示，观察图知，当且仅当01x <≤，31ax x x +≤-+成立时，(1)()f x f x -≥恒成立，即当01x <≤时，312x a x -≤，令312()x g x x -=，01x <≤，求导得443()x g x x -'=，当304x <<时，()0g x '<，当314x <≤时，()0g x '>，函数()g x 在3(0,)4上递减，在3(,1]4上递增，因此min 73()32()42g x g =-=，所以实数a 的取值范围是3227a ≤-，a 的值可以为AC.故选：AC【点睛】关键点睛：分类作出函数()y f x =和(1)=-y f x 的图象，结合图象确定求解条件是关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()ππsin sin 063f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π2，则ω的值为______.【答案】2【解析】【分析】k 利诱导公式化简，结合二倍角正弦和周期公式计算即可.【详解】解：()πππsin sin 626f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1πsin cos sin 26623x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2ππ22T ω==，2ω=.故答案为：2.13.已知两个单位向量a ，b 满足1a b -=r r ，则向量2a b - 和a 的夹角为______.【答案】π6【解析】【分析】由条件结合数量积运算律可求a b ⋅，再求()2a b a -⋅ ，2a b - ，根据向量夹角公式求结论.【详解】因为向量a ，b为单位向量，所以1a = ，1b = ，又1a b -=r r ，所以2221a b a b +-⋅=，所以12a b ⋅= ，所以()23222a b a a a b -⋅=-⋅= ，2a b -==所以()322cos 2,22a b a a b a a b a-⋅-==-⋅，又[]2,0,πa b a -∈ ，所以π2,6a b a -= .故答案为：π6.14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是以a 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数t ，使得数列也成等差数列，则实数a 的取值范围是______.【答案】1[,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出nS ，再利用等差数列通项的特征分析求解即得.【详解】依题意，(1)2n n n S an -=+=由数列为等差数列，得2212()2a t -=，21||22a n -=+是n的一次式而对任意正整数n ，2102a n -+≤不恒成立，因此2102a n -+≥对n *∈N 恒成立，即21102a -+≥，解得12a ≥-，所以实数a 的取值范围是1[,)2-+∞.故答案为：1[,)2-+∞【点睛】关键点点睛：由为等差数列，探求得2212()2a t -=是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，且22a -，34a -，46a -成等比数列.（1）求n a 和n S ；（2）若2n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T .【答案】（1）2n a n =；()1n S n n =+（2）204021T =【解析】【分析】（1）设出等差数列的公差d ，由给定条件列出方程求出d ，利用等差数列前n 项和公式求解即可.（2）由（1）的结论求出n b ，利用裂项相消法求和即得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()21n a n d =+-，由2324(4)(2)(6)a a a -=--，得2(22)(34)d d d -=-，即2440d d -+=，解得2=d ，所以2n a n =，()()112n n n a a S n n +==+.【小问2详解】由（1）知，()1n S n n =+，又2n n b S =，则2112()(1)1n b n n n n ==-++因此1111111112[()()()(2(112233411n T n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-++，所以201402(12121T =-=.16.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，已知123S S S -+=，1sin 3B =.（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b 【答案】（1）24；（2）22.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合正三角形面积可得2224a c b +-=，再利用余弦定理及三角形面积公式计算即得.（2）由（1）中信息，利用正弦定理求得sin b B =即可.【小问1详解】在ABC V 中，依题意，221133224S a a =⋅⋅=，2234S b =，2334S c =，则222123444S S S a b c -+=-+=，即2224a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 2ac B =，cos 0B >，由1sin 3B =，得22cos 3B ==，则132cos 2ac B ==，所以ABC V 的面积12sin 24ABC S ac B ==△.【小问2详解】由正弦定理sin sin sin b a c B A C ==，得223292sin sin sin sin sin 223b ac ac B A C A C =⋅===，则sin b B =，所以sin 22b B ==.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点 ，将射线OA 按逆时针方向旋转π2后于单位圆O 交于点 ，()12f x x α=-，()12g xx α=⋅.（1）若π[0,]2α∈，求()fα的取值范围；（2）在（1）的条件下，当函数()()()22m F g mf ααα=+-的最大值是152-时，求m 的值.【答案】（1）；（2）3m =-或4m =+.【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出12,x x ，进而求出()f α，利用正弦函数的性质求出范围.（2）利用（1）的信息，求出()F α，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即得.【小问1详解】由三角函数定义，得1cos x α=，2πcos(2x α=+，12ππ()cos cos()cos sin )24f x x αααααα=-=-+=+=+，由π[0,2α∈，得ππ3π444α≤+≤，则2πsin(124α≤+≤，因此π1)4α≤+≤，()f α的取值范围是.【小问2详解】由（1）及已知，得2()sin cos (sin cos )2m F m ααααα=-⋅++-，π[0,2α∈，令πsin cos )[1,4t ααα+=+=∈222111()())2222t m F G t mt t m α-==-+-=--+，t ∈，①当1m ≤时，()G t 在上单调递减，2max 15()(1)22m G t G m ==-=-，则3m =-；②当1m <<时，()G t 在[1,]m 上单调递增，在[m 上单调递减，max 115()()22G t G m ==≠-，不符合题意；③当m ≥()G t 在单调递增，2max115()222m G t G ==-+-=-，则4m =+，所以3m =-或4m =+.18.已知2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点.（1）求c 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，求k 的取值范围.【答案】（1）2c =；（2）(,1](0,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数()f x '，由(2)0f '=求出c 并验证即可得解.（2）由（1）求出()f x 在(0,)+∞上的最小值，再按0,0,0k k k >=<分类，并借助导数讨论()g x 值即可求解.【小问1详解】函数21()()ef x x x c =--的定义域为R ，求导得()()(3)f x x c x c '=--，依题意，(2)(2)(6)0f c c '=--=，解得2c =或6c =，当2c =时，()(2)(32)f x x x '=--，当23x <或2x >时，()0f x '>，当223x <<时，()0f x '<，因此2x =为函数21()()ef x x x c =--的极小值点，符合题意，则2c =；当6c =时，()(6)(36)f x x x '=--，当2x <或6x >时，()0f x '>，当26x <<时，()0f x '<，因此2x =为函数21()()ef x x x c =--的极大值点，不符合题意，所以2c =.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在2(0,)3+∞上单调递增，在2(,2)3上单调递减，因此min 1()(2)ef x f ==-，①当0k >时，对1(0,)x ∀∈+∞，21x k ∃=-，使得121)11()(e 1(ek g x g f x k =-=-<-<-≤，因此12()()0f x g x -≥，符合题意，则0k >；②当0k =时，()0g x =，取12x =，对2x ∀∈R ，有12()()0f x g x -<，不符合题意；③当0k <时，函数()ex kxg x =，求导得()(1)e x g x k x -'=-，当1x <时，()0g x '<，()g x 在(,1)-∞上单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，则()min ()1ek g x g ==，若对1(0,)x ∀∈+∞，2x ∃∈R ，使得12()()0f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-，所以k 的取值范围为(,1](0,)-∞-⋃+∞.19.已知正实数构成的集合{}()12,,,2,n A a a a n n *=⋅⋅⋅≥∈N（1）若定义{},i j i j A A a a a a A +=+∈，当集合A A +中的元素恰有()12n n +个数时，称集合A 具有性质P .①当{}1,2,3A =，{}1,2,4B =时，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；②设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，10a >且公比为2，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.（2）若定义{},,i j i j A A a a a a A i j +=+∈≠且，当集合A A +中的元素恰有()12n n -个数时，称集合A具有性质Ω.设集合A 具有性质Ω且A A +中的所有元素能构成等差数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ，理由见解析；②集合A 具有性质P ，理由见解析；（2）存在，最大值为4.【解析】【分析】（1）①写出,A A B B ++中的所有元素，利用定义判断即可；②求出等比数列的通项，证明该数列任意两项的和不等，由此求出A A +中的元素个数即可判断.（2）根据新定义得在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ ，得到3221n n a a a a --+=+，由此分类讨论，可确定n 的取值，可得答案.【小问1详解】①集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ：{}2,3,4,5,6A A +=，A A +中元素个数()33152+=≠不具有性质P ；{}2,3,4,5,6,8B B +=，B B +中元素个数()33162+==具有性质P .②若集合A 具有性质P ，设1112(0)n n a a a -=>，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，则有2221j i k i l i ---=+-，等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则i j l k a a a a +=+不成立，因此A A +中元素个数()121C C 2n n n n +=+=，所以集合A 具有性质P .【小问2详解】不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，则在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ ，又A A +中的所有元素能构成等差数列，设公差为d ，则()()()()131212n n n n d a a a a a a a a --=+-+=+-+，即3212n n d a a a a --=-=-，于是3221n n a a a a --+=+，当5n >时，2321,,,n n a a a a --是集合A 中互不相同的4项，从而A A +中元素个数小于(1)2n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾，当5n =时，3242a a a =+，即234,,a a a 成等差数列，且公差也为d ，则A A +中的元素从小到大的前三项为121314,,a a a a a a +++，且第四项只能是15a a +或23a a +，（i ）若第四项为15a a +，则1415a a d a a ++=+，从而5432a a d a a -==-，于是5234a a a a +=+，A A +中元素个数小于(1)2n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾；（ii ）若第四项为23a a +，则1423a a d a a ++=+，有122a d a +=，而()4512()9a a a a d +-+=，即517a a d =+，于是1512342723a a a d a d a a +=+=+=+，因此A A +中元素个数小于()12n n -，与集合A 具有性质Ω矛盾，则4n ≤，取{1,3,4,5}A =，{}4,5,6,7,8,9A A +=，则集合A 具有性质Ω，所以集合A 中的元素个数存在最大值，最大值为4.【点睛】关键点睛：本题是关于集合新定义类型题目，解答的关键是要理解新定义，并依据该定义去解决问题.。

2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学试卷考试时间：2023年11月1日下午15：00－17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）4． 已知G 为ABC ∆的重心，32π=∠A ，2-=⋅AC AB ，则||AG 的最小值为（ ）A ．81B ．94C ．91D ．32A ．m35B ．m50C ．m60D ．m906． 将函数()cos f x x =的图像先向右平移3π个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在()0，π-上单调递增，则ω的取值范围是（ ）7． 函数b x x a x x f +--+=23)1()(为R 上的奇函数，过点)1,21(-P 作曲线)(x f y =的切线，可作切线条数为（ ）A ．B 1．C 2．D 3．不确定8． 在ABC ∆中，AC AB 2=，且ABC ∆的面积为1，则BC 的最小值为（）A ．2B ．C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.10．)(x f 是定义在R 上的连续可导函数，)(x f '为其导函数，下列说法正确的有（）A ．若)()(x f x f =-，则)()(x f x f '-=-'B ．若)(x f '为偶函数，则)(x f 为奇函数C ．若)(x f '是周期为）（0≠T T 的函数，则)(x f 也是周期为T 的函数D ．已知x x f x f 2)()(=--且0)1()1(=--+x f x f ，则1)1()0(='+'f f 11．已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<<=144),36cos(440log )(21x x x x x f ππ，，若方程m x f =)(有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x ，且4321x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．20<<m B ．2121=x x C ．)55,48(43∈x x D ．)5,1(31∈x x 12．正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，若122+=n n n a S a ，nn n S S b 22log +=，数列的}{n b 前n 项和为n T ，下面结论正确的有（ ）A ．n n a a >+1B ．}{2n S 是等差数列C ．nS n 22ln ≥+D ．满足2≥n T 的最小正整数n 为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量),2(λλ=a ,），（1λ=b ，若向量a 与向量b 共线，则实数λ的值为 ．14．已知函数122)193(log )(22+-++=x x x x f ，若2)2()1(-≤-+-a f a f ，则实数a 的解集为．15．已知数列}{n a 的首项531=a ，且1231+=+n n n a a a ，202411121<++na a a ，则满足条件的最大整数=n．16．已知实数0>a ，对2>∀x ，)2ln(2a ax a a e x->+恒成立，则a 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列|}{|n a 的前n 项和n T ．20．（本题满分12分）已知函数x a e x f xsin 1)(--=．（1）若曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为x y -=，求a 的值；（2）当2=a 时，)(12)(Z c c x f ∈-≥在],0[π∈x 恒成立，求c 的最大值．21．（本题满分12分）已知}{n a 为等比数列，且14432=++a a a ，432,1,a a a +成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）当}{n a 为递增数列时，)12)(12()26()1(1+++-=+n n n n n a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，若存在n T m N n ≥∈*,，求m 的取值范围．22．（本题满分12分）已知函数1ln )(-+=xmx x f ．（1）若存在实数x ，使1)(-<x f 成立，求实数m 的取值范围；（2）若)(x f 有两个不同零点21,x x ，求证：e x x <+<212．2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考19.解：（1）设}{n a 的公差为d ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==+=6427881121813d a S d a a ⎩⎨⎧-==⇒2151d a ，n a n 217-=∴；（5分）（2）n n nn S n 162)21715(2+-=-+=，当80217≤⇒>-=n n a n ，当8≤n 时，0>n a ，nn n a a a a a a T ++=++=2121||||||n n S n 162+-==，（8分）当9≥n 时，0<n a ，)(||||||982121n n n a a a a a a a a T ++-+++=++= nn S S S S S -=--=8882)(12816)16()8168(2222+-=+--⨯+-=n n n n .（11分）综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=9,1281681622n n n n n n T n ，.（12分）20.解：（1）x a e x f xsin 1)(--=x a e x f xcos )(-='⇒，11)0(-=-='∴a f 2=⇒a 且此时切线方程为x y -=；（4分）（2）依题意：，min )1)((21+≤x f c ，当2=a 时，x e x f xsin 21)(--=，x e x f xcos 2)(-='，且)(x f '在],0[π上单调递增，01)0(<-='f ，024(4>-='ππe f ，)4,0(0π∈∃∴x ，使得0)(0='x f ，即0cos 20x e x =，)(x f 在),0(0x 上单调递减，)(0π，x 上单调递增，1sin 2)()(00min 0--==x e x f x f x 1sin 2cos 200--=x x 1)4cos(220-+=πx ，（8分）4,0(0π∈x ，2,4(40πππ∈+∴（x ，)22,0(4cos0∈+）（πx ，)1,1()()2,0(4cos 2200-∈⇒∈+∴x f x （π，)1,0()1)((210∈+x f ，0,≤∴∈c Z c ，c 的最大值为0.（12分）21.解：（1）⎩⎨⎧+=+=++)1(214342432a a a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒2142433q a q a 或12-=∴n n a 或n n a -=52；（5分）（2）)12)(12(223)1(1+++⋅-=+n n n nn b 121121(11+++-=+n n n）（（7分）当n 为偶数时，)121121(121121(121121(1322++++++++++++-=+n n n T 121311++-=+n 在*∈N n 上单调递减，]92,31(--∈∴n T ，（9分）；当n 为奇数时，121121(121121(121121(1322+++-++++++++-=+n n n T 121311+--=+n 在*∈N n 上单调递增，31,158[--∈∴n T ，（11分）158-≥∴m.（12分）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[] ()()()()()()()()()()()()()()()exxexxemxmexexxge qxqexqxxqexxxqexexxgxqmxxxgxxgxxxpxxxgxpexyBxgxyOAeBAexxxxxxxxxgxgxgxgxgxgxgxghx hx hxlxgxgxhxxgxgx hexxmggxgxgxxgxgxxxmxgxgxxxgxxxxmxxxfeexxxexxxexxxxmxxxxxmxmxxf<+<<+∴+-<∴>+-∴+-<∴=<∴∴>-='--=<<+--=<>∴>∴>-=<<-=+-==<+>+∴->∴>->-<∴=-<-<∴=<∴∴>+---=-'+'='∴<<--=<<<<<<∴=>=<'+∞∈>'∈-='==-=-=∴<∴=≤∴<'>>'<<--='<-=∞+-<<+-<2121222211121211212122111221212121max2,0)()(,1)(.0ln1)(,)ln2()()1)(()()(,)(,0ln)()10()()()(,),0,(),1,1(22,12,122,2,011011n2121,1e,011,0,1)(,01,0lng,,ln1,)ln1(,)()2(e1m1)1()()(,0)(1)(,0)(1,ln1)()(,ln)(lnln1)(1.22综上递增，在则设即则设处的切线为在的方程直线设下证又即递增，，在令不妨设，又递减时递增，当时，当又则令有两个不同实根有两个不同零点递减时，当递增时，当只需令）有解，在（即得）由（ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ。

2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学（理科）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若i 为虚数单位，则复数3223z i i =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{A x y ==，{}12019x B y y ==+，则AB =（ ）A ．[]1,3B ．(],3-∞C ．[)3,+∞D ．(]1,33．已知20191log πa =，20191πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2019c =，则（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<4．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d ≤”是“81092S S S +<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题p ：实数a 满足不等式21a ≤；命题q ：函数()32132af x x x x =++有极值点．若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]2,0-B ．[]2,0-C ．(),2-∞-D ．(],2-∞-7．已知向量()cos ,sin a θθ=，()0,1b =-，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．πθ-B ．π2θ-C ．π2θ+D ．θ 8．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比0.618≈（黄金分割比）时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（ ）A ．127．50°B ．137．50°C ．147．50°D ．150．50°9．已知将函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ． BC ．12-D ．1210．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A ，C 区域涂同色的概率为（ ）A ．27 B ．57 C ．913 D ．41311．执行如图示的程序框图，输出的S 的值等于（ ）A ．tan101101tan1- B ．tan102102tan1- C ．tan10199tan1+D ．tan10099tan1+12．若不等式()ln 120x x x k k +-+>对任意的()2,x ∈+∞都恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题（把正确答案填在题中横线上．）13．曲线ln y x x x =-在点()1,1-处的切线方程为________． 14．已知π0sin n xdx =⎰，则)()611nx -的展开式中4x 的系数为________．15．已知点()3,1A -，点(),P x y 满足线性约束条件100250x y x x y --⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≥≤，O 为坐标原点，那OP 在OA 方向上的投影的取值范围为________．16．设A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上运动，以AB 为边向外作正ABC △（ABC△与OAB △不重叠），且正ABC △的边长为M 为AC 的中点，则OC OM ⋅的最大值为________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． （1）求tan B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求ABC △的周长l ． 18．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．已知()22cos 1,1a x =--，π1,sin 26b x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()f x a b =⋅，且()0,πx ∈．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数()3y f x k =+恰有2个零点，求k 的取值范围．20．世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期7至10天，比赛设27个大项，参赛规模约100多个国家8000余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”.根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求射击成绩得分X 恰在350到400的概率；[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则：()0.6827P μσξμσ-<+≈≤， ()220.9545P μσξμσ-<+≈≤， ()330.9973P μσξμσ-<+≈⋅≤]（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是16，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格．遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第n 格的概率为n P ，试证明{}()1149n n P P n --≤≤是等比数列，并求50P ，以及根据50P 的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力． 21．已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2218sin 9ρθ+=，直线l 的参数方程为141x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）求C 与l 的交点的直角坐标；（2）求C 上的点到直线l 的距离的最大值． 23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若函数()y f x =图象的最低点坐标为(),p q ，正数a ，b 满足2pa qb +=，求41a b+的最小值．2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学（理科）参考答案一、选择题 BDDAB CCBAD AB 二、填空题13．y ＝-1 14．-5 15．⎡⎢⎣⎦16．5+三、解答题17．（1）由题知2sin 8sin 2sin cos 222B B B B ==，1tan 24B =， 于是21284tan 15114B ⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭， （2）由（1）知，8sin 17B =，15cos 17B =，由14sin 2217S ac B ac ===得172ac =， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2-2ac ·cosB ＝（a ＋c ）2-32＝4， 故a ＋c ＋b ＝8，故△ABC 的周长为8． 18．（1）由()11313713131692a a S a +===得a 7＝13，2d ＝a 7-a 5＝4，d ＝2，故a n ＝9＋（n-5）·2＝2n-1． （2()231111135213333nnT n =⋅+⋅+⋅++-⋅()()2341111111135********33n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+- 于是()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭ 1111111212229321333313n n n n n -++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=+-=--，故113n nn T +=-． 19．（1）由题知()22cos 1sin 26f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos22cos22x x x =-- 1cos 22sin 226x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由22,2622x k k πππ⎛⎫-∈π-π+ ⎪⎝⎭得,63x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭，∵x ∈（0，π）∴0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6⎛⎫ππ ⎪⎝⎭，∴f （x ）的单调递减区间为0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,6⎛⎫ππ ⎪⎝⎭．（2）原函数y ＝3f （x ）＋k 恰有两个零点sin 2sin 2636k x y x ππ⎛⎫⎛⎫⇔-=⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈（0，π）与3ky =有两个不同交点， 作出sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈（0，π）的图像如图，由图知，1132k -<<-或1123k-<<故k 的取值范围为333,,322⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．（1）0.002X =⨯50⨯205+0.004⨯50⨯255+0.009⨯50⨯305+0.004⨯50⨯355+0.001⨯50⨯405=300（2）因为X ～N （300，502），所以()()13504000.95450.68270.13592P X <≤=-=； （3）摇控车开始在第0格为必然事件，P 0＝1，第一次掷骰子，正面向上不出现6点，摇控车移动到第1格，其概率为56，即156P =；摇控车移到第n 格（2≤n ≤49）格的情况是下列两种，而且也只有两种；①摇控车先到第n-2格，抛掷出正面向上的点数为6点，其概率为216n P -；②摇控车先到第n-1格，抛掷骰子正面向上不出现6点，其概率为156n P -，故211566n n n P P P --=+，()11216n n n n P P P P ----=--，故1≤n ≤49时，P n -P n-1是首项为1016P P -=-，公比为16-的等比数列，故116nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，P n ＝P 0＋（P 1-P 0）＋（P 2-P 1）＋…＋（P n -P n-1） 121111116161116667616n n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-++-==--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 494950481161111116676762P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⋅⋅--=+<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，4950112P P =->，故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力．21．（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），且()23322a ax f xx x x --'=-+=，①当a ≤0时，f'（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）；②当a ＞0时，由f'（x ）＞0得x ，故f （x ）的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝． （2）∵f （x ）有两个零点，∴由（1）知a ＞0且2ln 022a a f a =+<，∴a ＞2e ，要证原不等式成立，只需证明211ln 2ex x a a ⎛⎫-+<-⎪⎝⎭，只需证明1221a e x x e a --<-，只需证明1212a e x x e a -<<<．一方面∵a ＞2e1=，∴1111022111ln 0222a a a af e e a e e e --⎛⎫=+=->-=> ⎪⎝⎭，∴120a f f e -⎛⎫< ⎪⎝⎭，且f （x ）在⎫+∞⎪⎪⎭122ax e -<；另一方面，令()1ln g x x ex=+，（x ＞0）， 则()22111ex g x x ex ex -'=-=，当10x e <<时，g'（x ）＜0；当1x e>时，g'（x ）＞0； 故()min 1110g x g e ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，故g （x ）≥0即1ln x ex ≥-时x ∈（0，＋∞）恒成立，令e x a=， 则2ln e a a e >-，于是222222ln 0e ae a af a a ea e e ⎛⎫=+>-= ⎪⎝⎭，而2222222240e e a e ea a a ---=<<，故0e f a ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，且f （x）在⎛ ⎝单调递减，故1e x a <<综合上述，1212ae x x e a -<<<，即原不等式成立．22．（1）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋9y 2＝9，直线l 的直角坐标方程为x ＋4y ＝3， 由229943x y x y ⎧+=⎨+=⎩得25y 2-24y ＝0，于是30x y =⎧⎨=⎩21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即C 与l 的交点直角坐标为（3，0）和2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）设曲线C 上一点P （3cos θ，sin θ）， 则P 到直线l的距离d =≤= 故C 上的点到直线l． 23．（1）当x ≥1时，由f （x ）＝3x-1≥4得53x ≥；当-1＜x ＜1时，由f （x ）＝-x ＋3≥4得x ≤-1，舍去；当x ≤-1时，由f （x ）＝-3x ＋1≥4得x ≤-1，综合上述， 原不等式的解集为(]5,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由()()()()311311311x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩得f （x ）min ＝f （1）＝2，故函数y ＝f （x ）图象的最低点为（1，2）， 于是a ＋2b ＝2，()(411411812663222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故41a b+的最小值为3+。