圆与相似三角形相关的证明题
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圆与相似三角形相关的证明题
1. 在图中，已知PC=PD，PD切圆O于D，PB交圆O于A，连结AC和BC。要证明AC·PB=PC·BC。
证明：由于PD是圆O的切线，所以∠PDC=∠ACB。又因为PC=PD，所以∠PCD=∠PDC。因此，∠ACB=∠PCD。又因为∠BCP=∠PBD，所以三角形PBD和PBC相似。因此，PB·PC=PD2。由于三角形ACD和BDC相似，所以AC·BD=CD2。将BD替换为PD+PC，得到AC·(PD+PC)=CD2，即AC·PB=PC·BC。因此，原命题成立。
2. 在图中，已知AB∥CD，DC延长线交EB延长线于F，EB与圆O相交于F，DF交圆O于G。要证明AD·ED=BE·DF。
证明：由于AB∥CD，所以∠___∠EAD。又因为EB是圆O的切线，所以∠___∠EDF。因此，∠___∠EAD。又因为AB是圆O的直径，所以∠EAB=90°。因此，三角形EAB和EDF相似。因此，AD·ED=BE·DF。因此，原命题成立。
3. 在图中，___于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD。要证明①PE：AC=PB：PA，②PE2=AC·BD。 证明：①由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。又因为AC⊥CD，所以∠ACP=90°。因此，∠APE=∠ACP。又因为∠APB=90°，所以三角形APE和APB相似。因此，PE：AC=PB：PA。②由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。又因为BD⊥CD，所以∠___°。因此，四边形AEPD和BEPC是直角四边形。因此，PE2=AE2-AP2=AC·BD。因此，原命题成立。
4. 在图中，ABC是内接于圆O的三角形，BD是圆O的直径，AF⊥BD于F，AF延长线与BC交于G。要证明AB2=BG·BC。
证明：由于ABC是内接于圆O的三角形，所以∠ABC=90°-∠BAC。又因为BD是圆O的直径，所以∠AFB=90°。因此，∠AFB+∠ABC=90°-∠BAC+90°=180°。因此，___。又因为∠___∠ABC，所以三角形BFG和ABC相似。因此，BG·BC=BF2=AB2。因此，原命题成立。
5. 在图中，AB是圆O的直径，CD垂直AB于M，P是CD延长线上一点，PE切圆O于E，BE交CD于F。要证明PF2=PD·PC。
证明：由于AB是圆O的直径，所以∠EPB=90°。又因为PE是圆O的切线，所以∠PEB=∠BAC。因此，∠EPB+∠BAC=90°+∠BAC=180°。因此，AE∥BC。又因为∠PDC=∠PAB，所以三角形PDC和PAB相似。因此，PD·PC=PA2。又因为三角形PFA和PCE相似，所以PF2=PA2-FA2=PD·PC。因此，原命题成立。
6. 在图中，ABC是等边三角形，O是BC上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点A，CD垂直BA于D。要证明①∠DAC=2∠B，②CA2=CD·CO。
证明：①由于ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°。又因为OA=OB，所以∠___∠___。因此，∠BAC=∠OAB+∠OBA=2∠___。又因为∠___∠DAC，所以∠DAC=2∠B。②由于OA=OC，所以∠___∠___。又因为∠___∠OCD，所以∠OCA=∠OCD。因此，三角形OCD和OCA相似。因此，CA2=CO·CD。因此，原命题成立。
7. 在图中，O1和O2是两个相交的圆，AB是它们的公切线，CD和EF分别与O1和O2相交于C、D和E、F，O1D的延长线交AB于P。要证明①CE∥DF，②O1A2=O1P·O1D。
证明：①由于AB是两个圆的公切线，所以∠CAD=∠DBA和∠___∠FEB。因此，∠CAD+∠___∠DBA+∠FEB。又因为∠DBA+∠FEB=180°，所以∠CAD+∠EAF=180°。因此，CE∥DF。②由于O1和O2相交于A和B，所以O1A=O1B和O1D=O1P+PD。因此，O1A2=O1B2=O1P·(O1D-PD)=O1P·O1D-O1P·PD。又因为三角形PO1D和PDO1相似，所以O1P·PD=O1D2/4。因此，O1A2=O1P·O1D-O1D2/4=O1P·O1D。因此，原命题成立。
8. 在图中，ABCD是内接于圆O的四边形，AC平分∠BCD，BD交AC于F，AE是圆O的切线，AE与CB的延长线交于E。要证明①AE∥BD，②AD2=DF·AE。
证明：①由于___∠BCD，所以∠___∠BCD/2。又因为ABCD是内接于圆O的四边形，所以∠ABD=∠CBD。因此，∠ACD+∠ABD=∠BCD/2+∠CBD=90°。因此，AE∥BD。②由于AE是圆O的切线，所以∠AED=∠ACD。又因为AC平分∠BCD，所以∠___∠BCD/2。因此，∠AED=∠BCD/2。又因为AE∥BD，所以∠ADE=∠BDF。因此，三角形ADE和BDF相似。因此，AD·DF=AE2。因此，原命题成立。
9. 在图中，已知
证明：由于
10. 在图中，AB和AC分别是圆O的切线，M和N分别是它们的切点，BE=EF=FC。要证明AB=AC。
证明：由于AB和AC是圆O的切线，所以∠AMB=∠ANC=90°。又因为BE=EF=FC，所以BM=MC。因此，三角形AMB和ANC是等腰直角三角形。因此，AB=AM=AN=AC。因此，原命题成立。
11. 在图中，AB和CD是圆O的两条弦，它们相交于E。过E作BC的平行线，交AD的延长线于F。过F作圆O的切线FG，G为切点。要证明FG=FE。
证明：由于AB和CD是圆O的两条弦，它们相交于E。因此，∠___∠FGD。又因为BC∥FG，所以∠___∠FGB。因此，∠___∠FGD。又因为FG是圆O的切线，所以∠___∠OEF。因此，∠___∠OEF。又因为AE是圆O的切线，所以∠___∠EAB。因此，∠___∠EAB。又因为AB和CD是圆O的两条弦，它们相交于E，所以∠EAB=∠FCD。因此，∠___∠FCD。又因为BF=FC，所以三角形BFG和CFD相似。因此，___。又因为BF+FC=BC，所以___)=FG/CD。因此，FG=FE。因此，原命题成立。
12. 在图中，圆O和圆O′外切于点P，AB是它们的外公切线，切点是A和B，AP的延长线交圆O′于C，CD切圆O于D。要证明BC=CD。
