相似三角形与圆

圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合

种类一：圆与相像三角形的综合

1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.

2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙

O 的切线，交 BC 于点 E.

(1)求证：点 E 是边 BC的中点；

求证： 2 ＝BD·BA；

(2) BC

(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ ABC是等腰直角三角形．

解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线， ∴∠ EDC＋∠ ODC

＝ 90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .

又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，

∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠

ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠

ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝

EC，即点 E 为边 BC的中点

(2)∵ AC为直径， ∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，

∴ BC2＝ BDBA

(3)当四边形 ODEC为正方形时， ∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝

90° －∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形

种类二：圆与解直角三角形的综合

3．如图， 在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，

DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.

(1)求证：直线 EF是⊙ O 的切线；

DEBOAC圆与相似三角形专题训练

27、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB。【2005成都】

⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若AB＝6，AE＝245，求BD和BC的长。

27、已知：如图，⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F，连结BD。【2006成都】

（1）求证：△ACG∽△DBG；（2）求证：2ACAGAB；

（3）若⊙A、⊙O的直径分别为65、15，且CG：CD＝1：4，求AB和BD的长。

ABCDEFGO

2 O D

G

C A E

F

B P 27．如图,A是以BC为直径的O上一点,ADBC于点D，过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点EG，是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P．【2007成都】

（1）求证：BFEF；（2）求证：PA是O的切线；

（3）若FGBF，且O的半径长为32，求BD和FG的长度．

27. 如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧AB上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE.若AB=23.【2008成都】

(1)求∠C的度数；（2）求DE的长；

（3）如果记tan∠ABC=y，ADDC=x（0

ABCDEFGO27．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．【2009成都】

(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明； (2)求证：AE=BF；

（3）若3(22)OGDE，求⊙O的面积。

27．已知：如图，ABC内接于O，AB为直径，弦CEAB于F，C是AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．【2010成都】

初高中知识衔接第三章《相似形、三角形与圆》

【本讲教育信息】

一. 教学内容

1、平行线分线段成比例定理与三角形相似

2、三角形的“四心”

3、直线与圆，圆与圆的位置关系

4、点的轨迹

二. 基础概念回顾

（一）平行线分线段成比例定理与相似形

在一张方格纸上，我们作平行线123,,lll（如图3.1-1），直线a交123,,lll于点,,ABC，2,3ABBC，另作直线b交123,,lll于点',','ABC，不难发现''2.''3ABABBCBC

我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

如图3.1-2，123////lll，有ABDEBCEF=.当然，也可以得出ABDEACDF.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

【典例分析】

例1 如图3.1-2， 123////lll，

且2,3,4,ABBCDF===求,DEEF.

解 1232////,,3ABDElllBCEF\==Q

28312,.235235DEDFEFDF

例2 在ABC中，,DE为边,ABAC上的点，//DEBC，

求证：ADAEDEABACBC.

证明（1） //,,,DEBCADEABCAEDACB

ADE∽ABC，.ADAEDEABACBC

证明（2） 如图3.1-3，过A作直线//lBC，

////,lDEBC 图3.1-1

图3.1-2 ADAEABAC.

过E作//EFAB交AB于D，得BDEF，

因而.DEBF

//,.AEBFDEEFABACBCBC

.ADAEDEABACBC

从上例可以得出如下结论：

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

圆与相似三角形相关的证明题

1. 在图中，已知PC=PD，PD切圆O于D，PB交圆O于A，连结AC和BC。要证明AC·PB=PC·BC。

证明：由于PD是圆O的切线，所以∠PDC=∠ACB。又因为PC=PD，所以∠PCD=∠PDC。因此，∠ACB=∠PCD。又因为∠BCP=∠PBD，所以三角形PBD和PBC相似。因此，PB·PC=PD2。由于三角形ACD和BDC相似，所以AC·BD=CD2。将BD替换为PD+PC，得到AC·(PD+PC)=CD2，即AC·PB=PC·BC。因此，原命题成立。

2. 在图中，已知AB∥CD，DC延长线交EB延长线于F，EB与圆O相交于F，DF交圆O于G。要证明AD·ED=BE·DF。

证明：由于AB∥CD，所以∠___∠EAD。又因为EB是圆O的切线，所以∠___∠EDF。因此，∠___∠EAD。又因为AB是圆O的直径，所以∠EAB=90°。因此，三角形EAB和EDF相似。因此，AD·ED=BE·DF。因此，原命题成立。

3. 在图中，___于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD。要证明①PE：AC=PB：PA，②PE2=AC·BD。 证明：①由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。又因为AC⊥CD，所以∠ACP=90°。因此，∠APE=∠ACP。又因为∠APB=90°，所以三角形APE和APB相似。因此，PE：AC=PB：PA。②由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。又因为BD⊥CD，所以∠___°。因此，四边形AEPD和BEPC是直角四边形。因此，PE2=AE2-AP2=AC·BD。因此，原命题成立。

4. 在图中，ABC是内接于圆O的三角形，BD是圆O的直径，AF⊥BD于F，AF延长线与BC交于G。要证明AB2=BG·BC。

证明：由于ABC是内接于圆O的三角形，所以∠ABC=90°-∠BAC。又因为BD是圆O的直径，所以∠AFB=90°。因此，∠AFB+∠ABC=90°-∠BAC+90°=180°。因此，___。又因为∠___∠ABC，所以三角形BFG和ABC相似。因此，BG·BC=BF2=AB2。因此，原命题成立。