相似三角形证明题

相似三角形

一、理论基础

1 、相似三角形

在△ABC与△'''ABC中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，''''''ABBCACkABBCAC，我们就说△ABC与△'''ABC为相似三角形。记作：△ABC∽△'''ABC，k为它们的相似比。

2 、相似三角形的判定

相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的判定方法：

两个三角形相似的条件 符号 适用范围

三边对应成比例 AAA 所有三角形

两边对应成比例且夹角相等 SAS 所有三角形

两角对应相等 AA 所有三角形

直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例 HL 直角三角形

二、精选例题

知识点【1】掌握好相似三角形的判定方法，看题目中已有什么条件，还缺少什么条件。

有平行截线 用判定定理

有一对等角，找 另一对等角

夹边成比例

夹角相等

判定三角形相似的 有两边对应成比例，找 第三边也成比例

思路 有一对直角

直角三角形，找 一锐角

斜边、直角边对应成比例

顶角相等

等腰三角形，找 一对底角相等

相似三角形专项训练 姓名：_____________

第 1页 共4 页 第2页 共4 页 1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？

2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．

3．如图，已知∠1=∠2，且AB•ED=AD•BC，则△ABC与△ADE相似吗？说明理由．

4．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE．

5．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．证明：△ABD∽△DCF

6．如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E．

证明：△ADC∽△AEB；

7．如图，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A=∠D．求证：△ABC∽△DEC．

精品文档

。

第 3页 共4 页 第 4页 共 4页 2欢迎下载 8．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．试说明△ABD≌△BCE；

9．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD．

10．如图，∠DEC=∠DAE=∠B，试说明：△DAE∽△EBA；

11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．求证：△EAB∽△ECA；

12．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，求证：△EAC∽△CBF．

13．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？

ACA

DFEC

FHFF

初三数学相似三角形

（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：

1。 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.

2.

会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题

本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍：

1。 比例线段的有关概念：

在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，abcdabcdadbcac()

b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

2. 比例性质:

①基本性质：abcdadbc

②合比性质：±±abcdabbcdd

③等比性质：……≠……abcdmnbdnacmbdnab()0

3。 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

则，，，…ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF ACA DFEC

FHFF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

源-于-网-络-收-集 相似三角形证明题

1． 如图：⊿ABC中，D是AB上一点，AD = AC，BC边上的中线AE交CD于F，求证：

DFCFACAB::

2． 四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB，求证：22CDBCDEBE

3． 如图，已知菱形ABCD中，在AD上任取一点E，连结CE并延长与BA的延长线交于点F，过E作EG∥FB交FD于G，求证：GF = AE

4． 在Rt⊿ABC中，∠ACB = Rt∠，AD平分∠CAB，CE⊥AB于E，交AD于F，过F作

FG∥AB交CB于G，求证：CD = GB

ABCEDFDABCE12DCBFAEGBEDG====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

源-于-网-络-收-集

5． 矩形ABCD中，aAB，bBC，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，

求证：2242baabDE

6． 如图，过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于P，交CD于Q，并交BC的延长线于R，求证：22PBPDPRPQ

ABCDMEABRDCPQ====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

源-于-网-络-收-集

7． 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E为AC三分之一处，即AE = 31AC，DE的延长线交AB于F，求证：AF = FB

8．如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C

(1)求证：△ABF∽△EAD;(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，

求AE的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD＝3，求BF长.

(计算结果含根号).

9．如图，P在线段MN上，如果PM2 = PM·PN，，那么，P是线段MN的一个黄金分割点。

现有一等腰ΔABC（如图），AB=AC，∠ABC=2∠A， BD是角平分线。