圆与相似三角形综合问题

. . NMEDCBAEDCBAEDCBAl3l2l1C/B/A/CBAl3l2l1C/B/A/CBA学生： 科目： 数 学 教师： 谭 前 富

知识框架

相似三角形的性质是几何证明的重要工具.是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用.

1、相似三角形的性质

相似三角形的对应边成比例.对应角相等.对应边上的中线.角平分线.高线.周长之比等于相似比.面积之比等于相似比的平方.

2、相似三角形的判定方法

（1）三边对应成比例的两个三角形相似

（2）两边对应成比例.夹角相等的两个三角形相似

（3）两组角对应相等的两个三角形相似.

3、相似三角形中几个的基本图形

4、由相似三角形得到的几个常用定理

定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.

如图.若DE∥BC,则ADAEDEABACBC==,

或ADBDAECE=.

定理2 平行切割定理

如图.,DE分别是ABCD的边,ABAC上的点.

过点A的直线交,DEBC于,MN,若DE∥MN,

则 DMBNMENC=

定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.

如图.若1l∥2l∥3l.则 课 题 相似三角形和圆的综合提高

教学内容 . . EDCBA ABBCACABBCAC==ⅱⅱⅱ,

定理4（角平分线性质定理） 如图.,ADAE分别是

ABCD的内角平分线与外角平分线.

则DBEBABDCECAC==.

定理5 射影定理

直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形.这两个三角形与原三角形相似.

定理6 相交弦定理：圆内两弦相交.交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O中.∵弦AB、CD相交于点P.

∴PAPBPCPD

定理7 推论：如果弦与直径垂直相交.那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O中.∵直径ABCD.

∴2CEAEBE

定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线.切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O中.∵PA是切线.PB是割线

∴ 2PAPCPB

定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线.这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中.∵PB、PE是割线

∴PCPBPDPE

【例题精讲】

二例题讲解

1 利用相似证明角相等 OEDCBADECBPAOPODCBA.

. AHEDCBAFEDCBAGFEDCBAPFEDCBAFEGHDCBA例1 如图.ABCD中.90,BACABAC??,D是边的中点.AHBD^.垂足为H,交BC于点E.

(1) 求证：ADBCDE??

(2) 若2AB=,求CDED的面积.

练习 在ABCD中.ADBC^于点D.DEAB^于点E.

DFAC^于点F.求证：AFEABC??.

2 利用相似证明线段相等

例2 已知点,EF分别在矩形ABCD的边,ABAD上.EF∥BD.,ECFC分别交BD于点,GH.求证：BGDH=.

练习 1、如图.梯形ABCD中AD∥BC.对角线,ACBD交于点P.过点P作BC的平行线分别交,ABDC于点,EF.求证PEPF.

2、如图.ABCD中.,ABACADBC=^于D.,EG分别是,ADAC的中点.DFBE^于F.求证:FGDG=.

3 证明比例（等积）线段

例3 如图.,BDCD为的两条角平分线.过点D作直线分别交,ABAC于点,EF.若. . FEDCBADCBANMFEHGFEDCBADCBASNMORPDCBAAEAF=.求证：24EFBECF=?

例4 如图.在四边形ABCD中.AC与BD相交于点O.直线l平行于BD.且与,ABDC,BCAD及AC的延长线分别交于点,,,MNRS和P.

求证：PMPNPRPS??

练习

1、如图.在ABCD中.AD是AÐ的平分线.AD的垂直平分线交AD于点E.交BC的延长线于点F.求证:2FDFBFC=?

2、,ADBE是ABCD的高线.过D作AB的垂线.

垂足为F.与BE及AC的延长线分别相交于,MN.

求证：2DFFMFN=?

3、AD是RtABCD的角平分线.90C??.求证：222ACBCADBD=

4 求线段比

例5 ABCD是正方形.,EF是,ABBC的中点.

联接EC交,DBDF于,GH.求::EGGHHC.

. . PDCBAHQPDCBAGFAGEDFCBADQEFGNPCBAEDPFCBA

练习 1、梯形ABCD中.AD∥,90BCABC??,

对角线ACBD^于点P.若34ADBC=.求BDAC的值.

2、如图.在平行四边形ABCD中.过点B的直线顺次与,ACAD及CD的延长线相交于点,,EFG,若5,2,BEEF==求FG的长.

5 证明线段（线段比）和差

例6 如图.已知AB∥,CDAD∥,,CEFG分别是AC和FD的中点.过G的直线依次交,,,ABADCDCE于点,,,MNPQ.求证:.2MNPQPN+=

练习 如图.P是ABCD内一点.,,APBPCP分别与对边交于点,,DEF.

求证：AEAFAPECFBPD+=.

6 证明垂直

例7 如图.,HQ分别是正方形ABCD的边,ABAC上的点.且BHBQ=.过B作HC的垂线.垂足分别为P.求证：DPPQ^.

练习题

1、如图.ABCD中.90BAC??.AD是BC边上的高.E是BC边上一点.过点E作. . C1B1A1DCBAt3t2t1IHGEDPFCBANKHGFEDCBAGFEDCBA,ABAC的垂线.垂足分别为,FG.求证：90FDG??

2、ABCD与ABCⅱ?D均为等边三角形.BC和11BC的中点均为D.求证：11AACC^

7 证明平行

例8 如图.在矩形ABCD中.FE、是DC边上的点.满足FCEFDE.又HG、是BC上的点.满足HCGHBG．AE与DG相交于点K.AF与DH相交于N．

求证：KN∥CD．

练习题 如图.两个等边,ABCADE顶点A重合.过点E作BC的平行线.分别交,ABCD于,FG.

（1）求证：DF平分AFE.

(2) 求证：AG∥BD.

8 利用相似三角形的面积比

例9 在ABCD的内部取点P.过P点作3条分别与ABCD的三边平行的直线.这样所得的3个三角形123,,ttt的面积分别为4,9,49.求ABCD的面积.

. . DCBAFEDCBANMQDCBAPGFEDCBAEDPMCBA练习 1、AD是RtABC斜边上的高.求证：22ABBDACDC

2、梯形ABCD中AD∥BC,4,8ADBC,点,EF在,ABDC上.且EF∥BC,若直线EF平分梯形ABCD的面积.（1）求EF的长.（2）求AEEB的值

练习题

1、已知平行四边形ABCD中.,MN为AB的三等分点.,DMDN分别交AC于,PQ两点.求::BPPQQC的值.

2、如图.在平行四边形ABCD中.E为AB的中点.12AFFD=.FE交AC于点G.求证：15AGAC=

3、 如图.AM是的中线.P是AM上一点.,BPCP分别交,ACAB于点,DE.求证:DE∥BC

. . NMKEDPFCBANMGFTEDCBAHDCBAHEDCBA

4、ABCD中.,90ABACBAC=??.D是BC边的中点.AHBD^交BD于点H.交BC于点E.求证：2BEEC=

5、在四边形ABCD中.,EF分别是,ABCD的中点.P为对角线AC延长线上任意一点.PF交AD于点M.PE交BC于点N.EF交MN于点K.求证：K是线段MN的中点.

6、锐角三角形ABCD中.ABAC>,,CDBE分别是,ABAC上的高.DE与BC的延长线交于点T.过D作的BC垂线交BE于F.过E作BC的垂线交CD于G.证明：,,FGT三点共线.

7、如图.在等边ABCD中.BC边上取点D.使:1:2BDCD=.作CHAD^.垂足为H.联接BH.求证：BADHBC??.