正弦定理与余弦定理学考练习题

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课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理

[达标综合练]

1．在△ABC中，若A＝60°，C＝45°，c＝3，则a＝( )

A．1 B.322

C.233 D．2

解析：选B 由正弦定理得，a＝csin Asin C＝322.

2.△ABC中，已知面积4S＝a2＋b2－c2，则角C的度数为( )

A. 135° B. 45°

C. 60° D. 120°

解析：选B 由4S＝a2＋b2－c2，得4×12absin C＝2abcos C，解得tan C＝1，又角C为△ABC的内角，所以C＝45°.

3.在△ABC中，如果A＝60°，c＝4,23

A．无解 B．一解

C．两解 D．无穷多解

解析：选C 根据正弦定理，可得asin A＝csin C，

所以sin C＝c·sin Aa＝23a，

因为23

又由c>a，则60°

4．在△ABC中， cos2B2＝a＋c2c，则△ABC的形状为( )

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形

解析：选B 因为cos2B2＝1＋cos B2，所以1＋cos B2＝a＋c2c，有cos B＝ac＝a2＋c2－b22ac，整理得a2＋b2＝c2，故C＝π2， △ABC的形状为直角三角形．

5.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a，则a的取值范围是( )

A．(3，5)

B．(3,5)

C．(3，5) D．(5，3) 2 7

解析：选A 要使锐角三角形的三边长分别为1, 2，a，则保证2所对应的角和a所对应的角均为锐角即可，即 1＋a2－42a>0，1＋4－a24>0，a>0，解得3

6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，则△ABC的外接圆面积为( )

A．16π B．8π

C．4π D．2π

第七节 正弦定理和余弦定理

1．正弦定理

2．余弦定理

3．三角形的面积公式

第一课时 正弦定理和余弦定理(一)

考点一 利用正、余弦定理解三角形

考法(一) 正弦定理解三角形

[典例] (1)在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.

考法(二) 余弦定理解三角形

[典例] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为( ) A．7.5 B．7 C．6 D．5

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－b2c－a＝sin Asin B＋sin C，则角B＝________.

[题组训练]

1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )

A.24 B．－24 C.34 D．－34

2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.

(1)求角A的大小；(2)若cos B＝13，a＝3，求c的值．

考点二 判定三角形的形状

[典例] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形

正余弦定理 15道经典基础例题

例1、（共5分，2分钟）在∆ABC中,若∠A=60°,∠B=45° ,BC=3√2 ,则AC=（

）

A．4√3

B．2√3 C．√3 D.√32

解答:由正弦定理,可得ACsin45°=BCsin60°

所以AC=3√2√32×√22=2√3

可得答案B

考点: 考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆

例2、（共5分，2分钟）在∆ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若a2+b2=2c2，则sinC的最小值为（ ）

A. √32 B. √22 C. 12 D. −12

解答：cosC=a2+b2−c22ab=2c2−c22ab≥c2a2+b2=12

可得答案C

考点：余弦定理，基本不等式，难度：★☆☆☆☆☆

例3、（共5分，3分钟）在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°,则BC边上的高等于( )．

A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394

解答：设AB＝c，BC边上的高为h.

由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，即7＝c2＋4－4ccos 60°，

即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)． 又h＝c·sin 60°＝3×32＝332，故选B.

可得答案B

考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆

例4、（共5分，3分钟）在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c,C=2B ，则cosC= ( )

A.725 B.−725 C.±725 D.2425

解答：由8b=5c,C=2B及正弦定理得，

在“ABC中，0, b, c分別是角4 8. C所对的边，若^ = 105% 8=45% 则c=（

A. 1 C. 2

在茲 ABC 中，已知 a=3y[2. cosC=j, Sg=4品 则 b= ____________ .

在茲ABC中，b=4{i, C=30。，c=2,则此三角形有 ________ 组解.

如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角）为140。的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110%

航行半小时后船到达C点，观测灯塔人的方位角是65。・则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少

18. ii：A ABC 中，0、b、c 分別为角 A、8. C 的对边•若 a=2晶 sin|cos|=^r sin Bsin C=cos^.求 A、 6 及

b、c.

19. （2009年高考四川卷）^A ABC中，久B为锐角•角久B、C所对应的边分別为6 b、c,且cos 2A= sin ⑴求 A+B 的值：（2）若 o—/?=匹一1,求 a, b, c 的值.

20. 'ABC 中，0b=65/5，sin fi=sinC △ ABC 的面枳为 15 羽，求边 b 的长.在AAfiC 中，Z&=45°, ZB=60°, a=2.

2.

3. 已知 0=8, S=60°, C=75°, B・ 45/3 C.

角A、B、C的对边分別为a、

B・ 135" 正弦定理练习题

则b等于（）

D. 2& 则b等于（）

4&

b. G &=60。，0=4羽，b=4品则角 5为（ D.以上答案都不对

4. 在△ ABC中，

A. 4迈

在△ ABC中，

A. 45°或 135° B・ 135" C・ 45°

在 AABC 中，o: b： c=i: 5 : 6.贝 IJsiM: sinB : sinC 等于（ ）

A. 1:5:6 B. 6:5:1 C. 6:1:5