正弦定理和余弦定理练习

正弦定理、余弦定理

在解决一些实际问题时，我们必须要用到一些数学知识。其中，正弦定理和余弦定理是两个非常重要的定理。在本文中，我们将详细介绍这两个定理以及它们的应用。

正弦定理也被称为“正弦规则”，它用于计算三角形中任意一个角的正弦。具体来说，正弦定理给出了如下公式：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

其中a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 表示三个相对应的角。

根据这个公式，我们可以解决许多与三角形有关的问题。例如，如果我们已知一个三角形的两个角和一条边的长度，那么就可以使用正弦定理来计算出另外两边的长度。另外，如果我们已知三角形的三条边的长度，也可以使用正弦定理来计算出三个角的大小。

需要注意的是，正弦定理只适用于非直角三角形。如果一个三角形是直角三角形，那么可以使用勾股定理来计算它的各边长度。

a² = b² + c² - 2bc cosA

b² = a² + c² - 2ac cosB

c² = a² + b² - 2ab cosC

根据这个公式，我们可以计算出三角形中任意一个角的余弦，或是根据已知两边和一个角来计算第三边的长度。

三、应用举例

下面我们来看一些具体的例子，以进一步理解正弦定理和余弦定理的应用。

例1：已知一个三角形的两条边长分别为4和5，并且这两条边的夹角为120度，求第三条边的长度。

根据余弦定理，我们可以得到：

因此，第三条边的长度为√62。

设a=2x、b=2y、c=2z，则可以得到：

2x/sin30 = 2y/sin45 = 2z/sin(180-30-45)

化简得： x = y/√3

z = 2y

根据周长公式得：

a + b + c = 10

代入x、y、z的值化简得：

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案

一、选择题

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝2 ，b＝3 ，B＝π3 ，则A＝( )

A．π6 B．56 π C．π4 D．π4 或34 π

答案：C

解析：由正弦定理得asin A ＝bsin B ，∴sin A＝a sin Bb ＝2×323 ＝22 ，又a

2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是( )

A．有一解 B．有两解

C．无解

D．有解但解的个数不确定

答案：C

解析：由正弦定理bsin B ＝csin C ，∴sin B＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝7 ，则角C＝( )

A．π6 B．π4 C．π3 D．π2

答案：C

解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，

得cos C＝a2＋b2－c22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12 ，又C为△ABC内角，∴C＝π3 .

4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )

A．12 B．1 C．3 D．2

答案：C

解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cos A＝1，cos A＝12 ，∴sin A＝1－cos2A ＝32 ，∴S△ABC＝12 bc sinA＝12 ×4×32 ＝3 .

5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若b sin A＝3c sin

B，a＝3，cos

B＝23 ，则b＝( )

A.14 B．6 C．14 D．6

高中数学正、余弦定理练习题(含答案)

高中数学正弦、余弦定理练题（含答案）

知识点、方法：

正弦、余弦定理及其应用、三角形形状判定、三角形的面积、正弦、余弦定理的实际应用。

一、选择题（每小题6分，共36分）

1.（2014南阳高二期末）在△ABC中，A=60°，BC=3，则△ABC的周长为（D）

A) 4sin(B)+3

B) 4cos(B)+3

C) 6sin(B)+3

D) 6cos(B)+3

解析：由正弦定理得a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC，代入A=60°，BC=3，得b+c=2sinB，即b+c=6cosB。故选D。

2.（2014宁德质检）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足c=2bsinC，a²=b²+c²-bc，则角C为（D）

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 90°

解析：cosA=(b²+c²-a²)/2bc=cosC，代入c=2bsinC得sinC=2sinBsinC，代入sin²B+sin²C=1得sinB=√3/2，B=60°，C=π-A-B=90°。故选D。

3.（2014珠海高二期末）在△ABC中，若c·cosB=a，则△ABC是（C）

A) 等腰三角形

B) 等腰三角形或直角三角形

C) 直角三角形

D) 等边三角形

解析：c²=a²+b²-2abcosC，代入c·cosB=a得a²+b²=c²，即△ABC为直角三角形。故选C。

4.（2014菏泽高二期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A=60°，b=4，若0

A) 0

B) a=6

C) a≥4或a=6

D) 0

解析：由正弦定理得a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC，代入A=60°，b=4，得a/√3=c/2，即a≥4sin60°=2√3.又∵a²=b²+c²-2bccosA，代入A=60°，b=4，得c²-4c+4=0，即c=2或c=2b=8.故a≥4或a=6.故选C。

正弦定理余弦定理练习题

在平面几何中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理。熟练掌握这两个定理的使用方法，对于解题非常有帮助。本文将通过一些练习题，进一步巩固并应用正弦定理和余弦定理。

一. 练习题一

已知三角形ABC，∠BAC = 35°，BC = 10cm，AC = 8cm。

1. 求∠ABC和∠ACB的度数。

2. 求∠BAC的正弦值和余弦值。

3. 求∠BAC的弧度值。

解答：

1. 由三角形内角和定理可知∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，故∠ABC + 35° + ∠ACB = 180°。化简可得∠ABC + ∠ACB = 145°。

又因为∠ABC和∠ACB为三角形内角，故它们的度数之和小于180°，可知∠ABC和∠ACB的度数为(0, 145°)。

2. 根据正弦定理可得 sin(∠BAC) = BC/AC = 10/8 = 1.25。

因为∠BAC是锐角，故其正弦值为1.25。

根据余弦定理可得 cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC)

= (AB² + 8² - 10²) / (2 * AB * 8) = (AB² + 64 - 100) / (16 * AB) = (AB² - 36)

/ (16 * AB)。 因为∠BAC是锐角，所以其余弦值小于1，得到 AB² - 36 < 16 *

AB。

将 AB 换成 x，得到 x² - 16x - 36 < 0。

解这个不等式可得 4 < x < 9，所以 AB 的长度为 (4, 9)。

3. 弧度值可以通过将度数除以180°，再乘以π来计算。

所以 ∠BAC 的弧度值为 35° * (π /180°) ≈ 0.6109。

二. 练习题二

已知三角形PQR，∠QPR = 105°，PQ = 6cm，PR = 8cm。