正弦定理和余弦定理(复习)

正弦定理、余弦定理

在解决一些实际问题时，我们必须要用到一些数学知识。其中，正弦定理和余弦定理是两个非常重要的定理。在本文中，我们将详细介绍这两个定理以及它们的应用。

正弦定理也被称为“正弦规则”，它用于计算三角形中任意一个角的正弦。具体来说，正弦定理给出了如下公式：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

其中a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 表示三个相对应的角。

根据这个公式，我们可以解决许多与三角形有关的问题。例如，如果我们已知一个三角形的两个角和一条边的长度，那么就可以使用正弦定理来计算出另外两边的长度。另外，如果我们已知三角形的三条边的长度，也可以使用正弦定理来计算出三个角的大小。

需要注意的是，正弦定理只适用于非直角三角形。如果一个三角形是直角三角形，那么可以使用勾股定理来计算它的各边长度。

a² = b² + c² - 2bc cosA

b² = a² + c² - 2ac cosB

c² = a² + b² - 2ab cosC

根据这个公式，我们可以计算出三角形中任意一个角的余弦，或是根据已知两边和一个角来计算第三边的长度。

三、应用举例

下面我们来看一些具体的例子，以进一步理解正弦定理和余弦定理的应用。

例1：已知一个三角形的两条边长分别为4和5，并且这两条边的夹角为120度，求第三条边的长度。

根据余弦定理，我们可以得到：

因此，第三条边的长度为√62。

设a=2x、b=2y、c=2z，则可以得到：

2x/sin30 = 2y/sin45 = 2z/sin(180-30-45)

化简得： x = y/√3

z = 2y

根据周长公式得：

a + b + c = 10

代入x、y、z的值化简得：

龙源期刊网

正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.

重点难点

在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题. 在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型.

重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.

难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.

寻找最适合自己的学习方法

1

正弦定理和余弦定理

高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．

学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．

1． 正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，解决不同的三角形问题．

2． 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.

3． S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.

4． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 a＝bsin A bsin Ab

解的个数 一解 两解 一解 一解

[难点正本 疑点清源]

1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA

2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

1 正弦定理和余弦定理（一）

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）

A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 不确定

2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）

A． 直角三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 不确定

3．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（ ）

A． B． 2 C．

D． 1

4．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（ ）

A． B． C． D．

5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（

）

A． B． C． D．

6．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（ ）

A． B． C． D． 1

7．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（ ） 2 A． B． C． D．

8．在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ）

A．

﹣ B． C． ﹣ D．

9．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（

）

A． 2 B． 4+2 C．

4﹣2

D． ﹣

10．在△ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=（ ）

A． B．

C． 2 D．

11．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（ ）

A． 4sin（B+）+3 B． 4sin（B+）+3 C． 6sin（B+）+3 D．

6sin（B+）+3

12．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（ ）