五四制九年级下册数学配套练习册答案

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章综合测试卷一、选择题(每题3分，共36分)1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是()A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．无法确定2．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，若∠EOF＝55°，则∠BOC的度数等于()A．125°B．120°C．115°D．110°3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠BDC＝41°，则∠ABC＝()A．39°B．41°C．49°D．59°4．如图，已知AC是⊙O的直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝()A．1 B．2 C．3 D．45．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O 于点E，连接EB.若AB＝4，CD＝1，则EB的长为()A．2 B．3 C．4 D．56．如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，C 是AB ︵上一点，若∠APB ＝40°，则∠ACB 的度数是( )A ．110°B ．100°C ．140°D ．80° 7．如图，从一块半径为8 cm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形BAC ，则扇形BAC 中弧BC 的长为( )A.4π3 cmB.8π3 cmC.43π3 cmD.83π3 cm 8．如图，AB 是⊙O 的弦，且直径AC ＝6，BD ＝3，AC ⊥BD ，12∠AOD ＋∠EDB ＝180°，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 29．如图，点I 是△ABC 的内心，CI 的延长线交AB 于D ，点A ，E关于CD 所在的直线对称，若∠B ＝38.20°，则∠DIE 的度数是( )A ．70.88°B ．70.90°C ．70.92°D ．70.94°10．如图，扇形纸片AOB 的半径为4，沿AB 折叠扇形纸片，点O恰好落在AB ︵上的点C 处，则图中阴影部分的面积为( ) A.16π3－4 3 B.32π3－4 3 C.16π3－8 3 D.32π3－8 311．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，AB ＝20 cm ，BC ＝15 cm ，CD ＝12 2 cm ，DA ＝13 cm ，BD ＝21 cm ，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为( )A ．21 cmB ．15 2 cm C.653 cm D ．25 cm12．【2023·淄博张店区模拟】如图，多边形A 1A 2A 3…A n 是⊙O 的内接正n 边形．已知⊙O 的半径为r ，∠A 1OA 2的度数为α，点O 到A 1A 2的距离为d ，△A 1OA 2的面积为S .下面三个推断： ①当n 变化时，α随n 的变化而变化，α与n 满足的函数关系是反比例函数关系；②若α为定值，当r 变化时，d 随r 的变化而变化，d 与r 满足的函数关系是正比例函数关系；③若n 为定值，当r 变化时，S 随r 的变化而变化，S 与r 满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题(每题3分，共18分)13．已知圆锥的高为8 cm ，母线长为10 cm ，则其侧面展开图的面积为______．14．如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4：3：5，则∠D 的度数是________．15．【2023·烟台】如图，在直角坐标系中，⊙A 与x 轴相切于点B ，CB 为⊙A 的直径，点C 在函数y ＝kx (k ＞0，x ＞0)的图象上，D 为y 轴上一点，△ACD 的面积为6，则k 的值为________．16．【2023·常德】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB ︵是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在AB ︵上，CD ⊥AB .“会圆术”给出AB ︵的长l 的近似值s 的计算公式：s ＝AB ＋CD 2OA .当OA ＝2，∠AOB ＝90°时，|l －s |＝________．(结果保留一位小数)17．如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，连接AO ，BO ，CO ，DO ，记△AOD ，△AOB ，△COB ，△DOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1，S 2，S 3，S 4的数量关系为____________.18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为________．三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°，求∠B的度数．20．如图，⊙O的半径为2，弦BC＝3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E.(1)求证：BE∥AM；(2)过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D.求AH的长．21．【2023·烟台莱阳模拟】如图，P 为直径AB 上一点，EF ，CD为过点P 的两条弦，且∠DPB ＝∠EPB .求证： (1)CD ＝EF ； (2)CE ︵＝DF ︵.22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若OB＝10，CD＝53，求图中阴影部分的面积．23.如图是一座圆弧形拱桥，水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.(1)求桥拱所在圆的半径．(2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．24．【2023·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.(1)求证：S△ABF∶S△ACF＝AB∶AC；(2)求证：AB∶AC＝BF∶CF；(3)求证：AF2＝AB·AC－BF·CF；(4)猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．(直接写出，不需证明)答案一、1.A2．D 【点拨】设OF 交AC 于点J .∵OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，∴∠OEJ ＝∠AFJ ＝90°.∵∠OJE ＝∠AJF ，∴∠F AJ ＝∠EOF ＝55°，∴∠BOC ＝2∠CAB ＝110°.3．C 【点拨】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵BC ︵＝BC ︵，∴∠BAC ＝∠BDC ＝41°，∴∠ABC ＝180°－∠ACB －∠BAC ＝180°－90°－41°＝49°.4．B 【点拨】连接OB .∵D 是弧BC 的中点，∴∠BOD ＝∠COD .∵OB ＝OC ，∴OD ⊥BC ，BE ＝12BC ＝12×8＝4.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10.∴OB ＝12AC ＝5.∴OE ＝OB 2－BE 2＝52－42＝3.∴DE ＝OD －OE ＝OB －OE ＝5－3＝2.5．B 【点拨】∵半径OD ⊥弦AB ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝2.又∵OA ＝OE ，∴CO 是△ABE 的中位线，∴EB ＝2OC .在Rt △ACO 中，设OA ＝x ，则OC ＝x －1.∵AO 2＝OC 2＋AC 2，∴x 2＝(x －1)2＋22，解得x ＝52，∴OC ＝32，∴EB ＝2OC ＝3.6．A 【点拨】连接OA ，OB ，作AB ︵所对的圆周角∠ADB .∵P A ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB .∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.∴∠AOB ＝360°－∠OAP －∠OBP －∠APB ＝140°.∴∠ADB ＝12∠AOB ＝70°.∴∠ACB ＝180°－70°＝110°.7．D 【点拨】连接OB ，OC ，BC ，过O 作OD ⊥BC 交BC 于点D .∵∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°.∵OD ⊥BC ，OB ＝OC ，∴BD ＝CD ，∠BOD ＝∠COD ＝12∠BOC ＝60°，∠BDO ＝90°.∴BD ＝OB · sin 60°＝8×32＝43(cm)．∴BC ＝2BD ＝8 3 cm.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝BC ＝8 3 cm.∴弧BC 的长为60π×83180＝83π3(cm)．8．C 【点拨】连接OE .∵直径AC ＝6，BD ＝3，∴OD ＝OB ＝BD ＝3，∴△BOD 为等边三角形．∴∠BOD ＝∠OBD ＝∠ODB ＝60°.∵AC ⊥BD ，∴∠BOC ＝12∠BOD ＝30°.∴∠A ＋∠ABO ＝30°.又∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠ABO ＝15°.∴∠ABD ＝∠ABO ＋∠OBD ＝75°.∵∠ABD ＝12∠AOD ，12∠AOD ＋∠EDB ＝180°，∴∠ABD ＋∠EDB ＝180°，即∠ABD ＋∠ODE ＋∠ODB ＝180°.∴∠ODE ＝45°.又∵OE ＝OD ，∴∠ODE ＝∠OED ＝45°，即△DOE 为等腰直角三角形．∴DE ＝2OD ＝3 2.9．B 【点拨】∵∠B ＝38.20°，∴∠BAC ＋∠ACB ＝180°－∠B ＝180°－38.20°＝141.80°.∵点I 是△ABC 的内心，∴∠DAI ＝∠CAI ＝12∠BAC ，∠ACI ＝∠ECI ＝12∠ACB ，∴∠CAI ＋∠ACI ＝12(∠BAC ＋∠ACB )＝70.90°.∵点A ，E 关于CD 所在的直线对称，∴AI ＝EI ，AD ＝ED .在△ADI 和△EDI 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ，AI ＝EI ，DI ＝DI ，∴△ADI ≌△EDI (SSS)，∴∠AID ＝∠EID .∵∠AID ＝∠CAI ＋∠ACI ＝70.90°，∴∠EID ＝70.90°.10．C 【点拨】连接OC 交AB 于点H .∵△OAB 沿AB 折叠得到△CAB ，∴AB 垂直平分OC ，△OAB ≌△CAB ，∴OH ＝12OC ＝12×4＝2，△OAB 的面积＝△CAB 的面积．∵cos ∠AOH ＝OH OA ＝12，∴∠AOH ＝60°.∵OA ＝OB ，OC ⊥AB ，∴∠AOB ＝2∠AOH ＝120°，AB ＝2AH .∴扇形AOB 的面积＝120π×42360＝16π3.易得AH ＝3OH ＝23，∴AB ＝43，∴△OAB 的面积＝12AB ·OH ＝12×43×2＝43，∴阴影部分的面积＝扇形AOB 的面积－△OAB 的面积×2＝16π3－8 3.11．D 【点拨】过A 作AE ⊥BD 于点E ，过C 作CF ⊥BD 于点F ，连接AC 交BD 于点G .在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2－BE 2，在Rt △ADE 中，AE 2＝AD 2－DE 2.设BE ＝x cm ，则DE ＝(21－x )cm ，∴202－x 2＝132－(21－x )2，解得x ＝16，即BE ＝16 cm ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝202－162＝12(cm)．在Rt △BCF 中，CF 2＝BC 2－BF 2，在Rt △DCF 中，CF 2＝DC 2－DF 2.设BF ＝y cm ，则DF ＝(21－y )cm ，∴152－y 2＝(122)2－(21－y )2，解得y ＝9，即BF ＝9 cm ，∴CF ＝BC 2－BF 2＝152－92＝12(cm)．∵∠BGC ＝∠AGD ，∠CFG ＝∠AEG ＝90°，CF ＝AE ＝12 cm ，∴△CFG ≌△AEG (AAS)，∴FG ＝EG ，AG ＝CG .又∵FE ＝BE －BF ＝16－9＝7(cm)，∴FG ＝12EF ＝72 cm ，∴CG ＝CF 2＋FG 2＝122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝252(cm)． ∴AC ＝2CG ＝2×252＝25(cm)，∵AC ＞BD ， ∴此圆形纸板的直径为25 cm.12．D 【点拨】①∵α＝360°n ，∴α是n 的反比例函数，故①正确．②如图，过点O 作OB ⊥A 1A 2于点B ，则d ＝OB .∵OA 1＝OA 2，∴∠BOA 1＝12∠A 1OA 2＝12α，∴d ＝r ·cos 12α.∵α为定值，即cos 12α为定值，∴d 是r 的正比例函数，故②正确．③∵n 为定值，α＝360°n ，∴α为定值．易得BA 1＝12A 1A 2.∵BA 1＝r ·sin 12α，d ＝r ·cos 12α，∴S ＝12·A 1A 2·d ＝r ·sin 12α·r ·cos 12α＝(sin 12 α·cos 12 α)·r 2，∴S 为r 的二次函数，故③正确．二、13.60π cm 2 【点拨】圆锥的高为8 cm ，母线长为10 cm ，由勾股定理得，底面半径为6 cm ，侧面展开图的面积＝πrl＝π×6×10＝60π(cm 2)．14．120° 【点拨】设∠A ＝4x ，则∠B ＝3x ，∠C ＝5x ，∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠A ＋∠C ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°，∴4x ＋5x ＝180°，解得x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°－60°＝120°.15．24 【点拨】过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，设⊙A 的半径为r .则AC ＝AB ＝r ，BC ＝2r ，设AE ＝a ，则点C 的坐标为(a ，2r )，∴k ＝2ar .易知S △ACD ＝12AC ·AE ，∴12·r ·a ＝6，即ar ＝12，∴k ＝2ar ＝24.16．0.1 【点拨】∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，∴AB ＝2 2.∵C 是弦AB 的中点，D 在AB ︵上，CD ⊥AB ，∴延长DC 可得O 在直线DC 上，OC ＝12AB ＝ 2.∴CD ＝OD －OC ＝2－2，∴s ＝AB ＋CD 2OA ＝22＋（2－2）22＝3， 又∵l ＝90×π×2180＝π，∴|l －s |＝|π－3|≈0.1.17．S 1＋S 3＝S 2＋S 4 【点拨】如图，设⊙O 的半径为r ，切点分别为E ，F ，G ，H ，连接OE ，OF ，OG ，OH ，易知OE⊥AD ，OF ⊥CD ，OG ⊥BC ，OH ⊥AB ，OE ＝OF ＝OG＝OH ＝r .设DE ＝DF ＝a ，AE ＝AH ＝b ，BH ＝BG ＝c ，CG ＝CF ＝d ，则S 1＝12r (a ＋b )，S 2＝12r (b ＋c )，S 3＝12r (c ＋d )，S 4＝12r (a＋d )，∴S 1＋S 3＝12r (a ＋b )＋12r (c ＋d )＝12r (a ＋b ＋c ＋d )，S 2＋S 4＝12r (a ＋d )＋12r (b ＋c )＝12r (a ＋b ＋c ＋d )，∴S 1＋S 3＝S 2＋S 4.18.67 【点拨】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥BC 于点F ，连接OB .∵AB ，BC 是⊙O 的切线，∴OE ，OF 是⊙O 的半径．∴OE ＝OF .∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，∴BC ＝AB 2－AC 2＝4.∵D 是BC 边的中点，∴BD ＝CD ＝2.∵S △ABD ＝S △ABO ＋S △BOD ，∴12AB ·OE ＋12BD ·OF ＝12BD ·AC ，即5OE ＋2OE ＝2×3，解得OE ＝67.∴⊙O 的半径为67.三、19.【解】∵P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，∴∠OAP ＝90°.∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠B ＝12∠AOP ＝30°.20．(1)【证明】∵MC 是⊙O 的直径，∴∠MAC ＝90°.∴MA ⊥AC .又∵BE ⊥AC ，∴BE ∥MA .(2)【解】连接MB .∵MC 是⊙O 的直径，∴∠MBC ＝90°.∴MB ⊥BC .∵AD ⊥BC ，∴BM ∥AD .又∵BE ∥MA ，∴四边形AMBH 是平行四边形．∴AH ＝MB .∵圆的半径是2，∴MC ＝4.∴MB ＝MC 2－BC 2＝42－32＝7.∴AH ＝7.21．【证明】(1)如图，过点O 作OM ⊥EF 于M ，作ON ⊥CD 于N ，连接OD ，OE .∵∠DPB ＝∠EPB ，∴OM ＝ON .又∵OE ＝OD ，∴Rt △ODN ≌Rt △OEM (HL)．∴DN ＝EM .∵OM ⊥EF ，ON ⊥CD ，∴EM ＝12EF ，DN ＝12CD .∴CD ＝EF .(2)∵CD ＝EF ，∴CD ︵＝EF ︵.∴CD ︵－FC ︵＝EF ︵－FC ︵，即CE ︵＝DF ︵.22．(1)【证明】如图，连接OD .∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠1＝∠2.∵OB ＝OD ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD ∥BC .∵∠C ＝90°，∴∠ODA ＝90°，∴OD ⊥AC .∵OD 为半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)【解】如图，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，连接OE ，则BG ＝EG ，四边形ODCG 为矩形，∴OG ＝CD ＝5 3.在Rt △OBG 中，由勾股定理得BG ＝OB 2－OG 2＝102－（53）2＝5，∴BE ＝2BG ＝10，∴OB ＝BE ＝OE ，∴△OBE 是等边三角形，∴∠BOE ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形BOE －S △BOE ＝60π×102360－12×10×53＝50π3－25 3.23．【解】(1)如图，设点E 是桥拱所在圆的圆心．过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点C ，连接AE ，则CF ＝20 m.由垂径定理知AF ＝FB ＝12AB ＝40 m.设半径是r m ，在Rt △AFE 中，由勾股定理得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(CE －CF )2，即r 2＝402＋(r －20)2，解得r ＝50.∴桥拱所在圆的半径为50 m.(2)这艘轮船能顺利通过．理由：如图，假设MN ＝60 m ，且MN ∥AB .连接EM ，设EC 与MN 的交点为D ，则DE ⊥MN ，∴DM ＝30 m.∴DE ＝EM 2－DM 2＝502－302＝40(m)．∵EF ＝EC －CF ＝50－20＝30(m)，∴DF ＝DE －EF ＝40－30＝10(m)．∵10 m>9 m ，∴这艘轮船能顺利通过．24．(1)【证明】过点F 作FH ⊥AC 于H ，FG ⊥AB 于G .∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 是∠BAC 的平分线．又∵FH ⊥AC ，FG ⊥AB ，∴FG ＝FH .∵S △ABF ＝12·AB ·FG ，S △ACF ＝12·AC ·FH ，∴S △ABF ∶S △ACF ＝(12·AB ·FG )∶(12·AC ·FH )＝AB ∶AC .(2)【证明】过点A 作AM ⊥BC 于点M .∵S △ABF ＝12BF ·AM ，S △ACF ＝12FC ·AM ，∴S △ABF ∶S △ACF ＝(12BF ·AM )∶(12FC ·AM )＝BF ∶FC ，由(1)可得S △ABF ∶S △ACF ＝AB ∶AC .∴AB ∶AC ＝BF ∶FC .(3)【证明】连接DB ，DC .∵AB ︵＝AB ︵，DC ︵＝DC ︵，∴∠ACF ＝∠BDF ，∠F AC ＝∠FBD ，∴△BFD ∽△AFC ，∴BF AF ＝DF CF ，即BF ·CF ＝AF ·DF .∵AC ︵＝AC ︵，∴∠FBA ＝∠ADC .又∵∠BAD ＝∠DAC ，∴△ABF ∽△ADC .∴ABAD＝AFAC，即AB·AC＝AD·AF.∴AB·AC＝(AF＋DF)·AF＝AF2＋AF·DF，∴AF2＝AB·AC－AF·DF＝AB·AC－BF·CF.(4)【解】DE2＝DA·DF.。

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（）A．BC．3 D．52、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB＝2CE＝3AF，过F作FG⊥BE于P交BC 于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．下列结论：①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF＝2∠PFE；④2=3PHGPDESS∆∆．其中正确的结论（）A．只有①②③B．只有①②④C．只有③④D．①②③④3、如图，一把直尺，60°的直角三角板和一个量角器如图摆放，A为60°角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点B为量角器与刻度尺的接触点，刻度为7，则该量角器的直径是（）A．3 B．C．6 D．4、如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠AOB的度数为（）A．90°B．100°C．108°D．110°CD ,OC＝5，则弦AB的长为（）5、如图，在⊙O中，半径OC⟂AB于点D．已知1A．3 B．4 C．5 D．66、如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（）A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.47、若一个圆锥的底面圆的周长是6π，母线长是6，则圆锥的侧面积是（）A．36πB．18πC．12πD．6π8、如图，AB，CD是O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知4AD BD==，6PC=，那么CD的长为（）A．6 B．7 C．8 D．99、如果一弧长是其所在圆周长的118，那么这条弧长所对的圆心角为（）A．15度B．16度C．20度D．24度10、如图，A，B，C是⊙O上的点，满足CA平分∠OCB．若∠OAC＝25°，则∠AOB的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到Rt△AED，则边AC 在旋转过程中所扫过的图形的面积为 __________________．2、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且45∠=︒，将△ADE绕点A顺时针旋转EAFBF=，则GM=______．90°得到△ABG，连接BD交AF于点M，DE=2，33、如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB=10，AC=7，则BD的长为 ___．4、如图，在矩形ABCD 中，F 是边AD 上的点，经过A ，B ，F 三点的O 与CD 相切于点E ．若6AB =，2FD =，则O 的半径是__________．5、如图，半圆O 的直径⟂⟂=12cm ，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，12cm BC =．半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，当圆心O 运动到点B 时停止，点D 、E 始终在直线BC 上．设运动时间为t （s ），运动开始时，半圆O 在ABC 的左侧，8cm OC =．当t =______时，Rt ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系内，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,2A -，()4,1B -，()3,3C -（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．(1)若111A B C △与ABC 关于原点O 成中心对称，则点1A 的坐标为______；(2)以坐标原点O 为旋转中心，将ABC 逆时针旋转90°，得到222A B C △，则点2A 的坐标为______；(3)求出（2）中线段AC 扫过的面积．2、定义1：如图1，若点H 在直线l 上，在l 的同侧有两条以H 为端点的线段MH 、NH ，满足12∠=∠，则称MH 和NH 关于直线l 满足“光学性质”；定义2：如图2，在ABC 中，PQR 的三个顶点P 、Q 、R 分别在BC 、AC 、AB 上，若RP 和QP 关于BC 满足“光学性质”，PQ 和RQ 关于AC 满足“光学性质”，PR 和QR 关于AB 满足“光学性质”，则称PQR 为ABC 的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：在ABC 中，30A ∠=︒，AB AC =，DEF 三个顶点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上．(1)如图3，若FE ∥BC ，DE 和FE 关于AC 满足“光学性质”，求∠EDC 的度数；(2)如图4，在ABC 中，作CF AB ⊥于F ，以AB 为直径的圆分别交AC ，BC 于点E ，D ．①证明：DEF为ABC的光线三角形；②证明：ABC的光线三角形是唯一的．3、如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．4、如图所示，⊙O的弦BD，CE所在直线相交于点A，若AB＝AC，求证：BD＝CE．5、已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M，N分别是CB和AD的中点，联结MN，OG．(1)求证：OG⊥MN；(2)联结AC，AM，CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】AB=4，再由勾股定理得出方程，解方程即可．由垂径定理得AE=12【详解】解：设⊙O的半径为r，∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，AB=4，∴AE=12在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，即42+（r-2）2=r2，解得：r=5，即⊙O的半径为5，故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．2、D【解析】【分析】如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，就有AM＝CE，由勾股定理可以求出EF的值，通过证明△EFB≌△MFB就可以求出①；根据△BPG∽△BCE就可以求出PG、BG从而求出GC，再求△HPG∽△DPF得出GH的值就可以得出HC的值，从而得出②的结论；由△BCE≌△DCH可以得出∠1＝∠4，根据四点共圆的性质可以得出∠4＝∠5，进而由角的关系得出∠9＝∠5而得出③成立；根据△BHP≌△DEP就可以得出面积相等，根据等高的两三角形的面积关系等于底之比就可以求出结论．【详解】解：如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，∴AM＝CE，BE＝BM，∠1＝∠2．∠BAM＝∠BCE．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．AD BC∥．∴∠BAM＝∠BCE＝90°，∴∠MAF＝180°，∴点M、A、F在同一直线上．∵AB＝2CE＝3AF，设AF＝x，∴AB＝3x，CE＝1.5x，∴MF＝1.5x+x＝2.5x，FD＝3x﹣x＝2x，ED＝1.5x．在Rt△DFE中，由勾股定理得EF＝2.5x，∴EF＝MF．∵在△EFB和△MFB中，EF MFBE BM，BF BF∴△EFB≌△MFB（SSS），∴∠EBF＝∠MBF．∵∠MBF＝∠2+∠3，∴∠MBF＝∠1+∠3，∴∠EBF＝∠1+∠3．∵∠EBF+∠1+∠3＝90°，∴∠EBF＝45°．∵FG⊥BE，∴∠FPB＝∠BPG＝90°，∴∠BFP＝45°，∴∠BFP＝∠PBF，∴PF＝PB，∴△PBF为等腰直角三角形，故①正确；在Rt△AFB中，由勾股定理得BF，在Rt△BFP中，由勾股定理得PF＝PB，在Rt△BEC中，由勾股定理得BE，∵∠1＝∠1，∠BPG＝∠BCE＝90°，∴△BPG∽△BCE，∴PG PB BG CE BC BE， ∴53 1.535PGx BG x xx ， ∴PG ，BG ＝2.5x ． ∴GC ＝0.5x ． ∵AD BC ∥， ∴△HPG ∽△DPF ，∴GHPGDF PF， ∴225x GHx x， ∴GH ＝x ，∴HC ＝1.5x ，∴2HC ＝3x ，∴2HC ＝BC ，∴H 是BC 的中点．故②正确；∵AB ＝2CE ，∴2HC ＝2CE ，∴HC ＝CE ， 在△BCE 和△DCH 中， BC DC C C CE CH，∴△BCE≌△DCH（SAS），∴∠1＝∠4．∥交AD于Q，交BC的延长线于R．过点E作QR FG∴∠BER＝∠BPG＝90°，∠5＝∠6．∴∠7+∠8＝90°．∵∠1+∠7＝90°，∴∠1＝∠8．∵∠8＝∠9，∴∠1＝∠9，∴∠4＝∠9．JP JD 如图，∵∠FPE＝∠FDE＝90°，取EF的中点,J连接,,JP JF JE JD,∴F、P、E、D四点共圆，∴∠4＝∠5．∴∠9＝∠5，∴∠DEF＝2∠5，即∠DEF＝2∠PFE．故③正确；∵在△BHP 和△DEP 中，14BPHDPE BH DE ， ∴△BHP ≌△DEP （AAS ），∴S △BHP ＝S △DEP ．作PS ⊥BC 于S ，∴S △BHP ＝2BH PS ，S △PHG ＝2HG PS ． ∴S △BHP ＝1.52x PS ，S △PHG ＝2x PS ， ∴221.532PHG PHGPDE PHB x PSS S x PSS S ，故④正确． ∴①②③④都是正确的．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定及性质的运用，圆的确定以及圆的基本性质．解答时作出恰当的辅助线是关键．3、D【解析】【分析】如图所示，连接OA ，OB ，OC ，利用切线定理可知△AOC 与△AOB 为直角三角形，进而可证明Rt △AOC ≌Rt△AOB ，根据三角板的角度可算出∠OAB 的度数，借助三角函数求出OB 的长度．【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，OC ，∵三角板的顶角为60°，∴∠CAB =120°，∵AC ，AB ，与扇形分别交于一点，∴AC ，AB 是扇形O 所在圆的切线，∴OC ⊥AC ，OB ⊥AB ，在Rt △AOC 与Rt △AOB 中，()OC OB OA OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩同圆的半径相等 ∴Rt △AOC ≌Rt △AOB ，∴∠OAC =∠OAB =60°，由题可知AB =7－4=3，∴OB =AB •tan60°=，∴直径为2⨯故选：D ．【点睛】本题考查，圆的切线定理，全等三角形的判定，三角函数，在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．4、C【分析】直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：54ACB ∠=︒，∴由圆周角定理得：2108AOB ACB ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．5、D【解析】【分析】根据垂径定理可得AD DB =，根据勾股定理求得DB ，进而可得AB 的长【详解】解：∵OC ⟂AB 于点D ，1CD =,OC ＝5，∴514OD OC CD =-=-=，5OB OC ==在Rt ODB 中，3DB =26AB DB ∴==故选D【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．6、B【分析】取AB 的中点O ，分别连接OC 、OB ，由垂径定理及勾股定理可求得OC 的长，根据垂线段小于斜线段，则OP 的值介于OC 与OB 之间，由此可求得结果．【详解】如图，取AB 的中点O ，分别连接OC 、OB ，则OC ⊥AB ，且132BC AB ==在Rt △OBC 中，OB =5，由勾股定理得：4OC ==点P 线段BC 上，则OC OP OB ≤≤，即45OP ≤≤由对称性，当点P 在线段AC 上时，45OP ≤≤∴当点P 在弦AB 上时，45OP ≤≤∵4 4.25≤≤∴选项B 符合题意故选：B【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段小于斜线段等知识，垂线段小于斜线段是问题的关键．7、B【解析】【分析】根据圆锥侧面面积公式求解即可．【详解】解：S 圆锥侧面积=l Rππ11661822．故选择B ．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式是解题关键．8、C【解析】【分析】根据圆周角定理，可证∠C ＝∠B ，又由AD ＝BD ，可证∠B ＝∠DAB ，即得∠DAP ＝∠C ，可证△DAP ∽△DCA ，得到AD ：CD ＝DP ：AD ，代值计算即可求CD 的长．【详解】解：连接AC ，由圆周角定理知，∠C ＝∠B ，∵AD ＝BD∴∠B ＝∠DAB ，∴∠DAP ＝∠C∴△DAP ∽△DCA ，∴AD ：CD ＝DP ：AD ，得AD 2＝DP •CD ＝CD •（CD ﹣PC ），把AD ＝4，PC ＝6代入得，26160CD CD --=，解得，CD ＝8或CD ＝-2（舍去）．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．9、C【解析】【分析】根据弧长公式和圆的周长公式的关系即可得出答案【详解】 解：∵一弧长是其所在圆周长的118， ∴1=2r 18018n r ππ⨯ ∴=20n∴这条弧长所对的圆心角为20故选：C【点睛】 本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式180n r l π=是解题的关键． 10、B【解析】根据OA OC =可得25OAC OCA ∠==︒，根据平分线的意义可得25ACB ACO ∠=∠=︒，进而根据圆周角定理可得2AOB ACB ∠=∠即可求解【详解】解：∵OA OC =，∠OAC ＝25°，∴25OAC OCA ∠==︒CA 平分∠OCB ．∴25ACB ACO ∠=∠=︒，AB AB =∴2AOB ACB ∠=∠50=︒故选B【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的应用，等边对等角，掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题1、254π 【解析】【分析】先由勾股定理求出AC ，再求以点A 为圆心，以AC 为半径，圆心角为90°的扇形面积即可．【详解】解：如图，根据题意得，边AC在旋转过程中所扫过的图形是以点A为圆心，以AC为半径，圆心角为90°的扇形，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=32+42=25，∴边AC在旋转过程中所扫过的图形的面积为S扇形ACD= 902525 3604ππ⨯=，故答案为：254π．【点睛】本题考查了勾股定理，扇形面积，掌握勾股定理和扇形面积的计算方法是得出正确答案的前提．2、【解析】【分析】先证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，设正方形边长为x，在Rt△CEF中根据勾股定理求出x，再由四点共圆得出∠AMG=90°，即可得出答案．【详解】解：连接GM，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合．由旋转可得AB=AD，AE=AG，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．∴∠ABG +∠ABF =90°+90°=180°，∴点G 、B 、F 在同一条直线上．∵∠EAF =45°，∴∠2+∠3=∠BAD -∠EAF =90°-45°=45°，∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°，∴∠GAF =∠EAF ．在△GAF 和△EAF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△GAF ≌△EAF ，∴GF =EF ．∵GF =GB +BF =2+3=5，∴EF =5．设正方形边长为x ，在Rt △CEF 中，∵CE 2+CF 2=EF 2，∴(x -2)2+(x -3)2=52，解得x =6（负值舍去），∴AG =AE==∵∠GAM +∠GBM =45°+135°=180°，∴A 、G 、B 、M 四点共圆，∴∠AMG =∠ABG =90°，∴△AGM是等腰直角三角形，∴AM=GM．∵AM2+GM2=AG2，∴AM=GM AG==故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理等知识，解此题的关键是能证明△AGM是等腰直角三角形，有一定的难度．3、3【解析】【分析】由AC与⊙O相切于点C、AB与⊙O相切于点P，可得AC=AP，同理得BD=BP，再由BD=BP=AB-AC求得结果．【详解】解：∵AC与⊙O相切于点C、AB与⊙O相切于点P，∴AC=AP=7，∵AB=10，∴BP=AB-AP=10-7=3，∵BD与⊙O相切于点D、BP与⊙O相切于点P，∴BD=BP=3，∴BD的长为3，故答案为：3．【点睛】本题考查切线长定理，由于两次用到切线长定理，所以应先通过观察确定要求的线段的长由哪两条线段的差构成．4、134##134【解析】【分析】连接EO，并延长交圆于点G，在Rt△DEF中求出EF的值，再证明△DEF∽△FGE，然后根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：连接EO，并延长交圆于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=6AB ，∠D=90°，∵O与CD相切于点E，∴OE⊥CD，再结合矩形的性质可得：∴DE=CE=3．∵2FD=，∴EF∵O与CD相切于点E，∴∠GED=90°．∵GE是直径，∴∠GFE=90°，∴∠DEF+∠GEF=90°，∠EGF+∠GEF=90°，∴∠DEF=∠EGF．∵∠D=∠∠GFE=90°，∴△DEF∽△FGE，∴DF EFEF GE=，，∴GE=132，∴O的半径是134，故答案为；134．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．5、1或4或7【解析】【分析】Rt ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切有三种情况：当点C 与点E 重合、点O 与点C 重合以及点D 与点C 重合，分别找出点O 运动的路程，即可求出答案．【详解】如图，当点C 与点E 重合时，AC 与半圆O 所在的圆相切，∵12cm DE =，∴6cm OE =，∴862(cm)CD =-=，即点O 运动了2cm ， ∴21(s)2t ==， 当AB 与半圆O 所在的圆相切时，过点C 作CF AB ⊥交于点F ，∵2cm BC =，30ABC ∠=︒， ∴16cm 2CF BC ==， ∴CF OE OD ==，即点O 与点C 重合，∴点O 运动了8cm ，∴84(s)2t ==， 当点C 与点D 重合时，AC 与半圆O 所在的圆相切，6814(cm)DC =+=，即点O 运动了14cm ， ∴147(s)2t ==， 故答案为：1或4或7．【点睛】考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．三、解答题1、 (1)()1,2-(2)()2,1(3)线段AC 扫过的面积为134π 【解析】【分析】（1）根据关于原点成中心对称的性质“横、纵坐标互为相反数”，求解即可；（2）根据旋转的有关性质，求解即可；（3）根据扇形的面积计算公式求解即可．(1)解：∵111A B C △与ABC 关于原点O 成中心对称，()1,2A -，∴点1A 的坐标为()1,2-．故答案为：()1,2-；(2)解：如图，222A B C △即为所求，点2A 的坐标为()2,1．故答案为：()2,1；(3)解：∵OA OC =∴线段AC 扫过的面积=扇形2OCC 的面积-扇形2OAA 的面积(2290909513360360244πππππ⨯⨯=-=-=． 【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了中心对称和旋转变换以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关性质及基础知识．2、 (1)30°(2)①证明过程见解析；②证明过程见解析．【解析】【分析】(1)由“光学性质”定义得到∠DEC =∠FEA ，由FE ∥BC 得到∠FEA =∠C =75°，最后在△DEC 中由三角形内角和定理即可求解；(2)①根据定义一和定义二，证明∠BDF=∠CDE，∠AEF=∠DEC，∠AFE=∠BFD即可；②如下图所示，根据光线三角形的定义得到∠1+∠3+∠5=180°，再由∠1=30°，∠3=75°，∠5=75°，全部已经唯一确定，进而得到△ABC的光线三角形是唯一的．(1)解：由题意知，∠A=30°，AB=AC，∴∠C=∠B=(180°-30°)÷2=75°，∵DE和FE关于AC满足“光学性质”，∴∠DEC=∠FEA，∵FE∥BC，∴∠FEA=∠C，∴∠DEC=∠C=75°，∴在△DEC中，由三角形内角和定理可知：∠EDC=180°-∠C-∠DEC=180°-75°-75°=30°，故∠EDC=30°；(2)证明：①如下图所示，设AB的中点为O，连接OD，∵∠A=30°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=(180°-30°)÷2=75°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=75°=∠ACB，∴OD∥AC，又O为AB中点，∴OD为△ABC的中位线，D为BC的中点，又已知CF⊥AB，∴由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可知：DF=DB=DC，∴∠BFD=∠B=75°，∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=30°，又B、D、E、A四点共圆，由圆内接四边形对角互补可知：∠BDE=180°-∠A=150°，又∠BDE=∠DCE+∠DEC=75°+∠DEC，∴∠DEC=75°，∴∠CDE=180°-∠ACD-∠DEC=180°-75°-75°=30°，∴∠BDF=∠CDE=30°，∴直线DF和DE关于直线BC满足“光学性质”；∵∠BFD=∠B=∠ACD=∠DEC=75°，且D为BC中点，∴FD=BD=CD=D E，且∠EDF=∠BDE-∠BDF=150°-30°=120°，∴∠DFE=∠DEF=(180°-∠EDF)÷2=(180°-120°)÷2=30°，∴∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-30°-75°=75°=∠DEC，∴直线DE和FE关于直线AC满足“光学性质”；同理：∠AFE=180°-∠BFD-∠DFE=180°-75°-30°=75°=∠BFD，∴直线DF和EF关于直线AB满足“光学性质”，由定义二可知：DEF为ABC的光线三角形．证明：②如下图所示，△DEF是△ABC的光线三角形，下面证明唯一性：由光线三角形的定义可知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，又∠B=180°-∠1-∠6，∠C=180°-∠2-∠3，∠A=180°-∠4-∠5，将上述三个式子相加，得到：∠B+∠C+∠A=540°-(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6)，整理得到：∠1+∠3+∠5=180°，由①中可知：∠1=30°，∠3=75°，∠5=75°，全部已经唯一确定，故△ABC的光线三角形是唯一的．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定、圆周角定理及其推论，本题属于新定义题，读懂题意，根据题意中的定义求解分析是解决本类题的关键．3、 (1)见解析(2)1；【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求得∠ODB＝90°，按照切线的判定定理可得答案；（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半及圆的半径相等可得答案；（3）先由勾股定理求得BE的长，再连接DM，利用有两个角相等的三角形相似可判定△BMD∽△BDE，然后利用相似三角形的性质可得比例式，从而求得答案．(1)证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴直线BD是⊙O的切线；(2)∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，OB，∴OD＝12∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；(3)∵OD＝1，∴DE＝2，BD∴BE，如图，连接DM，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴BM BD BD BE=，∴BM＝2BDBE==∴线段BM．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似的判定是解题的关键．4、见详解【解析】【分析】如图，连接DE，BC．证明∠ADE=∠AED，推出AD=AE，可得结论．【详解】证明：如图，连接DE，BC．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADE+∠EDB=180°，∠C+∠EDB=180°，∴∠ADE=∠C，同法可证，∠AED=∠B，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴BD=EC．【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明AD=AE．5、 (1)证明过程见详解．(2)证明过程见详解．【解析】【分析】（1）如图，连接OM ，ON ，OB ，OD ．利用全等三角形的性质证明OM =ON ，GM =GN ，可得结论；（2）证明AG =CG =GM =GN ，可得结论．(1)证明：如图，连接OM ，ON ，OB ，OD ．∵M ，N 分别是CB 和AD 的中点∴OM ⊥CB ，ON ⊥AD ，∵AD =BC ，∴BM =DN ，在Rt △OMB 和Rt △OND 中，OB OD BM DN ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △OMB ≌Rt △OND （HL ），∴OM =ON ，在Rt △OMG 和Rt △ONG 中，OG OG OM ON⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △OMG ≌Rt △ONG （HL ），∴GM =GN ，∵OM =ON ，∴OG ⊥MN ；(2)证明：∵OG ⊥MN ，CN ∥OG ，∴CN ⊥MN ，∴∠MNC =90°，∵GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵∠GMN +∠GCN =90°，∠GNM +∠GNC =90°，∴∠GCN =∠GNC ，∴GC =GN ，∵CM =12CB ，AN =12AD ，BC =AD ，∴CM =AN ，∴AG =CG ，∴AG =GN =CG =GM ，∴四边形AMNC 是平行四边形，∵AN =CM ，∴四边形AMNC是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

第四章 圆单元目标（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． （4）理解圆与圆的位置的种类；（5）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （6）会用连心线长判断两圆的位置关系． （7）使学生正确理解圆周角的概念。

（8）掌握圆周角定理及其证明的思路。

（9）通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题和“转化”的思想和方法。

（10）使学生了解圆内角和圆外角概念，知道它们的度数与所夹弧度数的关系。

（11）了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

（12）了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

第一节 圆要点精讲 1、圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA 叫做半径； （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

2、点和圆的位置关系：如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d ，那么： （1）点在圆外d r ⇔>；（2）点在圆上d r ⇔=；（3）点在圆内d r ⇔<。

3、与圆有关的概念：（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。

（4）同心圆：圆心相同，半径不相等．．．．．的两个圆叫做同心圆。

（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

（圆心不同）（6）等弧．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。

典型例题【例1】求下面各圆的周长。

（1）（2【答案】cm3r=d=7dmr2Cπ=dCπ=314.32⨯⨯=714.3⨯=84.18=（cm）98.21=（cm）【解析】圆的周长是直径的π倍，是半径的2π倍。

章节测试题1.【答题】如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是（）A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③【答案】B【分析】点光源固定，当线段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化．【解答】解：当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m最大，则m＞AC，①成立；①成立，那么②不成立；最小值为AB与AC重合，故n=AB，故③成立；由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．2.【答题】如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B 处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（）A. 逐渐变短B. 逐渐变长C. 先变短后变长D. 先变长后变短【答案】A【分析】由题意易得，小亮离光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，即可得到身影的变化特点．【解答】小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，选A．3.【答题】晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）A. 变长B. 变短C. 先变长后变短D. 先变短后变长【答案】D【分析】由题意易得，小华离光源是由远到近再到远的过程，根据中心投影的特点，即可得到身影的变化特点．【解答】∵小华出去散步，在经过一盏路灯这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，∴他在地上的影子先变短后变长．选D．4.【答题】在同一时刻的阳光下，小华的影子比小东的影子长，那么在同一路灯下，他们的影子为（）A. 小华比小东长B. 小华比小东短C. 小华与小东一样长D. 无法判断谁的影子长【答案】D【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，∴无法判断谁的影子长．【解答】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，∴无法判断谁的影子长．选D．5.【答题】下面四幅图是在同一天同一地点不同时刻太阳照射同一根旗杆的影像图，其中表示太阳刚升起时的影像图是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】太阳从东方升起，故物体影子应在西方，∴太阳刚升起时，照射一根旗杆的影像图，应是影子在西方．【解答】太阳东升西落，在不同的时刻，同一物体的影子的方向和大小不同，太阳从东方刚升起时，影子应在西方．选C．6.【答题】学校里旗杆的影子整个白天的变化情况是（）A. 不变B. 先变短后变长C. 一直在变短D. 一直在变长【答案】B【分析】早晨和晚上太阳高度角较小，影长较长；中午太阳高度角较大，影长较短．【解答】由图可知，旗杆为AE，影长从AC变为AB，变为AD，过程为先变短，后变长．选B．7.【答题】在同一天的四个不同时刻，某学校旗杆的影子如图所示，按时间先后顺序排列的是（）A. ①②③④B. ②③④①C. ③④①②D. ④③①②【答案】B【分析】根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．【解答】西为②，西北为③，东北为④，东为①，∴将它们按时间先后顺序排列为②③④①．选B．8.【答题】如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据题意：水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直；则它的正投影图是应是D．【解答】依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．选D．9.【答题】下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．【解答】A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；B、影子的方向不相同，故本选项错误；C、影子的方向不相同，故本选项错误；D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误．选A．10.【答题】如图所示“属于物体在太阳光下形成的影子”的图形是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根据平行投影特点在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例可知．【解答】在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例且影子方向相同．B、D的影子方向相反，都错误；C中物体的物高和影长不成比例，也错误．选A．11.【答题】四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图．则在字母L、K、C的投影中，与字母N属同一种投影的有（）A. L、KB. CC. KD. L、K、C【答案】A【分析】利用平行投影和中心投影的特点和规律分析．【解答】根据平行投影和中心投影的特点和规律．“L”、“K”与“N”属中心投影；选A．12.【答题】某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】可根据中心投影的特点分析求解．【解答】由图：两根木棒在同一平面内的影子长短几乎相等，分析可得：这是中心投影；且光源在中间一根附近，那么第三根木棒的影子应与其他的两根反向．选D．①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．13.【答题】把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．【解答】把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．选A．14.【答题】小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（）A. 三角形B. 线段C. 矩形D. 平行四边形【答案】A【分析】根据平行投影的性质分别分析得出即可即可．【解答】将长方形硬纸板立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段；将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形．选：A．15.【答题】在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可判断出长方形木板在地面上形成的投影中不可能为梯形．【解答】在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形，则长方形木板在地面上形成的投影中不可能是梯形．选C16.【答题】如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（）A. 越来越小B. 越来越大C. 大小不变D. 不能确定【答案】A【分析】解答本题关键是要区分开平行投影和中心投影．根据题意，灯光下影子越长的物体就越高，可联系到中心投影的特点，从而得出答案．【解答】灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，此距离越大，影子才越小．选：A．17.【答题】小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．【解答】矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合，故A不可能，即不会是梯形．选A．18.【答题】在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】可确定矩形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当矩形木板与光线方向平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况矩形在地面上所形成的投影均为平行四边形，∴矩形木板在地面上形成的投影不可能是梯形．【解答】将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成B选项的影子；将矩形木框与地面平行放置时，形成C选项影子；将木框倾斜放置形成D选项影子；依物同一时刻物高与影长成比例，又因矩形对边相等，因此投影不可能是A选项中的梯形，∵梯形两底不相等．选A．19.【答题】李刚同学拿一个矩形木框在阳光下摆弄，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合，故不会是一点，即答案为D．【解答】根据平行投影的特点，矩形木框在地面上行程的投影不可能是一个圆点．选D．20.【答题】一根笔直的小木棒（记为线段AB），它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是（）A. AB=CDB. AB≤CDC. AB＞CDD. AB≥CD【答案】D【分析】投影线垂直于投影底幕面时，称正投影，根据木棒的不同位置可得不同的线段长度．【解答】根据正投影的定义，当AB与投影面平行时，AB=CD，当AB与投影面不平行时，AB大于CD．选D．。

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（ ）A ．x 轴相交B ．y 轴相交C ．x 轴相切D ．y 轴相切2、如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，且125ABC ∠=︒，那么AOC ∠等于（ ）A ．125°B ．120°C ．110°D ．130°3、若一个圆锥的底面圆的周长是6π，母线长是6，则圆锥的侧面积是（ ）A ．36πB ．18πC ．12πD ．6π4、如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若AB ＝2，则此莱洛三角形的周长为（ ）A ．2πB ．4πC ．6D ．23π 5O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，4AB =，1AE =，则CD 长是（ ）AB．C．D．6、如图，AB ，CD 是O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD 、BD ，已知4AD BD ==，6PC =，那么CD 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97、如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CD 、AD 上，且AB ＝2CE ＝3AF ，过F 作FG ⊥BE 于P 交BC 于G ，连接DP 交BC 于H ，连BF 、EF ．下列结论：①△PBF 为等腰直角三角形；②H 为BC 的中点；③∠DEF ＝2∠PFE ；④2=3PHG PDE S S ∆∆． 其中正确的结论（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有③④D ．①②③④8、如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．18+9、下列四个命题中，真命题是（ ）A ．相等的圆心角所对的两条弦相等B ．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点C ．平分弦的直径一定垂直于这条弦D ．等弧就是长度相等的弧10、如图， 点A B C ，，在O 上， 40A ∠=， 则OBC ∠的度数是（ ）A ．30B ．50C ．60D ．80第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，圆锥的高AO ＝4，底面圆半径为3，则圆锥的侧面积为_____．2、如图，将半径为6cm 的圆分别沿两条平行弦对折，使得两弧都经过圆心，则图中阴影部分的面积为______cm 2．3、圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥的底面半径长为_____cm ．4、如图，点A ，B ，C 在O 上，32ABO ∠=︒，36ACO ∠=︒，则BOC ∠等于______．5、如图，正方形ABCD 是边长为2，点E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE=DF ，连接BE 、CF ，BE 与对角线AC 交于点G ，连接DG 交CF 于点H ，连接BH ，则BH 的最小值为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在圆O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，点E在劣弧AC上运动，连接EC、BE，交AC于点F．(1)求∠E的度数；(2)当点E运动到使BE⊥AC时，如图2，连接AO并延长，交BE于点G，交BC于点D，交圆O于点M，求证：D为GM中点．2、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数．3、如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．4、如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，连接CD，且∠CDA＝∠CBD．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DC＝4，AC＝2，求OC的长．5、定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠=∠，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；12定义2：如图2，在ABC中，PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC、AB上，若RP和QP关于BC 满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称PQR为ABC的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：=，DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC、AB上．在ABC中，30∠=︒，AB ACA(1)如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；⊥于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．(2)如图4，在ABC中，作CF AB①证明：DEF为ABC的光线三角形；②证明：ABC的光线三角形是唯一的．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据点（2，3）到y轴的距离为2，到x轴的距离为3即可判断.【详解】∵圆是以点（2，3）为圆心，2为半径，∴圆心到y轴的距离为2，到x轴的距离为3，则2=2，2＜3∴该圆必与y轴相切，与x轴相离．故选D.本题是直线和圆的位置关系及坐标与图形的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大．2、C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D ，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180D ABC ∠+∠=︒∵125ABC ∠=︒∴∠D=180°-∠A =180°-125°=55°，由圆周角定理得，∠AOC =2∠D =110°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3、B【解析】【分析】根据圆锥侧面面积公式求解即可．【详解】解：S 圆锥侧面积=l R ππ11661822．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式是解题关键．4、A【解析】【分析】根据正三角形的性质求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．【详解】解：ABC ∆是正三角形，60BAC ∴∠=︒，∴BC 的长为：60221803ππ⋅⨯=， ∴ “莱洛三角形”的周长2323ππ=⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的知识，解题的关键是理解“莱洛三角形”的概念、掌握弧长公式是解题的关键．5、C【解析】【分析】过点O 作OF ⊥CD 于点F ，OG ⊥AB 于G ，连接OB 、OD 、OE ，由垂径定理得出DF =CF ，AG =BG =12AB =2，得出EG =AG -AE =1，由勾股定理得出OG =1，证出△EOG 是等腰直角三角形，得出∠OEG =45°，OE =OEF =30°，由直角三角形的性质得出OF ，由勾股定理得出DF =案．【详解】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：AB=2，则DF=CF，AG=BG=12∵AE=1∴EG=AG-AE=1，在Rt△BOG中，2==BO BG∴OG==，1∴EG=OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°，OE=∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，OE，∴OF=12在Rt△ODF中，DF===，∴CD=2DF=；故选：C．本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、C【解析】【分析】根据圆周角定理，可证∠C＝∠B，又由AD＝BD，可证∠B＝∠DAB，即得∠DAP＝∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD＝DP：AD，代值计算即可求CD的长．【详解】解：连接AC，由圆周角定理知，∠C＝∠B，∵AD＝BD∴∠B＝∠DAB，∴∠DAP＝∠C∴△DAP∽△DCA，∴AD：CD＝DP：AD，得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），把AD＝4，PC＝6代入得，26160--=，CD CD解得，CD＝8或CD＝-2（舍去）．故选：C．本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．7、D【解析】【分析】如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，就有AM＝CE，由勾股定理可以求出EF的值，通过证明△EFB≌△MFB就可以求出①；根据△BPG∽△BCE就可以求出PG、BG从而求出GC，再求△HPG∽△DPF得出GH的值就可以得出HC的值，从而得出②的结论；由△BCE≌△DCH可以得出∠1＝∠4，根据四点共圆的性质可以得出∠4＝∠5，进而由角的关系得出∠9＝∠5而得出③成立；根据△BHP≌△DEP就可以得出面积相等，根据等高的两三角形的面积关系等于底之比就可以求出结论．【详解】解：如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，∴AM＝CE，BE＝BM，∠1＝∠2．∠BAM＝∠BCE．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．AD BC∥．∴∠BAM＝∠BCE＝90°，∴∠MAF＝180°，∴点M、A、F在同一直线上．∵AB＝2CE＝3AF，设AF＝x，∴AB＝3x，CE＝1.5x，∴MF＝1.5x+x＝2.5x，FD＝3x﹣x＝2x，ED＝1.5x．在Rt△DFE中，由勾股定理得EF＝2.5x，∴EF＝MF．∵在△EFB和△MFB中，EF MFBE BM，BF BF∴△EFB≌△MFB（SSS），∴∠EBF＝∠MBF．∵∠MBF＝∠2+∠3，∴∠MBF＝∠1+∠3，∴∠EBF＝∠1+∠3．∵∠EBF+∠1+∠3＝90°，∴∠EBF＝45°．∵FG⊥BE，∴∠FPB＝∠BPG＝90°，∴∠BFP＝45°，∴∠BFP＝∠PBF，∴PF＝PB，∴△PBF为等腰直角三角形，故①正确；在Rt△AFB中，由勾股定理得BF，在Rt△BFP中，由勾股定理得PF＝PB，在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE， ∵∠1＝∠1，∠BPG ＝∠BCE ＝90°，∴△BPG ∽△BCE ， ∴PG PB BG CE BC BE， ∴53 1.535PGx BG x xx ， ∴PG ，BG ＝2.5x ． ∴GC ＝0.5x ． ∵AD BC ∥， ∴△HPG ∽△DPF ，∴GHPGDF PF， ∴225x GHx x， ∴GH ＝x ，∴HC ＝1.5x ，∴2HC ＝3x ，∴2HC ＝BC ，∴H 是BC 的中点．故②正确；∵AB ＝2CE ，∴2HC ＝2CE ，∴HC ＝CE ，在△BCE和△DCH中，BC DCC C，CE CH∴△BCE≌△DCH（SAS），∴∠1＝∠4．∥交AD于Q，交BC的延长线于R．过点E作QR FG∴∠BER＝∠BPG＝90°，∠5＝∠6．∴∠7+∠8＝90°．∵∠1+∠7＝90°，∴∠1＝∠8．∵∠8＝∠9，∴∠1＝∠9，∴∠4＝∠9．JP JD 如图，∵∠FPE＝∠FDE＝90°，取EF的中点,J连接,,JP JF JE JD,∴F、P、E、D四点共圆，∴∠4＝∠5．∴∠9＝∠5，∴∠DEF ＝2∠5，即∠DEF ＝2∠PFE ．故③正确；∵在△BHP 和△DEP 中，14BPHDPE BH DE ， ∴△BHP ≌△DEP （AAS ），∴S △BHP ＝S △DEP ．作PS ⊥BC 于S ，∴S △BHP ＝2BH PS ，S △PHG ＝2HG PS ． ∴S △BHP ＝1.52x PS ，S △PHG ＝2x PS ， ∴221.532PHG PHGPDE PHB x PSS S x PSS S ，故④正确． ∴①②③④都是正确的．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定及性质的运用，圆的确定以及圆的基本性质．解答时作出恰当的辅助线是关键．8、A【解析】【分析】如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．由题意AB垂直平分线段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝OA∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝∵OC＋OH≥CT，∴CT≤6＋3＝9，∴CT的最大值为9，∴△ABC 的面积的最大值为192⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．9、B【解析】【分析】利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；B 、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点，是真命题，故本选项符合题意；C 、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；D 、等弧是能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识，难度不大．10、B【解析】【分析】根据圆周角定理可得80BOC ∠=︒，然后根据BO CO =可得OBC OCB ∠=∠，进而可利用三角形内角和定理可得答案．【详解】解：40A ∠=︒，80BOC ∴∠=︒，BO CO =，(18080)250OBC ∴∠=︒-︒÷=︒，故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题1、15π【解析】【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积公式计算．【详解】 解：圆锥的高4AO =，底面圆半径为3，∴圆锥的母线长5，∴圆锥的侧面积1235152ππ=⨯⨯⨯=．故答案为：15π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2、12π【解析】【分析】设该圆圆心为O ，并用大写字母表示出其它点，作OC AB ⊥于点C ．根据所作图形可知AC BC =，再根据题意可知11322OC OA OB cm ===，60AOC BOC ∠=∠=︒，即得出AOB ∠．结合勾股定理，在Rt OAC △中，可求出AC 的长，即可求出AB 的长，最后根据4()AOB AOB S S S S =--阴圆扇形，结合圆的面积公式、扇形的面积公式，三角形面积公式求出结果即可．【详解】如图，设该圆圆心为O ，其它点如图所示，并作OC AB ⊥于点C ．根据垂径定理可知，AC BC =．∵该圆分别沿两条平行弦对折，且两弧都经过圆心， ∴11163222OC OA OB cm ===⨯=， ∴30OAC OBC ∠=∠=︒，∴903060AOC BOC ∠=∠=︒-︒=︒，∴6060120AOB ∠=︒+︒=︒．∵在Rt OAC △中，AC ，∴BC AC ==，∴AB =．∴222120614()64(3)12)3602AOB AOB S S S S cm πππ⋅=--=⋅--⨯=阴圆扇形．故答案为：12π【点睛】本题考查不规则图形的面积计算，涉及垂径定理，含30角的直角三角形的性质，勾股定理，圆的面积公式，扇形的面积公式．正确的作出辅助线是解答本题的关键．3、3【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设底面半径为R，则底面周长=2πRcm，侧面展开图的面积=1×2πR×5=5πR=15πcm2，2∴R=3cm．故答案为3．【点睛】本题考查了圆的周长公式和扇形面积公式，掌握相应的公式是解答此题的关键．4、136°##136度【解析】【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；在△OAB中，OA＝OB，则∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×36°＝72°，故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝136°．故答案为：136°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．51##1-【解析】【分析】由已知可证明△ADG≌△ABG，△BAE≌△CDF，进而可证明∠CHD=90°，得H是以CD为直径的圆上一点，取CD中点O，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得BH长度的最小值．【详解】解：∵ABCD是正方形，∴△ADG≌△ABG，∴∠ADG=∠ABG∵AB=DC，AE=DF，∠BAE=∠CDF∴△BAE≌△CDF∴∠ABE=∠DCF∴∠ADG=∠DCF，∵∠CDH+∠ADG=90°∴∠CDH+∠DCF=90°∴∠CHD=90°，∴点H是以CD为直径的⊙O上一点．当B、H、O共线时，BH最小OB∴BH，．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以CD为直径的圆上一点．三、解答题1、(1)30°(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠A=30°，再根据圆周角定理，即可求解；（2）连接CM，CE，根据直径所对的圆周角是直角可得CM∥BE，从而得到∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，再由∠ACB=75°，可得∠CBF=15°，从而得到∠BAM=∠DCM=15°，进而得到∠CAM=∠BAM，再根据垂径定理可得BD=CD，进而证得△BDG≌△CDM，即可求证．(1)解：∵AB＝AC，∠ACB＝75°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=30°，∵∠E=∠A，∴∠E=30°；(2)证明：如图，连接CM，CE，∵AM是圆O的直径，∴∠ACM=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=∠ACM=90°，∴CM∥BE，∴∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，∵∠ACB=75°，∴∠CBF=15°，∴∠DCM=15°，∴∠BAM=∠DCM=15°，∵∠BAC=30°，∴∠CAM=15°，∴∠CAM=∠BAM，∴BM CM，∴BD=CD，在△BDG和△CDM中，∵∠DBG=∠DCM，∠BGD=∠CMD，BD=CD，∴△BDG≌△CDM，∴DG=DM，即D为GM中点．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2、∠P=50°．【解析】【分析】根据切线性质得出PA=PB，∠PAO=90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴AC⊥AP，∴∠CAP=90°，∵∠BAC=25°，∴∠PBA=∠PAB=90°-25°=65°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°-65°=50°．【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．3、 (1)见解析(2)1；【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求得∠ODB＝90°，按照切线的判定定理可得答案；（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半及圆的半径相等可得答案；（3）先由勾股定理求得BE的长，再连接DM，利用有两个角相等的三角形相似可判定△BMD∽△BDE，然后利用相似三角形的性质可得比例式，从而求得答案．(1)证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴直线BD是⊙O的切线；(2)∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，OB，∴OD＝12∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；(3)∵OD＝1，∴DE＝2，BD∴BE，如图，连接DM，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴BM BD BD BE=，∴BM＝2BDBE==∴线段BM．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似的判定是解题的关键．4、 (1)见解析(2)5【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出∠ODA+∠CDA=90°，即OD⊥CD即可得出结论；（2）利用相似三角形的判定和性质，求出BC，进而求出半径OA，再求出OC即可．(1)解：如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ODA=90°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，又∵∠CDA=∠CBD，∴∠ODA +∠CDA =90°，即OD ⊥CD ，∵OD 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；(2)∵∠CDA =∠CBD ，∠ACD =∠DCB ，∴△ACD ∽△DCB ， ∴CD AC CB DC=， 即424CB =， ∴CB =8，∴OA =2CB AC -=822-=3， ∴OC =OA +AC=3+2=5．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，相似三角形的性质是解决问题的关键．5、 (1)30°(2)①证明过程见解析；②证明过程见解析．【解析】【分析】(1)由“光学性质”定义得到∠DEC=∠FEA，由FE∥BC得到∠FEA=∠C=75°，最后在△DEC中由三角形内角和定理即可求解；(2)①根据定义一和定义二，证明∠BDF=∠CDE，∠AEF=∠DEC，∠AFE=∠BFD即可；②如下图所示，根据光线三角形的定义得到∠1+∠3+∠5=180°，再由∠1=30°，∠3=75°，∠5=75°，全部已经唯一确定，进而得到△ABC的光线三角形是唯一的．(1)解：由题意知，∠A=30°，AB=AC，∴∠C=∠B=(180°-30°)÷2=75°，∵DE和FE关于AC满足“光学性质”，∴∠DEC=∠FEA，∵FE∥BC，∴∠FEA=∠C，∴∠DEC=∠C=75°，∴在△DEC中，由三角形内角和定理可知：∠EDC=180°-∠C-∠DEC=180°-75°-75°=30°，故∠EDC=30°；(2)证明：①如下图所示，设AB的中点为O，连接OD，∵∠A=30°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=(180°-30°)÷2=75°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=75°=∠ACB，∴OD∥AC，又O为AB中点，∴OD为△ABC的中位线，D为BC的中点，又已知CF⊥AB，∴由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可知：DF=DB=DC，∴∠BFD=∠B=75°，∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=30°，又B、D、E、A四点共圆，由圆内接四边形对角互补可知：∠BDE=180°-∠A=150°，又∠BDE=∠DCE+∠DEC=75°+∠DEC，∴∠DEC=75°，∴∠CDE=180°-∠ACD-∠DEC=180°-75°-75°=30°，∴∠BDF=∠CDE=30°，∴直线DF和DE关于直线BC满足“光学性质”；∵∠BFD=∠B=∠ACD=∠DEC=75°，且D为BC中点，∴FD=BD=CD=D E，且∠EDF=∠BDE-∠BDF=150°-30°=120°，∴∠DFE=∠DEF=(180°-∠EDF)÷2=(180°-120°)÷2=30°，∴∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-30°-75°=75°=∠DEC，∴直线DE和FE关于直线AC满足“光学性质”；同理：∠AFE=180°-∠BFD-∠DFE=180°-75°-30°=75°=∠BFD，∴直线DF和EF关于直线AB满足“光学性质”，由定义二可知：DEF为ABC的光线三角形．证明：②如下图所示，△DEF是△ABC的光线三角形，下面证明唯一性：由光线三角形的定义可知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，又∠B=180°-∠1-∠6，∠C=180°-∠2-∠3，∠A=180°-∠4-∠5，将上述三个式子相加，得到：∠B+∠C+∠A=540°-(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6)，整理得到：∠1+∠3+∠5=180°，由①中可知：∠1=30°，∠3=75°，∠5=75°，全部已经唯一确定，故△ABC的光线三角形是唯一的．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定、圆周角定理及其推论，本题属于新定义题，读懂题意，根据题意中的定义求解分析是解决本类题的关键．。

5.7 切线长定理一．选择题1．如图，P A，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交P A，PB于点M，N，若P A＝7.5cm，则△PMN的周长是（）A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm2．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD 于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．πB．2πC．4πD．0.5π3．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44B．42C．46D．474．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD 的长是（）A．4B．3C．2D．15．如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了（）A．6圈B．5圈C．4.5圈D．4圈6．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（）个：①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG．A．1B．2C．3D．4二．填空题7．如图，从点P引⊙O的切线P A，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则P A＝cm．8．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是．9．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为．10．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．11．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．12．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为．13．已知：P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A、B的一点，过点C 作⊙O的切线分别交P A和PB于点D、E，若P A＝10cm，DE＝7cm，则△PDE的周长为cm．14．如图所示，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝15，则△PCD的周长为．15．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为．16．如果圆的外切四边形的一组对边的和是5cm，那么这个四边形的周长是cm．三．解答题17．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P 的度数．18．如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥P A，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，P A＝AB，且CQ＝6，求BD的长．19．如图，∠APB＝52°，P A、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且P A＝6．（1）求△PDE的周长；（2）求∠DOE的度数．20．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．21．已知P A、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交P A于C、交PB于D．（1）若P A＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．22．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交P A、PB于点E、F，已知P A＝12cm，∠P＝40°①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．23．如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D．若P A、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．24．已知：如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O 的切线，交P A、PB于E、F点，已知P A＝12cm，求△PEF的周长．25．已知：如图△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：DE＝BC；（2）若AC＝6，BC＝8，求S△ACD：S△EDF的值．参考答案一．选择题1．解：∵直线P A、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，∴MA＝MC，NC＝NB，∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝P A+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．故选：D．2．解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面积为4π，故选：C．3．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．4．解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．5．解：∵菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等∴圆在菱形的边上转了4圈∵圆在菱形的四个顶点处共转了360°，∴圆在菱形的四个顶点处共转1圈∴回到原出发位置时，这个圆共转了5圈．故选：B．6．解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，∴AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．①AF＝BG；④BG＜CG无法判断．正确的有②③故选：B．二．填空题7．解：∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴P A＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝P A+PB＝20；∴P A＝PB＝10，故答案为10．8．解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．故答案为：72°．9．解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，∵⊙O内切于菱形ABCD，∴OE＝OF，∴OB平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，同理得∠BAO＝60°，∴∠AOB＝90°，∴AO＝AB＝2，OB＝2，∴S△AOB＝AB•OE＝AO•OB，4OE＝2×，OE＝，故答案为：．10．解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为：14．11．解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，P A⊥OA，∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．12．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．13．解：分两种情况：①点C在劣弧AB上时，如图，当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+CD+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝P A+PB＝2P A＝20cm．②点C在优弧AB上时，如图，当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝2P A+2DE＝20+2×7＝34cm．综上，△PDE的周长为20或34cm．故答案为：20或34．14．解：∵P A、PB切⊙O于A、B，∴P A＝PB＝15；同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝P A+PB＝2P A＝30．即△PCD的周长是：30．故答案为：30．15．解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD ＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．16．解：∵四边形ABCD是圆的切线．∴AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG∴AH+DH+BF+CF＝AE+BE+CG+DG即：AD+BC＝AB+CD∴四边形的周长是10cm．故答案是：10．三．解答题17．解：根据切线的性质得：∠P AC＝90°，所以∠P AB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，根据切线长定理得P A＝PB，所以∠P AB＝∠PBA＝70°，所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．18．（1）证明：连接OP．∵P A、PC分别与⊙O相切于点A，C，∴P A＝PC，OA⊥P A，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OP A≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥P A，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍弃），∴OP＝＝4，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四边形OBDP是平行四边形，∴BD＝OP＝4．19．解：（1）∵P A、PB、DE都为⊙O的切线，∴DA＝DF，EB＝EF，P A＝PB＝6，∴DE＝DA+EB，∴PE+PD+DE＝P A+PB＝12，即△PDE的周长为12；（2）连接OF，∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，∴OB⊥PB，OA⊥P A，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，∵∠APB＝52°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．20．解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF ＝∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBE+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°；（2）由（1）知，∠BOC＝90°．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，∴BE+CG＝BC＝10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8cm．21．解：（1）连接OE，∵P A、PB与圆O相切，∴P A＝PB＝6，同理可得：AC＝CE，BD＝DE，△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝P A+PB＝12；（2）∵P A PB与圆O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB＝65°．22．解：①∵P A、PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，又∵直线EF是⊙O的切线，∴EB＝EQ，FQ＝F A，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+F A＝P A+PB＝2P A＝24cm；②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，则∠OEF+∠OFE＝（∠P+∠PFE）+∠（P+∠PEF）＝（180°+40°）＝110°，∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．23．解：∵P A、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，∴P A+PB＝m，P A•PB＝m﹣1，∵P A、PB切⊙O于A、B两点，∴P A＝PB＝，即•＝m﹣1，即m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，∴P A＝PB＝1，∵P A、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴AD＝ED，BC＝EC，∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝P A+PB＝2．24．解：∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴P A＝PB＝12，∵过Q点作⊙O的切线，交P A、PB于E、F点，∴EB＝EQ，FQ＝F A，∴△PEF的周长是：PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF，＝PE+EB+PF+F A＝PB+P A＝12+12＝24，答：△PEF的周长是24．25．（1）证明：∵EC、ED都是⊙O的切线，∴EC＝ED，∠ECD＝∠EDC．∵∠EDC+∠EDB＝90°，∠ECD+∠B＝90°，∴∠EDB＝∠B．∴ED＝BE．∴DE＝BE＝EC．∴DE＝BC．（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则AB＝10，根据射影定理可得：AD＝AC2÷AB＝3.6，BD＝BC2÷AB＝6.4，∴S△ACD：S△BCD＝AD：BD＝9：16，∵ED＝EB，EF⊥BD，∴S△EDF＝S△EBD，同理可得S△EBD＝S△BCD，∴S△EDF＝S△BCD，∴S△ACD：S△EDF＝．。

鲁教版五四制初中数学九年级下册第五章圆复习习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=6，则CD的长为( )A．3B．C．6D．2．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm4．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．B．C．D．5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A．120°B．100°C．80°D．60°6．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°7．如图，与相切于点，若，则的度数为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，⊙O的直径AD=6，则BD的长为( )A．2B．3C．2D．39．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2B．3C．D．411．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．若，则的度数是（）A．B．C．D．12．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．35°C．45°D．60°13．如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O 上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )A．30°B．35°C．40°D．45°14．如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（）A．B．C．D．15．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=40°，点D是劣弧上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是（）A．50°B．45°C．140°D．130°16．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π17．如图，在矩形ABCD中AB=，BC=1，将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D，点A恰好落在矩形ABCD的边CD上，则AD扫过的部分（即阴影部分）面积为（）A．B．-C．-D．18．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是( )A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝∠BOD D．∠A＝∠ACD19．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=50°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°20．如图，△外接圆的半径长为3，若，则AC的长为A．4B．C．D．21．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．C．1D．222．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）A．5B．8C．10D．1223．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）A．B．2﹣2C．2﹣2D．424．如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为( )A．B．C．D．25．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm26．如图，△ABD内接于圆O，∠BAD=60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB=2，PD=4，则AD的长为( )A．2B．2C．2D．427．如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )A．πB．πC．πD．π28．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．3D．429．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、E；在点C的运动过程中，下列说法正确的是A．扇形AOB的面积为B．弧BC的长为C．∠DOE=45°D．线段DE的长是30．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P 与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（）A．B．C．D．31．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束．在整个运动过程中，点C运动的路程是（）A．4B．6C．4﹣2D．10﹣432．如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为弧AB上的动点，PM⊥O A，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△PMN的外心．当点P运动的过程中，点M、N分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长（）A．B．C．2D．二、填空题33．如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则CD的长为__．34．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为_____．35．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ________．36．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=_____．37．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC 的长度是_______．38．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为____．39．如图，AB、AC是⊙O的切线，且∠A=54°，则∠BDC=__________．40．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2018时，顶点A的坐标为_____．41．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．42．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为_____．43．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．44．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为_____．45．如图，△ABC内接于⊙O，DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∠A BC=114°，则∠ADC 的度数为_____．46．如图，矩形ABCD的一边AD与相切于点E，点B在上、BC与相交于点F，，，，则的半径长为______．47．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为AC的中点，若∠B=50°，则∠A的度数为_____度．48．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=23°，则∠AOB=_____．49．已知扇形的弧长为2，圆心角为60°，则它的半径为________．50．用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为_____．51．如图所示，⊙O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB长为____________.52．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=45°，BC=4，以BC为直径的⊙O与AC相交于点O，则阴影部分的面积为__．53．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B 作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．54．如图所示，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，将半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦AC恰好落在直径AB上，则折痕AD的长为_______cm．55．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，则∠AOB=________56．如图，⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC 的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：①∠A始终为60°；②当∠ABC=45°时，AE=EF；③当△ABC为锐角三角形时，ED=；④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）57．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为_____．58．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为_____．59．如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm.60．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，∠DCB=60°，AB+BC=8，则AC的长是_____．61．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC 的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为__．62．如图，点C，D为线段AB的三等分点，以CD为边向上作一个正△，以O为圆心，OA长为半径作弧交OC的延长线于点E，交OD的延长线于点F，若，则阴影部分的面积为______．63．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．64．⊙O的半径为5，两条弦AB=8，CD=6，且AB∥CD，直径MN⊥AB于点P，则PC的值为_____．65．如图，△中，，，△的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O 滑动，直到与点O重合时运动结束在这个运动过程中．中点P经过的路径长______．点C运动的路径长是______．66．如图1，点P从扇形AOB的O点出发，沿 → → →0以1cm/s的速度匀速运动，图2是点P运动时，线段OP的长度y随时间x变化的关系图象，则扇形AOB中弦AB 的长度为______cm．67．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，且点为B，则PB的最小值是．68．如图，在⊙O上依次取点A、B、C、D、E，测得∠A+∠C=220°，F为⊙O上异于E、D 的一动点,则∠EFD= ．69．如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________．70．如图，在半径为的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当△是等腰三角形时，线段的长为____．71．用一张半径为9cm、圆心角为的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面（不计接缝），那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是____cm．72．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是_____．73．如图，已知⊙O的半径为9cm，射线PM经过点O，OP＝15 cm，射线PN与⊙O相切于点Q．动点A自P的速度沿射线PM方向运动，同时动点B也自P 点以2cm/s的速度沿射线PN方向运动，则它们从点P出发 s后AB所在直线与⊙O相切.74．一块△ABC余料，已知AB=8cm，BC=15cm，AC=17cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是．三、解答题75．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB 交CB延长线于点E，垂足为点F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．76．在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出将△ABC向右平移2个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）作出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；（3）求在（2）的旋转变换中，线段BC扫过区域的面积（结果保留π）77．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．78．如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=2，∠P=30°，求阴影部分的面积．79．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积．（结果保留π）80．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）若BC=4，求阴影部分的面积．81．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD82．如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD 交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．83．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠D＝70°，求∠CAD的度数；(2)若AC＝8，DE＝2，求AB的长．84．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．（1）求圆O的半径；（2）如果AE=6，求EF的长．85．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN 于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．86．如图，在Rt△ABC中，＝，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O.（1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由;（2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，＝，求的值;（3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长.87．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E，DE＝4，CE＝2.(1)求证：DE⊥AE；(2)求⊙O的半径．88．如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)⊙O的半径为5，tan A=，求FD的长．89．已知：二次函数＞，当时，函数有最大值5.（1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；（2）将函数＞图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为，当以为直径的圆与轴相切时，求的值.（3）若点是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m的一元二次方程恒有实数根时，求实数k的最大值.90．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF，当∠D=°时，四边形FOBE是菱形．91．如图，四边形ABCD是矩形，，，点P是对角线AC上的动点不与点A，C重合，连接PD，作交射线BC于点E，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．线段PD的最小值为______；求证：，并求矩形PEFD面积的最小值；是否存在这样的点P，使得△是等腰三角形？若存在，请求出PE的长；若不存在，请说明理由．92．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，求△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP的最大值.93．如图，是⊙的直径，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接DF．（1）求证：DF是⊙的切线；（2）连接，若=30°，，求的长．94．如图1，抛物线27 4y ax bx=++，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D 点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM△ABC？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．95．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长.96．如图乙，△和△是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线BD，CE的交点．如图甲，将△绕点A 旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是______．若 ， ，把△ 绕点A 旋转， 当 时，求PB 的长； 求旋转过程中线段PB 长的最大值．97．如图，在Rt ABC ∆中， 90ABC ∠=︒， AC 的垂直平分线分别与AC ， BC 及AB 的延长线相交于点D ， E ， F ，且B F B C =. ⊙O 是BEF ∆的外接圆， EBF∠的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ， FH .（1）求证： ABC EBF ∆≅∆；（2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =， 求HG HB ⋅的值.98．在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y =x 上时停止旋转．旋转过程中，AB 边交直线y =x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图1）． （1）求边AB 在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN =m ，当m 为何值时△OMN 的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN 内切圆的半径．99．如图①，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，C 是⊙O 上的动点，AC 是弦，直线EF 和⊙O 相切于点C ，AD ⊥EF ，垂足为D ．(1)求证：∠DAC ＝∠BAC ； (2)若AD 和⊙O 相切于点A ，求AD 的长；(3)若把直线EF 向上平行移动，如图②，EF 交⊙O 于G ，C 两点，题中的其他条件不变，试问这时与∠DAC 相等的角是否存在，并说明理由．100．在直角坐标系中，A （0，4），B （0）．点C 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单位的速度向点A 匀速运动，同时点D 从点A 出发沿AO 方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C 、D 运动的时间是t 秒(t>0)．过点C 作CE ⊥BO 于点E ，连结CD 、DE ． ⑴ 当t 为何值时，线段CD 的长为4； ⑵ 当线段DE 与以点OO 有两个公共交点时，求t 的取值范围； ⑶ 当t 为何值时，以C 为圆心、CB 为半径的⊙C 与⑵中的⊙O 相切？101．如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上。

九年级配套练习册及答案### 第一章数学基础#### 1.1 有理数的运算练习题：1. 计算下列各数的和：\(-3, 4, -1, 2\)。

2. 判断下列各数的符号：\(-2, 0, 3\)。

答案：1. \(-3 + 4 - 1 + 2 = 2\)。

2. \(-2\)为负数，\(0\)为零，\(3\)为正数。

#### 1.2 代数表达式练习题：1. 简化表达式：\(2x + 3x - 5x\)。

2. 计算表达式\((2x - 1)(3x + 4)\)的展开式。

答案：1. \(2x + 3x - 5x = 0\)。

2. \((2x - 1)(3x + 4) = 6x^2 + 5x - 12\)。

### 第二章几何初步#### 2.1 直线和角练习题：1. 判断下列角的类型：\(45^\circ, 90^\circ, 180^\circ\)。

2. 根据直线的定义，说明什么是平行线。

答案：1. \(45^\circ\)为锐角，\(90^\circ\)为直角，\(180^\circ\)为平角。

2. 平行线是指在同一平面内，不相交的两条直线。

#### 2.2 三角形的性质练习题：1. 证明三角形内角和定理。

2. 判断一个三角形是否为等边三角形。

答案：1. 根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和等于\(180^\circ\)。

2. 如果一个三角形的三个边长相等，则它是一个等边三角形。

### 第三章函数与方程#### 3.1 一次函数练习题：1. 画出函数\(y = 2x + 3\)的图像。

2. 确定函数\(y = 3x - 2\)与坐标轴的交点。

答案：1. 函数\(y = 2x + 3\)的图像是一条斜率为2，截距为3的直线。

2. 函数\(y = 3x - 2\)与x轴交于\((\frac{2}{3}, 0)\)，与y轴交于\((0, -2)\)。

#### 3.2 二次方程练习题：1. 解方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)。

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆定向练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知O中，最长的弦长为16cm，则O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm2、如图，A，B，C为⊙O上三点，若∠ABC＝44°，则∠OAC的度数为（）A．46°B．44°C．40°D．50°3、如图，一把直尺，60°的直角三角板和一个量角器如图摆放，A为60°角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点B为量角器与刻度尺的接触点，刻度为7，则该量角器的直径是（）A ．3B ．C ．6D ．4、已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125、如图，点A 、B 、C 是O 上的点，且90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，ACB ∠的平分线交O 于D ，下列4个判断：①O 的半径为5；②CD 的长为BC 弦所在直线上存在3个不同的点E ，使得CDE △是等腰三角形；④在BC 弦所在直线上存在2个不同的点F ，使得CDF 是直角三角形；正确判断的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，且125ABC ∠=︒，那么AOC ∠等于（ ）A ．125°B ．120°C ．110°D ．130°7、如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB =54°，则∠ABO 的度数是（ ）A ．27°B ．36°C ．54°D ．108°8、如图，已知O 是ABD △的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，56ABD ∠=︒，则BCD ∠等于（ ）A ．30B ．32︒C ．34︒D ．36︒9、如图，△ABC 的外接圆半径为8，∠ACB ＝60°，则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．6D ．410、如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 平分ACB ∠，若30BAC ∠=︒，则CBD ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．105︒C ．110︒D ．120︒第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知⊙O 的半径为5cm ，OP = 4cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是点P 在_____．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）2、如图，半径为4的扇形OAB 中，∠O ＝60°，C 为半径OA 上一点，过C 作CD ⊥OB 于点D ，以CD 为边向右作等边△CDE ，当点E 落在AB 上时，CD ＝_____．3、如图，AB 是半圆O 的直径，半圆的半径为4，点C ，D 在半圆上，,2BD B C O A D C ⊥=，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为___________．4、如图，半圆O 的直径DD =12cm ，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，12cm BC =．半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，当圆心O 运动到点B 时停止，点D 、E 始终在直线BC 上．设运动时间为t （s ），运动开始时，半圆O 在ABC 的左侧，8cm OC =．当t =______时，Rt ABC 的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．5、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB为⊙O的直径，D、E在⊙O上，C是AB的延长线上一点，且∠CEB=∠D．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠D=35°，则∠C的度数为______°．2、如图，已知在ABC中，A是钝角，以AB为边作正方形ABDE，使ABC正方形ABDE分居在AB 两侧，以AC为边作正方形ACFG，使ABC正方形ACFG分居在AC两侧，BG与CE交于点M，连接AM．(1)求证1BG CE =；(2)求：AMC ∠的度数(3)若BG a =，MG b =，求：:ABM ACM S S △△（结果可用含有a ，b ，c 的式子表示）．3、已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，DE 与⊙O 相切于点D ，过D 点作DE ⊥MN 于点E ．(1)求证：AD 平分∠CAE ；(2)若AE ＝2，AD ＝4，求⊙O 的半径．4、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（1）弦AB 的长等于_____；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找出经过点A ，B 的圆的圆心O ，并简要说明点O 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．5、如图，AB 是ΘO 的直径，弦AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ．(1)判断DE所在直线与ΘO的位置关系，并说明理由；(2)若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半径．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据直径是圆中最长的弦即可得到答案．【详解】解：∵O中，最长的弦长为16cm，即直径为16cm，∴O的半径是8cm，故选：B．【点睛】此题考查了圆的弦的定义及理解圆中最长的弦，正确理解直径是圆中最长的弦是解题的关键．2、A【解析】【分析】先利用圆周角定理求出AOC∠即可．∠的度数，然后再利用等腰三角形的性质求出OAC【详解】解：AC所对的圆周角是ABC∠，∠，AC所对的圆心角是AOCAOC ABC∴∠=∠=︒，288=，OA OCOAC OCA∴∠=∠=︒，46故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．3、D【解析】【分析】如图所示，连接OA，OB，OC，利用切线定理可知△AOC与△AOB为直角三角形，进而可证明Rt△AOC≌Rt△AOB，根据三角板的角度可算出∠OAB的度数，借助三角函数求出OB的长度．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC，∵三角板的顶角为60°，∴∠CAB=120°，∵AC，AB，与扇形分别交于一点，∴AC ，AB 是扇形O 所在圆的切线，∴OC ⊥AC ，OB ⊥AB ，在Rt △AOC 与Rt △AOB 中，()OC OB OA OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩同圆的半径相等 ∴Rt △AOC ≌Rt △AOB ，∴∠OAC =∠OAB =60°，由题可知AB =7－4=3，∴OB =AB •tan60°=，∴直径为2⨯故选：D ．【点睛】本题考查，圆的切线定理，全等三角形的判定，三角函数，在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．4、C【解析】【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【详解】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，正n边形的各个外角都相等，并且等于360n．5、C【解析】【分析】利用勾股定理求出AB即可判断①正确；如图1中，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC 于N．证明四边形CMDN是正方形，求出CM，可得结论②正确；利用图形法，即可判断③错误；利用图形法即可判断④正确．【详解】解：如图1中，连接AB.∵∠ACB=90°，∴AB是直径，∴22226810AB AC BC，∴⊙O的半径为5．故①正确，如图1中，连接AD，BD，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD BD，∴AD=BD，∵∠M=∠DNC=90°，CD=CD，∴△CDM≌△CDN（AAS），∴CM=CN．DM=DN，∵∠M=∠DNB=90°，DA=DB，∴Rt△DMA≌Rt△DNB（HL），∴AM=BN，∵∠M=∠MAN=∠DNC=90°，∴四边形CMDN是矩形，∵DM=DN，∴四边形CMDN是正方形，∴CD，∵AC+CB=CM-AM+CN+BN=2CM=14，∴CM=7，∴CD，故②正确，如图2中，满足条件的点E有4个，故③错误，如图3中，满足条件的点F有2个，故④正确，∴正确的结论是①②④，共3个故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6、C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180D ABC ∠+∠=︒∵125ABC ∠=︒∴∠D=180°-∠A =180°-125°=55°，由圆周角定理得，∠AOC =2∠D =110°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOB ，根据等腰三角形的性质求出∠ABO =∠BAO ，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵∠ACB ＝54°，AB AB =∴∠AOB ＝2∠ACB ＝108°，∵OB ＝OA ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝12（180°﹣∠AOB ）＝36°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB 的度数是解此题的关键．8、C【解析】【分析】先判断出90ADB ∠=︒，从而可得34DAB ∠=︒，再根据同弧所对的圆周角相等可得答案．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒∵56ABD ∠=︒∴90905634DAB ABD ∠=︒-∠=︒-︒=︒∵,DAB DCB ∠∠所对的弧是BD∴34DCB DAB ∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直9、A【解析】【分析】连接OA ，OB ，过O 作OH ⊥AB 于H ，根据圆周角定理得到∠AOB =2∠ACB =120°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH =∠BOH =60°，根据直角三角形的性质得到OH ，AH 的长，于是得到答案．【详解】解：连接OA ，OB ，过O 作OH ⊥AB 于H ，∵∠ACB =60°，∴∠AOB =2∠ACB =120°，∵OB =OA =8，∴∠AOH =∠BOH =60°，∴∠OAB =30°，∴OH =12OA =4，∴AH∴AB =2AH故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10、B【解析】【分析】由直径所对的圆周角为90°得到90ACB ∠=，再由CD 平分ACB ∠得到45DCB =∠，进一步得到30CDB BAC ∠=∠=，最后在△BCD 中由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵AB是O的直径，∴90∠=，ACB∵CD平分ACB∠，∴45DCB=∠，由同弧所对的圆周角相等可知：30∠=∠=，CDB BAC在△BCD中由三角形内角和定理可知：∴1801804530105∠=-∠-∠=--=，CBD BCD CDB故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，三角形内角和定理等，属于基础题，熟练掌握圆周角定理及推论是解题关键．二、填空题1、圆内【解析】【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可得．【详解】解：∵点到圆心的距离d=4<5=r，∴该点P在O内，故答案为：圆内．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系．2【解析】【分析】如图，连接OE,设OD＝m,证明∠OCE＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】解：如图，连接OE．设OD＝m．∵CD⊥OB，∴∠CDO＝90°，∵∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，∴OC＝2OD＝2m，CD，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠OCE＝∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC2+CE2＝OE2，∴4m2+3m2＝42，∴m（负根舍去），∴CD【点睛】 本题考查解直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．3、【解析】【分析】依题意，作点D 关于OC 的对称点为1D ，连接1BD ，1BD 长即为BP DP +最小值；过点1D 作1D Q AB ⊥，构造1Rt QD B ∆和1Rt QOD ∆进行对应线段求解；【详解】作点D 关于OC 的对称点为1D ，连接1BD ，1OD ；过点1D 作1D Q AB ⊥；由题知，OC AB ⊥，2BD CD =，∴3BC CD =，可得CD 对应的圆心角30COD ∠=︒；又点D 关于OC 的对称点为1D ，∴130COD ∠=︒，160AOD ∠=︒，∴1BD 长为BP DP +的最小值在1Rt QOD ∆中，14OD =，∴2OQ ，1DQ =在1Rt QD B ∆中，6BQ OQ OB =+=，1DQ =1BD ==故填：【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算；4、1或4或7【解析】【分析】Rt ABC 的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切有三种情况：当点C 与点E 重合、点O 与点C 重合以及点D 与点C 重合，分别找出点O 运动的路程，即可求出答案．【详解】如图，当点C 与点E 重合时，AC 与半圆O 所在的圆相切，∵12cm DE =，∴6cm OE =，∴862(cm)CD =-=，即点O 运动了2cm ， ∴21(s)2t ==，当AB 与半圆O 所在的圆相切时，过点C 作CF AB ⊥交于点F ，∵2cm BC =，30ABC ∠=︒， ∴16cm 2CF BC ==， ∴CF OE OD ==，即点O 与点C 重合，∴点O 运动了8cm ， ∴84(s)2t ==， 当点C 与点D 重合时，AC 与半圆O 所在的圆相切，6814(cm)DC =+=，即点O 运动了14cm ， ∴147(s)2t ==， 故答案为：1或4或7．【点睛】考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．5、6##6-+【解析】【分析】根据对称的性质可得P 在以D 为圆心的圆上，半径为6，连接BD ，交圆D 于P ′，然后根据勾股定理可得问题的答案．【详解】解：∵点A 关于DE 的对称点P ，∴DA=DP=6，∴P在以D为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接BD，交圆D于P′，∴BP′为最小值，∵AB=4，AD=6，∠DAB=90°，∴BD=∵半径为6，即DP′=6，∴BP．故答案为：．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键．三、解答题1、 (1)CE与⊙O相切，理由见解析(2)20【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠EBA=90°，由已知和等腰三角形的性质证得∠EAB=∠CEB，∠OEB=∠OBE，进而证得∠OEC=90°，根据切线的判定定理即可证得CE与⊙O相切；（2）先求出∠CEB=∠EAB=35°，进而求出∠EBA=55°，再根据三角形外角的性质即可求出∠C．(1)证明：CE与⊙O相切，理由如下：连接OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EAB=∠D，∠CEB=∠D，∴∠EAB=∠CEB，∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∴∠OEC=∠OEB+∠CEB=∠EBA+∠EAB=90°，∵OE是⊙O的半径，∴CE与⊙O相切；(2)解：由（1）知∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EAB=∠D=35°，∴∠EBA =90°-35°=55°，∠CEB =∠D =35°，∵∠EBA =∠CEB +∠C ，∴∠C =∠EBA -∠CEB =55°-35°=20°，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的外角定理，根据圆周角定理∠CEB =∠EAB 是解决问题的关键．2、 (1)见解析(2)45° (3)a b a c-- 【解析】【分析】（1）由题意画出图形，利用SAS 公理判定△BAG ≌△EAC 即可得出结论；（2）利用全等三角形的性质可得∠BGA =∠ECA ，利用三角形的内角和定理可得∠GMN =∠CAN =90°，利用正方形的性质可得∠AGC =45°，证明A ，M ，G ．C 四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等即可得出结论；（3））由△BAG ≌△EAC 可得BG =EC =a ，S △BAG =S △EAC ；利用同高的三角形的面积比等于底的比可得用a ，b ，c 的式子表示出的S △ABM ：S △BAG 和S △ACM ：S △EAC ，将两个式子联立即可得出结论．【小题1】解：证明：由题意画出图形，如下图，∵四边形ABDE 是正方形，∴AB =AE ，∠BAE =90°．∵四边形ACFG 是正方形，∴AG =AC ，∠GAC =90°．∵∠BAG =∠BAE =∠EAG =90°+∠EAG ，∠EAC =∠GAC +∠EAG =90°+∠EAG ，∴∠BAG =∠EAG ．在△BAG 和△EAC 中，BA EA BAG EAC AG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAG ≌△EAC （SAS ）．∴BG =CE ．【小题2】∵△BAG ≌△EAC ，∴∠BGA =∠EC A ．设EC 与AG 交于点N ，∵∠MNG =∠ANC ，∴∠GMN =∠CAN ．∵四边形ACFG 是正方形，∴∠GAC =90°，∴∠GMC =90°．∴∠BMC =90°．连接GC ，如图，∵四边形ACFG 是正方形，∴∠AGC =45°．∵∠GMC =∠GAC =90°，∴A ，M ，G ．C 四点共圆．∴∠AMC =∠AGC =45°．【小题3】∵△BAG ≌△EAC ，∴BG =EC =a ，S △BAG =S △EA C ． ∵ABMBAG S BM BG MG a b S BG BG a --===△△，ACM EAC S CM CE ME a c S CE CE a --===△△，∴S △ABM =a b a-S △BAG ，S △ACM =a c a -S △EA C ． ∴ABMACM a b S a b a a c S a c a--==--△△．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆的判定与性质，三角形的面积，准确找到图形中的全等三角形是解题的关键．3、 (1)见解析(2)4【解析】【分析】（1）由DE与圆O相切，利用切线的性质得到OD垂直于DE，再由DE垂直于MB，得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行，得到OD与MB平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出∠DAE=∠OAD，即AD为∠CAE的平分线，得证；（2）过O作OF垂直于MB，显然得到四边形ODEF为矩形，利用矩形的对边相等得到OD=EF，OF=DE，设圆的半径为rcm，由DE的长得出OF的长，由EF-AE=OD-EF表示出AF的长，在直角三角形AOF 中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到半径r的长．【小题1】解：证明：连接OD，∵DE切圆O于D，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，又∵DE⊥MB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE+∠DEB=180°，∴OD∥MB，∴∠ODA=∠DAE，又∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∴∠DAE=∠OAD，则AD为∠CAM的平分线；【小题2】过O作OF⊥AB，显然四边形ODEF为矩形，则OF=DE，OD=EF，设圆的半径OD=EF=OA=r，∵AE=2，AD=4，∠AED=90°，∴DE=∴OF=DE=AF=EF-AE=r-2，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：OA2=AF2+OF2，即r2=（r-2）2+（2，解得：r=4，故⊙O的半径为4．【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，利用了转化及方程的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．4、90°的圆周角所对的弦是直径【解析】【分析】（1）由勾股定理即可得出答案；（2）取圆与网格线的交点D、E，连接DE交AC于O，点O即为经过出点A，B的圆的圆心；由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：（1）由勾股定理得：AB；；（2）如图试所示：取圆与网格线的交点D、E，连接DE交AC于O，点O即为经过出点A，B的圆的圆心；理由如下：∵∠EAD＝90°，∴DE为圆O的直径，∵经过点A，B的圆的圆心在边AC上，∴DE与AC的交点即为点O；故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．5、 (1)相切，理由见解析(2)5 2【解析】【分析】（1）连接OD ，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE ＝90°，而D 是圆上的一点；故可得直线DE 与⊙O 相切；（2）连接BD ，根据勾股定理得到AD ＝ADB ＝90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB ＝5，即可求解．(1)解：DE 所在直线与O 相切．理由：连接OD ．∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴OAD DAC ．∴ODA DAC ∠=∠．∴OD AC ∥．∴180ODE AED ∠+∠=︒．∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒．∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．∵OD 是半径，∴DE 所在直线与O 相切．(2)解：连接DB ．∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒．∴ADB AED ∠=∠．又∵DAB EAD ∠=∠，∴ADB AED ∽． ∴=AD AE AB AD． ∵90AED ∠=︒，4AE =，2ED =，∴AD =∴5AB =．∴O 的半径为52．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。