福建省泉州市2018届高三第二次(5月)质量检查数学理试题+Word版含解析

泉州市2018届普通中学高中毕业班质量检查文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.）A3.）A4.乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（ ）A5.） A6.）A7.）A8.玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积为（）A9.已知图象：）A．①②③④ B．①②④③ C.②①④③ D．②①③④10.如图，）A11.）A12.的取值范围是（）A(02)e -，D (04+，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.b=14.15.的取值范围是 ．16.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（1（218..（1（2.19..某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图：（1（2）根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下：根据以往的销售方案，.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：./根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件.20.（1（2）.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程中，）.（1的交点的极坐标；（2）两点，互为相反数，的值.23.选修4-5：不等式选讲（1时，的解集；（2的取值范围.泉州市2018届普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考答案及评分细则一、选择题1-5:BACCA 6-10:CBDDD 11、12：BB二、填空题三、解答题17.解法一：（1）根据正弦定理，（2因为1sin 2ACD S AC AD =⋅⋅△解法二：（1）同解法一．（2DM=，又在直角三角形CMD中，318.解法一：（1理由如下解法二：（219.解法一：（1．（2由直方图可知，综合指标值的平均数故满足认购条件①．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，二、11分有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件．解法二：（1）同解法一．（2）①同解法一．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，二、综上所述，该新型窑炉达到认购条件．20.解法一：（1（2解法二：（1（2设解法三：（1）同解法一或解法二；（221.解：（1.（2，22.【试题简析】解法一：\（2中解法二：（1（223.【试题简析】解：（1（2。

第一部分听力(共两节, 满分30分)做题时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题;每小题1. 5分满分7. 5分听下面5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. £19.5.B. £ 9.18.C. £ 9.15.答案是C。

1. What is required to do for the weekend?A. To write a book review.B. To recommend a book.C. To finish some exercises.2. Where does this conversation probably take place?A. In a bookstore.B. In a reading room.C. In a computer lab.3. What was the weather like?A. Snowy.B. Rainy.C. Sunny.4. What does the woman think of her hometown?A. Noisy.B. Crowded.C. Remote.5. When does the film begin?A. At 5:15.B. At 5:20.C. At 5:35.第二节 (共15小题;每小题1. 5分, 满分22. 5分)听下面5 段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5 秒钟;听完后, 各小题将给出5 秒钟的作答时间。

泉州市2018届高中毕业班质量检查数学（文科）试题(全卷满分为150分，完成时间为120分钟)参考公式：如果事件A BP （A +B ）=P （A ）+P （BS =4πR 2如果事件A B 相互独立，那么其中RP （A ·B ）=P （A ）·P （B球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，V =34πR 3那么n 次独立重复试验中恰好发生k其中R 表示球的半径P n (k )= C k nP k (1－P ) n －k第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 选择题：本题共有12个小题，每小题5分，共60分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的代号填在答题卡指定位置上1．抛物线24y x =的准线方程为，则实数a 的值是A ．2x =B ．2x =-C ．1x =D ．1x =-2．等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=18，那么a 2等于A.9B.8C.6D.43. 圆(x －3)2+(y +4)2=25的圆心到直线4x －3y －4=0的距离是A.285B.4C.2825D.454.某人把3本不同的书送给二位同学，每人至少1本，则不同的送法共有 A ．12种 B ．6种 C ．3种 D ．2种 5．已知9(21)x -展开式第8项的系数是A ．-144B ．144C ．-18D ．186. 函数sin(2)3y x π=-的图象.(,0) (66)A B C D y ππ关于点对称关于直线对称关于原点对称关轴对称7.在10件产品中有8件合格品，2件次品，从中任取3件，其中恰有1件是次品的概率是A. 745B. 730C. 715D. 188．一个球的内接正四棱柱的侧面积与上下底面积之和的比为4：1，体积为表面积是A ．12B ．C ．12πD ．9．函数xxx f +-=11lg)(，在其定义域内是： ①奇函数； ②偶函数； ③增函数； ○4减函数 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 10． 在锐角△ABC 中，若tan A = t + 1，tan B = t – 1，则t 的取值范围是A ．（– 1，1）B ．（1，+∞）C ．（–2, 2）D ．（2，+∞）11．条件:11p x +>，条件131:>-xq ，则q ⌝是p ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12.已知偶函数))((R x x f y ∈=满足),1()1(-=+x f x f 且[]0,1x ∈时，(),f x x =则方程3()|l g |f x o x =的实数解共有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卡对应题号的横线上.13. 函数的反函数是 .14. 以513-（，）为切点，曲线3123y x =-的切线的倾斜角为15．某地区有农民家庭1 600户，工人家庭391户，其它类家庭118户，现用分月抽样的方法从所有家庭中抽取一个容量为n 的样本，已知从农民家庭中抽取了80户，则n = ______．16.已知直线l 、m ，平面α、β，且βα⊂⊥m l ,，给出下列四个命题：①若α//β，则m l ⊥ ②若m l ⊥，则α//β ③若βα⊥，则l //m ④若l //m ，则βα⊥ 其中正确命题的序号是 .三 解答题：(本大题共6小题，共74分)解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤17.（本小题满分12分）已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cosx x x x -==]2,2[2cos ,2sin (ππ-∈-=x x x 且 （Ⅰ）求||+;（Ⅱ）当x 取何值时，函数||2)(x f ++⋅=取得最大值？.18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 及等比数列{}n b ，其中11=b ，公比q < 0, 且数列{}n n b a +的前三项分别为2、1、4.（Ⅰ）求n a 及q ；（Ⅱ）求数列{}n n b a +的前n 项和n P .19. （本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为线段A 1C 1中点.（Ⅰ）求证：BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）若AA 1＝3，二面角A －B 1D －A 1的大小为060，求线段 AB 的长度.20. （本小题满分12分）如图，在平直河岸l 的同一侧有两个缺水的居民区A 、B ，已知A 、B 到河岸的距离AD ＝1千米，BC ＝2千米，A 、B 之间的距离AB ＝2千米.欲在河岸l 上建一个抽水站，使得两居民区都能解决供水问题.（Ⅰ）在河岸l 上选取一点P 建一个抽水站，从P 分别铺设．．．．水管至居民区A 、B ，问点P 应在什么位置，铺设水管的总长度最小？并求这个最小值；（Ⅱ）从实际施的结果来看，工作人员将水管铺设至．．．居民区A 、B ，且所铺设的水管总长度比（Ⅰ）中的最小值更小，你知道工作人员如何铺设水管吗（指出铺设线路，不必证明）？并算出实际铺设水管的总长度.21. （本小题满分12分）已知双曲线C的中心在原点，抛物线2y =的焦点F 是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点⎫⎪⎪⎝⎭，过焦点F 且斜率为21-的直线与双曲线的左、右两支分别交于点11(,)D x y ，22(,)E x y （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）求证：1221y y y y +为定值； （Ⅲ）求||||DF DE 的值 22. （本小题满分14分）设函数f (x )是定义R 上的奇函数，当x ∈（－∞，0）时，f (x )=2ax +x1（a ∈R ).（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）当1,2a =(0,),x ∈+∞时求证：[()](1)2 2.n n n f x f x -+≥-(*)n N ∈．答案一、选择题 DCB BA ACCCD BC 13. 32(3)x y x -=≥ 14. 45° 15. 118 16.○1 ○4. 17. 解：（Ⅰ） x x xx x b a 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )23cos 23(cos ||=+=-++=+ …4分x x x c o s 2||,0c o s ],2,2[=+∴>∴-∈ππ ………………………………6分（Ⅱ）x xx x x x x sin )223sin(2cos 23sin )2sin (23cos =-=⋅+-⋅=⋅∴)4sin(22cos 2sin 2||2π+=+=++⋅x x x ……………………..……9分1)4sin(24,43,44],2,2[取得最大值时，当ππππππππ+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+∴-∈x x x x . 22)(,4的最大值为函数x f x π=∴.……………………..……12分18.解： (Ⅰ)设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，4,1,2332211=+=+=+b a b a b a421,212111=++=++=+∴q d a q d a a …………………………………….3分解得：q q a ，或31,11-==< 0 , 1-=∴qn n d n a a n =-+=-+∴)1(1)1(1＝…………………………………….6分 （Ⅱ）记数列{}n a 及{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ， 则n S ＝)1(212)1(1+=-+n n d n n na 2)1(1)1(1)1(11)1(1nn n n q q b T --=----=--= 当n 为偶数时，n T ＝0；当n 为奇数时，n T ＝1. ……………………………….9分故当n 为偶数时，n P ＝n S ＝n n n n 2121)1(212+=+； 当n 为奇数时，nP ＝1+n S ＝121211)1(212++=++n n n n ................12分 19.解：（Ⅰ）证明：连A 1B 交AB 1于点E ， 四边形A 1ABB 1为矩形，∴ E 为AB 1的中点. (1)分又D 为线段A 1C 1中点，∴ BC 1 // DE …………………………..3分BC 1 ⊄平面AB 1D,DE ⊂平面AB 1D. ∴BC 1//平面AB 1D ……………………..6分（Ⅱ）法一、在正三角形A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1中点，∴B 1D ⊥A 1C 1，又平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ACC 1，∴B 1D ⊥平面A 1ACC 1，又AD ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1D ⊥AD ，DA A 1∠∴即为二面角A －B 1D －A 1的平面角，DA A 1∠∴＝060.……………….9分 在直角三角形AA 1D 中， AA 1＝3， 22,133360cot 11111===∴=∙==D A C A AB A A D A ……………………12分. 法二、以点A 为原点，AB 为X 轴正半轴，平面ABC 内过A 垂直于AB 的直线为Y 轴，AA 1为Z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则A （0,0，0），A 1（0,0，3），B 1（a ，0，3），D （)3,43,4a a ，==∴a AB ),3,0,(1)3,23,4a ，设⊥=),,(z y x 平面AB 1D ，则,1AB ⊥⊥，故,01=∙AB ，,0=∙则03434,030=++=++z ay x a z ax ，得,33,3ax z x y -==取)33,3,1(a n -=………………………….9分 AA 1⊥平面A 1B 1C 1，)3,0,0(1=AA ，,2133142-=∙+-==a a 解得a=2. …………………12分20. 解：（Ⅰ）作A 关于l 的对称点A 1，联BA 1交l 于Q ；∵点A 、1A 关于l 的对称∴点P 到A 、B 的距离和等于点P 到1A 、B 的距离和，因此，根据平面几何知识可知，P 在Q 点位置时，铺设水管的总长度最小.过A 作BC 的垂线交BC 于E. AE ＝3，323321=+=B A ，DQ ：QC ＝1：3，DQ ＝33.答：抽水站建在离点D33千米处，铺设水管的总长度最小，此时水管的总长度为.…6分 （Ⅱ）依题意，实际铺设水管显然不是从P 分别铺设水管至居民区A 、B ，可以采用先铺至甲地，再从甲地铺到乙地的方法，或先铺至某地，再从某地分别铺设至居民区A 、B 的方法.通过比较，抽水站选在D 点，水管先从抽水站铺至居民区A ，再从居民区A 铺到居民区B. ……10分 铺设水管总长＝1＋2＝3（千米）<.答：实际铺设水管 A 、B 居民区的供水问题. ……………12分21.解：（Ⅰ）设所求双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>抛物线2y =的焦点F )0,5(∴c =522=+b a又双曲线过点⎫⎪⎪⎝⎭∴11)25(2222=-ba ，解得4,122==b a 故所求双曲线的方程为14122=-y x …………………………………4分 (Ⅱ) 1:(2l y x =-．消去方程组221(214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中的x并整理，得215160y -+=． ① 设1122(,),(,)D x y E x y ，由已知有12||||y y >，且12y y 、是方程①的两个实根，∴12y y +=，121615y y =， 21212122112()2103y y y y y y y y y y +-+== ．……………………8分（Ⅲ） 21212122112()2103y y y y y y y y y y +-+==解之，得213y y =或13．∵12||||y y >，∴213y y ≠，2113y y =， 因此，12121||132||1y DF y y y DE y ===--．…………12分 22.解：（Ⅰ）设x ∈(0，+∞)，则－x ∈(－∞，0)，f (－x )=－2ax －1x∵f (x )是奇函数.∴f (x )= － f (－x )=2ax +1x，x ∈(0，+∞). ……………4分而f (0)= f (－0)= － f (0) ∴f (0)=0 ………5分12(0)()0(0)ax x f x xx ⎧+≠⎪∴=⎨⎪=⎩ ………6分（Ⅱ）11221211224121224112122241211();211111[()]()()()C C C 1C C C 8111C C C C C C ,2C (n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a f x x xf x f x x x x x x x x x x x x x xS x x S x x x xS x ------------------==+-=+-+=+++=+++=+++=+++=⋅⋅⋅当时，分令，又所以241224212121212111)C ()C ()101C C C 22(C C C )2(22)[()](1)2214n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x xx xf x f x ----------++++++≥+=+++=-∴-+≥-⋅分分。

2018年全国高考新课标2卷理科数学考试（解析版）作者:日期:2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。

434 3 3 4 3 4 A ・ 一 T 一 弓 B * -5 + 5i c ∙ - 5 ' 5i D * - 5 + 5i解析：选D2. 已知集合A={(x,y) ∣χ2+y2≤3,x∈Z,y∈Z },则A 中元素的个数为( ) A. 9B. 8C. 5D ・ 4解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 3. 函数f (x)=E 2的图像大致为()-、选择题：本题共12小题, 1.l+2i F r2解析：选B f(x)为奇函数，排除 A,x>0,f (x)>0,排除 D,取 x=2,f (2) = e 2-e^24 力，故选B4. 已知向量 a, b 满足 Ial=1, a ∙ b 二-1,则 a ∙ (2a~b)=( ) A. 4B. 3C. 2D.5.双曲线= I (a>0, b>0)的离心率为\龙，则其渐近线方程为( C. y=±迟X9A. y=±j∖βxB. y 二±ι∖βx=∖β C2 二 3¥ b=∖βa C √5 歹专,BC=I,AC 二 5, B. √30C 3 解析：选 A CoSo2cos 右-I= - ~ 2 5解析：选A e-6-在ΔABC 中，COS 则 AB 二() D. y=±A. 4√2 AB^AO+BC2-2AB ∙ BC ∙ COSC=322√5 AB=4√2 D.7. ................................................... 为计算S=I- 2 + 3 ^ 4 ++^ T∞,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A. i=i+lB. i 二i+2C. i 二i+3D. i 二i+4解析：选B8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数 可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的 概率是（）3为7+23, 11+19, 13+17,共3种情形，所求概率为P=FF109. 在长方体ABCD-ABc I D I 中，AB=BC=I, AAi=W 则异面直线AD】与DBl 所成角的余弦值为（D.解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。

奥运背后的赌博：赞助很给力选择需谨慎作者：暂无来源：《时代汽车》 2012年第9期文刘春晓2008年北京奥运会的辉煌似乎仍在眼前，转眼间2012伦敦奥运会也已经落下了帷幕，从无与伦比到快乐的奥运会，这两届奥运会都带给了世界人民极大的欢娱。

作为一项面向全世界的体育盛事，诸多的商家也把奥运会看成巨大的商机，小到饮料、服装，大到体育器材等，这其中当然也少不了汽车，汽车企业在奥运上的营销宣传堪比一场大战。

2008年大众汽车是北京奥运会的独家赞助商，伦敦奥运会的独家赞助商是宝马汽车，这两家的竞争已经从汽车市场延伸到了奥运赛场。

除了宝马和奥迪汽车，别的品牌也没有放弃在奥运会上的宣传，纷纷通过各种手段搭上奥运营销的大船，雪铁龙汽车是中国羽毛球队的赞助商，广汽在易思玲获得首金后直接赠送汽车，也赚了不少的目光，更有一些汽车厂商开始了汽车秒杀活动，只要中国队获得一枚金牌，消费者就有机会秒杀一辆汽车……奥运营销竞争是残酷的，所投入的营销成本也远高于其他宣传渠道，但是汽车商家依然乐此不疲，有统计显示赞助奥运的汽车车企有七成左右都是人不敷出，也就是说赞助奥运的所有汽车厂商都是在赔本赚吆喝。

赔本也要做，看重的就是奥运会的巨大影响力和传播力，几十亿人都在关注的赛事，如果自己的产品能够在这个舞台上引起受众的注意，那么所形成的宣传效果就是全球性的，虽然成本可能收不回来，但是达到的品牌效果确是别的方式很难达到的。

在奥运会的舞台上各家车企如同八仙过海，但是在前期选择赞助哪个项目或者哪个队伍，都有着浓重的赌博心态。

如果所赞助的队伍或者个人，能够夺得金牌，这个钱花的还是很值的，如果获得的成绩不佳，那么在奥运会上的营销就是赔本的买卖，甚至连吆喝都赚不回来。

在这次奥运会比较典型的就是刘翔，刘翔代言了新宝马三系，也代言了凯迪拉克，可是跟2008年如出一辙的退赛，让这个宣传效果打了不少折扣。

在刘翔退赛后，宝马汽车的微博也发出了自己的评论，既是一种后续的补充宣传，同时也表明自己企业的态度。

2018届福建省泉州市高三（5月）第二次质量检查数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}065,122<+-=>=x x x B x A x ，则=B C A ( )A ．()3,2B ．(][)+∞∞-,32,C ．(][)+∞,32,0D ．[)+∞,32.已知复数i a z +=().R a ∈若2<z ，则2i z +在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若123=S ，则=3a ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．14 4.已知实数y x ,满足约束条件y x z y x xy +=⎩⎨⎧≤--≤,022，则满足1≥z 的点()y x ,所构成的区域面积等于( ) A ．41 B ．21 C. 43D ．1 5.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械中常见的结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”，某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”的体积等于( )A ．12B ．13 C.14 D ．156.执行一次如图所示的程序框图，若输出i 的值为0，则下列关于框图中函数()()R x x f ∈的表述，正确的是( )A ．()x f 是奇函数，且为减函数B ．()x f 是偶函数，且为增函数 C.()x f 不是奇函数，也不为减函数 D ．()x f 不是偶函数，也不为增函数7.已知以O 为中心的双曲线C 的一个焦点为P F ,为C 上一点，M 为PF 的中点，若OMF ∆为等腰直角三角形，则C 的离心率等于( )A ．12-B ．12+ C. 22+ D ．215+ 8.已知曲线()⎪⎭⎫⎝⎛<+=22sin :πϕϕx y C 的一条对称轴方程为6π=x ，曲线C 向左平移()0>θθ个单位长度，得到的曲线E 的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，则θϕ-的最小值是( ) A ．12π B ．4π C.3π D ．125π 9.在梯形ABCD 中，060,32,2,1,//=∠===ACD BD AC AB CD AB ,则=AD ( ) A ．2 B ．7 C. 19 D ．3613-10.某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是4,3,2,1中的任一个，现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同，则上述四人所设密码最安全的是( ) A ．甲 B ．乙 C.丙 D ．丁11.已知直线PB PA ,分别于半径为1的圆O 相切于点().12,2,,PO B A λλ-+==，若点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 D ．()1,012.已知函数()().,2ax ax x g e x f x -==，若曲线()x f y =上存在两点，这两点关于直线x y =的对称点都在曲线()x g y =上，则实数a 的取值范围是( )A ．()1,0B ．()+∞,1 C. ()+∞,0 D ．()()+∞,11,0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知椭圆134:22=+y x C 的左顶点、上顶点，右焦点分别为F B A ,,，则=⋅AF AB ．14.已知曲线x x y C 2:2+=在点()0,0处的切线为l ，则由l C ,以及直线1=x 围成的区域的面积等于 ．15.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()()11,≥x x P ，则θθs i n c o s +的取值范围是 ．16.已知在体积为π12的圆柱中，CD AB ,分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥BCD A -的体积的最大值等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在数列{}n a 中,().221,4211n n a n na a n n +=+-=+ （Ⅰ） 求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n S ；18.某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离），无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1表.2已知表1 数据的中位数估计值为26，回答以下问题.(Ⅰ)求b a ,的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程∧∧∧+=a b y ；（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：回归方程ˆy ba ∧∧=+中，()1221,.ni ii nii x y n x y b a y b x xnx∧∧∧==-⋅==--∑∑）19.如图，在三棱锥BCD A -中，平面ABD ⊥平面42,60,,0===∠=BC BD CBD AD AB BCD ，点E 在CD 上，.2EC DE = （Ⅰ）求证：BE AC ⊥；（Ⅱ）若二面角D BA E --的余弦值为515，求三棱锥BCD A -的体积.20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()02:2>=p py x C 的焦点为F ,过点F 的直线l 交C 于B A ,两点,交x 轴于点B D ,到x 轴的距离比BF 小1. (Ⅰ)求C 的方程；（Ⅱ）若AO D BO F S S ∆∆=，求l 的方程.21.已知函数().ln k kx x x f +-= (Ⅰ)若()0≥x f 有唯一解,求实数k 的值；（Ⅱ）证明：当1≤a 时，()().12--<-+ax e k kx x f x x （附：39.7,48.4,10.13ln ,69.02ln 223≈≈≈≈e e ）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x ，（α为参数）；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为.sin cos 2θθρ=（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线()0:≥=x kx y l 分别交21,C C 于B A ,两点（B A ,异于原点），当(]3,1∈k 时，求OB OA ⋅的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数().a x a x x f ++-= （Ⅰ）当2=a 时，解不等式()6>x f ；（Ⅱ）若关于x 的不等式()12-<a x f 有解，求实数a 的取值范围.2018届福建省泉州市高三（5月）第二次质量检查数学（理）试题试卷答案一、选择题1-5:CBBCC 6-10:DBABC 11、12：BD二、填空题13.6 14.3115.(]2,1 16.8 三、解答题17.解：（Ⅰ）()n n a n na n n 22121+=+-+的两边同时除以()1+n n ，得()*+∈=-+N n na n a nn 211， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项为4，公差为2的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ），得()121-+=n a na n，即22+=n na n即n n a n 222+=，故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=+-+⋅=+=11121112122112n n n n n n n n a n ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312121121n n S n , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=113121131211n n ,().1211121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn 18.解：（Ⅰ）依题意，得2650106-=a ，解得40=a ， 又10036=++b a ，解得24=b ； 故停车距离的平均数为.27100255100845100243510040251002615=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（Ⅱ）依题意，可知60,50==y x ，22222250590705030106050590907070605050303010⨯-++++⨯⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∧b 107=, 255010760=⨯-=∧a ,所以回归直线为.257.0+=∧x y（Ⅲ）由（Ⅰ）知当81>y 时认定驾驶员是“醉驾” 令81>∧y ，得81257.0>+x ，解得80>x ,当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”. 19.解：（Ⅰ）取BD 的中点，连接.,,EO CO AO 因为OD BO AD AB ==,，所以BD AO ⊥,又平面⊥ABD 平面BCD ,平面 ABD 平面⊂=AO BD BCD ,平面ABD , 所以⊥AO 平面BCD ,又⊂BE 平面BCD ,所以.BE AO ⊥在BCD ∆中，EC DE BC BD 2,2==,所以2==ECDEBC BD ， 由角平分线定理，得DBE CBE ∠=∠， 又2==BO BC ，所以CO BE ⊥,又因为⊂=AO O CO AO , 平面⊂CO ACO ,平面ACO , 所以⊥BE 平面ACO ,又⊂AC 平面ACO ，所以.BE AC ⊥（Ⅱ）在BCD ∆中，060,42=∠==CBD BC BD ,由余弦定理得32=CD ，所以222BD CD BC =+，即090=∠BCD , 所以DE BE EDB EBD ==∠=∠,300，所以BD EO ⊥,结合（Ⅰ）知，OA OD OE ,,两两垂直，以O 为原点，分别以向量,,的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -（如图），设()0>=t t AO,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,0,332,0,2,0,,0,0E B t A , 所以()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0,2,332,,2,0BE t BA , 设()z y x n ,,=是平面ABE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BE n BA n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0233202y x tz y ，整理，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,3y t z y x 令1-=y ，得23,1,.n t ⎛⎫=- ⎪⎭因为⊥OE 平面ABD ,所以()1,0,0m =是平面ABD 的一个法向量.又因为二面角D BA E --的余弦值为515， 所以5154133,cos 2=++=><t n m ，解得2=t 或2-=t （舍去）， 又⊥AO 平面BCD ,A 所以AO 是三棱锥BCD A -的高, 故.3343222123131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-BCD BCD A S AO V 20.：（Ⅰ）C 的准线方程为2py -=， 由抛物线的定义，可知BF 等于点B 到C 的准线的距离，即2P y BF B +=, 又因为点B 到x 轴的距离比BF 小1， 所以12+=+B B y Py ， 故12=P，解得2=P ， 所以C 的方程为.42y x =（Ⅱ）由（Ⅰ）得C 的焦点()1,0F ，因为直线l 交C 于B A ,两点，交x 轴于点D ，所以l 的斜率存在且不为0，故可设l 的方程为()()().,,,,011111y x B y x A k kx y ≠+=， 则⎪⎭⎫⎝⎛-0,1k D . 联立方程组⎩⎨⎧+==,1,42kx y y x ，消去y ，得.0442=--kx x()()01616414422>+=-⨯⨯--=∆k k ,由韦达定理，得.4,42121-==+x x k x x 设点O 到直线l 的距离为d ,则.21,21AD d S BF d S AOD BOF ⋅=⋅=∆∆ 又AO D BO F S S ∆∆=，所以AD BF =.又F D B A ,,,在同一直线上，所以FB DA =，从而211x k x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--，即k x x 112==, 因为()()()()4444221221212-⨯-=-+=-k x x x x x x , 所以()()221444⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯-k k ，整理，得01161624=-+k k , 故4252-=k ，解得225-±=k , 所以l 的方程为1225+-±=x y . 21.解:(Ⅰ)函数()x f 的定义域为().,0+∞要使()0≥x f 有唯一解,只需满足()0max =x f ,且()0max =x f 的解唯一,()xkx x f -='1, ①当0≤k 时,()0>'x f ,故()x f 在()+∞,0上单调递增,且()01=f ,所以()0≥x f 的解集为[)+∞,1,不符合题意；②当0>k ，且⎥⎦⎤ ⎝⎛∈k x 1,0时，()()x f x f ,0≥'单调递增；当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1k x 时，()()x f x f ,0<'单调递减，所以()x f 有唯一的一个最大值为⎪⎭⎫⎝⎛k f 1, 令()()01ln 1>--=⎪⎭⎫⎝⎛=k k k k f k g ，则()()kk k g g 1,01-='=, 当10<<k 时，()0<'x g ,故()k g 单调递减；当1>k 时，故()k g 单调递增，所以()()01=≥g k g ，故令01ln 1=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k f ,解得1=k ， 此时()x f 有唯一的一个最大值为()1f ，且()01=f ，故()0≥x f 的解集是{}1，符合题意； 综上，可得.1=k（Ⅱ）要证当1≤a 时，()(),1--<-+ax e k kx x f x x即证当1≤a 时，01ln 2>---x x ax e x ,即证.01ln 2>---x x x e x由（Ⅰ）得，当1=k 时，()0≤x f ,即1ln -≤x x ，又0>x ，从而()1ln -≤x x x x ,故只需证0122>-+-x x e x ，当0>x 时成立；令()()0122≥-+-=x x x e x h x ，则()14+-='x e x h x ,令()()x h x F '=，则()4-='x e x F ，令()0='x F ，得.2ln 2=x因为()x F '单调递增，所以当(]2ln 2,0∈x 时，()()()x F x F x F ,0,0≤≤'单调递减，即()x h '单调递减，当()+∞∈,2ln 2x 时，()()x F x F '>',0单调递增，即()x h '单调递增，且()()()0182,020,02ln 854ln 2>+-='>='<-='e h h h ,由零点存在定理，可知()()2,2ln 2,2ln 2,021∈∃∈∃x x ，使得()()021='='x h x h ，故当10x x <<或2x x >时，()()x h x h ,0>'单调递增；当21x x x <<时，()()x h x h ,0<'单调递减，所以()x h 的最小值是()00=h 或().2x h由()02='x h ，得1422-=x e x ，()()()122252122222222---=-+-=-+=x x x x x e x h x ,因为()2,2ln 22∈x ，所以()02>x h ,故当0>x 时，所以()0>x h ,原不等式成立.22.解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧=+=ααsin ,cos 1y x 可得()αα2222sin cos 1+=+-y x , 即1C 的普通方程为().1122=+-y x 方程θθρsin cos 2=可化为θρθρsin cos 22= ()* ,将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ,代入方程()*，可得y x =2,所以2C 的直角坐标方程为y x =2，（Ⅱ）联立方程组()⎩⎨⎧==+-,,1122kx y y x 解得.12,1222⎪⎭⎫ ⎝⎛++k k k A 联立方程组⎩⎨⎧==,,2x y kx y 可得()2,k k B ，故k k k k k OB OA 21121222=⋅+⋅+⋅+=⋅, 又(]3,1∈k ,所以(].32,2∈⋅OB OA 23.解：（Ⅰ）当2=a 时，()⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤≤->=++-=,2,2,22,4,2,222x x x x x x x x f当2>x 时，可得,62>x ，解得.3>x当22≤≤-x 时，因为64>不成立，故此时无解；当2-<x 时，由62>-x 得，故此时.3-<x综上所述，不等式()6>x f 的解集为()().,33,+∞-∞-（Ⅱ）因为()a a x a x a x a x x f 2=---≥++-=,要使关于x 的不等式()12-<a x f 有解，只需122-<a a 成立. 当0≥a 时，122-<a a 即,122-<a a 解得21+>a ，或21-<a （舍去）；当0<a 时，122-<a a ，即,122-<-a a 解得21+->a （舍去），或21--<a ； 所以，的取值范围为()().,2121,+∞+--∞-。

泉州市2018届高三质检数学试卷（理科）一、本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3﹣x＞0}，那么集合A∩B（） A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．∅3．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（）A．﹣1 B． 0.5 C． 2D．104．在二项式（2x+3）n的展开式中，若常数项为81，则含x3的项的系数为（）A．216 B． 96 C．81 D．165．已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则其前5项的和S5=（）A．31 B． 15 C． 11 D．56．已知某产品连续4个月的广告费用x i（千元）与销售额y i（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x i=18，y i=14；②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程=x+中的=0.8（用最小二乘法求得）．那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为（）A． 3.5万元B． 4.7万元C． 4.9万元D． 6.5万元7．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件8．在如图所示的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是正方形BCC1B1的中心，则三棱锥P﹣AB1D1的体积等于（）A．B．C．D．9．某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则商标的边缘轮廓线AOC恰是函数y=tan的图象，边缘轮廓线AEC恰是一段所对的圆心角为的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率等于（）A．B．C．D．10．（2018•泉州一模）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B 恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：y=（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷的相应位置．11．（4分）（2018•泉州一模）（x2+sinx）dx= _________ ．12．（4分）（2018•泉州一模）若对满足不等式组的任意实数x，y，都有2x+y≥k成立，则实数k的最大值为_________ ．13．（4分）（2018•泉州一模）已知直线l过双曲线C：3x2﹣y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p= _________ ．14．（4分）（2018•泉州一模）已知：△AOB中，∠AOB=90°，AO=h，OB=r，如图所示，先将△AOB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为，高DD 1=1的长方体CDEF﹣C1D1E1F1．若该长方体的顶点C，D，E，F都在圆锥的底面上，且顶点C1，D1，E1，F1都在圆锥的侧面上，则h+r的值至少应为_________ ．15．（4分）（2018•泉州一模）定义一种向量运算“⊗”：⊗=（，是任意的两上向量）．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗（λ∈R）；③（+）⊗=⊗+⊗④若是单位向量，则|⊗|≤||+1以上结论一定正确的是_________ ．（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2018•泉州一模）某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差．17．（13分）（2018•泉州一模）已知函数f（x）=2sin•cos﹣2cos2+（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求在方向上的抽影n的值．18．（13分）（2018•泉州一模）已知M（0，），N（0，﹣），G （x，y），直线MG与NG的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）作一条与轨迹Γ相交的直线l．设交点为A，B．若点A，B均位于y轴的右侧，且=，请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标．19．（13分）（2018•泉州一模）设函数f（x）=﹣x n+ax+b（a，b∈R，n∈N*），函数g（x）=sinx．（Ⅰ）当a=b=n=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=b=1，n=2时，求函数h（x）=g（x）﹣f（x）的最小值；（Ⅲ）当n=4时，已知|f（x）|≤对任意x∈[﹣1，1]恒成立，且关于x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x1，x2．试证明：x1+x2＜0．20．（14分）（2018•泉州一模）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB 和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．①求证：OM∥平面A′B′N；②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan （α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．本题有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）（2018•泉州一模）在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（7分）（2018•泉州一模）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角θ∈[0，2π））【选修4-5：不等式选讲】23．（2018•泉州一模）设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．2014届泉州市普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．D 2．A 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．2312． 2 13. 6 14． 4 15．①④三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．本小题主要考查概率、统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）由题意，可得该校普理生、普文生、艺体生的人数比例为2：2：1， …………2分所以10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4人，4人，2人.…………4分（Ⅱ）由题意，可知0,1,2ξ=， …………5分3082310567(0)12015C C P C ξ====，2182310567(1)12015C C P C ξ====，128231081(2)12015C C P C ξ====， 所以随机变量ξ的分布列为…………9分18．本题主要考查直线、圆锥曲线的方程和性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）(0),(0),MG NG y y k x k x x x -=≠=≠ …………2分由已知有3(0)4y y x x x +⋅=-≠，化简得轨迹Γ的方程为221(0)43x y x +=≠. …5分（Ⅱ）设直线l 的方程为3(0)y kx k =+<，1122(,),(,)A x y B x y (120,0x x >>). …6分因为BA AP =，(0,3)P ， 所以212x x =. ……………………………① …7分联立方程组223,3412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得22(43)24240k x kx +++=， ……（*）…8分 所以1222443k x x k -++=………②， 1222434x x k ⋅=+………………③. …9分 由①得212122()9x x x x =+，又由②③得，222()8124343k k k -++=，所以293,42k k ==±.因为120,0x x >>，所以12224403k k x x +=+>-，0k <，所以32k =-. …………11分 当32k =-时，方程（*）可化为2320x x -+=，解得11x =，22x =，所以(2,0)B (3(1,)2A ). …12分法一：因为QP QB =，A 是PB 的中点，所以QA l ⊥，23AQ k =.设(,0)Q m ,则32213m =-，解得54m =-，所以Q 的坐标为5(,0)4-. …………13分 法二：设(,0)Q m ,因为QP QB =，所以229(2)m m +=-，解得54m =-， 所以Q 的坐标为5(,0)4-. …………13分19．本题主要考查函数、导数、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想等．满分13分．解：（Ⅰ）当3a b n ===时，3()33f x x x =-++，2()33f x x '=-+. …1分解()0f x '>得11x -<<；解()0f x '<得11x x ><-或. …………2分 故()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-和(1,)+∞. …………4分另解：当3a b n ===时，3()33f x x x =-++，2()33f x x '=-+. …1分令()0f x '=解得1x =-或1x =. ………2分()f x '的符号变化规律如下表：…………3分故()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-和(1,)+∞. …………4分（Ⅱ）当1a b ==且2n =时，2()sin 1h x x x x =+--，则()cos 21h x x x '=+-， ……5分令()()x h x ϕ'=，则()sin 2x x ϕ'=-+，……6分因为()sin 2x x ϕ'=-+的函数值恒为正数，所以()x ϕ在(,)-∞+∞上单调递增， 又注意到(0)0ϕ=，所以，当0x > 时，()()(0)0x h x h ϕ''=>=，()h x 在(0,)+∞ 单调递增；当0x < 时，()()(0)0x h x h ϕ''=<=，()h x 在(,0)-∞ 单调递减 . ……8分所以函数()()()h x g x f x =-的最小值min ()(0)1h x h ==-. …………9分另解：当1a b ==且2n =时，2()sin 1h x x x x =+--，则()cos 21h x x x '=+-， ……5分令()cos 210h x x x '=+-=，得cos 21x x =-+. 考察函数cos y x =和21y x =-+的图象，可知：当0x < 时，函数cos y x =的图象恒在21y x =-+图象的下方，()0h x '<； 当0x > 时，函数cos y x =的图象恒在21y x =-+图象的上方，()0h x '>.所以()h x 在(,0)-∞ 单调递减，在(0,)+∞ 单调递增， ……8分 所以函数()()()h x g x f x =-的最小值min ()(0)1h x h ==-. …………9分（Ⅲ）因为对任意[1,1]x ∈-，都有1()2f x ≤，所以111(0),(1),(1)222f f f ≤≤-≤， 即11,22111+,22111+,22b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪-≤-+≤⎨⎪⎪-≤--≤⎪⎩亦即 11,(1)2213+,(2)2213+,(3)22b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤-≤⎪⎩由（2）+（3）得13(4)22b ≤≤，再由（1）（4），得12b =，将12b =代入（2）（3）得0a =. 当0a =，12b =时，41()2f x x =-+. …………10分 因为[1,1]x ∈-，所以201x ≤≤，401x ≤≤，410x -≤-≤，4111222x -≤-+≤， 所以41()2f x x =-+符合题意. …………11分 设41()()()sin 2F x f x g x x x =-=-+-.因为1111(2)16sin(2)0,(1)1sin(1)sin1sin 022262F F π-=-+--<-=-+--=->-=，111(0)sin 00,(1)1sin1sin10222F F =->=-+-=--<， ……12分又因为已知方程()()f x g x =有且只有两个实数根12,x x （不妨设12x x <）， 所以有1221,01x x -<<-<<，故120x x +<. …………13分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、三角函数等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想及应用意识. 满分14分. 解：（Ⅰ）（i ）连结','O M O N ，∵''O O O ⊥底面，''O M O ⊂底面，∴''O O O M ⊥. …1分∵'''O M A B ⊥，'''O O AA B B ⊂平面，''''A B AA B B ⊂平面，''A B ''O O O =，∴'''O M AA B B ⊥平面. …2分类似可证得''ON AA B B ⊥平面，∴'//O M ON . 又∵'O M ON =， ∴四边形'ONO M 为平行四边形， ∴'OM O N . …3分又∵'','''OM A B N O N A B N ⊄⊂平面平面， ∴OM 平面''A B N . …………4分（ii ）由题意，可得'AA =，短轴长为2. …5分如图，以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，'OO 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则有2(1,0,0),(0,1,0),'(F N A B ，∴'(2,1,6),'(2,NA NB =--=-， …6分 ∵z 轴⊥平面ABN ，∴可取平面ABN 的一个法向量1(0,0,1)n =.设平面''A B N 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则'20,'20n NA y n NB x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简得0,x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，得2n =. …8分设平面ABN 与平面''A B N 所成锐二面角为θ.则12127cos 7||||n n nn θ⋅==⋅.…………9分（Ⅱ）当点N 为下底面上椭圆的短轴端点时，12NF NF ==1'tan tan NN NF αβ===3παβ==， 23παβ+=，tan()αβ+=当点N 为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，11NF =，21NF =，1'tan NNNF α=2'tan NN NF β=tan tantan()1tan tan 5αβαβαβ++==--. 直观判断tan()αβ+的取值范围为[5-. （说明：直观判断可以不要求说明理由.） …10分 ∵'N 是点N 在上底面的投影，∴'N N ⊥上底面'O ，∵上下两底面互相平等， ∴'N N ⊥下底面O ，即'N N ⊥平面ABN ，∴12','N F N N F N ∠∠分别为12','N F N F 与下底面所成的角，即12','N F N N F N αβ∠=∠=. …11分 又∵12,NF NF ⊂平面ABN ， ∴12','NN NF NN NF ⊥⊥. 设12,NF m NF n ==，则m n +=，且12''tan ,tan NN NN NF m NF nαβ==＝＝，∴)tan()66m n mn mn mn αβ+++===--. …12分∵m n +=，∴2)(2mn m m m =-=-+.11m -≤≤,∴ 12mn ≤≤. …13分∴564mn -≤-≤-，6mn ≤≤--.从而证得：tan()αβ+的取值范围为[]5-. …………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）设a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则1100a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，0112b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，所以1102⎛⎫=⎪⎝⎭A ； …………3分 （Ⅱ）矩阵A 的特征多项式为11()(1)(2)02f λλλλλ--==---，............4 令()0f λ=，得矩阵A 的特征值为121,2λλ==. (5)对于特征值11λ=，解相应的线性方程组00,00x y x y ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩，即0y =，令1x =，得该方程的一组非零解1,x y =⎧⎨=⎩，所以110⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵A 的属于特征值11λ=的一个特征向量. (6)对于特征值22λ=，解相应的线性方程组0,000x y x y -=⎧⎨⋅+⋅=⎩，即x y =，令1x =，得该方程的一组非零解1,1x y =⎧⎨=⎩， 所以211⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵A 的属于特征值22λ=的一个特征向量. …………7分 （2）（本小题满分7分）选修4—4:坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分7分.解：（Ⅰ）直线l的普通方程为20x +-=， …………………………（*）将cos ,sin x y ρθρθ==代入（*），得cos sin 20ρθθ+-=，……1分 化简得线l 的方程为cos()13πρθ-=， ……2分圆C 的极坐标方程为2ρ=. …………3分（Ⅱ）联立方程组2,cos()13ρπρθ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去ρ得1cos()32πθ-=， ………4分 因为[0,2)θπ∈， 所以5333πππθ-≤-<，所以33ππθ-=-或33ππθ-=，………6分所以直线l 和圆C 的交点的极坐标为2(2,0),(2,)3π. …………7分 （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想等.满分7分. 解：（Ⅰ）()3f x ==+≤=，……2分当且仅当4x =时等号成立. ……3分故函数()f x 的最大值3M =.（Ⅱ）由绝对值三角不等式，可得12(1)(2)3x x x x -++≥--+=. ……4分 所以不等式123x x -++≤的解x ，就是方程123x x -++=的解. ……5分 由绝对值的几何意义，可得当且仅当21x -≤≤时，123x x -++=. ……6分所以不等式12x x M -++≤的解集为{|21}x x -≤≤. ……7分。

2018年高考全国二卷数学理科(word版)试题(含答案)绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．12i 12i+=-A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0 5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>则其渐近线方程为 A．y = B．y = C．y = D．y x =6．在ABC△中，cos2C 1BC =，5AC =，则AB = A．B．CD．7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112 B ．114 C ．115 D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。